74 bài hình học nâng cao lớp 8 - chương III - phần 2

Bài tập hình học nâng cao lớp 8 – chương III – phần 2

&&&-------+++++---------&&&

Bồi dưỡng HSG

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có góc B là góc tù. Kẻ AH vuông góc với BD tại H,

HK vuông góc với CD tại K. Gọi M là trung điểm của DK và N là trung điểm của BH.

(cho biết S là diện tích)

1/ Chứng minh: ∆𝑨𝑩𝑵 ~ ∆𝑯𝑫𝑴

2/ Kẻ NO vuông góc với AB tại O. Chứng minh: 3 điểm O, H, M thẳng hàng

3/ AN cắt BC tại E và cắt CD tại F. Trong trường hợp

𝑺 ∆𝑨𝑯𝑫 𝑺 ∆𝑪𝑬𝑭 =

𝟏𝟓

𝟏𝟔

. Tính tỷ số

𝑺 ∆𝑨𝑯𝑭 𝑺 ∆𝑩𝑵𝑬

4/ Kẻ NS vuông góc với AD tại S. Chứng minh:

𝑯𝑴

𝑯𝑺

=

𝑩𝑪

𝑨𝑩

Bài 2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn

có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại

H, EF cắt AH tại O. Gọi M và N lần lượt

là hình chiếu của C và B trên đường

thẳng EF

1/ Chứng minh:

𝑶𝑨

𝑨𝑫

=

𝑶𝑭

𝑫𝑭

2/ Chứng minh:

𝑴𝑪

𝑩𝑵

=

𝑯𝑪

𝑯𝑩

.

𝑨𝑪

𝑨𝑩

3/ Chứng minh:

𝑬𝑭

𝑴𝑵

=

𝑨𝑯

𝑨𝑫 +𝑯𝑫

4/ Chứng minh:

𝑨𝑴

𝑨𝑵

=

𝑶𝑭

𝑶𝑬

Bài 3. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn

(AB

tại H, EF cắt AH tại O

1/ Chứng minh: HC.OF = OH.AC

2/ Gọi M là trung điểm của OB và N là trung

điểm của OC. Chứng minh:

𝑯𝑩

𝑴𝑵

=

𝟐𝑨𝑪 .𝑩𝑫

𝑨𝑩 .𝑭𝑪

3/ Chứng minh: 𝑨𝑩

𝟐 − 𝑨𝑪

𝟐 = 𝟒 . (𝑨𝑴

𝟐 − 𝑨𝑵

𝟐 )

4/ MF cắt EN tại S. Chứng minh: Đường thẳng

AS đi qua trung điểm đoạn thẳng BC

Bài 4. Cho tam giác ABC có 3 góc

nhọn (AB

BE, CF cắt nhau tại H

1/Chứng minh:

𝟐 𝑨𝑫

𝟐 = 𝑨𝑭 . 𝑨𝑩 + 𝑨𝑬 . 𝑨𝑪 + 𝟐𝑩𝑫 . 𝑪𝑫

2/ Gọi I là trung điểm của BC và K là

điểm đối xứng H qua I. Chứng minh

: ∆𝑨𝑲𝑪 ~ ∆𝑨𝑯𝑭

3/ AK cắt HC tại O. Lấy điểm M

thuộc đoạn thẳng AC sao cho

EF // OM. Chứng minh: HM // BC

4/ KC cắt AD tại L và cắt HM tại J.

Gọi T là điểm đối xứng O qua C.

Chứng minh: Tam giác LTJ là tam giác vuông

Bài 5. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn

(AB

tại H. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của F

và E trên đường thẳng AH

1/ Chứng minh:

𝑨𝑵

𝑨𝑴

=

𝑨𝑩

𝟐 𝑨𝑪

𝟐

2/ Chứng minh: Với mọi trường hợp tam giác

ABC nhọn, không thể xảy ra trường hợp M là

trực tâm của tam giác BNC

3/ Chứng minh:

𝑴𝑨

𝑴𝑯

.

𝑵𝑨

𝑵𝑯

= (

𝑨𝑫

𝑵𝑫

+

𝑨𝑴

𝑴𝑫

)

𝟐

4/ Chứng minh:

𝟏 𝑺 ∆𝑩𝑭𝑪 +

𝟏 𝑺 ∆𝑩𝑬𝑪 −

𝟏 𝑺 ∆𝑩𝑯𝑪 =

𝟏 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 (S là diện tích)

Bài 6. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB

thuộc BC). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD

1/ Chứng minh:

𝑨𝑬

𝑨𝑭

=

𝑫𝑬 𝑫𝑭

2/ EC cắt AB tại K và cắt BF tại O. Chứng minh: 3 đường thẳng KF, BE, OD đồng quy

3/ OA cắt BC tại M. Chứng minh: 𝑨𝑴

𝟐 = 𝑴𝑩 . 𝑴𝑪 − 𝑨𝑩 . 𝑨𝑪

4/ Chứng minh:

𝑩𝑫

𝑪𝑫

.

𝑨𝑫

𝑨𝑬

+

𝑫𝑬 𝑨𝑬

= 1 và

𝑶𝑨

𝑶𝑴

= (𝟏 −

𝑫𝑩 𝑫𝑪 )

𝟐

Bài 7. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Điểm

E di động trên đoạn thẳng AB, điểm F di

động trên đoạn thẳng AC sao cho

EF // BC và BE > AE. Gọi M là N lần lượt là

trung điểm của AF và AC.

1/ Chứng minh: Tứ giác EMNB là hình thang

2/ Chứng minh: Khi E và F di động thì giá trị

của biểu thức A =

𝑺 𝑩𝑬𝑴𝑵 𝑺 𝑩𝑬𝑭𝑪 +

𝑺 ∆𝑬𝑭𝑵 𝑺 ∆𝑩𝑴𝑭 có giá trị

Không đổi (S là diện tích)

3/ NE cắt BM tại O và EC cắt BF tại I. Chứng minh: OI // BC và

𝑺 ∆𝑩𝑶𝑰 𝑺 𝑨𝑶𝑰𝑪 >

𝟏 𝟑

4/ Trong trường hợp 𝑨𝑪

𝟐 = 𝟐 𝑨𝑩

𝟐 . Chứng minh: góc 𝑴𝑩𝑭 ̂

= góc 𝑵𝑬𝑪 ̂

Bài 8/ Cho tam giác ABC có N là trung điểm của AC. Điểm M thuộc đoạn thẳng AB

sao cho BM = 2AM. Cho MN cắt BC tại E. Cho biết S là diện tích

1/ Trong trường hợp BC = 12cm. Tính độ dài EC

2/ Biết diện tích tam giác AMN = 10 cm

2

. Tính diện tích tam giác NCE

3/ MC cắt BN tại I, EI cắt AC tại H và cắt AB tại K. Tính tỉ số

𝑰𝑯

𝑰𝑲

4/ Tính tỉ số diện tích tứ giác HMKC với diện tích tứ giác AICE

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB). Gọi M và N lần lượt là trung điểm

của AB và AC. Kẻ D và E lần lượt là hình chiếu của M và N trên đường thẳng BC

1/ Chứng minh: NE

2

= EC.BD

2/ Chứng minh:

𝑬𝑪

𝑩𝑫

=

𝑨𝑪

𝟐 𝑨𝑩

𝟐

3/ Chứng minh:

𝑨𝑫

𝟐 𝑨𝑬

𝟐 =

𝑩𝑫 .(𝟒𝑬𝑪 +𝑩𝑫 )

𝑬𝑪 .(𝟒𝑩𝑫 +𝑬𝑪 )

4/ BN cắt MD tại P và MC cắt NE tại Q.

. Đặt a = AB

2

, b = AC

2

. Tính PQ

2

theo a và b

5/ Chứng minh:

𝑨𝑸

𝟐 𝑨𝑷

𝟐 =

𝑸𝑬 .(𝟐𝑩𝑫 +𝑬𝑪 )

𝑷𝑫 .(𝟐𝑬𝑪 +𝑩𝑫 )

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AC>AB). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D

bất kì. Kẻ DE vuông góc với BC tại E, BD

cắt AE tại O

1/ Chứng minh: ∆𝑨𝑶𝑫 ~ ∆𝑩𝑶𝑬

2/ Dựng hình bình hành DOEM và AOBN.

Chứng minh:

𝑺 ∆𝑫𝑶𝑬 𝑺 ∆𝑨𝑶𝑩

=

𝑺 ∆𝑪𝑫𝑴 𝑺 ∆𝑪𝑶𝑩

3/ Chứng minh: 3 điểm C, M, N thẳng hàng

4/ Chứng minh: AD.BE + DE.AB = AE.BD

5/ MN cắt AB tại P. Trên đoạn thẵng AB lấy

Q sao cho góc 𝑪𝑶𝑫 ̂

= góc 𝑨𝑶𝑸 ̂

.

Chứng minh: BP = AQ

Bài 11. Cho hình vuông ABCD. Trên

cạnh BC lấy điểm E bất kì, DE cắt AB tại

M và AE cắt CD tại N

1/ Xác định vị trí điểm E trên đoạn thẳng

BC để BM + NC đạt giá trị nhỏ nhất.

2/ MC cắt BN tại O. Chứng minh:

BO.BN = CO.CM

3/ MC cắt AD tại I. Chứng minh:

BI _|_ AN

4/ BI cắt ND và NA lần lượt tại H và T,

AH cắt IN tại G. Chứng minh:

𝟏 𝑫𝑮 𝟐 +

𝟏 𝑨𝑬

𝟐 −

𝟏 𝑰𝑯

𝟐 =

𝟏 𝑩𝑻 .𝑩𝑰

Bài 12. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn

có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của F và

E trên đường thẳng BC. Cho biết S là diện

tích

1/ Chứng minh: ∆𝑴𝑫𝑭 ~ ∆𝑬𝑯𝑪

2/ Chứng minh:

𝑴𝑫

𝑵𝑫

=

𝑩𝑴

𝑩𝑫

.

𝑪𝑫

𝑵𝑪

3/ Chứng minh: 3 đường thẳng ME, NF,

AD đồng quy

4/ Chứng minh:

𝑺 𝑴𝑭𝑬𝑵 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 =

𝑬𝑭

𝟐 𝑨𝑯

𝟐 −

𝑴𝑭 .𝑺 ∆𝑩𝑭𝑫 +𝑵𝑬 .𝑺 ∆𝑫𝑬𝑪 𝑨𝑫 .𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪

Bài 13. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh

BC lấy điểm E bất kì. Gọi H và K lần lượt là

hình chiếu của B và D trên đường thẳng AE.

Cho biết S là diện tích

1/ Chứng minh:

𝑨𝑬

𝑩𝑬

=

𝑩𝑪 +𝑩𝑬

𝑨𝑯 +𝑨𝑲

2/ Trong trường hợp 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑬

= 𝟑𝟎 𝒄𝒎

𝟐

, 𝑺 𝑨𝑫𝑪𝑬 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎

𝟐 . Tính tỷ số

𝑩𝑯

𝑫𝑲

3/ Trong trường hợp ABCD là hình vuông. Xác định vị trí điểm E trên đoạn thẳng BC

để: a/

𝑺 ∆𝑨𝑩𝑬 𝑺 ∆𝑨𝑫𝑲 =

𝟓 𝟒 b/

𝑺 ∆𝑨𝑯𝑫 𝑺 ∆𝑩𝑲𝑪 =

𝟗 𝟕

Bài 14. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt

nhau tại H, EF cắt AH và BC lần lượt tại O và I. Cho biết S là diện tích

1/ Chứng minh: IB.IC = IF.IE và

𝑺 ∆𝑶𝑯𝑬 𝑺 ∆𝑶𝑨𝑭

=

𝑺 ∆𝑪𝑯𝑬 𝑺 ∆𝑪𝑨𝑭

2/ Chứng minh:

𝑰𝑭

𝑰𝑬

=

𝑩 𝑫 𝑪𝑫

.

𝑨𝑪

𝟐 𝑨𝑩

𝟐

3/ Chứng minh:

𝟏 𝑰𝑩

+

𝟏 𝑰𝑪

=

𝟐 𝑰𝑫

và

𝟏 𝑰𝑭

+

𝟏 𝑰𝑬

=

𝟐 𝑰𝑶

4/ Chứng minh: (

𝟏 𝑬𝑶

+

𝟏 𝑬𝑰

)

𝟐 = (

𝟏 𝑨𝑶

+

𝟏 𝑨𝑫

)

𝟐 + (

𝟏 𝑪𝑫

+

𝟏 𝑪𝑰

)

𝟐 Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A có

đường cao AH ( H thuộc BC). Vẽ HK vuông

góc với AB tại K

1/ Chứng minh:

𝑩𝑲

𝑨𝑲

=

𝑨𝑯

𝟐 𝑯𝑪

𝟐

2/ Chứng minh: HK.AC + BK.AB = BH.BC

3/ Gọi E là điểm đối A qua B, F là điểm đối

xứng F qua H. Chứng minh: EC _|_ KF

4/ EF cắt HK tại M. Trên đoạn thẳng AH

lấy điểm S sao cho AK

2

= HS.AF.

Chứng minh: KH.KM = AS.AF

Bài 16. Cho hình thang ABCD

(AB//CD). Gọi M và N lần lượt là

trung điểm của AB và CD

1/ Chứng minh: 3 đường thẳng

AC, BD, MN đồng quy

2/ Trên tia đối tia BD lấy điểm E bất

kì, EM cắt AD tại H và EN cắt BC tại

K. Chứng minh: HK // CD

3/ Đặt AB = a; CD = b ; BD = c. Xác

định vị trí điểm E trên tia đối tia BD

sao cho:

a/ HK đi qua điểm đồng quy của 3 đường thẳng AC, BD, MN

b/ HK chia hình thang ABCD thành 2 phần có diện tích bằng nhau

17. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M là trung điểm của AB, AC cắt MD tại O

và BD cắt MC tại I. Cho biết S là diện tích, AB = a, CD = b

1/ Chứng minh: OI // CD. Tính độ dài OI theo a và b

2/ AI và BO cắt đường thẳng CD lần lượt tại E và F. Chứng minh: EF = 3CD

3/ Tính tỉ số

𝑺 𝑭𝑶 𝑰𝑬

𝑺 𝑨𝑶𝑰𝑩 và

𝑺 ∆𝑨𝑰𝑭 𝑺 ∆𝑩𝑶𝑬 theo a và b

Bài 18. Cho hình thang ABCD

(AB//CD). Trên cạnh CD lấy điểm

E bất kì. Lấy điểm M thuộc cạnh

AD, điểm N thuộc cạnh BC sao cho

ME // AC và BD // NE. Cho biết S

là diện tích

1/ Chứng minh: 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑬 = 𝑺 ∆𝑩𝑵𝑬

và

𝑺 ∆𝑫𝑴𝑬 𝑺 ∆𝑪𝑵𝑬 =

𝑬𝑫

𝟐 𝑬𝑪

𝟐 . Từ đó xác

định vị trí điểm E thuộc cạnh CD để (𝑺 ∆𝑫𝑴𝑬 )

𝟐 + (𝑺 ∆𝑪𝑵𝑬 )

𝟐 đạt giá trị nhỏ nhất

2/ MN cắt BD và AC lần lượt tại H và K, AC cắt BD tại O. Chứng minh: MH = KN

Và OE đi qua trung điểm của cạnh MN

3/ Chứng minh:

𝑫𝑯 𝑨𝑲

=

𝑶𝑩

𝑶𝑨

4/ AH cắt BK tại S, OS cắt CD tại L. Đặt ED = a ; EC = b ; AB = c.

Tính tỷ số

𝑳𝑫

𝑳𝑪

theo a, b, c Bài 19. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB

BC). Vẽ HK vuông góc với AC tại K,

BK cắt AH tại O. Gọi Q là trung điểm

của cạnh AB.

1/ Chứng minh: 3 điểm C, O, Q thẳng

hàng và

𝑶𝑯

𝑶𝑨

=

𝑲𝑪

𝟐 𝑲𝑯

𝟐

2/ Gọi D là điểm đối xứng A qua H.

Chứng minh: OC _|_ DK

3/ DK cắt OC và BC lần lượt tại M và N,

kẻ DE vuông góc với BK tại E.

Chứng minh:

𝑯𝑴

𝑯𝑬

=

𝑶𝑩

𝑶𝑪

.

𝑨𝑪

𝑨𝑩

4/ Gọi P là trung điểm của AK, AN cắt HP tại I. Trên đoạn thẳng HD lấy điểm L sao

cho LD = 2LH. Chứng minh: góc 𝑨𝑰𝑸 ̂

= góc 𝑪𝑳𝑯 ̂

Bài 20. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB

BC). Trên đoạn thẳng AH lấy điểm D

bất kỳ, BD cắt AC tại M. Kẻ CK vuông

góc với BM tại K.

1/ Chứng minh: AB

2

= BD.BK

2/ Gọi E là điểm đối xứng A qua H.

Chứng minh: góc 𝑨𝑲𝑯 ̂

= góc 𝑫𝑪𝑬 ̂

3/ Chứng minh: AK.EK =KM.KB

4/ EK cắt AC và BC lần lượt tại N và

O. Chứng minh: AC là tia phân giác của góc 𝑲𝑨𝑶 ̂

5/ Chứng minh:

𝟏 𝑨𝑴

+

𝟏 𝑨𝑪

=

𝟐 𝑨𝑵

Bài 21. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB

N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và

AHB. Cho AM và AN cắt đoạn thẳng BC lần lượt tại

E và F. Cho biết S là diện tích và P là chu vi

1/ Chứng minh: MN // BC và HC = 3MN

2/ Cho biết 𝑷 ∆𝑨𝑩𝑪

= 𝟑𝟔𝒄𝒎 ; 𝑷 ∆𝑯𝑴𝑵 = 𝟏𝟎 , 𝟐𝒄𝒎

, 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑩 = 𝟏𝟗 , 𝟒𝟒 cm

2

. Tính 𝑺 𝑪𝑴𝑵𝑩

3/ Tính BN

2

+ MC

2

theo HB và HC

4/ Trong trường hợp NE, MF, AH đồng quy.

Tính giá trị biểu thức A =

𝑵𝑪

𝟐 +𝑩𝑴

𝟐 𝑩𝑪

𝟐

Bài 22. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB

Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các

tam giác AHC và AHB. Cho AM và AN cắt

đoạn thẳng BC lần lượt tại E và F. Cho biết

S là diện tích

1/ Chứng minh: ∆𝑯𝑴𝑵 ~ ∆𝑨𝑪𝑩 . Tìm tỷ số

đồng dạng

2/ MN cắt AH tại O. Chứng minh:

𝑶𝑵

𝑶𝑴

=

𝑨𝑯

𝟐 𝑯𝑪

𝟐

3/ Tính AM

2

+ AN

2

theo OA và MN

4/ Trong trường hợp 3 đường thẳng MF, EN, AH đồng quy. Tính tỷ số

𝑺 ∆𝑪𝑴𝑭 𝑺 ∆𝑩𝑵𝑬

5/ Trên AC lấy điểm P, trên AB lấy điểm Q sao cho MP // AH // NQ. Chứng minh:

Tứ giác MPQN là hình chữ nhật

6/ PE cắt QF tại S. Chứng minh: 2 tam giác AEB và SBC có chung trực tâm và tính giá

trị biểu thức A =

𝑯𝑷

𝟐 +𝑯𝑸

𝟐 𝑵𝑪

𝟐 +𝑩𝑴

𝟐 theo AB và AC Bài 23. Cho tam giác ABC vuông tại

A (AB

thuộc BC). Gọi E là điểm đối xứng H

qua A, D là điểm đối xứng H qua B

1/ Chứng minh: ∆𝑨𝑩𝑫 ~ ∆𝑪𝑨𝑬

2/ AD cắt EF tại F. Chứng minh:

DF

2

= FC.FE + 2HB

2

+ 2AC

2

3/ Trên đoạn thẳng CD lấy điểm K

sao cho DF

2

= 2DK.DC. Chứng minh:

KC.BC = 𝑫𝑪 𝟐 +

𝑫𝑭 𝟐 𝟒

4/ Đường trung trực của DE cắt DF tại S. Trên tia đối tia HE lấy điểm M, trên tia đối

tia FD lấy điểm N sao cho DF // MC và HE // NC. Chứng minh: MN // BS

Bài 24. Cho tam giác ABC vuông tại

A (AB

thuộc BC). Đường thẳng qua C song

song với AB cắt AH tại G

1/ Chứng minh:

AC

2

= HB.HC + HA.HG

2/ Gọi D là trung điểm của AB và vẽ

AK vuông góc với CD tại K. Chứng

minh: góc 𝑪𝑲𝑯 ̂

= góc 𝑩𝑲𝑫 ̂

3/ AK cắt BC tại M. Gọi I là trung

điểm của HB. Chứng minh: AH.AG = CM.CI và MH.MB = MI.MC

4/ Chứng minh: 3 điểm D, M, G thẳng hàng

5/ Trên tia đối tia BA lấy điểm L sao cho

𝑳𝑩

𝑳𝑨

=

𝑯𝑩

𝑯𝑪 −𝑯𝑩

. Lấy điểm S thuộc IL sao

cho BS // AC. Chứng minh: HK _|_ HS

Bài 25. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn.

Trên tia đối tia CB lấy điểm D bất kì. Vẽ 3

đường cao AE, BM, CN của tam giác ABC

cắt nhau tại H. Vẽ 3 đường cao AE, CI, DJ

của tam giác ACD cắt nhau tại K. Cho biết

S là diện tích

1/ Chứng minh: ∆𝑬𝑴𝑱 ~ ∆𝑨𝑩𝑫

2/ Chứng minh:

𝑬𝑴

𝑬𝑱

=

𝑯𝑪

𝑲𝑪

;

𝑩𝑬

𝑫𝑬 .

𝑫𝑪 𝑩𝑪

=

𝑩𝑯

𝑩𝑴

và

𝑬𝑵

𝑬𝑰

=

𝑯𝑬

𝑬𝑲

.

𝑨𝑫

𝑨𝑩

3/ Chứng minh: EC.BD = AC.MJ và góc 𝑴𝑵𝑬 ̂

= góc 𝑬𝑰𝑱 ̂

4/ Chứng minh: Khi D di động trên tia đối tia CB thì A = 𝑩𝑨𝑫 ̂

+

𝑴𝑬𝑵 ̂

−𝑰𝑬𝑱 ̂

𝟐 không dổi

5/ Cho BE = 4cm ; EC = 6cm ; HE = 3cm ;

𝑺 𝑨𝑴𝑬𝑩 𝑺 𝑨𝑬𝑱𝑫 =

𝟒 𝟏𝟓

. Tìm 𝑺 𝑨𝑩𝑲𝑫

6/ Cho

𝑺 ∆𝑯𝑴𝑬

.𝑺 ∆𝑨𝑬𝑱 𝑺 ∆𝑯𝑨𝑩 .𝑺 ∆𝑲𝑨𝑪 =

𝟏𝟐

𝟐𝟓

. Tìm tỉ số

𝑺 ∆𝑲𝑪𝑱

𝑺 ∆𝑨𝑱𝑫

Bài 26. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB

có đường cao AH ( H thuộc BC). Gọi E là điểm

đối xứng H qua A, D là điểm đối xứng A qua B.

Biết S là diện tích

1/ Chứng minh: ∆𝑩𝑯𝑫 ~ ∆𝑨𝑬𝑪

và HD vuông góc với EC

2/ AD cắt EC tại I. Chứng minh: ∆𝑪𝑰𝑵 ~ ∆𝑪𝑫𝑬

3/ Chứng minh:

𝑺 ∆𝑨𝑰𝑯 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑯 =

𝑺 ∆𝑫𝑯𝑪 𝑺 ∆𝑫𝑨𝑪

4/ HD cắt IC tại M. Gọi P là Q lần lượt là trung

điểm của HD và AM. Chứng minh: Tam giác PQC là tam giác vuông

5/ Vẽ HK _|_ AC tại K. Vẽ điểm L sao cho BL // AC, L và H nằm ở 2 mặt phẳng bờ AB

khác nhau và BL.AC = BH.(BC +BH). Chứng minh: 3 điểm M, K, L thẳng hàng Bài 27. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB

có đường cao AH ( H thuộc BC). Trên cạnh AB

lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc

AMH là góc tù và HM _|_ HN. Đường thẳng qua

B song song với AC cắt AH tại K. Cho biết S là

diện tích

1/ Chứng minh:

𝑨𝑴

𝑩𝑴

=

𝑵𝑪

𝑵𝑨

2/ Cho biết

𝑺 ∆𝑨𝑯𝑩 𝑺 𝑨𝑩𝑲𝑪 =

𝟑 𝟏𝟔

. Tính tỉ số

𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑲

3/ HN cắt BK tại D. Chứng minh: HM

2

= HN.DN

4/ MK cắt BN tại O, HO cắt AB tại Q.

Chứng minh: BN _|_ MK và

𝑸𝑨

𝑸𝑩

=

𝑨𝑵

𝑨𝑪

Bài 28. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB

M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Đường thẳng qua B song song với AC cắt AH

tại K. Cho biết S là diện tích

1/ Chứng minh:

𝑺 ∆𝑩𝑯𝑫 𝑺 ∆𝑪𝑯𝑫 =

𝑺 ∆𝑨𝑩𝑫 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪

2/ Chứng minh: BN _|_ MD

3/ AH cắt BN tại I. Chứng minh:

𝑯𝑴

𝟐 𝑯𝑵

𝟐 =

𝟐𝑰𝑵 𝑰𝑩

4/ Đường thẳng qua A song song với BC cắt

MD tại K. Chứng minh: IC _|_ BK

Bài 29. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB

Vẽ DE _|_ BC tại E. Đường thẳng qua B

song song với AC cắt DE tại M, AM cắt

BD tại O. Cho biết S là diện tích

1/ Chứng minh: BC

2

= AC.(CD + MB)

2/ Chứng minh:

𝟏 𝑶𝑬

=

𝟏 𝑨𝑫

+

𝟏 𝑴𝑩

3/ Tính tỉ số

𝑺 ∆𝑪𝑫𝑬 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 . Nếu

𝑺 𝑨𝑫𝑬𝑩 𝑺 ∆𝑴𝑬𝑩 =

𝟑𝟗

𝟐𝟓

4/ Gọi P là trung điểm của BC. Đường

thẳng qua B song song với DE cắt PD tại

S. Đường thẳng qua P song song với AC cắt OC tại Q.

Tính tỉ số

𝑺 ∆𝑴𝑪𝑺 𝑺 ∆𝑴𝑬𝑸 nếu góc 𝑷𝑸𝑺 ̂

= góc 𝑨𝑪𝑩 ̂

Bài 30. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB

kỳ. Vẽ DH _|_ BC tại H. Cho BD cắt AH

tại O.

1/ Chứng minh:

𝑯𝑪

𝑨𝑪

=

𝑶𝑫

𝑶𝑨

2/ Vẽ các đường phân giác trong OM, ON,

OP, OQ lần lượt của các tam giác DOH,

BOH, AOB, DOA. (M, N, P, Q lần lượt

thuộc HD, HB, AB, AD).

Chứng minh:

𝑩𝑯

𝑨𝑩

=

𝑶𝑷 .𝑴𝑵

𝑶𝑵 .𝑷𝑸

3/ Chứng minh: 3 đường thẳng MN, PQ, BD đồng quy tại điểm I

4/ Chứng minh: BI là tia phân giác của góc 𝑨𝑰𝑯 ̂

Bài 31. Cho tam giác ABC nhọn

(AB

nhau tại H

1/ Chứng minh: BD

2

= BH.BE – HD.AD

2/ Chứng minh: DE.DF.EF = AF.BD.EC

3/ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của

HE và AF. Chứng minh:

𝑴𝑵

𝑬𝑭

=

𝑴𝑫

𝑬𝑪

Bài 32. Cho tam giác ABC nhọn

(AB

cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là

trung điểm của DE và HE, MN cắt AB

tại O.

1/ Chứng minh: ∆𝑯𝑬𝑫 ~ ∆𝑯𝑨𝑩

2/ Chứng minh: góc 𝑬𝑶𝑴 ̂

= góc 𝑬𝑭𝑵 ̂

3/ Chứng minh:

𝑫𝑩 𝑫𝑪 +

𝑭𝑩

𝑭𝑨

=

𝟐𝑨𝑯 𝑴𝑶 −𝑨𝑯

4/ NF cắt BM tại S. Chứng minh: Tam

giác BSC vuông

5/ Chứng minh rằng: nếu tam giác ABC cân tại C thì 3 điểm O, S, C thẳng hàng

Bài 33. Cho tam giác ABC nhọn

(AB

cắt nhau tại H. Gọi M là hình chiếu của

B trên đường thẳng EF, N là hình chiếu

của C trên đường thẳng DF

1/ Chứng minh: ∆𝑵𝑫𝑪 ~ ∆𝑬𝑯𝑪

2/ Chứng minh: ME = NF

3/ Chứng minh:

𝑴𝑩

𝑵𝑪

=

𝑩𝑫

𝑪𝑫

4/ DF cắt BH tại O.

Chứng minh:

𝑨𝑴

𝑩𝑵

=

𝑶𝑫

𝑶𝑭

Bài 34. Cho tam giác ABC nhọn

(AB

cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt

là trung điểm của EF và BC, I là

điểm đối xứng H qua N. Kí hiệu S là

diện tích

1/ Chứng minh: ∆𝑨𝑴 𝑭 ~ ∆𝑨𝑵𝑪

2/ Chứng minh: ∆𝑨𝑴𝑯 ~ ∆𝑨𝑵𝑰

3/ Tính tỷ số

𝑬𝑭

𝑨𝑯

nếu

𝑺 ∆𝑨𝑴𝑯 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑰 =

𝟖 𝟐𝟓

4/ IF cắt BE tại P, IE cắt CF tại Q,

PQ cắt BC tại O. Chứng minh: IA _|_ IO

Bài 35. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có

đường cao AH (H thuộc BC) . Gọi D là E lần lượt là

hình chiếu của H trên các đoạn thẳng AB và AC.

1/ Tính giá trị của biểu thức

A =

𝑨𝑩

𝟔 +𝑨𝑪

𝟔 −𝑩𝑪

𝟔 (𝑨𝑩

𝟐 +𝑨𝑪

𝟐 )(𝑨𝑩

𝟒 +𝑨𝑪

𝟒 −𝑩𝑪

𝟒 )

2/ Chứng minh: EC.BD.BC = EH.BH.AC

3/ Tính B = BC

2

– BD

2

– EC

2

theo HB và HC

4/ Chứng minh: AH

5

= BD.BH.HC.BC.EC

5/ Chứng minh: (HC + HE).(BC + AB) = (AH + AC)

2

6/ Chứng minh:

𝟏 𝑨𝑯 +𝑩𝑯

+

𝟏 𝑨𝑯 +𝑯𝑪

=

𝟏 𝑨𝑯

7/ Chứng minh:

𝑺 ∆𝑨𝑫𝑬 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 =

𝑨𝑫 .𝑨𝑬 +𝑨𝑯 .𝑨𝑬 +𝑨𝑯 .𝑨𝑫

𝑨𝑩 .𝑨𝑪 +𝑨𝑩 .𝑩𝑪 +𝑨𝑪 .𝑩𝑪

(S là diện tích )

8/ Chứng minh:

(𝑺 ∆𝑯𝑬𝑪 )

𝟐 +(𝑺 ∆𝑯𝑩𝑫 )

𝟐 (𝑺 ∆𝑨𝑩𝑬 )

𝟐 +(𝑺 ∆𝑨𝑪𝑫

)

𝟐 =

𝑯𝑩

𝟒 +𝑯𝑪

𝟒 𝑨𝑩

𝟒 +𝑨𝑪

𝟒

9/ Chứng minh: BE.CD = BD.HD + EH.EC + 3BD.EC

10/ Chứng minh: (AB + AC – BC)

2

= (AH + BH – AB)

2

+ (AH + HC – AC)

2

11/ Tính tỷ số

𝑺 ∆𝑨𝑫𝑬 𝑺 𝑩𝑫𝑬𝑪 trong trường hợp

𝑩𝑫

𝑬𝑪

=

𝟏 𝟖

12/ Tính giá trị của biểu thức C =

𝑩𝑫 +𝑬𝑪

𝑨𝑩 +𝑨𝑪

+

(𝑨𝑫 +𝑨𝑬 )

𝟐 𝟐𝑩𝑯 .𝑪𝑯

13/ Chứng minh: AB.AC.BC – BD.HB.HB – EC.EC.HC = 3BD.EC.BC

14/ Chứng minh: (𝑺 𝑨𝑫𝑯𝑪 )

𝟑 + (𝑺 𝑨𝑬𝑯𝑩 )

𝟑 =

𝑨𝑯

𝟑 .(𝑩𝑪

𝟐 +𝟐 𝑨𝑯

𝟐 ).(𝑨𝑯

𝟐 −𝑩𝑪

𝟐 )

𝟐 𝟖 𝑩𝑪

𝟑

15/ Chứng minh:

𝑯𝑩

𝟑 −𝑨𝑬

𝟑 𝑯𝑪

𝟑 −𝑨𝑫

𝟑 = (

𝑩𝑪 −𝑬𝑪

𝑩𝑪 −𝑩𝑫

) . (

𝑨𝑩

𝟑 −𝑩𝑫

𝟑 𝑨𝑪

𝟑 −𝑨𝑬

𝟑 )

𝟐

16/ Chứng minh:

𝑯𝑪

𝑨𝑯 +𝑩𝑯

+

𝑯𝑩

𝑨𝑯 +𝑯𝑪

=

𝑩𝑪

𝟐 .(𝑯𝑬 +𝑬𝑪 )(𝑩𝑫 +𝑬𝑪 )

𝑨𝑩 .𝑨𝑪 .𝑯𝑪 (𝑩𝑪 +𝟐𝑨𝑯 )

17/ Chứng minh: 𝑨𝑩

𝟓 . (𝑷 ∆𝑯𝑬𝑪 )

𝟑 + 𝑨𝑪

𝟓 . (𝑷 ∆𝑩𝑯𝑫 )

𝟑

= 𝟐 𝑨𝑯

𝟓 . 𝑩𝑪 . (𝟐𝑨𝑯 + 𝑷 ∆𝑨𝑩𝑪

). (𝑨𝑯 + 𝑷 ∆𝑨𝑩𝑪

) (P là chu vi) Bài 36. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC)

có đường cao AH (H thuộc BC) . Gọi D là E lần

lượt là hình chiếu của H trên các đoạn thẳng AB

và AC. Cho CD cắt HE tại M, BE cắt HD tại N.

Cho biết S là diện tích

1/ Chứng minh:

𝑴𝑬

𝑯𝑬

+

𝑵𝑫

𝑯𝑫

= 1

2/ Chứng minh: AH =

(𝑩𝑯 +𝑨𝑩 )(𝑯𝑪 +𝑨𝑪 )

𝑨𝑯 +𝑩𝑪 +𝑨𝑩 +𝑨𝑪

3/ Chứng minh: MN // BC và 𝑺 𝑨𝑴𝑯𝑵 = 𝑺 ∆𝑨𝑫𝑬

4/ Chứng minh: 𝑺 ∆𝑯𝑴𝑵 . 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪

= (𝑺 𝑨𝑴𝑯𝑵 )

𝟐

5/ Tính AM

2

+ AN

2

theo AH và BC

6/ Tính tỉ số

𝑺 𝑩𝑵𝑴𝑪 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑵 nếu AM

2

+ AN

2

=

𝟖 𝑩𝑪

𝟐 𝟐𝟕

7/ Giả sử B và C cố định. Điểm A chuyển động sao cho tam giác ABC luôn vuông tại A.

Hãy tính tỉ số

𝑯𝑩

𝑯𝑪

trong trường hợp tỉ số

𝑺 ∆𝑨𝑴𝑵 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 đạt giá trị lớn nhất

Chứng minh rằng:

8/ AM

2

+ BM

2

+ AN

2

+ NC

2

– BE

2

– CD

2

= MN.BC

9/ (

𝟏 𝑴𝑵

+

𝟏 𝑩𝑪

) . (

𝟏 𝑩𝑬

𝟐 +

𝟏 𝑪𝑫

𝟐 ) =

𝟏 𝑨𝑯 .𝑨𝑫 .𝑨𝑬

10/

𝑩𝑯

𝟑 −𝑯𝑪

𝟑 𝑨𝑩 −𝑨𝑪

=

(𝑨𝑩 +𝑨𝑪 ).(𝑩𝑪 −𝑨𝑯 ).(𝑩𝑪 +𝑨𝑯 )

𝑩𝑪

11/

𝑨𝑩

𝟑 −𝑨𝑪

𝟑 𝑩𝑯

𝟐 −𝑯𝑪

𝟐 =

𝑨𝑪 .(𝑩𝑪 +𝑨𝑯 )

(𝑨𝑩 +𝑨𝑪 ).(𝑬𝑪 −𝑨𝑬 )

12/ 𝑨𝑩 . (𝑷 ∆𝑨𝑯𝑪 )

𝟑 + 𝑨𝑪 . (𝑷 ∆𝑨𝑯𝑩 )

𝟑 = 𝑨𝑯 . (𝑷 ∆𝑨𝑩𝑪

)

𝟑 (P là chu vi)

13/ 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑩 . 𝑷 ∆𝑨𝑯𝑪 + 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑪 . 𝑷 ∆𝑨𝑯𝑩 = 𝑨𝑯

𝟐 . (𝟐𝑨𝑯 + 𝑷 ∆𝑨𝑩𝑪

)

14/ (𝑯𝑩 + 𝑯𝑨 )(𝑯𝑨 + 𝑯𝑪 )(𝑨𝑩 + 𝑨𝑪 ) = 𝑨𝑯 . 𝑩𝑪 . (𝑨𝑩 + 𝑨𝑪 + 𝟐𝑩𝑫 + 𝟐𝑬𝑪 )

15/

(𝑨𝑯 −𝑨𝑬 )(𝑨𝑩 −𝑨𝑯 )

𝑨𝑬

+

(𝑯𝑫 +𝑯𝑩 )(𝑯𝑪 +𝑨𝑪 )

𝑩𝑫

= 𝟐 (𝑨𝑯 + 𝑩𝑪 )

16/

𝑨𝑩 +𝑩𝑫

𝑩𝑯 +𝑨𝑩

+

𝑨𝑪 +𝑬𝑪

𝑯𝑪 +𝑨𝑪

=

𝑨𝑯 +𝑷 ∆𝑨𝑩𝑪 𝑨𝑯 +𝑷 ∆𝑨𝑩𝑪 +𝑷 ∆𝑨𝑫𝑬 Bài 37. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC)

. Gọi D là E lần lượt là trung điểm của AB và AC,

DE cắt AH tại I. Biết S là diện tích

1/ Tính IB

2

+ IC

2

theo AH và BC

2/ Chứng minh rằng: Nếu

𝑰𝑩

𝟐 +𝑰𝑪

𝟐 𝑩𝑬

𝟐 +𝑪𝑫

𝟐 =

𝟏 𝟐

thì tam giác ABC vuông cân

3/ Chứng minh:

𝑰𝑪

𝟐 𝑪𝑫

𝟐 +

𝑩𝑰

𝟐 𝑩𝑬

𝟐 = 1

4/ Chứng minh:

(𝑺 ∆𝑫𝑰𝑩

)

𝟑 + (𝑺 ∆𝑪𝑰𝑬 )

𝟑 =

𝑩𝑪 . 𝑨𝑯

𝟑 .(𝑩𝑪

𝟐 −𝟑 𝑨𝑯

𝟐 )

𝟔𝟒

5/ Qua D kẻ đường thẳng song song với AH cắt AC tại M.

Chứng minh: BH.BC = 2AM.AC

6/ Gọi K là điểm đối xứng A qua H. Kẻ MP _|_ HE tại P. Chứng minh: CD _|_ PK

7/ Dựng điểm S sao cho BS // AC, KS // AB. Cho PK cắt AC tại T. Dựng HL _|_ AB tại

L . Chứng minh: ST _|_ LC

Bài 38. Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB

lấy điểm M bất kì. Đường thẳng qua M song

song với BC cắt AC tại N

1/ Đặt BC = a ; BM = b. Tính tỉ số

𝑺 ∆𝑨𝑴𝑵 𝑺 𝑩𝑴𝑵𝑪

theo a và b (S là diện tích)

2/ Xác định vị trí điểm M trên cạnh AB để chu

vi tứ giác BMNC bằng chu vi tam giác AMN

3/ Gọi D và E lần lượt là trung điểm của MN

và BN. Gọi O là trọng tâm của tam giác AMN.

Chứng minh: EO _|_ EC và góc 𝑩𝑶𝑴

̂

= góc 𝑩𝑪𝑬 ̂

4/ Điểm K thuộc cạnh AB sao cho góc 𝑬𝑶𝑲 ̂

= 150*. Chứng minh: AM

2

= 3AK.AB

5/ Tính tỉ số

𝑺 ∆𝑨𝑴𝑵 𝑺 ∆𝑩𝑶𝑵 nếu như OE _|_ ON và tỉ số

𝑺 ∆𝑲𝑬𝑪 𝑺 ∆𝑲𝑫𝑬 nếu như AM = 2BM Bài 39. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC)

. Gọi O và I lần lượt là trung điểm của AC và

AB, HO cắt AB tại D. Cho biết S là diện tích

1/ Chứng minh:

𝑫𝑩 𝑫𝑪 =

𝑯𝑩

𝑯𝑪

2/ IC cắt OH tại E. Chứng minh:

𝑬𝑰

𝑬𝑪

=

𝑩𝑪

𝟐𝑯𝑪

3/ Lấy điểm F thuộc cạnh HC sao cho

EF //AC. Gọi M là trung điểm của BC.

Chứng minh: FC

2

= FM.FH

4/ Vẽ HK vuông góc với AC tại K.

Chứng minh:

𝟏 𝑯𝑬

=

𝟏 𝑲𝑪

+

𝟐 𝑨𝑪

Bài 40. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi

I là trung điểm của AB. Vẽ AK vuông góc với IC tại K. Cho biết S là diện tích

1/ Chứng minh: BH.BC = 4IK.IC

2/ Trong trường hợp AH

2

= 2AK

2

. Tính tỷ số

𝑺 ∆𝑨𝑩𝑯 𝑺 ∆𝑨𝑲𝑪

3/ Chứng minh: góc 𝑩𝑲𝑰 ̂

= góc 𝑯𝑲𝑪 ̂

4/ HK cắt AC tại M. Lấy điểm N thuộc cạnh MB sao cho AN // BK. Chứng minh:

Đường thẳng IN đi qua trung điểm của cạnh AC

5/ Đường thẳng qua H vuông góc với HK cắt AC tại O. Chứng minh: OA = 2OC Bài 41. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC).

Vẽ HK vuông góc với AB tại K

1/ Chứng minh: BH.HC = KB.KA + HK.(AC – HK)

2/ Vẽ AD vuông góc với CK tại D. Chứng minh:

∆𝑪𝑲𝑯 ~ ∆𝑪𝑩𝑫 và DA.DB = DH.DC

3/ Chứng minh:

𝟏 𝑨𝑫

𝟐 −

𝟏 𝑨𝑯

𝟐 =

𝑯𝑩

𝟐 +𝑯𝑲

𝟐 𝑨𝑲 .𝑯𝑲 .𝑨𝑩 .𝑨𝑪

4/ BD cắt AC tại E. Đường thẳng qua C song song

với BE cắt HK tại F. Đường thẳng qua C song song

với AB cắt EF tại O.

Chứng minh: 3 điểm O, H, D thẳng hàng

Bài 42. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC).

Vẽ HK vuông góc với AB tại K. Cho biết S là diện

tích và P là chu vi

1/ Chứng minh:

𝑺 ∆𝑩𝑯𝑲 𝑺 ∆𝑨𝑯𝑪 =

𝑷 ∆𝑨𝑯𝑩 𝑷 ∆𝑨𝑯𝑪 .

𝑺 ∆𝑩𝑲𝑪 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪

2/ Vẽ AD vuông góc với KC tại D. Chứng minh:

HD _|_ BD

3/ Gọi I là trung điểm của BC, AI cắt HK tại E.

Chứng minh:

𝑬𝑪

𝑬𝑲

=

𝑩𝑫

𝑨𝑫

4/ Lấy điểm M thuộc cạnh AH sao cho MD // AB.

Dựng điểm N sao cho MN // AC và AN // BC.

Chứng minh: DN đi qua trung điểm cạnh MK

Bài 43. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc

BC). Gọi D là điểm đối xứng A qua B,

E là điểm đối xứng A qua H, CD cắt

AE tại I.

1/ Chứng minh:

𝑰𝑫

𝑰𝑪

=

𝟐 𝑫𝑬 𝟐 𝑨𝑬

𝟐

2/ Lấy điểm F thuộc cạnh EC sao cho

IF // BC. Đường thẳng qua F song song

với BE cắt HC và HA lần lượt tại M và

N. Chứng minh: H là trung điểm của đoạn thẳng IN

3/ HD cắt NC tại K. Chứng minh: Tam giác AKD là tam giác vuông

4/ AK cắt HC tại O. Chứng minh: OE _|_ HF và 3 điểm K, M, E thẳng hàng

Bài 44. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Trên

cạnh HC lấy điểm M bất kì. Gọi D và E lần lượt là

hình chiếu của M trên các đường thẳng AB và AC.

Cho biết S là diện tích.

1/ Xác định vị trí điểm M trên đoạn thẳng HC để:

a/ BD.EC = AB

2

b/ A = 𝑺 ∆𝑴𝑬𝑪 . 𝑺 ∆𝑴𝑩𝑫 đạt giá trị lớn nhất và

B = (𝑺 ∆𝑴𝑬𝑪 )

𝟐 + (𝑺 ∆𝑴𝑩𝑫 )

𝟐 đạt giá trị lớn nhất

2/ Chứng minh: HD _|_ HE và

𝑯𝑩

𝑯𝑪

=

𝑯𝑫

𝟐 𝑯𝑬

𝟐

3/ Chứng minh:

𝑺 ∆𝑨𝑯𝑫 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑪 +

𝑺 ∆𝑨𝑯𝑬 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑩 = 1

4/ Trong trường hợp

𝑩𝑫

𝑬𝑪

=

𝑴𝑩

𝟐𝑴𝑪

. Tính tỉ số

𝑺 ∆𝑨𝑯𝑬 𝑺 𝑨𝑴𝑯𝑫

5/ HE cắt MD tại I. Cho biết AB = 15cm ; AC = 20cm. Xác định vị trí điểm M trên

cạnh HC để

𝑰𝑫

𝑰𝑴

=

𝟐𝟔

𝟐𝟓

Bài 45. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc

BC). Vẽ HK vuông góc với AC tại K.

Gọi E là trung điểm của AB. Cho biết S là

diện tích

1/ Chứng minh:

𝑨𝑬

𝑨𝑲

=

𝑩𝑪

𝟐𝑨𝑯

2/ EC cắt HK tại I. Chứng minh: IH = IK

và

𝑺 ∆𝑨𝑰𝑪 𝑺 ∆𝑩𝑰𝑬 =

𝑯𝑪

𝑯𝑩

3/ Vẽ CM vuông góc với AI tại M. Gọi O là trung điểm của AC. Chứng minh:

Tam giác BMO vuông

4/ Dựng điểm S sao cho BS // AC và AS // OM. Chứng minh:

𝑺 ∆𝑨𝑯𝑲 𝑺 ∆𝑶𝑰𝑬

−

𝑩𝑺 .𝑨𝑴

𝟐𝑯𝑴 .𝑨𝑪

= 1

Bài 46. Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ

HK vuông góc với AC tại K. Gọi O và E lần lượt là trung điểm của AB và AC

1/ Chứng minh: OA. HK + AK.AE = HB.HC

2/ Dựng điểm D sao cho OD // AC và AD //BC. Chứng minh: ∆𝑨𝑯𝑫 ~ ∆𝑨𝑲𝑶

3/ Vẽ AM vuông góc với HD tại M. Chứng minh: 3 điểm M, O, K thẳng hàng

4/ Gọi N là điểm đối xứng M qua H. Trên cạnh MC lấy điểm I sao cho IM = 2IC.

Trên cạnh AE lấy điểm S sao cho AS = EK. Chứng minh: góc 𝑰𝑵𝑪

̂

= góc 𝑺𝑯𝑬 ̂

Bài 47. Cho tam giác ABC vuông tại A(AB <

AC) có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi O

và I lần lượt là trung điểm của AC và HC

1/ Chứng minh: góc 𝑨𝑩𝑶 ̂

= góc 𝑯𝑨𝑰 ̂

2/ Gọi E là trung điểm của AB. Cho

AB = 15cm ; AC = 20cm. Tính diện tích tam

giác OIE

3/ HE cắt OI tại K. Chứng minh: OB _|_ AK

4/ Đường thẳng qua I song song với OH cắt

AH tại G. Trên đoạn thẳng OE lấy điểm S sao cho BH = 2OS.

Chứng minh: GE.GO = GB.GC và HS _|_ GK

Bài 48. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC).

Gọi D và I lần lượt là trung điểm của AH và

AC. Gọi E là điểm đối xứng H qua I

1/ Chứng minh: BH

2

.HE

2

+ AB

2

.AE

2

= AH

2

.BC

2

2/ ID cắt AB tại O. Chứng minh:

góc 𝑨𝑩𝑫 ̂

= góc 𝑪𝑩𝑰 ̂

. Tính giá trị của biểu thức

A = BD

2

+ CD

2

+ BI

2

+ OC

2

theo AH và BC

3/ Đường thẳng qua A vuông góc với BI cắt OH

tại K. Chứng minh: AB // CK

4/ Đường thẳng qua D vuông góc với DB cắt IK

tại M. Tính tỉ số

𝑺 ∆𝑨𝑴𝑪 𝑺 ∆𝑨𝑴𝑬 (S là diện tích)

5/ Chứng minh: Nếu BE

2

= 5AH

2

thì tam giác ABC vuông cân

6/ Đường thẳng qua I song song với AB cắt EC tại S. Chứng minh: 3 điểm S, D, B

thẳng hàng

7/ Trong trường hợp 𝑺 ∆𝑩𝑫𝑰 + 𝑺 ∆𝑪𝑶𝑫

= 13,5 cm

2

;

𝑶𝑬

𝟐 𝑨𝑩

𝟐 =

𝟕𝟑

𝟏𝟔

. Tính 𝑺 ∆𝑩𝑲𝑬

Bài 49. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc

BC). Gọi D và E lần lượt là trung điểm

của AB và AC. Gọi M và N lần lượt là

hình chiếu của A trên các đường thẳng

BD và EC. Gọi K là điểm đối xứng C qua

H, HN cắt AC tại I. Cho biết S là diện tích

1/ Chứng minh:

𝟏 𝑨𝑴

𝟐 +

𝟏 𝑨𝑵

𝟐 =

𝟓 𝟒𝑨𝑯 𝟐

2/ Chứng minh:

𝑯𝑴

𝟐 𝑯𝑵

𝟐 =

𝑯𝑪 .(𝑯𝑪 +𝟒𝑯𝑩 )

𝑯𝑩 .(𝑯𝑩 +𝟒𝑯𝑪 )

;

𝑯𝑴

𝑩𝑴

.

𝑪𝑵

𝑯𝑵

=

𝑯𝑪

𝑯𝑩

và 𝑩𝑴𝑯 ̂

+ 𝑯𝑵𝑪

̂

= 180*

3/ Chứng minh: BM

2

+ NC

2

=

𝟐 𝑩𝑪

𝟐 .(𝟐 𝑩𝑪

𝟐 −𝟑 𝑨𝑯

𝟐 )

𝟒 𝑩𝑪

𝟐 +𝟗 𝑨𝑯

𝟐 . Từ đó chứng minh rằng:

Nếu BM

2

+ NC

2

= 2.(HM

2

+ HN

2

) thì tam giác ABC vuông cân

4/ Chứng minh: 3 điểm K, M, I thẳng hàng. Tính tỉ số

𝑺 ∆𝑯𝑴𝑵

𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 nếu như

𝑯𝑴

𝟐 𝑯𝑵

𝟐 =

𝟒 𝟑

Bài 50. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB < AC) có đường cao AH

(H thuộc BC). Gọi I và O lần lượt là

trung điểm của AB và AC. Đặt L là tổng

bình phương độ dài 3 cạnh trong 1 tam

giác. Ví dụ: 𝑳 ∆𝑨𝑩𝑪

= AB

2

+ AC

2

+ BC

2

1/ Tính A = 𝑳 ∆𝑨𝑩𝑯

+ 𝑳 ∆𝑨𝑯𝑪 theo BC

B = 𝑳 ∆𝑩𝑯𝑰 + 𝑳 ∆𝑪𝑯𝑶 theo AH và BC

C = 𝑳 ∆𝑪𝑯𝑰 + 𝑳 ∆𝑩𝑯𝑶 theo HB và HC và D = (𝑳 ∆𝑪𝑯𝑰 )

𝟐 + (𝑳 ∆𝑩𝑯𝑶 )

𝟐 theo HB và HC

2/ Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh:

𝑺 ∆𝑰𝑶𝑲

𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 =

𝟏 𝟒 −

𝑨𝑩

𝟐 𝟐 𝑩𝑪

𝟐 (S là diện tích)

3/ Dựng KM _|_ IC tại M. Đường thẳng qua K song song với BC cắt IC tại N. Chứng

minh: ∆𝑴𝑲𝑯 ~ ∆𝑲𝑪𝑵 và

𝑯𝑴

𝟐 𝑯𝑰

𝟐 =

𝑴𝑪

𝑰𝑪

. Từ đó tính tỉ số

𝑺 𝑰𝑯𝑴𝑲

𝑺 𝑵𝑯𝑴𝑲 nếu

𝑯𝑴

𝟐 𝑯𝑰

𝟐 =

𝟖 𝟐𝟕

4/ Gọi P là trung điểm của AK. Dựng điểm Q sao cho HK // QC, H và Q nằm ở cùng

nửa mặt phẳng bờ AC và HK = 2QC. Chứng minh: MH _|_ PQ Bài 51. Cho tam giác ABC cân tại A có các đường

phân giác trong BD và EC (D thuộc AC và E thuộc

AB). Đặt BC = a ; AB = b. Biết S là diện tích

1/ Chứng minh: Tứ giác BEDC là hình thang cân

2/ Tìm DE và (𝑺 ∆𝑨𝑫𝑬 )

𝟐 theo a và b

3/ BD cắt AE tại O. Tính tỷ số

𝑺 𝑨𝑬𝑶𝑫 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 theo a và b.

Nếu như AB = 15cm ; BC = 16cm. Tìm diện tích của

tứ giác AEOD

4/ Gọi M là trung điểm của AD, MO cắt BC tại I.

Nếu như

𝑺 ∆𝑩𝑶𝑴 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 =

𝟑 𝟏𝟔

, tìm tỉ số của a với b ;

𝑰𝑩

𝑰𝑪

và

𝑺 𝑩𝑬𝑶𝑰 𝑺 𝑴𝑬𝑰𝑪

5/ Tính tỉ số

𝑶𝑴

𝑶𝑰

nếu như

𝑷 ∆𝑨𝑫𝑬 𝑷 𝑩𝑬𝑫𝑪 =

𝟐𝟏

𝟏𝟑

(P là chu vi)

Bài 52. Cho tam giác ABC nhọn (AB

đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ các

đường thẳng đi qua B và C và cùng song song

với AD giao với đường thẳng EF lần lượt tại M

và N. Cho EF cắt AH tại O

1/ Chứng minh: NC

2

= NE.NF

2/ Chứng minh: AD là tia phân giác của

góc 𝑴𝑫𝑵 ̂

và 3 đường thẳng AD, MC, BN đồng

quy

3/ Chứng minh:

𝑩𝑯

𝑨𝑩

=

𝑴𝑭

𝑴𝑩

4/ Chứng minh:

𝑴𝑬

𝑵𝑭

=

𝑨𝑩

𝟐 𝑨𝑪

𝟐 và

𝑴𝑭

𝑵𝑬

=

𝑩𝑯

𝟐 𝑯𝑪

𝟐

Bài 53. Cho tam giác ABC nhọn (AB

có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại

H. Đường thẳng qua A song song với BC

cắt DF tại K, CK cắt AD tại M

1/ Chứng minh: ∆𝑩𝑭𝑫 ~ ∆𝑩𝑪𝑨

2/ Chứng minh: AF

2

= FE.EK

và ME // BC

3/ MB cắt EF tại O. Chứng minh: OH

đi qua trung điểm của cạnh BC

4/ Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của

AK và AE. Vẽ PS _|_ FQ tại S, QL _|_ AK

tại L. Chứng minh: AB // SL

Bài 54. Cho tam giác ABC nhọn (AB

có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

Đường trung trực đoạn thẳng BC cắt FC,

BE, EF lần lượt tại M, N, I

1/ Chứng minh:

𝑴𝑪

𝑩𝑵

=

𝑨𝑩

𝑨𝑪

2/ Chứng minh:

𝑴𝑯

𝑴𝑵

=

𝑬𝑨

𝑬𝑭

3/ Chứng minh:

𝑰𝑭

𝑰𝑬

=

𝑨𝑪

𝟐 −𝑩 𝑯 𝟐 𝑨𝑩

𝟐 −𝑯𝑪

𝟐

và

𝑭𝑴

𝑬𝑵

=

𝑨𝑩 .(𝑨𝑪

𝟐 −𝑩𝑯

𝟐 )

𝑨𝑪 .(𝑨𝑩

𝟐 −𝑯𝑪

𝟐 )

4/ Đường thẳng qua B song song với AD cắt EF tại P. Chứng minh: IC // DP

Bài 55. Cho tam giác ABC nhọn (AB

3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

Dựng DK vuông góc với EF tại K

1/ Chứng minh: FC là tia phân giác góc 𝑬𝑭𝑫 ̂

2/ Chứng minh: AB

2

+AC

2

– BC

2

= 2AD.AH

và

𝑩𝑪

𝟐 +𝑨𝑩

𝟐 −𝑨𝑪

𝟐 𝑩𝑪

𝟐 +𝑨𝑪

𝟐 −𝑨𝑩

𝟐 =

𝑩𝑫

𝑪𝑫

3/ Chứng minh:

𝟐𝑫𝑭 𝑫𝑲 =

𝑩𝑫

𝑯𝑫

+

𝑯𝑫

𝑩𝑫

4/ Chứng minh: DK là tia phân giác của

góc 𝑩𝑲𝑪 ̂

Bài 56. Cho tam giác ABC nhọn (AB

3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi

O và I lần lượt là trung điểm của CD và AH.

1/ Chứng minh:

OI

2

=

(𝑨𝑯 −𝑯𝑫 ).(𝑨𝑯 −𝟑𝑯𝑫 )+𝑨𝑪

𝟐 𝟒

2/ Đường thẳng qua C song song với AD cắt

EF tại K. Chứng minh:

𝑲𝑬

𝑲𝑭

=

𝑯𝑪

𝟐 𝑨𝑪

𝟐

3/ Chứng minh: OI _|_ BK

4/ OI cắt KC tại M. Đường thẳng qua M song

song với BC cắt AB tại N. Gọi G là trung

điểm của HK.

Chứng minh: Tam giác GCN vuông

5/ Chứng minh:

𝑯𝑨 .𝑯𝑩 .𝑯𝑪

𝑯𝑫 .𝑯𝑬 .𝑯𝑭

=

𝑨𝑩 .𝑨𝑪 .𝑩𝑪

𝑫𝑬 .𝑫𝑭 .𝑬𝑭

Bài 57. Cho tam giác ABC nhọn (AB

3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi

M và N lần lượt là trung điểm của EF và BC

1/ Chứng minh: ∆𝑨𝑬𝑭 ~ ∆𝑨𝑩𝑪

2/ Chứng minh:

𝑨𝑴

𝑨𝑵

=

𝑯𝑭

𝑯𝑩

3/ Đường thẳng qua N song song với AC cắt

AM tại I. Chứng minh: EF // BI

4/ Chứng minh: 3 điểm E, I, D thẳng hàng

Bài 58. Cho tam giác ABC có góc A tù và AC > AB. Vẽ đường phân giác trong AD của

tam giác ABC (D thuộc BC). Trên cạnh AB lấy điểm E, cạnh AC lấy điểm F sao cho

góc 𝑨𝑩𝑪 ̂

= góc 𝑨𝑫𝑬 ̂

và góc 𝑨𝑪𝑩 ̂

= góc 𝑨𝑫𝑭 ̂

1/ Chứng minh: Tam giác DEF cân

2/ EF cắt AD tại O. Chứng minh: ∆𝑨𝑬𝑭 ~ ∆𝑨𝑪𝑩 và AE.AF = AO.AD

3/ Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MF // AD, MO cắt AB tại N.

Chứng minh: góc 𝑩 𝑴𝑨

̂

= góc 𝑩𝑵𝑫

̂

4/ Chứng minh: AD

2

= AB.AC – DB.DC

5/ Trên cạnh MF lấy điểm L sao cho OA = ML. Dựng hình bình hanh DONS.

Chứng minh: 3 điểm B, S, L thẳng hàng

Bài 59. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB < AC) có đường cao AH ( H thuộc BC).

Gọi D là trung điểm của AB. Kẻ AK vuông

góc với CD tại K. Kí hiệu S là diện tích

1/ Chứng minh:

𝑺 ∆𝑨𝑫𝑲 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑯 =

𝑩𝑪

𝟐 .(𝑩𝑪 +𝟑𝑯𝑪 )

. Từ đó tính diện tích tam giác ABC nếu như

AB = 9cm và

𝑺 ∆𝑨𝑫𝑲 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑯 =

𝟐𝟓

𝟏𝟒𝟔

2/ Chứng minh: 𝑨𝑫𝑯 ̂

= 𝑪𝑲𝑯 ̂

+ 𝑫𝑲𝑩 ̂

3/ Dựng điểm E sao cho HE // AC và

EC // AB, AE cắt CD tại I, HI cắt AC tại M.

Chứng minh: M là trung điểm của AC và 3 đường thẳng AK, HE, MB đồng quy

Bài 60. Cho tam giác ABC nhọn (AB

có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

Gọi M là trung điểm của BC, DF cắt ME

tại I.

1/ Chứng minh: FC là tia phân giác của

góc 𝑬𝑭𝑫 ̂

2/ Chứng minh: IM.IE = ID.IF

3/ Chứng minh: Tia phân giác trong góc I

của tam giác IEF song song với tia phân

giác trong góc A của tam giác ABC

4/ AI cắt BC tại K.

Chứng minh:

𝑲𝑩

𝑲𝑪

=

𝑴𝑪

𝟐 𝑪𝑫

𝟐

5/ Chứng minh:

𝑨𝑩

𝟐 +𝑨𝑪

𝟐 −𝑩𝑪

𝟐 𝑨𝑩

𝟐 +𝑩𝑪

𝟐 −𝑨𝑪

𝟐 +

𝑨𝑪

𝟐 +𝑨𝑩

𝟐 −𝑩𝑪

𝟐 𝑨𝑪

𝟐 +𝑩𝑪

𝟐 −𝑨𝑩

𝟐 =

𝑨𝑯

𝑯𝑫

Bài 61. Cho tam giác ABC nhọn (AB

có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

Cho DF cắt BH tại M, DE cắt HC tại N

1/ Chứng minh:

𝟑𝑨𝑫 𝑨𝑯

−

𝑴𝑫

𝑴𝑭

−

𝑵𝑫

𝑵𝑬

= 1

2/ Chứng minh:

𝑭𝑴

𝑯𝑴

+

𝑬𝑵

𝑯𝑵

=

𝑩𝑪

𝟐 𝑯𝑩 .𝑯𝑪

3/ Chứng minh:

𝑫𝑵 𝑨𝑪

.

𝑨𝑩

𝑫𝑴 =

𝑯𝑬 +𝑩𝑬

𝑯𝑭 +𝑭𝑪

4/ Đường thẳng qua C song song với AD

cắt MN tại K. Gọi I là điểm đối xứng C

qua K. Chứng minh: 3 đường thẳng AD, MN, BI đồng quy

Bài 62. Cho tam giác ABC nhọn (AB

có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại

H. Vẽ FM vuông góc với BC tại M

1/ Chứng minh: FM.AH + CD.BC = FC

2

2/ Trên đoạn thẳng BC lấy điểm K sao cho

FC.BH = HC.FK. Đường thẳng qua B

song song với AD cắt FK tại I.

Chứng minh: BE.BK = BC.BI

3/ Dựng điểm O sao cho OB // EF và

OE //AD. Chứng minh: 𝑬𝑭𝑶 ̂

= 𝑩𝑬𝑰 ̂

4/ Vẽ CN vuông góc với EF tại N. Chứng minh:

𝑵𝑬

𝑩𝑴

=

𝑩𝑯

𝑯𝑪

5/ Chứng minh: 𝑭𝑴𝑰 ̂

= 𝑭𝑵𝑩

̂

Bài 63. Cho tam giác ABC nhọn (AB

có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H,

EF cắt AH tại I. Đường thẳng qua A vuông

góc với EF cắt BC tại M

1/ Chứng minh:

𝑨𝑰

𝑨𝑬

=

𝑨𝑪

𝑨𝑫 +𝑯𝑫

2/ Chứng minh:

𝑨𝑬

𝑨𝑰

−

𝑯𝑪

𝑯𝑨

=

𝑯𝑫

𝟐 𝑯𝑭 .𝑨𝑫

3/ Chứng minh:

𝑫𝑬 𝑫𝑭 =

𝑴𝑩

𝑴𝑪

4/ Chứng minh:

𝑩𝑯

𝑨𝑩

+

𝑯𝑪

𝑨𝑪

=

𝑩𝑪

𝑨𝑴

Bài 64. Cho tam giác ABC vuông

tại A (AB < AC) có đường cao AH

( H thuộc BC). Gọi O và D lần lượt

là trung điểm của BC và AC.

Đường thẳng qua C song song với

AH cắt OD tại E. Biết S là diện tích

và P là chu vi

1/ Chứng minh:

AC

4

+ BC

4

– AB

4

= 32OA

2

.HD

2

và

DO.DE + AH.EC = CO.CH

2/ Chứng minh: 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑬

= 𝑺 ∆𝑯𝑩𝑬 và 𝑺 ∆𝑬𝑩𝑫 = 𝑺 ∆𝑪𝑯𝑫 + 𝑺 ∆𝑬𝑯𝑫

3/ Cho AB =15cm ; AC =20 cm. Tìm diện tích tam giác BCE

4/ Chứng minh: BC

4

= 4HB

2

.OE

2

+ 4EC

2

.AB

2

5/ Chứng minh: (

𝑷 ∆𝑩𝑪𝑬 𝑷 ∆𝑨𝑩𝑫 )

𝟐 =

𝟒 𝑺 ∆𝑪𝑶𝑬 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪

6/ Vẽ HK vuông góc với BE tại K. Chứng minh:𝑨𝑩𝑬 ̂

= 𝑯𝑨𝑲 ̂

7/ AK cắt BC tại N và BD cắt AH tại M. Chứng minh: MN // HD

Bài 65. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB < AC) có đường cao AH

( H thuộc BC). Gọi D là trung điểm

của AC. Vẽ AK vuông góc với BD tại

K. Biết S là diện tích

1/ Chứng minh:

𝑲𝑫

𝑯𝑪

=

𝑨𝑲

𝟐𝑨𝑯

2/ AK cắt BC tại I. Chứng minh:

KI là tia phân giác góc 𝑯𝑲𝑪 ̂

3/ Tính A = KC

2

+ HD

2

theo AB và

AC. Từ đó tính tỉ số

𝑺 ∆𝑰𝑯𝑲 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪

Nếu như KC

2

+ HD

2

= 3AB

2

4/ Đường thẳng qua D song song với AK cắt AB và AH lần lượt tại M và N, HM cắt

KN tại J. Lấy điểm S thuộc cạnh BN sao cho AS //BC.

Chứng minh: CK _|_ BN và MN.JS = NJ.AS

Bài 66. Cho tam giác ABC nhọn (AB

Trên tia đối tia FC lấy điểm N, tia đối tia EB lấy điểm M để AN // BE và FC // AM

1/ Chứng minh:

𝑯𝑴

𝑯𝑵

=

𝑫𝑪 𝑫𝑬 và

𝑬𝑴

𝑬𝑯

+

𝑭𝑨

𝑭𝑩

=

𝑨𝑯

𝑯𝑫

1/ Chứng minh:

𝑬𝑴

𝑬𝑩

=

𝑭𝑵

𝑭𝑪

và

𝑬𝑴

𝑩𝑫

+

𝑭𝑵

𝑯𝑪

=

𝑨𝑯

𝟐 𝑯𝑫 .𝑨𝑫

3/ EF cắt BC tại I. Chứng minh: MN // HI và

𝑴𝑪

𝑩𝑵

=

𝑨𝑩

𝑨𝑪

Bài 67. Cho tam giác ABC nhọn (AB

Đường thẳng qua A song song với BC cắt BE và CF lần lượt tại M và N

1/ Chứng minh: ∆𝑯𝑬𝑭 ~ ∆𝑯𝑵𝑴 và ∆𝑪𝑬𝑵 ~ ∆𝑩𝑭𝑴

2/ Chứng minh:

𝑴𝑬

𝑵𝑭

=

𝑨𝑩

𝟐 𝑨𝑪

𝟐 .

𝑩𝑯

𝑯𝑪

và

𝑯𝑵

𝑬𝑪

+

𝑯𝑴

𝑩𝑭

=

𝑨𝑯

𝟐 𝑬𝑭 .𝑨𝑫

3/ Chứng minh:

𝑭𝑵

𝑭𝑯

.

𝑬𝑯

𝑬𝑴

=

𝑪𝑫

𝟐 𝑩𝑫

𝟐 và

𝑫𝑵 𝟐 𝑫𝑴 𝟐 =

𝑭𝑵

𝑭𝑯

.

𝑬𝑯

𝑬𝑴

.

𝑨𝑯

𝟐 +𝑩𝑫

𝟐 𝑨𝑯

𝟐 +𝑬𝑪

𝟐

Bài 68. Cho tam giác ABC nhọn

(AB

nhau tại H. Đường thẳng qua E vuông

góc với EF cắt FC và BC lần lượt tại M

và P

1/ Chứng minh: ∆𝑯𝑩𝑪 ~ ∆𝑯𝑭𝑬

và PC

2

= PM.PE

2/ Đường thẳng qua F vuông góc với EF

cắt BE và BC lần lượt tại N và Q, PF cắt

QE tại I. Chứng minh: QI.QN = PM.IE

3/ Chứng minh:

𝑯𝑵

𝑯𝑬

=

𝑩𝑫

𝑪𝑫

4/ Chứng minh: 𝑩𝑨𝑵 ̂

= 𝑴𝑨𝑪 ̂

5/ Chứng minh:

𝑷𝑸

𝑩𝑪

=

𝑨𝑯

𝑨𝑫 +𝑯𝑫

Bài 69. Cho tam giác ABC nhọn

(AB

cắt nhau tại H. Cho EF cắt AH tại I.

Gọi K là điểm đối xứng H qua D.

1/ Chứng minh: AI.AK = AH.AD

2/ Chứng minh:

𝑩𝑯

𝑨𝑩

+

𝑯𝑪

𝑨𝑪

=

𝑰𝑯

𝑬𝑭

3/ EF cắt BK tại O.

Chứng minh:

𝑨𝑭

𝑶𝑭

=

𝑨𝑰

𝑶𝑩

4/ Lấy điểm P thuộc cạnh OA, điểm Q thuộc cạnh AB sao cho AC // IP // HQ.

Chứng minh: 3 điểm P, Q, K thẳng hàng

Bài 70. Cho hình chữ nhật ABCD

( AB > AD). Vẽ AH vuông góc với BD tại

H, AH cắt CD tại K. Cho biết S là diện tích.

Đặt AD = a; AB = b

1/ Chứng minh: AH.HK + HD.HB = AD

2

. Tính diện tích tứ giác ADKB theo a và b

2/ Đường thẳng qua C vuông góc với BK

cắt AK tại N. Kẻ NO vuông góc với CD tại

O, BK cắt AD tại E.

Chứng minh:

𝑨𝑫

𝑫𝑬 =

𝑲𝑶

𝑲𝑪

3/ Chứng minh: BO // EC

4/ Tìm tỉ số

𝑨𝑵

𝑨𝑲

và

𝑺 ∆𝑯𝑬𝑪 𝑺 ∆𝑵𝑬𝑪 theo a và b

Bài 71. Cho tam giác ABC nhọn

(AB

cắt nhau tại H. Đường thẳng qua B

song song với AC cắt EF tại M.

Đường thẳng qua C song song với

AB cắt EF tại N

1/ Chứng minh: EC

2

= EN.ED

2/ Chứng minh:

𝑴𝑭

𝑬𝑵

=

𝑨𝑩

𝑨𝑪

.

𝑯𝑩

𝑯𝑪

và

𝑴𝑬

𝑵𝑭

=

𝑨𝑩

𝟐 𝑨𝑪

𝟐

3/ Chứng minh:

𝑴𝑩

𝑵𝑪

=

𝑯𝑩

𝑯𝑪

.

𝑨𝑩

𝟐 𝑨𝑪

𝟐 và BC

2

= MF.EN

4/ Chứng minh:

𝟏 𝑴𝑭

+

𝟏 𝑬𝑵

=

𝑨𝑪

𝑯𝑪 .𝑩𝑭

Bài 72. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc

BC). Gọi D là điểm đối xứng A qua H

và E là điểm đối xứng A qua B. Cho

BC cắt AD tại N. Vẽ AK vuông góc với

EC tại K.

1/ Chứng minh: 𝑫𝑲𝑬 ̂

= 𝑨𝑪𝑩 ̂

2/ Chứng minh: ∆𝑲𝑫𝑨 ~ ∆𝑩𝑬𝑪

3/ Chứng minh: AH.AN = NC.EK

4/ Đường thẳng qua B song song với

AH cắt AK tại P, AH cắt PC tại Q.

Đặt KD = a.KA. Trên đoạn thẳng AK lấy điểm O sao cho

𝑶𝑨

𝑶𝑲

=

𝟏 +𝟑 𝒂 𝟐 𝟑 −𝒂 𝟐 . Chứng

minh: AH = AQ và OC _|_ BQ

Bài 73. Cho tam giác ABC vuông tại

A (AB < AC). Gọi O và I lần lượt là

trung điểm của BC và AC. Đường

thẳng qua C vuông góc với BC cắt OI

tại D. Gọi E và F lần lượt là hình

chiếu của I trên các đường thẳng OC

và CD

1/ Chứng minh: DI.AB = 2EF

2

2/ Chứng minh:

𝑶𝑬

𝑫𝑭 =

𝑨𝑩

𝟑 𝑨𝑪

𝟑

3/ Chứng minh: AE _|_ BD

4/ BD cắt AC tại M. Lấy điểm N thuộc cạnh OD sao cho MN // BC.

Chứng minh:

𝑫𝑵 𝑶𝑵

=

𝑬𝑪

𝟐𝑶𝑬 và NF _|_ DE

5/ Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt AC và CD lần lượt tại P và Q.

Chứng minh:

𝑷𝑵

𝑷𝑸

.

𝑷𝑭

𝑷𝑴

=

𝑴𝑨

𝑴𝑪

Bài 74. Cho tam giác ABC vuông tại A

(AB < AC) có đường cao AH (H thuộc BC).

Gọi D là điểm đối xứng A qua B và E là điểm

đối xứng A qua H, AE cắt CD tại I. Lấy điểm

K thuộc cạnh AD sao cho IK _|_ CD

1/ Chứng minh: ∆𝑩𝑯𝑫 ~ ∆𝑩𝑫𝑪

2/ Chứng minh:

𝑯𝑰

𝑯𝑨

=

𝑪𝑰

𝑪𝑫

và HK _|_ HD

3/ Đường thẳng qua K song song với AC cắt

AE và DE lần lượt tại M và N. Chứng minh:

KA.KD = KH.KC và 𝑲𝑪𝑴 ̂

= 𝑯𝑵𝑲

̂

4/ Lấy điểm O thuộc cạnh EC sao cho OI //AC. Chứng minh: AE đi qua trung điểm

của cạnh OK

^^^o0o-----------------&&& Hết &&&-------------------o0o^^^