Bài tập Hình Học lớp 9 khó (có hướng dẫn)

Nhờ thầy giúp cho em hai bài hình học

Bài 1 . cho nửa (O) đường kính AB cố định điểm C cố định thuộc OA qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với AB cắt nửa (O) tại K lấy điểm I thuộc CK (I khác C,K ) tia AI cắt nửa (O) tại M tia BM cắt đường thẳng d tại N.

Chứng minh . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIN luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi I di động trên đoạn CK

Gợi ý: Bạn tự vẽ hình

Lấy D đối xứng B qua C, ta có D cố định và góc NDA = NBC = AIC => AIND nội tiếp => tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIN nằm trên đường trung trực của CD cố định.

Bài 2. Cho đường tròn (O) có BC là dây cung cố định nhỏ hơn đường kính, A là một điểm di động trên cung lớn BC ( A khác B , C ) . gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC , EF cắt BC tại M, qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB tại P cắt AC tại Q.

Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ luôn đi qua một điểm cố định khi A di động trên cung lớn AB.

Gợi ý:

Để giải bài toán ta cần kết quả sau: Các điểm M, N thứ tự trên các cạnh (hoặc đường thẳng) XY, XZ của tam giác XYZ. Tứ giác MNZY nội tiếp khi và chỉ khi XM.XY = XN.XZ

(MNZY nội tiếp  góc MYZ = XNM  tgXMN đồng dạng XZY  XM/XZ = XN/XY  XM.XY = XN.XZ)

Không mất tính tổng quát giả sử AB không lớn hơn AC. Kẻ AI vuông góc với SH, AI cắt BC tại K.

A, E, F, I, H cùng thuộc một đ/tròn; BCEF nội tiếp nên MB.MC = ME.MF = MH.MI => BHIC nội tiếp => góc ACB = 900 – CBE = CIK (1)

Các tứ giác BDHF, CDHE, DHIK nội tiếp => AB.AF = AH.AD = AI.AK = AE.AC => CEIK nội tiếp => góc CIK = CEK (2)

Từ (1) và (2) ta có góc KCE = KEC => tam giác KEC cân tại K => KE = KC. Lại có 900 – KCE = 900 – KEC hay góc KBE = KEB => tam giác KEB cân tại K => KE = KB. Như vậy KB = KC => K cố định.

Góc APQ = AFE = ACB => BPCQ nội tiếp => DB.DC = DP.DQ (3)

Tam giác DBH và DAC đồng dạng (g.g.) => DB/DA = DH/DC => DB.DC = DA.DH (4)

Tam giác DMH và DAK đồng dạng (g.g.) => DM/DA = DH/DK => DM.DK = DA.DH (5)

Từ (3) (4) (5) suy ra DP.DQ = DM.DK => MPKQ nội tiếp => Đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ đi qua trung điểm K cố định của BC