Đáp án:

$(C): \left(x -\dfrac{34 - 4\sqrt{70}}{9}\right)^2 + \left(y -\dfrac{11+ 4\sqrt{70}}{9}\right)^2 = \dfrac{2869 - 184\sqrt{70}}{81}$

Hoặc $(C): \left(x -\dfrac{34 +4\sqrt{70}}{9}\right)^2 + \left(y -\dfrac{11- 4\sqrt{70}}{9}\right)^2 = \dfrac{2869 +184\sqrt{70}}{81}$

Giải thích các bước giải:

$A(1;1),\ B(4;4)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(3;3)$

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow M\left(\dfrac52;\dfrac52\right)$

Phương trình đường trung trực của $AB:$

$(d): 3\left(x -\dfrac52\right) + 3\left(y -\dfrac52\right)= 0$

$\Leftrightarrow x + y - 5 = 0$

Gọi $I$ là tâm đường tròn $(C)$ còn tìm

$\Rightarrow I\in (d)$

$\Rightarrow I(t;5-t)$

$\Rightarrow R^2 = IA^2 = (1-t)^2 + (t-4)^2$

Mặt khác:

$(C)$ tiếp xúc $(\Delta)$

$\Rightarrow d(I;\Delta)= R$

$\Rightarrow d^2(I;\Delta)= R^2$

$\Leftrightarrow \dfrac{(2t + 5 - t + 4)^2}{2^2 + 1^2} = (1-t)^2 + (t-4)^2$

$\Leftrightarrow (t+9)^2 = 5(t-1)^2 + 5(t-4)^2$

$\Leftrightarrow 9t^2 - 68t + 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t = \dfrac{34 - 4\sqrt{70}}{9}\\t =\dfrac{34 + 4\sqrt{70}}{9}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}R^2=\dfrac{2869 - 184\sqrt{70}}{81} \\I\left(\dfrac{34-4\sqrt{70}}{9};\dfrac{11 + 4\sqrt{70}}{9}\right)\end{cases}\\\begin{cases}R^2 = \dfrac{2869 + 184\sqrt{70}}{81} \\I\left(\dfrac{34+4\sqrt{70}}{9};\dfrac{11-4\sqrt{70}}{9}\right)\end{cases}\end{array}\right.$

Vậy $(C): \left(x -\dfrac{34 - 4\sqrt{70}}{9}\right)^2 + \left(y -\dfrac{11+ 4\sqrt{70}}{9}\right)^2 = \dfrac{2869 - 184\sqrt{70}}{81}$

Hoặc $(C): \left(x -\dfrac{34 +4\sqrt{70}}{9}\right)^2 + \left(y -\dfrac{11- 4\sqrt{70}}{9}\right)^2 = \dfrac{2869 +184\sqrt{70}}{81}$