Ta có:
\(\begin{array}{l}y = {\left| x \right|^3} - mx + 5 = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - mx + 5\,neu\,x \ge 0\\ - {x^3} - mx + 5\,neu\,x < 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow y' = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - m\,neu\,x \ge 0\\ - 3{x^2} - m\,neu\,x < 0\end{array} \right.\\ + )Neu\,m = 0\,thi\,y' = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} \ge 0\,neu\,x \ge 0\\ - 3{x^2} < 0\,neu\,x < 0\end{array} \right.\end{array}\)
Do đó \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua \(x = 0\) nên hàm số có một điểm cực trị (điểm cực tiểu).
+) Nếu \(m > 0\) thì \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow 3{x^2} - m = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{m}{3}} \) (do \( - 3{x^2} - m < 0\) và \(y' = 3{x^2} - m\) khi \(x \ge 0\) nên ta loại nghiệm \(x = - \sqrt {\frac{m}{3}} \))
Khi đó đạo hàm \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm \(x = \sqrt {\frac{m}{3}} \) nên hàm số có một điểm cực trị duy nhất \(x = \sqrt {\frac{m}{3}} \).
+) Nếu \(m < 0\) thì \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow - 3{x^2} - m = 0 \Leftrightarrow x = - \sqrt {\frac{{ - m}}{3}} \) (do \(3{x^2} - m > 0\) và \(y' = - 3{x^2} - m\) khi \(x < 0\) nên ta loại nghiệm \(x = \sqrt {\frac{{ - m}}{3}} \))
Khi đó đạo hàm \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm \(x = - \sqrt {\frac{{ - m}}{3}} \) nên hàm số có một điểm cực trị duy nhất \(x = - \sqrt {\frac{{ - m}}{3}} \).
Vậy hàm số đã cho luôn có duy nhất \(1\) điểm cực trị (điểm cực tiểu).
