Bài tập nguyên hàm dành cho học sinh trung bình - yếu - Toán lớp 12

MỤCLỤC x1 – NGUYÊN HÀM 1 | Dạng 1.1: Sử dụng nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 | Dạng 1.2: Nguyên hàm có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 | Dạng 1.3: Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 | Dạng 1.4: Phương pháp từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141. NGUYÊN HÀM ♥♥ NGUYÊNHÀM NGUYÊNHÀM 1 Chủ đề p Dạng 1.1. Sử dụng nguyên hàm cơ bản 1 Z dx =x+C 2 Z kdx =kx+C 3 Z x n dx = x n+1 n+1 +C 4 Z (ax+b) n dx = 1 a (ax+b) n+1 n+1 +C 5 Z dx x 2 =− 1 x +C 6 Z dx (ax+b) 2 =− 1 a . 1 ax+b +C 7 Z dx x = ln|x|+C 8 Z dx ax+b = 1 a ln|ax+b|+C 9 Z e x dx = e x +C 10 Z e ax+b dx = 1 a e ax+b +C 11 Z a x dx = a x lna +C 12 Z a αx+β dx = 1 α a αx+β lna +C 13 Z cosxdx = sinx+C 14 Z cos(ax+b)dx = 1 a sin(ax+b)+C 15 Z sinxdx =−cosx+C 16 Z sin(ax+b)dx =− 1 a cos(ax+b)+C 17 Z dx cos 2 x = tanx+C 18 Z dx cos 2 (ax+b) = 1 a tan(ax+b)+C 19 Z dx sin 2 x =−cotx+C 20 Z dx sin 2 (ax+b) =− 1 a cot(ax+b)+C 21 Z tanxdx =−ln|cosx|+C 22 Z tan(ax+b)dx =− 1 a ln|cosx|+C 23 Z cotxdx = ln|sinx|+C 24 Z cot(ax+b)dx = 1 a ln|sinx|+C 25 Z 1 x 2 −a 2 dx = 1 2a ln x−a x+a +C 26 Z 1 x 2 +a 2 dx = 1 a arctan x a +C Câu1. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x 4 −6x 2 +1 là A. 20x 3 −12x+C. B. x 5 −2x 3 +x+C. C. 20x 5 −12x 3 +x+C. D. x 4 4 +2x 2 −2x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu2. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x 3 +x 2 là A. x 4 4 + x 3 3 +C. B. x 4 +x 3 . C. 3x 2 +2x. D. 1 4 x 4 + 1 4 x 3 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu3. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x 3 +x−1 là: A. x 4 +x 2 +x+C. B. 12x 2 +1+C. C. x 4 + 1 2 x 2 −x+C. D. x 4 − 1 2 x 2 −x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 11. NGUYÊN HÀM ♥♥ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu4. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 −1 là A. x 3 +C. B. x 3 3 +x+C. C. 6x+C. D. x 3 −x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu5. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =x 2 +3 là A. x 3 3 +3x+C. B. x 3 +3x+C. C. x 3 2 +3x+C. D. x 2 +3+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu6. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x(1+3x 3 ) là A. x 2  1+ 3 2 x 2 ‹ +C. B. x 2  1+ 6x 3 5 ‹ +C. C. 2x  x+ 3 4 x 4 ‹ +C. D. x 2  x+ 3 4 x 3 ‹ +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu7. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 1 5x+4 . A. F(x) = 1 ln5 ln|5x+4|+C. B. F(x) = ln|5x+4|+C. C. F(x) = 1 5 ln|5x+4|+C. D. F(x) = 1 5 ln(5x+4)+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu8. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e x +x là A. e x +x 2 +C. B. e x + 1 2 x 2 +C. C. 1 x+1 e x + 1 2 x 2 +C. D. e x +1+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu9. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x+sinx là A. x 2 +cosx+C. B. x 2 −cosx+C. C. x 2 2 −cosx+C. D. x 2 2 +cosx+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu10. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 +cosx là A. 2x−sinx+C. B. 1 3 x 3 +sinx+C. C. 1 3 x 3 −sinx+C. D. x 3 +sinx+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 21. NGUYÊN HÀM ♥♥ Câu11. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e 2x . A. Z e 2x dx = 2e 2x +C. B. Z e 2x dx = e 2x +C. C. Z e 2x dx = e 2x+1 2x+1 +C. D. Z e 2x dx = 1 2 e 2x +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 5 2x ? A. Z 5 2x dx = 2.5 2x ln5+C. B. Z 5 2x dx = 2. 5 2x ln5 +C. C. Z 5 2x dx = 25 x 2ln5 +C. D. Z 5 2x dx = 25 x+1 x+1 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu13. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y =x 2 −3 x + 1 x . A. x 3 3 − 3 x ln3 − 1 x 2 +C, C∈R. B. x 3 3 −3 x + 1 x 2 +C, C∈R. C. x 3 3 − 3 x ln3 −ln|x|+C, C∈R. D. x 3 3 − 3 x ln3 +ln|x|+C, C∈R. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu14. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 4x−3 . A. Z 2 4x−3 dx = 1 4 ln|4x−3|+C. B. Z 2 4x−3 dx = 2ln 2x− 3 2 +C. C. Z 2 4x−3 dx = 1 2 ln 2x− 3 2 +C. D. Z 2 4x−3 dx = 1 2 ln  2x− 3 2 ‹ +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu15. Hàm số F (x) = e x 2 là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? A. f (x) = 2xe x 2 . B. f (x) =x 2 e x 2 . C. f (x) = e x 2 . D. f (x) = e x 2 2x . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu16. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 −x . A. 3 −x ln3 +C. B. − 3 −x ln3 +C. C. −3 −x +C. D.−3 −x ln3+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu17. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = sin5x. A. 1 5 cos5x+C. B. cos5x+C. C. −cos5x+C. D.− 1 5 cos5x+C. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 31. NGUYÊN HÀM ♥♥ |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu18. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 +sinx là A. x 3 +cosx+C. B. 6x+cosx+C. C. x 3 −cosx+C. D. 6x−cosx+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu19. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+1 là A. F(x) = 2x 2 +x. B. F(x) = 2. C. F(x) =C. D. F(x) =x 2 +x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu20. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e x +x là A. e x +x 2 +C. B. e x + 1 2 x 2 +C. C. 1 x+1 e x + 1 2 x 2 +C. D. e x +1+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu21. Hàm số F(x) nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y = 3 √ x+1? A. F(x) = 3 4 (x+1) 4 3 +C. B. F(x) = 4 3 3 p (x+1) 4 +C. C. F(x) = 3 4 (x+1) 3 √ x+1+C. D. F(x) = 3 4 4 p (x+1) 3 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x 2 −x+1 x−1 . A. x+ 1 x−1 +C. B. x+ 1 (x−1) 2 +C. C. x 2 2 +ln|x−1|+C. D. x 2 +ln|x−1|+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu23. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + x 2 . ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 41. NGUYÊN HÀM ♥♥ A. Z f(x)dx = x 3 3 + x 2 4 +C. B. Z f(x)dx =x 3 + x 2 2 +C. C. Z f(x)dx =x 3 + x 2 4 +C. D. Z f(x)dx =x 3 + x 2 4 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu24. Nguyên hàm của hàm số y = e −3x+1 là A. 1 3 e −3x+1 +C. B. −3e −3x+1 +C. C. − 1 3 e −3x+1 +C. D. 3e −3x+1 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu25. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cos x 2 . A. F(x) = 2sin x 2 +C. B. F(x) = 1 2 sin x 2 +C. C. F(x) =−2sin x 2 +C. D. F(x) =− 1 2 sin x 2 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu26. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 12 12x . A. Z 12 12x dx = 12 12x−1 ·ln12+C. B. Z 12 12x dx = 12 12x ·ln12+C. C. Z 12 12x dx = 12 12x ln12 +C. D. Z 12 12x dx = 12 12x−1 ln12 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu27. Họ nguyên hàm Z x 3 −2x 2 +5 x 2 dx bằng A. x 2 2 −2x− 5 x +C. B. −2x+ 5 x +C. C. x 2 −2x− 5 x +C. D. x 2 −x− 5 x +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu28. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2 √ 2x+1 . A. Z f(x)dx = √ 2x+1+C. B. Z f(x)dx = 2 √ 2x+1+C. C. Z f(x)dx = 1 (2x+1) √ 2x+1 +C. D. Z f(x)dx = 1 2 √ 2x+1+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu29. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin3x là A. 3cos3x+C. B. 1 3 cos3x+C. C. − 1 3 cos3x+C. D.−3cos3x+C. |Lờigiải. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 51. NGUYÊN HÀM ♥♥ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu30. Tính I = Z dx cos 2 x được kết quả A.−cotx+C. B. tanx+C. C. −tanx+C. D. cotx+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu31. Tìm F(x) = Z 6x+2 3x−1 dx. A. F(x) = 2x+ 4 3 ln|3x−1|+C. B. F(x) = 2x+4ln|3x−1|+C. C. F(x) = 4 3 ln|3x−1|+C. D. F(x) = 2x+4ln(3x−1)+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu32. Tính nguyên hàm I = Z (2 x +3 x ) dx. A. I = 2 x ln2 + 3 x ln3 +C. B. I = ln2 2 x + ln3 3 x +C. C. I = ln2 2 + ln3 3 +C. D. I =− ln2 2 − ln3 3 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu33. Tìm H = Z 4 √ 2x−1dx. A. H = 2 5 (2x−1) 5 4 +C. B. H = (2x−1) 5 4 +C. C. H = 1 5 (2x−1) 5 4 +C. D. H = 8 5 (2x−1) 5 4 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu34. Hàm sốF(x) = 1 4 ln 4 x+C là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. f(x) = ln 3 x x . B. f(x) = 1 xln 3 x . C. f(x) = x ln 3 x . D. f(x) = xln 3 x 3 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu35. Tìm Z  3 √ x 2 + 4 x ‹ dx A. 3 5 3 √ x 5 +4ln|x|+C. B. 3 5 3 √ x 5 −4ln|x|+C. C.− 3 5 3 √ x 5 +4ln|x|+C. D. 5 3 3 √ x 5 +4ln|x|+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu36. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x+sinx là ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 61. NGUYÊN HÀM ♥♥ A. 1+cosx+C. B. x 2 2 −cosx+C. C. x 2 2 +cosx+C. D. x 2 −cosx+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu37. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x 2 là A.− 1 x +C. B. x 3 +C. C. − 1 3x 2 . D. 1 x +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu38. Hàm số F(x) = 2sinx−3cosx là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f(x) =−2cosx−3sinx . B. f(x) =−2cosx+3sinx . C. f(x) = 2cosx+3sinx . D. f(x) = 2cosx−3sinx . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu39. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3 x −2x là A. F(x) = 3 x ln3 −x 2 −1. B. F(x) = 3 x ln3 −2. C. F(x) = 3 x ln3 − x 2 2 . D. F(x) = 3 x ln3−x 2 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu40. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 +sinx là A. x 3 +cosx+C. B. x 3 +sinx+C. C. x 3 −cosx+C. D. x 3 −sinx+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu41. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin5x+2 là A. 5cos5x+C. B.− 1 5 cos5x+2x+C. C. 1 5 cos5x+2x+C. D. cos5x+2x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu42. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x 2 +x−1 x 2 . A. Z 2x 2 +x−1 x 2 dx = 2+ 1 x − 1 x 2 +C. B. Z 2x 2 +x−1 x 2 dx = 2x+ 1 x +ln|x|+C. C. Z 2x 2 +x−1 x 2 dx =x 2 +ln|x|+ 1 x +C. D. Z 2x 2 +x−1 x 2 dx =x 2 − 1 x +ln|x|+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 71. NGUYÊN HÀM ♥♥ Câu43. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 10 x . A. Z 10 x dx = 10 x ln10 +C. B. Z 10 x dx = 10 x ln10+C. C. Z 10 x dx = 10 x+1 +C. D. Z 10 x dx = 10 x+1 x+1 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu44. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e x +2sinx. A. Z (e x +2sinx)dx = e x −cos 2 x+C. B. Z (e x +2sinx)dx = e x +sin 2 x+C. C. Z (e x +2sinx)dx = e x −2cosx+C. D. Z (e x +2sinx)dx = e x +2cosx+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu45. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 −2 x . A. Z f(x)dx = x 3 3 + 2 x ln2 +C. B. Z f(x)dx = 2x− 2 x ln2 +C. C. Z f(x)dx = x 3 3 − 2 x ln2 +C. D. Z f(x)dx = 2x−2 x ln2+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu46. Hàm số F(x) = e x 2 là nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f(x) =x 2 e x 2 +3. B. f(x) = 2x 2 e x 2 +C. C. f(x) = 2xe x 2 . D. f(x) =xe x 2 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu47. Họ nguyên hàm của f(x) = 2x 4 +3 x 2 là A. 2x 3 3 −3ln|x|+C. B. 2x 3 3 +3lnx+C. C. 2x 3 3 − 3 x +C. D. 2x 3 3 + 3 x +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+sin2x. A. x 2 − 1 2 cos2x+C. B. x 2 + 1 2 cos2x+C. C. x 2 −2cos2x+C. D. x 2 +2cos2x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu49. Họ nguyên hàm của hàm số y =x 2 −3x+ 1 x là A. F(x) = x 3 3 − 3 2 x 2 +lnx+C. B. F(x) = x 3 3 − 3 2 x 2 +ln|x|+C. C. F(x) = x 3 3 + 3 2 x 2 +lnx+C. D. F(x) = 2x−3− 1 x +C. |Lờigiải. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 81. NGUYÊN HÀM ♥♥ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu50. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x + 1 x 2 . A. Z f(x)dx = 3 x + 1 x +C. B. Z f(x)dx = 3 x ln3 + 1 x +C. C. Z f(x)dx = 3 x − 1 x +C. D. Z f(x)dx = 3 x ln3 − 1 x +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ p Dạng 1.2. Nguyên hàm có điều kiện Z f(x)dx thỏa mãn F(x 0 ) =k. Bước 1: Tìm nguyên hàm F(x) =G(x)+C (*) Bước 2: Từ F(x 0 ) =k, tìm được C. Bước 2: Thay C vào (*) và kết luận. Câu1. Cho hàm số f(x) = 2x + e x . Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 2019. A. F(x) = e x −2020. B. F(x) =x 2 +e x −2019. C. F(x) =x 2 +e x +2017. D. F(x) =x 2 +e x +2018. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu2. BiếtF(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = e 2x vàF(0) = 201 2 . Giá trịF  1 2 ‹ là A. 1 2 e+200. B. 2e+200. C. 1 2 e+50. D. 1 2 e+100. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu3. Tìm một nguyên hàmF(x) của hàm sốf(x)·g(x) biếtF(1) = 3, biết Z f(x)dx =x+2018 và Z g(x)dx =x 2 +2019. A. F(x) =x 3 +1. B. F(x) =x 3 +3. C. F(x) =x 2 +2. D. F(x) =x 2 +3. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 91. NGUYÊN HÀM ♥♥ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu4. ChoF(x) là một nguyên hàm củaf(x) = 1 x−1 trên khoảng (1;+∞) thỏa mãnF(e+1) = 4 . Tìm F(x) . A. F(x) = 2ln(x−1)+2. B. F(x) = ln(x−1)+3. C. F(x) = 4ln(x−1). D. F(x) = ln(x−1)−3. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu5. ChoF (x) là nguyên hàm củaf(x) = 1 √ x+2 thỏa mãnF(2) = 4. Giá trịF(−1) bằng A. √ 3. B. 1. C. 2 √ 3. D. 2. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu6. Tìm hàm số F(x) biết F(x) = Z x 3 x 4 +1 dx và F(0) = 1. A. F(x) = ln(x 4 +1)+1. B. F(x) = 1 4 ln(x 4 +1)+ 3 4 . C. F(x) = 1 4 ln(x 4 +1)+1. D. F(x) = 4ln(x 4 +1)+1. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu7. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) = sin2x và F  π 4  = 1. Tính F  π 6  . A. F  π 6  = 5 4 . B. F  π 6  = 0. C. F  π 6  = 3 4 . D. F  π 6  = 1 2 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 101. NGUYÊN HÀM ♥♥ Câu8. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x và F  π 2  = 14 3 thì A. F(x) = 1 3 sin3x+ 13 3 . B. F(x) =− 1 3 sin3x+5. C. F(x) = 1 3 sin3x+5. D. F(x) =− 1 3 sin3x+ 13 3 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu9. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx và đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm M (0;1). Tính F  π 2  . A. F  π 2  = 0. B. F  π 2  = 1. C. F  π 2  = 2. D. F  π 2  =−1. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu10. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 +8sinx và thỏa mãn F(0) = 2010. Tìm F(x). A. F(x) = 6x−8cosx+2018. B. F(x) = 6x+8cosx. C. F(x) =x 3 −8cosx+2018. D. F(x) =x 3 −8cosx+2019. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu11. Tính nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e 2x , biết F(0) = 1. A. F(x) = e 2x . B. F(x) = e 2x −1. C. F(x) = e x . D. F(x) = e 2x 2 + 1 2 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu12. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x−1 và F(2) = 1. Tính F(3). A. F(3) = ln2−1. B. F(3) = ln2+1. C. F(3) = 1 2 . D. F(3) = 7 4 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu13. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x−1 và F(3) = 1. Tính giá trị của F(2). A. F(2) =−1−ln2. B. F(2) = 1−ln2. C. F(2) =−1+ln2. D. F(2) = 1+ln2. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 111. NGUYÊN HÀM ♥♥ |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu14. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x+sin3x, biết F(0) = 2 3 . A. F(x) = 3x 2 − cos3x 3 + 2 3 . B. F(x) = 3x 2 − cos3x 3 −1. C. F(x) = 3x 2 + cos3x 3 +1. D. F(x) = 3x 2 − cos3x 3 +1. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu15. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin3x thoả mãn F  π 2  = 2. A. F(x) =− cos3x 3 + 5 3 . B. F(x) =− cos3x 3 +2. C. F(x) =− cos3x 3 +2. D. F(x) =−cos3x+2. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu16. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e x + 2x thỏa mãn F(0) = 3 2 . Tìm F(x). A. F(x) = e x +x 2 + 5 2 . B. F(x) = 2e x +x 2 − 1 2 . C. F(x) = e x +x 2 + 3 2 . D. F(x) = e x +x 2 + 1 2 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu17. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1+2x+3x 2 thỏa mãn F(1) = 2. Tính F(0)+F(−1). A.−3. B. −4. C. 3. D. 4. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu18. Nguyên hàmF(x) của hàm sốf(x) = 5x 4 −3x 2 trên tập số thực thỏa mãnF(1) = 3 là A. x 5 −x 3 +2x+1. B. x 5 −x 3 +3. C. x 5 −x 3 +5. D. x 5 −x 3 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu19. F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = 2sinxcos3x và F(0) = 0, khi đó A. F(x) = cos4x−cos2x. B. F(x) = cos2x 4 − cos4x 8 − 1 8 . ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 121. NGUYÊN HÀM ♥♥ C. F(x) = cos2x 2 − cos4x 4 − 1 4 . D. F(x) = cos4x 4 − cos2x 2 + 1 4 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu20. Cho hàm số f(x) = x 3 −x 2 +2x−1. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F(1) = 4. Tìm F(x). A. F(x) = x 4 4 − x 3 3 +x 2 −x. B. F(x) = x 4 4 − x 3 3 +x 2 −x+1. C. F(x) = x 4 4 − x 3 3 +x 2 −x+2. D. F(x) = x 4 4 − x 3 3 +x 2 −x+ 49 12 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu21. Cho hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f 0 (x) = x+sinx và f(0) = 1. Tìm f(x). A. f(x) = x 2 2 −cosx+2. B. f(x) = x 2 2 −cosx−2. C. f(x) = x 2 2 +cosx. D. f(x) = x 2 2 +cosx+ 1 2 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu22. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx+2cosx biết F  π 2  = 0 là A. F(x) = 2sinx−cosx+2. B. F(x) = 2sinx−cosx−2. C. F(x) =−2sinx−cosx+2. D. F(x) = sinx−2cosx−2. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu23. Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm là f 0 (x) = 1 2x−1 và f(1) = 1. Giá trị f(5) bằng A. 1+ln3. B. ln2. C. 1+ln2. D. ln3. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 131. NGUYÊN HÀM ♥♥ Câu24. Cho hàm số f(x) = 2x + e x . Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 0. A. F(x) =x 2 +e x −1. B. F(x) =x 2 +e x . C. F(x) = e x −1. D. F(x) =x 2 +e x +1. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu25. ChoF(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 2x 2 −2x−1 x−1 thỏa mãnF(0) =−1. Tính F(−1). A. F(−1) =−ln2. B. F(−1) =−2+ln2. C. F(−1) = ln2. D. F(−1) = 2+ln2. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu26. BiếtF(x) là một nguyên hàm của hàm sốy =f(x) = 4 1+2x vàF(0)=2. TìmF(2). A. 4ln5+2. B. 5(1+ln2). C. 2ln5+4. D. 2(1+ln5). |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu27. Chof(x) = 4m π +sin 2 x. GọiF(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x). Tìmm đểF(0) = 1 và F  π 4  = π 8 . A. m =− 3 4 . B. m = 3 4 . C. m =− 4 3 . D. m = 4 3 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu28. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x+sin3x, biết F(0) = 2 3 . A. F(x) = 3x 2 − cos3x 3 + 2 3 . B. F(x) = 3x 2 − cos3x 3 −1. C. V =F(x) = 3x 2 + cos3x 3 +1. D. F(x) = 3x 2 − cos3x 3 +1. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 141. NGUYÊN HÀM ♥♥ Câu29. Tìm hàm số f(x) thỏa mãn f 0 (x) = 6 3−2x và f(2) = 0. A. f(x) =−3ln|3−2x|. B. f(x) = 2ln|3−2x|. C. f(x) =−2ln|3−2x|. D. f(x) = 3ln|3−2x|. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu30. ChoF(x)làmộtnguyênhàmcủahàmsốf(x) = 3 x ln9thỏamãnF(0) = 2.TínhF(1). A. F(1) = 12·ln 2 3. B. F(1) = 3. C. F(1) = 6. D. F(1) = 4. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu31. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2x−1 và F(2) = 3 + 1 2 ln3. Tính F(3). A. F(3) = 1 2 ln5+5. B. F(3) = 1 2 ln5+3. C. F(3) =−2ln5+5. D. F(3) = 2ln5+3. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu32. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x+sin3x, biết F(0) = 2 3 . A. F(x) = 3x 2 − cos3x 3 + 2 3 . B. F(x) = 3x 2 − cos3x 3 −1. C. F(x) = 3x 2 + cos3x 3 +1. D. F(x) = 3x 2 − cos3x 3 +1. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu33. Tìm F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 +e x −1, biết F(0) = 2. A. F(x) = 6x+e x −x−1. B. F(x) =x 3 + 1 e x −x+1. C. F(x) =x 3 +e x −x+1. D. F(x) =x 3 +e x −x−1. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu34. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f 0 (x) = 2− 5sinx và f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f(x) = 2x+5cosx+5. B. f(x) = 2x+5cosx+3. C. f(x) = 2x−5cosx+10. D. f(x) = 2x−5cosx+15. |Lờigiải. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 151. NGUYÊN HÀM ♥♥ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu35. Cho F(x) = cos2x−sinx+C là nguyên hàm của hàm số f(x). Tính f(π). A. f(π) =−3. B. f(π) = 1. C. f(π) =−1. D. f(π) = 0. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu36. ChoF(x) là nguyên hàm của hàm sốf(x) = x 2 +x+1 x+1 vàF(0) = 2018. TínhF(−2). A. F(−2) không xác định. B. F(−2) = 2. C. F(−2) = 2018. D. F(−2) = 2020. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu37. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1+2x+3x 2 thỏa mãn F(1) = 2. Tính F(0)+F(−1). A.−3. B. −4. C. 3. D. 4. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu38. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x 2 +2e 2x −1, biết F(0) = 1. A. F(x) =x 3 +e 2x −x+1. B. F(x) =x 3 +2e 2x −x−1. C. F(x) =x 3 +e x −x. D. F(x) =x 3 +e 2x −x. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu39. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e 2x , biết F(0) = 1. A. F(x) = e 2x . B. F(x) = e 2x 2 + 1 2 . C. F(x) = 2e 2x −1. D. F(x) = e x . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu40. Cho hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f 0 (x) = x+sinx và f(0) = 1. Tìm f(x). A. f(x) = x 2 2 −cosx+2. B. f(x) = x 2 2 −cosx−2. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 161. NGUYÊN HÀM ♥♥ C. f(x) = x 2 2 +cosx. D. f(x) = x 2 2 +cosx+ 1 2 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ p Dạng 1.3. Phương pháp đổi biến số I = Z f [u(x)]u 0 (x)dx (*) Đặt: t =u(x)⇒ dt đạo hàm 2 vế −−−−−−−→u 0 (x)dx thay vào (*) ta được I = Z f(t)dt Câu1. Khitínhnguyênhàm Z x−3 √ x+1 dx,bằngcáchđặtu = √ x+1tađượcnguyênhàmnào? A. Z 2u u 2 −4
du. B. Z u 2 −4
du. C. Z 2 u 2 −4
du. D. Z u 2 −3
du. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu2. Cho hàm số F(x) = Z x √ x 2 +2dx .Biết F √ 2
= 2 3 , tính F √ 7
. A. 40 3 . B. 11. C. 23 6 . D. 7. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu3. Tính tích phân A = Z 1 xlnx dx bằng cách đặt t = lnx. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. A = Z dt. B. A = Z 1 t 2 dt. C. A = Z tdt. D. A = Z 1 t dt. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu4. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e 2x và F(0) = 3 2 .Giá trị F  1 2 ‹ là A. 1 2 e+ 1 2 . B. 1 2 e+2. C. 2e+1. D. 1 2 e+1. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu5. Tìm nguyên hàm Z x x 2 +7
15 dx. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 171. NGUYÊN HÀM ♥♥ A. 1 32 (x 2 +7) 16 +C. B.− 1 32 (x 2 +7) 16 +C. C. 1 2 (x 2 +7) 16 +C. D. 1 16 (x 2 +7) 16 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu6. Nếu F(x) = Z (x+1) √ x 2 +2x+3 dx thì A. F(x) = 1 2 √ x 2 +2x+3+C. B. F(x) = ln |x+1| √ x 2 +2x+3 +C. C. F(x) = 1 2 ln(x 2 +2x+3)+C. D. F(x) = √ x 2 +2x+3+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu7. Tính Z dx √ 1−x ,kết quả là A. 2 √ 1−x +C. B. −2 √ 1−x+C. C. C √ 1−x . D. √ 1−x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu8. Nguyên hàm Z 1 1+ √ x dx bằng. A. 2 √ x−2ln| √ x+1|+C. B. 2 √ x+C. C. 2ln| √ x+1|+C. D. 2 √ x−2ln| √ x+1|+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu9. Nếu F(x) = Z (x+1) √ x 2 +2x+3 dx thì A. F(x) = 1 2 √ x 2 +2x+3+C. B. F(x) = ln |x+1| √ x 2 +2x+3 +C. C. F(x) = 1 2 ln(x 2 +2x+3)+C. D. F(x) = √ x 2 +2x+3+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu10. Một nguyên hàm của hàm số y =x √ 1+x 2 là: A. x 2 2 √ 1+x 2
3 . B. 1 3 √ 1+x 2
6 . C. 1 3 √ 1+x 2
3 . D. x 2 2 √ 1+x 2
2 . |Lờigiải. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 181. NGUYÊN HÀM ♥♥ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu11. XétI = Z x 3 4x 4 −3
5 dx .Bằng cách đặtu = 4x 4 −3, khẳng định nào sau đây đúng. A. I = Z u 5 du. B. I = 1 12 Z u 5 du. C. I = 1 16 Z u 5 du. D. I = 1 4 Z u 5 du. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu12. Tìm nguyên hàm Z x x 2 +1
9 dx. A. 1 20 (x 2 +1) 10 +C. B. 1 10 (x 2 +1) 10 +C. C.− 1 20 (x 2 +1) 10 +C. D. (x 2 +1) 10 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ Câu13. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 xlnx thỏa mãn F  1 e ‹ = 2 và F(e) = ln2. Giá trị của biểu thức F  1 e 2 ‹ +F(e 2 ) bằng A. 3ln2+2. B. ln2+2. C. ln2+1. D. 2ln2+1. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu14. Cho hàm sốf (x) = sin 2 2x·sinx. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàmf (x). A. y = 4 3 cos 3 − 4 5 sin 5 x+C. B. y =− 4 3 cos 3 x+ 4 5 cos 5 x+C. C. y = 4 3 sin 3 x− 4 5 cos 5 x+C. D. y =− 4 3 sin 3 x+ 4 5 sin 5 x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu15. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx 1+3cosx và F  π 2  = 2. Khi đó F(0) là A.− 2 3 ln2+2. B. − 1 3 ln2−2. C. − 1 3 ln2+2. D.− 2 3 ln2−2. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 191. NGUYÊN HÀM ♥♥ |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu16. Khi tính nguyên hàm Z x−3 √ x+1 dx, bằng cách đặt u = √ x+1 ta được nguyên hàm nào dưới đây? A. Z 2(u 2 −4)udu. B. Z (u 2 −4)du. C. Z 2(u 2 −4)du. D. Z (u 2 −3)du. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu17. Cho nguyên hàm I = Z x √ 1+2x 2 dx, khi thực hiện đổi biến u = √ 1+2x 2 thì ta được nguyên hàm theo biến mới u là A. I = 1 2 Z u 2 du. B. I = Z u 2 du. C. I = 2 Z udu. D. I = Z udu. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu18. Cho hàm số F(x) = Z x √ x 2 +1dx. Biết F(0) = 4 3 , tính F(2 √ 2). A. 3. B. 85 4 . C. 19. D. 10. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu19. Tính I = Z 2x−1 √ x+1 dx, khi thực hiện phép đổi biến u = √ x+1, thì được A. I = Z 2u 2 −3 u du. B. I = Z 4u 2 −6
du. C. I = Z 4u 2 −6 u du. D. I = Z 2u 2 −3
du. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu20. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x √ x 2 +1 là A. F(x) = 2 √ x 2 +1+C. B. F(x) = √ x 2 +1+C. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 201. NGUYÊN HÀM ♥♥ C. F(x) = ln √ x 2 +1+C. D. F(x) = 1 2 √ x 2 +1+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu21. Xét nguyên hàm I = Z x √ x+2dx. Nếu đặt t = √ x+2 thì ta được A. I = Z t 4 −2t 2
dt. B. I = Z 4t 4 −2t 2
dt. C. I = Z 2t 4 −4t 2
dt. D. I = Z 2t 4 −t 2
dt. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu22. Cho tích phân I = e Z 1 3lnx+1 x dx. Nếu đặt t = lnx thì A. I = 1 Z 0 3t+1 e t dt. B. I = e Z 1 3t+1 t dt. C. I = e Z 1 (3t+1)dt. D. I = 1 Z 0 (3t+1)dt. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu23. TínhnguyênhàmA = Z 1 xlnx dxbằngcáchđặtt = lnx.Mệnhđềnàodướidâyđúng? A. A = Z dt. B. A = Z 1 t 2 dt. C. A = Z tdt. D. A = Z 1 t dt. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu24. Tìm nguyên hàm I = Z sin 4 xcosxdx. A. sin 5 x 5 +C. B. cos 5 x 5 +C. C. − sin 5 x 5 +C. D.− cos 5 x 5 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu25. Nguyên hàm Z 1+lnx x dx (x> 0) bằng A. x+ln 2 x+C. B. ln 2 x+lnx+C. C. 1 2 ln 2 x+lnx+C. D. x+ 1 2 ln 2 x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 211. NGUYÊN HÀM ♥♥ ........................................................................................................................................ Câu26. Cho I = Z x(1−x 2 ) 2019 dx. Đặt u = 1−x 2 khi đó I viết theo u và du ta được: A. I =− 1 2 Z u 2019 du. B. I =−2 Z u 2019 du. C. I = 2 Z u 2019 du. D. I = 1 2 Z u 2019 du. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu27. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 √ x+3x là A. 4 3 x √ x+ 3x 2 2 +C. B. 2x √ x+ 3x 2 2 +C. C. 3 2 x √ x+ 3x 2 2 +C. D. 4x √ x+ 3x 2 2 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu28. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 √ 4+x 3 . A. 2 √ 4+x 3 +C. B. 2 9 È (4+x 3 ) 3 +C. C. 2 È (4+x 3 ) 3 +C. D. 1 9 È (4+x 3 ) 3 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 e x 3 +1 . A. Z f(x)dx = e x 3 +1 +C. B. Z f(x)dx = 3e x 3 +1 +C. C. Z f(x)dx = x 3 3 e x 3 +1 +C. D. Z f(x)dx = 1 3 e x 3 +1 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu30. Tích phân e Z 1 dx x(lnx+2) bằng A. ln2. B. ln 3 2 . C. 0. D. ln3. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu31. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn Z f √ x+1
√ x+1 dx = 2 √ x+1+3
x+5 +C. Nguyên hàm của hàm số f(2x) trên tậpR + là A. x+3 2(x 2 +4) +C. B. x+3 x 2 +4 +C. C. 2x+3 4(x 2 +1) +C. D. 2x+3 8(x 2 +1) +C. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 221. NGUYÊN HÀM ♥♥ |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu32. Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin 2 2x·cos 3 2x thỏa F  π 4  = 0 là A. F(x) = 1 6 sin 3 2x− 1 10 sin 5 2x+ 1 15 . B. F(x) = 1 6 sin 3 2x+ 1 10 sin 5 2x− 1 15 . C. F(x) = 1 6 sin 3 2x− 1 10 sin 5 2x− 1 15 . D. F(x) = 1 6 sin 3 2x+ 1 10 sin 5 2x− 4 15 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu33. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2e x +3 thỏa mãn F(0) = 10. Tìm F(x). A. F(x) = 1 3 (x+10−ln(2e x +3)). B. F(x) = 1 3  x−ln  e x + 3 2 ‹‹ +10+ln5−ln2. C. F(x) = 1 3 (x−ln(2e x +3))+10+ ln5 3 . D. F(x) = 1 3  x−ln  e x + 3 2 ‹‹ +10− ln5−ln2 3 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu34. Tính nguyên hàm I = Z 1 2x+x √ x+ √ x dx. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 231. NGUYÊN HÀM ♥♥ A. I =− 2 √ x+x +C. B. I =− 2 √ x+1 +C. C. I =− 2 √ x+x+1 +C. D. I =− 1 2 √ x+x +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu35. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x 2 √ x 3 +1 là A. 1 3 √ x 3 +1 +C. B. 2 3 √ x 3 +1+C. C. 2 3 √ x 3 +1 +C. D. 1 3 √ x 3 +1+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu36. Nguyên hàm Z 1+lnx x dx (x> 0) bằng A. 1 2 ln 2 x+lnx+C . B. x+ 1 2 ln 2 x+C. C. ln 2 x+lnx+C. D. x+ln 2 x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu37. Cho Z f(x)dx =x √ x 2 +1. Tìm I = Z x·f x 2
dx. A. I =x 2 √ x 4 +1+C. B. I = x 4 2 √ x 4 +1+C. C. I = x 2 2 √ x 4 +1+C. D. I =x 3 √ x 4 +1+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu38. Một nguyên hàm của hàm số y = x 3 √ 2−x 2 là A. x √ 2−x 2 . B.− 1 3 (x 2 +4) √ 2−x 2 . C.− 1 3 (x 2 −4) √ 2−x 2 . D.− 1 3 x 2 √ 2−x 2 . |Lờigiải. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 241. NGUYÊN HÀM ♥♥ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu39. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 √ 3x+1 là A. Z f(x)dx = (3x+1) 3 √ 3x+1+C. B. Z f(x)dx = 3 √ 3x+1+C. C. Z f(x)dx = 1 3 3 √ 3x+1+C. D. Z f(x)dx = 1 4 (3x+1) 3 √ 3x+1+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu40. Tìm các hàm số f(x) biết f 0 (x) = cosx (2+sinx) 2 . A. f(x) = sinx (2+sinx) 2 +C. B. f(x) = 1 2+cosx +C. C. f(x) =− 1 2+sinx +C. D. f(x) = sinx 2+sinx +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ p Dạng 1.4. Phương pháp từng phần I = Z udv =u.v− Z vdu Đặt: 8 < : u =... dv =... ⇔ 8 < : du đạo hàm 2 vế −−−−−−−→...dx v = nguyên hàm 2 vế −−−−−−−−−→... Nhận dạng và cách đặt: u, dv Dạng u dv 1 Z P(x) 2 4 sinx cosx 3 5 dx u =P(x) dv = 2 4 sinx cosx 3 5 dx 2 Z P(x). h e x i dx u =P(x) dv = e x dx 3 Z P(x) h lnx i dx u = h lnx i dv =P(x)dx Câu1. Biết Z xe 2x dx =axe 2x +be 2x +C(a,b∈Q). Tính tích ab. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 251. NGUYÊN HÀM ♥♥ A. ab =− 1 4 . B. ab = 1 4 . C. ab =− 1 8 . D. ab = 1 8 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu2. Kết quả của I = Z xe x dx là A. I =xe x −e x +C. B. I =e x +xe x +C. C. I = x 2 2 e x +C. D. I = x 2 2 e x +e x +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu3. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (5x+1)e x và F(0) = 3. TínhF(1). A. F(1) = 11e−3. B. F(1) = e+3. C. F(1) = e+7. D. F(1) = e+2. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu4. Tính F(x) = Z xsin2xrmdx. Chọn kết quả đúng? A. F(x) = 1 4 (2xcos2x+sin2x)+C. B. F(x) =− 1 4 (2xcos2x+sin2x)+C. C. F(x) =− 1 4 (2xcos2x−sin2x)+C. D. F(x) = 1 4 (2xcos2x−sin2x)+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu5. ChoF(x) = a x (lnx+b) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1+lnx x 2 , trong đó a,b∈Z. Tính S =a+b. A. S =−2. B. S = 1. C. S = 2. D. S = 0. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 261. NGUYÊN HÀM ♥♥ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu6. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =xcos2x là A. xsin2x 2 − cos2x 4 +C. B. xsin2x− cos2x 2 +C. C. xsin2x+ cos2x 2 +C. D. xsin2x 2 + cos2x 4 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu7. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =xe −x . Tính F(x) biết F(0) = 1. A. F(x) =−(x+1)e −x +2. B. F(x) = (x+1)e −x +1. C. F(x) = (x+1)e −x +2. D. F(x) =−(x+1)e −x +1. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu8. Biết Z (x+3).e −2x dx =− 1 m e −2x (2x+n)+C, với m,n∈Q. Khi đó tổng S =m 2 +n 2 có giá trị bằng A. 10. B. 5. C. 65. D. 41. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu9. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =xln2x là A. x 2 2 ln2x−x 2 +C. B. x 2 ln2x− x 2 2 +C. C. x 2 2 (ln2x−1)+C. D. x 2 2  ln2x− 1 2 ‹ +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 271. NGUYÊN HÀM ♥♥ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu10. Họ các nguyên hàm của f(x) =xlnx là: A. x 2 2 lnx+ 1 4 x 2 +C. B. x 2 lnx− 1 2 x 2 +C . C. x 2 2 lnx− 1 4 x 2 +C. D. xlnx+ 1 2 x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu11. Hàm số f(x) thoả mãn f 0 (x) =xe x là: A. (x−1)e x +C. B. x 2 + e x+1 x+1 +C. C. x 2 e x +C. D. (x+1)e x +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu12. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x+1)e x là A. (2x−1)e x +C. B. (2x+3)e x +C. C. 2xe x +C. D. (2x−2)e x +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu13. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x(x+cosx) là A. x 3 +3(xsinx+cosx)+C. B. x 3 −3(xsinx+cosx)+C. C. x 3 +3(xsinx−cosx)+C. D. x 3 −3(xsinx−cosx)+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu14. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = x sin 2 x trên khoảng (0;π) là A.−xcotx+ln(sinx)+C. B. xcotx−ln|sinx|+C. C. xcotx+ln|sinx|+C. D.−xcotx−ln(sinx)+C. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 281. NGUYÊN HÀM ♥♥ |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu15. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x(1+lnx) là A. 2x 2 lnx+3x 2 . B. 2x 2 lnx+x 2 . C. 2x 2 lnx+3x 2 +C. D. 2x 2 lnx+x 2 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu16. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f(x) = (3x 2 +1)lnx. A. Z f(x)dx =x(x 2 +1)lnx− x 3 3 +C. B. Z f(x)dx =x 3 lnx− x 3 3 +C. C. Z f(x)dx =x(x 2 +1)lnx− x 3 3 −x+C. D. Z f(x)dx =x 3 lnx− x 3 3 −x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu17. Tính F(x) = Z xcosxdx ta được kết quả A. F(x) =xsinx−cosx+C. B. F(x) =−xsinx−cosx+C. C. F(x) =xsinx+cosx+C. D. F(x) =−xsinx+cosx+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu18. Nguyên hàm của hàm số f(x) =xsinx là A. F(x) =−xcosx−sinx+C. B. F(x) =xcosx−sinx+C. C. F(x) =−xcosx+sinx+C. D. F(x) =xcosx+sinx+C. |Lờigiải. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 291. NGUYÊN HÀM ♥♥ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu19. Tìm Z xcos2xdx. A. 1 2 xsin2x− 1 4 cos2x+C. B. xsin2x+cos2x+C. C. 1 2 xsin2x+ 1 2 cos2x+C. D. 1 2 xsin2x+ 1 4 cos2x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu20. Tìm nguyên hàm J = Z (x+1)e 3x dx. A. J = 1 3 (x+1)e 3x − 1 9 e 3x +C. B. J = 1 3 (x+1)e 3x − 1 3 e 3x +C. C. J = (x+1)e 3x − 1 3 e 3x +C. D. J = 1 3 (x+1)e 3x + 1 9 e 3x +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu21. Biết Z (x−2)sin3xdx =− (x−a)cos3x b + 1 c sin3x+2017, trong đóa,b,c là các số nguyên dương. Khi đó S =ab+c bằng A. S = 15. B. S = 10. C. S = 14. D. S = 3. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu22. Hàm số f(x) thỏa mãn f 0 (x) =xe x là A. (x−1)e x +C. B. x 2 + e x+1 x+1 +C. C. x 2 e x +C. D. (x+1)e x +C. |Lờigiải. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 301. NGUYÊN HÀM ♥♥ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu23. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =xe x . A. Z f(x)dx = (x+1)e x +C. B. Z f(x)dx = (x−1)e x +C. C. Z f(x)dx =xe x +C. D. Z f(x)dx =x 2 e x +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu24. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =x·e 2x . A. F(x) = 2e 2x (x−2)+C. B. F(x) = 1 2 e 2x (x−2)+C. C. F(x) = 2e 2x  x− 1 2 ‹ +C. D. F(x) = 1 2 e 2x  x− 1 2 ‹ +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu25. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4xlnx là A. x 2 (2lnx+1)+C. B. 4x 2 (2lnx−1)+C. C. x 2 (2lnx−1)+C. D. x 2 (8lnx−16)+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu26. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =xcos2x. A. xsin2x 2 − cos2x 4 +C. B. xsin2x− cos2x 2 +C. C. xsin2x+ cos2x 2 +C. D. xsin2x 2 + cos2x 4 +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 311. NGUYÊN HÀM ♥♥ Câu27. Tìm họ nguyên hàm Z (2x−1)lnxdx A. F(x) = (x 2 −x)lnx− x 2 2 +x+C. B. F(x) = (x 2 −x)lnx+ x 2 2 −x+C. C. F(x) = (x 2 +x)lnx− x 2 2 +x+C. D. F(x) = (x 2 −x)lnx− x 2 2 −x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu28. Biết Z xcos2xdx =axsin2x+bcos2x+C với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab. A. ab = 1 8 . B. ab = 1 4 . C. ab =− 1 8 . D. ab =− 1 4 . |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu29. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x+1)lnx là A. (x 2 +x)lnx− x 2 2 −x+C. B. (x 2 +x)lnx−x 2 −x+C. C. (x 2 +x)lnx− x 2 2 +x+C. D. (x 2 +x)lnx−x 2 +x+C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ Câu30. Tìm nguyên hàm J = Z (x+1)e 3x dx. A. J = 1 3 (x+1)e 3x − 1 9 e 3x +C. B. J = 1 3 (x+1)e 3x − 1 3 e 3x +C. C. J = (x+1)e 3x − 1 3 e 3x +C. D. J = 1 3 (x+1)e 3x + 1 9 e 3x +C. |Lờigiải. ........................................................................................................................................ ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 321. NGUYÊN HÀM ♥♥ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 33MỤCLỤC x1 – NGUYÊN HÀM 1 | Dạng 1.1: Sử dụng nguyên hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 | Dạng 1.2: Nguyên hàm có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 | Dạng 1.3: Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 | Dạng 1.4: Phương pháp từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251. NGUYÊN HÀM ♥♥ NGUYÊNHÀM NGUYÊNHÀM 1 Chủ đề p Dạng 1.1. Sử dụng nguyên hàm cơ bản 1 Z dx =x+C 2 Z kdx =kx+C 3 Z x n dx = x n+1 n+1 +C 4 Z (ax+b) n dx = 1 a (ax+b) n+1 n+1 +C 5 Z dx x 2 =− 1 x +C 6 Z dx (ax+b) 2 =− 1 a . 1 ax+b +C 7 Z dx x = ln|x|+C 8 Z dx ax+b = 1 a ln|ax+b|+C 9 Z e x dx = e x +C 10 Z e ax+b dx = 1 a e ax+b +C 11 Z a x dx = a x lna +C 12 Z a αx+β dx = 1 α a αx+β lna +C 13 Z cosxdx = sinx+C 14 Z cos(ax+b)dx = 1 a sin(ax+b)+C 15 Z sinxdx =−cosx+C 16 Z sin(ax+b)dx =− 1 a cos(ax+b)+C 17 Z dx cos 2 x = tanx+C 18 Z dx cos 2 (ax+b) = 1 a tan(ax+b)+C 19 Z dx sin 2 x =−cotx+C 20 Z dx sin 2 (ax+b) =− 1 a cot(ax+b)+C 21 Z tanxdx =−ln|cosx|+C 22 Z tan(ax+b)dx =− 1 a ln|cosx|+C 23 Z cotxdx = ln|sinx|+C 24 Z cot(ax+b)dx = 1 a ln|sinx|+C 25 Z 1 x 2 −a 2 dx = 1 2a ln x−a x+a +C 26 Z 1 x 2 +a 2 dx = 1 a arctan x a +C Câu1. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x 4 −6x 2 +1 là A 20x 3 −12x+C. B x 5 −2x 3 +x+C. C 20x 5 −12x 3 +x+C. D x 4 4 +2x 2 −2x+C. |Lờigiải. Ta có Z 5x 4 −6x 2 +1
dx =x 5 −2x 3 +x+C. Chọn đáp án B  Câu2. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x 3 +x 2 là A x 4 4 + x 3 3 +C. B x 4 +x 3 . C 3x 2 +2x. D 1 4 x 4 + 1 4 x 3 . |Lờigiải. Z x 3 +x 2
dx = x 4 4 + x 3 3 +C. Chọn đáp án A  Câu3. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x 3 +x−1 là: ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 11. NGUYÊN HÀM ♥♥ A x 4 +x 2 +x+C. B 12x 2 +1+C. C x 4 + 1 2 x 2 −x+C. D x 4 − 1 2 x 2 −x+C. |Lờigiải. Phương pháp: Sử dụng nguyên hàm cơ bản Z x n dx = x n+1 n+1 +C. Cách giải: Z f(x)dx = 4· x 4 4 + x 2 2 −x+C =x 4 + 1 2 ·x 2 −x+C. Chọn đáp án C  Câu4. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 −1 là A x 3 +C. B x 3 3 +x+C. C 6x+C. D x 3 −x+C. |Lờigiải. Ta có Z f(x)dx = Z (3x 2 −1)dx =x 3 −x+C. Chọn đáp án D  Câu5. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =x 2 +3 là A x 3 3 +3x+C. B x 3 +3x+C. C x 3 2 +3x+C. D x 2 +3+C. |Lờigiải. Sử dụng công thức Z x n dx = x n+1 n+1 +C(n6=−1). Chọn đáp án A  Câu6. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x(1+3x 3 ) là A x 2  1+ 3 2 x 2 ‹ +C. B x 2  1+ 6x 3 5 ‹ +C. C 2x  x+ 3 4 x 4 ‹ +C. D x 2  x+ 3 4 x 3 ‹ +C. |Lờigiải. Ta có R f(x) dx = R 2x(1+3x 3 ) dx = R (2x+6x 4 ) dx =x 2 + 6x 5 5 +C =x 2  1+ 6x 3 5 ‹ +C. Chọn đáp án B  Câu7. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 1 5x+4 . A F(x) = 1 ln5 ln|5x+4|+C. B F(x) = ln|5x+4|+C. C F(x) = 1 5 ln|5x+4|+C. D F(x) = 1 5 ln(5x+4)+C. |Lờigiải. Ta có Z 1 5x+4 dx = 1 5 ln|5x+4|+C. Chọn đáp án C  Câu8. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e x +x là A e x +x 2 +C. B e x + 1 2 x 2 +C. C 1 x+1 e x + 1 2 x 2 +C. D e x +1+C. |Lờigiải. Z f(x)dx = Z (e x +x) dx = e x + 1 2 x 2 +C ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 21. NGUYÊN HÀM ♥♥ Chọn đáp án B  Câu9. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x+sinx là A x 2 +cosx+C. B x 2 −cosx+C. C x 2 2 −cosx+C. D x 2 2 +cosx+C. |Lờigiải. Cách 1: Dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản ta có Z (x+sinx)dx = x 2 2 −cosx+C. Cách 2: Lấy đạo hàm các hàm số trên ta được kết quả. Chọn đáp án C  Câu10. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 +cosx là A 2x−sinx+C. B 1 3 x 3 +sinx+C. C 1 3 x 3 −sinx+C. D x 3 +sinx+C. |Lờigiải. Ta có: Z (x 2 +cosx)dx = 1 3 x 3 +sinx+C. Chọn đáp án B  Câu11. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e 2x . A Z e 2x dx = 2e 2x +C. B Z e 2x dx = e 2x +C. C Z e 2x dx = e 2x+1 2x+1 +C. D Z e 2x dx = 1 2 e 2x +C. |Lờigiải. Ta có Z e 2x dx = 1 2 Z e 2x d(2x) = 1 2 e 2x +C. Chọn đáp án D  Câu12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 5 2x ? A Z 5 2x dx = 2.5 2x ln5+C. B Z 5 2x dx = 2. 5 2x ln5 +C. C Z 5 2x dx = 25 x 2ln5 +C. D Z 5 2x dx = 25 x+1 x+1 +C. |Lờigiải. Ta có Z 5 2x dx = 1 2 . 5 2x ln5 +C = 25 x 2ln5 +C. Chọn đáp án C  Câu13. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y =x 2 −3 x + 1 x . A x 3 3 − 3 x ln3 − 1 x 2 +C, C∈R. B x 3 3 −3 x + 1 x 2 +C, C∈R. C x 3 3 − 3 x ln3 −ln|x|+C, C∈R. D x 3 3 − 3 x ln3 +ln|x|+C, C∈R. |Lờigiải. Ta có Z  x 2 −3 x + 1 x ‹ dx = x 3 3 − 3 x ln3 − 1 x 2 +C, C∈R. Chọn đáp án D  Câu14. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 4x−3 . ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 31. NGUYÊN HÀM ♥♥ A Z 2 4x−3 dx = 1 4 ln|4x−3|+C. B Z 2 4x−3 dx = 2ln 2x− 3 2 +C. C Z 2 4x−3 dx = 1 2 ln 2x− 3 2 +C. D Z 2 4x−3 dx = 1 2 ln  2x− 3 2 ‹ +C. |Lờigiải. Ta có Z 2 4x−3 dx = Z 1 2x− 3 2 dx = 1 2 ln 2x− 3 2 +C. Chọn đáp án C  Câu15. Hàm số F (x) = e x 2 là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? A f (x) = 2xe x 2 . B f (x) =x 2 e x 2 . C f (x) = e x 2 . D f (x) = e x 2 2x . |Lờigiải. Ta có f (x) = (F (x)) 0 = € e x 2 Š 0 = 2xe x 2 . Chọn đáp án A  Câu16. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 −x . A 3 −x ln3 +C. B − 3 −x ln3 +C. C −3 −x +C. D−3 −x ln3+C. |Lờigiải. Ta có Z 3 −x dx =− 3 −x ln3 +C. Chọn đáp án B  Câu17. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = sin5x. A 1 5 cos5x+C. B cos5x+C. C −cos5x+C. D− 1 5 cos5x+C. |Lờigiải. Ta có Z sin5xdx = 1 5 Z sin5xd(5x) =− 1 5 cos5x+C. Chọn đáp án D  Câu18. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 +sinx là A x 3 +cosx+C. B 6x+cosx+C. C x 3 −cosx+C. D 6x−cosx+C. |Lờigiải. Z 3x 2 +sinx
dx = 3· x 3 3 −cosx+C =x 3 −cosx+C. Chọn đáp án C  Câu19. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+1 là A F(x) = 2x 2 +x. B F(x) = 2. C F(x) =C. D F(x) =x 2 +x+C. |Lờigiải. Ta có F(x) = Z f(x)dx = Z (2x+1)dx =x 2 +x+C. Chọn đáp án D  ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 41. NGUYÊN HÀM ♥♥ Câu20. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e x +x là A e x +x 2 +C. B e x + 1 2 x 2 +C. C 1 x+1 e x + 1 2 x 2 +C. D e x +1+C. |Lờigiải. Ta có Z f(x)dx = Z (e x +x)dx = Z e x dx+ Z xdx = e x + 1 2 x 2 +C, với C là hằng số. Chọn đáp án B  Câu21. Hàm số F(x) nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số y = 3 √ x+1? A F(x) = 3 4 (x+1) 4 3 +C. B F(x) = 4 3 3 p (x+1) 4 +C. C F(x) = 3 4 (x+1) 3 √ x+1+C. D F(x) = 3 4 4 p (x+1) 3 +C. |Lờigiải. Ta có: I = Z 3 √ x+1dx Đặt: t = 3 √ x+1⇒t 3 =x+1⇒ 3t 2 dt = dx ⇒I = Z t·3t 2 dt = Z 3t 3 dt = 3 4 t 4 +C = 3 4 3 p (x+1) 4 +C = 3 4 (x+1) 3 √ x+1+C Vậy F(x) = 3 4 (x+1) 3 √ x+1+C. Chọn đáp án C  Câu22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x 2 −x+1 x−1 . A x+ 1 x−1 +C. B x+ 1 (x−1) 2 +C. C x 2 2 +ln|x−1|+C. D x 2 +ln|x−1|+C. |Lờigiải. Z x 2 −x+1 x−1 dx = Z  x+ 1 x−1 ‹ dx = x 2 2 +ln|x−1|+C. Chọn đáp án C  Câu23. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + x 2 . A Z f(x)dx = x 3 3 + x 2 4 +C. B Z f(x)dx =x 3 + x 2 2 +C. C Z f(x)dx =x 3 + x 2 4 +C. D Z f(x)dx =x 3 + x 2 4 . |Lờigiải. Ta có Z f(x)dx = Z  3x 2 + x 2  dx = 3 Z x 2 dx+ 1 2 Z xdx =x 3 + x 2 4 +C. Chọn đáp án C  Câu24. Nguyên hàm của hàm số y = e −3x+1 là ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 51. NGUYÊN HÀM ♥♥ A 1 3 e −3x+1 +C. B −3e −3x+1 +C. C − 1 3 e −3x+1 +C. D 3e −3x+1 +C. |Lờigiải. Ta có: Z e −3x+1 dx =− 1 3 e −3x+1 +C. Chọn đáp án C  Câu25. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cos x 2 . A F(x) = 2sin x 2 +C. B F(x) = 1 2 sin x 2 +C. C F(x) =−2sin x 2 +C. D F(x) =− 1 2 sin x 2 +C. |Lờigiải. Ta có F(x) = Z cos x 2 dx = 2sin x 2 +C. Chọn đáp án A  Câu26. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 12 12x . A Z 12 12x dx = 12 12x−1 ·ln12+C. B Z 12 12x dx = 12 12x ·ln12+C. C Z 12 12x dx = 12 12x ln12 +C. D Z 12 12x dx = 12 12x−1 ln12 +C. |Lờigiải. Ta có Z 12 12x dx = 1 12 · 12 12x ln12 +C = 12 12x−1 ln12 +C. Chọn đáp án D  Câu27. Họ nguyên hàm Z x 3 −2x 2 +5 x 2 dx bằng A x 2 2 −2x− 5 x +C. B −2x+ 5 x +C. C x 2 −2x− 5 x +C. D x 2 −x− 5 x +C. |Lờigiải. Ta có Z x 3 −2x 2 +5 x 2 dx = Z  x−2+ 5 x 2 ‹ dx = x 2 2 −2x− 5 x +C. Chọn đáp án A  Câu28. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2 √ 2x+1 . A Z f(x)dx = √ 2x+1+C. B Z f(x)dx = 2 √ 2x+1+C. C Z f(x)dx = 1 (2x+1) √ 2x+1 +C. D Z f(x)dx = 1 2 √ 2x+1+C. |Lờigiải. Z f(x)dx = Z 1 4 √ 2x+1 d(2x+1) = 1 2 √ 2x+1+C. Chọn đáp án D  Câu29. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin3x là A 3cos3x+C. B 1 3 cos3x+C. C − 1 3 cos3x+C. D−3cos3x+C. |Lờigiải. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 61. NGUYÊN HÀM ♥♥ Z sin3xdx = Z sin3xd(3x) 3 =− 1 3 cos3x+C. Chọn đáp án C  Câu30. Tính I = Z dx cos 2 x được kết quả A−cotx+C. B tanx+C. C −tanx+C. D cotx+C. |Lờigiải. Ta có I = Z dx cos 2 x = tanx+C. Chọn đáp án B  Câu31. Tìm F(x) = Z 6x+2 3x−1 dx. A F(x) = 2x+ 4 3 ln|3x−1|+C. B F(x) = 2x+4ln|3x−1|+C. C F(x) = 4 3 ln|3x−1|+C. D F(x) = 2x+4ln(3x−1)+C. |Lờigiải. Ta có F(x) = Z 6x+2 3x−1 dx = Z  2+ 4 3x−1 ‹ dx = 2x+ 4 4 ln|3x−1|+C. Chọn đáp án A  Câu32. Tính nguyên hàm I = Z (2 x +3 x ) dx. A I = 2 x ln2 + 3 x ln3 +C. B I = ln2 2 x + ln3 3 x +C. C I = ln2 2 + ln3 3 +C. D I =− ln2 2 − ln3 3 +C. |Lờigiải. Ta có I = Z (2 x +3 x ) dx = 2 x ln2 + 3 x ln3 +C. Chọn đáp án A  Câu33. Tìm H = Z 4 √ 2x−1dx. A H = 2 5 (2x−1) 5 4 +C. B H = (2x−1) 5 4 +C. C H = 1 5 (2x−1) 5 4 +C. D H = 8 5 (2x−1) 5 4 +C. |Lờigiải. Ta có: H = Z 4 √ 2x−1dx = Z (2x−1) 1 4 dx = 1 2 · (2x−1) 1 4 +1 1 4 +1 +C = 2 5 (2x−1) 5 4 +C. Chọn đáp án A  Câu34. Hàm sốF(x) = 1 4 ln 4 x+C là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A f(x) = ln 3 x x . B f(x) = 1 xln 3 x . C f(x) = x ln 3 x . D f(x) = xln 3 x 3 . |Lờigiải. Ta có F 0 (x) = 1 x ln 3 x. Chọn đáp án A  ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 71. NGUYÊN HÀM ♥♥ Câu35. Tìm Z  3 √ x 2 + 4 x ‹ dx A 3 5 3 √ x 5 +4ln|x|+C. B 3 5 3 √ x 5 −4ln|x|+C. C− 3 5 3 √ x 5 +4ln|x|+C. D 5 3 3 √ x 5 +4ln|x|+C. |Lờigiải. Z  3 √ x 2 + 4 x ‹ dx = Z x 2 3 dx+4 Z 1 x dx = 3 5 x 5 3 +4ln|x|+C = 3 5 3 √ x 5 +4ln|x|+C. Chọn đáp án A  Câu36. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x+sinx là A 1+cosx+C. B x 2 2 −cosx+C. C x 2 2 +cosx+C. D x 2 −cosx+C. |Lờigiải. F(x) = x 2 2 −cosx+C Chọn đáp án B  Câu37. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x 2 là A− 1 x +C. B x 3 +C. C − 1 3x 2 . D 1 x +C. |Lờigiải. Ta có Z 1 x 2 dx = Z x −2 dx =− 1 x +C. Chọn đáp án A  Câu38. Hàm số F(x) = 2sinx−3cosx là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A f(x) =−2cosx−3sinx . B f(x) =−2cosx+3sinx . C f(x) = 2cosx+3sinx . D f(x) = 2cosx−3sinx . |Lờigiải. Ta có F 0 (x) = 2cosx+3sinx. Chọn đáp án C  Câu39. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3 x −2x là A F(x) = 3 x ln3 −x 2 −1. B F(x) = 3 x ln3 −2. C F(x) = 3 x ln3 − x 2 2 . D F(x) = 3 x ln3−x 2 . |Lờigiải. Ta có Z (3 x −2x)dx = 3 x ln3 −x 2 +C. Chọn đáp án A  Câu40. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 +sinx là A x 3 +cosx+C. B x 3 +sinx+C. C x 3 −cosx+C. D x 3 −sinx+C. |Lờigiải. Z (3x 2 +sinx)dx =x 3 −cosx+C. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 81. NGUYÊN HÀM ♥♥ Chọn đáp án C  Câu41. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin5x+2 là A 5cos5x+C. B− 1 5 cos5x+2x+C. C 1 5 cos5x+2x+C. D cos5x+2x+C. |Lờigiải. Ta có: Z f(x)dx = Z (sin5x+2)dx =− 1 5 cos5x+2x+C. Chọn đáp án B  Câu42. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x 2 +x−1 x 2 . A Z 2x 2 +x−1 x 2 dx = 2+ 1 x − 1 x 2 +C. B Z 2x 2 +x−1 x 2 dx = 2x+ 1 x +ln|x|+C. C Z 2x 2 +x−1 x 2 dx =x 2 +ln|x|+ 1 x +C. D Z 2x 2 +x−1 x 2 dx =x 2 − 1 x +ln|x|+C. |Lờigiải. Z 2x 2 +x−1 x 2 dx = Z  2+ 1 x − 1 x 2 ‹ dx = 2x+ln|x|+ 1 x +C. Chọn đáp án B  Câu43. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 10 x . A Z 10 x dx = 10 x ln10 +C. B Z 10 x dx = 10 x ln10+C. C Z 10 x dx = 10 x+1 +C. D Z 10 x dx = 10 x+1 x+1 +C. |Lờigiải. Áp dụng công thức Z a x dx = a x lna +C với a> 0. Chọn đáp án A  Câu44. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e x +2sinx. A Z (e x +2sinx)dx = e x −cos 2 x+C. B Z (e x +2sinx)dx = e x +sin 2 x+C. C Z (e x +2sinx)dx = e x −2cosx+C. D Z (e x +2sinx)dx = e x +2cosx+C. |Lờigiải. Z (e x +2sinx)dx = e x −2cosx+C. Chọn đáp án C  Câu45. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 −2 x . A Z f(x)dx = x 3 3 + 2 x ln2 +C. B Z f(x)dx = 2x− 2 x ln2 +C. C Z f(x)dx = x 3 3 − 2 x ln2 +C. D Z f(x)dx = 2x−2 x ln2+C. |Lờigiải. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 91. NGUYÊN HÀM ♥♥ Z f(x)dx = Z (x 2 −2 x )dx = x 3 3 − 2 x ln2 +C. Chọn đáp án C  Câu46. Hàm số F(x) = e x 2 là nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A f(x) =x 2 e x 2 +3. B f(x) = 2x 2 e x 2 +C. C f(x) = 2xe x 2 . D f(x) =xe x 2 . |Lờigiải. Ta có F 0 (x) = € e x 2 Š 0 = (x 2 ) 0 ·e x 2 = 2xe x 2 . Vậy F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2xe x 2 . Chọn đáp án C  Câu47. Họ nguyên hàm của f(x) = 2x 4 +3 x 2 là A 2x 3 3 −3ln|x|+C. B 2x 3 3 +3lnx+C. C 2x 3 3 − 3 x +C. D 2x 3 3 + 3 x +C. |Lờigiải. Z 2x 4 +3 x 2 dx = Z  2x 2 + 3 x 2 ‹ dx = 2x 3 3 − 3 x +C. Chọn đáp án C  Câu48. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+sin2x. A x 2 − 1 2 cos2x+C. B x 2 + 1 2 cos2x+C. C x 2 −2cos2x+C. D x 2 +2cos2x+C. |Lờigiải. Ta có Z 2x+sin2x =x 2 − 1 2 cos2x+C. Chọn đáp án A  Câu49. Họ nguyên hàm của hàm số y =x 2 −3x+ 1 x là A F(x) = x 3 3 − 3 2 x 2 +lnx+C. B F(x) = x 3 3 − 3 2 x 2 +ln|x|+C. C F(x) = x 3 3 + 3 2 x 2 +lnx+C. D F(x) = 2x−3− 1 x +C. |Lờigiải. Ta có F(x) = Z  x 2 −3x+ 1 x ‹ dx = x 3 3 − 3 2 x 2 +ln|x|+C. Chọn đáp án B  Câu50. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 x + 1 x 2 . A Z f(x)dx = 3 x + 1 x +C. B Z f(x)dx = 3 x ln3 + 1 x +C. C Z f(x)dx = 3 x − 1 x +C. D Z f(x)dx = 3 x ln3 − 1 x +C. |Lờigiải. Ta có  3 x ln3 − 1 x +C ‹ 0 = 3 x ln3 ln3 −  − 1 x 2 ‹ = 3 x + 1 x 2 . Chọn đáp án D  ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 101. NGUYÊN HÀM ♥♥ p Dạng 1.2. Nguyên hàm có điều kiện Z f(x)dx thỏa mãn F(x 0 ) =k. Bước 1: Tìm nguyên hàm F(x) =G(x)+C (*) Bước 2: Từ F(x 0 ) =k, tìm được C. Bước 2: Thay C vào (*) và kết luận. Câu1. Cho hàm số f(x) = 2x + e x . Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 2019. A F(x) = e x −2020. B F(x) =x 2 +e x −2019. C F(x) =x 2 +e x +2017. D F(x) =x 2 +e x +2018. |Lờigiải. F(x) = Z (2x+e x )dx =x 2 +e x +C. Do F(0) = 2019 nên 0 2 +e 0 +C = 2019⇔C = 2018. Vậy F(x) =x 2 +e x +2018. Chọn đáp án D  Câu2. BiếtF(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = e 2x vàF(0) = 201 2 . Giá trịF  1 2 ‹ là A 1 2 e+200. B 2e+200. C 1 2 e+50. D 1 2 e+100. |Lờigiải. Ta có F(x) = Z e 2x dx = 1 2 e 2x +C. Theo đề bài ta có F(0) = 201 2 ⇔ 1 2 e 0 +C = 201 2 ⇔C = 100. Vậy F(x) = 1 2 e 2x +100⇒F(2) = 1 2 e+100. Chọn đáp án D  Câu3. Tìm một nguyên hàmF(x) của hàm sốf(x)·g(x) biếtF(1) = 3, biết Z f(x)dx =x+2018 và Z g(x)dx =x 2 +2019. A F(x) =x 3 +1. B F(x) =x 3 +3. C F(x) =x 2 +2. D F(x) =x 2 +3. |Lờigiải. Ta có Z f(x)dx =x+2018⇒f(x) = (x+2018) 0 = 1 và Z g(x)dx =x 2 +2019⇒g(x) = (x 2 +2019) 0 = 2x. ⇒f(x)·g(x) = 2x⇒F(x) = Z f(x)·g(x)dx =x 2 +C. Mặt khác F(1) = 3⇒ 1 2 +C = 3⇒C = 2. Vậy F(x) =x 2 +2. Chọn đáp án C  ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 111. NGUYÊN HÀM ♥♥ Câu4. ChoF(x) là một nguyên hàm củaf(x) = 1 x−1 trên khoảng (1;+∞) thỏa mãnF(e+1) = 4 . Tìm F(x) . A F(x) = 2ln(x−1)+2. B F(x) = ln(x−1)+3. C F(x) = 4ln(x−1). D F(x) = ln(x−1)−3. |Lờigiải. Ta có F(x) = Z 1 x−1 dx = ln(x−1)+C. F(e+1) = 4⇒ lne+C = 4⇒C = 3. Vậy F(x) = ln(x−1)+3. Chọn đáp án B  Câu5. ChoF (x) là nguyên hàm củaf(x) = 1 √ x+2 thỏa mãnF(2) = 4. Giá trịF(−1) bằng A √ 3. B 1. C 2 √ 3. D 2. |Lờigiải. F(x) = Z f(x)dx = Z 1 √ x+2 dx = 2 √ x+2+C. Theo đề bài F(2) = 4 nên 2 √ 2+2+C = 4⇔C = 0⇒F(−1) = 2 √ −1+2 = 2. Vậy F(−1) = 2. Chọn đáp án D  Câu6. Tìm hàm số F(x) biết F(x) = Z x 3 x 4 +1 dx và F(0) = 1. A F(x) = ln(x 4 +1)+1. B F(x) = 1 4 ln(x 4 +1)+ 3 4 . C F(x) = 1 4 ln(x 4 +1)+1. D F(x) = 4ln(x 4 +1)+1. |Lờigiải. Ta có F(x) = 1 4 Z 1 x 4 +1 d(x 4 +1) = 1 4 ln(x 4 +1)+C. Do F(0) = 1 nên 1 4 ln(0+1)+C⇔ C = 1. Vậy F(x) = 1 4 ln(x 4 +1)+1. Chọn đáp án C  Câu7. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) = sin2x và F  π 4  = 1. Tính F  π 6  . A F  π 6  = 5 4 . B F  π 6  = 0. C F  π 6  = 3 4 . D F  π 6  = 1 2 . |Lờigiải. Ta có: F(x) = Z sin2xdx =− 1 2 cos2x+C. Biết F  π 4  = 1⇒− 1 2 cos π 2 +C = 1⇒C = 1. Do đó F(x) =− 1 2 cos2x+1. Suy ra: F  π 6  =− 1 2 cos2· π 6 +1 = 3 4 . ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 121. NGUYÊN HÀM ♥♥ Cách khác: π 4 Z π 6 sin2xdx = 1 4 =F  π 4  −F  π 6  ⇔ 1 4 = 1−F  π 6  ⇔F  π 6  = 3 4 . Chọn đáp án C  Câu8. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x và F  π 2  = 14 3 thì A F(x) = 1 3 sin3x+ 13 3 . B F(x) =− 1 3 sin3x+5. C F(x) = 1 3 sin3x+5. D F(x) =− 1 3 sin3x+ 13 3 . |Lờigiải. F(x) là một nguyên hàm của f(x) = cos3x nên F(x) = 1 3 sin3x+C. Mà F  π 2  = 14 3 nên 1 3 sin  3π 2 ‹ +C = 14 3 ⇔C = 5. Chọn đáp án C  Câu9. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx và đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm M (0;1). Tính F  π 2  . A F  π 2  = 0. B F  π 2  = 1. C F  π 2  = 2. D F  π 2  =−1. |Lờigiải. Ta có π 2 Z 0 f(x)dx =F  π 2  −F(0) =F  π 2  −1⇒F  π 2  = π 2 Z 0 sinxdx+1 = sinx π 2 0 +1 = 2. Chọn đáp án C  Câu10. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 +8sinx và thỏa mãn F(0) = 2010. Tìm F(x). A F(x) = 6x−8cosx+2018. B F(x) = 6x+8cosx. C F(x) =x 3 −8cosx+2018. D F(x) =x 3 −8cosx+2019. |Lờigiải. Ta có F(x) = Z 3x 2 +8sinx
dx =x 3 −8cosx+C. Mặt khác F(0) = 2010⇔−8+C = 2010⇔C = 2018. Vậy F(x) =x 3 −8cosx+2018. Chọn đáp án C  Câu11. Tính nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e 2x , biết F(0) = 1. A F(x) = e 2x . B F(x) = e 2x −1. C F(x) = e x . D F(x) = e 2x 2 + 1 2 . |Lờigiải. F(x) = Z e 2x dx = 1 2 ·e 2x +C. Vì F(0) = 1 nên C = 1 2 . Vậy F(x) = e 2x 2 + 1 2 . ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 131. NGUYÊN HÀM ♥♥ Chọn đáp án D  Câu12. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x−1 và F(2) = 1. Tính F(3). A F(3) = ln2−1. B F(3) = ln2+1. C F(3) = 1 2 . D F(3) = 7 4 . |Lờigiải. Ta có F(x) = Z 1 x−1 dx = ln|x−1|+C. Theo đề F(2) = 1⇔ ln1+C = 1⇔C = 1. Vậy F(3) = ln2+1. Chọn đáp án B  Câu13. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x−1 và F(3) = 1. Tính giá trị của F(2). A F(2) =−1−ln2. B F(2) = 1−ln2. C F(2) =−1+ln2. D F(2) = 1+ln2. |Lờigiải. Có F(x) = Z f(x)dx = Z 1 x−1 dx = ln|x−1|+C, mà F(3) = 1⇔C = 1−ln2. Vậy F(x) = ln|x−1|+1−ln2⇒F(2) = 1−ln2. Chọn đáp án B  Câu14. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x+sin3x, biết F(0) = 2 3 . A F(x) = 3x 2 − cos3x 3 + 2 3 . B F(x) = 3x 2 − cos3x 3 −1. C F(x) = 3x 2 + cos3x 3 +1. D F(x) = 3x 2 − cos3x 3 +1. |Lờigiải. Ta có Z (6x+sin3x)dx = 3x 2 − cos3x 3 +C. Mà F(0) = 2 3 nên C = 1. Chọn đáp án D  Câu15. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin3x thoả mãn F  π 2  = 2. A F(x) =− cos3x 3 + 5 3 . B F(x) =− cos3x 3 +2. C F(x) =− cos3x 3 +2. D F(x) =−cos3x+2. |Lờigiải. Ta có Z sin3xdx =− 1 3 ·cos3x+C. Ta có F  π 2  = 2⇔C = 2. Vậy F(x) =− 1 3 ·cos3x+2. Chọn đáp án B  Câu16. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e x + 2x thỏa mãn F(0) = 3 2 . Tìm F(x). A F(x) = e x +x 2 + 5 2 . B F(x) = 2e x +x 2 − 1 2 . ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 141. NGUYÊN HÀM ♥♥ C F(x) = e x +x 2 + 3 2 . D F(x) = e x +x 2 + 1 2 . |Lờigiải. Ta có F(x) = Z f(x)dx = e x +x 2 +C. Theo bài ra F(0) = 3 2 ⇒C +1 = 3 2 ⇒C = 1 2 . Vậy F(x) = e x +x 2 + 1 2 . Chọn đáp án D  Câu17. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1+2x+3x 2 thỏa mãn F(1) = 2. Tính F(0)+F(−1). A−3. B −4. C 3. D 4. |Lờigiải. F(x) = Z (1+2x+3x 2 )dx =x+x 2 +x 3 +C. Do F(1) = 2 nên C =−1. Suy ra F(x) =x+x 2 +x 3 −1, từ đó ta có F(0)+F(−1) =−3. Chọn đáp án A  Câu18. Nguyên hàmF(x) của hàm sốf(x) = 5x 4 −3x 2 trên tập số thực thỏa mãnF(1) = 3 là A x 5 −x 3 +2x+1. B x 5 −x 3 +3. C x 5 −x 3 +5. D x 5 −x 3 . |Lờigiải. Ta có F(x) =x 5 −x 3 +C, do F(1) =C = 3 nên F(x) =x 5 −x 3 +3. Chọn đáp án B  Câu19. F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = 2sinxcos3x và F(0) = 0, khi đó A F(x) = cos4x−cos2x. B F(x) = cos2x 4 − cos4x 8 − 1 8 . C F(x) = cos2x 2 − cos4x 4 − 1 4 . D F(x) = cos4x 4 − cos2x 2 + 1 4 . |Lờigiải. Ta có F(x) = Z 2sinxcos3xdx = Z [−sin2x+sin4x] dx = cos2x 2 − sin4x 2 +C. Vì F(0) = 0, suy ra C =− 1 4 . Vậy F(x) = cos2x 2 − cos4x 4 − 1 4 . Chọn đáp án C  Câu20. Cho hàm số f(x) = x 3 −x 2 +2x−1. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F(1) = 4. Tìm F(x). A F(x) = x 4 4 − x 3 3 +x 2 −x. B F(x) = x 4 4 − x 3 3 +x 2 −x+1. C F(x) = x 4 4 − x 3 3 +x 2 −x+2. D F(x) = x 4 4 − x 3 3 +x 2 −x+ 49 12 . |Lờigiải. Ta có F(x) = x 4 4 − x 3 3 +x 2 −x+C. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 151. NGUYÊN HÀM ♥♥ F(1) = 4⇒C = 49 12 . Vậy F(x) = x 4 4 − x 3 3 +x 2 −x+ 49 12 . Chọn đáp án D  Câu21. Cho hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f 0 (x) = x+sinx và f(0) = 1. Tìm f(x). A f(x) = x 2 2 −cosx+2. B f(x) = x 2 2 −cosx−2. C f(x) = x 2 2 +cosx. D f(x) = x 2 2 +cosx+ 1 2 . |Lờigiải. Ta có f(x) = Z (x+sinx)dx = x 2 2 −cosx+C. Lại có, f(0) = 1⇔ 1 =−1+C⇔C = 2. Vậy f(x) = x 2 2 −cosx+2. Chọn đáp án A  Câu22. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx+2cosx biết F  π 2  = 0 là A F(x) = 2sinx−cosx+2. B F(x) = 2sinx−cosx−2. C F(x) =−2sinx−cosx+2. D F(x) = sinx−2cosx−2. |Lờigiải. Ta có Z (sinx+2cosx)dx =−cosx+2sinx+C. Do F  π 2  = 0 nên C =−2. Vậy F(x) = 2sinx−cosx−2. Chọn đáp án B  Câu23. Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm là f 0 (x) = 1 2x−1 và f(1) = 1. Giá trị f(5) bằng A 1+ln3. B ln2. C 1+ln2. D ln3. |Lờigiải. Ta có f(x) = Z f 0 (x)dx = Z 1 2x−1 dx = 1 2 ·ln|2x−1|+C. Vì f(1) = 1 nên 1 2 ·ln|2·1−1|+C = 1⇒C = 1. Suy ra f(x) = 1 2 ·ln|2x−1|+1. Vậy f(5) = 1 2 ·ln|2·5−1|+1 = ln3+1. Chọn đáp án A  Câu24. Cho hàm số f(x) = 2x + e x . Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 0. A F(x) =x 2 +e x −1. B F(x) =x 2 +e x . C F(x) = e x −1. D F(x) =x 2 +e x +1. |Lờigiải. F(x) = Z (2x+e x )dx =x 2 +e x +C. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 161. NGUYÊN HÀM ♥♥ F(0) = 0⇒ 1+C = 0⇒C =−1. Vậy F(x) =x 2 +e x −1. Chọn đáp án A  Câu25. ChoF(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x) = 2x 2 −2x−1 x−1 thỏa mãnF(0) =−1. Tính F(−1). A F(−1) =−ln2. B F(−1) =−2+ln2. C F(−1) = ln2. D F(−1) = 2+ln2. |Lờigiải. F(x) = Z 2x 2 −2x−1 x−1 dx = Z  2x− 1 x−1 ‹ dx =x 2 −ln|x−1|+C. F(0) = 0−ln1+C⇒C =−1. Vậy F(−1) = 1−ln2−1 =−ln2. Chọn đáp án A  Câu26. BiếtF(x) là một nguyên hàm của hàm sốy =f(x) = 4 1+2x vàF(0)=2. TìmF(2). A 4ln5+2. B 5(1+ln2). C 2ln5+4. D 2(1+ln5). |Lờigiải. Ta có: F(x) = Z 4 1+2x dx = 2ln|1+2x|+C. Mặt khác F(0) = 2⇔C = 2. Do đó F(2) = 2ln5+2 = 2(1+ln5). Chọn đáp án D  Câu27. Chof(x) = 4m π +sin 2 x. GọiF(x) là một nguyên hàm của hàm sốf(x). Tìmm đểF(0) = 1 và F  π 4  = π 8 . A m =− 3 4 . B m = 3 4 . C m =− 4 3 . D m = 4 3 . |Lờigiải. F(x) = 4m π x+ Z 1−cos2x 2 dx = 4m π x+ 1 2 x− 1 4 sin2x+C. 8 < : F(0) = 1 F  π 4  = π 8 ⇔ 8 > < > : C = 1 m+ π 8 − 1 4 +C = π 8 ⇒m =− 3 4 . Chọn đáp án A  Câu28. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x+sin3x, biết F(0) = 2 3 . A F(x) = 3x 2 − cos3x 3 + 2 3 . B F(x) = 3x 2 − cos3x 3 −1. C V =F(x) = 3x 2 + cos3x 3 +1. D F(x) = 3x 2 − cos3x 3 +1. |Lờigiải. Z f(x)dx = Z (6x+sin3x) dx = 3x 2 − cos3x 3 +C. Từ F(0) = 2 3 suy ra− 1 3 +C = 2 3 hay C = 1. Vậy F(x) = 3x 2 − cos3x 3 +1. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 171. NGUYÊN HÀM ♥♥ Chọn đáp án D  Câu29. Tìm hàm số f(x) thỏa mãn f 0 (x) = 6 3−2x và f(2) = 0. A f(x) =−3ln|3−2x|. B f(x) = 2ln|3−2x|. C f(x) =−2ln|3−2x|. D f(x) = 3ln|3−2x|. |Lờigiải. Ta có f(x) = Z 6 3−2x dx =−3ln|3−2x|+C. Mà f(2) = 0 nên C = 0, do đó f(x) =−3ln|3−2x|. Chọn đáp án A  Câu30. ChoF(x)làmộtnguyênhàmcủahàmsốf(x) = 3 x ln9thỏamãnF(0) = 2.TínhF(1). A F(1) = 12·ln 2 3. B F(1) = 3. C F(1) = 6. D F(1) = 4. |Lờigiải. Ta có F(x) = Z 3 x ln9dx = ln9· 3 x ln3 +C = 2·3 x +C và F(0) = 2 nên C = 0. Do đó F(1) = 6. Chọn đáp án C  Câu31. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2x−1 và F(2) = 3 + 1 2 ln3. Tính F(3). A F(3) = 1 2 ln5+5. B F(3) = 1 2 ln5+3. C F(3) =−2ln5+5. D F(3) = 2ln5+3. |Lờigiải. Có F(x) = Z f(x)dx = Z 1 2x−1 dx = 1 2 ln|2x−1|+C. Ta có F(2) = 3+ 1 2 ln3⇔ 1 2 ln3+C = 3+ 1 2 ln3⇔C = 3. Vậy ta có F(3) = 1 2 ln5+3. Chọn đáp án B  Câu32. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x+sin3x, biết F(0) = 2 3 . A F(x) = 3x 2 − cos3x 3 + 2 3 . B F(x) = 3x 2 − cos3x 3 −1. C F(x) = 3x 2 + cos3x 3 +1. D F(x) = 3x 2 − cos3x 3 +1. |Lờigiải. Ta có F(x) = Z (6x+sin3x)dx = 3x 2 − cos3x 3 +C. Mà F(0) = 2 3 nên C = 1⇒F(x) = 3x 2 − cos3x 3 +1. Chọn đáp án D  Câu33. Tìm F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 +e x −1, biết F(0) = 2. A F(x) = 6x+e x −x−1. B F(x) =x 3 + 1 e x −x+1. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 181. NGUYÊN HÀM ♥♥ C F(x) =x 3 +e x −x+1. D F(x) =x 3 +e x −x−1. |Lờigiải. Ta có Z (3x 2 +e x −1)dx =x 3 +e x −x+C. Mặt khác F(0) = 2⇒C = 1⇒F(x) =x 3 +e x −x+1. Chọn đáp án C  Câu34. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f 0 (x) = 2− 5sinx và f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A f(x) = 2x+5cosx+5. B f(x) = 2x+5cosx+3. C f(x) = 2x−5cosx+10. D f(x) = 2x−5cosx+15. |Lờigiải. Ta có: f 0 (x) = 2−5sinx⇒f(x) = R (2−5sinx) dx = 2x+5cosx+C. Mà f(0) = 10⇒C = 5⇒f(x) = 2x+5cosx+5. Chọn đáp án A  Câu35. Cho F(x) = cos2x−sinx+C là nguyên hàm của hàm số f(x). Tính f(π). A f(π) =−3. B f(π) = 1. C f(π) =−1. D f(π) = 0. |Lờigiải. f(x) =F 0 (x) =−2sin2x−cosx, suy ra f(π) = 1. Chọn đáp án B  Câu36. ChoF(x) là nguyên hàm của hàm sốf(x) = x 2 +x+1 x+1 vàF(0) = 2018. TínhF(−2). A F(−2) không xác định. B F(−2) = 2. C F(−2) = 2018. D F(−2) = 2020. |Lờigiải. Z f(x)dx = Z  x+ 1 x+1 ‹ dx = x 2 2 +ln|x+1|+C. Ta có F(0) = 2018 nên C = 2018. Suy ra F(−2) = 2020. Chọn đáp án D  Câu37. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1+2x+3x 2 thỏa mãn F(1) = 2. Tính F(0)+F(−1). A−3. B −4. C 3. D 4. |Lờigiải. Ta có F(x) = Z (1+2x+3x 2 )dx =x+x 2 +x 3 +c. Mà F(1) = 2⇒c =−1 hay F(x) =x+x 2 +x 3 −1. Do đó F(0)+F(−1) =−3. Chọn đáp án A  ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 191. NGUYÊN HÀM ♥♥ Câu38. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x 2 +2e 2x −1, biết F(0) = 1. A F(x) =x 3 +e 2x −x+1. B F(x) =x 3 +2e 2x −x−1. C F(x) =x 3 +e x −x. D F(x) =x 3 +e 2x −x. |Lờigiải. Ta có Z f(x)dx = Z 3x 2 +2e 2x −1
dx =x 3 +e 2x −x+C Mà F(0) = 1⇒ 1+C = 1⇔C = 0 nên F(x) =x 3 +e 2x −x. Chọn đáp án D  Câu39. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e 2x , biết F(0) = 1. A F(x) = e 2x . B F(x) = e 2x 2 + 1 2 . C F(x) = 2e 2x −1. D F(x) = e x . |Lờigiải. Ta có: F(x) = Z f(x)dx = Z e 2x dx = 1 2 e 2x +C. Theo giả thiết: F(0) = 1⇒C = 1 2 . Vậy F(x) = e 2x 2 + 1 2 . Chọn đáp án B  Câu40. Cho hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện f 0 (x) = x+sinx và f(0) = 1. Tìm f(x). A f(x) = x 2 2 −cosx+2. B f(x) = x 2 2 −cosx−2. C f(x) = x 2 2 +cosx. D f(x) = x 2 2 +cosx+ 1 2 . |Lờigiải. Ta có f 0 (x) =x+sinx⇒f(x) = x 2 2 −cosx+C; f(0) = 1⇔−1+C = 1⇔C = 2. Vậy f(x) = x 2 2 −cosx+2. Chọn đáp án A  p Dạng 1.3. Phương pháp đổi biến số I = Z f [u(x)]u 0 (x)dx (*) Đặt: t =u(x)⇒ dt đạo hàm 2 vế −−−−−−−→u 0 (x)dx thay vào (*) ta được I = Z f(t)dt Câu1. Khitínhnguyênhàm Z x−3 √ x+1 dx,bằngcáchđặtu = √ x+1tađượcnguyênhàmnào? A Z 2u u 2 −4
du. B Z u 2 −4
du. C Z 2 u 2 −4
du. D Z u 2 −3
du. |Lờigiải. Đặt u = √ x+1, u≥ 0 nên u 2 =x+1⇒ 8 < : dx = 2udu x =u 2 −1 . Khi đó Z x−3 √ x+1 dx = Z u 2 −1−3 u .2udu = Z 2 u 2 −4
du. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 201. NGUYÊN HÀM ♥♥ Chọn đáp án C  Câu2. Cho hàm số F(x) = Z x √ x 2 +2dx .Biết F √ 2
= 2 3 , tính F √ 7
. A 40 3 . B 11. C 23 6 . D 7. |Lờigiải. Ta có: F(x) = Z x √ x 2 +2dx = 1 2 Z √ x 2 +2d x 2 +2
= 1 3 √ x 2 +2
3 +C Mà F √ 2
= 2 3 ⇔ 8 3 +C = 2 3 ⇔C =−2 Vậy F √ 7
= 9−2 = 7. Chọn đáp án D  Câu3. Tính tích phân A = Z 1 xlnx dx bằng cách đặt t = lnx. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A A = Z dt. B A = Z 1 t 2 dt. C A = Z tdt. D A = Z 1 t dt. |Lờigiải. Đặt t = lnx⇒ dt = 1 x dx. Khi đó A = Z 1 xlnx dx = Z 1 t dt. Chọn đáp án D  Câu4. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e 2x và F(0) = 3 2 .Giá trị F  1 2 ‹ là A 1 2 e+ 1 2 . B 1 2 e+2. C 2e+1. D 1 2 e+1. |Lờigiải. Ta có:F(x) = Z e 2x dx = 1 2 e 2x +C. F(0) = 3 2 ⇔ 1 2 +C = 3 2 ⇔C = 1. F  1 2 ‹ = 1 2 e+1 Chọn đáp án D  Câu5. Tìm nguyên hàm Z x x 2 +7
15 dx. A 1 32 (x 2 +7) 16 +C. B− 1 32 (x 2 +7) 16 +C. C 1 2 (x 2 +7) 16 +C. D 1 16 (x 2 +7) 16 +C. |Lờigiải. Đặt t =x 2 +7⇒ dt = 2xdx⇒xdx = 1 2 dt. Ta có Z x x 2 +7
15 dx = 1 2 Z t 15 dt = 1 2 . t 16 16 +C = 1 32 x 2 +7
16 +C. Chọn đáp án A  Câu6. Nếu F(x) = Z (x+1) √ x 2 +2x+3 dx thì A F(x) = 1 2 √ x 2 +2x+3+C. B F(x) = ln |x+1| √ x 2 +2x+3 +C. C F(x) = 1 2 ln(x 2 +2x+3)+C. D F(x) = √ x 2 +2x+3+C. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 211. NGUYÊN HÀM ♥♥ |Lờigiải. Đặt t = √ x 2 +2x+3⇒t 2 =x 2 +2x+3⇒ 2tdt = 2(x+1)dx⇒ (x+1)dx =tdt. Do đó F(x) = Z (x+1)dx √ x 2 +2x+3 = Z tdt t =t+C = √ x 2 +2x+3+C. Chọn đáp án D  Câu7. Tính Z dx √ 1−x ,kết quả là A 2 √ 1−x +C. B −2 √ 1−x+C. C C √ 1−x . D √ 1−x+C. |Lờigiải. Đặt u = √ 1−x⇒u 2 = 1−x⇒ 2udu =−dx.Ta có Z dx √ 1−x = Z −2udu u =−2 Z du =−2u =−2 √ 1−x+C. Chọn đáp án B  Câu8. Nguyên hàm Z 1 1+ √ x dx bằng. A 2 √ x−2ln| √ x+1|+C. B 2 √ x+C. C 2ln| √ x+1|+C. D 2 √ x−2ln| √ x+1|+C. |Lờigiải. Đặt √ x =t⇒x =t 2 ⇒ dx = 2tdt. Z 2t 1+t dt = Z  2− 2 1+t ‹ dt = 2t−2ln|1+t|+C = 2 √ x−2ln| √ x+1|+C. Chọn đáp án D  Câu9. Nếu F(x) = Z (x+1) √ x 2 +2x+3 dx thì A F(x) = 1 2 √ x 2 +2x+3+C. B F(x) = ln |x+1| √ x 2 +2x+3 +C. C F(x) = 1 2 ln(x 2 +2x+3)+C. D F(x) = √ x 2 +2x+3+C. |Lờigiải. Đặt t = √ x 2 +2x+3⇒t 2 =x 2 +2x+3⇒ 2tdt = 2(x+1)dx⇒ (x+1)dx =tdt . Do đó F(x) = Z (x+1)dx √ x 2 +2x+3 = Z tdt t =t+C = √ x 2 +2x+3+C. Chọn đáp án D  Câu10. Một nguyên hàm của hàm số y =x √ 1+x 2 là: A x 2 2 √ 1+x 2
3 . B 1 3 √ 1+x 2
6 . C 1 3 √ 1+x 2
3 . D x 2 2 √ 1+x 2
2 . |Lờigiải. Đặt t = √ x 2 +1⇒t 2 =x 2 +1⇒tdt =xdx. ⇒ Z x √ x 2 +1dx = Z t 2 dt = t 3 3 +C = √ x 2 +1
3 3 +C. Chọn đáp án C  Câu11. XétI = Z x 3 4x 4 −3
5 dx .Bằng cách đặtu = 4x 4 −3, khẳng định nào sau đây đúng. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 221. NGUYÊN HÀM ♥♥ A I = Z u 5 du. B I = 1 12 Z u 5 du. C I = 1 16 Z u 5 du. D I = 1 4 Z u 5 du. |Lờigiải. Ta có u = 4x 4 −3⇒ du = 16x 3 dx⇒x 3 dx = du 16 ; Suy ra: I = Z x 3 4x 4 −3
5 dx = 1 16 Z u 5 du. Chọn đáp án C  Câu12. Tìm nguyên hàm Z x x 2 +1
9 dx. A 1 20 (x 2 +1) 10 +C. B 1 10 (x 2 +1) 10 +C. C− 1 20 (x 2 +1) 10 +C. D (x 2 +1) 10 +C. |Lờigiải. Z x x 2 +1
9 dx = 1 2 Z x 2 +1
9 d(x 2 +1) = 1 20 x 2 +1
10 . Chọn đáp án A  Câu13. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 xlnx thỏa mãn F  1 e ‹ = 2 và F(e) = ln2. Giá trị của biểu thức F  1 e 2 ‹ +F(e 2 ) bằng A 3ln2+2. B ln2+2. C ln2+1. D 2ln2+1. |Lờigiải. Ta có Z 1 xlnx dx = Z d(lnx) lnx = ln|lnx|+C, x> 0, x6= 1. Nên F(x) = 8 < : ln(lnx)+C 1 khi x> 1 ln(−lnx)+C 2 khi 0 1 ln(−lnx)+2 khi 0 0) bằng A x+ln 2 x+C. B ln 2 x+lnx+C. C 1 2 ln 2 x+lnx+C. D x+ 1 2 ln 2 x+C. |Lờigiải. Đặt u = 1+lnx⇒ du = 1 x dx. Do đó Z 1+lnx x dx = Z udu = u 2 2 +C = (1+lnx) 2 2 +C = 1 2 ln 2 x+lnx+C. Chọn đáp án C  Câu26. Cho I = Z x(1−x 2 ) 2019 dx. Đặt u = 1−x 2 khi đó I viết theo u và du ta được: A I =− 1 2 Z u 2019 du. B I =−2 Z u 2019 du. C I = 2 Z u 2019 du. D I = 1 2 Z u 2019 du. |Lờigiải. Ta có u = 1−x 2 ⇒ du =−2xdx⇔xdx =− du 2 . Do đó I =− 1 2 Z u 2019 du. Chọn đáp án A  Câu27. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 √ x+3x là A 4 3 x √ x+ 3x 2 2 +C. B 2x √ x+ 3x 2 2 +C. C 3 2 x √ x+ 3x 2 2 +C. D 4x √ x+ 3x 2 2 +C. |Lờigiải. Đặt √ x =t⇒x =t 2 ⇒ dx = 2tdt. Ta được Z 2t+3t 2
2tdt = Z 4t 2 +6t 3
dt = 4 3 t 3 + 3 2 t 4 +C = 4 3 x √ x+ 3x 2 2 +C. Chọn đáp án A  ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 261. NGUYÊN HÀM ♥♥ Câu28. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 √ 4+x 3 . A 2 √ 4+x 3 +C. B 2 9 È (4+x 3 ) 3 +C. C 2 È (4+x 3 ) 3 +C. D 1 9 È (4+x 3 ) 3 +C. |Lờigiải. Đặt t = √ 4+x 3 ⇒t 2 = 4+x 3 ⇒ 2tdt = 3x 2 dx⇒x 2 dx = 2 3 tdt. Ta có Z f(x)dx = Z 2 3 t 2 dt = 2 9 t 3 +C = 2 9 È (4+x 3 ) 3 +C. Chọn đáp án B  Câu29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =x 2 e x 3 +1 . A Z f(x)dx = e x 3 +1 +C. B Z f(x)dx = 3e x 3 +1 +C. C Z f(x)dx = x 3 3 e x 3 +1 +C. D Z f(x)dx = 1 3 e x 3 +1 +C. |Lờigiải. Đặt t =x 3 +1⇒ dt = 3x 2 dx⇒ 1 3 dt =x 2 dx. Khi đó ta được Z f(x)dx = Z x 2 e x 3 +1 dx = 1 3 Z e t dt = 1 3 e t +C = 1 3 e x 3 +1 +C. Chọn đáp án D  Câu30. Tích phân e Z 1 dx x(lnx+2) bằng A ln2. B ln 3 2 . C 0. D ln3. |Lờigiải. Đặt t = lnx+2⇒ dt = dx x . Đổi cận x = 1 thì t = 2 và x = e thì t = 3. ⇒ e Z 1 dx x(lnx+2) = 3 Z 2 dt t = ln|t| 3 2 = ln 3 2 . Chọn đáp án B  Câu31. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn Z f √ x+1
√ x+1 dx = 2 √ x+1+3
x+5 +C. Nguyên hàm của hàm số f(2x) trên tậpR + là A x+3 2(x 2 +4) +C. B x+3 x 2 +4 +C. C 2x+3 4(x 2 +1) +C. D 2x+3 8(x 2 +1) +C. |Lờigiải. Đặt t = √ x+1⇒ dx √ x+1 = 2dt. Khi đó Z f √ x+1
√ x+1 dx = Z 2f(t)dt. Mà Z f √ x+1
√ x+1 dx = 2 √ x+1+3
x+5 +C nên Z 2f(t)dt = 2(t+3) t 2 +4 +C. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 271. NGUYÊN HÀM ♥♥ Khi đó Z f(t)dt = t+3 t 2 +4 +C ⇔ Z f(2t)dt = 1 2 · 2t+3 4t 2 +4 +C ⇔ Z f(2x)dx = 2x+3 4(x 2 +1) +C. Chọn đáp án C  Câu32. Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin 2 2x·cos 3 2x thỏa F  π 4  = 0 là A F(x) = 1 6 sin 3 2x− 1 10 sin 5 2x+ 1 15 . B F(x) = 1 6 sin 3 2x+ 1 10 sin 5 2x− 1 15 . C F(x) = 1 6 sin 3 2x− 1 10 sin 5 2x− 1 15 . D F(x) = 1 6 sin 3 2x+ 1 10 sin 5 2x− 4 15 . |Lờigiải. Đặt t = sin2x⇒ dt = 2cos2xdx⇒ 1 2 dt = cos2xdx. Ta có F(x) = Z sin 2 2x·cos 3 2xdx= 1 2 · Z t 2 · 1−t 2
dt = 1 2 · Z t 2 −t 4
dt = 1 6 t 3 − 1 10 t 5 +C = 1 6 sin 3 2x− 1 10 sin 5 2x+C. Mà từ giả thiết ta được F  π 4  = 0⇔ 1 6 sin 3 π 2 − 1 10 sin 5 π 2 +C = 0⇔C =− 1 15 . Vậy F(x) = 1 6 sin 3 2x− 1 10 sin 5 2x− 1 15 . Chọn đáp án C  Câu33. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 2e x +3 thỏa mãn F(0) = 10. Tìm F(x). A F(x) = 1 3 (x+10−ln(2e x +3)). B F(x) = 1 3  x−ln  e x + 3 2 ‹‹ +10+ln5−ln2. C F(x) = 1 3 (x−ln(2e x +3))+10+ ln5 3 . D F(x) = 1 3  x−ln  e x + 3 2 ‹‹ +10− ln5−ln2 3 . |Lờigiải. Ta có F(x) = Z f(x)dx = Z 1 2e x +3 dx. Đặt u = 2e x +3⇒ du = 2e x dx⇒ dx = du 2e x = du u−3 . Khi đó F(x) = Z 1 u(u−3) du = 1 3 (ln|u−3|−ln|u|)+C = 1 3 (ln(2e x )−ln(2e x +3))+C. Ta có F(0) = 10⇔ 1 3 (ln2−ln5)+C = 10⇔C = 10− 1 3 ln2+ 1 3 ln5. Vậy F(x) = 1 3 (ln(2e x )−ln(2e x +3))+10− 1 3 ln2+ 1 3 ln5 = 1 3 (x−ln(2e x +3))+10+ ln5 3 . Chọn đáp án C  Câu34. Tính nguyên hàm I = Z 1 2x+x √ x+ √ x dx. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 281. NGUYÊN HÀM ♥♥ A I =− 2 √ x+x +C. B I =− 2 √ x+1 +C. C I =− 2 √ x+x+1 +C. D I =− 1 2 √ x+x +C. |Lờigiải. Ta có I = Z 1 2x+x √ x+ √ x dx = Z dx √ x(2 √ x+x+1) . Đặt t = √ x⇒ 2dt = dx √ x Khi đó I = 2 Z dt 2t+t 2 +1 = 2 Z dt (t+1) 2 =− 2 t+1 +C =− 2 √ x+1 +C. Chọn đáp án B  Câu35. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x 2 √ x 3 +1 là A 1 3 √ x 3 +1 +C. B 2 3 √ x 3 +1+C. C 2 3 √ x 3 +1 +C. D 1 3 √ x 3 +1+C. |Lờigiải. Ta có Z f(x)dx = Z x 2 √ x 3 +1 dx. Đặt t = √ x 3 +1⇒t 2 =x 3 +1⇒ 2tdt = 3x 2 dx⇒x 2 dx = 2 3 tdt. (1) Theo cách đặt ta có⇒ Z x 2 √ x 3 +1 dx = 2 3 Z t −1 ·tdt = 2 3 Z dt = 2 3 t+C. (2) Từ (2)⇒ Z f(x)dx = 2 3 √ x 3 +1+C. Vậy Z f(x)dx = 2 3 √ x 3 +1+C. Chọn đáp án B  Câu36. Nguyên hàm Z 1+lnx x dx (x> 0) bằng A 1 2 ln 2 x+lnx+C . B x+ 1 2 ln 2 x+C. C ln 2 x+lnx+C. D x+ln 2 x+C. |Lờigiải. Xét I = Z 1+lnx x dx Đặt t = lnx⇒ dt = 1 x dx. Ta được I = Z (1+t)dt =t+ t 2 2 +C = lnx+ 1 2 ln 2 x+C. Chọn đáp án A  Câu37. Cho Z f(x)dx =x √ x 2 +1. Tìm I = Z x·f x 2
dx. A I =x 2 √ x 4 +1+C. B I = x 4 2 √ x 4 +1+C. C I = x 2 2 √ x 4 +1+C. D I =x 3 √ x 4 +1+C. |Lờigiải. Đặt t =x 2 ⇒ dt = 2xdx. Ta có I = Z f(t) 1 2 dt = 1 2 Z f(t)dt = 1 2 t √ t 2 +1+C = x 2 2 √ x 4 +1+C. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 291. NGUYÊN HÀM ♥♥ Chọn đáp án C  Câu38. Một nguyên hàm của hàm số y = x 3 √ 2−x 2 là A x √ 2−x 2 . B− 1 3 (x 2 +4) √ 2−x 2 . C− 1 3 (x 2 −4) √ 2−x 2 . D− 1 3 x 2 √ 2−x 2 . |Lờigiải. Xét nguyên hàm I = Z x 3 √ 2−x 2 dx = Z x 2 √ 2−x 2 xdx. Đặt u = √ 2−x 2 , ta có x 2 = 2−u 2 ⇒xdx =−udu, ta có I =− Z 2−u 2 u udu = Z u 2 −2
du = u 3 3 −2u+C = (2−x 2 ) √ 2−x 2 3 −2 √ 2−x 2 +C =− 1 3 x 2 +4
√ 2−x 2 +C. Chọn đáp án B  Câu39. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 √ 3x+1 là A Z f(x)dx = (3x+1) 3 √ 3x+1+C. B Z f(x)dx = 3 √ 3x+1+C. C Z f(x)dx = 1 3 3 √ 3x+1+C. D Z f(x)dx = 1 4 (3x+1) 3 √ 3x+1+C. |Lờigiải. Ta có Z f(x)dx = Z 3 √ 3x+1dx. Đặt t = 3 √ 3x+1⇒t 3 = 3x+1⇒ dx =t 2 dt. Vậy Z f(x)dx = Z t 3 dt = 1 4 t 4 +C = 1 4 (3x+1) 3 √ 3x+1+C. Chọn đáp án D  Câu40. Tìm các hàm số f(x) biết f 0 (x) = cosx (2+sinx) 2 . A f(x) = sinx (2+sinx) 2 +C. B f(x) = 1 2+cosx +C. C f(x) =− 1 2+sinx +C. D f(x) = sinx 2+sinx +C. |Lờigiải. Xét I = Z cosx (2+sinx) 2 dx. Đặt t = 2+sinx. Khi đó dt = cosxdx. Ta được I = Z dt t 2 =− 1 t +C. Suy ra I =− 1 2+sinx +C. Chọn đáp án C  p Dạng 1.4. Phương pháp từng phần I = Z udv =u.v− Z vdu ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 301. NGUYÊN HÀM ♥♥ Đặt: 8 < : u =... dv =... ⇔ 8 < : du đạo hàm 2 vế −−−−−−−→...dx v = nguyên hàm 2 vế −−−−−−−−−→... Nhận dạng và cách đặt: u, dv Dạng u dv 1 Z P(x) 2 4 sinx cosx 3 5 dx u =P(x) dv = 2 4 sin cos 3 5 dx 2 Z P(x). h e x i dx u =P(x) dv = e x dx 3 Z P(x) h lnx i dx u = h lnx i dv =P(x)dx Câu1. Biết Z xe 2x dx =axe 2x +be 2x +C(a,b∈Q). Tính tích ab. A ab =− 1 4 . B ab = 1 4 . C ab =− 1 8 . D ab = 1 8 . |Lờigiải. Đặt 8 < : u =x dv =e 2x dx ⇒ 8 > < > : du = dx v = 1 2 e 2x Suy ra: Z xe 2x dx = 1 2 xe 2x − 1 2 Z e 2x dx = 1 2 xe 2x − 1 4 e 2x +C Vậy: a = 1 2 ;b =− 1 4 ⇒ab =− 1 8 . Chọn đáp án C  Câu2. Kết quả của I = Z xe x dx là A I =xe x −e x +C. B I =e x +xe x +C. C I = x 2 2 e x +C. D I = x 2 2 e x +e x +C. |Lờigiải. Cách 1: Sử dụng tích phân từng phần ta có I = Z xe x dx = Z xde x =xe x − Z e x dx =xe x −e x +C. Cách 2: Ta có I 0 = (xe x −e x +C) 0 = e x +xe x −e x =xe x . Chọn đáp án A  Câu3. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (5x+1)e x và F(0) = 3. TínhF(1). A F(1) = 11e−3. B F(1) = e+3. C F(1) = e+7. D F(1) = e+2. |Lờigiải. Ta có F(x) = Z (5x+1)e x dx . Đặt 8 < : u = 5x+1 dv = e x dx ⇒ 8 < : du = 5dx v = e x . F(x) = (5x+1)e x − Z 5e x dx = (5x+1)e x −5e x +C = (5x−4)e x +C. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 311. NGUYÊN HÀM ♥♥ Mặt khác F(0) = 3⇔−4+C = 3⇔C = 7. ⇒F(x) = (5x−4)e x +7. Vậy F(1) = e+7. Chọn đáp án C  Câu4. Tính F(x) = Z xsin2xrmdx. Chọn kết quả đúng? A F(x) = 1 4 (2xcos2x+sin2x)+C. B F(x) =− 1 4 (2xcos2x+sin2x)+C. C F(x) =− 1 4 (2xcos2x−sin2x)+C. D F(x) = 1 4 (2xcos2x−sin2x)+C. |Lờigiải. Đặt 8 < : u =x dv = sin2xdx ⇒ 8 > < > : du = dx v =− 1 2 cos2x , ta được F(x) =− 1 2 xcos2x+ 1 2 Z cos2xdx =− 1 2 xcos2x+ 1 4 sin2x+C =− 1 4 (2xcos2x−sin2x)+C. Chọn đáp án C  Câu5. ChoF(x) = a x (lnx+b) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1+lnx x 2 , trong đó a,b∈Z. Tính S =a+b. A S =−2. B S = 1. C S = 2. D S = 0. |Lờigiải. Ta có I = Z f(x)dx = Z  1+lnx x 2 ‹ dx. Đặt 8 > < > : 1+lnx =u 1 x 2 dx = dv ⇒ 8 > < > : 1 x dx = du − 1 x =v khi đó I =− 1 x (1+lnx)+ Z 1 x 2 dx =− 1 x (1+lnx)− 1 x +C =− 1 x (lnx+2)+C⇒ a =−1;b = 2. Vậy S =a+b = 1. Chọn đáp án B  Câu6. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =xcos2x là A xsin2x 2 − cos2x 4 +C. B xsin2x− cos2x 2 +C. C xsin2x+ cos2x 2 +C. D xsin2x 2 + cos2x 4 +C. |Lờigiải. I = Z xcos2xdx. Đặt 8 < : u =x dv = cos2xdx ⇒ 8 > < > : du = dx v = 1 2 sin2x . Khi đó I = 1 2 xsin2x− 1 2 Z sin2xdx = 1 2 xsin2x+ 1 4 cos2x+C. Chọn đáp án D  ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 321. NGUYÊN HÀM ♥♥ Câu7. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =xe −x . Tính F(x) biết F(0) = 1. A F(x) =−(x+1)e −x +2. B F(x) = (x+1)e −x +1. C F(x) = (x+1)e −x +2. D F(x) =−(x+1)e −x +1. |Lờigiải. Đặt 8 < : u =x dv = e −x dx ⇒ 8 < : du = dx v =−e −x . Do đó Z xe −x dx =−xe −x + Z e −x dx =−xe −x −e −x +C =F (x; C). F(0) = 1⇔−e −0 +C = 1⇔C = 2. Vậy F(x) =−(x+1)e −x +2. Chọn đáp án A  Câu8. Biết Z (x+3).e −2x dx =− 1 m e −2x (2x+n)+C, với m,n∈Q. Khi đó tổng S =m 2 +n 2 có giá trị bằng A 10. B 5. C 65. D 41. |Lờigiải. Đặt 8 < : u =x+3 dv =e −2x dx ⇒ 8 > < > : du = dx v =− 1 2 e −2x Khi đó Z (x+3).e −2x dx =− 1 2 e −2x (x+3)+ 1 2 Z e −2x dx =− 1 2 .e −2x (x+3)− 1 4 e −2x +C =− 1 4 e −2x .(2x+6+1)+C =− 1 4 e −2x (2x+7)+C⇒m = 4;n = 7 m 2 +n 2 = 65 Chọn đáp án C  Câu9. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =xln2x là A x 2 2 ln2x−x 2 +C. B x 2 ln2x− x 2 2 +C. C x 2 2 (ln2x−1)+C. D x 2 2  ln2x− 1 2 ‹ +C. |Lờigiải. Đặt 8 < : u = ln2x dv =xdx → 8 > < > : du = 1 x v = x 2 2 . F(x) = Z f(x)dx = x 2 2 .ln2x− Z 1 x . x 2 2 dx = x 2 2 ln2x− x 2 4 +C = x 2 2  ln2x− 1 2 ‹ +C. Chọn đáp án D  Câu10. Họ các nguyên hàm của f(x) =xlnx là: A x 2 2 lnx+ 1 4 x 2 +C. B x 2 lnx− 1 2 x 2 +C . C x 2 2 lnx− 1 4 x 2 +C. D xlnx+ 1 2 x+C. |Lờigiải. Z xlnxdx ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 331. NGUYÊN HÀM ♥♥ Đặt 8 < : xdx =dv lnx =u ⇒ 8 > < > : v = 1 2 x 2 du = 1 x . Suy ra Z xlnxdx = 1 2 x 2 lnx− Z 1 2 xdx = x 2 2 lnx− 1 4 x 2 +C. Chọn đáp án C  Câu11. Hàm số f(x) thoả mãn f 0 (x) =xe x là: A (x−1)e x +C. B x 2 + e x+1 x+1 +C. C x 2 e x +C. D (x+1)e x +C. |Lờigiải. f 0 (x) =xe x ⇒f(x) = Z xe x dx. Ta có: u =x; dv = e x dx. Do đó: du = dx; v = e x . ⇒f(x) = Z xe x dx =xe x − Z e x dx =xe x −e x +C = (x−1)e x +C. Chọn đáp án A  Câu12. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x+1)e x là A (2x−1)e x +C. B (2x+3)e x +C. C 2xe x +C. D (2x−2)e x +C. |Lờigiải. Ta có Z f(x)dx = Z (2x+1)e x dx. Đặt 8 < : u = 2x+1 dv = e x dx ⇒ 8 < : du = 2dx v = e x . ⇒ Z (2x+1)e x dx = (2x+1)e x − Z 2e x dx = (2x+1)e x −2e x +C = (2x−1)e x +C. Chọn đáp án A  Câu13. Họ nguyên hàm của hàm số y = 3x(x+cosx) là A x 3 +3(xsinx+cosx)+C. B x 3 −3(xsinx+cosx)+C. C x 3 +3(xsinx−cosx)+C. D x 3 −3(xsinx−cosx)+C. |Lờigiải. Ta có I = Z 3x(x+cosx)dx = Z 3x 2 +3xcosx
dx =x 3 +3 Z xcosxdx. Tính J = Z xcosxdx. Đặt 8 < : x =u cosxdx = dv ⇒ 8 < : dx = du sinx =v . ⇒J =xsinx− R sinxdx =xsinx+cosx+C. Vậy I =x 3 +3(xsinx+cosx)+C. Chọn đáp án A  Câu14. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = x sin 2 x trên khoảng (0;π) là A−xcotx+ln(sinx)+C. B xcotx−ln|sinx|+C. C xcotx+ln|sinx|+C. D−xcotx−ln(sinx)+C. |Lờigiải. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 341. NGUYÊN HÀM ♥♥ F(x) = Z f(x)dx = Z x sin 2 x dx. Đặt 8 > < > : u =x dv = 1 sin 2 x dx ⇒ 8 < : du =dx v =−cotx . Khi đó: F(x) = Z x sin 2 x dx =−x.cotx+ Z cotxdx =−x.cotx+ Z cosx sinx dx =−x.cotx+ Z d(sinx) sinx =−x.cotx+ln|sinx|+C. Với x∈ (0;π)⇒ sinx> 0⇒ ln|sinx| = ln(sinx). Vậy F(x) =−xcotx+ln(sinx)+C Chọn đáp án A  Câu15. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x(1+lnx) là A 2x 2 lnx+3x 2 . B 2x 2 lnx+x 2 . C 2x 2 lnx+3x 2 +C. D 2x 2 lnx+x 2 +C. |Lờigiải. Đặt 8 < : u = 1+lnx dv = 4xdx ⇒ 8 > < > : du = 1 x dx v = 2x 2 . Khi đó Z f(x)dx = 2x 2 (1+lnx)− Z 2xdx = 2x 2 (1+lnx)−x 2 +C = 2x 2 lnx+x 2 +C. Chọn đáp án D  Câu16. Tìm tất cả nguyên hàm của hàm số f(x) = (3x 2 +1)lnx. A Z f(x)dx =x(x 2 +1)lnx− x 3 3 +C. B Z f(x)dx =x 3 lnx− x 3 3 +C. C Z f(x)dx =x(x 2 +1)lnx− x 3 3 −x+C. D Z f(x)dx =x 3 lnx− x 3 3 −x+C. |Lờigiải. Đặt 8 < : u = lnx dv = (3x 2 +1)dx Suy ra 8 > < > : du = dx x v =x 3 +x. Từ đó ta có Z f(x)dx = (x 3 +x)lnx− Z (x 2 +1)dx =x(x 2 +1)lnx− x 3 3 −x+C. Chọn đáp án C  Câu17. Tính F(x) = Z xcosxdx ta được kết quả A F(x) =xsinx−cosx+C. B F(x) =−xsinx−cosx+C. C F(x) =xsinx+cosx+C. D F(x) =−xsinx+cosx+C. |Lờigiải. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 351. NGUYÊN HÀM ♥♥ Đặt 8 < : u =x dv = cosxdx ⇒ 8 < : du = dx v = sinx ⇒F(x) =xsinx− Z sinxdx =xsinx+cosx+C. Chọn đáp án C  Câu18. Nguyên hàm của hàm số f(x) =xsinx là A F(x) =−xcosx−sinx+C. B F(x) =xcosx−sinx+C. C F(x) =−xcosx+sinx+C. D F(x) =xcosx+sinx+C. |Lờigiải. F(x) = Z xsinxdx, đặt 8 < : u =x dv = sinxdx ⇒ 8 < : du = dx v =−cosx. Khi đó F(x) =−xcosx+ Z cosxdx =−xcosx+sinx+C. Chọn đáp án C  Câu19. Tìm Z xcos2xdx. A 1 2 xsin2x− 1 4 cos2x+C. B xsin2x+cos2x+C. C 1 2 xsin2x+ 1 2 cos2x+C. D 1 2 xsin2x+ 1 4 cos2x+C. |Lờigiải. Đặt 8 < : u =x dv = cos2xdx ⇒ 8 > < > : du = dx v = 1 2 sin2x . Khi đó I = Z xcos2xdx = 1 2 xsin2x− 1 2 Z sin2xdx = 1 2 xsin2x+ 1 4 cos2x+C. Chọn đáp án D  Câu20. Tìm nguyên hàm J = Z (x+1)e 3x dx. A J = 1 3 (x+1)e 3x − 1 9 e 3x +C. B J = 1 3 (x+1)e 3x − 1 3 e 3x +C. C J = (x+1)e 3x − 1 3 e 3x +C. D J = 1 3 (x+1)e 3x + 1 9 e 3x +C. |Lờigiải. Đặt 8 < : u =x+1 dv = e 3x dx ⇒ 8 > < > : du = dx v = 1 3 e 3x . Suy ra J = x+1 3 e 3x − Z 1 3 e 3x dx = x+1 3 e 3x − 1 9 e 3x +C. Chọn đáp án A  Câu21. Biết Z (x−2)sin3xdx =− (x−a)cos3x b + 1 c sin3x+2017, trong đóa,b,c là các số nguyên dương. Khi đó S =ab+c bằng A S = 15. B S = 10. C S = 14. D S = 3. |Lờigiải. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 361. NGUYÊN HÀM ♥♥ Đặt 8 > < > : u =x−2 dv = sin3xdx . Khi đó 8 > < > : du = dx v =− 1 3 cos3x. Do đó Z (x−2)sin3xdx = − 1 3 (x−2)cos3x+ 1 3 Z cos3xdx = − (x−2)cos3x 3 + 1 9 sin3x+C = − (x−2)cos3x 3 + 1 9 sin3x+2017 (với C = 2017). Như vậy a = 2, b = 3, c = 9. Do đó S = 2·3+9 = 15. Chọn đáp án A  Câu22. Hàm số f(x) thỏa mãn f 0 (x) =xe x là A (x−1)e x +C. B x 2 + e x+1 x+1 +C. C x 2 e x +C. D (x+1)e x +C. |Lờigiải. Ta có f(x) = Z f 0 (x)dx = Z xe x dx. Đặt 8 < : u =x dv =e x dx ⇒ 8 < : du = dx v =e x . Do đó f(x) =uv− Z vdu =xe x − Z e x dx = (x−1)e x +C. Chọn đáp án A  Câu23. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =xe x . A Z f(x)dx = (x+1)e x +C. B Z f(x)dx = (x−1)e x +C. C Z f(x)dx =xe x +C. D Z f(x)dx =x 2 e x +C. |Lờigiải. Đặt 8 < : u =x dv = e x dx ⇒ 8 < : du = dx v = e x . Khi đó, ta có Z xe x dx =xe x − Z e x dx =xe x −e x +C = (x−1)e x +C. Chọn đáp án B  Câu24. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =x·e 2x . A F(x) = 2e 2x (x−2)+C. B F(x) = 1 2 e 2x (x−2)+C. C F(x) = 2e 2x  x− 1 2 ‹ +C. D F(x) = 1 2 e 2x  x− 1 2 ‹ +C. |Lờigiải. Đặt 8 < : u =x dv = e 2x dx suy ra 8 > < > : du = dx v = 1 2 e 2x . ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 371. NGUYÊN HÀM ♥♥ Khi đó I = Z x·e 2x dx = 1 2 x·e 2x − 1 2 Z e 2x dx = 1 2 e 2x  x− 1 2 ‹ +C. Chọn đáp án D  Câu25. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4xlnx là A x 2 (2lnx+1)+C. B 4x 2 (2lnx−1)+C. C x 2 (2lnx−1)+C. D x 2 (8lnx−16)+C. |Lờigiải. Đặt 8 < : u = lnx dv = 4xdx ⇒ 8 > < > : du = 1 x dx v = 2x 2 . Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần. Ta được Z 4xlnxdx = 2x 2 lnx− Z 2xdx =x 2 (2lnx−1)+C. Chọn đáp án C  Câu26. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =xcos2x. A xsin2x 2 − cos2x 4 +C. B xsin2x− cos2x 2 +C. C xsin2x+ cos2x 2 +C. D xsin2x 2 + cos2x 4 +C. |Lờigiải. Đặt u =x⇒ du = dx; dv = cos2xdx⇒v = 1 2 sin2x. Suy ra I = Z xcos2xdx = 1 2 xsin2x− 1 2 Z sin2xdx = 1 2 xsin2x+ 1 4 cos2x+C. Chọn đáp án D  Câu27. Tìm họ nguyên hàm Z (2x−1)lnxdx A F(x) = (x 2 −x)lnx− x 2 2 +x+C. B F(x) = (x 2 −x)lnx+ x 2 2 −x+C. C F(x) = (x 2 +x)lnx− x 2 2 +x+C. D F(x) = (x 2 −x)lnx− x 2 2 −x+C. |Lờigiải. Đặt 8 > < > : u = lnx dv = (2x−1)dx ⇒ 8 > < > : du = 1 x dx v =x 2 −x F(x) = Z (2x−1)lnxdx = (x 2 −x)lnx− Z (x−1)dx = (x 2 −x)lnx− x 2 2 +x+C. Chọn đáp án A  Câu28. Biết Z xcos2xdx =axsin2x+bcos2x+C với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab. A ab = 1 8 . B ab = 1 4 . C ab =− 1 8 . D ab =− 1 4 . |Lờigiải. ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 381. NGUYÊN HÀM ♥♥ Đặt 8 < : u =x dv = cos2xdx ⇒ 8 > < > : du = dx v = sin2x 2 . Khi đó Z xcos2xdx = 1 2 xsin2x− 1 2 Z sin2xdx = 1 2 xsin2x+ 1 4 cos2x+C. Suy ra a = 1 2 , b = 1 4 ⇒ab = 1 8 . Chọn đáp án A  Câu29. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2x+1)lnx là A (x 2 +x)lnx− x 2 2 −x+C. B (x 2 +x)lnx−x 2 −x+C. C (x 2 +x)lnx− x 2 2 +x+C. D (x 2 +x)lnx−x 2 +x+C. |Lờigiải. Đặt 8 < : u = lnx dv = (2x+1)dx ⇒ 8 > < > : du = dx x v =x 2 +x . Khi đó Z (2x+1)lnxdx = (x 2 +x)lnx− Z (x 2 +x)dx x = (x 2 +x)lnx− Z (x+1)dx = (x 2 +x)lnx− x 2 2 −x+C. Chọn đáp án A  Câu30. Tìm nguyên hàm J = Z (x+1)e 3x dx. A J = 1 3 (x+1)e 3x − 1 9 e 3x +C. B J = 1 3 (x+1)e 3x − 1 3 e 3x +C. C J = (x+1)e 3x − 1 3 e 3x +C. D J = 1 3 (x+1)e 3x + 1 9 e 3x +C. |Lờigiải. Đặt 8 < : u =x+1 dv = e 3x dx ⇒ 8 > < > : du = dx v = 1 3 e 3x . Suy ra J = x+1 3 e 3x − Z 1 3 e 3x dx = x+1 3 e 3x − 1 9 e 3x +C. Chọn đáp án A  ♥♥Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 39