Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$x + y + z = 3$. Áp dụng Hằng đẳng thức:
$: x³ + y³ + z³ = (x + y + z)³ - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz$
$ = 27 - 9(xy + yz + zx) + 3xyz$
$ = 27 - 9[xy + z(x + y)] + 3xyz$
$ = 27 - 9[xy + z(3 - z)] + 3xyz$
$ = 9 - 3xy(3 - z) + 9z² - 27z + 18$
$ = 9 - 3[xy(3 - z) + 3(z - 1)(2 - z)] (*)$
$ x; y; z $ có vai trò bình đẳng nên không mất
tính tổng quát có thể giả thiết $ 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 2$
$ x + y + z = 3 ⇒ 1 ≤ z ≤ 2 ⇒ (z - 1)(2 - z) ≥ 0; 3 - z > 0$
$ ⇒ xy(3 - z) + 3(z - 1)(2 - z) ≥ 0 $
Từ $(*) ⇒ x³ + y³ + z³ ≤ 9 $
Dấu $'='$ xảy ra khi $ xy(3 - z) = 3(z - 1)(2 - z) = 0
$ ⇔ xy = (z - 1)(2 - z) = 0 ⇔ x = 0; z = 2; y = 1$
hoặc $ y = 0; z = 2; x = 1$
