Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:Trước hết ta chứng minh công thức \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)
\(\eqalign{ & VT = C_n^k + C_n^{k + 1} \cr & = {{n!} \over {k!\left( {n - k} \right)!}} + {{n!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k - 1} \right)!}} \cr & = {{n!} \over {k!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {{1 \over {n - k}} + {1 \over {k + 1}}} \right) \cr & = {{n!} \over {k!\left( {n - k - 1} \right)!}}.{{k + 1 + n - k} \over {\left( {n - k} \right)\left( {k + 1} \right)}} \cr & = {{n!\left( {n + 1} \right)} \over {k!\left( {k + 1} \right)\left( {n - k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)}} \cr & = {{\left( {n + 1} \right)!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}} = C_{n + 1}^{k + 1} = VP \cr} \)
Ta tính giá trị của biểu thức B sau đây:
\(\eqalign{ & B = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4} \cr & \,\,\,\,\, = C_n^k + C_n^{k - 1} + 3\left( {C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2}} \right) + 3\left( {C_n^{k - 2} + C_n^{k - 3}} \right) + C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4} \cr & \,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + 3C_{n + 1}^{k - 1} + 3C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3} \cr & \,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + C_{n + 1}^{k - 1} + 2\left( {C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 2}} \right) + C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3} \cr & \,\,\,\,\, = C_{n + 2}^k + 2C_{n + 2}^{k - 1} + C_{n + 2}^{k - 2} \cr & \,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 2} \cr & \,\,\,\,\, = C_{n + 3}^k + C_{n + 3}^{k - 1} \cr & \,\,\,\,\, = C_{n + 4}^k \cr & \Rightarrow A = B - C_{n + 4}^k + 1 = C_{n + 4}^k - C_{n + 4}^k + 1 = 1 \cr} \)
Chọn B.
