Đáp án: $m=1$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$y=\dfrac{\sin x+\cos x+m}{\sin x-\cos x+3}$
$\to (\sin x-\cos x+3)y=\sin x+\cos x+m$
$\to y\sin x-y\cos x+3y=\sin x+\cos x+m$
$\to 3y+m=(y-1)\sin x-(y+1)\cos x$
$\to (3y+m)^2=((y-1)\sin x-(y+1)\cos x)^2$
$\to (3y+m)^2\le ((y-1)^2+(y+1)^2)(\sin^2x+\cos^2x)$
$\to (3y+m)^2\le (y-1)^2+(y+1)^2$
$\to (3y+m)^2\le 2(y^2+1)$
Vì hàm số đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac17$
$\to (3y+m)^2= 2(y^2+1)$ có nghiệm $y=\dfrac17$
$\to (3\cdot \dfrac17+m)^2= 2((\dfrac17)^2+1)$
$\to m\in\{1,-\dfrac{13}7\}$
Thử lại với $m=1$
$\to (3y+1)^2\le 2(y^2+1)$
$\to 7y^2+6y-1\le \:0$
$\to (y+1)(7y-1)\le 0$
$\to -1\le y\le\dfrac17$
$\to GTLN_y=\dfrac17$
Dấu = xảy ra khi $\dfrac{y-1}{\sin x}=\dfrac{-(y+1)}{\cos x}$
$\to \dfrac{\sin x}{\cos x}=-\dfrac{y+1}{y-1}=\dfrac43$
$\to \tan x=\dfrac43$
$\to x=\arctan\dfrac43+k\pi, k\in Z$
$\to m=1$ chọn
Thử lại với $m=-\dfrac{13}7$
$\to (3y-\dfrac{13}7)^2\le 2(y^2+1)$
$\to 343y^2-546y+71\le \:0$
$\to \left(7y-1\right)\left(49y-71\right)\le \:0$
$\to \dfrac{1}{7}\le \:y\le \dfrac{71}{49}$
$\to GTNN_y=\dfrac17$ loại
