Đáp án:

 a ) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và P :

x² = 2mx-2m+3

=> x² - 2mx + 2m- 3 = 0

Ta có : Δ' = ( -m )² - ( 2m - 3 ) = m² -2m + 3 

=> Δ ' = ( m - 1 )² +2 >  0 , ∀m

=> (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m

b ) Áp dụng hệ thức vi - ét cho phương trình :

$\left \{ {{x1 + x2 = 2m} \atop {x1.x2=2m-3}} \right.$ 

Do y = x² => y1 = x1² , y2 = x2²

Theo bài ra :

y1+y2<9

=> x1² + x2² < 9

=> ( x1 + x2 )² - 2x1.x2 < 9

=> ( 2m )² - 2.( 2m - 3 ) < 9

=> 4m² - 4m + 6 - 9 < 0

=> 4m² - 4m - 3 < 0

=> 4m² + 2m - 6m -3 < 0

=> 2m.(2m + 1 ) - 3.( 2m + 1 ) < 0

=> ( 2m - 3 ) . ( 2m + 1 ) < 0

Đến đây bạn xét 2 trường hợp là :

$\left \{ {{2m - 3 < 0} \atop {2m + 1 > 0}} \right.$  và $\left \{ {{2m - 3 >0} \atop {2m + 1 < 0}} \right.$ 

Do mình không biết cách trình bày 2 hệ trên cùng 1 lúc ấy , nên bạn thông cảm nha.

Đến đấy thì ta được kết quả là  : $\frac{-1}{2}$ < m < $\frac{3}{2}$ 

Vậy m nguyên Max = 1 

Đáp án:

 b) m=1

Giải thích các bước giải:

 a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

\(\begin{array}{l}
{x^2} = 2mx - 2m + 3\\
 \to {x^2} - 2mx + 2m - 3 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)

Để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt 

⇔ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 3 > 0\\
 \to {m^2} - 2m + 1 + 2 > 0\\
 \to {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 > 0\left( {ld} \right)\forall m\\
 \to dpcm
\end{array}\)

b) Có:

\(\begin{array}{l}
{y_1} + {y_2} < 9\\
 \to {x_1}^2 + {x_2}^2 < 9\\
 \to {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} < 9\\
 \to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} < 9\\
 \to 4{m^2} - 2\left( {2m - 3} \right) < 9\\
 \to 4{m^2} - 4m + 6 < 9\\
 \to 4{m^2} - 4m - 3 < 0\\
 \to \left( {2m - 3} \right)\left( {2m + 1} \right) < 0\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2m - 3 > 0\\
2m + 1 < 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2m - 3 < 0\\
2m + 1 > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m > \dfrac{3}{2}\\
m <  - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\left( l \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
m < \dfrac{3}{2}\\
m >  - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \to Maxm = 1
\end{array}\)