a) Áp dụng HTL trong tam giác vuông ABC ta có
$AB^2 = BH . BC = BH(BH + HC) = 4.13$
Vậy $AB = 2\sqrt{13}$.
Tương tự, $AC = 3\sqrt{13}$
Vậy
$\sin \widehat{B} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{3\sqrt{13}}{13}$,
$\sin \widehat{C} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{2\sqrt{13}}{13}$
Vậy
$\widehat{B} = \arcsin \dfrac{3\sqrt{13}}{13} \approx 56^{\circ} 16'$
$\widehat{C} = \arcsin \dfrac{2\sqrt{13}}{13} \approx 33^{\circ} 44'$
b) Chu vi tam giác ABC là
$AB + BC + CA = \dfrac{2\sqrt{13}}{13} + 13 + \dfrac{3\sqrt{13}}{13} = \dfrac{169 + 5\sqrt{13}}{13}$
Diện tích tam giác ABC là
$\dfrac{1}{2} . AB . AC = \dfrac{1}{2} . \dfrac{2\sqrt{13}}{13}. \dfrac{3\sqrt{13}}{13} = 3$.
c) Áp dụng HTL trong tam giác vuông ta có
$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2} = \dfrac{1}{4.13} + \dfrac{1}{9.13}$
Vạy $AH = 6$.
Khi đó $\dfrac{BC}{BH} = \dfrac{13}{4}$, $\dfrac{AC}{AH} = \dfrac{3\sqrt{13}}{6}$
Do đó $\dfrac{AC^2}{AH^2} = \dfrac{9.13}{36} = \dfrac{13}{4} = \dfrac{BC}{BH}$.
d) Áp dụng HTL trong tam giác vuông AHB ta có
$AI . AB = AH^2$
Tương tự trong tam giác AHC
$AK . AC = AH^2$
Vậy ta có $AI.AB = AK.AC (= AH^2)$
