Đáp án:${S_{ABCD}} = 55$

Giải thích các bước giải:

Giả sử hình bình hanh được tạo thành như hình vẽ.

Tọa độ $D$ thỏa mãn hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 1 = 0\\
3x - y + 5 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
y = 2
\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 1;2} \right)$

$I$ là giao điểm 2 đường chéo nên $I$ là trung điểm của $AC$ và $BD$

$ \Rightarrow B\left( {2{x_I} - {x_D};2{y_I} - {y_D}} \right) \Rightarrow B\left( {7;4} \right)$

Do $A \in \left( {{d_1}} \right):x + y - 1 = 0 \Rightarrow A\left( {a;1 - a} \right) \Rightarrow C\left( {6 - a;a + 5} \right)$

Mà $C \in \left( {{d_2}} \right):3x - y + 5 = 0 \Rightarrow 3\left( {6 - a} \right) - \left( {a + 5} \right) + 5 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{9}{2}$

$ \Rightarrow A\left( {\dfrac{9}{2};\dfrac{{ - 7}}{2}} \right);C\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{{19}}{2}} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\\
\left\{ \begin{array}{l}
CB = \sqrt {{{\left( {7 - \dfrac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \dfrac{{19}}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{11\sqrt 2 }}{2}\\
DC = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2} - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{19}}{2} - 2} \right)}^2}}  = \dfrac{{5\sqrt {10} }}{2}\\
BD = \sqrt {{{\left( { - 1 - 7} \right)}^2} + {{\left( {2 - 4} \right)}^2}}  = 2\sqrt {17} 
\end{array} \right. \Rightarrow p = \dfrac{{BD + DC + BC}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{11\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{5\sqrt {10} }}{2} + 2\sqrt {17} }}{2}\\
 \Rightarrow {S_{BCD}} = \sqrt {p\left( {p - CB} \right)\left( {p - DC} \right)\left( {p - BD} \right)}  = \dfrac{{55}}{2} \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{BCD}} = 55
\end{array}$

Vậy ${S_{ABCD}} = 55$