29 bài toán hình lăng trụ xiên – Trần Đình Cư

Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 1 HÌNH LĂNG TRỤ XIÊN Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC a 3, BC 3a , 0 ACB 30 . Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 0 60 và mặt phẳng A'BC vuông góc với mặt phẳng ABC . Điểm H trên cạnh BC sao cho HC 3BH và mặt phẳng A'AH vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng A'AC Giải A'BC ABC A'AH ABC A'H ABC A'H A'BC A'AH      Suy ra 0 A'AH 60 2 2 2 0 2 0 23 ABC.A'B'C' ABC AH AC HC 2AC.HC.cos30 a AH a A'H AH.tan60 a 3 3a 3 9a V S .A'H .a 3 44 Vì 2 2 2 AH AC HC HA AC AA' AC   2 A'AC 3 A'ABC 2 A'AC 11 S AC.A'A a 3.2a a 3 22 9 a 3V 3 3a 4 d B; A'AC S4 a3 Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, Δ A B C đều có cạnh bằng a, AA' a và đỉnh A’ cách đều A, B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A’B. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AMN) Giải Gọi O là tâm tam giác đều ABC A'O ABC  Ta có a 3 2 a 3 AM , AO AM 2 3 3 2 2 2 2 a a 6 A'O AA' AO a 33 ; 2 ΔA B C a3 S 4 Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’: 23 Δ A B C a 3 a 6 a 2 V S .A'O . 4 3 4 Ta có: NAMC Δ A M C 1 V S .d N, ABC 3 NAMC Δ A M C 3V d N, ABC S 2 2 2 AMC ABC NAMC 1 a 3 1 a 6 1 a 3 a 6 a 2 S S ;d N, ABC A'O V . . 2 8 2 6 3 8 6 48 Lại có: a3 AM AN 2 , nên Δ A M N cân tại A. C' B' B C A A' H E N O M C' A' A C B B'Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 2 Gọi E là trung điểm của MN, suy ra A'C a AE MN, MN 22  2 2 2 22 AMN 2 3a a a 11 1 a 11 AE AN NE ;S MN.AE 4 16 4 2 16 3a 2 a 11 a 22 d C, AMN : ( đv đd) 48 16 11 Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 0 AB a,ACB 30 ; M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 0 60 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm C’ đến mặt phẳng (BMB’) Giải A'H ABC A'H  là đường cao của hình lăng trụ. AH là hình chiếu vuông góc của A A’ lên (ABC) 0 A'AH 60 ABC.A'B'C' ABC 2 ABC 23 ABC.A'B'C' A.BMB' BMB' 3 A.BMB' B'.AMB6 ABC.A'B'C' V A'H.S a 3 3a AC 2a, MA MB AB a AH A'H 22 1 1 a 3 S BA.BC a.a 3 2 2 2 3a a 3 3a 3 V. 2 2 4 3V d C', BMB' d C, BMB' d A, BMB' S 1 a 3 V V V 68 Do BM AHA'  nên BM AA' BM BB' Δ B M B '   vuông tại B 2 BMB' 1 1 a 3 S BB'.BM a 3.a 2 2 2 . Suy ra 32 3a 3 a 2 3a d C', BMB' : 8 2 4 (Cách 2: 0 a 3 3a d A, BMB' AE AH.sinAHE .sin60 24 ) Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 0 60 . Gọi M là trung điểm cạnh BC và I là trung điểm của AM. Biết rằng hình chiếu của điểm I lên mặt đáy A’B’C’ là trọng tâm G của ΔA ' B ' C ' . Tính thể tích khối lăng trụ đó. Giải Gọi M’ là trung điểm của B’C’; K A'M' sao cho A'K KG GM' Kẻ AH A'M'; H A'M'  . Ta có AHGI là hình bình hành nên IG AH Hơn nữa AM' A'M' , I là trung điểm của AM, G là trọng tâm của Δ A ' B ' C' nên H là trung điểm của A’K 1 A'H A'M' 6 P Q B' C' H M A C B A' E K H M B C G M' A' C' B' A ILớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 3 Ta có: 2 A'B'C' a 3 a 3 a 3 S ; A'M' A'H 4 2 12 0 a 3 a AH A'H.tan60 . 3 12 4 . Từ đó: 23 ABC.A'B'C' A'B'C' a a 3 a 3 V AH.S . 4 4 16 Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có a 10 AB 2a, AC a, AA' 2 , 0 BAC 120 . Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a và tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC’A’). Giải Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra C'H ABC  . Trong Δ A B C ta có: 2 0 ABC 2 2 2 0 2 22 1 a 3 S AB.AC.sin120 22 BC AC AB 2AC.AB.cos120 7a a7 BC a 7 CH 2 a3 C'H C'C CH 2 Suy ra thể tích lăng trụ 3 ABC 3a V C'H.S 4 Hạ HK AC  . Vì C'H ABC  đường xiên C'K AC  ABC , ACC'A' C'KH (1) ( Δ C ' H K vuông tại H nên 0 C'KH 90 ) Trong Δ H A C ta có HAC ABC 2S S a3 HK AC AC 2 0 C'H tanC'KH 1 C'KH 45 HK (2) Từ (1) và (2) suy ra 0 ABC , ACC'A' 45 Ghi chú: Có thể tính độ dài AH và suy ra Δ H A C vuông tại A để suy ra KA  ) Bài 6. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng ABCD là trung điểm I của cạnh AB. Biết A’C tạo với mặt phẳng đáy một góc α với 2 tan α 5 . Tính theo a thể tích khối chóp A’.ICD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (A’AC) Giải Theo bài ra ta có IC là hình chiếu vuông góc của A’C trên mặt phẳng (ABCD). Suy ra A'C, ABCD A'C,CI A'CI α Xét ta giác vuông A’IC: a 5 2 A'I IC.tanA'CI IC.tan α . a 2 5 Thể tích khối chóp A’.ICD là: 23 A'.ICD Δ I CD 1 1 a a V A'I.S a. 3 3 2 6 (đvtt) A' B' H C B A C' K K C' D' B' C I B D A A' HLớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 4 Ta có BI A'AC A  và I là trung điểm AB nên d B; A'AC 2d I; A'AC Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ IK//BD IK AC  , mà A'I AC  (do A'I ABCD  ) nên AC A'IK  . Kẻ IH A'K IH A'AC   d I; A'AC IH Xét tam giác vuông A’IK có BD a 2 A'I a, IK 44 2 2 2 2 2 2 1 1 1 8 1 9 a IH 3 IH IK IA' a a a Suy ra 2a d B; A'AC 3 Bài 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có mặt bên AA’D’D là hình thoi cạnh bằng a nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) và cách BC một khoảng bằng a 2 . Biết cạnh AA’ hợp với mặt đáy (ABCD) một góc bằng 0 60 . Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Giải Ta có: AA'D'D ABCD  theo giao tuyến AD (1) Vẽ A'H AD  và BK AD; H,K AD  (2) Từ (1) và (2) A'H ABCD  và BK AA'D'D  A'H d A'B'C'D' , ABCD và BK d B, AA'D'D a d BC, AA'D'D 2 (vì BC// AA'D'D ) Vì A'H ABCD  nên góc hợp bởi AA’ và (ABCD) là 0 A'AH 60 Tam giác A’AH vuông tại H 0 a3 A'H AA'sinA'AH asin60 2 Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: 3 ABCD a a 3 a 3 V S .A'H AD.BK.A'H a. . 2 2 4 Bài 8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD 2a . Biết tam giác A’AB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng hợp với đáy (ABCD) một góc bằng α . Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a và α . Giải Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, ta có:    MN AB (vì MN laø ñöôøng trung bình cuûa hình chöõ nhaät ABCD) A'M AB (vì tam giaùc A'AB laø tam giaùc ñeàu) α A'MN (góc hợp bởi (A’AB) và đáy (ABCD)) Ta cũng có AB A'MN  (vì AB MN  và AB A'M  ) 60 0 D' C' A' D B C B' A H K α D' C' A' D B C B' ALớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 5 ABCD A'MN  theo giao tuyến MN (1) Vẽ A'H MN,H MN  (2) Từ (1) và (2) A'H ABCD  A'H d A'B'C'D' , ABCD Tam giác A’AB là tam giác đều có cạnh AB a a3 A'M 2 Tam giác A’HM vuông tại H α a3 A'H A'MsinA'MH sin 2 Vậy thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: αα 3 ABCD a3 V S .A'H AB.AD.A'H a.2a. sin a 3sin 2 Bài 9. Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuông góc chung của chúng. Biết rằng AC h,AB a,CD b và góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 0 60 . Hãy tính thể tích của tứ diện ABCD. Giải Dựng hình lăng trụ ABE.FDC (BE song song và bằng DC, DF song song và bằng AB) Ta có: AC AB gt AC CD gt CD//BE AC BE     AC ABE  AC h là chiều cao của hình chóp C.ABE. Tam giác ABE có AB a,BE CD b và 0 ABE AB,CD 60 Δ 0 ABE 1 1 ab 3 S AB.BE.sinABE a.b.sin60 2 2 4 Ta có ABCD C.ABD C.AFD A.CDF C.ABE V V V V V ΔABE 1 1 ab 3 abh 3 S .CA . .h 3 3 4 12 Chú ý: ABCD ABE.FDC 1 VV 3 Bài 10. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a, αα 00 A'AB BAD A'AD 0 90 . Hãy tính thể tích của khối hộp. Giải Ta có ΔΔ AA'B AA'D (vì có cạnh chung là AA’, α A'AB A'AD và AB AD a ) A'B A'D Vẽ A'H AC H AC  (1) Tam giác A’BD cân tại A’ (do A'B A'D ) BD A'O  (O là trung điểm của BD, O cũng là tâm của hình thoi ABCD) Ta còn có BD AC  b a h 60 0 60 0 A B C D F E φ α K O C' D' B' C A D A' B HLớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 6 BD A'AO BD A'H 2   Từ (1) và (2) A'H ABCD  Đặt φ A'AO Vẽ A'K AD K AD  HK AK  (định lý ba đường vuông góc) Ta có: φ AH cos AA' (tam giác vuông AA’H) α AK cos AA' (tam giác vuông AA’K) và α AK cos 2 AH (tam giác AHK vuông tại K và α BAD HAK 22 ) αα φ α φ α AH AK AK cos cos .cos . cos cos 2 AA' AH AA' cos 2 Tam giác AA’H vuông tại H và có φ A'AH nên 2 2 2 2 2 2 2 2 ABCD.A'B'C'D' ABCD 2 2 2 3 2 2 cos α a α A'H AA'.sin φ a sin φ a 1 c os φ a 1 c os c os α αα 2 cos cos 22 a α V S .A'H AB.AD.sinBAD.A'H a sin α . c os c os α α 2 cos 2 α α a α α α a .2sin .cos . cos cos α 2a sin c os c os α α 2 2 2 2 2 cos 2 Bài 11. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB 3 , AD 7 . Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 0 45 và 0 60 . Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1. Giải Vẽ A'H ABCD H ABCD , HM AD M AD , HK AB K AB    Theo định lý ba đường vuông góc, ta có: AD A'M, AB A'K  00 A'MH 60 ,A'KH 45 Đặt A'H x M K C' D' B' C A D A' B H B A D C H K MLớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 7 Tam giác A’HM vuông tại H và có 0 A'MH 60 nên 0 A'H 2x A'M 3 sin60 Tam giác A’AM vuông tại M nên 22 22 4a 3 4x AM AA' A'M 1 33 (1) AKHM là hình chữ nhật và tam giác A’AH vuông tại H nên AM HK và HK A'H.cotA'KH 0 AM HK x.cot45 x (2) Từ (1) và (2) 2 3 4x 3 xx 37 hay 3 A'H 7 Vậy ABCD.A'B'C'D' ABCD 3 V S .A'H AB.AD.A'H 7. 3. 3 7 Bài 12. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ mà mặt bên ABB’A’ có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh CC’ và mặt (ABB’A’) bằng 7. Hãy tính thể tích khối lăng trụ. Giải Dựng khối hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có: ABC.A'B'C' ABCD.A'B'C'D' 1 VV 2 Xem khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là khối lăng trụ có hai đáy là ABB’A’ và DCC’D’. Vậy ABCD.A'B'C'D' ABB'A' V S .h trong đó h d CDD'C' , ABB'A' d CC', ABB'A' 7 và ABB'A' S4 ABC.A'B'C' 1 V .4.7 14 2 Bài 13. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền bằng AB 2 . Cho biết mặt phẳng (AA’B) vuông góc với với mặt phẳng (ABC), AA' 3 , góc A'AB nhọn, góc giữa hai mặt phẳng (A’AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 0 60 . Giải AA'B ABC  theo giao tuyến AB (1) Vẽ A'K AB  (với K AB ) (2) Từ (1) và (2) A'K ABC  Góc A'AB nhọn nên K thuộc tia AB. Vẽ KM AC M AC  A'M AC  (định lý ba đường vuông góc) Góc giữa hai mặt phẳng (A’AC) và (ABC) là 0 A'MK 60 Đặt A'K x , ta có: D' C' A' D B C B' A 3 2 C' B' A B C A' K MLớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 8 2 2 2 2 0 2 0 AK A'A A'K 3 x 2 MK AKsinKAM 3 x .sin45 . 3 x 3 2 x MK A'KcotA'MK A'K.cot60 4 3  Từ (3) và (4) 2 2. 3 x x 2 3 3 x 5 hay 3 A'K 5 Tam giác ABC vuông cân với cạnh huyền AB 2 nên AC CB 1 . Vậy ABC.A'B'C' ABC 1 1 3 3 5 V S .A'K AC.CB.A'K .1.1. 2 2 10 5 Bài 14. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD b , cạnh bên AA’ hợp với mặt đáy (ABCD) một góc bằng 0 60 , mặt bên AA’D’D là hình thoi có góc A’AD nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) a. Tính thể tích của khối tứ diện ACDD’ b. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AA’ và CD. Giải a. Ta có AA'D'D ABCD  theo giao tuyến AD (1) Vẽ A'H AD, H AD  (2) Từ (1) và (2) A'H ABCD  Góc hợp bởi AA’ và (ABCD) là 0 A'AH 60 Tam giác AA’H vuông tại H, AA' AD b (AA’D’D là hình thoi) và 0 A'AH 60 b3 A'H 2 Ta có: A'CDD' A'.CDD' A'.CC'D' A'.CC'D'D 1 V V V V 2 ACD.A'C'D' A'.ACD ACD.A'C'D' ACD.A'C'D' ACD.A'C'D' ABCD.A'B'C'D' ABCD 1 1 1 V V V V 2 2 3 1 1 1 1 1 1 b 3 V . V S .A'H AB.AD.A'H ab. 3 3 2 6 6 6 2 hay 2 A'CDD' ab 3 V 12 Chú ý: ta có thể tính ABCD.A'B'C'D' V bằng cách khác. Ta có AA'D'D ABCD  theo giao tuyến AD và AB AD  60 0 D' C' A' D B C B' A H KLớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 9 2 0 ABCD.A'B'C'D' AA'D'D AB AA'D'D ab 3 V S .AB AD.AA'.sinA'AD.AB a.b.b.sin60 2  b. Ta có AA'D'D ABCD  theo giao tuyến AD và CD AD  CD AA'D'D  (1) Trong mặt phẳng (AA’D’D), vẽ DK AA', K AA'  (2) Từ (1) và (2) DK là đoạn vuông góc chung của AA’ và CD. Tính DK: AA’D’D là hình thoi có cạnh bằng b và 0 A'AD 60 Tam giác AA’D là tam giác đều có cạnh bằng b b3 DK 2 Bài 15. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh a, các góc 0 BAA' BAD DAA' 60 . Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a. Giải Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu của A’ lên (ABCD), AB, AD. Ta có: A'H AB AB A'HI A'I AB AB HI      Tương tự: HJ AD  . Hai tam giác vuông A’AI và A’AJ có AA’ chung và 0 A'AI A'AJ 60 Δ A ' A I Δ A ' A J , 0 a AI AJ AA'cos60 HI HJ 2 Vậy H cách đều AB và AD nên nằm trên đường phân giác của góc BAD H AC Ta có: 22 2 2 2 0 a AI a a 2a 2 AH ; A'H AA' AH a 33 33 cos30 2 2 0 ABCD 2 a 3 A'H a S AB.AD.sin60 32 23 ABCD.A'B'C'D' ABCD 2 a 3 a 2 V A'H.S a . 3 2 2 (đvtt) Bài 16. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a, BC 2a . Mặt bên ABB’A’ là hình thoi, mặt bên BCC’B’ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc bằng α . 1. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC’B’). Xác định góc α . 2. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Giải 1. Tính d A, BCC'B' . Xác định α . C' B' D' C A B A' D H I JLớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 10 Dựng AH BC H BC  BCC'B' ABC BCC'B' ABC BC AH ABC , AH BC AH BCC'B'      Dựng HE BB' E BB'  ta có: BB' AH BB' AHE BB' HE ABB'A' BCC'B' BB' AHE BB' AHE ABB'A' AE AHE BCC'B' HE ABB'A' , BCC'B' AE,HE          Mặt khác tam giác AHE vuông tại H (do AH HE  ) nên AEH là góc nhọn. Do đó ABB'A' , BCC'B' AE,HE AEH α 2. Tính ABC.A'B'C' V Trong tam giác vuông ABC: 22 AC BC AB a 3 2 22 2 AB.AC a 3 a 3 AH.BC AB.AC AH BC 2a 2 AB a a AB BH.BC BH BC 2a 2 Trong tam giác vuông AHE: a3 HE AHcotAEH .cot α 2 Tứ giác ABB’A’ là hình thoi AABB' AB a Gọi O là hình chiếu vuông góc của B’ lên BC thì B'O ABC  (chứng minh tương tự như chứng minh AH BCC'B'  ) Hai tam giác vuông BEH và BOB’ có chung góc nhọn B nên chúng đồng dạng. Suy ra 2 a3 cot α B'O BB' EH.BB' 2 B'O a 3cot α a EH BH BH 2 Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 3 ABC 1 1 3a cot α V S .B'O AB.AC.B'O a.a 3.a 3cota 2 2 2 Bài 17. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và 7 A'A A'B A'C a 12 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a và góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) Giải 2a a A' C' B C A B' O H ELớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 11 Gọi H là hình chiếu của A trên (ABC) Vì A'A A'B A'C nên HA HB HC , suy ra H là tâm của tam giác đều ABC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AB. 22 22 22 7a a a A'J AA' AJ 12 4 3 1 1 a 3 a 3 HJ CJ . 3 3 2 6 a A'H A'J HJ 2 Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: 23 Δ A B C a a 3 a 3 V A'H.S . 2 4 8 Vì A'J AB A'JC AB A'JC CJ AB     chính là góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC). Khi đó 0 a A'H 2 tanA'JC 3 A'JC 60 JH a3 6 Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) bằng 0 60 . Bài 18. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’. Giải Gọi H là trung điểm của BC A'H ABC  và 22 11 AH BC a 3a a 22 Do đó: 2 2 2 2 A'H A'A AH 3a A'H a 3 Vậy 3 A'.ABC ΔA BC 1a V A'H.S 33 (đvtt) Trong tam giác vuông A’B’H có 22 HB' A'B' A'H 2a nên tam giác B’BH là cân tại B’. Đặt φ là góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ thì φ B ' B H Vậy a1 cos φ 2.2a 4 Bài 19. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 0 60 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a. I H J A' C' B C A B' a 2a a 3 H A' C' B C A B'Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 12 Giải Gọi O AC BD  , I là trung điểm của cạnh AD. Ta có AD AOI  0 A'IO ADD'A' , ABCD 60 Vì a OI 2 nên ta suy ra A'I 2OI a 0 a3 A'O OI.tan60 2 Do đó ABCD.A'B'C'D' ABCD V A'O.S 3 a 3 3a a.a 3. 22 Do B'C A'D B'C A'BD d B', A'BD d C, A'BD CH ∥∥ trong đó CH là đường cao của tam giác vuông BCD. Ta có 22 CD.CB a 3 CH 2 CD CB . Vậy a3 d B', A'BD 2 Bài 20. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân AB AC a , 0 BAC 120 và AB’ vuông góc với đáy (A’B’C’). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CC’ và A’B’, mặt phẳng (AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 0 30 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và C’N. Giải Ta có: 2 2 2 2 BC AB AC 2AB.ACcosA 3a BC a 3 Gọi K là hình chiếu của B’ lên A’C’, suy ra A'C' AB'K  Do đó: 0 AKB' A'B'C' , AA'C' 30 Trong tam giác A’KB’ có 0 KA'B' 60 , A'B' a nên 0 a3 B'K A'B'sin60 2 Suy ra 0 a AB' B'K.tan30 2 Thể tích khối lăng trụ: 3 Δ A B C a3 V AB'.S 8 Gọi E là trung điểm của AB’, suy ra ME C'N ∥ nên C'N,AM EM,AM Vì AB' C'N AE EM C'N,AM AME   2 2 2 22 2 C'B' C'A' A'B' 1 a a 7 AE AB' ; EM C'N EM 2 4 4 2 2 2 2 2 29a a 29 AM AE EM AM 16 4 Vậy ME 7 cosAME 2 MA 29 60 0 I O C' B' D' C A B A' D H E N M A' C' B C A B' KLớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 13 Bài 21. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 0 30 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đoạn thẳng B’C’. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ theo a. Giải Ta có A’H là hình chiếu của AA’ lên mặt phẳng (A’B’C’) nên 0 AA'H 30 Xét tam giác vuông AHA’ ta có: 0 0 a AH AA'sin30 , 2 a3 A'H AA'cos30 2 Mà tam giác A’B’C’ đều nên H là trung điểm của B’C’. Thể tích của khối lăng trụ là: 23 Δ A B C a a 3 a 3 V AH.S . 2 4 8 Vẽ đường cao HK của tam giác AHA’ Ta có B'C' AHA'  nên B'C' HK  Suy ra AH.A'H a 3 d AA',B'C' HK AA' 4 Bài 22. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, 0 AB AC a,BAC 120 , hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích của khối lăng trụ biết cạnh bên AA' 2a . Giải Gọi H là tâm của đáy, M là trung điểm của cạnh BC, SH ABC  0 a3 AM ABsin60 BC a 3 2 Áp dụng định lý sin ta có: 0 22 BC HA R a, 2sin120 A'H A'A AH a 3 2 0 Δ A B C 1 a 3 S AB.ACsin120 24 Vậy 3 ABC.A'B'C' ΔA BC 3a V A'H.S 4 Bài 23. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB' a , góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 0 60 , tam giác ABC vuông tại C và 0 BAC 60 . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC. Giải Gọi D là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ABC 30 0 H B C A' C' B' A K M A' C' B C A B' HLớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 14 0 B'G ABC B'BG 60 a3 B'G BB'sinB'BG ; 2 a 3a BG BD 24  Trong Δ A B C ta có: AB 3 BC 2 , AB AB AC CD 24 2 2 2 2 2 2 2 Δ A B C 3AB AB 9a BC BD BD 4 16 16 3a 13 3a 13 9a 3 AB , AC ,S 13 26 104 Thể tích khối tứ diện A’.ABC là: 3 A'.ABC Δ A B C 1 9a V B'G.S 3 208 Bài 24. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng a3 và hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đó. Giải Gọi H là trung điểm của cạnh BC A'H ABC  Tam giác vuông A’HA: 2 2 2 2 3a 3a AH A'A AH 3a 42 2 ΔA B C a3 S 4 nên ABC.A'B'C' Δ A B C V A'H.S 23 3a a 3 3a 3 . 2 4 8 Bài 25. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu của đỉnh C trên mặt phẳng (ABB’A’) là tâm của hình bình hành ABB’A’. Tính thể tích của khối lăng trụ. Giải Gọi O là tâm hình bình hành ABB’A’. Ta có CO ABB'A'  . Vì CA CB nên OA OB , suy ra hình thoi ABB’A’ là hình vuông. Do đó AB a OA 22 . Suy ra: 2 2 2 2 a OC AC AO 2 a OC 2 Vậy thể tích của khối chóp: 3 C.ABA' ABA' 1 a 2 V CO.S 3 12 Mà ABC.A'B'C' C.ABA' V 3V nên thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: 3 ABC.A'B'C' a2 V 4 60 0 G D A' C' B C A B' H B' C' A C B A' O B' C' A C B A'Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 15 Bài 26. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a, 0 BAD 60 , 0 BAA' 90 , 0 DAA' 120 . Tính thể tích khối hộp. Giải Từ giả thiết ta tính được BD a , A'B a 2 , A'D a 3 nên tam giác A’BD vuông tại B. Vì AB AD AA' nên hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’BD) trung với tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD (do tam giác đó vuông nên H là trung điểm của A’D) Ta có 0 a AH AA'cos60 2 , 2 A'BD 1 a 2 S BA'.BD 22 , do đó thể tích khối tứ diện A’.ABD là 3 A'.ABD a2 V 12 . Ta đã biết ABCD.A'B'C'D' A'.ABD V 6V nên 3 ABCD.A'B'C'D' a2 V 2 Bài 27. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc 0 A 60 . Chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của hai đường chéo của đáy ABCD. Cho BB' a . 1. Tính góc giữa cạnh bên và đáy. 2. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp. Giải 1. Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy. Gọi O AC BD  . Theo giả thiết ta có B'O ABCD    B'B ABCD B B'O ABCD , O ABCD    Hình chiếu B’B trên (ABCD) là OB B'B, ABCD B'B,BO B'BO Tam giác ABD có AB AD a , 0 BAD 60 Δ A B D là tam giác đều a OB 2 Trong tam giác vuông B’OB: 0 a OB 1 2 cosB'OB B'OB 60 BB' a 2 . Vậy góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là 0 60 . 2. Tính ABCD.A'B'C'D' V 2 20 ABCD.A'B'C'D' ABCD ABCD a3 V S .B'O;S AB.AD.sinBAD a sin60 2 H C' B' D' C A B A' D O C' B' D' C A B A' D H KLớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 16 Trong tam giác vuông B’OB: 0 a3 B'O BB'sin60 2 . Suy ra 3 ABCD.A'B'C'D' 3a V 4 Tính xq S của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Vì hai mặt đối diện của hình hộp là hai hình bình hành bằng nhau, do đó xq ABB'A' BCC'B' S 2 S S Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên các cạnh BC và B. Theo tính chất của hình thoi ta có OH OK Hai tam giác vuông B’OH và B’OK (vuông tại O) có cạnh B’O chung, OH OK nên chúng bằng nhau. BCC'B' ABB'A' B'H B'K S B'H.BC B'K.AB S Trong tam giác vuông AKO: 0 a 3 a 3 OK AOsinOAK .sin30 24 Trong tam giác vuông B’OK: 22 2 2 2 2 2 2 2 2 ABB'A' xq ABB'A' a 3 a 3 3a 3a 15a B'K B'O OK 2 4 4 16 16 a 15 a 15 B'K S B'K.AB S 4S a 15 44             Bài 28. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cho 0 BAA' 45 1. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho. 2. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Giải 1. Tính ABC.A'B'C' V Gọi E là trung điểm của AB, ta có: OE AB A'O AB do A'O ABC AB A'OE AB A'E      Tam giác vuông A’EA có 0 A 45 nên là tam giác vuông cân tại E Suy ra a a 2 A'E EA , AA' 22 Tam giác vuông A’OE (vuông tại O) có: 2 2 2 2 2 2 2 2 a 1 a 3 a 3a 6a a 6 A'O A'E OE . A'O 4 3 2 4 36 36 6 Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’: 23 ABC a 3 a 6 a 2 V S .A'O . 4 6 8 2. Tính xq S của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ 2 ABB'A' a S AB.A'E 2 F O E B' C' A C B A'Lớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 17 Gọi F là trung điểm của AC: AC A'O AC A'OF AC A'F AC OF      ACC'A' S AC.A'F Hai tam giác vuông A’OE và A’OF có A’O là cạnh chung, OE OF nên chúng bằng nhau 2 ACC'A' a A'F A'E S 2 BC A'O BC A'OA BC AA' BC BB' BC AO       Mặt khác theo tính chất của hình lăng trụ thì BCC’B’ là hình bình hành, lại có BC BB'  nên BCC’B’ là hình chữ nhật, suy ra: 2 BCC'B' a 2 a 2 S BB'.BC AA'.BC .a 22 Vậy diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là: 2 2 2 xq ABB'A' ACC'A' BCC'B' a 2 2 a2 S S S S a 22 Bài 29. Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD có BD a không đổi và 0 BAD DCB 90 ,ABD α , C B D β . Mặt phẳng (AA’C’C) là hình thoi, vuông góc với đáy và 0 A'AC 60 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và tìm α , β để thể tích đó lớn nhất. Giải Tam giác vuông ABD có ABD α nên AB acos α , AD asin α , suy ra diện tích của tam giác ABD là 2 ABD 11 S AB.AD a sin2 α 24 Tương tự ta có 2 CBD 1 S a sin2 β 4 Diện tích đáy của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là: ABCD ABD CBD 2 2 S S S 1 a sin2 α si n 2 β 4 1 a sin α β c os α β 2 Vì AA'C'C A'B'C'D'  nên hạ CH A'C'  thì CH là đường cao của lăng trụ. Mặt khác AA’C’C là hình thoi có 0 A'AC 60 do đó 0 CC'A' 60 Nên 0 3 CH CC'sin60 AC 2 Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác ABC ta có: β α 60 0 C' B' D' C A B A' D HLớp Toán Thầy Cư-TP Huế. SĐT: 01234332133. Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15. Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 18 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AC AB BC 2AB.BC.cosB a cos α c os β 2 c os α c os β c os α β a 1 cos α β c os α β 2 c os α c os β c os α β a 1 cos α β c os α β 2 c os α c os β a 1 cos α β a si n α β AC asin αβ         Do đó 3 CH asin αβ 2 , nên thể tích cần tìm là: 2 ABCD 3 2 13 V S .CH a sin α β c os α β . a sin α β 22 3a sin α β c os α β 4 Tìm giá trị lớn nhất của V: Ta có 2 0 sin α β 1 cos α β 1     nên 2 sin α β c o s α β 1  , do đó: 3 3a V 4  . Dấu đẳng thức xảy ra khi 0 α β 4 5 . Vậy giá trị lớn nhất của V là 3 3a 4 đạt được khi 0 α β 4 5 . THẦY CHÚC CÁC EM HỌC SINH 12 ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG KỲ THI SẮP TỚI