Ta có
$\dfrac{a^2+a+2}{\sqrt{a^2+a+1}} = \dfrac{a^2+a+1+1}{\sqrt{a^2+a+1}}$
$= \dfrac{a^2+a+1}{\sqrt{a^2+a+1}} + \dfrac{1}{\sqrt{a^2+a+1}}$
$= \sqrt{a^2+a+1} + \dfrac{1}{\sqrt{a^2+a+1}}$
Ta sẽ cminh rằng, với mọi giá trị $x > 0$, ta có bất đẳng thức sau:
$x + \dfrac{1}{x} \geq 2$.
Thật vậy, ta xét
$x + \dfrac{1}{x} \geq 2$
$<-> x^2 + 1 \geq 2x$
$<-> x^2 -2x + 1 \geq 0$
$<-> (x-1)^2 \geq 0$
Điều này đúng với mọi số dương $x$. Do đó đẳng thức đúng với mọi $x$.
Áp dụng vào đẳng thức đề bài cho ta có
$\sqrt{a^2+a+1} + \dfrac{1}{\sqrt{a^2+a+1}} \geq 2$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
$\sqrt{a^2 + a + 1} = \dfrac{1}{a^2 + a +1}$
<-> $a^2 + a + 1 = 1$
<-> $a^2 + a = 0$
Vậy $a = 0$ hoặc $a = -1$.
Vậy $\dfrac{a^2+a+2}{\sqrt{a^2+a+1}} \geq 2$ với mọi $a$.
