$\text{a, Xét (O) có: }$
$\text{$\widehat{ATB}=\frac{1}{2}sđ\overparen{TB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến AT và dây TB)}$
$\text{$\widehat{TCB}=\frac{1}{2}sđ\overparen{TB}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{TB}$)}$
$\text{⇒ $\widehat{ATB}=\widehat{TCB}$ Hay $\widehat{ATB}=\widehat{ACT}$}$
$\text{ Xét ΔATB và ΔACT có: }$
$\text{$\widehat{ATB}=\widehat{ACT}$ (cmt)}$
$\text{$\widehat{TAC}$: góc chung}$
$\text{⇒ ΔATB ~ ΔACT (g.g)}$
$\text{⇒ $\frac{AT}{AC}=\frac{AB}{AT}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)}$
$\text{⇒ AT²=AB.AC }$
$\text{Xét (O) có: AT là tiếp tuyến, T là tiếp điểm ⇒ OT ⊥ AT ⇒ $\widehat{ATO}=90°$}$
$\text{Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔATO vuông tại T ($\widehat{ATO}=90°$), TH ⊥ AO (gt) có:}$
$\text{AT²=AH.AO}$
$\text{Mà AT²=AB.AC (cmt)}$
$\text{⇒ AB.AC=AH.AO}$
$\text{b, AB.AC=AH.AO (cmt)}$
$\text{⇒ $\frac{AB}{AO}=\frac{AH}{AC}$}$
$\text{Xét ΔABH và ΔAOC có:}$
$\text{$\frac{AB}{AO}=\frac{AH}{AC}$ (cmt)}$
$\text{$\widehat{CAO}$: góc chung}$
$\text{⇒ ΔABH ~ ΔAOC (c.g.c)}$
$\text{⇒ $\widehat{AHB}=\widehat{ACO}$}$
$\text{Có $\widehat{AHB}+\widehat{BHO}=180°$ (hai góc kề bù)}$
$\text{⇒ $\widehat{ACO}+\widehat{BHO}=180°$ Hay $\widehat{BCO}+\widehat{BHO}=180°$}$
$\text{Xét tứ giác BCOH có: $\widehat{BCO}+\widehat{BHO}=180°$ (cmt)}$
$\text{Mà hai góc này ở vị trí đối nhau}$
$\text{⇒ Tứ giác BCOH nội tiếp}$
$\text{⇒ Bốn điểm B, C, O, H cùng thuộc một đường tròn}$
$\text{⇒ Đường tròn ngoại tiếp ΔBOC đi qua điểm H}$
