Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 9 - Bắc Ninh năm học 2019-2020 (có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO

BẮC NINH

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2019 - 2020

Môn thi: Toán – lớp 9 cấp THCS

Ngày thi: 15/5/2020

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian

giao đề)

Tên : Trƣơng Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng

Ngãi.Điện thoại : 0708127776.Nguồn gốc : SƢU TẦM đề và giải

Câu 1(4,0 điểm) 1.Cho

2

2 2 1 P n n    với n nguyên dƣơng lần lƣợt thay các giá

trị n=1;n=2,..n=10 vào ta đƣợc giá trị tƣơng ứng P

1

, P

2

,...,P

9

, P

10

.Tính S=P

1

+ P

2

+...+P

9

+ P

10

2.Cho hàm số y=x

2

có đồ thị (P).Tìm tất cả m để đƣờng thẳng d:y=mx+2 cắt tại hai

điểm phân biệt A,B sao cho diện tích hình thang ABCD bằng 7,5 với D,C lần lƣợt

là hình chiếu của A,B trên trục hoành.

Câu 2(4,0 điểm)

1.Giải phƣơng trình

2

2 4 2x 5x 1 xx      

2.Cho f(x) là đa thức bậc 2 với hệ số ,, abc  .Giả sử f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực

(không nhất thiết phân biệt )đƣợc kí hiệu bởi x

1

, x

2

,x

3

, x

4

.Biết x

1

+x

2

=-1.Chứng

minh

1

4

c





Câu 3(4,0 điểm) 1.Cho a,b,c thực dƣơng thỏa a+b+c=3.Chứng minh

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

0

1 1 1

a a c b b a b c c b c a

ab bc ca

     

  

  

2.Tìm các số nguyên dƣơng n thỏa

2222

1 2 3 4

n d d d d     trong đó d

1

, d

2

,d

3

, d

4

là bốn

ƣớc số dƣơng nhỏ nhất của n

Câu 4(7,0 điểm) 1.Cho (O;R) .Từ 1 điểm M ngoài kẻ tiếp tuyến MA,MB đến (O)

với A,B là tiếp điểm.Qua A kẻ đƣờng thẳng song song MO cắt đƣờng tròn (O) tại E khác A.Đƣờng thẳng ME cắt (O) tại F khác A,AF cắt MO tại N,H là giao điểm

của MO và AB

a.Chứng minh

2

. MN FN NA  b.Chứng minh

0

90 HFN  và MN=MH

c.Chứng minh

2

2

E

1

HB F

HF FM



2.Cho tam giác ABC nội tiếp (O),lấy M là điểm trên cung BC không chứa A.Gọi H

là trực tâm tam giác ABC .Gọi I,J lần lƣợt là hình chiếu của M trên AB,AC.Chứng

minh IJ luôn qua trung điểm của MH

Câu 5(1,0 điểm) Cho 1 bảng ô có 2020x2020 ô ,mỗi ô đều điền 1 dấu cộng.Thực

hiện phép biến đổi sau :đổi dấu toàn bộ 1 hàng hoặc 1 cột của bảng (+ thành – và –

thành +).Hỏi sau 1 số lần thực hiện biến đổi ,bảng có đúng 18 dấu – hay không ?

Lời giải

Câu 1(4,0 điểm) 1.Cho

2

2 2 1 P n n    với n nguyên dƣơng lần lƣợt thay các giá

trị n=1;n=2,..n=10 vào ta đƣợc giá trị tƣơng ứng P

1

, P

2

,...,P

9

, P

10

.Tính S=P

1

+ P

2

+...+P

9

+ P

10

2.Cho hàm số y=x

2

có đồ thị (P).Tìm tất cả m để đƣờng thẳng d:y=mx+2 cắt tại hai

điểm phân biệt A,B sao cho diện tích hình thang ABCD bằng 7,5 với D,C lần lƣợt

là hình chiếu của A,B trên trục hoành.

Lời giải

1.Ta có

2

2 2 1 1 1; 11 10 1 P n n n n S          

2.Ta có

2 2 2

x 2 x-2 0; 8 0 x m x m m m           .Vì phƣơng trình có 2 nghiệm trái

dấu ,giả sử x

A

= x

D

<0; x

B

= x

C

>0 .Vì

2 2 2

D 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1

7,5 ( )( ) 15 ( )( ) 15 ( ) ( ) 2 15

ABC

S x x y y x x x x x x x x x x               



với

2

21

21

21

8

2

x x m

x x m

xx



    

















.Thay vào trên ta có

2 2 2 2 2 2

8.( 8) 15 ( 1) ( 8) 9( 4) 45 0 1 m m m m m m              



Câu 2(4,0 điểm)

1.Giải phƣơng trình

2

2 4 2x 5x 1 xx      

2.Cho f(x) là đa thức bậc 2 với hệ số ,, abc  .Giả sử f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực

(không nhất thiết phân biệt )đƣợc kí hiệu bởi x

1

, x

2

,x

3

, x

4

.Biết x

1

+x

2

=-1.Chứng

minh

1

4

c





Lời giải

1.Ta có

2

11

2 4; 2 4 2x 5x 1 ( 3). (2x 1) 0

2 1 4 1

x x x x

xx



             



   



3

11

(2x 1) 0

2 1 4 1

x

xx

 







   

    



.Ta có

1 1 1 1

(2x 1) 0; (2x 1) 1

2 1 4 1 2 1 4 1

VT VP

x x x x

         

       

theo điều

kiện

2.Đặt t=f(x) thì f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt ) hay

x

2

+bx+c=0 có 2 nghiệm t

1

, t

2

và mỗi phƣơng trình x

2

+bx+c=t

1

và x

2

+bx+c=t

2

đều

có hai nghiệm với t

1

+ t

2

=b.Khi đó ta có

2

2

2

1

2

2

2

4a 0

4a 0

4( ) 0

4 2 0

4( ) 0

bc

bc

b c t

b c b

b c t

 

 



   



  

 

  



.Với x

1

,

x

2

là nghiệm chung ta có x

2

+bx+c=t

1

và x

2

+bx+c=t

2

hay suy ra x

1

+ x

2

=-b nên

b=1 lúc đó

1

4

c



 .

Với

2 2

2 2 2 2 1 1 1 12

1 2 1 2 1 2

2

2 2 2

x (x x )

( ) (x x ) 2

2 x

x b c t

x x b b c x x dpcm

x b c t

    

           



  



Câu 3(4,0 điểm) 1.Cho a,b,c thực dƣơng thỏa a+b+c=3.Chứng minh

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

0

1 1 1

a a c b b a b c c b c a

ab bc ca

     

  

  

2.Tìm các số nguyên dƣơng n thỏa

2222

1 2 3 4

n d d d d     trong đó d

1

, d

2

,d

3

, d

4

là bốn

ƣớc số dƣơng nhỏ nhất của n

Lời giải

1.Ta có

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) (3 3 ) (3 3 ) (3 3 )

00

1 1 1 1 1 1

a a c b b a b c c b c a a b b c c a

ab bc ca ab bc ca

        

      

     

(1 ) (1 ) (1 ) 1 1 1

03

1 1 1 1 1 1

a b b c c a a b c

ab bc ca ab bc ca

     

       

     

.Ta có

2

3

1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 . . ; . . 1 3 ( ) 2a

1 1 1 1 1 1 1 1 1

a b c a b c a b c

VT abc bc

ab bc ca ab bc ca ab bc ca

        

       

        

(đúng vì 31 a b c abc      )

2.Gỉa sử d

1

< d

2

3

< d

4

suy ra d

1

=1.Nếu n lẻ thì

222

2 3 4

1 n d d d     thì trong ba d

2

,d

3

, d

4

số phải có 1 chẵn hoặc cả ba cùng chẵn.Gỉa sử đó là d

2

.Mà d

2

là ƣớc n

suy ra n chia hết cho 2 hay n chẵn nên mâu thuẫn . Nếu n chẵn thì n chia hết cho 2

hay d

2

=2.Lúc đó

22

34

5 n d d    hay suy ra d

3

;d

4

phải có 1 chẵn hoặc 1 lẻ .Gọi p là

ƣớc nguyên tố nhỏ nhất của n ta có d

3

=p;d

4

=2p.Lúc đó n chia hết cho 5 hay d

3

=5;d

4

=10.

Câu 4(7,0 điểm) 1.Cho (O;R) .Từ 1 điểm M ngoài kẻ tiếp tuyến MA,MB đến (O)

với A,B là tiếp điểm.Qua A kẻ đƣờng thẳng song song MO cắt đƣờng tròn (O) tại

E khác A.Đƣờng thẳng ME cắt (O) tại F khác A,AF cắt MO tại N,H là giao điểm

của MO và AB

a.Chứng minh

2

. MN FN NA  b.Chứng minh

0

90 HFN  và MN=MH

c.Chứng minh

2

2

E

1

HB F

HF FM



2.Cho tam giác ABC nội tiếp (O),lấy M là điểm trên cung BC không chứa A.Gọi H

là trực tâm tam giác ABC .Gọi I,J lần lƣợt là hình chiếu của M trên AB,AC.Chứng

minh IJ luôn qua trung điểm của MH F

H

O

M

A

B

E

N

H

O

E

C

B

A

M

J

I

D

N

K

F

Lời giải

1a.Ta có E ; E NMF A F A F NAM NMF NAM NMF       đồng dạng NAM dpcm 

1b.Ta có

0

E 90 MA  nên BE là đƣờng kính.Ta

có

2

..

MF MH

MA MFME MH MO MFH

MO ME

      đồng dạng MOE 

00

EB; EB ; 90 90 NHF M M NAB NHF NAB HNF NAB HFN         .Ta có

22

. MN NH FNNA MN NH     .

1c.Ta có

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 E E

11

HB HB HB F HB F

HF HN HA MN HB HF MN HF MF MN MF

           

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

E.

1 1 1 1

.

HB F HB FA HB FANA HB HA

HF MF MN NF MN NF NA MN MN

            . 2.Gọi E,F lần lƣợt là điểm đối xứng của M qua AB,AC.Ta chứng minh E,H,F

thẳng hàng.Ta có AEB; B E AMB AM ACB A B ACB     .Tứ giác HNCD nội tiếp hay

D E D ACB BH A B BH    .Tứ giác AEBH nội tiếp

nên A EHB E B BAM EHB BAM     .Tƣơng tự ta

có

0

180 CHF CAM BHE CHF BAC BHE CHF BHC BAC BHC          

Câu 5(1,0 điểm) Cho 1 bảng ô có 2020x2020 ô ,mỗi ô đều điền 1 dấu cộng.Thực

hiện phép biến đổi sau :đổi dấu toàn bộ 1 hàng hoặc 1 cột của bảng (+ thành – và –

thành +).Hỏi sau 1 số lần thực hiện biến đổi ,bảng có đúng 18 dấu – hay không ?

Lời giải

Gọi a,b là số lần chuyển đổi lẻ lần với , , , 2020 a b a b  .Nếu có a cột thì số ô mang

dấu – trong a cột là (2020-b)a. Nếu có b cột thì số ô mang dấu – trong a cột là

(2020-a)b.Tổng số ô mang dấu – là

: (2020 ) (2020 ) 18 (1010 ) 9 1010 ( 1010) b a a b b a b b         

1020091 19.53.1013

1010 1010

1010 1010

a

bb

    



. Phƣơng trình này không có nghiệm nguyên

nên bảng không có 18 dấu -

Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần

nữa mình không ra dƣợc vì không có tiền mua vé tàu .Tại sao cuộc đời

lại bất công với tôi nhƣ thế .Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ đều

khó khăn

Trên chuyến tàu của toán học luôn thiếu mình .Một lời giải mà mình giải

không ra .Đó là Tiền ,tại sau toi lại bần cùng đến nhƣ vậy hả trời .Buồn

cho xã hội không tận dụng nhân tài .Tuyển dụng công chức là để tìm

ngƣời nhà và tiền .Kẻ nhƣ tôi thì không có : THÂN THẾ TIỀN và nhƣ

thế bị vứt ra đƣờng trong chuyến tàu tốc hành của giáo dục Việt Nam

.Tại sao ngƣời ta có thể mua một kg nho Nhật Bản với giá 1,3 triệu -1,5

triệu để ăn mà mình lại mua một vé tàu đi về Quảng Ngãi –Hà Nội giá

700 trăm nghìn không đƣợc ,bài toán giải mãi mà chẳng xong .Ngƣời bần cùng ,kẻ thì mua kg nho Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn

,mua hàng mà phải đặt tiền cọc trƣớc .Nho này hiếm mà có kg nào nhập

về là dân Việt Nam giới thƣợng lƣu mua hết trong một giời đồng hồ

.Thật sự sốc ,trái cây Việt Nam rẻ nhƣ bèo mà “cho không lấy ,thấy

không xin nói gì tới việc mua bán nữa “Tôi tên là :Trƣơng Quang An

Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận đƣợc 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí

toán tuổi thơ 15 năm tuổi .Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh

dự nhƣng hoàn cảnh gia đình quá khó khăn .Tôi đi làm lƣơng quá thấp ,dạy hợp

đồng ,vợ tôi đi làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi

làm thì tháng nào có sản phẩm thì có lƣơng ,không có sản phẩm làm thì tháng đó

không có lƣơng ,một tháng đƣợc 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang

trải cho cuộc sống hằng ngày .Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm

thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xƣa làm phụ

hồ ,làm thuê làm mƣớn cho ngƣời ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn

.Tôi đam mê toán học khi là học sinh cấp 1 .Tôi rất nghèo nhƣng niềm đam mê

toán học trong tôi rất lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân

thành cảm ơn tạp chí đã có thƣ mời tôi ra Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở

bản thân tôi lo không nổi nên không thể ra dự với tạp chí .Năm ngoái tôi không ra

Đà Nẵng dự hội thảo đƣợc ,năm nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI

THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều ngƣời

đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ thƣờng xuyên viết bài và gởi bài cho tạp

chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ

Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí

Tên : Trƣơng Quang An

Ngày sinh :20-5-1987

Tốt nghiệp cao đẳng sƣ phạm toán quảng Ngãi năm 2009

Ra trƣờng đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng

làm việc giảng dạy toán cho 1 trƣờng cấp 2

Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi

Thành tích lúc đi học :

Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi

Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi

Lên cấp 3 học Trƣờng Cấp 3 Chuyên Lê Khiết

Năm 2005 thi đại học sƣ phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng

đƣờng đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia

tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sƣ phạm Quảng Ngãi

3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành

tích :

- Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008

-Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN

cấp trƣờng Cao Đẳng Sƣ Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008

-Trong 3 lần đại diện cho trƣờng thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn

quốc thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích .

-Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio

cấp trƣờng .

-Sinh viên đầu tiên của trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng đề trong mục đề

ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ

-Sinh viên đầu tiên của trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng bài trong mục

chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ

-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi đƣợc đăng bài trên đặc san tạp chí

toán học và tuổi trẻ

-Hiện nay sáng dạy ở trƣờng vì đồng lƣơng quá thấp nên đi dạy kém khắp

nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo

ở quê Quảng Ngãi

-Bản thân là ngƣời rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 ,

hiện nay tôi thƣờng giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu

vào chuyên toán

-Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhƣng có lẻ ƣớc mơ đó của tôi

không thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh

-Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lƣu

học hỏi

-Xóm tôi bình thƣờng lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng

ngày bọn trẻ xóm tôi thƣờng nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mƣời sáu năm qua tôi đã coi tạp chí

nhƣ một ngƣời bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu

tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên

mục đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi đƣợc tiếp xúc với các bài

toán rất hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời

tôi .Tôi bƣớc vào sƣ phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi đƣợc

tạp chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sƣớng ,không tả nỗi .Đó

là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trƣờng ,điều kiện

học tập không có ,sinh viên cao đẳng nhƣ tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều

viễn vông ,đó là sƣ thật .Nhƣng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt đƣợc

ƣớc mơ của tôi .Những ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi

đem thƣ ra bƣu điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY

bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn

,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sƣu tầm ,sau khi

hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng

INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã trƣớc cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu

nhƣ tôi không có niềm đam mê toán học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ

báo có đăng bài của minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra bƣu điện mua báo toán ,trên kệ

báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên

đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tƣ nữa ,chỉ

biết đạp thật nhanh .Mấy tháng sau có thƣ nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1

đứa sinh viên nghèo nhƣ tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các

bạn ak .Sinh viên qua nhanh ,ra trƣơng vì hoàn cảnh cha mẹ đau và không có

tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn

đám cƣới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ôm

nhƣng khi rảnh mình thƣờng lấy tạp chí toán học ra xem .Tạp chí nhƣ một phần

trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin đƣợc hợp đồng

cho 1 trƣờng cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua

tôi đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mƣợn báo để phô tô

cũng có .Hồi xƣa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thƣờng ra bƣu điện đề mua ,từ nhà

đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhƣng khi mua đƣợc báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014

thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bƣu điện đặt

báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua đƣợc chiếc xe máy

cũ đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện

hơn tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí

.Tiền trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ

thành công .Tôi hiện nay có 2 ƣớc mơ ,thứ nhất đƣợc ra thăm toán chí toán học

tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái đƣợc tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội

thảo toán học ở Đà Nẵng nhƣng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra

.Thứ 2 mong đƣợc học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại chức ,nhƣng tôi thích học chính quy hơn ,ƣớc mơ đó có thể với mọi ngƣời rất đơn

giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mƣu sinh vì cuộc sống

hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trƣờng nào cần giáo viên nhƣ tôi thì liên hệ số

điện thoại 01208127776 .Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên

trình độ cao đẳng nhƣ tôi không .Lƣơng hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không

sống đƣợc bằng nghề sƣ phạm ,

Một người đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ ,

tạp chí toán tuổi thơ

Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi

Trương Quang An