7 chuyên đề đạo hàm - Lý thuyết và bài tập (có hướng dẫn)

CHUYÊN ĐỀ 1 TÌM SỐ GIA Phương pháp: Để tính số gia của hàm số () y f x  tại điểm 0 x tương ứng với số gia x  cho trước ta áp dụng công thức tính sau:     00 y f x x f x      x  gọi là số gia của đ ối s ố tại điểm 0 x và 0 x x x    . y  gọi là số gia của hàm s ố tương ứng và     00 y f x x f x      BÀI TẬP MẪU Bài 1. Tìm số gia của hàm số 2 y x x  , tương ứng với sự biến thiên của đối số từ 0 2 x  đến 0 5 xx    Hư ớng d ẫn Số gia của hàm số là             22 00 5 2 5 5 2 2 18 y f x x f x f f             Bài 2. Tìm số gia của hàm số 2 – 3 4 y x x  tại điểm 0 2 x  ứng với số gia x  , biết 4 x  Hư ớng d ẫn Vì 0 0 4 6 2 x xx x           Khi đó             22 00 6 2 6 3.6 4 2 3.2 4 y f x x f x f f               Bài 3. Tính y  và y x   của hàm số 2 y x x  Hư ớng d ẫn Ta có:               2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 . 2. 21 y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x xx xx                                             Bài 4. Tìm số gia của hàm số   4 f x x  khi 0 1 x  , 1 x  . Hư ớng d ẫn Ta có: y      00 f x x f x        21 ff    44 2 1 15  Bài 5. Số gia của hàm số   3 f x x x  khi 0 0 x  , 1 x  . Hư ớng d ẫn Ta có: y      00 f x x f x        10 ff      33 1 1 0 0     2  Bài 6. Tìm số gia của hàm số   3 3 x fx  theo số gia x  của đối số x tại 0 0 x  . Hư ớng d ẫn Ta có: y      00 f x x f x        0 f x f         33 0 33 x     3 3 x   Bài 7. Số gia của hàm số   2 f x x x  ứng với 0 x , x  là Hư ớng d ẫn Ta có: y      00 f x x f x           2 2 0 0 0 0 x x x x x x          0 21 x x x      Bài 8. Tìm số gia của hàm số   2 2 f x x  khi 0 0 x  , 2 x  . Hư ớng d ẫn Ta có: y      00 f x x f x        20 ff      22 2 2 0 2 4     . Bài 9. Số gia của hàm số   3 1 1 fx x   khi, 0 1 x  , 1 x  . Lời giải Ta có: y      00 f x x f x        10 ff  33 1 1 7 2 1 1 1 18      . Bài 10. Tìm số gia của hàm số   1 f x x  theo số gia x  của đối số x tại 0 0 x  . Hư ớng d ẫn Ta có: y      00 f x x f x        0 f x f     1 x  . BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 11. Tìm số gia của hàm số 2 2 3 5 y x x    , tương ứng với sự biến thiên của đối số: a) Từ 0 1 x  đến 0 2 xx    b) Từ 0 2 x  đến 0 0,9 xx    c) Từ 0 1 x  đến 1 xx    d) Từ 0 2 x  đến 2 xx    Bài 12. Tính y  và y x   của hàm số sau theo x và x  : a) 35 yx  b) 2 37 yx  c) 2 2 4 1 y x x    d) cos 2 yx  Bài 13. Tìm số gia của hàm số 2 –1 yx  tại điểm 0 1 x  ứng với số gia x  , biết: a) 1 x  b) –0,1 x  Bài 14. Tính y  và y x   của hàm số sau theo x và x  : a) 2 23 y x x     b) 3 1 y x x    c) 3 45 y x x    d) 2 5 x y x    e) 1 23 x y x    f) 2 1 x y x  CHUYÊN ĐỀ 2 TÍNH ĐẠO HÀM Phương pháp: Có hai cách để tính đạo hàm: Cách 1: Dùng định nghĩa:     0 ' lim x f x x f x y x       Cách 2: Dùng bảng công thức : ( bảng này thầy đính kèm ở file đầu tiên) BÀI TẬP MẪU Bài 1. Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) 35 yx  2) 2 41 y x x    3) 32 35 y x x    4) 23 1 x y x    5) 2 y x x  6)   cos 2 3 yx  Hư ớng d ẫn Sử dụng định nghĩa:     0 ' lim x f x x f x y x       . 1) Ta có:         0 0 0 3 5 3 5 3 ' lim lim lim 3 x x x f x x f x x x x x y x x x                       2) Ta có:           2 2 00 4 1 4 1 ' lim lim xx x x x x x x f x x f x y xx                     2 00 2 . 4. lim lim 2 4 2 4 xx x x x x x x x x                  3) Ta có:           32 32 00 3 5 3 5 ' lim lim xx x x x x x x f x x f x y xx                   3 2 2 3 2 2 3 2 0 3 . 3 . 3 6 . 3 5 3 5 lim x x x x x x x x x x x x x x                     2 2 3 2 2 2 2 00 3 . 3 . 6 . 3 lim lim 3 3 . 6 3 3 6 xx x x x x x x x x x x x x x x x x x                         4) Ta có:         00 23 23 11 ' lim lim xx xx x f x x f x x x x y xx                               00 2 2 3 1 2 3 1 2 2 3 2 3 11 11 lim lim xx x x x x x x x x x x x x x x x xx                                 22 0 2 2 2 . 2. 3 3 2 2 . 2 3 3. 3 lim 11 x x x x x x x x x x x x x x x x x                                 2 00 5. 5 5 lim lim 1 1 1 1 1 xx x x x x x x x x x                      5) Ta có:         2 2 00 ' lim lim xx x x x x x x f x x f x y xx                 2 2 2 0 2. lim x x x x x x x x x x                   2 2 2 0 2 2 2 2. lim 2. x x x x x x x x x x x x x x x x x x                        2 0 2 2 2 2. lim 2. x x x x x x x x x x x x x x                    2 0 2 2 2 2 1 2 1 lim 2 2. x x x x xx x x x x x x x x                 6) Ta có:         00 cos 2 3 cos 2 3 ' lim lim xx x x x f x x f x y xx                           00 2sin 2 3 .sin sin lim lim . 2sin 2 3 2sin 2 3 xx x x x x x x x xx                       Bài 2. Sử dụng công thức, tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) 35 yx  2) 2 41 y x x    3) 32 35 y x x    4) 23 1 x y x    5) 2 y x x  6)   cos 2 3 yx  Hư ớng d ẫn Các em tra bảng công thức để tính 1) Ta có:       3 5 ' 3 5 3 5 3 0 3 y x y x x              2) Ta có:         2 2 2 4 1 4 1 4 1 2 4 0 2 4 y x x y x x x x x x                   3) Ta có:   3 2 3 2 2 2 3 5 3 5 3 6 0 3 6 y x x y x x x x x x               . 4) (Sử dụng công thức 2 .. u u v uv vv        Ta có:                   2 2 2 2 3 . 1 2 3 . 1 2. 1 2 3 .1 2 3 5 1 1 1 1 x x x x x x x yy x x x x                     5) (Sử dụng công thức   2 u u u    ) Ta có:   2 2 22 21 ' 22 xx x y x x y x x x x          6) (Sử dụng công thức   cos .sin u u u    )         cos 2 3 2 3 .sin 2 3 2.sin 2 3 y x y x x x             Bài 3. Sử dụng công thức, tính đạo hàm của các hàm số sau:     42 11 y x x x     Hư ớng d ẫn Sử dụng công thức   . . . uv u v uv                      4 2 4 2 4 2 3 2 4 5 4 3 1 1 1 . 1 1 . 1 4 . 1 1 . 2 1 6 5 4 2 1 y x x x y x x x x x x x x x x x x x x x                           Bài 4. Tính đạo hàm các hàm số sau: a) 32 3 2 1 y x x x     d) 42 3 21 2 y x x     b) 3 31 y x x     e) 21 3 x y x   c) 4 2 1 4 x yx    f) 2 22 1 xx y x    Hư ớng d ẫn a) Ta có:   32 3 1 3 6 2 y x x x x          b) Ta có:   32 3 1 3 3 y x x x          c) Ta có: 4 23 12 4 x y x x x           d) Ta có: 4 2 3 3 2 1 8 3 2 y x x x x             e) Ta có: 22 (2 1) ( 3) ( 3) (2 1) 7 ( 3) ( 3) x x x x y xx          f) Ta có: 22 2 ( 2 2) ( 1) ( 2 2)( 1) ( 1) x x x x x x y x              22 2 2 (2 2)( 1) ( 2 2) 2 4 ( 1) 1 x x x x x x x x           . Bài 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 1)   2 2 2020 3 x y x x với 0 x . 2) 2 1 6 yx x  với 0 x  ; Hư ớng d ẫn 1)                              22 2 2020 2 2020 4 3 4 3 3 2 3 2 3 x x x x x x x x x x x . 2) 23 1 3 2 6 x xx x        . TÍNH ĐẠO HÀM HÀM HỢP Phương pháp: Ta sử dụng định lý sau: Nếu hàm số    u g x có đạo hàm tại x là  x u và hàm số    y f u có đạo hàm tại u là  u y thì hàm hợp      y f g x có đạo hàm tại x là .     x u x y y u . Từ đó, ta có các công thức đạo hàm của hàm hợp thường gặp: với    u u x     1 ..     nn u nu u n   2    u u u 2 1       u uuBÀI TẬP MẪU Bài 1. Sử dụng công thức, tính đạo hàm hàm hợp của các hàm số sau: 1)   2016 2 23 y x x  2)   4 5 23 y x   3)   2 7 y x x  4)   5 2 1 1 y xx   Hư ớng d ẫn 1) Sử dụng công thức:   1 .. u u u       Ta có:   2016 2 23 y x x        2015 2015 2 2 2 3 2016. 2 3 . 2 3 2016. 4 . 2 3 2 y x x x x x x x x             2) Chú ý bài này các em phải chuyển đổi: 1 11 .. u u u uu                .     4 4 5 5. 2 3 23 yx x              4 4 1 ' 5. 2 3 5. 4 . 2 3 . 2 3 y x x x                   55 1 20 20.2. . 2 3 . 2 3 2 xx xx        3) Sử dụng công thức   1 .. u u u                 2 7 7 7 6 7 2. . 2 7 1 . y x x y x x x x x x x            4) Sử dụng công thức 1 11 .. u u u uu                    5 2 5 2 1 1 1 y x x xx               66 2 2 2 5. 1 . 1 5 2 1 . 1 y x x x x x x x                Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a)   2 7  y x x . b)   5 3 1  yx . c) 3 2 5 4     yx x . Hư ớng d ẫn a) Ta có:         7 7 7 6 2 . 2 7 1         y x x x x x x x . b) Ta có:       44 333 2 5 1 1 15 1         y x x x x . c) Ta có: 22 2 2 3 2 5 5 10 5 3 4 4 3 4 4                                 y x x x x x x x . Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 12    y x x . b) 32 32    y x x . Hư ớng d ẫn a) Ta có:   2 22 12 1 2 1 2 1 2         xx x y x x x x . b) Ta có:           32 2 3 2 3 2 32 36 2 3 2 2 3 2 xx xx y x x x x . Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a)   2 3 25   y x . b)   5 2 1 1   y xx . Hư ớng d ẫn a) Ta có:           2 4 4 3 3 2 5 12 2 5 12 2 5 2 5 2 5                x x y x x x . b) Ta có:                   5 4 2 22 2 10 6 5 22 2 1 5 1 . 1 5 2 1 11 1 xx x x x x x y x x x x xx                     . Bài 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 3 21 1 x y x       . b)     4 5 2 5 4 1 7 3     y x x x . Hư ớng d ẫn a) Ta có:       2 22 24 9 2 1 2 1 2 1 2 1 3 33 1 1 1 11                                     x x x x y x x x xx . b) Ta có:         44 55 22 5 4 1 7 3 7 3 5 4 1                 y x x x x x x .           34 54 22 4 5 4 1 10 4 7 3 5 7 3 .7. 5 4 1           y x x x x x x x .           3 4 22 5 4 1 7 3 4 10 4 7 3 35 5 4 1             y x x x x x x x .       3 4 22 5 4 1 7 3 455 132 83        y x x x x x . Bài 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 22   x y ax với a là tham số. b)   3 2  yx . Hư ớng d ẫn a) Ta có:     2 22 2 22 22 3 22      x ax a ax y ax ax . b) Ta có:           3 2 33 2 32 32 2 2 2 2 2       x x x y xx . Bài 7. Cho hàm số 2 4   x y x , tính   0 y  . Hư ớng d ẫn Ta có:     2 2 23 22 4 4 4 44      x xx x y xx . Suy ra   1 0 2   y . Bài 8. Cho hàm số 2 32 3 2 1 2 3 2 1    xx y xx , tính    0 y . Hư ớng d ẫn Ta có:         2 3 2 2 3 2 2 32 3 2 1 .2 3 2 1 3 2 1 . 2 3 2 1 2 3 2 1               x x x x x x x x y xx       2 3 2 2 32 2 32 94 6 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3 2 1            xx x x x x x xx y xx .           3 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 12 4 3 2 1 9 4 3 2 1 9 8 4 4 3 2 1 3 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x xx y x x x x x x                  . Suy ra:   4 01 4   y . Bài 9. Cho hàm số   4 3 2 21 31    xx y x , tính    1 y . Hư ớng d ẫn Ta có:       34 3 2 2 3 2 2 3 4 2 1 3 2 3 1 2 1 31 31            x x x x x x x x y x .           34 3 2 2 3 22 4 2 1 3 2 3 1 3 2 1 3 1 3 1           x x x x x x x y xx .           3 3 2 2 3 22 2 1 4 3 2 3 1 3 2 1 3 1 3 1             x x x x x x x y xx . Suy ra   10   y . BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 10. Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa: 1) 2 61 y x x    2) 2 y x x  3) 4 4 x y x    4) 42 23 y x x x     5) 5 yx  6)   sin 2 4 yx  7)   cos 4 2018 yx  8)   tan 5 2 yx  9) 1 1 y x   Bài 11. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 7 4 2 3 4 4 4 y x x x x      b) 4 3 2 10 25 y x x x     c)     22 1 2 3 1 y x x x x       d)     2 1 4 3 y x x    e) 31 45 x y x    f) 2 2 2 3 7 23 xx y xx    Bài 12. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a)     21 23 2 3 4 y x x    b) 32 4 3 2 y x x    Bài 13. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a là hằng số): a) 4 3 2 3 1 1 1 4 3 2 y x x x x a      b) 25 1 ( 1) y xx   c) 52 3 (8 3 ) y x x d) ( 1)( 2)( 3) y x x x     e) 2 2 1 x y x   f) 2 53 1 x y xx    g) 1 y xx  h) 2 1 x y x   i) 2 25 y x x    j) 2 1 y x x x    k) 1 1 x y x    l) 22 x y ax   Bài 14. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 32 5 32 xx yx     b) 2 3 4 2 4 5 6 7 y x x x x     c) 2 3 6 7 4 xx y x   d)   2 31 y x x x       e) 1 1 x y x    f) 2 2 75 3 xx y xx      g) 2 1 x y x   h)   32 2 y x x  i) 2 22 1 xx y x    j) 2 53 1 x y xx    Bài 15. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a)   5 2 41 y x x    b) 2 2 3 1 23 xx y x    c) 2 2 61 1 xx y xx      d) 2 3 21 xx y x    e) 1 1 x y x    f) 2 12 x y x    g) 2 2 1 1 xx y xx    h) 2 1 x y x   i)   2 11 y x x x    CHUYÊN ĐỀ 3 TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI Xo Phương pháp: Cách 1: Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm tại là:       0 0 0 0 lim xx f x f x yx xx      Cách 2: Các em sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay vào. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số 2 2 y x x  tại 0 5 x  . Hư ớng d ẫn Cách 1: Sử dụng định nghĩa:         22 55 2 5 2.5 5 5 lim lim 55 xx xx f x f y xx            2 55 57 2 35 lim lim 12 55 xx xx xx xx        Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay số: Ta có:   22 2 2 2 2 y x x y x x x          Do đó   5 2.5 2 12 y     . Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số   0 sin 2 30 yx  tại 0 0 60 x  . Hư ớng d ẫn Cách 1: Sử dụng định nghĩa:     0 00 0 0 60 sin 2 30 sin 90 60 lim 60 x x y x                00 0 0 0 0 0 0 00 60 60 2cos 30 .sin 60 sin 60 lim lim .2cos 30 2cos 60 30 0 60 60 xx x x x x xx            Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay số: Ta có:         0 0 0 0 sin 2 30 2 30 .cos 2 30 2.cos 2 30 y x y x x x           Do đó     0 0 0 60 2cos 60 30 0 y     . Bài 3. Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: a) 2 y x x  tại 0 1 x  b)yx  tại 0 1 x  c) 2 1 1 y x   tại 0 0 x  d) 1 1 y x   tại 0 2 x  e) 2 3 yx  tại 0 1 x  Hư ớng d ẫn a) Ta có:   1 f   0 lim x y x         00 0 lim x f x x f x x          0 11 lim x f x f x             2 2 0 1 1 1 1 lim x xx x             0 lim 1 1 x x      b) Ta có:   1 f   0 lim x y x         00 0 lim x f x x f x x          0 11 lim x f x f x       0 11 lim x x x         0 11 lim 11 x x xx            0 11 lim 2 11 x x      c) Ta có:   0 f   0 lim x y x         00 0 lim x f x x f x x          0 00 lim x f x f x       d) Ta có:   2 f   0 lim x y x         00 0 lim x f x x f x x          0 22 lim x f x f x         0 11 2 1 2 1 lim x x x           0 lim 3. 3 . x x xx         0 11 lim 3. 3 9 x x     e) Ta có:   1 f   0 lim x y x         00 0 lim x f x x f x x          0 11 lim x f x f x         2 2 0 1 3 1 3 lim x x x           2 0 2 4 2 lim x xx x             2 0 2 2 lim . 2 4 2 x xx x x x                 2 0 21 lim 2 2 4 2 x x xx         Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số : a)    2 1 x y x tại 1 x . b) 2 3 ( 1) y x x x        tại 1 x  ; Hư ớng d ẫn a)                           2 2 . 1 2 1 2 1 1 x x x x x x x                         2 2 2 1 . 1 2 1 2 4 1 4 2 1 2 1 2 1 xx x x x x x x x x x x x . Vậy đạo hàm của hàm số tại 1 x là :     1 1 2 y . b)       2 2 2 3 1 3 . 1 3 1 x x x x x x x x x                                   2 1 2 1 3 . 1 3 2 xx xx x                   Vậy đạo hàm của hàm số tại 1 x là :     5 1 2 y . BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 5. Tính đạo hàm của hàm số 2 24 y x x    tại 0 2 x  Bài 6. Cho hàm số   2 21 y f x x    a) Tìm đạo hàm của hàm số tại 0 2 x  b) Suy ra giá trị 3 (2) 5 (2 3) ff   Bài 7. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0: a) 21 yx  tại 0 2 x  b) 2 y x x  tại 0 1 x  c) 1 1 x y x    tại 0 0 x  d) 27 yx  tại 0 1 x  Bài 8. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a là hằng số): a) 3 y ax  b) 2 1 2 y ax  c) 1 21 y x   với 1 2 x  d) 3 yx  với 3 x  Bài 9. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm 0 x được chỉ ra bằng cách sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay 0 x vào : 1) 53 2 3 5 y x x x     tại 0 2 x  2) 2 1 1 x y x    tại 0 10 x  3) 2 41 y x x    tại 0 5 x  4) sin 2 4 yx      tại 0 6 x   5) 2 5 x y x    tại 0 2 x  6)     24 32 y x x x    tại 0 3 x CHUYÊN ĐỀ 4 ĐẠO HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm lượng giác: Đạo hàm Hàm hợp (sin )' cos xx  ; (cos )' sin xx  2 1 (tan )' cos x x  ; 2 1 (cot )' sin x x    2 1 arcsin ' 1 x x     2 1 arccos ' 1 x x     2 1 arctan ' 1 x x   (sin )' '.cos u u u  (cos )' 'sin u u u  ;   2 ' tan ' cos u u u    2 ' cot ' sin u u u      1 sin .sin . sin nn u n u u         1 cos .cos . cos nn u n u u         1 tan .tan . tan nn u n u u         1 t . t . t nn co u nco u co u     I. Sử dụng công thức để tính đạo hàm hàm lượng giác: BÀI TẬP MẪU Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số : 1) sin 2 cos 3 x yx  . 2)   2 sin 5 1 yx  3) sin .cos 4 y x x  4) 22 2 tan 5cot y x x  Hư ớng d ẫn 1) Ta có: 1 2.cos2 sin 33 x yx  2) Ta có:       2 sin5 1 sin5 1 10cos5 sin5 1 y x x x x        . 3) Ta có:     sin .cos 4 sin . cos 4 cos .cos 4 4sin .sin 4 y x x x x x x x x       . Ngoài ra các em có thể tách   1 sin .cos4 sin5 sin3 2 y x x x x    sau đó tính đạo hàm. 4) Ta có: 3 2 2 2sin 5 ' cos sin xx y xx Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số : 1) sin3 yx  2) 5sin 3cos y x x  3) cos 2 1 yx  4) sin( ) cos 36 y x x        5) 4cos 2 5sin(2 3) y x x    6) 3sin cos 2019 y x x x    7) 2 .cos3 2 sin 3 y x x x x  8) 22 3 sin 3 cos 2 1 4 y x x          9) tan 2 yx  10)   cot 3 1 yx  11) 1 tan 2 x y   12) 2 cot 1 yx  13) tan 3 x y  14) 3cos cot 2 y x x  15) tan5 cot 4 y x x  16)   2 tan 2 1 y x x    17) 35 11 tan tan tan 35 y x x x    18) 2 tan(2 1) cos y x x x    Hư ớng d ẫn 1) Ta có sin3 3cos3 y x y x     2) Ta có 5sin 3cos 5cos 3sin y x x y x x       3) Ta có cos 2 1 yx  sin 2 1 21 x y x       4) Ta có cos sin 36 y x x                   . 5) Ta có   8sin 2 10cos 2 3 y x x      . 6) Ta có : 3 cos sin 2019 y x x     7) Ta có :   22 2 cos3 3 sin 3 2sin 3 6 cos3 8 cos3 2 3 sin 3 y x x x x x x x x x x x         8) Ta có: 22 22 22 3.2sin 3 cos 3 3sin 2 3 22 4 4 4 sin 2 1. sin 2 1 2 1 2 1 2 3 sin 3 2 3 sin 3 44 x x x xx y x x xx xx                                                  . 9) Ta có:   2 2 ' tan 2 ' cos 2 yx x  . 10) Ta có:     ' 2 3 ' cot 3 1 sin 3 1 yx x        . 11) Ta có ' ' 22 1 11 2 ' tan 11 2 cos 2cos 22 x x y xx                         12) Ta có:     ' 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ' cot 1 sin 1 sin 1 1.sin 1 x x x x yx x x x x               13) Ta có: ' 2 1 ' tan 3 3cos 3 x y x     . 14) Ta có:   ' 2 2 ' 3cos cot 2 3sin sin 2 y x x x x      . 15) Ta có:   ' 22 54 ' tan5 cot 4 cos 5 sin 4 y x x xx     . 16) Ta có:         ' 2 2 22 21 ' tan 2 1 cos 2 1 xx y x x xx            2 2 2 2 1 2 21 cos 2 1 cos 2 1 x xx x x x x x x        17) Ta có: 6 ' 1 tan yx  18) Ta có:   22 22 22 ' cos 2 sin cos cos sin 2 cos (2 1) cos (2 1) y x x x x x x x xx        BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 2 2sin sin 2 sin 2sin sin 2 x y x x x x      b)   22 sin 2 3 1 y x x    c)   2 sin 4 y x x  Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) cos 2 sin x y x x x  b) 3cos 21 x y x   c) 2 2cos sin xx y x   d) 2cos sin 3sin cos xx y xx    e) tan sin 2 x y x   f) cot 21 x y x   g)   2 sin 3 2 y x x    h) cos 2 1 yx  i) 2sin3 cos5 y x x j) cos2 yx  k) 2 1 tan x y x   l) 2 cot 1 yx  m) 3 tan cot 2 y x x  n) 1 2tan yx  o) sin sin xx y xx  p) 2 sin 1 t 2 x y an x   q) tan(sin ) yx  r)   2 cot 1 y x x  s) 2 cos 2 4 yx   t) sin3 y x x  u) 22 tan tan y x x  v)   2 2 cos 2 sin y x x x x    Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a)   2 sin 1 yx  b)   2 sin cos3 yx  c) 2 cos 1 sin y x x  d)   cos cos cos yx   e) 2 1 cos 1 x y x        f) 22 sin tan 1 cot 1 tan xx y xx   g) sin cos x y xx   h) 2 sin cos x y x  i) 2 1 cos yx  Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) sin 1 cos x y x   b) 2 1 cos 2 x y c) 20 2 2 1 tan 1 tan x y x       d) 1 cos 1 cos x y x    e) sin cos y x x x  f) 32 3tan tan 3 tan tan y x x x x     g)   2 cot 1 y x x  h) 3 cot 2 3cot 2 y x x  i) sin cos sin cos xx y xx    j) 22 22 sin 2 4cos 4 sin 2 4cos xx y xx    Bài 5. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau: a) 5sin 3cos y x x  b) 2 sin( 3 2) y x x    c) cos 2 1 yx  d) sin3 .cos5 y x x  e) 1 2tan yx  f) tan3 cot 3 y x x  g) 4sin 3cos y x x  h) 24 4sin 3cos y x x  i) 1 cos x y x   Bài 6. Tính đạo hàm của hàm số sau: 1 1 1 1 1 1 cos 2 2 2 2 2 2 yx     , với ; () 0 x   II. Tính đạo hàm của hàm lượng giác tại 0 x Phương pháp: Tính đạo hàm rồi thay 0 x vào BÀI TẬP MẪU Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số sin 2 cos3 x y x  tại 4 x   . Hư ớng d ẫn Ta có :         22 sin 2 .cos3 sin 2 . cos3 2cos 2 .cos3 3sin 2 .sin 3 cos3 cos3 x x x x x x x x y xx     Khi đó : 32 4 y       . Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại 4 x   là 32 . Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số .cos 2 y x x  tại 2 x   . Hư ớng d ẫn Ta có:   .cos 2 . cos 2 cos 2 2 .sin 2 y x x x x x x x       Khi đó : ' 1 2 y      . Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại 4 x   là 1  . Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số 5sin 3cos y x x  tại điểm 2 x   . Hư ớng d ẫn Ta có       5sin 3cos 5. sin 3 cos 5.cos 3sin y x x x x x x           . Suy ra 5.cos 3sin 3 2 2 2 y           . Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số 2sin3 cos5 y x x  tại điểm 8 x   . Hư ớng d ẫn Ta có 2sin3 cos5 sin8 sin 2 y x x x x    .   sin8 sin 2 ' 8cos8 2cos 2 y x x x x       8cos 8. 2cos 2. 8 2 8 8 8 y                             . Bài 5. Tính đạo hàm của hàm số 2 1 sin 23 yx       tại điểm 3 x   . Hư ớng d ẫn Ta có 2 cos 3 3 3 3 3 y                   . Bài 6. Cho hàm số 2 cos 3 sin 2 63 y x x                  . Tính 3 y      . Hư ớng d ẫn Ta có: 2 3sin 3 2cos 2 63 y x x                    . Vậy 2 5 7 3sin 3. 2cos 2. 3sin 2cos0 3 3 6 3 3 6 2 y                                    . Bài 7. Tính đạo hàm của hàm số   2 1 cot 2 f x x  tại điểm . 2 x   Hư ớng d ẫn Ta có:     2 2 2 2 2 1 2 sin sin ' fx x x xx      Suy ra: 2 sin 2 2 ' 2 2 2 2 f                  Bài 8. Tính đạo hàm của hàm số   22 tan cot f x x x  tại điểm . 4 x   Hư ớng d ẫn Ta có:   2 2 2 2 1 1 2 tan 2cot ' 2 tan . 2cot . cos sin cos sin xx f x x x x x x x         Suy ra: 22 2 tan 2cot 44 '8 4 cos sin 44 f          Bài 9. Tính đạo hàm của hàm số   cot 1 f x x  tại 2 x   . Hư ớng d ẫn Ta có:       ' ' 2 cot 1 1 ' cot 1 2 cot 1 2sin . cot 1 x f x x x x x        2 ' .cos 3 y x x    Suy ra 2 11 ' 22 2sin . cot 1 22 f           Bài 10. Tính đạo hàm của hàm số   3 tan cot 2 f x x x  tại điểm 4 x   . Hư ớng d ẫn Ta có:     ' 32 22 12 ' tan cot 2 3.tan . cos sin 2 f x x x x xx     Suy ra 2 22 12 ' 3.tan . 4 44 cos sin 2. 44 f         Bài 11. Tính đạo hàm của hàm số   tan cot f x x x  tại điểm 4 x   . Hư ớng d ẫn Ta có: 22 11 (tan cot ) cos sin () 2 tan cot 2 tan co ' t xx xx fx x x x x      22 2 2 2 sin cos 2cos 2 2sin cos tan cot sin 2 tan cot x x x x x x x x x x    Suy ra 2 2cos 2 '0 4 sin tan cot 2 4 4 f               BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra . 1) 1 sin 1 sin x y x    tại 3 x   2) cos sin 1 x y x   tại 2 x   3) 2 2 cot y x x x  tại 4 x   4) 1 2tan yx  tại 0 x  5) sin3 .cos4 y x x  tại 3 4 x   6)   2 2cos sin 2 cos 2 x y x x    tại 5 6 x   7) 23 sin .cos y x x  tại 3 x   8) 3 tan 2 4 yx      tại 4 x   9)     22 sin cos tan yx  tại 4 x   10) 22 cot 1 yx  tại 3 x   11) 32 sin 1 yx  tại 0 x  12)   2 sin cos3 yx  tại 3 x  Bài 2. Cho hàm số 3 yx  và 4 sin 2 x yx   . Tính tổng (1) (1) fg   ? III. Chứng minh biểu thức có chứa đạo hàm hàm lượng giác. Phương pháp: Tính đạo hàm rồi thay vào biểu thức và biến đổi. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Chứng minh rằng :   ' 0 fx  với 6 4 2 2 4 4 ( ) cos 2sin .cos 3sin .cos sin f x x x x x x x     . Hư ớng d ẫn Cách 1 : Ta có :         6 4 2 2 4 4 ( ) cos 2sin .cos 3sin .cos sin f x x x x x x x            5 3 2 4 6.sin .cos 8.cos .sin .cos 4.sin .sin .cos x x x x x x x x       4 2 3 3 6.cos .sin .cos 12.sin .sin .cos 4.cos .sin x x x x x x x x    5 3 3 5 5 3 3 3 = 6.sin .cos 8sin .cos 4sin .cos 6sin .cos 12sin .cos 4.cos .sin x x x x x x x x x x x x         3 3 3 2 3 3 3 3 4sin .cos 4cos .sin . sin 1 4sin .cos 4sin .cos 0 x x x x x x x x x         Cách 2 : Ta có :               4 2 4 2 2 4 2 4 2 4 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 2cos cos 3sin cos sin 1 2cos cos 1 2sin sin cos 2sin cos 2sin cos cos sin 2sin cos 2sin cos cos sin 1 f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                   Khi đó :   0 fx   Bài 2. Cho hàm số sin  y x x . Chứng minh:     . 2 sin 2cos 0 x y y x x x y       Hư ớng d ẫn Ta có:     sin .sin . sin sin cos y x x x x x x x x x        .         2 . 2 sin 2cos .sin 2 sin cos sin 2cos sin x y y x x x y x x x x x x x x x x            22 sin 2 cos 2 cos sin 0 x x x x x x x x      (đpcm). Bài 3. Cho hàm số cot 2 yx . Chứng minh: 2 2 2 0     yy Hư ớng d ẫn Ta có:       22 cot 2 2 1 cot 2 2 1          y x x y 2 2 2 0      yy . Bài 4. Cho hàm số tan yx . Chứng minh: 2 10 yy     Hư ớng d ẫn Ta có:   22 tan 1 tan 1 y x x y        2 10 yy      . Bài 5. Cho hàm số sin cos tan   x x x y x .Chứng minh rằng: 3 ' 2 cos .tan sin    x y y x x Hư ớng d ẫn Ta tiến hành rút gọn trước khi tính đạo hàm:     ' 22 2 3 2 2 2 sin cos .cos sin cos 1 .cos sin tan sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin cos 1 sin cos cos sin sin cos sin sin sin x x x x x x x y x x x x x x xx y x x x x x x xx xx xx VT x x x x x VP x x x                           Bài 6. Cho hàm số   2 cot 1 yx  . Chứng minh rằng:   '4 2 . . 1 0 y y x y    . Hư ớng d ẫn Ta có:                       ' ' 2 2 2 2 2 ' 2 2 2 cot 1 1 1 cot 1 . 1 1 cot 1 2 cot 1 2 cot 1 2 cot 1 x x x x x y x x x                             22 24 2 2 2 2 2 1 cot 1 2 cot 1 . . 2 cot 1 1 cot 1 .cot 1 0 xx VT x x x y x x x x x x VP                 Bài 7. Cho hàm số     2 2cos 4 1 f x x  . Chứng minh rằng:   ' 8, f x x    . Hư ớng d ẫn Ta có:               ' ' 16sin 4 1 cos 4 1 8sin 8 2 8sin 8 2 8 sin 8 2 8 f x x x x f x x x               Dấu ""  xảy ra khi:       1 sin 8 2 1 8 2 2 2 16 4 8 1 sin 8 2 1 8 2 2 2 16 4 8 k x x k x k k x x k x                                       Bài 8. Cho hàm số sin cos . cos sin x x x y x x x    Chứng minh rằng:   2 ' 2 2 sin cos 0 y x x x x y    . Hư ớng d ẫn Ta có: sin cos . cos sin x x x y x x x              '' ' 2 sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin x x x x x x x x x x x x y x x x        Tính     '' ' sin cos cos cos . cos sin x x x x x x x x x x      Tính     '' ' cos sin sin sin sin cos x x x x x x x x x x               2 ' 22 sin . cos sin sin cos cos cos sin cos sin x x x x x x x x x x x y x x x x x x        Ta có:       2 2 22 ' 2 2 2 2 sin cos sin cos . sin cos . 0 cos sin cos sin x x x x VT y x x x x y x x x x VP x x x x x x               Bài 9. Cho hàm số 2 cot 1 yx  . Chứng minh rằng: ' 2 2 . 1 . 0 y x x x y     . Hư ớng d ẫn Ta có: 2 cot 1 yx                  ' 2 ' ' 2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 cot 1 . 1 1 cot 1 . 1 cot 1 2 1 1 x x y x x x x xx                 Ta có:           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cot 1 . 1 .cot 1 cot 1 .cot 1 0 1 x VT x x x x x x x x x x x x                 Bài 10. Cho hàm số cos yx  . Chứng minh rằng:   ' ' ' 2 0 2 3 6 6 f x f x f f x                           Hư ớng d ẫn Ta có:     ' ' cos sin f x x x      '' ' 2 2sin sin 3 6 3 6 2 2sin .cos sin 2 3 3 3 25 sin 2 sin 2 cos 2 3 3 6 cos 2 0 cos 2 0 2 6 6 6 VT f x f x x x x x x x x x x x f f x                                                                                                                        VP     Bài 11. Cho hàm số     4 4 6 6 3 sin cos 2 sin cos y x x x x     . Chứng minh rằng: ' 0 yx    . Hư ớng d ẫn Ta tiến hành làm gọn biểu thức trước khi tiến hành lấy đạo hàm Ta có:     4 4 6 6 3 sin cos 2 sin cos y x x x x     Mà:               2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin cos sin cos sin cos 2sin cos 1 sin 2 2 3 sin cos sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1 sin 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                  22 ' 13 3 1 sin 2 2 1 sin 2 1 24 0, y x x yx                       Bài 12. Cho hàm số 3 sin 1 cos x y x      . Chứng minh rằng: ' .sin 3 0 y x y  Hư ớng d ẫn Ta có: 3 sin 1 cos x y x                 2' ' '' ' 2 2 2 ' 3 sin sin 3 1 cos 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 1 cos 1 cos 1 cos sin 1 3sin 3. 1 cos 1 cos 1 cos xx y xx x x x x x Mà xx x xx y xx x                                Ta có:   3 2 ' 3 3sin sin .sin 3 0 .sin 3. 0 1 cos 1 cos xx y x y x x x           Bài 13. Cho hàm số   3 sin 2 1 yx  . Chứng minh rằng:     ' sin 2 1 6 .cos 2 1 0 y x y x     Hư ớng d ẫn Ta có:   3 sin 2 1 yx                  ' ' ' 2 2 2 3sin 2 1 sin 2 1 3sin 2 1 cos 2 1 2 1 6sin 2 1 cos 2 1 y x x x x x x x            Ta có:               ' 23 sin 2 1 6 cos 2 1 6sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 6sin 2 1 cos 2 1 0 VT y x y x x x x x x VP              Bài 14. Cho hàm số 2 1 cos 1 x y x        . Chứng minh rằng:   4 ' 1 . 1 2tan . 0 1 x y x x y x          Hư ớng d ẫn Ta có: 2 1 cos 1 x y x                        ' ' ' '' ' 22 ' 22 1 1 1 1 1 2cos cos 2cos sin 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1 1 1 2cos sin s 11 11 x x x x x y x x x x x x x x x x Mà x x x x xx y xx x x x x                                                                                                 1 in 2. 1 x x       Ta có:       4 ' 4 2 2 1 . 1 2 tan . 1 1 sin .1 1 11 sin 2. 2 cos 0 11 1 1 cos 1 x VT y x x y x x xx x xx VP xx x xx x                                            Bài 15. Cho hàm số     4 2 4 2 cos 2cos 3 sin 2sin 3 y x x x x     . Chứng minh rằng ' y không phụ thuộc vào x. Hư ớng d ẫn Ta tiến hành làm gọn biểu thức trước khi tiến hành lấy đạo hàm         4 2 4 2 6 4 6 4 4 4 6 6 cos 2cos 3 sin 2sin 3 2cos 3cos 2sin 3sin 3 sin cos 2 sin cos 1 y x x x x x x x x x x x x              ' 0 y  . Vậy ' y không phụ thuộc vào x. IV. Giải phương trình – Bất phương trình liên quan đạo hàm của hàm lượng giác BÀI TẬP MẪU Bài 1. Giải phương trình   '0 fx  biết     3 1 sin 2cos 22 x f x x           Hư ớng d ẫn Ta có:     3 1 sin 2cos 22 x f x x               33 0 cos 2. .sin cos cos 2 2 2 2 2 x x x f x x x                            ' 0 cos cos 0 cos cos cos cos 2 2 2 2 24 2 33 2 24 2 x x x f x x x x x xk k x x xk xk                                            Bài 2. Giải phương trình ( ) 0 fx   trong các trường hợp sau a) ( ) sin3 3sin 4 f x x x    . b) ( ) cos2 2sin 3 f x x x    . c) ( ) 3cos sin 1 f x x x     . Hư ớng d ẫn a)   ( ) sin 3 3sin 4 3cos3 3cos f x x x f x x x            0 3cos3 3cos 0 cos3 cos f x x x x x            32 42 32 2 k x x x k k x x k xk                             . b)   ( ) cos 2 2sin 3 2sin 2 2cos f x x x f x x x             0 2sin 2 2cos 0 cos 2sin 1 0 f x x x x x             22 cos 0 22 1 66 sin 2 5 22 66 x k x k x x k x k k x x k x k                                        c)   31 0 3 sin cos 0 sin cos 0 sin 0 2 2 6 f x x x x x x                  66 x k x k k           . Bài 3. Cho hàm số ( 1)sin cos ( 2) 1 y m x m x m x       . Tìm giá trị của m để 0 y   có nghiệm? Hư ớng d ẫn ( 1)cos sin ( 2) y m x m x m       Phương trình 0 ( 1)cos sin ( 2) y m x m x m        Điều kiện phương trình có nghiệm là 2 2 2 a b c  2 2 2 2 1 ( 1) ( 2) 2 3 0 3 m m m m m m m                . Bài 4. Cho hàm số 2 cos 2 3 yx     . Khi đó hãy giải phương trình 0 y   . Hư ớng d ẫn TXĐ : D Ta có: 2 2.sin 2 3 yx        Theo giả thiết 2 0 sin 2 0 3 yx           32 k xk       . Bài 5. Cho hàm số sin 32 x y     . Khi đó hãy tìm nghiệm của phương trình '0 y  . Hư ớng d ẫn TXĐ : D  Ta có: 1 cos 2 3 2 x y        nên   0 cos 0 2 3 2 3 2 2 3 xx y k x k k                       Bài 6. Cho hàm số tan y x x  . Giải phương trình 0 y   . Hư ớng d ẫn TXĐ: \, 2 D k k         Ta có: 2 2 1 1 tan cos yx x     , khi đó   2 0 tan 0 tan 0 y x x x k k           Bài 7. Cho hàm số 2 sin .cos y x x  , giải phương trình 2sin yx   . Hư ớng d ẫn TXĐ : D  , ta có     2 2 2 3 sin cos sin cos 2sin cos sin y x x x x x x x        Vậy 2 3 2 3 2sin 2sin .cos sin 2sin 2sin 2sin .cos sin 0 y x x x x x x x x x              2 3 3 2sin 1 cos sin 0 3sin 0 sin 0 x x x x x x k k             . Bài 8. Cho hàm số 2 2sin cos 2 y x x x    , giải phương trình 3 y   . Hư ớng d ẫn TXĐ : D  Ta có: 4sin cos 2sin 2 1 2sin 2 2sin 2 1 4sin 2 1 y x x x x x x            3 4sin 2 1 3 sin 2 1 2 2 24 y x x x k x k k                     Bài 9. Cho hàm số     1 sin 1 cos y x x    , giải phương trình 2(cos sin ) y x x  . Hư ớng d ẫn TXĐ : D  Ta có:     22 cos 1 cos sin 1 sin cos sin cos sin y x x x x x x x x          , nên 22 2(cos sin ) cos sin cos sin 2(cos sin ) y x x x x x x x x          (cos sin )(cos sin ) (cos sin ) 0 (cos sin )(cos sin 1) 0 x x x x x x x x x x              sin 0 4 4 2 sin . 2 sin 1 0 2 44 1 sin 2 4 2 2 xk x x x k xk x xk                                                           Bài 10. Tính đạo hàm của hàm số sin 2 2 yx     và giải phương trình 0 y   . Hư ớng d ẫn TXĐ : D  Ta có sin 2 cos 2 2sin 2 2 y x x y x           . Vậy   0 sin 2 0 2 y x x k k         Bài 11. Cho hàm số 2 cot 4 x y  . Khi đó nghiệm của phương trình '0 y  Hư ớng d ẫn TXĐ :   \ 4 , D k k   Ta có : 2 2 1 1 1 cot . cot . 1 cot 2 4 2 4 4 sin 4 x x x y x               . Nên   0 cot 0 2 4 4 4 2 xx y k x k k                Bài 12. Cho hàm số   2sin 2 cos 2 f x x x  , giải phương trình 2sin 2 yx   . Hư ớng d ẫn TXĐ : D Ta có : 4cos2 2sin 2 y x x  2sin 2 4cos2 2sin 2 2sin 2 sin 2 cos2 y x x x x x x            2 1 2 cos2 0 4 8 2 tan x x k x k k do x               Bài 13. Tính đạo hàm của hàm số sau:   3 sin 2 1 yx  và giải phương trình   6cos 2 1 yx  . Hư ớng d ẫn TXĐ : D  Ta có     2 6sin 2 1 cos 2 1 y x x     . Vậy   6cos 2 1 yx            22 6sin 2 1 cos 2 1 6cos 2 1 cos 2 1 1 sin 2 1 0 x x x x x                   3 1 cos 2 1 0 cos 2 1 0 2 1 2 2 4 2 x x x k x k k                     . Bài 14. Tính đạo hàm của hàm số sau:   3 sin cos y x x  và giải phương trình 3 3sin 2 yx  . Hư ớng d ẫn TXĐ : D  Ta có :     2 3 sin cos cos sin y x x x x     , suy ra     2 3 3sin 2 3 sin cos cos sin 3 3sin 2 y x x x x x x         .       2 22 3 sin cos cos sin 3(sin cos ) (sin cos ) cos sin 1 0 x x x x x x x x x x             . 4 sin 0 sin cos 0 4 4 2 1 sin cos 1 0 2 sin 2 sin 1 0 2 4 2 4 xk x xk xx xk xx x x xk                                                                  Bài 15. Tính đạo hàm của hàm số sau: sin 2 cos2 2sin 2 cos2 xx y xx    , giải phương trình 6 y   . Hư ớng d ẫn ĐK : 2sin 2 cos2 0 xx  . Ta có           2 2cos 2 2sin 2 2sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 4cos 2 2sin 2 2sin 2 cos 2 x x x x x x x x y xx           2 6 2sin 2 cos 2 y xx        2 2 6 6 6 2sin 2 cos 2 1 2sin 2 cos 2 y x x xx                  2 1 1 sin 2 cos 2 sin 2 sin 2sin 2 cos 2 1 5 5 5 2sin 2 cos 2 1 2 1 1 sin 2 sin sin 2 cos 2 5 5 5 xx x xx xx x xx                                 22 22 2 22 22 2 xk xk xk xk k x k x k xk xk                                                                         với 12 sin ;cos 55   (Thỏa mãn ĐK) Bài 16. Cho hàm số 2 sin yx  , giải phương trình 3 y   . Hư ớng d ẫn TXĐ : D  Ta có : 2sin cos sin 2 y x x x  . Khi đó   0 sin 2 0 2 2 y x x k x k k            Bài 17. Cho hàm số cos2 5sinx yx  , giải phương trình 0 y   . Hư ớng d ẫn TXĐ : D  Ta có : 2sin 2 5cos y x x     . Nên 0 2sin 2 5cos 0 4sin cos 5cos 0 y x x x x x                 cos 5 4sin 0 cos 0 5 4sin 0 2 x x x do x x k k              . Bài 18. Cho hàm số 3sin cos 2 y x x x    , giải phương trình 0 y   . Hư ớng d ẫn TXĐ : D  Ta có : 3 cos sin 2 y x x     , khi đó   5 0 3 cos sin 2 0 sin 1 2 36 y x x x x k k                  Bài 19. Cho hàm số 22 sin 2 2cos y x x  , giải phương trình 0 y   . Hư ớng d ẫn TXĐ : D  Ta có : 4sin 2 cos2 2sin 2 y x x x  , nên   0 2sin 2 cos 2 sin 2 0 sin 2 2cos 2 1 0 y x x x x x           2 sin 2 0 2 2 1 22 cos 2 3 2 3 xk x xk k xk x xk                                   . Bài 20. Tìm m để phương trình 0 y   có nghiệm biết rằng cos 2sin 3 5 y m x x x     . Hư ớng d ẫn TXĐ : D  Ta có : sin 2cos 3 y m x x     , khi đó   0 sin 2cos 3 1 y m x x      Phương trình 0 y   có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm khi và chỉ khi : 22 5 4 9 5 5 m mm m            . BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Giải phương trình     ' f x g x  biết     3 sin 2 ; 4cos2 5sin 4 f x x g x x x    Bài 2. a) Cho sin 2 2cos y x x  . Hãy giải phương trình 0 y   . b) Cho 3sin 2 4cos 12 y x x x    . Hãy giải phương trình 2 y   . Bài 3. Giải phương trình 0 y   trong mỗi trường h ợp sau: a) sin 2 2cos y x x  b) 3sin 2 4cos2 10 y x x x    c) 2 cos sin y x x  d) tan cot y x x  e) 3cos 4sin 5 y x x x    f) 2 1 sin( ) 2cos 2 x yx           g) 1 sin 2 sin 3 2 y x x    h) sin 2 2cos y x x  i) 2 cos sin y x x  j) tan cot y x x  k) 2 cos 3sin y x x x    l) 3sin 2 4cos2 10 y x x x   CHUYÊN ĐỀ 5 ĐẠO HÀM HÀM KÉP – ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI ĐẠO HÀM I. Tính đạo hàm của hàm số       10 20 khi khi f x x x fx f x x x       Phương pháp: Bước 1: Kiểm tra hàm số có liên tục tại 0 x hay không:     0 0 lim xx f x f x   Bước 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm       0 0 0 0 ' lim xx f x f x fx xx     BÀI TẬP MẪU Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số   24 khi 0 1 khi 0 4 x x x fx x          tại 0 x  Hư ớng d ẫn Ta có:       0 0 0 2 4 1 lim lim lim 0 4 24 x x x xx f x f x xx          Suy ra hàm số liên tục tại 0 x  . Ta có:         2 2 0 0 0 2 4 1 0 1 4 ' 0 lim lim lim 64 2 8 4 4 x x x x f x f x x f xx x x x              Bài 2. Cho hàm số   11 khi 0 khi 0 x x fx x ax          . Tìm a để hàm số có đạo hàm tại 0 x  và tính đạo hàm tại 0 x  . Hư ớng d ẫn Ta có:     0 0 0 1 1 1 lim lim lim 2 11 x x x xx fx x xx            Để hàm số có đạo hàm tại 0 x  thì hàm số phải liên tục tại 0 x  Suy ra     0 1 lim 0 2 x f x f a      Đạo hàm của hàm số tại 0 x  là:         2 2 0 0 0 1 1 1 0 1 2 ' 0 lim lim lim 08 2 2 2 1 x x x x f x f x x f xx x x x               Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số 32 11 khi 0 () 0 khi 0 xx x fx x x            tại 0 x  . Hư ớng d ẫn Ta có : (0) 0 f  , do đó: 32 2 32 0 0 0 ( ) (0) 1 1 1 1 lim lim lim 2 11 x x x f x f x x x xx xx               Vậy 1 (0) . 2 f   II. Tính đạo hàm của hàm số       10 20 khi khi f x x x fx f x x x       Phương pháp: Bước 1: Kiểm tra hàm số có liên tục tại 0 x hay không:       00 0 lim lim x x x x f x f x f x    Bước 2: Xét 0 xx  . Sử dụng công thức tính đạo hàm       0 0 0 0 ' lim xx f x f x fx xx     Xét 0 xx  . Sử dụng công thức tính đạo hàm       0 0 0 0 ' lim xx f x f x fx xx     BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho hàm số   2 khi 1 khi 1 xx fx ax b x       . Tìm , ab để hàm số có đạo hàm tại 1 x  Hư ớng d ẫn Hàm số có đạo hàm tại 1 x  thì hàm số phải liên tục tại 1 x  . Suy ra       11 lim lim 1 1 xx f x f x f a b        Hàm số có đạo hàm tại 1 x  thì     ' 1 ' 1 ff   . Ta có:             0 0 11 ' 1 lim 2 11 ' 1 lim x x f x f f x f x f fa x                 Để     ' 1 ' 1 2 1 f f a b        Bài 2. Chứng minh rằng: Hàm số 1 x y x   liên tục tại 0 x  nhưng không có đạo hàm tại 0 x Hư ớng d ẫn a) Ta có:             00 0 0 0 0 lim lim 0 1 lim lim 0 lim lim 0 1 00 xx x x x x x fx x x f x f x f x f x f                              Nên hàm số liên tục tại 0 x  Ta có:                 00 00 0 ' 0 lim lim 1 0 ' 0 lim lim 1 xx xx f x f f f x x f x f f f x x                Vì     ' 0 ' 0 ff   nên hàm số không có đạo hàm tại 0 x  Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số 32 2 3 khi 1 () 2 7 4 khi 1 1 xx fx x x x x x             tại 0 1 x  . Hư ớng d ẫn Ta có:   11 lim ( ) lim 2 3 5 xx f x x        32 2 1 1 1 2 7 4 lim ( ) lim lim 3 4 0 1 x x x x x x f x x x x                Dẫn tới 11 lim ( ) lim ( ) xx f x f x    suy ra: hàm số không liên tục tại 0 1 x  nên hàm số không có đạo hàm tại 0 1 x  . Bài 4. Chứng minh rằng hàm số 2 2 | 1| () 1 xx fx x    liên tục tại 1 x  nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Hư ớng d ẫn Vì hàm () fx xác định tại 1 x  nên nó liên tục tại đó. Ta có: ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1) 2 ( 1) lim lim 1 11 xx f x f x f xx               ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1) ( 1) lim lim 2 2 1 xx f x f f x               ( 1) ( 1) ff               () fx  không có đạo hàm tại 1 x  . Bài 5. Cho hàm số   2 2 1 1 11 x khi x fx x bx khi x         . Để hàm số này có đạo hàm tại 1 x  thì giá trị của b là? Hư ớng d ẫn Ta có:   13 f      11 lim lim 2 1 3 xx f x x          2 11 lim lim 1 2 xx f x x bx b        Để hàm số   fx có đạo hàm tại 1 x  khi và chỉ khi   fx liên tục tại 1 x        11 lim lim 1 xx f x f x f      23 b    1 b  Bài 6. Tìm , ab để hàm số   2 1 1 x x khi x fx ax b khi x      có đạo hàm tại 1 x  . Hư ớng d ẫn Điều kiện cần để hàm số có đạo hàm tại 1 x  là hàm số liên tục tại 1 x  .   12 f      2 11 lim lim 2 xx f x x x          11 lim lim xx f x ax b a b       Để hàm số   fx có đạo hàm tại 1 x  thì   fx liên tục tại 1 x        11 lim lim 1 xx f x f x f      2 ab    Điều kiện đủ:   1 f        1 1 lim 1 x f x f x     2 1 2 lim 1 x xx x        1 lim 2 3 x x      1 f        1 1 lim 1 x f x f x         1 1 lim 1 x f x f x        1 lim 1 x ax b a b x        1 lim 1 x ax a a x      Để hàm số   fx có đạo hàm tại 1 x  thì   1 f      1 f   31 ab      Bài 7. Tìm , ab để hàm số   3 1 3 1 x khi x fx ax b khi x         có đạo hàm tại 1 x  . Hư ớng d ẫn Điều kiện cần:   1 1 3 f    3 11 1 lim lim 33 xx x fx           11 lim lim xx f x ax b a b       Để hàm số   fx có đạo hàm tại 1 x  thì   fx liên tục tại 1 x        11 lim lim 1 xx f x f x f      1 3 ab    Điều kiện đủ:   1 f        1 1 lim 1 x f x f x      3 1 1 33 lim 1 x x x      2 1 1 lim 1 3 x xx       1 f        1 1 lim 1 x f x f x         1 1 lim 1 x f x f x        1 lim 1 x ax b a b x        1 lim 1 x ax a a x      Để hàm số   fx có đạo hàm tại 1 x  thì   1 f      1 f   2 1 3 ab      BÀI TẬP TỰ GIẢI: Bài 8. Cho hàm số   2 2 khi 1 khi 1 x a x fx x bx x            . Tìm , ab để hàm số liên tục tại 1 x  (HD: 2; 4 ab    ) Bài 9. Cho   sin 3 0 3 2 0 x khi x y f x x khi x       . Tính đạo hàm của hàm số tại 0 0 x  bằng định nghĩa. Bài 10. Cho hàm số: 2 sin 0 () 00 x khi x y f x x khi x         a) Chứng minh rằng   fx liên tục tại 0 0 x  . b) Tính đạo hàm (nếu có) của   fx tại điểm 0 0 x  . Bài 11. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số 2 1 cos khi 0 () 0 khi 0 xx y f x x x         tại điểm 0 0 x Bài 12. Chứng minh rằng hàm số: 2 2 ( 1) 0 () 0 x khi x y f x x khi x        không có đạo hàm tại điểm 0 0 x  nhưng có đạo hàm tại 0 2 x  . Bài 13. Tìm , ab để hàm số 2 21 () 11 x khi x y f x ax b khi x        có đạo hàm tại điểm 1 x  . Bài 14. Cho hàm số: cos sin 0 () 10 p x q x khi x y f x px q khi x         Chứng minh rằng với mọi cách chọn , pq hàm số không thể có đạo hàm tại điểm 0 x  . Bài 15. Tìm , ab để hàm số 3 2 20 () 0 x khi x y f x x ax b khi x          có đạo hàm tại điểm 0 x  . Khi đó tính   '0 f HD:   0; 2; ' 0 0 a b f     Bài 16. Cho hàm số 2 () 21 x y f x x    a) Xét sự liên tục của hàm số tại 0 2 x  b) Xét xem tại 0 2 x  hàm số có đạo hàm không? Bài 17. Cho   2 2 2 3 sin 0 00 x x khi x y f x x khi x          . a) Xét sự liên tục của hàm số tại 0 0 x  b) Xét xem tại 0 0 x  hàm số có đạo hàm không? Bài 18. Chứng minh rằng hàm số 2 23 31 xx y x    liên tục tại 3 x  nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy. Bài 19. Cho hàm số:   2 sin 0 00 x khi x y f x x khi x         a) Chứng minh rằng   fx liên tục tại 0 0 x  . b) Tính đạo hàm (nếu có) của   fx tại điểm 0 0 x  . Bài 20. Cho hàm số: 2 1 sin 0 () 00 x khi x y f x x khi x         a) Tính đạo hàm của hàm số tại mỗi x  . b) Chứng tỏ rằng đạo hàm   fx  không liên tục tại điểm 0 0 x  . Bài 21. Xét sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau trên : a) 2 22 1 2 1 x x khi x y khi x x            b) 2 1 2 1 x x khi x y khi x x        Bài 22. Tìm a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x = 1: a) 2 1 1 x khi x y ax b khi x       b) 2 2 2 2 1 1 x khi x y x ax b khi x              Bài 23. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số 1 x y x   tại 0 0 x  . Bài 24. Chứng minh rằng hàm số 2 23 31 xx y x    liên tục tại –3 x  nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy. Bài 25. Chứng minh rằng hàm số 3 2 yx  liên tục tại 0 x  nhưng không có đạo hàm tại 0 x CHUYÊN ĐỀ 6 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM I. Sử dụng đạo hàm để tính giới hạn dạng 0 ; 0   : Quy tắc LÔPITAN Phương pháp: Sử dụng quy tắc Lopitan:         00 lim lim x x x x f x f x g x g x     BÀI TẬP MẪU Bài 1. Tính giới hạn: 1) 2 1 1 lim 1 x x x    2) 2 73 lim 2 x x x    Hư ớng d ẫn 1)     2 2 1 1 1 1 12 lim lim lim 2 11 1 x x x x xx x x             2)     2 2 2 1 73 7 3 1 27 lim lim lim 2 1 6 2 x x x x x x x x              BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Tính các giới hạn sau theo quy tắc Lopitan: 1) 2 1 1 lim 1 x x x    .ĐS: 2. 2) 0 1 lim 2 x x x      ĐS: 1.  3) 3 2 2 8 lim 4 x x x    ĐS: 3 4) 2 1 3 4 1 lim 1 x xx x    ĐS: 2 Bài 2. Tìm các giới hạn sau theo quy tắc Lopitan: 1) 2 2 4 1 3 lim 4 x x x    ĐS: 1 6 2) 2 0 11 lim x x x   ĐS: 0 3) 4 53 lim 4 x x x    ĐS: 1 6  4) 2 9 3 lim 9 x x xx    ĐS: 1 . 54  5) 2 7 23 lim 49 x x x    ĐS: 1 . 56  6) 32 1 2 7 4 lim 43 x xx xx      ĐS: 4 15  Bài 3. Tìm các giới hạn sau theo quy tắc Lopitan 1. 0 11 lim x xx x     ĐS: 1 7. 4 35 lim 15 x x x    ĐS: 1 . 3 2. 1 1 lim 32 x x x    ĐS: 2. 8. 1 2 2 3 1 lim 1 x xx x      ĐS: 1 4  II. Sử dụng đạo hàm trong bài toán giải PT-BPT Phương pháp: Sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay vào bài toán để giải. Chú ý: Cho tam th ức   2 ( 0) , f x ax bx c a     1. Để   , 0 x x f   thì: Trường hợp 1: Xét 0 a  Trường hợp 2: 0 0 a      2) Để ( ) 0, f x x    thì: Trường hợp 1: Xét 0 a  Trường hợp 2: 0 0 a      3) Để ( ) 0, f x x    thì: Trường hợp 1: Xét 0 a  Trường hợp 2: 0 0 a      4) Để ( ) 0, f x x    thì : Trường hợp 1: Xét 0 a  Trường hợp 2: 0 0 a      BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho hàm số 32 5 y mx x x     . Tìm m để: a) y  bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất. b) 0 y   có hai nghiệm trái dấu. c) 0 y   với mọi x  . Hư ớng d ẫn Ta có: 2 3 2 1 y mx x     a) Để y  là bình phương của một nhị thức bậc nhất thì phương trình 0 y   có nghiệm kép Suy ra 00 1 ' 0 1 3 0 3 mm m m            . Vậy: .. b) Để 0 y   có hai nghiệm trái dấu thì . 0 3 0 0 a c m m      . c) Để 0 y   với mọi x  thì: 3 0 0 1 ' 0 1 3 0 3 mm m m            . Vậy…………………. Bài 2. Cho hàm số   3 1 x fx x   . Giải phương trình   0 fx   . Hư ớng d ẫn Điều kiện: 1 x  .         23 32 22 31 23 11 x x x xx fx xx       32 0 0 2 3 0 3 2 x f x x x x             . Vậy: ……………. Bài 3. Cho hàm số   2 2 f x x x  . Giải bất phương trình     f x f x   Hư ớng d ẫn Ta có   2 1 2 x fx xx     . Khi đó     2 2 1 2 2 x f x f x x x xx        (1) Đk:     ;0 2; x       . (1) 22 35 2 1 2 3 1 0 35 2 x x x x x x x                    . Kết hợp với điều kiện trên suy ra 0 x  hoặc 35 2 x   . Bài 4. Cho hàm số     2 21 f x x x x    . Giải bất phương trình   0. fx   Hư ớng d ẫn Ta có       2 1 2 2 1 2 . 21 f x x x x x x            2 2 2 2 1 2 21 x x x x x       2 5 2 4 21 xx x    . Điều kiện 1 x  .   0 fx   2 5 2 4 0 xx     1 21 5 1 21 5 x x            . Bài 5. Cho hàm số     3 2 23 3 x f x mx m x      . Tìm các giá trị nguyên của tham số m để   '0 fx  với mọi x  . Hư ớng d ẫn Ta có   2 22 f x x mx m        0 f x x     2 2 2 0 x mx m x       10 '0 a      2 20 mm     12 m     Vì m nguyên nên   1;0;1;2 m . Bài 6. Cho     2 3 2 3 2 3, 3 2       x f x x x g x x . Giải bất phương trình     f x g x   . Hư ớng d ẫn       2 3 2 2 3 2 2 3 6 2 , 3 3 2 x f x x x x x g x x x x                         2 2 2 6 2 3 3 3 0 ;0 1; f x g x x x x x x x x                 Bài 7. Cho   3 60 64 35     f x x xx . Giải phương trình   0 fx   . Hư ớng d ẫn Ta có   3 2 4 60 64 60 192 3 5 3 f x x x x x x                 24 60 192 0 3 0 1 fx xx       . Đặt   2 1 ,0  tt x   2 11 1 192 60 3 0 4 16         t t t t Với 2 2 1 1 1 42 44         t x x x Với 2 2 1 1 1 16 4 16 16         t x x x Vậy   0 fx   có 4 nghiệm 2  x , 4  x Bài 8. Cho hàm số   2 7 f x x x    . Giải bất phương trình   1 2 fx   . Hư ớng d ẫn Xét tam thức: 2 7 xx  có 1 28 27 0 10 a           2 70 xx     , x  . Ta có     2 2 7 27 xx fx xx      2 21 27 x xx    . Do đó   1 2 fx   2 2 1 1 2 27 x xx    2 2 1 7 x x x        2 2 2 1 0 2 1 7 x x x x            22 1 2 4 4 1 7 x x x x x             2 1 2 3 3 6 0 x xx           1 2 2 1 x x x               1 x  . Bài 9. Cho hàm số 32 1 5 32 m x y x x m . Tất cả các giá trị của tham số m để 0 y   , x . Hư ớng d ẫn 32 1 5 32 y m x x mx    ; 2 m y x x m     2 0, 0, x x mx m x y           2 4 0 0 4 m m m       . Bài 10. Cho hàm số 32 11 4 2019 34 y x x x     . Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 0 y   . Tổng tất cả các phần tử của S bằng bao nhiêu? Hư ớng d ẫn 2 1 4 2 y x x     . 0 y   2 1 40 2 xx      1 65 1 65 44 x   .   1;0;1;2 S nên có tổng các phần tử là: 2 . Bài 11. Cho hàm số 32 1 1010 2019 2020 3 y x x x     . Giải bất phương trình 0 y   . Hư ớng d ẫn Ta có 2 2020 2019 y x x     . 2 0 2020 2019 0 y x x       1 2019 x x       . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là     ;1 2019; S       . BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Giải bất phương trình     '' f x g x  biết     2 3 2 3 2 2018; 2020 3 x f x x x g x x      Bài 2. Cho hàm số 3 2 35 3 mx y x mx     . Xác định m để   ' 0 f x x    (HD: 3 m  ) Bài 3. Cho hàm số 32 1 25 3 y x x mx     . Tìm m để     ' 0 0;2 f x x    (HD: 0 m  ) Bài 4. Cho hàm số   3 2 2 1 2 1 4 3 y x m x m x      . Tìm m để: a) '( ) 0 fx  với mọi 0 x  b)   '0 fx  có hai nghiệm phân biệt cùng dấu c) Trong trường hợp   '0 fx  có hai nghiệm. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Bài 5. Giải phương trình   '0 fx  biết   2 2 34 1 xx fx xx    Bài 6. Giải bất phương trình     ' f x f x  biết   2 2 f x x x  Bài 7. Cho hàm số 32 32 y x x x     . Tìm x sao cho: a) 2 y   b) 10 y   Bài 8. Giải các bấy phương trình: a) 0 y   với 2 33 1 xx y x    b) 0 y   với 2 2 1 1 xx y xx    Bài 9. Tìm các nghiệm của phương trình sau: a)   0 fx   với 32 1 ( ) 2 6 1 3 f x x x x     . b)   –5 fx   với 4 3 2 13 ( ) 3 42 f x x x x     . Bài 10. Cho hàm số 32 ( ) 3 2 f x x x    . Hãy giải các bất phương trình sau: a) ( ) 0 fx   b) ( ) 3 fx   Bài 11. Giải bất phương trình     f x g x   , biết rằng: a) 3 ( ) 2 f x x x    và 2 ( ) 3 2 g x x x    b) 32 ( ) 2 3 f x x x    và 2 3 ( ) 3 2 x g x x    Bài 12. Cho hàm số 2 2 24 y x x    . Giải bất phương trình 2 ( ) ( ) f x f x   Bài 13. Cho hàm số 2 2 12 y x x    . Giải bất phương trình ( ) 0 fx   . (TN THPT 2010) Bài 14. Cho hàm số: 32 ( ) 2 3 y f x x x mx      . Tìm m để: a)   fx  là bình phương của một nhị thức bậc nhất. b)   0, f x x    . c)   0, ( 2 ) 0; f x x     . d)   0, 0 f x x     . Bài 15. Cho hàm số:   32 ( ) 3 2 32 mx mx y f x m x       . Tìm m để: a)   0, f x x    . b)   fx  có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. c) Chứng minh rằng trong trường hợp   fx  có hai nghiệm (hai nghiệm có thể trùng nhau) thì các nghiệm này thỏa mãn một hệ thức độc lập với m . Bài 16. Tìm m để: a) 3 – y mx x  có 0, yx     . b) 32 1 43 3 y x mx x     có 0, yx     . c) 32 – 3 4 y x mx mx  có 0, yx     . d)     32 – 3 2 1 2 5 2 y x m x m x      có 0, yx     . e) 32 1 – 2 – 2 3 y x x mx    có 0, yx     . f) 32 1 –– 3 y x mx mx  có   0, 0; yx       . Bài 17. Với mỗi hàm số sau đây: ① Tìm TXĐ ② Tính y  ③ Xét dấu y  , chỉ ra 0 y   , 0 y   trên khoảng, các khoảng nào: a) 3 – 3 1 y x x    b) 32 1 – 3 8 – 2 3 y x x x  c) 21 2 x y x    d) 2 2 1 xx y x    e) 2 22 1 xx y x      f) 1 1 2 y x   g) 42 –4 y x x  h) 42 41 y x x    i) 4 1– 1 1 yx x   j) 2 4 3 – y x x  k) 32 1 3 7 2 3 y x x x     l) 42 23 y x x    m) 32 5 y x x     n) 2 4 yx  o) 2 2 1 xx y x    p) 2 2 7 12 23 xx y xx    q) 2 3 y x x  r) 2 20 y x x    s) 2 89 5 xx y x    t) 1 2 1 yx x   u) 2 23 y x x    III. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức: Phương pháp: Sử dụng các công thức để tính đạo hàm rồi thay vào biểu thức để biến đổi BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho hàm số 2 1    y x x . Chứng minh: 2 10     y x y Hư ớng d ẫn Ta có: 2 222 1 1 111        x x x y y xxx . 22 1 1 0         y x y y x y . Bài 2. Cho hàm số 2 1    y x x . Chứng minh: 2 2 1 . x y y   Hư ớng d ẫn Ta có:   22 2 22 11 1 . 1 . 1 1 2 1 2 1 x y x x x x x x x x x                       22 2 2 2 2 1 1 1 . 1 2 1 2 1 21 x x x x y x x x xx            . 2 2 1 . x y y     . Bài 3. Cho hàm số 3 1 yx  . Chứng minh: 2 3 1 0 yy   Hư ớng d ẫn 32 3 1 1 3 1 y x y x y y          2 3 1 0 yy     Bài 4. Chứng minh các công thức tổng quát sau a)   2 2 11 1 1 1 1 22 2 1 1 1 1 1 1 2 ab a c b c xx ab a c b c ax bx c a x b x c a x b x c           ; ( 1 1 1 , , , , , a b c a b c là hằng số) . b)   2 11 2 11 2 11 11 . 2 . bc a a x a b x ab ax bx c a x b a x b           ; ( 11 , , , , a b c a b là hằng số) . Hư ớng d ẫn a)           2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 22 2 1 1 1 1 1 1 .. ax bx c a x b x c ax bx c a x b x c ax bx c a x b x c a x b x c                    =           22 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 . . 2 ax b a x b x c ax bx c a x b a x b x c        =         2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 . . 2 . . . . a b a b x a c a c x b c b c a x b x c       . ( đpcm) b)           ' ' 22 2 1 1 1 1 2 11 11 .. ax bx c a x b ax bx c a x b ax bx c a x b a x b                         2 1 1 1 2 11 2 . . ax b a x b ax bx c a a x b        .     2 1 1 1 1 2 11 . 2 . . . a a x a b x b b a c a x b      .( đpcm) BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Chứng minh rằng hàm số ax b y cx d    có đạo hàm là 2 ' () ad bc y cx d    Áp dụng tính đạo hàm của : 35 2 x y x    , 4 32 y x   , 2 13 x y x   Bài 2. Chứng minh rằng hàm số 2 '' ax bx c y b x c    có đạo hàm là 2 2 ' 2 ' ' ' ' ( ' ') ab x ac x bc b c y b x c      Áp dụng tính đạo hàm của : 2 27 2 xx y x    , 2 1 32 x y x    , 2 21 5 xx y x    Bài 3. Chứng minh hàm số 2 2 ' ' ' ax bx c y a x b x c    có đạo hàm là: 2 22 2 ' ' ' ' ' ' ' ( ' ' ') a b a c b c xx a b a c b c y a x b x c    Áp dụng tính đạo hàm của : 2 2 21 33 xx y xx    , 2 2 3 6 1 32 xx y xx    , 2 2 2 5 6 5 xx y x    Bài 4. Chứng minh rằng hàm số: a) 2 2 y x x  thỏa hệ thức: 3 '' 1 0 yy  . b)   3 2 1 y x x    thỏa hệ thức:   2 1 '' ' 9 0 x y xy y     . c) 5 3 y x  thỏa hệ thức: '3 xy y  . d) 3 4 x y x    thỏa hệ thức: 2 2( ') ( 1) '' y y y CHUYÊN ĐỀ 7 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ Dạng 1. Phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm   00 ; M x y Phương pháp: - Bước 1: Tìm tọa độ tiếp điểm   00 ; M x y - Bước 2: Tính   '' y f x  , rồi suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là   0 ' fx - Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị   C tại   00 ; M x y là:     0 0 0 '. y f x x x y    BÀI TẬP MẪU Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3 41 y x x    tại : a) Điểm   1 ; 2 M  b) Tại điểm có hoành độ bằng 2. c) Tại điểm có tung độ bằng 1. Hư ớng d ẫn Ta có: 2 ' 3 4 yx  a) Hệ số góc của tiếp tuyến là:   2 ' 1 3.1 4 1 y     Phương trình tiếp tuyến là:       00 ' 1 . 1 1 2 1 y y x x y x x           b) Ta có: 3 0 0 0 0 2 4 1 1 x y x x       Hệ số góc của tiếp tuyến là:   2 ' 2 3.2 4 8 y    Phương trình tiếp tuyến là:   8 2 1 8 15 y x x      c) Ta có: 0 33 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 1 4 0 2 1 x y x x x x x x                  TH1:   00 0; 1 ' 0 4 x y y       Phương trình tiếp tuyến là:   4 0 1 4 1 y x x        Tương tự hai trường hợp còn lại, các em tự viết. Bài 2. Cho hàm số 32 21 y x x    có đồ thị là   C . Viết phương trình tiếp tuyến của   C tại điểm   1; 4 M Hư ớng d ẫn Ta có 2 34 y x x  . Do đó   17 y   . Phương trình tiếp tuyến tại điểm   1; 4 M là 73 yx  . Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 1 y x   tại điểm có hoành độ 0 1 x  Hư ớng d ẫn Ta có     2 4 11 1 yy x         . Theo giả thiết ta có 0 1 x  nên 0 2 y   tiếp điểm   1; 2 M  . Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm   1; 2 M  là :   1 1 2 yx     3 yx     . Bài 4. Cho hàm số 3 31 y x x    (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp điểm bằng 3 Hư ớng d ẫn Ta có: 2 33 yx  . Gọi   00 ; M x y là tiếp điểm Ta có: 3 0 0 0 0 0 3 3 2 0 2, 1 y x x x x           0 1 ( 1) 0 xy       . Phương trình tiếp tuyến: 3 y   . Phương trình tiếp tuyến: . Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung Hư ớng d ẫn Ta có:   2 2 2 2 1 ' 21 xx y x    . Giao điểm M của đồ thị với trục tung : 00 01 xy     Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là :   01 k y'  . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : . Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 23 1 x y x    tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng : Lời giải Tập xác định:   \ 1 . D  0 2 (2) 9 xy     9( 2) 3 9 15 y x x      2 31 21 xx y x    1 yx Đạo hàm:   2 1 . 1 y x    Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 ; 0 . 3 A    Hệ số góc của tiếp tuyến là 2 9. 3 y      Phương trình tiếp tuyến là: 2 9 0 9 6 3 y x y x          Bài 7. Cho hàm số 24 3 x y x    có đồ thị là (H) . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là: Hư ớng d ẫn Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là (2;0) A . Ta có: 2 2 ' '(2) 2 ( 3) yy x       Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 2( 2) yx    hay 24 yx    . Bài 8. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số 21 2 x y x    với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại điểm M . Hư ớng d ẫn Vì M là giao điểm của đồ thị với trục Oy 1 0; 2 M     2 3 ( 2) y x     3 (0) 4 ky      Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M là: 31 42 yx    Bài 9. . Cho hàm số:     32 1 3 1 2 y x m x m x m        . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm   2; 1 A  . Hư ớng d ẫn Hàm số đã cho xác định với x  . Ta có:   2 ' 3 2 1 3 1 y x m x m      Với     1 1 3 1 ' 1 6 x y m y m        Phương trình tiếp tuyến tại điểm có 1 x  :     6 1 3 1 y m x m      Tiếp tuyến này đi qua   2; 1 A  nên có: 1 6 3 1 2 mmm         Vậy, 2 m  là giá trị cần tìm. Bài 10. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 32 (2 1) ( 3) 3 y x m x m x       và (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 2 x  . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng 7 17 . Hư ớng d ẫn Hàm số đã cho xác định với x  . Ta có:   2 ' 3 2 2 1 3. y x m x m      Phương trình tiếp tuyến (d) : '(2)( 2) (2) y y x y          11 – 7 – 2 7 – 6 11 – 7 8 – 15 (11 7 ) 8 15 0 y m x m m x m m x y m           22 2 8 15 7 (0,( )) 17(8 15) 49[(11 7 ) 1] 17 (11 7 ) 1 m d d m m m          2 1313 3466 2153 0 1, m m m       2153 1313 m  BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 1 1 x y x    biết hoành độ tiếp điểm là 0 0 x  Bài 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 2 yx  biết tung độ tiếp điểm là 0 2 y  Bài 3. Cho hàm số 32 31 y x x    có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Tại điểm   M 1;3  ; 2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 ; 3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ;. 4. Tại giao điểm (C) với trục tung ; ĐS: 1. 36 yx    2. 24 27 yx  3. 1 y  , 9 28 yx  4. 1 y  Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k Phương pháp: Bước 1: Tính   ' fx Bước 2: Giải phương trình   00 ' f x k x y    Bước 3: Phương trình tiếp tuyến là:   00 . y k x x y    Chú ý: Nếu đường thẳng song song với y ax b  thì ka  . Nếu đường thẳng vuông góc với y ax b  thì 1 k a  . Nếu đường thẳng tạo với trục Ox một góc  thì tan k   Nếu đường thẳng tạo với đường thẳng   d góc  thì tan 1. ka ka     . Với a là hệ số góc của đường thẳng   d Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tan OB OAB OA  , trong đó hệ số góc của d được xác định bởi   ' tan y x OAB  BÀI TẬP MẪU Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị   C : 2 4 6 y x x     , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1 6 yx  . Hư ớng d ẫn Hàm số đã cho xác định D  Gọi   t là tiếp tuyến của đồ thị   C của hàm số và   t vuông góc với đường thẳng 1 1 6 yx  , nên đường thẳng   t có hệ số góc bằng 6  . Cách 1: Gọi   00 ; M x y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến   t và đồ thị   C của hàm số . Khi đó, ta có phương trình:   3 0 0 0 ' 6 4 2 6 y x x x              2 0 0 0 1 2 2 3 0 x x x       . Vì 2 0 0 0 2 2 3 0, x x x      nên phương trình       00 1 1 4 1;4 x y y M        . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:   6 1 4 6 10 y x x        . Cách 2: Phương trình   t có dạng 6 y x m      t tiếp xúc   C tại điểm   00 ; M x y khi hệ phương trình sau có nghiệm 0 x 42 0 0 0 3 00 66 4 2 6 x x x m xx              có nghiệm 0 0 1 10 x x m       Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:   6 1 4 6 10 y x x        . Bài 2. Cho hàm số 3 12 33 y x x    có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng 12 33 yx    . Hư ớng d ẫn Hàm số đã cho xác định D  Ta có: 2 '1 yx  Gọi 3 0 0 0 0 0 12 ( ; ) ( ) 33 M x y C y x x      , Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: 2 00 '( ) 1 y x x  Đường thẳng d: 12 33 yx    có hệ số góc 2 1 3 k  22 1 2 0 0 1 . 1 ( 1) 1 4 3 d k k x x                00 00 4 2 3 20 xy xy             Vậy, có 2 điểm   4 2;0 , 2; 3 M     là tọa độ cần tìm. Bài 3. Cho hàm số 3 3 2 (C)    y x x . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9. Hư ớng d ẫn Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R. Gọi 0 x là hoành độ tiếp điểm M khi đó 0 x là nghiệm của phương trình 0 22 0 0 0 0 2 '( ) 9 3 3 9 4 (2;0) 2 x y x k x x M x               hoặc ( 2; 4) M  +) Với (2;0) M phương trình tiếp tuyến là 9 18  yx . +) Với ( 2; 4) M  phương trình tiếp tuyến là 9 14  yx . Bài 4. Cho hàm số 32 31    y x x có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng :9 6 0     xy . Hư ớng d ẫn Đường thẳng :9 6 0 9 6        x y y x có hệ số góc là 9 Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng  suy ra tiếp tuyến có hệ số góc 9  k . Suy ra hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình 2 3 ' 3 6 9 1           x y k x x x Với 1  x , phương trình tiếp tuyến là 9( 1) 3 9 6       y x y x ( loại vì trùng với đường thẳng  ). Với 3  x , phương trình tiếp tuyến là 9( 3) 1 9 26       y x y x ( thỏa mãn ). Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là 9 6.  yx Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 9 1    x y x biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 2 2 0    d x y . Hư ớng d ẫn Đường thẳng 1 : 2 2 0 1 2       d x y y x nên đường thẳng d có hệ số góc là 1 2  d k . Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k vuông góc với đường thẳng 1 . 1 2         d d k k k k . Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 2 1 8 '2 3 ( 1)             x yk x x Với 1  x , phương trình tiếp tuyến là: 2( 1) 5 2 7.         y x y x Với 3  x , phương trình tiếp tuyến là: 2( 3) 3 2 9         y x y x . Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là: 1 : 2 7; 2 9       d y x y x . Bài 6. Cho hàm số 1 2    x y x có đồ thị (C) và điểm (2;1) I . Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M sao cho  IM d . Hư ớng d ẫn Tập xác định   \2  DR Ta có 2 1 ' ( 2)   y x . Giả sử 0 00 0 1 ( ; ) (x 2) 2    x Mx x Hệ số góc của tiếp tuyến (d) tại M của đồ thị (C): 10 0 1 '( ) 2    k y x x . Hệ số góc của đường thẳng 0 0 2 2 00 1 1 21 : 2 ( 2)           MI MI x y y x IM k x x x x d vuông góc của đường thẳng 0 4 1 2 0 22 0 00 3 11 . 1 . 1 ( 2) 1 1 ( 2) ( 2)                  x IM k k x x xx Với 0 3 (3;2) : 5       x M d y x . Với 0 1 (1;0) : 1       x M d y x . Vậy các tiếp tuyến thỏa mãn là 5    dx hoặc 1    yx . Bài 7. Cho hàm số 22 2    x y x (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng 3  yx một góc 0 45 . Hư ớng d ẫn Tập xác định   \2  DR . Giả sử tiếp tuyến d cần tìm có hệ số góc k. Vì d tạo với đường thẳng 3  yx có hệ số góc ' k một góc 0 45 nên suy ra 0 2 '3 tan 45 1 1 1 1 . ' 1 3 2              k k k k k k k k Gọi hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 2 00 022 0 00 2 0 2 2 (VN) ( 2) 0 2 2 1 '( ) 2 1 4 ( 2) ( 2) 2 ( 2) 2                       xx y x k k x xx x Với 0 0  x suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 11 ( 0) 1 1. 22      y x x Với 0 4  x suy ra phương trình tiếp tuyến là 11 ( 4) 3 5 22      y x x . Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là 11 1; 5. 22     y x y x Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 23    x y x biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân tại O với O là gốc tọa độ. Hư ớng d ẫn Tập xác định 3 \ 2      DR . Tam giác OAB vuông cân tại O nên suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là 1  k hoặc 1  k . Khi đó hoành độ tiêp điểm 0 x là nghiệm của phương trình: 2 00 2 0 0 2 0 1 1 (VN) (2 3) 1 1 '1 12 (2 3) 1 (2 3)                            xx yk x x x Với 00 11     xy , phương trình tiếp tuyến là  yx (loại vì cắt trục tung và trục hoành tại O nên  A B O ). Với 00 20     xy , phương trình tiếp tuyến là 2    yx (thỏa mãn). Vậy tiếp tuyến cần tìm là 2    yx . Bài 9. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 23    x y x biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân tại O với O là gốc tọa độ. Hư ớng d ẫn Tập xác định   \1  DR . Ta có 1 tan 4  OB OAB OA nên hệ số góccủa tiếp tuyến 1 4  k hoặc 1 4  k . Nhưng do 2 1 ' 0, 1 ( 1)       yx x nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1 4  k . Hoành độ tiếp điểm 0 x là nghiệm phương trình 0 2 0 0 3 11 1 ( 1) 4         x x x . Từ đó ta xác định được hai tiếp tuyến thỏa mãn: 1 5 1 13 ; 4 4 4 4       y x y x . Bài 10. Cho hàm số 1 2( 1) x y x    có đồ thị là () C . Tìm những điểm M trên () C sao cho tiếp tuyến với () C tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 40 xy  . Hư ớng d ẫn Hàm số đã cho xác định   \1 D Gọi M ( 0 0 0 1 ; 2( 1) x x x   ) () C  là điểm cần tìm. Gọi  tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình  : ' 0 00 0 1 ( )( ) 2( 1) x y f x x x x        0 0 2 0 0 1 1 () 2( 1) 1 x y x x x x        Gọi A Ox     2 00 21 ;0 2 xx A      , B Oy     2 00 2 0 21 0; 2( 1) xx B x      .  OAB có trọng tâm là: G 22 0 0 0 0 2 0 2 1 2 1 ; 6 6( 1) x x x x x          . Do G thuộc đường thẳng 40 xy   22 0 0 0 0 2 0 2 1 2 1 4. 0 6 6( 1) x x x x x           2 0 1 4 1 x   (vì 2 00 2 1 0 xx    ) 00 00 11 1 22 13 1 22 xx xx                 Với 0 1 1 3 ; 2 2 2 xM         Với 0 3 3 5 ; 2 2 2 xM        . Bài 11. Cho hàm số     32 3 9 10 y x x x có đồ thị là (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Hư ớng d ẫn Hàm số đã cho xác định D  Ta có: 2 ' 3 6 9 y x x    . Gọi 00 ( ; ) ( ) M x y C  : 32 3 9 10 y x x x     . Tiếp tuyến tại điểm M có hệ số góc: 22 0 0 0 0 '( ) 3 6 9 3( 1) 12 12 k y x x x x          mink 12,  đạt được khi: 00 1 y 21. x     Vậy trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại   M 1;16  có hệ số góc nhỏ nhất và có phương trình là: 12 9 yx    BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Cho hàm số 32 31 y x x    có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Có hệ số góc là 3  . 2. Vuông góc với đường thẳng (d ): 27 3 2019 0 xy    . 3. Song song với đường thẳng (d’ ) : 24 2020 0 xy    . Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 32 1 2 3 y x x     biết tiếp tuyến song song 3 2020 yx    (HD: 1 3 ; 3 11 3 y x y x       ) Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 32 21 3 33 y x x    biết tiếp tuyến vuông góc với 4 2021 xy  (HD: 1 2021 4 2021 44 x y y x      . Suy ra tiếp tuyến có hệ số góc 4 k  Từ đó viết được 4 4 ; 4 1 3 y x y x       ) Bài 4. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 32 1 2 3 1 3 y x x x      biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhấ t. Bài 5. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3 32 y x x    biết tiếp tuyến song song trục hoành. Bài 6. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 2 2 3 9 y x x    biết tiếp tuyến hợp với trục hoành góc 0 45 Bài 7. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị 42 6 y x x     biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 2019 6 yx  Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm   11 ; A x y Phương pháp: Cách 1: Bước 1: Tính   ' fx Bước 2: Gọi   00 ; M x y là tiếp điểm suy ra phương trình tiếp tuyến là:     0 0 0 '. y f x x x y    (1) Bước 3: Vì tiếp tuyến đi qua   11 ; A x y nên thay 11 ; x x y y  vào phương trình (1) để tìm 00 xy  Bước 4: Thay 00 , xy vào (1) để viết lại phương trình tiếp tuyến. Cách 2:  Đường thẳng   d đi qua điểm   11 ; A x y có hệ số góc là k có dạng :   11 y k x x y    .  Để   d là tiếp tuyến thì hệ:       11 ' f x k x x y f x k        . Giải hệ trên được  00 xy tiếp tuyến. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 32 31 y x x    biết tiếp tuyến qua   1;3 A Hư ớng d ẫn Ta có: 2 ' 3 6 y x x  . Cách 1: Gọi   00 ; M x y là tiếp điểm suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là :   2 0 0 0 ' 3 6 k y x x x   Phương trình tiếp tuyến là:     2 3 2 0 0 0 0 0 3 6 . 3 1 y x x x x x x       (1) (Các em chú ý 32 0 0 0 31 y x x    ) Vì tiếp tuyến đi qua   1;3 A nên thay 1; 3 xy  vào (1) ta được:     00 2 3 2 0 0 0 0 0 00 1 9; 3 3 3 6 . 1 3 1 2 0; 3 x k y x x x x x x k y                   Vậy phương trình tiếp tuyến là: 9 6; 3 y x y    Cách 2: Đường thẳng   d đi qua điểm   1;3 A có hệ số góc là k có dạng :   13 y k x    . Để   d là tiếp tuyến của đồ thị thì hệ phương trình           2 1 3 1 ' 3 6 2 f x k x k f x x x          có nghiệm. Thay   2 vào   1 ta được:     3 2 2 3 2 3 2 2 3 3 1 3 6 1 3 3 1 3 3 6 6 3 1 2 6 4 0 2 x x x x x x x x x x x x xx x                         Với 1 9; 3 2 0; 3 x k y x k y            suy ra phương trình tiếp tuyến là: 9 6; 3 y x y    Bài 2. Cho đồ thị hàm số     32 : 2 3 5 C y f x x x     . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị   C biết tiếp tuyến đi qua điểm 19 ;4 12 A    . Hư ớng d ẫn Gọi k hệ số góc của tiếp tuyến đi qua 19 ;4 12    A tới   C . Phương trình tiếp tuyến    là: 19 4 12       y k x .    tiếp xúc với   C     32 2 19 2 3 5 4 1 12 6 6 2 x x k x x x k                có nghiệm Thay k từ   2 vào   1 ta được:   3 2 2 19 2 3 5 6 6 4 12          x x x x x     3 2 2 4 6 19 2 12 19        x x x x x x 32 8 25 19 2 0      x x x 1 2 1 8           x x x . Với 10 xk     phương trình tiếp tuyến là: 4 y  Với 2 12 xk     phương trình tiếp tuyến là: 19 12 4 12 15 12 y x y x          Với 1 21 8 32 xk      phương trình tiếp tuyến là: 21 19 21 645 4 32 12 32 128 y x y x            Vậy từ điểm 19 ;4 12    A kẻ được 3 tiếp tuyến tới   C Bài 3. Có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số   32 1 x yC x    đi qua điểm   9;0 A . Tính tích hệ số góc của hai tiếp tuyến đó? Hư ớng d ẫn TXĐ:   \1   2 1 1 y x     Đường thẳng d đi qua điểm   9;0 A với hệ số góc k có phương trình   9 y k x  . Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị   C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm         2 32 91 1 1 2 1 x kx x k x              Thế   2 vào   1 , ta có:         2 3 2 1 . 9 3 2 1 9 1 1 x x x x x x x           2 1 3 4 7 0 7 3 x xx x            Do đó tích hệ số góc của hai tiếp tuyến đó bằng   79 1 . . 3 64 yy      Bài 4. Tìm điểm trên đường thẳng 21 yx  để từ đó kẻ được đến đồ thị   C của hàm số 3 1 x y x    đúng một tiếp tuyến? Hư ớng d ẫn TXĐ:   \1 D  . Gọi   ;2 1 A a a  : 2 1 d y x    .Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d  đi qua   ;2 1 A a a  . Suy ra phương trình   : 2 1 d y k x a a      Xét hệ phương trình:     2 3 21 1 4 1 x k x a a x k x                   1     2 34 21 1 1 x x a a x x             2 1 2 2 2 4 6 4 0 2 x ax a x a             Để từ   ;2 1 A a a  chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến   C thì  phương trình   1 có một nghiệm  phương trình   2 có một nghiệm khác 1. Có các trường hợp sau: Trường hợp 1: phương trình   2 là phương trình bậc nhấ t có nghiệm 1 x  0 1 8 4 0 2 a x x           ( T/m). Suy ra   0;1 A thỏa mãn. Trường hợp 2: phương trình   2 là phương trình bậc hai có nghiệm kép 1 x      2 12 0 2 4 2 6 4 0 24 1 2 a a a a a xx a                     2 0 8 8 16 0 a aa          1 2 a a       . Suy ra có 2 điểm thỏa mãn     1; 1 2;5 A A      Trường hợp 3: phương trình   2 là phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm 1 x         2 0 2 4 2 6 4 0 1 2 2 2 4 6 4 0 a a a a a a a a                     . Suy ra   1;3 A thỏa mãn. Vậycó 4 điểm thỏa mãn yêu cầu đầu bài. Bài 5. Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số 32 4 6 1    y x x , biết tiếp tuyến đó đi qua điểm   1 ; 9 .  M Hư ớng d ẫn TXĐ: R Ta có: 2 12 12  y x x . Phương trình đường thẳngđi qua   1; 9 M  có dạng:     : 1 9 y k x     .  là tiếp tuyến của đồ thị khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:   32 32 2 5 4 6 1 1 9 8 6 12 10 0 4 12 12 1 x x k x x x x x k x x x                        Với 1 24 xk      phương trình tiếp tuyến   24 1 9 24 15 y x y x       Với 5 15 44 xk     phương trình tiếp tuyến   15 15 21 19 4 4 4 y x y x       Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu . Bài 6. Cho hàm số 32 3 y x x  có đồ thị   C và điểm   ;0 Mm sao cho từ M vẽ được ba tiếp tuyến đến đồthị   C , trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Tìm giá trị của m ? Hư ớng d ẫn TXĐ: R Ta có 2 36 y x x  . Đường thẳng d đi qua   ;0 Mm có hệ số góc k có phương trình :   y k x m  d là tiếp tuyến của   C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:         32 2 3 2 3 2 2 3 3 6 3 2 3 1 6 0 36 k x m x x x m x x x x x m x mx k x x                        2 0 2 3 1 6 0 1 x x m x m          . Khi 0 x  ta có phương trình tiếp tuyến 0 y  . Đối với đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nào vuông góc với 0 y  nên yêu cầu bài toán tương đương phương trình   1 có hai nghiệm 1 x và 2 x khác 0 thỏa     12 .1 y x y x       22 1 1 2 2 3 6 3 6 1 x x x x        1 2 1 2 1 2 9 . . 2 4 1 0 x x x x x x             9 3 3 3 1 4 1 0 m m m           27 1 0 m     1 27 m  . Thay 1 27 m  vào   1 thử lại có 2 nghiệm phân biệt khác 0 . Vậy 1 27 m  thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài 7. Cho hàm số 42 22 y x x    có đồ thị   C . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị   C biết tiếp tuyến đi qua điểm   0;2 A ? Hư ớng d ẫn TXĐ: R Ta có: 3 44 y x x  Đường thẳng d đi qua điểm   0;2 A có hệ số góc k có dạng: 2 y kx  Để đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị   C khi và khi hệ phương trình sau có nghiệm:   42 4 2 3 4 2 3 0 2 2 2 2 2 2 4 4 2 3 2 0 3 44 2 3 x x x kx x x x x x x x x x x k x                                 Với 00 xk     phương trình tiếp tuyến là: 2 y  . Với 2 4 6 39 xk      phương trình tiếp tuyến là: 46 2 9 yx    . Với 2 4 6 39 xk      phương trình tiếp tuyến là: 46 2 9 yx  Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 31 y x x    () C biết tiếp tuyến đó đi qua điểm (3;19) A Hư ớng d ẫn Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là điểm 00 ( ; ) M x y . ta có phương trình tiếp tuyến là 23 0 0 0 0 (3 3)( ) 3 1 y x x x x x       () d d đi qua điểm (3;19) A nên ta có: 23 0 0 0 0 19 (3 3)(3 ) 3 1 x x x x       . Giải phương trình trên ta được 0 3 x  hoặc 0 3 2 x  . Với 0 3 x  thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là 24 53 yx  . Với 0 3 2 x  thì phương trình tiếp tuyến là 15 31 44 yx  Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là 24 53 yx  và 15 31 44 yx  . Bài 9. Từ điểm (1 ;3) A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị hàm số 21 1 x y x    Hư ớng d ẫn Gọi điểm 00 ( ; ) M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 21 1 x y x    tại M là: 0 00 2 00 21 3 ( ) ( 1) ( 1) 1 x y x x x xx        . Tiếp tuyến đi qua (1;3) A nên ta có 0 00 2 00 21 3 3 (1 ) ( 1) ( 1) 1 x xx xx        0 7 x  Vậy qua điểm A kẻ được duy nhấ t một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số./ Bài 10. Cho hàm số 2 1 x y x    có đồ thị () C và điểm (0; ) Aa . Tìm a để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị() C sao cho tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành. Hư ớng d ẫn Giả sử điểm 00 ( ; ) M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Ta có phương trình tiếp tuyến tại M là 0 0 2 00 2 3 () ( 1) 1 x y x x xx         0 1 x  Tiếp tuyến này đi qua điểm A nên ta có : 00 0 2 00 32 ( 1) ( 1) 1 xx ax xx      2 0 0 0 0 0 2 00 ( 2)( 1) ( 1) 3 0 ( 1) (1 ) (2 4) 2 0 (*) x x a x x x a x a x a                Theo định lý viet ta có : 12 12 24 1 2 . 1 a xx a a xx a              . Với 12 ; xx là hai nghiệm của (*) Để tiếp điểm của hai tiếp tuyến nằm về hai phía đối với trục hoành thì 12 .0 yy  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 2 24 2 2 2( ) 4 11 . 0 0 0 3 2 2 4 1 1 ( ) 1 1 1 11 aa a x x x x x x aa aa x x x x x x a aa                               Vậy với các điểm (0; ) Aa thỏa mã 2 ;1 3 aa    ta luôn kẻ được hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài Bài 11. Cho hàm số 1 yx x  có đồ thị() C . Tìm tập hợp các điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị () C và hai tiếp tuyến ấ y vuông góc với nhau. Hư ớng d ẫn Gọi (a;b) M là điểm bấ t kì trong mặt phẳng tọa độ. Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là: () y k x a b    . d là tiếp tuyến của đồ thị() C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 2 11 () 11 1 ; 1 k x a b x kx x ka b xx k kx x k xx                      . (1) 2 2 2 2( 2) 4 0 (2) a k ab k b       Từ 2 1 1 k x  ta thấ y với mỗi 1 k  thì luôn có hai giá trị của x trái dấu, do đó hệ (1) có nghiệm  (2) có hai nghiệm 12 ;1 kk  . Mặt khác, hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau nên ta có 12 .1 kk  . Yêu cầu bài toán (2)  có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn : 12 12 .1 ;1 kk kk      2 22 2 0 0 4 14 (1) 0 a a b ab a ab f                      . Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm (0;0) O , bán kính bằng 2, sau khi đã bỏ đi 4 điểm là giao với các đường thẳng 0, x y x  . Bài 12. Cho hàm số 2 2 1 x mx m y x    có đồ thị (C) . Tìm tấ t cả các giá trị thực của tham số m để từ điểm (0;1) A không kẻ được bấ t kì tiếp tuyến nào đến đồ thị() C . Hư ớng d ẫn Phương trình tiếp tuyến của đồ thị () C tại điểm 00 ( ; ) M x y là 22 0 0 0 0 0 2 00 2 4 2 () ( 1) 1 x x x mx m y x x xx        Tiếp tuyến không đi qua điểm (0;1) A nên phương trình 2 0 0 0 ( 3) 2( 1) 1 0, ( 1) (*) m x m x m x         vô nghiệm hoặc có nghiệm 0 1 x TH1: 3 0 3 mm     ta có 0 1 2 x  nên 3 m  không thỏa mãn TH2: 3 m  . (*) vô nghiệm ' 0 1 m      TH3: (*) có nghiệm 0 1 x  suy ra 20  (vô lý ). Vậy 1 m  thì không có tiếp tuyến nào của đồ thị() C đi qua A. Bài 13. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 31 y x x    biết tiếp tuyến đó đi qua điểm ( 2; 1) A . Hư ớng d ẫn Phương trình tiếp tuyến của đồ thị () C tại điểm 00 ( ; ) M x y là: 23 0 0 0 0 (3 3)( ) 3 1 y x x x x x       Tiếp tuyến đi qua điểm ( 2; 1) A nên ta có: 23 0 0 0 0 1 (3 3)( 2 ) 3 1 x x x x         32 00 0 0 2 6 8 0 1 1 2 9 17 xx x y x y x                   Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1 y  và 9 17 yx  Bài 14. Cho hàm số 3 4 3 2 y x x     có đồ thị () C . Tìm trên đường thẳng 3 y  các điểm mà trên đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị () C . Hư ớng d ẫn Giả sử ( ;3) Am là điểm trên đường thẳng 3 y  thỏa mãn từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến: 23 0 0 0 ( 12 3)( ) 4 3 2 y x x x x x        . Tiếp tuyến đi qua A nên ta có: 23 0 0 0 3 ( 12 3)(m ) 4 3 2 x x x x        Hay 32 00 2 0 0 0 8 12 3 1 0 1 (8 (4 12 ) 2 6 ) 0 2 x mx m x x m x m               Yêu cầu bài toán 32 00 8 12 3 1 0 x mx m      có 3 nghiệm phân biệt 2 00 (8 (4 12 ) 2 6 ) 0 x m x m       có hai nghiệm phân biệt khác 1 2 1 '0 1 1 3 2 1 2 m m m m                     Vậy từ các điểm ( ;3) Am thỏa mãn 11 ( ; 1) ; \ 32 m                  kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài 15. Cho đồ thị hàm số 3 34 y x x  có đồ thị() C . Từ điểm (1 ;3) M có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị () C . Hư ớng d ẫn Phương trình tiếp tuyến của đồ thị () C tại điểm 00 ( ; ) M x y là: 23 0 0 0 0 (3 12 )( ) 3 4 y x x x x x      Tiếp tuyến đi qua (1 ;3) M nên ta có: 23 0 0 0 0 3 (3 12 )(1 ) 3 4 x x x x      0 32 00 0 0 8 12 0 3 2 x xx x           Vậy qua M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài 16. Cho hàm số 21 1 x y x    có đồ thị (C) và điểm (1 ;2) I . Tìm điểm M thuộc đồ thị () C có hoành độ lớn hơn 2 sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng IM . Hư ớng d ẫn Gọi 0 0 0 21 ; 1 x Mx x      thuộc (C) . Phương trình tiếp tuyến tại M là 0 0 2 00 21 1 () ( 1) 1 x y x x xx       Phương trình đường thẳng 2 0 1 : ( 1) 2 ( 1) MI y x x     Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có: 0 22 0 00 0 ( ) 11 .1 2 ( 1) ( 1) x loai x xx           Với 00 23 xy    . Vậy điểm (2;3) M Bài 17. Cho hàm số 2 1 x y x    có đồ thị   C và điểm   0; Aa . Hỏi có tấ t cả bao nhiêu giá trị nguyên của a trong đoạn   2018;2018  để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến đến   C sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành? Hư ớng d ẫn TXĐ:   \1 Ta có :   2 3 1 y x    Đường thẳng d đi qua điểm   0; Aa , hệ số góc k có phương trình: y kx a  . Để d là tiếp tuyến của   C thì hệ phương trình       2 2 * 1 3 ** 1 x kx a x k x              có nghiệm. Thay (**) vào (*) ta được:   2 23 1 1 xx a x x         2 1 2 2 2 0 a x a x a        với 1 x  .   1 Do từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến   C nên phương trình   1 có hai nghiệm phân biệt khác 1.     1 2 3 2 0 1 1 2 2 2 0 a a a a a a a                        .   2 Khi đó toạ độ hai tiếp điểm là 1 1 1 2 ; 1 x Mx x      và 2 2 2 2 ; 1 x Nx x      với 1 x , 2 x là nghiệm của   1 do đó   12 22 1 a xx a    , 12 2 1 a xx a    . Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành khi: 12 12 22 .0 11 xx xx        1 2 1 2 1 2 1 2 24 0 1 x x x x x x x x        9 6 2 0 33 a a        . Kết hợp điều kiện   2 suy ra 2 3 1 a a        nên trên đoạn   2018;2018  số giá trị nguyên của a thỏa yêu cầu bài toán là 2018 . Bài 18. Gọi S là tập hợp các điểm thuộc đường thẳng 2 y  mà qua mỗi điểm thuộc S đều kẻ đượchai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số 2 1 x y x   đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Tính tổng hoành độ T của tấ t cả các điểm thuộc S . Hư ớng d ẫn TXĐ:   \1 Ta có :   2 2 2 1 xx y x     2 1 1 11 x yx xx      Gọi điểm     ;2 : 2 A a d y  . Đường thẳng d đi qua A có dạng   2 y k x a    Điều kiện tiếp xúc:     2 2 2 2 1 2 1 x k x a x xx k x                    2 2 1 4 4 0 * a k k     Để 2 tiếp tuyến vuông góc nhau thì phương trình ( * ) có 2 nghiệm k phân biệt và tích của hai nghiệm đó bằng 1     2 4 1 1 a     3 1 a a      Vậy tổng hai hoành độ là 2 . BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 2 yx  biết tiếp tuyến qua   0; 1 A  Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 32 33 y x x    biết tiếp tuyến qua 23 ;1 9 B     Bài 3. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số   y f x  , biết tiếp tuyến qua điểm A a) 2 4 1 xx y x    , với   1; – 4 A . b) 42 2 y x x  , với   0; –1 A . c) 3 31 y x x    , với   1; –6 A . d) 2 44 1 xx y x    , với   –1; 0 A . e) 42 69 y x x    , với   0; 9 A Bài 4. Tìm m để đường thẳng 1 y mx  tiếp xúc 32 4 y x x x   LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Bài 5. Tìm m để đường thẳng 7 yx  tiếp xúc 2 1 xm y x    Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến với   2 : P y x  , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm   0 ; –1 A . Bài 7. Cho hàm số 32 – 3 2 y x x  . Viết phương trình tiếp tuyến của   C , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua   0; 3 A . BÀI TẬP TỔNG HỢP: Bài 1. Cho đường cong 3 ( ) : C y x  và hai điểm   1; 1 A và   1 ;1 B x y     trên () C . a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB với x  lần lượt là 0,1 và 0,01 b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với () C tại A . Bài 2. Cho hàm số 1 () y f x x  . có đồ thị () C . Viết phương trình tiếp tuyến với () C , biết: a) tiếp điểm có hoành độ bằng 2 b) Tiếp điểm có tung độ bằng 3 c) Hệ số góc của tiếp tuyến –4 k  . d) Tiếp tuyến song song với : 9 2017 d x y  e) Tiếp tuyến vuông góc với : 4 2017 d x y  . f) Tiếp tuyến qua điểm   8; 0 A  Bài 3. Cho Parabol 2 yx  và hai điểm   2; 4 A và 2 ; 4 () B x y     trên parabol đó. a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết x  lần lượt bằng 1; 0,1 và 0,001. b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A . Bài 4. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong   C , biết: a)   2 :2 C y x x  và hoành độ , MN theo thứ tự là 2, 1 MN xx  . b)   2 1 : xx Cy x   và hoành độ , MN theo thứ tự là 1, 3 MN xx  . Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 yx  , biết: a) Tiếp điểm có hoành độ bằng – 1. b) Tiếp điểm có tung độ bằng 8 . c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 . Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol 1 y x  , biết: a) Tại điểm 1 ;2 2    . b) Tiếp điểm có hoành độ bằng –1.c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 4  . Bài 7. Cho đường cong   : C y x  . Viết phương trình tiếp tuyến của   C : a) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1. b) Biết tiếp tuyến song song với : – 4 3 0 xy    . Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: a) 1 1 x y x    , biết hoành độ tiếp điểm là 0 0 x  . b) 2 yx  , biết tung độ tiếp điểm là 0 2 y  . Bài 9. Cho hai hàm số 1 2 y x  và 2 2 x y  . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mội hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên. Bài 10. Cho parabol   2 : P y x  . Gọi 1 M và 2 M là hai điểm thuộc   P lần lượt có hoành độ 1 –2 x  và 2 1 x  . Hãy tìm trên   P một điểm E sao cho tiếp tuyến tại E song song với cát tuyến 12 MM . Viết phương trình tiếp tuyến đó. Bài 11. Cho hàm số 32 32 y x x    . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng :3 – 5 – 2017 0 xy  . Bài 12. Cho hàm số     42 : – – 1 m C y f x x mx m     . Tìm tấ t cả các giá trị của tham số m để các tiếp tuyến của   m C tại   1; 0 A và   –1; 0 B vuông góc với nhau. Bài 13. Cho hàm số 2 cos sin y x m x  ( m là tham số) có đồ thị   C . Tìm m trong mỗi trường hợp sau: a) Tiếp tuyến của   C tại điểm có x   có hệ số góc bằng 1. b) Tiếp tuyến của   C tại các điểm có các hoành độ 4 x   và 3 x   song song hoặc trùng nhau. Bài 14. Tìm giao điểm của hai đường cong   2 :1 P y x x    và   1 : 1 Hy x   . Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng. Bài 15. Cho parabol 2 ( ) : P y x  . Viết phương trình tiếp tuyến với   P , biết: a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4 3 d y x  . b) Tiếp tuyến đi qua điểm   0; 1 A  . Bài 16. Viết phương trình tiếp tuyến của: a) 1 1 x y x    tại điểm   2; 3 A . b) 32 41 y x x    tại điểm có hoành độ 0 –1 x  . c) 2 44 y x x    tại điểm có tung độ 0 1 y  . d) 21 yx  tại điểm có hoành độ 0 4 x  . e) 2 2 15 3 xx y x    biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 4 . f) 42 – 2 1 y x x  biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 . g) 32 32 y x x    biết tiếp tuyến : – 3 –15 0 d D x y  . h) 3 3 y x x    tại điểm có hoành độ 0 –1 x  . i) 21 1 x y x    tại điểm có hoành độ 0 2 x  . Bài 17. Cho     32 : 1 x C y f x x    . Lập phương trình tiếp tuyến của   C : a) Tại điểm có hoành độ bằng 2 b) Tại điểm có tung độ bằng 5 2 c) // : – 25 d D y x  d) : 4 – 2017 d x y    . Bài 18. Gọi   C là đồ thị hàm số 42 21 y x x    . Viết phương trình tiếp tuyến của   C trong mỗi trường hợp sau: a) Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng : –3 1 d y x  . b) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : – 7 2017 xy  . c) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm   0; 2 A Bài 19. Gọi   C là đồ thị hàm số 32 52 y x x    . Viết phương trình tiếp tuyến của   C trong mỗi trường hợp sau: a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2 . b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành. c) Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 8 2017 d x y  . d) Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm   0; – 6 A .