Đáp án:

1) D trên trục Oy nên D(0;y)

Tam giác ABD vuông tại D nên:

$\begin{array}{l}
\overrightarrow {DA}  \bot \overrightarrow {DB} \\
 \Rightarrow \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DB}  = 0\\
Do:\overrightarrow {DA}  = \left( { - 1; - 1 - y} \right);\overrightarrow {DB}  = \left( {3;1 - y} \right)\\
 \Rightarrow  - 1.3 + \left( { - 1 - y} \right).\left( {1 - y} \right) = 0\\
 \Rightarrow  - 3 - \left( {1 + y} \right)\left( {1 - y} \right) = 0\\
 \Rightarrow  - 3 - \left( {1 - {y^2}} \right) = 0\\
 \Rightarrow {y^2} = 4\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 2\\
y =  - 2
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow D\left( {0;2} \right)/D\left( {0; - 2} \right)\\
2)H\left( {x;y} \right)\\
 \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( {x + 1;y + 1} \right);\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 3;y - 1} \right)\\
\overrightarrow {BC}  = \left( {3; - 1} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {7;1} \right)\\
Do:AH \bot BC;BH \bot AC\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\
\overrightarrow {BH} .AC = 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3.\left( {x + 1} \right) - \left( {y + 1} \right) = 0\\
7\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x - y =  - 2\\
7x + y = 11
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{9}{{10}}\\
y = 3x + 2 = \dfrac{{47}}{{10}}
\end{array} \right.\\
Vậy\,H\left( {\dfrac{9}{{10}};\dfrac{{47}}{{10}}} \right)
\end{array}$

Đáp án:

1) $D(0;2)$ hoặc $D(0;-2)$

2) $H(2;8)$

Giải thích các bước giải:

$A(-1;-1),\quad B(3;1),\quad C(6;0)$

1) Gọi $D(0;y)$ là điểm trên $Oy$ sao cho $ΔABD$ vuông tại $D$

$\to \begin{cases}\overrightarrow{AD} = (1;y+1)\\\overrightarrow{BD}=(-3;y-1)\\\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BD} =0 \end{cases}$

$\to 1.(-3) + (y+1)(y-1) = 0$

$\to y^2 = 4$

$\to \left[\begin{array}{l}y = 2\\y = -2\end{array}\right.$

Vậy $D(0;2)$ hoặc $D(0;-2)$

2) Gọi $H(x;y)$ là trực tâm của $ΔABC$

$\to \begin{cases}\overrightarrow{AH}=(x+1;y+1)\\\overrightarrow{BC}=(3;-1)\\\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} = 0\\\overrightarrow{BH}=(x-3;y-1)\\\overrightarrow{AC}=(7;1)\\\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}\end{cases}$

$\to \begin{cases}3(x+1) + (-1).(y+1) = 0\\7(x-3) + 1.(y-1) =0\end{cases}$

$\to \begin{cases}3x - y = -2\\7x + y =22\end{cases}$

$\to \begin{cases}x = 2\\y = 8\end{cases}$

Vậy $H(2;8)$