Vì elip có trục nhỏ bằng 10 nên $2b=10\Rightarrow b=5$
Vì elip có tâm sai là $\dfrac{12}{13}$ nên $\dfrac{c}{a}=\dfrac{12}{13}$
Ta có $b^2=a^2-c^2\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} a = 13\\ b = 12 \end{array} \right.$
Vậy phương trình elip trên là $\dfrac{{{x^2}}}{{169}} + \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = 1$