Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^4} + x\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:\,\,y = - \dfrac{1}{5}x\). A.\(y = 2x - 3\) B.\(y = 5x + 4\) C.\(y = 2x - 5\) D.\(y = 5x - 3\)
Phương pháp giải: - Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\): \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\). - Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hệ số góc bằng -1. - Giải phương trình tìm \({x_0}\), thay ngược lại \({x_0}\) vào phương trình tiếp tuyến. Giải chi tiết:TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(y' = 4{x^3} + 1\). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\): \(y = \left( {4x_0^3 + 1} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^4 + {x_0}\,\,\,\left( \Delta \right)\). Vì \(\Delta \bot d\) nên ta có: \(\left( {4x_0^3 + 1} \right).\left( { - \dfrac{1}{5}} \right) = - 1\) \( \Leftrightarrow 4x_0^3 + 1 = 5\) \( \Leftrightarrow {x_0} = 1\). Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = 5\left( {x - 1} \right) + 2\) \( \Leftrightarrow y = 5x - 3\). Chọn D.