`1)` Xét $∆ABM$ và $∆ANB$ có:
`\hat{A}` chung
`\hat{ABM}=\hat{ANB}` (cùng chắn cung $BM$)
`=>∆ABM∽∆ANB` (g-g)
`=>{AB}/{AN}={AM}/{AB}`
`=>AB^2=AM.AN` $(1)$
$\\$
$AB;AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$
`=>AB=AC`
Vì $OB=OC$ (=bán kính của $(O)$)
`=>OA` là trung trực của $BC$
Mà $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$
`=>OA` $\perp BC$ tại $H$
$\\$
$∆OAB$ vuông tại $B$ có $BH$ là đường cao
`=>AB^2=AH.AO` $(2)$
(hệ thức lượng trong tam giác vuông)
$\\$
Từ `(1);(2)=>AM.AN=AH.AO`
`=>{AM}/{AO}={AH}/{AN}`
Xét $∆AHM$ và $∆ANO$ có:
`\hat{A}` chung
`{AM}/{AO}={AH}/{AN}`
`=>∆AHM∽∆ANO` (c-g-c) (đpcm)
$\\$
`2)` $∆AHM∽∆ANO$ (câu 1)
`=>\hat{AHM}=\hat{ANO}`
`=>`Tứ giác $MHON$ nội tiếp (góc ngoài tại đỉnh $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện) $(đpcm)$
$\\$
`3)` Vì $MHON$ nội tiếp
`=>\hat{OHN}=\hat{OMN}` (cùng chắn cung $ON$)
Mà $OM=ON$ (=bán kính của $(O)$)
`=>∆OMN` cân tại $O$
`=>\hat{OMN}=\hat{ONM}=\hat{ANO}`
`=>\hat{OHN}=\hat{ANO}`
$\\$
Ta có:
`\hat{AHM}=\hat{ANO}` (do $∆AHM∽∆ANO$ đã c/m)
`=>\hat{AHM}=\hat{OHN}`
$\\$
Ta lại có:
`\qquad \hat{AHC}=\hat{OHC}=90°`
`=>\hat{AHM}+\hat{MHC}=\hat{OHN}+\hat{CHN}`
`=>\hat{MHC}=\hat{CHN}`
Vì tia $HC$ nằm giữa hai tia $HM$ và $HN$
`=>HC` là tia phân giác `\hat{MHN}` (đpcm)
