50 bài toán ứng dụng tích phân tính quãng đường vật chuyển động (có lời giải chi tiết)

Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 1 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t A. LÝ THUY T Một vật chuyển động theo phương trình ( ) v t trong khoảng thời gian từ t a = đến t b = (a b < ) sẽ di chuyển được quãng đường ( ) dt b a s v t = ∫ . B. BÀI TP
Câu 1: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc ( ) km/h v phụ thuộc thời gian ( ) h t có đồ thị của vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh ( ) 2;9 I và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn hàng phần trăm: A. ( ) 23,25 km s = . B. ( ) 21,58 km s = . C. ( ) 15,50 km s = . D. ( ) 13,83 km s = . BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QUNG NG VT CHUY N !NG Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 2 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Lời giải Chọn B Ta đi tìm phương trình vận tốc của vật: Theo giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giờ vận tốc của vật là ( ) 2 v t at bt c = + + . Căn cứ vào đồ thị đã cho có ( ) ( ) 0 0 0 4 2 2 9 v b t a v t =    = − =    =  2 4 4 9 2 2 c b a b b a b c a a   =   ⇔ = −        − + − + =           5 4 5 4 a b c  = −   ⇔ =   =   . Vậy ( ) 2 5 5 4,0 1 4 v t t t t = − + + ≤ ≤ và ( ) ( ) 31 1 ,1 3 4 v t v t = = ≤ ≤ . Vậy ( ) ( ) 1 3 0 1 s v t dt v t dt = + ∫ ∫ 3 1 2 0 1 5 31 5 4 4 4 t t dt dt   = − + + +     ∫ ∫ 73 31 259 21,58 12 2 12 = + = ≈
Câu 2: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc ( ) km/h v phụ thuộc thời gian ( ) h t có đồ thị của vận tốc là một phần của đường parabol có đỉnh ( ) 2;9 I và trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó A. ( ) 24,25 km s = . B. ( ) 26,75 km s = . C. ( ) 24,75 km s = . D. ( ) 25,25 km s = . Lời giải Chọn C Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 3 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Ta đi tìm phương trình vận tốc của vật: Theo giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến 3 giờ vận tốc của vật là ( ) 2 v t at bt c = + + . Căn cứ vào đồ thị đã cho có ( ) ( ) 0 0 0 6 2 2 9 v b t a v t =    = − =    =  2 6 4 9 2 2 c b a b b a b c a a   =   ⇔ = −        − + − + =           3 4 3 6 a b c  = −   ⇔ =   =   . Vậy ( ) 2 3 3 4,0 3 4 v t t t t = − + + ≤ ≤ . Vậy ( ) 3 0 s v t dt = ∫ 3 2 0 3 3 6 4 t t dt   = − + +     ∫ 99 24,75 4 = =
Câu 3: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc ( ) km/h v phụ thuộc thời gian ( ) h t có đồ thị của vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh ( ) 2;9 I và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó. A. ( ) 26,25 km s = . B. ( ) 28,5 km s = . C. ( ) 27 km s = . D. ( ) 24 km s = . Lời giải Chọn C Ta đi tìm phương trình vận tốc của vật: Theo giả thiết trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giờ vận tốc của vật là ( ) 2 v t at bt c = + + . Căn cứ vào đồ thị đã cho có Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 4 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t ( ) ( ) 0 0 0 0 2 2 9 v b t a v t =    = − =    =  2 0 4 9 2 2 c b a b b a b c a a   =   ⇔ = −        − + − + =           9 4 9 0 a b c  = −   ⇔ =   =   . Vậy ( ) 2 9 9 ,0 3 4 v t t t t = − + ≤ ≤ và ( ) ( ) 27 1 ,3 4 4 v t v t = = ≤ ≤ . Vậy ( ) ( ) 3 4 0 3 s v t dt v t dt = + ∫ ∫ 3 4 2 0 3 9 27 9 4 4 t t dt dt   = − + +     ∫ ∫ 81 27 27 4 4 = + = .
Câu 4: Một người chạy trong 1 giờ với vận tốc ( ) / v km h phụ thuộc thời gian ( ) t h có đồ thị của vận tốc là một phần của đường parabol có đỉnh 1 ;8 2 I       và trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ bên. Tính quãng đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. t v I 8 O 1 A. ( ) 4 s km = . B. ( ) 2,3 s km = . C. ( ) 4,5 s km = . D. ( ) 5,3 s km = .  Lời giải Chọn C Ta có: phương trình vận tốc của vật có dạng ( ) 2 v t at bt c = + + . Dựa vào đồ thị ta có: ( ) ( ) 2 0 0 0 32 1 1 32 2 2 2 2 0 8 8 2 2 o o v c a b b t b a a c v t b b a b c a a    = =  = −      = − = ⇔ − = ⇔ =       =    =      − + − + =           ( ) 2 32 32 v t t t ⇒ = − + . 1 2Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 5 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Vậy quãng đường s mà người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút hay 3 4 giờ là ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 2 0 0 9 32 32 4,5 2 v t dt t t dt km = − + = = ∫ ∫ .
Câu 5: Cho đồ thị biểu thị vận tốc của hai xe A và B khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là một đường thẳng ở hình bên. Hỏi sau khi đi được 3 giây, khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét? A. 90m . B. 60m . C. 0m . D. 270m .  Lời giải Chọn A Phương trình vận tốc của xe A có dạng ( ) 2 v t at bt c = + + . Dựa vào đồ thị ta có: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 20 3 60 9 3 60 80 16 4 0 0 4 0 v c a v a b c b a b c c v  = = = −      = ⇔ + + = ⇔ =       + + = = =    ( ) 2 20 80 v t t t ⇒ = − + suy ra quãng đường xe A đi được trong 3 giây đầu là ( ) ( ) ( ) 3 3 2 0 0 20 80 180 A s v t dt t t dt m = = − + = ∫ ∫ . Vận tốc xe B có phương trình là ( ) 20 v t t = , sau 3 giây, xe B đi được quãng đường là ( ) 3 3 2 0 0 20 10 90 B s tdt t m = = = ∫ . Vậy sau khi đi được 3 giây, hai xe cách nhau ( ) 180 90 90 m − = .
Câu 6: Tại một nới không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật ( ) 2 10 v t t t = − , trong đó t ( phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, ( ) v t được ( ) / v m s 60 ( ) t s B v 4 O A v 3Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 6 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t tính theo đơn vị mét/phút ( ) / m p . Nếu như vậy thì bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là? A. ( ) 5 / v m p = . B. ( ) 7 / v m p = . C. ( ) 9 / v m p = . D. ( ) 3 / v m p = .  Lời giải Chọn C Đk: ( ) 2 10 0 0 10 v t t t t = − ≥ ⇔ ≤ ≤ . Quãng đường khí cầu chuyển động đi xuống đến khi chạm đất là: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 0 0 9 162 10 5 3 1 7 3 t t t t S v t dt t t dt t t l =   = = = − = − ⇔ = ±   ∫ ∫ .
Câu 7: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1m . Ô tô A đang chạy với vận tốc 16 / m s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A chuyển động chậm dần đều với vận tốc ( ) ( ) 16 4 / v t t m s = − , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ thời điểm ô tô A bắt đầu hãm phanh. Hỏi rằng để hai ô tô A và B dừng lại đạt khoảng cách an toàn thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng tối thiểu là bao nhiêu mét? A. 33m . B. 32m. C. 31m. D. 34m.  Lời giải Chọn A Ô tô A dùng hẳn sau thời gian ( ) ( ) 16 4 0 4 v t t t s = − = ⇔ = . Quãng đường ô tô A chuyển động chậm dần đều là ( ) ( ) 4 0 16 4 32 S t dt m = − = ∫ . Khoảng cách để dừng an toàn là: ( ) 33 m .
Câu 8: Một vật đang chuyển động đều với vận tốc ( ) 0 / v m s thì bắt đầu tăng tốc với gia tốc ( ) ( ) 2 2 0 / a t v t t m s = + trong đó t là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ thời điểm vật bắt đầu tăng tốc. Biết quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 100m . Tính vận tốc ban đầu 0 v của vật. A. ( ) 20,722 / m s . B. ( ) 12,433 / m s . C. ( ) 21,722 / m s . D. ( ) 13,433 / m s .  Lời giải Chọn B Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 7 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Phương trình vận tốc ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 0 2 3 t t v t a t dt v t t dt v C = = + = + + ∫ ∫ . Tại thời điểm ( ) 0 0 0 t v t v C v = ⇒ = ⇒ = . Biết quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 100m suy ra ( ) ( ) 3 2 3 0 0 0 0 0 0 0 27 81 100 3 12, 433 / 2 3 6 27 t t t S v t dt v v dt v v v m s   = = = + + = + + ⇒ =     ∫ ∫ .
Câu 9: Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ ( ) 0 t s = chuyển động thẳng với vận tốc ( ) ( ) 5 / t v t t m s = − . Tính quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại. A. ( ) 125 6 m . B. ( ) 25 m . C. ( ) 6 m . D. ( ) 125 m .  Lời giải Chọn A Vật dừng lại khi ( ) 5 0 5 t v t t t = − = ⇒ = Quãng đường vật đi được ( ) ( ) ( ) 5 5 0 0 125 5 6 S v t dt t t dt m = = − = ∫ ∫
Câu 10: Một vật đang chuyển động đều với vận tốc 0 15 v = / s m thì tăng tốc với gia tốc ( ) 2 4 a t t t = + ( 2 / m s ). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A. 27m . B. 72m . C. 69,75m. D. 24,75m .  Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 0 1 0 0 0 15 4 2 15 3 t t v t v v t v v a t dt t t dt t t = + − = + = + + = + +     ∫ ∫ . Vì vậy ( ) 3 3 3 2 0 0 1 2 15 69,75 3 s v t dt t t dt m   = = + + =     ∫ ∫ .
Câu 11: Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 ( ) / m s thì người lái hãm phang. Sau khi hãm phanh ô tô chuyển động chậm dẫn đều với vận tốc ( ) 18 36 v t t = − ( ) / m s , trong đó t là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu hãm phanh. Tính quãng đường ô tô đi được kể từ lúc hãm phang cho đến khi dừng hẳn. A. 3,5m . B. 5,5m . C. 4,5m . D. 3,6m .  Lời giải Chọn C Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 8 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Ô tô dừng lại ( ) 0 18 36 0 0,5 v t t t ⇔ = ⇔ − = ⇔ = . Quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian từ lúc hãm phanh đế lúc dừng hẳn là ( ) ( ) 0,5 0,5 0 0 18 36 4,5 s v t dt t dt m = = − = ∫ ∫ .
Câu 12: Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây sau nó đạt vận tốc 6 / m s . Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B cũng xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A . A. 24 / m s . B. 12 / m s . C. 48 / m s D. 36 / m s .  Lời giải Chọn A Gia tốc của A trong 8 giây đầu là 2 6 0 3 / 8 4 a m s − = = , quãng đường mà A đi được kể từ lúc xuất phát đến lúc gặp B (trong khoảng thời gian 8 4 8 20 + + = giây) là ( ) 8 8 0 0 3 6.12 72 96 4 s v t dt tdt m = + = + = ∫ ∫ . Vận tốc của B là ( ) v t mt = , theo giả thiết 8 0 96 3 3.8 24 / mtdt m v m s = ⇔ = ⇒ = = ∫ .
Câu 13: Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là ( ) 2 4 10 t s t t = − + với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và ( ) s t (km ) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là 2 / km h . Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi để trứng. A. 8km . B. 10km . C. 20km D. 30km .  Lời giải Chọn B Vận tốc của con cá là ( ) ( ) 4 5 t v t s t ′ = = − + . Vận tốc thực của con cá khi bơi ngược dòng là ( ) 2 4 2 2 5 5 t t v t   − = − + − = − +     . Quãng đường con cá bới được trong khoảng thời gian t kể từ lúc bắt đầu là Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 9 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t ( ) 2 0 2 2 5 10 t t t s t dt t C   = − + = − + +     ∫ , với ( ) 0 0 0 s C = ⇒ = và ( ) ( ) 2 2 1 2 10 10 10 10 10 t s t t t = − + = − − + ≤ Vậy khoảng cách xa nhất là 10km .
Câu 14: Một vật từ trạng thái nghỉ ( ) = 0 t s chuyển đông thẳng với vân tốc ( ) ( )( ) 6 / v t t t m s = − . Tính quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại. A. 20m . B. 30m . C. 36m . D. 26m . Lời giải Chọn C Vật dừng lại khi ( ) 0 0 6 t v t t =  = ⇔  =  . Quãng đường vật đi được là: ( ) ( ) ( ) 6 6 0 0 6 36 S v t dt t t dt m = = − = ∫ ∫ .
Câu 15: Một vật chuyển động với vận tốc ( ) ( ) 1 2sin 2 / v t t m s = − . Gọi b S a c π = + ( , , a b c∈ℤ , b c tối giản) là quảng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm ( ) 0 t s = đến thời điểm 3 4 t π = . Tính 2 3 2 P a b c = − + . A. 5 P = − . B. 5 P = . C. 3 P = . D. 3 P = − . Lời giải Chọn D Quảng đường vật đi được là ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 3 4 0 0 0 3 1 2sin 2 os2 1 4 S v t dt t dt t c t π π π π = = − = + = − + ∫ ∫ Suy ra 1, 3, 4 a b c = − = = . Suy ra 3 P = − .
Câu 16: Một vật chuyển động với vận tốc ( ) 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc ( ) ( ) 2 2 3 m/s . a t t t = + Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là A. 400 m 3 . B. 430 m 3 . C. 4300 m 3 . D. 4000 m 3 .  Lời giải Chọn C Ta có ( ) 2 2 3 3 1 3 d 2 3 t t t t t C + = + + ∫ Do ( ) v t là một nguyên hàm của hàm số ( ) a t thỏa mãn ( ) 0 10 10 v C = ⇔ = Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 10 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Suy ra ( ) 2 3 3 1 10 2 3 v t t t = + + Do đó quãng đường vật đi được trong 10 giây kể từ lúc tăng tốc là: 10 10 2 3 3 4 0 0 3 1 1 1 4300 10 d 10 2 3 2 12 3 S t t t t t t     = + + = + + =         ∫ m.
Câu 17: Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc ( ) ( ) 160 10 m/s . v t t = − Quãng đường vật đi được từ lúc 0 t = đến thời điểm mà vật dừng lại là A. 160m . B. 100m . C. 1280m . D. 144m .  Lời giải Chọn C Vật dừng lại khi ( ) 0 160 10 0 16. v t t t = ⇔ − = ⇔ = Quãng đường vật đi được là: ( ) ( ) 16 16 2 0 0 160 10 d 160 5 1280 S t t t t = − = − = ∫ m.
Câu 18: Một vật bắt đầu chuyển động ( ) ( ) 3 2 2 15 24 20 m/s . v t t t t = − + + Hỏi trong 5 giây đầu tiên, quãng đường vật đi được cho đến khi đạt vận tốc lớn nhất là bao nhiêu? A. 11m . B. 175 m 2 . C. 80m . D. 55 m 2 .  Lời giải Chọn D Xét hàm số ( ) 3 2 2 15 24 20 f t t t t = − + + trên đoạn [ ] 0;5 ( ) ( ) 2 1 6 30 24; 0 4 t f t t t f t t =  ′ ′ = − + = ⇔  =  ( ) ( ) ( ) ( ) 0 20; 1 31; 4 4; 5 15 f f f f = = = = Do đó [ ] ( ) ( ) 0;5 max 1 31 f t f = = Quãng đường đi được từ lúc vật tăng tốc đến khi đạt vận tốc lớn nhất là: ( ) 1 1 3 2 4 3 2 0 0 1 55 2 15 24 20 d 5 12 20 2 2 S t t t t t t t t   = − + + = − + + =     ∫ m.
Câu 19: Một vật chuyển động với phương trình vận tốc là ( ) ( ) 3 2 9 24 16 m/s . v t t t t = − + − Hỏi từ lúc 0 t = đến khi vật có gia tốc nhỏ nhất thì vật đã đi được quãng đường bao nhiêu? Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 11 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t A. 12,75 m . B. 13m . C. 1m . D. 0,75m .  Lời giải Chọn A Gia tốc của chuyển động có phương trình là: ( ) ( ) 2 2 3 18 24 m/s a t t t = − + Gia tốc nhỏ nhất tại 3. t = Quãng đường vật đi được là ( ) ( ) 3 1 3 3 2 3 2 3 2 0 0 1 51 9 24 16 d 9 24 16 d 9 24 16 d 4 t t t t t t t t t t t t − + − = − + − + − + − = ∫ ∫ ∫ (Do ( ) ( ) ( ) 0 1; 0, 0;1 v t t v t t = ⇔ = < ∀ ∈ ).
Câu 20: Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc là ( ) 2 2 . 1 t v t t = + Hỏi từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật có gia tốc nhỏ nhất đã đi được quãng đường dài bao nhiêu? A. ln 2 m . B. log 2 m . C. log 4 m . D. ln 4 m .  Lời giải Chọn D Phương trình gia tốc của chuyển động là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 0 4 3 2 2 ; ; 0 3 1 1 3 t t t t a t a t a t t t t t =  −  − ′ ′ = = = ⇔ =  + +  = −  Suy ra ( ) ( ) ( ) 0; 1 min 3 4 a t a +∞ = = − Quãng đường vật đi được là: ( ) 3 3 2 2 0 0 2 d ln 1 ln 4 1 t S t t t = = + = + ∫ m.
Câu 21: Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc là ( ) 2 2 . 1 t v t t = + Hỏi từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật có tốc độ lớn nhất đã đi được quãng đường dài bao nhiêu? A. ln 2m . B. log 2m . C. 1m. D. ln 4m .  Lời giải Chọn A ( ) 2 2 . 1 t v t t = + TXĐ [ ) 0; . D = +∞ Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 12 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 t v t t − ′ = + ( ) 0 1 v t t ′ = ⇔ = BBT Dựa vào BBT thì vận tốc lớn nhất tại 1. t = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 2 1 1 ln 1 ln 2( ). 1 1 t s v t dt dt d t t m t t = = = + = + = + + ∫ ∫ ∫
Câu 22: Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc ( ) ( ) 2 10 / , v t t t m s = + với t là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc ( ) 200 / m s thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là: A. 2500 3 m . B. 2000m . C. 500m . D. 4000 3 m .  Lời giải Chọn A ( ) 2 2 200 10 200 10 200 0 10. v t t t t t t = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ = Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là: ( ) ( ) ( ) 10 10 10 3 2 2 0 0 0 2500 10 5 . 3 3 t s v t dt t t dt t m   = = + = + =     ∫ ∫
Câu 23: Bạn Minh ngồi trên một máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của máy bay là ( ) ( ) 2 3 5 / . v t t m s = + Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ thứ 5 đến giây thứ 10 là A. 900m . B. 936m C. 1134m . D. 966m .  Lời giải Chọn D Nhận xét: Giây thứ nhất bắt đầu từ 0 t = nên giây thứ 5 bắt đầu khi 4 t = Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 t = đến giây thứ 10 t = là ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 10 2 3 4 4 4 3 5 5 966 . s v t dt t dt t t m = = + = + = ∫ ∫
Câu 24: Một vật bắt đầu chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức ( ) ( ) 3 2 / . v t t m s = + Tại thời điểm 2s t = thì vật đã đi được quãng đường là 10m . Hỏi 0Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 13 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t tại thời điểm 30s t = thì vật đã đi quãng đường bao nhiêu m từ lúc bắt đầu chuyển động? A. 1140m . B. 1410m C. 300m . D. 240m .  Lời giải Chọn B Quãng đường vật đi được từ giây thứ thứ 2 đến giây thứ 30 là ( ) ( ) ( ) 30 30 30 2 2 2 2 3 3 2 2 1400 . 2 s v t dt t dt t t m   = = + = + =     ∫ ∫ Mặt khác ( ) ( ) ( ) 30 2 30 2 . s v t dt s s = = − ∫ Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 30 2 30 2 1400 10 1410 s v t dt s m = + = + = ∫
Câu 25: Một vật bắt đầu chuyển động với vận tốc đầu là ( ) 6 / m s và có gia tốc được cho bởi công thức ( ) ( ) ( ) 2 3 ' / . 1 a t v t m s t = = + Vận tốc của vật sau 8 giây là ( ) ( ) 8 ln 3 , v a b a b = + ∈ℤ , tính P a b = − . A. 1 P = . B. 1 P = − C. 0 P = . D. 2 P = − .  Lời giải Chọn C Độ thay đổi vận tốc thời điểm 0s t = đến thời điểm 8s t = là ( ) ( ) 8 8 8 0 0 0 3 3ln 1 3ln 9 6ln 3 . 1 v a t dt dt t m t ∆ = = = + = = + ∫ ∫ Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 0 0 3 8 0 / . 1 v a t dt dt v v m s t ∆ = = = − + ∫ ∫ Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 0 6ln 3 8 6ln 3 0 6ln 3 6 / v v v v m s − = ⇔ = + = + Suy ra 6 a b = = , do đó 0 P =
Câu 26: Một vật chuyển động với vận tốc đấu là ( ) 0 v ( ) / m s và có gia tốc được cho bởi công thức ( ) ( ) ( ) 2 2 / 1 a t v t m s t ′ = = + . Vận tốc của vật sau 15 giây là ( ) ( ) 15 8ln 2 log100 / v m s = − . Tính vận tốc ban đầu của vật. A. 9 / m s . B. 12 / m s . C. 10 / m s . D. 11 / m s .  Lời giải Chọn C Độ thay đổi vận tốc của vật từ 0 t s = đến 15 t s = là 15 15 0 0 2 2ln 1 8ln 2 1 v dt t t ∆ = = + = + ∫ . Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 14 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Suy ra ( ) ( ) 15 0 8ln 2 v v − = , mà ( ) 15 8ln 2 v = nên ( ) 0 log100 10 v = = .
Câu 27: Con cá bơi có phương trình quãng đường ( ) ( ) 2 1 4 10 s t t t km = − + , t tính bằng giờ. Biết con cá bơi xuôi dòng nước với tốc độ dòng chảy là 2 / km h . Tính khoảng cách xa nhất con cá bơi được? A. 10km . B. 40km . C. 60km . D. 90km .  Lời giải Chọn D Vận tốc con cá là ( ) 1 4 5 v t t = − + . Do cá bơi xuôi dòng nên vận tốc thật là ( ) 1 6 5 v t t = − + . Quãng đường cá bơi được là ( ) 2 2 0 1 1 1 6 6 30 90 90 5 10 10 t t dt t t t km   − + = − + = − − + ≤     ∫ .
Câu 28: Một nhóm sinh viên được thực hành nghiên cứu sự chuyển động của các hạt. Nhóm đã phát hiện hạt prô-ton di chuyển trong điện trường với gia rốc ( ) ( ) 2 2 20 / 1 2 a cm s t = − + . Nhóm sinh viên đã tìm ra hàm vận tốc của hạt đó, biết khi 0 t = thì vận tốc là 30 / v cm s = . Biểu thức đúng là? A. ( ) 10 25 / 1 2 v t cm s t   = +   +   . B. ( ) 10 20 / 1 2 v t cm s t   = +   +   . C. ( ) 10 10 / 1 2 v t cm s t   = +   +   . D. ( ) 10 30 / 1 2 v t cm s t   = +   +   .  Lời giải Chọn D Ta có ( ) ( ) 2 20 10 1 2 1 2 v t adt dt C t t − = = = + + + ∫ ∫ . Có ( ) ( ) 10 0 30 20 20 1 2 v C v t t   = ⇒ = ⇒ = +   +   .
Câu 29: Một tập đoàn định đầu tư vào hai dự án. Giả sử, dự án đầu tư đầu có tốc độ sinh lợi nhuận là ( ) 2 1 50 P t t = + (đồng/năm), dự án thứ hai có tốc độ sinh lợi nhuận là ( ) 2 200 5 P t t = + (đồng/năm). Sau t năm thì tốc độ sinh lợi của dự án hai bằng một nửa dự án một. Tính lợi nhuận thực tế trong khoảng thời gian trên. A. 6674,6 đồng. B. 6576, 4 đồng. C. 5676, 4 đồng. D. 6679, 4 đồng.  Lời giải Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 15 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Chọn A Tốc độ sinh lợi của dự án hai bằng một nửa dự án một khi 2 1 2 2 50 400 10 5 5 15 P P t t t = ⇔ + = + ⇔ = + . Lợi nhuận thực tế trong khoảng thời gian đó là ( ) ( ) ( ) 5 5 15 5 5 15 2 2 1 0 0 350 10 6674,6 L P t P t dt t t dt + + = − = + − ≈     ∫ ∫
Câu 30: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với gia tốc ( ) 2 1 7 / a m s = . Đi được 5s , tài xế phát hiện chướng ngại vật phía trước và phanh gấp, sáu đó ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc ( ) 2 2 70 / a m s = − . Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển động cho đến khi dừng hẳn. A. 87,5m . B. 96, 25m . C. 94m . D. 95,7m .  Lời giải Chọn B Phương trình vận tốc của ô tô là ( ) 1 1 7 7 v t adt dt t C = = = + ∫ ∫ . Do ô tô bắt đầu chuyển động nên ( ) ( ) 1 1 0 0 7 v v t t = ⇒ = . Sau 5s vận tốc là ( ) ( ) 1 5 35 / v m s = . Vận tốc của ô tô lúc hãm phanh là ( ) 2 2 70 v t a dt t C = = − + ∫ . Có ( ) ( ) 2 2 0 35 70 35 v v t t = ⇒ = − + . Khi ô tô dừng hẳn thì ( ) 2 1 0 2 v t t = ⇔ = . Quãng đường đi được là ( ) ( ) 5 0,5 0 0 7 70 35 96,25 S tdt t m = + − + = ∫ ∫ .
Câu 31: Một xe lửa chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn sau 20 giây kể từ khi bắt đầu hãm phanh. Trong thời gian đó xe chạy được 120m . Cho biết công thức vận tốc của chuyển động biến đổi đều là ( ) ( ) 0 m/s v t v at = + , trong đó ( ) 2 m/s a là gia tốc và ( ) m/s v là vận tốc tại thời điểm ( ) s t . Hãy tính vận tốc 0 v lúc bắt đầu hãm phanh. A. 12m/s . B. 6m/s . C. 30m/s . D. 45m/s .  Lời giải Chọn A Xe dừng hẳn sau 20 giây, suy ra ( ) 0 0 20 0 20 0 20 v v a v a = ⇒ + = ⇒ = − ( ) 20 v t a at ⇒ = − + Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 16 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Quãng đường xe chạy được từ lúc hãm phanh là ( ) ( ) 20 20 0 0 d 20 d 200 S v t t a at t a = = − + = − ∫ ∫ Theo giả thiết, ( ) 2 3 120 200 120 m/s 5 S a a = ⇔ − = ⇔ = − Với 0 3 12 5 a v = − ⇒ = m/s .
Câu 32: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật ( ) ( ) 2 1 11 m/s 180 18 v t t t = + , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng ( ) 2 m/s a (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kip A bằng A. 22m/s . B. 15m/s . C. 10m/s . D. 7m/s .  Lời giải Chọn B +) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì A đi được 15 giây, B đi được 10 giây. +) Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng ( ) d B v t a t at C = = + ∫ , lại có ( ) 0 0 B v = nên ( ) B v t at = . +) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó 15 10 2 0 0 1 11 d d 180 18 t t t at t   + =     ∫ ∫ 75 50a ⇔ = 3 2 a ⇔ = . Từ đó, vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng ( ) 3 10 .10 2 B v = ( ) 15 m s = .
Câu 33: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật ( ) ( ) 2 1 59 m/s 150 75 v t t t = + , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng ( ) 2 m/s a (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kip A bằng A. 20m/s . B. 16m/s . C. 13m/s . D. 15m/s . Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 17 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t  Lời giải Chọn B Quãng đường chất điểm A đi từ đầu đến khi B đuổi kịp là ( ) 15 2 0 1 59 d 96 m 150 75 S t t t   = + =     ∫ . Vận tốc của chất điểm B là ( ) d B v t a t at C = = + ∫ . Tại thời điểm 3 t = vật B bắt đầu từ trạng thái nghỉ nên ( ) 3 0 3 B v C a = ⇔ = − . Lại có quãng đường chất điểm B đi được đến khi gặp A là ( ) ( ) 15 15 2 2 3 3 3 d 3 72 m 2 at S at a t at a   = − = − =     ∫ . Vậy 4 72 96 3 a a = ⇔ = ( ) 2 m/s . Tại thời điểm đuổi kịp A thì vận tốc của B là ( ) ( ) 15 16 m/s B v = .
Câu 34: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật ( ) ( ) 2 1 13 m/s 100 30 v t t t = + , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng ( ) 2 m/s a (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kip A bằng A. 15m/s . B. 9m/s . C. 42m/s . D. 25m/s .  Lời giải Chọn D Khi B đuổi kịp A tức là A đã chuyển động được 25 giây kể từ thời điểm bắt đầu xuất phát và A chuyển động được quãng đường bằng 25 2 0 1 13 375 (m) 100 30 2 S t t   = + =     ∫ Vì B chuyển động với gia tốc bằng ( ) 2 m/s a nên vận tốc của B là ( ) v t at C = + Tại thời điểm bắt đầu xuất phát 10; 0 10 t v c a = = ⇒ = − Vận tốc chất điểm B tại thời điểm t là ( ) 10 (m/s) v t at a = − . Quãng đường chất điểm B đi được trong ( ) 15 s kể từ khi bắt đầu xuất phát là Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 18 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t ( ) 25 10 225 10 d 2 S at a t a = − = ∫ Vì sau khi chuyển động được 15 giây thì chất điểm B đuổi kịp chất điểm A , ta có: ( ) 225 375 5 m 2 2 3 a a = ⇒ = ( ) 5 50 3 3 v t t ⇒ = − Vậy vận tốc của B khi đuổi kịp A ứng với ( ) 5 50 25( ) 25 .25 25 3 3 t s v = ⇒ = − = ( ) m/s
Câu 35: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật ( ) ( ) 2 1 58 m/s 120 45 v t t t = + , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng ( ) 2 m/s a (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kip A bằng A. 25m/s . B. 36m/s . C. 30m/s . D. 21m/s .  Lời giải Chọn C +) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì A đi được 18 giây, B đi được 15 giây. +) Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng ( ) d B v t a t at C = = + ∫ , lại có ( ) 0 0 B v = nên ( ) B v t at = . +) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó 18 15 2 0 0 1 58 d d 120 45 t t t at t   + =     ∫ ∫ 225 225 2 a ⇔ = 2 a ⇔ = . Từ đó, vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng ( ) ( ) 15 2.15 30 m/s B v = = .
Câu 36: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng nhanh dần đều (gia tốc không đổi); 6 giây sau nó đạt đến vận tốc ( ) 10 / m s . Từ thời điểm đó chất điểm A chuyển động thẳng đều. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cùng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. Sau khi B xuất phát được 4 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng? Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 19 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t A. 20m/s . B. 10m/s . C. 18m/s . D. 25m/s .  Lời giải Chọn A Xét chất điểm A Ban đầu nó chuyển động thẳng nhanh dần đều nên ( ) 2 1 10 5 / 6 3 a m s = = Suy ra 1 5 5 dt= 3 3 v t C = + ∫ . Do ( ) ( ) 1 1 5 0 0 / 3 v v t m s = ⇒ = Quảng đường chất điểm chuyển động nhanh dần đều ( ) 6 0 0 5 dt 30 3 s t m ⇒ = = ∫ Sau đó nó chuyển động thẳng đều với vận tốc ( ) 6 / m s nên ( ) ( ) 1 30 10 s t t m = + Xét chất điểm B ; gọi gia tốc là ( ) 2 2 / a m s suy ra ( ) 2 2 2 dt= v t a a t C = + ∫ Do ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 v C v t a t = ⇒ = ⇒ = ( ) 2 2 2 2 2 1 dt tdt 2 s t v a a t C ⇒ = = = + ∫ ∫ Theo đề bài ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0 0 0 2 s C s t a t = ⇒ = ⇒ = . Sau 4 giây từ lúc B xuất phát, b đuổi kịp A , lúc này A đã chuyển động thêm 1giây từ lúc bắt đầu chuyển động thẳng đều Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 4 1 8 40 5 / 5 / s s a a m s v t t m s = ⇔ = ⇔ = ⇒ = . Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng ( ) ( ) 2 4 20 / v m s = .
Câu 37: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng nhanh dần đều (gia tốc không đổi); 10 giây sau nó đạt đến vận tốc ( ) 0 / v m s . Từ thời điểm đó chất điểm A chuyển động thẳng đều. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cùng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 9 giây so với A và chuyển động thảng nhanh dần đều với gia tốc ( ) 2 2 2 / a m s = . Sau khi B xuất phát được 6 giây thì đuổi kịp A . Tìm 0 v A. 2m/s . B. 3m/s . C. 4m/s . D. 10m/s .  Lời giải Chọn B Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 20 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Xét chất điểm A Ban đầu nó chuyển động thẳng nhanh dần đều nên ( ) 2 0 1 0 0,1 / 10 v a v m s = = Suy ra ( ) 1 0 0,1 v t v t = . Quảng đường chất điểm chuyển động nhanh dần đều ( ) 10 0 0 0 0 0,1 dt 5 s v t v m ⇒ = = ∫ Sau đó nó chuyển động thẳng đều với vận tốc ( ) 0 / v m s nên ( ) ( )( ) 1 0 0 0 5 5 s t v v t v t m = + = + Xét chất điểm B ; suy ra ( ) 2 2 dt=2 v t a t C = + ∫ ( ) 2 2 2 dt 2tdt s t v t C ⇒ = = = + ∫ ∫ Theo đề bài ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 s C s t t = ⇒ = ⇒ = . Sau 6 giây từ lúc B xuất phát, B đuổi kịp A , lúc này A đã chuyển động thêm 7 giây từ lúc bắt đầu chuyển động thẳng đều Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 1 0 0 6 7 36 12 3 / s s v v m s = ⇔ = ⇔ = .
Câu 38: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng nhanh dần đều (gia tốc không đổi ( ) 2 1 / a m s ); 4 giây sau nó đạt đến tốc độ ( ) 8 / m s . Từ thời điểm đó chất điểm A chuyển động thẳng đều. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cùng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 17 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều với gia tốc ( ) 2 2 / a m s . Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A . Tìm 2 1 2 4 P a a = − . A. 2 P = − . B. 0 P = . C. 2 P = . D. 4 P = .  Lời giải Chọn B Xét chất điểm A Ban đầu nó chuyển động thẳng nhanh dần đều nên ( ) 2 1 8 2 / 4 a m s = = Suy ra ( ) 1 2 / v t m s = . Quảng đường chất điểm chuyển động nhanh dần đều ( ) 4 0 0 2 dt 16 s t m ⇒ = = ∫ Sau đó nó chuyển động thẳng đều với vận tốc ( ) 8 / m s nên ( ) ( ) 1 8 16 s t t m = + Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 21 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Xét chất điểm B ; suy ra ( ) 2 2 v t a t = ( ) 2 2 2 2 2 1 dt tdt 2 s t v a a t C ⇒ = = = + ∫ ∫ Theo đề bài ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0 0 0 2 s C s t a t = ⇒ = ⇒ = . Sau 1 giây từ lúc B xuất phát, B đuổi kịp A , lúc này A đã chuyển động thêm 23 giây từ lúc bắt đầu chuyển động thẳng đều Suy ra ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 10 23 50 200 4 / s s a a m s = ⇔ = ⇔ = . Vậy 2.4 4.2 0 P = − = .
Câu 39: Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng nhanh dần đều (gia tốc không đổi ( ) 2 1 / a m s ); 6 giây sau nó đạt đến tốc độ ( ) 12 / m s và chưa gặp chất điểm B . Từ thời điểm đó chất điểm A chuyển động thẳng đều. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cùng xuất phát từ O , chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 1 t giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều với gia tốc ( ) 2 4 / m s . Sau khi B xuất phát được 2 t giây thì đuổi kịp A . Hỏi kết luận nào sau đây đúng? A. 1 1 t > . B. 2 7,5 t < . C. 1 1 t ≤ . D. 2 4,5 t > .  Lời giải Chọn D Xét chất điểm A Ban đầu nó chuyển động thẳng nhanh dần đều nên ( ) 2 1 12 2 / 6 a m s = = Suy ra ( ) 1 2 / v t m s = . Quảng đường chất điểm chuyển động nhanh dần đều ( ) 6 0 0 2 dt 36 s t m ⇒ = = ∫ Sau đó nó chuyển động thẳng đều với vận tốc ( ) 12 / m s nên ( ) ( ) 1 12 36 s t t m = + Xét chất điểm B ; 2 4 a = suy ra ( ) 2 4 v t t = . ( ) 2 2 2 dt 4tdt 2 s t v t C ⇒ = = = + ∫ ∫ Theo đề bài ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 2 s C s t t = ⇒ = ⇒ = . Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 22 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Sau 2 t giây từ lúc B xuất phát, B đuổi kịp A , lúc này A đã chuyển động thêm ( ) 1 2 6 t t + − giây từ lúc bắt đầu chuyển động thẳng đều Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 6 2 12 36 6 18 6 0 * s t s t t t t t t t t = + − ⇔ = + − ⇔ − + − = . Chất điểm B đuổi kịp chất điểm A thì phương trình ( ) * có nghiệm 2 0 t > . ( ) 1 1 1 3 9 18 6 6 9 0 2 0 3 0, t t t S t  ′ ∆ = − − = − ≥  ≥   ⇔ ⇔   >    > ∀ ∈  ℝ 1 3 2 t ⇔ ≥ Do 1 2 1 2 1 3 6 0, 6 2 t t t t t + − > ∀ ≥ ⇔ > − ( ) 2 1 3 ; 2 3 9 max 2 2 t g t g   +∞       ⇔ > = =     Vậy 1 2 3 9 , 2 2 t t ≥ > .
Câu 40: Một chiếc máy bay chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian, giả sử độ thay đổi vận tốc ( ) ( ) 3 2 10 2 / a t t t m s = + và vận tốc ban đầu của nó là ( ) 100 / m s . Hỏi sau khi cất cánh 10 giây thì máy bay đạt được vận tốc là bao nhiêu? A. 25000m/s . B. 25100m/s . C. 25200m/s . D. 25300m/s .  Lời giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) 10 0 10 0 25200 v v a t dt − = = ∫ Vậy ( ) ( ) 10 25200 / v m s = .
Câu 41: Một người thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi ( ) h t là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho ( ) 2 ' 3 h t at bt = + và ban đầu trong bể nước không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 3 150m . Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 3 1100m . Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây. A. 3 8400m . B. 3 2200m . C. 3 600m . D. 3 4200m .  Lời giải Chọn A Ta có ( ) 2 ' 3 h t at bt = + suy ra ( ) ( ) ( ) 2 3 2 ' 3 2 b h t h t dt at bt dt at t C = = + = + + ∫ ∫ . Ban đầu bể không có nước nên 0 C = ( ) 3 2 2 b h t at t ⇒ = + . Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 23 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Theo đề bài ( ) ( ) 5 150 10 1100 h h  =   =   1 2 a b =  ⇔  =  . Vậy ( ) 3 20 8400 h m = .
Câu 42: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu ( ) 25 / m s với gia tốc không đổi ( ) 2 10 / g m s = − . Sau bao lâu viên đạn đạt tới độ cao nhất? A. 2, 2s . B. 2,5s . C. 3, 0s . D. 2,8s .  Lời giải Chọn B Do viên đạn bay lên ngược hướng với lực hút Trái Đất nên: ( ) 10 v t gdt t C = − = − + ∫ . Theo đề bài: ( ) 0 25 v = 25 C ⇔ = ( ) 10 25 v t t ⇒ = − + . Viên đạn đạt tới độ cao nhất thì nó dừng, tức 0 v = 2,5 t s ⇔ = .
Câu 43: Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu ( ) 25 / m s và gia tốc là g − . Khi viên đạn lên đến vị trí cao nhất, nó rơi thẳng đứng xuống đất với gia tốc là g . Tính thời gian viên đạn đã bay từ lúc được bắn lên đến khi rơi xuống chạm đất. (Bỏ qua mọi lực ma sát, cho gia tốc trọng trường ( ) 2 10 / g m s = ). A. 2,5s . B. 3, 0s . C. 4, 0s . D. 5, 0s .  Lời giải Chọn D Khi viên đạn bay lên: ( ) 1 10 v t gdt t C = − = − + ∫ . Theo đề bài: ( ) 1 0 25 25 v C = ⇒ = ( ) 1 10 25 v t t ⇒ = − + . Viên đạn đạt tới độ cao cao nhất thì nó dừng, tức: ( ) 0 2,5 v t s = ⇔ = . Độ cao cao nhất viên đạn bay tới là: ( ) ( ) 2,5 0 0 125 4 h v t dt m = = ∫ . Khi viên đạn rơi xuống: ( ) 2 10 v t gdt t C = = + ∫ . Lúc viên đạn bắt đầu rơi xuống: ( ) ( ) 2 2 0 0 0 10 v C v t t = ⇒ = ⇒ = . Quãng đường viên đạn rơi là: ( ) ( ) 2 2 5 h t v t dt t C = = + ∫ . Ta chọn ( ) ( ) 2 0 0 0 5 h C h t t = ⇒ = ⇒ = . Thời gian viên đạn rơi: ( ) 2 125 5 2,5 4 t t s = ⇒ = . Vậy tổng thời gian viên đạn bay là ( ) 5,0 s .
Câu 44: Một người ném một viên đá từ mặt đất phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu ( ) 10 / m s , và gia tốc là g − . Khi viên đá đi lên đến vị trí cao nhất nó rơi thẳng đứng Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 24 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t xuống đất với gia tốc là g . Tính thời gian viên đá đã bay từ lúc ném lên đến khi rơi xuống chạm đất. (Bỏ qua mọi lực ma sát, cho gia tốc trọng trường là ( ) 2 10 / g m s = ). A. 1s . B. 2, 0s . C. 1,5s . D. 2,5s .  Lời giải Chọn B Khi viên đá bay lên: ( ) 1 10 v t gdt t C = − = − + ∫ . Theo đề bài: ( ) ( ) 1 1 0 10 10 10 10 v C v t t = ⇒ = ⇒ = − + . Viên đá đạt tới độ cao cao nhất thì nó dừng, tức: ( ) 0 1 v t s = ⇔ = . Độ cao cao nhất viên đá bay tới là: ( ) ( ) 1 0 0 5 h v t dt m = = ∫ . Khi viên đá rơi xuống: ( ) 2 10 v t gdt t C = = + ∫ . Lúc viên đá bắt đầu rơi xuống: ( ) ( ) 2 2 0 0 10 v C v t t ⇔ = ⇒ = . Quãng đường viên đá rơi là: ( ) ( ) 2 2 5 h t v t dt t C = = + ∫ . Ta chọn ( ) ( ) 2 0 0 0 5 h C h t t = ⇒ = ⇒ = . Thời gian viên đá rơi: ( ) 2 5 5 1 t t s = ⇒ = . Vậy tổng thời gian viên đá bay là ( ) 2 s .
Câu 45: Một người ném một viên bi lên theo hướng thẳng đứng từ độ cao 1,8m so với mặt đất, vận tốc ban đầu là ( ) 12 / m s và gia tốc là g − . Khi viên bi lên đến vị trí cao nhất nó rơi thẳng đứng xuống đất với gia tốc là g . Tính thời gian viên bi đã bay từ lúc được ném lên đến khi rơi xuống chạm đất. (Bỏ qua mọi lực ma sát, cho gia tốc trọng trường là ( ) 2 10 / g m s = ). A. 2, 64s . B. 2, 4s . C. 1,8s . D. 3s .  Lời giải Chọn D Khi viên bi bay lên: ( ) 1 10 v t gdt t C = − = − + ∫ . Theo đề bài: ( ) ( ) 1 1 0 12 12 10 12 v C v t t = ⇒ = ⇒ = − + . Viên bi đạt tới độ cao cao nhất thì nó dừng, tức: ( ) 0 1, 2 v t s = ⇔ = . Độ cao cao nhất viên bi bay tới là: ( ) ( ) 1,2 0 0 7,2 h v t dt m = = ∫ . Khi viên bi rơi xuống: ( ) 2 10 v t gdt t C = = + ∫ . Lúc viên bi bắt đầu rơi xuống: ( ) ( ) 2 2 0 0 10 v C v t t ⇔ = ⇒ = . Quãng đường viên bi rơi là: ( ) ( ) 2 2 5 h t v t dt t C = = + ∫ . Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 25 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Ta chọn ( ) ( ) 2 0 0 0 5 h C h t t = ⇒ = ⇒ = . Thời gian viên bi rơi: ( ) 2 5 7, 2 1,8 9 1,8 t t s = + = ⇒ = . Vậy tổng thời gian viên bi bay là ( ) 3 s .
Câu 46: Một người ném một viên bi lên theo phương thẳng đứng từ độ cao 1,3m so với mặt đất, vận tốc ban đầu là 8 (m/s) và gia tốc là g − . Khi viên bi lên đến vị trí cao nhất, nó rơi thẳng đứng xuống đất với gia tốc là g . Tính tốc độ của viên bi khi rơi xuống chạm đất. (Bỏ qua mọi lực ma sát, cho gia tốc trọng trường ( ) 10 / g m s = . A. 9 m/s. B. 14,4 m/s. C. 16 m/s. D. 17 m/s.  Lời giải Chọn A Khi viên bi bay lên: ( ) ( ) ( ) 1 dt dt 10 v t a t g t C = = − = − + ∫ ∫ . Theo đề bài, ( ) ( ) 1 1 0 8 8 10 8 v C v t t = ⇒ = ⇒ = − + . Viên bi đạt tới độ cao cao nhất thì nó dừng, tức ( ) 0 0,8 v t s = ⇔ = . Độ cao cao nhất viên bi bay tới là ( ) ( ) 0,8 0 0 dt 3,2 h v t m = = ∫ . Khi viên bi rơi xuống: ( ) 2 dt 10 v t g t C = = + ∫ . Lúc viên bi bắt đầu rơi xuống: ( ) ( ) 2 2 0 0 0 10 v C v t t = ⇔ = ⇒ = . Quãng đường viên bi đi được là: ( ) ( ) 2 2 dt 5 h t v t t C = = + ∫ . Ta chọn ( ) ( ) 2 0 0 0 5 h C h t t = ⇒ = ⇒ = . Thời gian viên bi rơi: ( ) 2 5 3,2 1,3 4,5 0,9 t t s = + = ⇒ = . Vận tốc khi viên bi chạm đất ( ) ( ) 2 0,9 9 / v m s =
Câu 47: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1m. Một ô tô A đang chạy với tốc độ 0 v m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng chờ đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với gia tốc ( ) 2 4 / a m s = − . Để 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất 33 m. Tìm 0 v . A. 17 m/s. B. 16,5 m/s. C. 16,25 m/s. D. 16 m/s.  Lời giải Chọn D Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 26 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Vận tốc của ô tô A khi hãm phanh: ( ) ( ) dt 4 v t a t t C = = − + ∫ . Theo đề bài ( ) ( ) 0 0 0 0 4 v v C v v t t v = ⇒ = ⇒ = − + Khi ô tô A dừng đã đi được khoảng thời gian ( ) 0 0 0,25 4 v t v s = = . Quãng đường khi ô tô A bắt đầu hãm phanh đến lúc dừng cách ô tô B 1m là 32m. Suy ra ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0,25 0,25 0,25 2 0 0 0 0 0 32 dt 4 dt 2 32 v v v S v t t v t v t = ⇔ = − + = − + = ∫ ∫ 2 2 2 0 0 0 0 0,125 0, 25 32 0,125 32 16 v v v v ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ( ) 2 / m s .
Câu 48: Một ô tô A đang đi với tốc độ 20 m/s thì có ô tô B phía trước cách ô tô A 50m đang dừng chờ đèn đỏ. Để đảm bảo an toàn, ô tô A hãm phanh lại và chạy chậm dần đều với gia tốc ( ) 2 / a m s . Tìm điều kiện của a để ô tô A không chạm vào ô tô B? A. 4 a > . B. 1 a > . C. 4 a < − . D. 1 a < − .  Lời giải Chọn C Vận tốc của ô tô A khi hãm phanh: ( ) dt v t a at C = = + ∫ . Theo đề bài: ( ) ( ) 0 20 20 v v t at = ⇒ = + . Khi ô tô A dừng đã đi được khoảng thời gian là ( ) 20 t s a − = Quãng đường ô tô A đi từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại: ( ) 20 2 0 1 20 20 200 400 200 20 dt 20. 2 a S at a a a a a a − −   = + = − + = − = −     ∫ Để ô tô A không chạm vào ô tô B thì 200 50 50 4 S a a < ⇔ − < ⇔ < − .
Câu 49: Một ô tô A đang đi với tốc độ v (m/s) thì có ô tô B phía trước cách ô tô A 50m đang dừng chờ đèn đỏ. Để đảm bảo an toàn, ô tô A hãm phanh lại và chạy chậm dần đều với gia tốc ( ) 2 4 / m s − . Tìm điều kiện của v0 để ô tô A không chạm vào ô tô B? A. 0 20 v < . B. 0 30 v > . C. 0 25 v < . D. 0 15 v > .  Lời giải Chọn A Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 27 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t Vận tốc của ô tô A khi hãm phanh: ( ) dt 4 v t a t C = = − + ∫ Theo đề bài: ( ) ( ) 0 0 0 0 4 v v C v v t t v = ⇒ = ⇒ = − + . Khi ô tô A dừng đã đi được khoảng thời gian là ( ) 0 0, 25 t v s = Quãng đường ô tô A đi từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại: ( ) ( ) 0 0 0,25 0,25 2 2 0 0 0 0 0 4 dt 2 0,125 v v S t v t v t v = − + = − + = ∫ . Để ô tô A không chạm vào ô tô B thì 2 0 0 50 0,125 50 20 S v v < ⇔ < ⇒ < .
Câu 50: Một ô tô A đang chạy thẳng với tốc độ ( ) / o v m s thì có ô tô B phía trước cách ô tô A 30m đang dừng chờ đèn đỏ. Để đảm bảo an toàn, ô tô A hãm phanh lại và chạy chậm dần đều với gia tốc ( ) 2 3 / m s − . Nhưng khi ô tô A còn cách ô tô B 6m thì đèn xanh nên ô tô B bắt đầu chạy thẳng nhanh dần đều với gia tốc ( ) 2 1,5 / m s và cùng hướng với ô tô A . Giả sử ô tô A đi với vận tốc nhỏ nhất để đụng ô tô B, tính quãng đường ô tô A đã đi được từ lúc hãm phanh đến khi đụng ô tô B? A. 3 6m . B. 2m C. 8m D. 2 6 3 m .  Lời giải Chọn C Phương trình vận tốc của ô tô B là ( ) 2 3 dt 2 v t a t C = = + ∫ Phương trình chuyển động của ô tô B là ( ) ( ) 2 2 3 dt 4 s t v t t C = = + ∫ . Đặt ( ) 2 0 0 s = . Khi đó ( ) 2 2 3 4 s t t = . Vận tốc của ô tô A khi hãm phanh: ( ) 1 dt 3 v t a t C = = − + ∫ . Quãng đường ô tô B đi được từ khi hãm phanh là: ( ) 0 2 1 0 0 0 0 3 dt 2 t S v t t v t = = − + ∫ Gọi vận tốc của ô tô A lúc đèn xanh là 0 0 3 A A v v t v ⇒ = − + Phương trình chuyển động của ô tô A đi từ lúc đèn xanh ( ) ( ) 2 1 3 3 dt 2 A A s t t v t v t C = − + = − + + ∫ Hai ô tô đụng nhau khi Luyenthitracnghiem.vn 50 BÀI TOÁN NG DNG TÍCH PHÂN TÍNH QU%NG ĐƯ(NG V*T CHUY,N Đ-NG https://www.facebook.com/vietgold Trang 28 Luyenthitracnghiem.vn Nguy/n Hoàng Vi2t 2 2 2 1 2 3 3 9 6 9 6 6 3 6 2 4 4 4 A A A s s t v t t v t t v t t = ⇔ − + − = ⇔ = + ⇔ = + ≥ (Theo bất đẳng thức AM – GM) Dấu “=” xảy ra khi 6 9 2 6 4 3 t t = ⇒ = . Có vận tốc tối thiểu từ lúc đèn chuyển xanh để ô tô A đụng ô tô B là ( ) 3 6 / A v m s = . ( ) 2 1 2 6 3 2 6 2 6 3 6 8 3 2 3 3 s m       = − + =                   .