$\text{a, Xét (O) có: }$

$\text{+MA là tiếp tuyến, A là tiếp điểm (gt) ⇒ OA⊥AM ⇒ $\widehat{MAO}=90°$}$

$\text{+MB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm (gt) ⇒ OB⊥BM ⇒ $\widehat{MBO}=90°$}$

$\text{Xét tứ giác MAOB có: $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90°+90°=180°$}$

$\text{Mà hai góc này ở vị trí đối nhau }$

$\text{⇒ Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính OM}$

$\text{b, Xét (O) có: }$

$\text{$\widehat{MAC}=\frac{1}{2}sđ\overparen{AC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây AC)}$

$\text{$\widehat{ADC}=\frac{1}{2}sđ\overparen{AC}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{AC}$)}$

$\text{⇒ $\widehat{MAC}=\widehat{ADC}$}$

$\text{Hay $\widehat{MAC}=\widehat{MDA}$}$

$\text{Xét ΔMAC và ΔMDA có:}$

$\text{$\widehat{MAC}=\widehat{MDA}$ (cmt)}$

$\text{$\widehat{DMA}$ :góc chung}$

$\text{⇒ ΔMAC ~ ΔMDA (g.g)}$

$\text{⇒ $\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}$  (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)}$

$\text{⇒ MA²=MC.MD (*)}$

$\text{c, Xét (O) có:}$

$\text{MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M}$

$\text{A, B là hai tiếp điểm}$

$\text{⇒ MA=MB, MO là phân giác $\widehat{AMB}$, OM là phân giác $\widehat{AOB}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)}$

$\text{Xét ΔAMB có: MA=MB (cmt)}$

$\text{⇒ ΔAMB cân tại M}$

$\text{MO là phân giác $\widehat{AMB}$ (cmt)}$

$\text{⇒ MO⊥AB}$

$\text{Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔMAO vuông tại A ($\widehat{MAO}=90°$), AH⊥OM (MO⊥AB) có:}$

$\text{OA²=OH.OM (**)}$

$\text{Từ (*) và (**) ⇒ OH.OM+MC.MD=OA²+AM² (1)}$

$\text{Áp dụng định lí Pytago vào ΔMAO vuông tại A ($\widehat{MAO}=90°$) có:}$

$\text{OM²=OA²+AM² (2)}$

$\text{Thay (2) vào (1) có: OH.OM+MC.MD=OA²+AM²=OM²}$

$\text{d, Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔMAO vuông tại A ($\widehat{MAO}=90°$), AH⊥OM (MO⊥AB) có:}$

$\text{AM²=MH.MO}$

$\text{Mà AM²=MC.MD (cmt)}$

$\text{⇒ MH.MO=MC.MD}$

$\text{⇒ $\frac{MH}{MD}=\frac{MC}{MO}$ }$

$\text{Xét ΔMHC và ΔMDO có:}$

$\text{$\frac{MH}{MD}=\frac{MC}{MO}$ (cmt)}$

$\text{$\widehat{DMO}$: góc chung}$

$\text{⇒ ΔMHC ~ ΔMDO (c.g.c)}$

$\text{⇒ $\frac{MC}{MO}=\frac{HC}{OD}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)}$

$\text{⇒ $\frac{MC}{HC}=\frac{OM}{OD}$}$

$\text{Mà OD=OA=R}$

$\text{⇒ $\frac{MC}{HC}=\frac{OM}{OA}$ (3)}$

$\text{Có: OM là phân giác $\widehat{AOB}$ (cmt)}$

$\text{Mà OM cắt (O) tại I (gt)}$

$\text{⇒ Điểm I nằm chính giữa cung $\overparen{AB}$}$

$\text{⇒ $\overparen{AI}=\overparen{BI}$}$

$\text{Xét (O) có:}$

$\text{$\widehat{MAI}=\frac{1}{2}sđ\overparen{AI}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây AI)}$

$\text{$\widehat{IAB}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BI}$ (góc nội tiếp chắn cung $\overparen{BI}$)}$

$\text{$\overparen{AI}=\overparen{BI}$ (cmt)}$

$\text{⇒ $\widehat{MAI}=\widehat{IAB}$}$

$\text{⇒ AI là phân giác $\widehat{MAB}$}$

$\text{⇒ AI là phân giác $\widehat{MAH}$}$

$\text{Xét ΔMAH có: AI là phân giác $\widehat{MAH}$ (cmt)}$

$\text{⇒ $\frac{MI}{IH}=\frac{MA}{AH}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác) (4)}$

$\text{Xét ΔOMA và ΔMAH có: }$

$\text{$\widehat{MAO}=\widehat{MHA}=90°$}$

$\text{$\widehat{MAO}$: góc chung}$

$\text{⇒ ΔOMA ~ ΔMAH (g.g)}$

$\text{⇒ $\frac{MO}{OA}=\frac{MA}{AH}$ (các cặp cạnh tương ứng) (5)}$

$\text{Từ (3),(4),(5) ⇒ $\frac{MC}{HC}=\frac{MI}{IH}$}$

$\text{⇒ CI là phân giác $\widehat{MCH}$}$