Đáp án:
\[{\left( {x - \dfrac{{11}}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{7}{2}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{2}\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
I \in d \Rightarrow {x_I} - {y_I} - 2 = 0 \Leftrightarrow {x_I} = {y_I} + 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = a + 2\\
{y_I} = a
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {a + 2;a} \right)\\
A\left( {2;4} \right);\,\,\,B\left( {5;0} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AI} = \left( {a;\,a - 4} \right)\\
\overrightarrow {BI} = \left( {a - 3;\,a} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AI = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a - 4} \right)}^2}} \\
BI = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {a^2}}
\end{array} \right.\\
R = AI = BI\\
\Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {a - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {a^2}} \\
\Leftrightarrow {a^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {a^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a - 4 = a - 3\\
a - 4 = 3 - a
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \dfrac{7}{2} \Rightarrow I\left( {\dfrac{{11}}{2};\,\dfrac{7}{2}} \right)\\
\Rightarrow R = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a - 4} \right)}^2}} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)
Phương trình đường tròn cần tìm là:
\({\left( {x - \dfrac{{11}}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{7}{2}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{2}\)
