Đáp án:

 \(I(3;\, -3)\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}A\left( {3;\,\,2} \right)\\d:\,\,\,4x + 3y - 3 = 0\end{array}\)

Ta có (C1) tiếp xúc với d => bán kính đường tròn (C1) là:

\({R_1} = d\left( {A;\,\,d} \right)\) \( = \frac{{\left| {4.3 + 3.2 - 3} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\) \( = \frac{{15}}{5} = 3.\)

\( \Rightarrow \left( {{C_1}} \right):\,\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9.\)

\(\begin{array}{l}H\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right) = d \cap \left( {{C_1}} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x_0} + 3{y_0} - 3 = 0\\{\left( {{x_0} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_0} - 2} \right)^2} = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_0} = \frac{{3 - 4{x_0}}}{3} = 1 - \frac{4}{3}{x_0}\\x_0^2 - 6{x_0} + 9 + {\left( {1 - \frac{4}{3}{x_0} - 2} \right)^2} = 9\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow x_0^2 - 6{x_0} + 9 + {\left( {\frac{4}{3}{x_0} + 1} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow x_0^2 - 6{x_0} + 9 + \frac{{16}}{9}x_0^2 + \frac{8}{3}{x_0} + 1 = 9\\ \Leftrightarrow \frac{{25}}{9}x_0^2 - \frac{{10}}{3}{x_0} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x_0} = \frac{3}{5}\\ \Rightarrow {y_0} = \frac{1}{5}\\ \Rightarrow H\left( {\frac{3}{5};\,\,\frac{1}{5}} \right)\end{array}\)

Ta có: (C2) cắt (C1) tại H và K

Mà d là tiếp tuyến của của (C1) => IK cũng là tiếp tuyến của đường tròn (C1) và (C2) có bán kính R = IH.

=> Tam giác AIH vuông tại H. Khi đó ta có:

 \(\begin{array}{l}{S_{AHIK}} = 2{S_{AHI}}\\ \Leftrightarrow 12 = 2.\frac{1}{2}IH.HA\\ \Leftrightarrow IH.HA = 12\\ \Leftrightarrow 3.HI = 12\\ \Leftrightarrow HI = 4.\end{array}\)

Ta có: \(I \in d:\,\,4x + 3y - 3 = 0\) \( \Rightarrow I\left( {a;\,\,1 - \frac{4}{3}a} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow IH = 4\\ \Leftrightarrow I{H^2} = 16\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5} - a} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{5} - 1 + \frac{4}{3}a} \right)^2} = 16\\ \Leftrightarrow \frac{9}{{25}} - \frac{6}{5}a + {a^2} + {\left( {\frac{4}{3}a - \frac{4}{5}} \right)^2} = 16\\ \Leftrightarrow \frac{9}{{25}} - \frac{6}{5}a + {a^2} + \frac{{16}}{9}{a^2} - \frac{{32}}{{15}}a + \frac{{16}}{{25}} - 16 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{25}}{9}{a^2} - \frac{{10}}{3}a - 15 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\\a =  - \frac{9}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

Mà I có hoành độ dương \( \Rightarrow I\left( {3;\,\, - 3} \right)\)

(Hình vẽ tham khảo bên dưới).