Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow \angle OBA = \angle OCA = {90^o}\)
\( \Rightarrow \) B, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA
 \( \Rightarrow \) A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính OA. (đpcm)
b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC.
Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại A
\( \Rightarrow \) \(AB = AC\) và AO là phân giác \(\angle BAC\)  (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác cân tại A
\( \Rightarrow \) AO vừa là phân giác \(\angle BAC\)  vừa là đường trung trực của BC (tính chất tam giác cân)
c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với \(\left( O \right)\) (E không trùng với D). Chứng minh \(\frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{BA}}\).
Ta có D đối xứng với B qua O \( \Rightarrow \) BD là đường kính của \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \) \(\angle BED = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta ABD\) có: \(\angle BED = \angle ABD = {90^o}\), \(\angle D\) chung
\( \Rightarrow \Delta BED \sim \Delta ABD\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{Ba}}.\)
d) Tính số đo góc HEC.
\(\angle BCD = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\angle AHB = {90^o}\) (AO là trung trực của BC)
Xét \(\Delta BCD\) và \(\Delta AHB\) có: \(\angle BCD = \angle AHB = {90^o},\;\angle BDC = \angle ABH\)(BA là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại B)
\( \Rightarrow \Delta BCD \sim \Delta AHB\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{CD}}{{BH}}\)    kết hợp c) \( \Rightarrow \frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{CD}}{{BH}}\)
Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta DCE\) có  \(\frac{{DE}}{{BE}} = \frac{{CD}}{{BH}} \Rightarrow \Delta BHE \sim \Delta DCE \Rightarrow \angle BEH = \angle DEC\)  (2 góc t.ư)
\( \Rightarrow \angle BEH + \angle HED = \angle DEC + \angle HED \Rightarrow \angle BED = \angle HEC\)
Mà \(\angle BED = {90^o}\) (chứng minh trên)
Vậy \(\angle HEC = {90^o}\)