a) Đường thẳng $IM$ đi qua điểm $M(3,1)$, $\vec u=\vec{IM}=(1,3)\Rightarrow \vec n=(3,-1)$,
phương trình đường thẳng $IM$ là:
$3(x-3)-(y-1)=0\Leftrightarrow 3x-y-8=0$
b) Do $d$ cắt trục $Ox, Oy$ lần lượt tại $A, B$ nên ta gọi $A(a, 0),B(0,b)$
$\Rightarrow \vec{IA}=(a-2,2),\vec{IB}=(-2,b+2)$
$\Delta IAB$ cân đỉnh $I$ nên $IA=IB$ ta được:
$\sqrt{(a-2)^2+2^2}=\sqrt{(-2)^2+(b+2)^2}$
$\Rightarrow a^2-4a=b^2+4b$ (1)
Đường thẳng $d$ đi qua $A(a, 0),\vec u=\vec{AB}=(-a,b)\Rightarrow\vec n=(b,a)$
$\Rightarrow$ phương trình đường thẳng $AB$ là:
$b(x-a)+a(y-0)=0\Leftrightarrow bx+ay-ab=0$
Điểm $M$ thuộc đường thẳng $d\Rightarrow$
$3b+a-ab=0\Rightarrow a=\dfrac{3b}{b-1}$ thay vào (1) ta được
$\dfrac{9b^2}{(b-1)^2}-\dfrac{12b}{b-1}=b^2+4b$
$\Rightarrow 9b^2-12b(b-1)=(b^2+4b)(b^2-2b+1)$
$\Rightarrow b^4+2b^3-4b^2-8b=0$
$\Rightarrow b(b^3+2b^2-4b-8)=0$
$\Rightarrow b=0$ hoặc $b=\pm2$
Khi đó $b=2\Rightarrow a=6\Rightarrow d:2x+6y-12=0$
$b=-2\Rightarrow a=2\Rightarrow d: -2x+2y+4=0$
Vậy có 2 phương trình đường thẳng $d$ thỏa mãn là:
$x+3y-6=0$ và $x-y-2=0$
