Đáp án:
`m\in {0;2}`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^2+(m-1)x-6=0` `(1)`
Ta có: `a=1;b=m-1;c=-6`
`∆=b^2-4ac=(m-1)^2-4.1.(-6)`
`=(m-1)^2+24\ge 24>0` với mọi `m`
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` với mọi `m`
Theo hệ thức Viet ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=-(m-1)=-m+1\\x_1x 2=\dfrac{c}{a}=-6\end{cases}$
Ta có:
`A=(x_1x_2+6)^2-(2x_1+3x_2)^2`
`A=(-6+6)^2-(2x_1+3x_2)^2`
`A=-(2x_1+3x_2)^2\le 0` với mọi `x_1;x_ 2`
Dấu "=" xảy ra khi:
`\qquad (2x_1+3x_2)^2=0`
`<=>2x_1=-3x_2`
Vì `x_1+x_2=-m+1`
`=>2(x_1+x_2)=2.(-m+1)`
`=>2x_1+2x_2=-2m+2`
`=>-3x_2+2x_2=-2m+2`
`=>-x_2=-2m+2`
`=>x_2=2m-2`
`=>2x_1=-3x_2=-3.(2m-2)`
`=>x_1=-3/ 2 (2m-2)`
Vì `x_1x_2=-6`
`<=>-3/ 2 (2m-2).(2m-2)=-6`
`<=>(2m-2)^2=4`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}2m-2=2\\2m-2=-2\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}2m=4\\2m=0\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}m=2\\m=0\end{array}\right.$
Vậy `m\in {0;2}` thì $A$ có $GTLN$ bằng $0$
