Dễ thấy : $a^2 + 1 ≥ 2a$
Do đó BĐT cần chứng minh trở thành :
$\sum \dfrac{a}{2a+bc} ≤ 1$
$⇔ \sum \dfrac{2a}{2a+bc} ≤ 2$
$⇔ 3 - \sum \dfrac{bc}{2a+bc} ≤ 2$
$⇔ \sum \dfrac{bc}{2a+bc} ≥ 1$
Ta cần chứng minh BĐT trên đúng. Thật vậy, áp dụng BĐT Svacxo ta có :
$\sum \dfrac{(bc)^2}{2abc+(bc)^2} ≥ \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+6abc}$
$ = \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 + 2.(a+b+c).abc}$ ( do $ a+b+c=3$ )
$ = \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)^2} = 1$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Vậy BĐT được chính minh.
