Vì $CFDE$ nội tiếp
$\to \widehat{PCF}=\widehat{PDE}$ ( góc ngoài bằng góc đối trong )
Xét $\Delta PCF$ và $\Delta PDE$, ta có:
$\widehat{FPC}$ là góc chung
$\widehat{PCF}=\widehat{PDE}$ ( cmt )
$\to \Delta PCF\sim\Delta PDE$
$\to \dfrac{PC}{PD}=\dfrac{PF}{PE}$
$\to PF.PD=PE.PC\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Xét $\Delta PAC$ và $\Delta PEA$, ta có:
$\widehat{APC}$ là góc chung
$\widehat{PAC}=\widehat{PEA}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $AC$ )
$\to \Delta PAC\sim\Delta PEA$
$\to \dfrac{PA}{PE}=\dfrac{PC}{PA}$
$\to P{{A}^{2}}=PE.PC$
$\to {{\left( 2AB \right)}^{2}}=PE.PC$ ( vì $B$ là trung điểm $PD$ nên $PA=2AB$ )
$\to 4A{{B}^{2}}=PE.PC\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có được kết quả:
$PF.PD=PE.PC=4A{{B}^{2}}$
