Đáp án:
$min=45$ khi
`(x;y)\in {({\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2);({\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2)}`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x+y=\sqrt{10}`
`=>(x+y)^2=10`
Ta có:
`\qquad (x^4+1)(y^4+1)`
`=x^4 y^4+x^4+y^4+1`
`=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+x^4y^4+1`
`=[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2+x^4y^4+1`
`=(10-2xy)^2-2x^2y^2+x^4y^4+1`
`=100-40xy+4x^2y^2-2x^2y^2+x^4y^4+1`
`=x^4y^4+2x^2y^2-40xy+101`
`=[(x^2y^2)^2-2.x^2y^2 .4+16]+10(x^2y^2-4xy+4)+45`
`=(x^2y^2-4)^2+10(xy-2)^2+45\ge 45` với mọi `xy`
Dấu "=" xảy ra khi:
$\quad \begin{cases}(x^2y^2-4)^2=0\\(xy-2)^2=0\\x+y=\sqrt{10}\end{cases}$
`=>`$\begin{cases}xy=2\\x+y=\sqrt{10}\end{cases}$
Theo định lý Viet đảo ta có `x;y` là nghiệm của phương trình sau:
`\qquad x^2-\sqrt{10}x+2=0` $(*)$
`∆=b^2-4ac=(-\sqrt{10})^2-4.1.2=2>0`
`=>`(*) có hai nghiệm phân biệt:
`\qquad x_1={-b+\sqrt{∆}}/{2a}={\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2`
`\qquad x_2={-b-\sqrt{∆}}/{2a}={\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2`
`=>(x;y)\in {({\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2);({\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2)}`
Vậy $min$ của `(x^4+1)(y^4+1)` bằng $45$ khi
`(x;y)\in {({\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2);({\sqrt{10}-\sqrt{2}}/2;{\sqrt{10}+\sqrt{2}}/2)}`
