40 bài hình học nâng cao lớp 8 - chương III

Các bài tập hình học rất khó lớp 8- chương III

Bài số 1: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Gọi M là trung điểm

của AH và N là trung điểm của AC. Đường thẳng

qua M vuông góc với BM cắt AC tại E.

1/ Chứng minh: A là trung điểm của EN

2/ BN cắt AH tại P, BM cắt AC tại Q.

Chứng minh: góc AHQ = góc ACP

3/ Cho AB=15cm, AC=20cm. Tính diện tích

tam giác EPC

Bài số 2: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Tia phân giác

của góc ABC cắt AH tại M và cắt AC tại N.

Vẽ HP vuông góc với BM tại P, BQ vuông góc

với HN tại Q

1/ Chứng minh: 3 điểm A,P,Q thẳng hàng

2/ Cho biết MH=6cm, AM=10cm. Tính

a/ Diện tích tam giác MNH

b/ Diện tích tam giác MCQ

Bài số 3: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Tia

phân giác của góc ABC cắt AH tại M

và cắt AC tại N

1/ Chứng minh: BMBN=AHAC

2/ Qua A kẻ đường thẳng song song với BC

cắt BN tại D. Gọi O là trung điểm của MN

Chứng minh: OAOC=HBHD

3/ Đường thẳng qua M vuông góc với AH cắt AB

tại P. Đường thẳng qua M vuông góc với BN cắt

AC tại Q. Chứng minh:DP vuông góc với HQ

Bài số 4: Cho hình chữ nhật ABCD

(AD

AC tại H, BH cắt CD tại E. Kẻ BK vuông

góc với AE tại K, BK cắt AC tại O

1/ Chứng minh: BH.BE=CH.CA

2/ Chứng minh: 1CH=1CO+1CA

3/ Cho OB=13cm, OK=5513 cm, OHOA=511

.Tính độ dài đoạn thẳng DE

4/ Chứng minh: CK.DH=AD2

Bài số 5: Cho ∆ABC (AB

phân giác trong (D thuộc BC). Dựng hình bình

hành ABDE, AC cắt BE tại I và cắt DE tại F

1/ Cho S∆DIES∆ABD=27 (S là diện tích),

EF=8cm. Tính AB và AC

2/ Cho S∆EFCS∆AID=75 .Tính tỷ số S∆AIESBIFD

3/ Cho AD cắt BE tại S, SF cắt DI tại O.

Đặt S∆EFCS∆AID =a. Tính tỷ số S∆BOCS∆AOE theo a

Bài số 6: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Tia phân giác

của góc ABC cắt AH tại M và cắt AC tại N.

Kẻ CK vuông góc với BN tại K

1/ Chứng minh: Tam giác CKA cân

2/ Tia phân giác của góc HAC cắt BC tại

E. Chứng minh: MH2NE2=AH.ABBC.AC

3/ Đường thẳng qua K vuông góc với MC

cắt BC tại S.Chứng minh:

CE2=2CS.CH-MN.BK

Bài số 7: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Vẽ HK vuông

góc với AB tại K

1/ Chứng minh: 1HK2=1HB2+1AB2+1AC2

2/ Trên đoạn thẳng HC lấy điểm E sao cho AH=EH.

Từ e kẻ đường thẳng song song với AB cắt aC

tại D. Chứng minh: DCDA=(AH-BH)(AH+BH)BH2

3/ HD cắt AE tại O, kẻ OI vuông góc với AH tại

I .Trên tia đối tia AC lấy điểm S sao cho CD=AS.

Chứng minh: IK vuông góc với BS

Bài số 8: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Trên đoạn

thẳng AC lấy điểm M sao cho AM=AH.

Kẻ AK vuông góc với BM tại K

1/ Chứng minh: MK.MB=HB.HC

2/ CK cắt MH tại I. Chứng minh:

CM.CA=CI.CK

3/ AI cắt BC tại S. Vẽ ME vuông góc với

AH tại E. Chứng minh: 3 điểm S,K,E thẳng hàng

Bài số 9: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn(AB

có đường trung tuyến AM(M thuộc BC). Tia

phân giác của góc AMB cắt AB tại D. Tia phân

giác của góc AMC cắt AC tại E

1/ Chứng minh: DE//BC.

2/ Cho S∆MDES∆ABC=49 , (S là diện tích).

Tính tỷ số AMDE

3/ Gọi I là trung điểm của MC, AI cắt

DM tại S. Vẫn sử dụng số liệu câu 2. Tính tỷ số S∆BESS∆ABC

Bài số 10: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

1/ Chứng minh AB.EC-AH.EH=HB.HC

2/ Chứng minh: AK.HK.AH.BC=HK2.HC2+HB2.AK2

3/ Đường thẳng qua A song song với BC cắt EC tại D, HD cắt AC tại I. Vẽ 3 đường cao

AM,HN,IP của ∆AIH. Chứng minh: 3 điểm C,M,K thẳng hàng

4/ Chứng minh: 3 điểm E,M,N thẳng hàng

5/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt HD tại S, BP cắt HK tại O. Chứng minh: 3 điểm A,O,S thẳng hàng

Bài số 11: Cho hình vuông ABCD. Gọi

E là trung điểm của AB. Trên đoạn thẳng

BC lấy điểm M, trên đoạn thẳng CD lấy

điểm F sao cho BMMC=12;CFDF=13

EF cắt AM tại I và cắt DM tại K

1/ Tính tỷ số S∆AIBS∆DIC (S là diện tích)

2/ Tính tỷ số S∆AIKS∆MKF

3/ cho 2 điểm E,M cố định. Thay đổi vị trí

điểm F ở vị trí nào ở trên đoạn thẳng CD

để BD đi qua trung điểm của IK

Bài số 12: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn(AB

Có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H

1/ Chứng minh: AF.BD.EC=BF.CD.AE

2/ Chứng minh: HD2=BD.CD-HF.HC

3/ Chứng minh: 1EF2=1AH2+1BC2

Bài số 13: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn(AB

Có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H

.AH cắt EF tại O. Chứng minh rằng:

1/ AF.AB-BD.CD=AH2-HD2

2/ OA.HD=OH.AD

3/ Gọi M là trung điểm của EF. Chứng

minh rằng: góc BOF = góc BCM

Bài số 14: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn(AB

Có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H

AH cắt EF tại O. Chứng minh:

1/ AEEC=ABBF.FHCH

2/ OEOF=ABAC.HCHB

3/ Trên đoạn thẳng CD lấy điểm

K sao cho BD=CK. Đường thẳng

qua A vuông góc với EF cắt DE

tại G. Chứng minh: HG vuông góc với GK

Bài số 15: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn(AB

Có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H

AH cắt EF tại O. Vẽ CK vuông góc với EF

tại K. Gọi S là điểm đối xứng H qua D

1/ Chứng minh: AO.AS=AH.AD

2/ Chứng minh: AB.CK=EB.CD

3/ Gọi I là trung điểm của AF.

Chứng minh: ID=IK

Bài số 16: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn(AB

Có AD là đường cao( D thuộc BC). Vẽ

DE vuông góc với AB tại E, DF vuông góc

với AC tại F

1/ Chứng minh: DEDF=AE.BDAF.CD

2/ Vẽ DK vuông góc với EF tại K.

Chứng minh: KEKF=DBDC

3/ EF cắt AD tại O. Chứng minh:

góc DKC = góc BOD

Bài số 17: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Vẽ HE vuông

góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F

1/ Chứng minh: góc HFB = góc CEH

2/ Chứng minh: EF3=EB.BC.FC

3/ Gọi I là trung điểm của BC, AI cắt EF

tại O. Chứng minh: 1OA=1HB+1HC

4/ Đặt a=AB2, b=AC2. Chứng minh:

OB2+OC2 = a4+b4+3ab(a+b)2(a+b)3

Bài số 18: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn(AB

.Trên đoạn thẳng BC lấy điểm I sao cho BC=4BI.

Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M, lấy đoạn thẳng

AC lấy điểm N sao cho MN//BC và MN>BI.

NI cắt AB tại E

1/ Trong trường hợp MC đi qua trung điểm

của IN. Tính tỷ số S∆BIES∆AIC (S là diện tích)

2/ Cho S∆AMN=18S∆BIE. Tính tỷ số S∆MINS∆AIE

3/ Cho S∆MINS∆AIE=2027 . Tính tỷ số S∆AMNS∆BIE

Bài số 19: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Tia phân giác

của góc AHB cắt AB tại D. Tia phân giác của

góc AHC cắt AC tại E, AH cắt DE tại O

1/ Chứng minh: HDHE=ABAC

2/ Chứng minh: AO.AH=BD.EC

3/ Vẽ AK vuông góc với CD tại K.

Chứng minh: góc DEK = góc EBK

Bài số 20: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

1/ Chứng minh: AD đi qua trung điểm của HK

2/ Chứng minh: góc CMH = góc HAM

3/ Chứng minh: 1HM2+3AB2+3AC2=4HK2

4/ Vẽ BN vuông góc với MK tại N. Chứng minh: góc MHN = góc HKM

Bài số 21: : Cho ∆ABC vuông tại A(AB

1/ Chứng minh: AE.AC=BH.BC

2/ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DE và BC. Qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt MN tại K. Chứng minh: EK.EB=EN.EA

3/ Gọi I là điểm đối xứng H qua N. Chứng minh: HE vuông góc với AI

Bài số 22: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AK(K thuộc BC). Gọi M là trung

điểm của AC. Vẽ AE vuông góc với BM tại E

1/ Chứng minh: góc ACE = góc CBM

2/ Đường thẳng qua C song song với AB cắt

AE tại D. Chứng minh: BC vuông góc với MD

3/AE cắt BC tại I. Chứng minh

: 1CI+1CB=2CK

4/ MI cắt BD tại F. Gọi S là trung điểm của

EF. Chứng minh: góc BCE = góc FCS

Bài số 23: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Tia phân

giác của góc ABC cắt AH tại D. Qua D kẻ

đường thẳng song song với BC cắt AB

tại E và cắt AC tại F

1/ Chứng minh: HD= AH2AH+AC

2/ Chứng minh: DEEF=ADHD

3/ Qua C kẻ đường thẳng song song với

BD cắt AH tại M. Trên đường thẳng HE

Lấy điểm I sao cho IM vuông góc với IF.

Chứng minh: FA=FI

Bài số 24: : Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Tia phân

giác của góc ABC cắt AH tại D. Kẻ DE

vuông góc với AB tại E

1/ Chứng minh: HK.AC+BK.BA=BH.BC

2/ Chứng minh: EAEB=KEKB

3/ KD cắt AC tại I. Chứng minh: AI=AH

Bài số 25: Cho ∆ABC vuông

tại A(AB

vuông cân tại C( D và B nằm ở 2 mặt

phẳng bờ AC khác nhau). Qua B kẻ

đường thẳng song song với AC cắt AD

tại E, BD cắt AC tại M, CE cắt AB tại

N và cắt BD tại I

1/ Chứng minh: MN//DE

2/ Chứng minh: MI.NE=MD.NI

3/ Gọi K là điểm đối xứng N qua B. Trên đoạn thẳng AC lấy điểm P sao cho AB=AP, BE cắt KP tại O và MK cắt EC tại Q.

Chứng minh: OK=OQ

Bài số 26: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Tia phân

giác của góc ABC cắt AH tại M và cắt AC tại

N. Vẽ HK vuông góc với AB tại K

1/ Chứng minh: AB3=BC2.BK

2/ Chứng minh: MN.BN=2NC.MH

3/ Tia phân giác của góc HAC cắt BC tại I.

MK cắt NI tại P, MI cắt HN tại Q.

Chứng minh: AP=AQ

Bài số 27: Cho ∆ABC vuông tại

A(AB

Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại E

. Tia phân giác của góc AHB cắt AB tại D

1/ Chứng minh: HBHA=EB2EC2

2/ Chứng minh: tam giác ADE vuông cân tại E

3/ Đường thẳng qua H song song với CD cắt AC tại

M. Đường thẳng qua M song song với AB cắt BC tại

N. Chứng minh: AH=NC

Bài số 28: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC).

Trên đoạn thẳng HC lấy điểm E sao cho

AH=EH. Qua E kẻ đường thẳng song song với

AH cắt AC tại I

1/ Chứng minh: Tam giác ABI vuông cân

2/ Gọi O là trung điểm của BI. Chứng minh:

HO vuông góc với AE

3/ BI cắt AE tại G. Đường thẳng qua G song song

mới OH cắt HC tại M. Kẻ HK vuông góc với AB

tại K. Chứng minh: BK2HM2+IH22OC2= 1

Bài số 29: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Kẻ HK vuông

góc với AC tại K. Đường thẳng qua A song

song với BC cắt HK tại D

1/ Chứng minh: DK.DH+AK.AC=BH.BC

2/ Chứng minh: AK.AB.CH+AD.AC.HK=AH3

3/ Kẻ HE vuông góc với CD tại E. Cho AB=15cm,

AC=20cm. Tính diện tích tam giác AEK

4/ AB cắt EK tại I và cắt CD tại M. Đường

thẳng qua I song song với AC cắt AD tại S.

Chứng minh: CS đi qua trung điểm của BM

Bài số 30: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

.Gọi M là trung điểm của AC. Kẻ AH vuông

góc với BC tại H và AK vuông góc với

BM tại K

1/Chứng minh: góc BKH = góc MKC

2/ BM cắt AH tại O, CK cắt AB tại I.

Chứng minh: IB.IA=2OI2

3/ Chứng minh: OHOI=AKCK

4/ Cho S∆ABHS∆AKM=15 (S là diện tích). Tính tỷ số S∆BOAS∆AKC

Bài số 31: Cho hình chữ nhật ABCD

(AD

AC tại N, CM vuông góc với BD tại M

1/ Chứng minh: MN= BCAN2-MB2AB2+BC2

2/ BN cắt CD tại E. Chứng minh:

AM vuông góc với ME

3/ Đường thẳng qua E vuông góc với ND

cắt MN tại O. Trên đoạn thẳng AD lấy

điểm I sao cho AIDI=ACNC. Chứng minh:

IC vuông góc với OB

Bài số 32: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Kẻ HK vuông

góc với AC tại K, BK cắt AH tại I. Gọi M là trung

điểm của AK và N là trung điểm của HC. Kẻ

ND vuông góc với HK tại D

1/ Chứng minh: 3 điểm C,D,I thẳng hàng

2/ Chứng minh: BK vuông góc với MN

3/ Đặt a= AB2, b=AC2. Chứng minh:

MN2= ba2+b2+3ab4(a+b)2

4/ MN cắt AH tại O. Đường thẳng qua A

song song với BC cắt HK tại S.

Chứng minh: OK=OS

Bài số 33: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Vẽ các đường

phân giác trong AE và CD của ∆AHC ( D

thuộc AH và E thuộc CH), CD cắt AE tại I

1/ Chứng minh: HD2AD2+HE2EC2= 1

2/ Chứng minh: BHBC=EH2EC2

3/ Chứng minh: CD.AE=2ID.IE

4/ Đường thẳng qua H vuông góc với HI cắt

CD tại M. Chứng minh: DI.DM=DA.DH

5/ Vẽ DK vuông góc với AC tại K. Đường thẳng

qua M song song với IH cắt BC tại S.

Tính góc HKS

Bài số 34: Cho ∆ABC vuông tại A

(AB

BC). Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ

AN vuông góc với BI tại N

1/ Chứng minh: NINH=BNNC

2/ Cho S∆IHNS∆ANC=950 (S là diện tích).

Tính tỷ số S∆HNCS∆IHB

3/ IH cắt AB tại M. Vẽ BD vuông

góc với MC tại D. Vẽ CS vuông góc với AD tại S

. Chứng minh: HA.HD=HS.HM

Bài số 35: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn (AB

có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H

1/ Chứng minh: DB.DC-EA.EC=HD2-HA2

2/ Kẻ DN vuông góc với AC tại N. Kẻ AM

vuông góc với EF tại M. Chứng minh:

EDHC=DNDC

3/ Chứng minh: MN vuông góc với AB

4/ Qua E kẻ đường thẳng song song với

MD cắt FC tại I. Chứng minh: H là trung

điểm của IF

Bài số 36: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Lấy điểm D

bất kỳ thuộc đoạn thẳng AH. Kẻ CE vuông góc

với BD tại E. Qua D kẻ đường thẳng song song

EC cắt BC tại M. Qua E kẻ đường thẳng

song song với AH cắt AC tại I và cắt

DM tại N. Qua I kẻ đường thẳng song song

với BC cắt BD tại S

1/ Chứng minh: CE2=CI.CA

2/ Chứng minh: góc DNE = góc EAC

3/ Chứng minh: DM.DN=AB2-BD2

4/ Chứng minh: AE.AB=AS.AC

Bài số 37: Cho ∆ABC có

3 góc nhọn và cân tại A. Gọi H

là trung điểm của BC. Trên

đoạn thẳng AC lấy điểm E,

trên đoạn thẳng AB lấy điểm D sao cho AE>AD và

góc DHE = góc ABC.

Kẻ EM vuông góc với HD tại M.

Trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho AE=NC

1/ Chứng minh: BM.HE=HM.HN

2/ HN cắt BM tại O. Chứng minh: BD.EC=HO.HN

3/ DE cắt BC tại I. Kẻ HP và CQ cùng vuông góc với AI(P và Q thuộc AI). Chứng minh rằng: góc QHC= góc PDI

4/ Chứng minh: DE.AB=AD.EC+AE.BD

Bài số 38: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

có đường cao AH(H thuộc BC). Kẻ HK vuông

góc với AC tại K, BK cắt AH tại O. Gọi I là

trung điểm của AB

1/ Chứng minh: AK.AB+HK.AC=AB.AC

2/ Chứng minh: 3 điểm C,O,I thẳng hàng

3/ IH cắt BK tại E. Chứng minh: OC vuông

góc với AE

4/ AE cắt OC tại M. Đường thẳng qua H

vuông góc với HM cắt AC tại N.

Chứng minh: AN=2CN

Bài số 39: Cho ∆ABC vuông tại

A(AB

(H thuộc BC). Kẻ HK vuông

góc với AB tại K

1/ Chứng minh: BKAC-HK=AB3AC3

2/ Trên tia đối tia AC lấy điểm

D sao cho AH=AD. Kẻ BE vuông

góc với DK tại E. Chứng minh:

AH=AE

3/ Trên tia đối tia BA lấy điểm

I sao cho IKIA=BKBH ,HE cắt

DI tại N. Chứng minh:

góc DHN = góc DBN

Bài số 40: Cho ∆ABC vuông tại A(AB

đường cao AH (H thuộc BC). Gọi M là

trung điểm của AH và N là trung điểm

của HB, BM cắt AC tại O. Kẻ CK vuông

góc với OB tại K. Gọi I là trung điểm

của HK

1/ Chứng minh: góc AKB = góc HAB

2/ Chứng minh: AI vuông góc với NI

3/ Chứng minh: HA2+HK2=5AK2

4/ Chứng minh: 1OK.BM=2AB2+4AC2