Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
Ta có \({d_2}\) vuông góc với \({d_1}\) \( \Rightarrow {d_2}:y = 4x + b\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( 1 \right)\)  của \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( P \right).\)
\({d_2}\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0.\)
Giải chi tiết:Ta có: \(\left( {{d_1}} \right):\,\,\,y =  - \frac{1}{4}x\)
Vì \({d_2}\) vuông góc với \({d_1}\) \( \Rightarrow {d_2}:y = 4x + b\)
Phương trình hoành độ giao điểm giữa \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( P \right)\):  \(2{x^2} = 4x + b \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - b = 0  \left( 1 \right)\)
\({d_2}\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta ' = 4 + 2b > 0 \Leftrightarrow b >  - 2\)
Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là các giao điểm của \({d_2}\) và \(\left( P \right).\) Khi đó \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của \(\left( 1 \right)\)
\( \Rightarrow A\left( {{x_1};\,\,4{x_1} + b} \right);\,\,\,B\left( {{x_2};\,\,4{x_2} + b} \right).\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} =  - \frac{b}{2}\end{array} \right..\)
Ta có: \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\,\,\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right)\) \( \Rightarrow I\left( {1;\,\,4 + b} \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow O{I^2} = 1 + {\left( {4 + b} \right)^2} = {b^2} + 8b + 17\\A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {4{x_2} - 4{x_1}} \right)^2} = 17.{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2}\\ = 17{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 68{x_1}{x_2}\\ = {17.2^2} - 68.\left( { - \frac{b}{2}} \right) = 17.4 + 34b = 17\left( {4 + 2b} \right)\\ \Rightarrow \sqrt 5 AB = \sqrt {17} OI \Leftrightarrow 5A{B^2} = 17OI\\ \Leftrightarrow 5.17\left( {4 + 2b} \right) = 17\left( {{b^2} + 8b + 17} \right)\\ \Leftrightarrow 20 + 10b = {b^2} + 8b + 17\\ \Leftrightarrow {b^2} - 2b - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 1\\b = 3\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \({d_2}:y = 4x - 1\) hoặc \({d_2}:y = 4x + 3.\)   
Chọn D.