Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số $a-1,b-1,c-1$ tồn tại ít nhất hai số cùng dấu.
Giả sử là $b-1$ và $c-1$ thì $a(b-1)(c-1)\geqslant 0\Rightarrow abc\geqslant ab+ac-a$
Xét $25(a^2+b^2+c^2)+54abc+36- 6(a+b+c)-49(ab+bc+ca)\geqslant 25(a^2+b^2+c^2)+54(ab+ac-a)+36- 6(a+b+c)-49(ab+bc+ca)=25(a^2+b^2+c^2)+5a(b+c)-49bc+36-60a-6(b+c)\geqslant 25a^2+\frac{25}{2}(b+c)^2+5a(b+c)-\frac{49}{4}(b+c)^2+36-60a-6(b+c)=(5a+\frac{b+c}{2})^2-2.6(5a+\frac{b+c}{2})+36=(5a+\frac{b+c}{2}-6)^2\geqslant 0$
Vậy $25(a^2+b^2+c^2)+54abc+36\geqslant 6(a+b+c)+49(ab+bc+ca)(đpcm)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=0;b=c=6$ và các hoán vị.
