Đáp án:
a, `n=2^2020k-1`
b, Hai số nguyên trên không đồng thời là số chính phương
Giải thích các bước giải:
a, Ý tưởng:
`(2n+1)^3+1=2(n+1)(4n^2+2n+1)`
Dễ thấy `4n^2+2n+1` chia `2` dư `1`
Nên để `(2n+1)^3+1\vdots 2^2021` thì `(n+1)\vdots 2^2020`
`=>n+1=2^2020k` `(k\in ZZ^+)`
`=>n=2^2020k-1`
b, Ý tưởng
Dễ thấy `p` lẻ
`=>n+1\vdots p`
Mặt khác
`4n^2+2n+1=4(n+1)(n-1)+2(n+1)+3`
`=>3\vdots p`
`=>p=3`
Đến đây ta giả sử hai số nguyên đều là số chính phương thì tích của chúng cũng là một số chính phương
Hay `\frac{2n+2}{3}.\frac{4n^2+2n+1}{3}=a^2` `(a\in ZZ^+)`
`=>(2n+1)^3=9a^2-1`
`=>(2n+1)^3=(3a+1)(3a-1)`
Do `(3a+1,3a-1)=1`
`=>` Tồn tại `x,y` nguyên sao cho `xy=2n+1` và `x^3=3a+1;y^3=3a-1`, `(x,y)=1`
`=>(x-y)(x^2+xy+y^2)=2`
`=>x=-1;y=1`
`=>a=0` (vô lí)
`=>` Giả thiết sai
`=>` Đpcm
