Kẻ $SO\bot (ABCD)$
$S.ABCD$ là chóp đều nên $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.
a,
$ABCD$ là hình vuông nên $BD\bot AC$
$SO\bot(ABCD)\to BD\bot SO$
Suy ra $BD\bot(SAC)$
Vậy $(MBD)\bot(SAC)$
b,
$AB//CD\to AB//(SCD)$
$\to d(AB,SC)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))=2d(O,(SCD))$
Gọi $I$ là trung điểm $CD$. Kẻ $OH\bot SI$.
$\Delta OCD$ vuông cân $O$ nên $OI\bot CD$
Mà $CD\bot SO$ nên $CD\bot (SOI)$
$\to CD\bot OH$
Suy ra $OH\bot(SCD)\to d(O,(SCD))=OH$
$OI=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}$
$OD=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}\to SO=\sqrt{SD^2-DO^2}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$
$\dfrac{1}{SO^2}+\dfrac{1}{OI^2}=\dfrac{1}{OH^2}$
$\to OH=\dfrac{a\sqrt{110}}{22}$
Vậy $d(AB,SC)=2OH=\dfrac{a\sqrt{110}}{11}$
