Chứng minh bất đẳng thức phụ:
`\sqrt(a^2 + b^2) + \sqrt(c^2+d^2)>= \sqrt((a+c)^2+(b+d)^2)`
Bình phương hai vế, ta có:
`\Leftrightarrow a^2 + b^2 + \c^2+d^2 + 2\sqrt((a^2 + b^2)(c^2+d^2))>= a^2+c^2+b^2+d^2+ 2(ac+bd)`
`\Leftrightarrow \sqrt((a^2 + b^2)(c^2+d^2))>=ac+bd `
`\Leftrightarrow (a^2 + b^2)(c^2+d^2) >= (ac)^2+(bd)^2 + 2abcd `
`\Leftrightarrow (ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 >= (ac)^2+(bd)^2 + 2abcd `
`\Leftrightarrow (ad)^2 + (bc)^2 >= 2abcd `
`\Leftrightarrow (ad- bc)^2 >=0 \forall a, b,c,d \in R` (luôn đúng)
`-> \sqrt(a^2 + b^2) + \sqrt(c^2+d^2)>= \sqrt((a+c)^2+(b+d)^2)`
Dấu ''='' xảy ra khi `a/b = c/d`
Vì `M` nằm trên trục hoành `y = 0` nên `M(x , 0)`
Ta có: `{(\vec(AM)(x+3; -2)),(\vec(BM)(x-1; -3)):} -> {(AM= \sqrt((x+3)^2 +(-2)^2)),(BM= \sqrt((x-1)^2 +(-3)^2)):}`
`-> MA + MB = \sqrt((x+3)^2 + (-2)^2) + \sqrt((x-1)^2 +(-3)^2) >= \sqrt(( (x+3-x+1)^2)+(-2-3)^2)= \sqrt(41) `
`->` GTNN của `MA + MB` bằng `\sqrt(41)`
Dấu ''='' xảy ra khi : `(x+3)/-2=(1-x)/-3 -> x = -1.4 `
Vậy: `M(-1.4; 0)`
