`a)` Khi $k=4$
`=>(d)y=2x-4+3=2x-1`
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)y=x^2$ và $(d)y=2x-1$ là:
`\qquad x^2=2x-1`
`<=>x^2-2x+1=0`
`<=>(x-1)^2=0`
`<=>x=1`
`=>y=x^2=1^2=1`
Vậy khi $k=4$ tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $(1;1)$
$\\$
`b)` Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:
`\qquad x^2=2x-k+3`
`<=>x^2-2x+k-3=0` $(1)$
Ta có:
`a=1;b=-2=>b'=-1;c=k-3`
`∆'=b'^2-ac=(-1)^2-1.(k-3)=4-k`
Để $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt thì $(1)$ có hai nghiệm phân biệt
`<=>∆'>0`
`<=>4-k>0<=>k<4`
$\\$
Với `k<4` theo hệ thức Viet ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=k-3\end{cases}$
$(x_1;y_1);(x_2;y_2)$ là tọa độ hai giao điểm của $(P)y=x^2$ và $(d)$
`=>y_1=x_1^2; y_2=x_2^2`
$\\$
Để `x_1x_2(y_1+y_2)=-6`
`<=>x_1x_2.(x_1^2+x_2^2)=-6`
`<=>x_1x_2.[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]=-6`
`<=>(k-3).[2^2-2.(k-3)]=-6`
`<=>(k-3).(10-2k)=-6`
`<=>(k-3)(5-k)=-3`
`<=>5k-k^2-15+3k+3=0`
`<=>k^2-8k+12=0`
`<=>k^2-6k-2k+12=0`
`<=>k(k-6)-2(k-6)=0`
`<=>(k-6)(k-2)=0`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}k-6=0\\k-2=0\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}k=6(loại)\\k=2(T M)\end{array}\right.$
Vậy $k=2$ thỏa đề bài
