Giải thích các bước giải:
Ta có:
$A\left( { - 1,4} \right);B\left( {1, - 4} \right);C\left( {3,5} \right)$
a) Ta có:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 8} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {4;1} \right)
\end{array}$
Phương trình đường thẳng $AB$ là:
$AB:4\left( {x + 1} \right) + 1\left( {y - 4} \right) = 0$
hay $AB:4x + y = 0$
b) Ta có:
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ nên $I\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)$
$ \Rightarrow I\left( {0;0} \right)$
Đường tròn đường kính $AB$ có tâm $I$ và bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} }}{2} = \sqrt {17} $
Nên phương trình đường tròn đường kính $AB$ là: ${x^2} + {y^2} = 17$
c) Ta có:
Tam giác $ABC$ vuông ở $A$ có:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 8} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {4;1} \right)\\
\Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.2\sqrt {17} .\sqrt {{4^2} + {1^2}} = 17
\end{array}$
Vậy ${S_{ABC}} = 17$
