Đáp án đúng:
Giải chi tiết:Biểu thức cần chứng minh tương đương với:
$3{{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{2}}+4\ge \frac{4}{abc}+\frac{3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{abc}+6\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)$
$\Leftrightarrow 3{{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{2}}+4\ge \frac{4}{abc}+\frac{3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{abc}$
$\Leftrightarrow 3{{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{2}}+4\ge \frac{31}{abc}$
Quy đồng và rút gọn ta đưa về chứng minh:
$3\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}} \right)+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\ge 13abc$
$\Leftrightarrow 3\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}-abc\left( a+b+c \right) \right)\ge 4abc\left( 1-abc \right)$
$\Leftrightarrow 81\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}-abc\left( a+b+c \right) \right)\ge 4abc\left[ {{\left( a+b+c \right)}^{3}}-27abc \right]$
Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$81{{c}^{2}}{{\left( a-b \right)}^{2}}+81ab\left( a-c \right)\left( b-c \right)\ge 4abc\left( a+b+7c \right){{\left( a-b \right)}^{2}}+4abc\left( 4a+4b+c \right)\left( a-c \right)\left( b-c \right)$
Với $a\le b\le c$, kết hợp $a+b+c=3$ ta dễ có $2$ đánh giá sau:
$81{{c}^{2}}\ge 4abc\left( a+b+7c \right);81ab\ge 4abc\left( 4a+4b+c \right)$
Kết hợp $\left( a-c \right)\left( b-c \right)\ge 0$, ta có điều phải chứng minh.
