Bài tập chủ đề lượng giác

CHỦ ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC

1. Giải phương trình:

2

2 3 sin (1 cos ) 4cos .sin 3

2

0

2sin 1

x

x x x

x

+ - - =

-

2. Giải phương trình:

a.

2 2

sin 3 .cos2 sin 0 x x x + =

HD: Hạ bậc và biến đổi ta được phương trình: cos 2 .cos6 0 x x =

b.

4 2

cos 2cos2 2sin 3 x x x + - = .

3. Giải phương trình:

2

sin 2 .cos2 4sin .cos 3sin 2 cos2 2cos 3 0 x x x x x x x + - - - + =

HD: PT tương đương với: cos2 (sin 2 1) 2cos (sin 2 1) 3(sin 2 1) 0 x x x x x - + - - - =

4. Giải phương trình:

3

2 2 cos 2 sin 2 .cos( ) 4sin( ) 0

4 4

x x x x

π π

+ + - + =

5. Giải phương trình:

2

2 1 2 1 2 1

sin sin 2cos 0; 1/10

3 3

x x x

x

x x x

+ + +

+ - = ≥ .

6. Giải phương trình:

2

4(sin 3 cos ) 4 3sin .cos 3

0

4cos 1

x x x x

x

+ - - =

-

HD: Biến đổi:

2 2

4(sin 3 cos ) 4 3sin .cos 3(sin cos ) 0 x x x x x x + - - + = rồi phân tích

thành nhân tử.

7. Giải phương trình: cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin3 1/ 2 x x x x x x - = .

8. Giải phương trình:

2 2010

2 2010

2sin( ) 2 sin( ) ... 2 sin( ) 0

3 3 3

x x x

π π π

+ + + + + + =

HD: PTTĐ với

4 7 10 2008 2 5 8 11 2009

2

sin( )(2 2 2 2 ... 2 ) sin( )(2 2 2 2 ... 2 )

3 3

x x

π π

+ - + - - + + - + - - -

3 6 9 12 2010

sin (2 2 2 2 ... 2 ) 0 x - - + - - =

2

sin( ) 2sin( ) 4sin 0

3 3

x x x

π π

⇔ + + + - =

9. Cho tam giác ABC có

2

A B C

π

≤ ≤ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2cos 4 4cos 2 cos 2 cos 2 P C C A B = + + + .

HD: Từ giả thiết ta có:

1

0 cos

3 2 2

C C

π π

≤ ≤ ⇒ < ≤ .

Biến đổi

2

2(cos 2 1) 4cos 2 2cos .cos( ) P C C C A B = - + - -

2 2 2

4cos 2 4(2cos 1) 2cos 2 (2cos 2 1) 1 cos2 4 C C C C C ≥ + - - - = + + - - .

10. Tìm các góc của tam giác ABC thỏa mãn:

5

cos2 3(cos 2 cos2 ) 0

2

A B C + + + = .

11. Tìm GTLN của biểu thức:

2 2 2

sin sin 2sin P A B C = + + .

12. Tìm các góc của tam giác thỏa mãn:

2sin 2sin 4sin 5cos 3cos cos

2 2 2

A B C

A B C + + = + +

13. Tìm GTLN của biểu thức:

sin sin sin

cos cos cos

2 2 2

A B C

P

A B C

+ +

=

+ +

14. CMR trong mọi tam giác ta đều có:

2 2 2

cos .cos .cos 8 3.cos .cos .cos 24cos cos cos 1

2 2 2 2 2 2

A B C A B C

A B C + ≥ -

HD: + Ta có :

2 2 2

sin sin sin

cos .cos .cos 1

2

A B C

A B C

+ +

= - .

+

sin sin sin

cos .cos .cos

2 2 2 4

A B C A B C + +

=

+ Đặt : sin ; sin ; sin x A y B z C = = = , bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại

thành:

2 2 2 2

4 3( ) 3( ) x y z x y z x y z + + + + + ≥ + + (1)

+ Mặt khác, ta có:

3 3

2

x y z + + ≤ nên :

2 2 2 2

8

(1) ( )

3

VT x y z x y z ≥ + + + + + và dễ chứng minh được.

15. CMR trong mọi tam giác ta có:

1

sin sin sin cos cos cos

2 2 2 8 2 2 2

A B C B C C A A B - - - ≤

HD: Nhân hai vế của bất đẳng thức với cos cos cos

2 2 2

A B C

, ta được:

1

sin A.sinB.sinC (sin sin )(sin sin )(sin sin )

8

A B B C C A ≤ + + + .

16. Cho tam giác ABC thỏa mãn: tan tan 1

2 2

A B

=

CMR: ABC Δ vuông

1

sin sin sin

2 2 2 10

A B C

⇔ =

HD: + GT ta có

2

tan tan 1 ... sin 1/10

2 2 2

A B C

= ⇔ ⇔ =

+

2

sin sin 8sin

2

C

A B =

+

2

cos cos 10sin 1

2

C

A B = - .

17. CMR với mọi tam giác ABC nhọn ta có:

cos

2

cos cos

2 2

A

B C

≥

∑

.

18. Tính các góc của tam giác ABC biết:

3 3

cos cos sin

2 2 2 2

A B A C A - - + = + .(1)

HD:

3 3 3

(1) 2cos cos cos

4 4 2 2

A C B A π π - - - ⇔ = +

2

3 3 3

2cos cos 2cos 1

4 4 2 4

A C B A π π - - - ⇔ = + -

2 2

3 1 1

2(cos .cos ) sin 0

4 2 4 2 4

A C B C B π - - - ⇔ - + = .

Bài 19 : Cho tam giác ABC t/m:

2 2

2 2

(1)

(2)

b a ac

c b ba

 = +





= +





. CMR:

2

B AC = .

HD: (1) sin( ) sin 2 B A A B A ⇔ - = ⇔ =

Bài 20 : Cho 2 a c b + = . CMR cot cot 2cot

2 2 2

A C B

+ = .

Bài 21: Cho hàm số ( ) f x thỏa mãn

4 4

(tan 2 ) tan cot f x x x = + .

Tìm GTNN của ( ) (cos ) (sin ) g x f x f x = + .

Bài 22: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: abc + a + c = b. Tìm GTLN của biểu thức:

2 2 2

2 2 3

1 1 1

P

a b c

= - +

+ + +

HD: Từ Gt ta có:

1 1

. . 1 ac a c

b b

+ + = . Ta thấy luôn tồn tại 3 góc thỏa mãn:

1

tan ; ; tan

2 2

tan

2

a b c

α γ

β

= = = , nên: tan .tan tan .tan tan .tan 1

2 2 2 2 2 2

α β β γ γ α

+ + =

Suy ra : ta có thể chọn α β γ π + + = .

Khi đó:

2 2 2

2.cos 2sin 3cos

2 2 2

P

α β γ

= - + . KQ:

10

max

3

P = .

Bài 23: Tìm GTNN của biểu thức:

sin

2

cos

2

C

P

A B

=

- ∑

.

Bài 24: Tìm GTNN của biểu thức:

1 1 1

2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2

P

A B C

= + +

+ + -

Bài 25: CMR:

2 2 2

1

cos cos cos 1 (cos cos cos )

6 2 2 2

A B B C C A

A B C

- - - + + ≤ + + + .

HD: + cos cos cos 1 4sin sin sin

2 2 2

A B C

A B C + + - =

2 2 2

3 1

cos cos cos (cos( ) cos( ) cos( ))

2 2 2 2 2

A B B C C A

A B B C C A

- - - + + = + - + - + -

1 2cos cos cos

2 2 2

A B B C C A - - - = + . Nên ta cần chứng minh:

1

4sin sin sin (1 2cos cos cos )

2 2 2 6 2 2 2

A B C A B B C C A - - - ≤ + , áp dụng bài 15 ta có đpcm.

Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn t/m: Luôn (0;1) ∃∈ sao cho

2 2

sin sin sin A B C

α

+ = . Hỏi

tam giác ABC là tam giác gì? HD: + Từ gt ta có:

2 2

sin sin 1 A B + ≤

+ Áp dụng định lý hàm số cos ta có cos 0 C ≥ .

+ Lại có

2 2

sin sin 1 cos cos( ) 1 A B C A B + = + - ≥ , nên dấu bằng xảy ra.

Bài 27: Cho tam giác ABC có đường cao ' 5 BB = , đường cao

2

' 2;cos '

5

CC CBB = = .

Tính diện tích tam giác ABC.

HD: Xét hai trường hợp:

TH1: Tam giác ABC không tù, khi đó:

2 2 1

cos ' sin cos

5 5 5

CBB C C = ⇒ = ⇒ = .

' 5 ' 4

sin

cos ' 2 5

BB CC

BC B

CBB BC

= = ⇒ = = ,

nên

3

cos

5

B = .

Khi đó:

2 5 ' 5

sin sin( )

5 sin 2

BB

A B C AB

A

= + = ⇒ = = .

Do đó

5

2

S = .

TH2: Tam giác ABC tù tại C.

A

B C

B’

C’