Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số:
$\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}$
$\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c} \geq \dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}$
Cộng vế với vế:
$\dfrac{1+a}{1+a}+\dfrac{1+b}{1+b}+\dfrac{1+c}{1+c} \geq \dfrac{3+3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}$
$⇔3 \geq \dfrac{3+3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}$
$⇔1 \geq \dfrac{1+\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}$
Lập phương 2 vế:
$⇒1 \geq \dfrac{(1+\sqrt[3]{abc})^3}{(1+a)(1+b)(1+c)}$
$⇒(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
