BÀI TẬP PT NGHIỆM NGUYÊN - SỐ CP - SỐ NGUYÊN TỐ TOÁN LỚP 8

BÀI TẬP PT NGHIỆM NGUYÊN - SỐ CP - SỐ NGUYÊN TỐ

Bài 1: 1) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn (20142014 +1) chia hết cho n3 + 2012n. 2) Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2x2 + x = 3y2 + y.

Chứng minh x – y; 2x +2y +1 và 3x + 3y +1 đều là các số chính phương.

Giả sử tồn tại số nguyên n thỏa mãn (20142014 +1) chia hết cho n3 + 2012n.

Ta có : n3 + 2012n = (n3 – n) + 2013n = n(n -1)(n +1)+2013n.

Vì n -1, n, n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3.

Suy ra n(n-1)(n +1) 3; mà 20133 nên (n3 + 2012n) 3 (1)

Mặt khác: 20142014 + 1 = (2013 + 1)2014 +1 chia cho 3 dư 2 ( vì 2013 3). (2)

Từ (1) và (2) dẫn đến điều giả sử trên là vô lý, tức là không có số nguyên nào thỏa mãn điều kiện bài toán đã cho.Từ : 2x2 + x = 3y2 + y (1) => 2x2 –2y2+ x–y = y2 => (x- y)(2x+2y+1) = y2. (2)

Mặt khác từ (1) ta có: 3x2 – 3y2 + x – y = x2

 ( x –y)( 3x +3y +1) = x2=>(x –y)2( 2x + 2y +1)(3x +3y +1) = x2y2

=> ( 2x + 2y +1)(3x +3y +1) là số chính phương. (3)

Gọi ( 2x + 2y +1; 3x +3y +1) = d=> ( 2x + 2y +1) d; (3x +3y +1) d

=> (3x +3y +1) - ( 2x + 2y +1) = (x + y) d

=> 2(x +y) d =>( 2x + 2y +1) - 2(x +y) = 1 d nên d = 1

=> ( 2x + 2y +1; 3x +3y +1) = 1 (4)

Từ (3) và (4) => 2x + 2y +1 và 3x +3y +1 đều là số chính phương.

Lại có từ (2) =>(x- y)(2x + 2y + 1) là số chính phương

x- y cũng là số chính phương.

Vậy 2x2 + x = 3y2 + y thì x –y; 2x +2y +1 và 3x + 3y +1đều là các số chính phương.Bài 2: 1) Tìm x , y nguyên thỏa mãn: x2(y – 5) + x + y – 3 = 0

x2(y – 5) + x + y – 3 = 0y(x2 + 1) = 5x2 – x + 3 (1)y nguyên nguyên nguyên(x + 2) (x2 + 1) (vì x + 2 và x2 + 1 nguyên do xZ) (x+2)(x – 2) (x2 + 1)(x2+1) – 5 (x2 + 1) 5 (x2 + 1) x = 0; x = 2; x = -2Thay vào (1) nhận được y tương ứng là 3 ; ( Loại); 5

Vậy tìm được hai cặp số (x; y) thỏa mãn phương trình là (0; 3) ; (-2; 5)2) Cho các số nguyên dương a; b; c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn:

(a + b)c = ab. Xét tổng M = a + b có phải là số chính phương không? Vì sao?

Ta có:

Gọi UCLN của a-c và b-c là d mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1. Do đó a-c và b-c là hai số chính phương. Đặt a-c = p2; b-c = q2 ( p; q là các số nguyên) c2 = p2q2c = pq a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương

Bài 3: 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: Có: (1) Vì , nên từ và chẵn.Giả sử lẻ và Vì là số CP, nên và cũng là hai số chính phương.Do Khi , có .

Vậy có hai cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2) Ta có Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình

.

Ta có: :

TH1: TH2: (loại)

Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là (2; 1).

a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: .

PT có 6 nghiệm và 3 hoán vị

3) Tìm các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình: .

Ta có: (1) . Đặt (2)

thì(1) trở thành (3). Từ (2) thay vào (3) ta được (*), coi đây là PT bậc hai đối với y có: Để (*) có nghiệm

Vì hoặc . Thay vào (*) : + Với + Với

Vậy phương trình có 3 nghiệm nguyên (x, y) là (0; 0), (-1; 3) và ( 1; 2)Bài 4: 1) Tìm số nguyên dương n để là số chính phương.

Ta có (1) 4n4 + 4n3 + 4n2 + 4n + 4 = 4k2 (2n2 +n)2 +2n2 +(n+2)2 = (2k)2 (2k)2 > (2n2 +n)2 (2k)2 (2n2 +n+1)2 (do k và n nguyên dương)

4n4 +4n3+4n2+ 4n + 4 (2n2 +n+1)2 (n+1)(n-3) 0 n 3 n Thay các giá trị của n vào (1), chỉ có n = 3 thoả mãn đề bài.2) Giải phương trình nghiệm nguyên : y2 = - 2(x6- x3y - 32)

y2 = -2(x6 – x3y – 32) ⇔ x6+y-x32=64≤64 mà x nguyên⇒x∈-2; -1;0;1;2Xét các trường hợp, Ta được nghiệm nguyên của

phương trình là 0;8;0;-8;2;8;( -2; -8)

3) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình .

4) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn . CMR: là số CP

3) Do y nguyên dương Vì mà và (Do )*Nếu *Nếu

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: và 4) (*)Gọi d là ước chung của (a - b, 2a + 2b + 1) (). Thì

Mà mà Do đó (a - b, 2a + 2b + 1) = 1. Từ (*) ta được và là số chính phương => là số chính phương.Bài 5: 1)Tìm số ng/ tố p sao cho các số đều là số nguyên tố.

2) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: .

1) Tìm số nguyên tố p sao cho các số đều là số nguyên tố.

+) Nếu p=7k+i; k,i nguyên, i thuộc tập. Khi đó chia cho 7 có thể dư: 1;4;2Xét

Nếu chia cho 7 dư 1 thì chia hết cho 7 nên trái GT

Nếu chia cho 7 dư 4 thì chia hết cho 7 nên trái GT

Nếu chia cho 7 dư 2 thì chia hết cho 7 nên trái GT+) Xét p=2 thì =16 (loại)+) Xét p=7k, vì p nguyên tố nên p=7 là nguyên tố, có: đều là các số nguyên tố Vậy p =72) Giả thiết (1) +) Lập luận để (*)(1) (2)

vì y nguyên dươngNếu thì (1) có dạng: (vì có(*))

Khi đó , x nguyên dương nên tìm được x=6Nếu (vì y nguyên dương) thì (1) có dạng: (vì z nguyên dương)

Suy ra (vì x nguyên dương) Đáp số 3) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho chia hết cho .

Ta có (a + b2)  (a2b – 1) suy ra: a + b2 = k(a2b – 1), với k  *

 a + k = b(ka2 – b) hay mb = a + k (1) với

 m + b = ka2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

 (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + 1 – ka) (3)

Do Vì thế từ (3) suy ra: (a + 1)(k + 1 – ka)  0.Lại do a > 0 nên suy ra: k + 1 – ka  0  1  k(a – 1)

Vì a – 1  0, k > 0 nên Với a = 1. Thay vào (3) ta được: (m – 1)(b – 1) = 2.



Vậy, trường hợp này ta được hai cặp a = 1; b = 2 và a = 1; b = 3.Với a = 2 và k = 1. Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = 0  .

Khi b = 1, ta được: a = 2, b = 1. Khi m = 1: từ (1) suy ra a + k = b  b = 3.

Khi đó: a = 2, b = 3. Vậy có 4 cặp số (a; b) thỏa mãn là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1).Bài 6: 1) Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó nN và n > 1 không phải là số chính phương

Ta có: n6 – n4 + 2n3 + 2n2 = n2.(n4 – n2 + 2n + 2) = n2.[n2(n - 1)(n + 1) + 2(n + 1)]

= n2[(n + 1)(n3 – n2 + 2)] = n2(n + 1).[(n3 + 1) – (n2 - 1)] = n2(n+1)2.( n2 – 2n + 2)

Với nN, n >1 thì n2- 2n + 2 = (n - 1)2 + 1 > (n – 1)2

và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2

Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 n2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương

2) Tìm thỏa mãn:

Vì x, yZ nên x - 1Ư(-1) =

+) Nếu x-1 = 1x = 2. Khi đó 2y2 -y–2 =-1y = 1 (t/m) hoặc y =Z (loại)

+) Nếu x – 1 = -1 x = 0 Khi đó 2y2 - y = 1 y = 1 (t/m) hoặc y = Z (loại)

Vậy

Bài 6: 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1).Giả sử (a + b2)  (a2b – 1), tức là: a + b2 = k(a2b – 1), với k  * 

 a + k = b(ka2 – b)  a + k = mb (1)

Ở đó m   mà: m = ka2 – b  m + b = ka2 (2)Từ (1) và (2) suy ra: (m – 1)(b – 1) = mb – b – m + 1 

 (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + 1 – ka) (3)

Do m > 0 (điều này suy ra từ (1) do a, k, b > 0) nên m  1 (vì m  ).

Do b > 0 nên b – 1  0 (do b  )  (m – 1)(b – 1)  0.

Vì thế từ (3) suy ra: (a + 1)(k + 1 – ka)  0.Lại do a > 0 nên suy ra: k + 1 – ka  0  k + 1  ka  1  k(a – 1) (4)

Vì a – 1  0 (do a  , a > 0) và k  , k > 0 nên từ (4) có: - Với a = 1. Thay vào (3) ta được: (m – 1)(b – 1) = 2 

Vậy, trường hợp này ta có: a = 1, b = 2 hoặc a = 1, b = 3.- Với a = 2 (vì k = 1). Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = 0  .

Khi b = 1, ta được: a = 2, b = 1.

Khi m = 1: Từ (1) suy ra a + k = b  b = 3. Lúc này được: a = 2, b = 3.Tóm lại, có 4 cặp số (a; b) thỏa mãn bài toán là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1).Bài 7:

Bài 8: 1) Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương.

2). Cho các số nguyên dương thỏa mãn:

Chứng minh là hợp số .

1) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 119 là số CP Đặt n2 + 119 = k2 ; kN, k > nSuy ra k2 – n2= 119 => (k-n)(k+n) =119 . Vì k, n là các số nguyên dương và k > n

=>k-n; k+n là các số nguyên dương và k+n > k-n

Mặt khác 119 = 1.7.17 => (k-n)(k+n) =119 hoặc => n = 5; 592) Vì (1)

Xét a2 +b2 +c2+ d2 –(a+b+c+d) = (a2 –a)+(b2 –b)+(c2 -c)+( d2-d)= a(a-1) + b(b-1) + c(c-1) + d(d-1) 2Mà a2 +b2 +c2+ d2= 2(a2 +b2) 2=> a+b+c+d 2 (2)Từ (1)và (2) => ĐPCMBài 9. 1) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = 0

Hướng dẫn:Ta có xy2 + 2xy – 243y + x = 0 x(y + 1)2 = 243y (1)

Từ (1) với chú ý rằng (y + 1; y) = 1 ta suy ra (y + 1)2 là ước của 243.

Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8)

2) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: (1)

Giải:Viết thành phương trình bậc hai đối với x:

(2)

Điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm nguyên là là số chính phương

(3) Giải (3) với nghiệm nguyên ta được

Với y = 5 thay vào (2) được . Ta có:

Với y = -3 thay vào (2) được . Ta có

Đáp số: (-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3)

Bài 10:

Bài 11: