Bài tập thể tích khối chóp đều (có đáp án và lời giải chi tiết)

https://toanmath.com/ TH Ể TÍCH KH ỐI CHÓP ĐỀU A. BÀI T ẬP Câu 1. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a , M là trung điểm BC . Thể tích V của khối chóp . M ABC bằng bao nhiêu? A. 3 3 24 a V = . B. 3 2 a V = . C. 3 2 12 a V = . D. 3 2 24 a V = . Câu 2. Cho hình chóp đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60°. Thể tích của hình chóp đều đó là: A. 3 6 6 a . B. 3 3 6 a . C. 3 3 2 a . D. 3 6 2 a . Câu 3. Thể tích hình tứ diện đều có cạnh bằng a là: A. 3 2 3 a . B. 3 2 12 a . C. 3 2 6 a . D. 3 52 12 a . Câu 4.Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đã cho. A. 3 2 2 a . B. 3 2 6 a . C. 3 14 6 a . D. 3 14 2 a . Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 3 a . Tính thể tích V của khối chóp đó theo a . A. 3 3 3 a V = . B. 3 2 a V = . C. 3 2 3 a V = . D. 3 10 6 a V = . Câu 6. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là 3 a . Thể tích V của khối chóp đó là: A. 3 2 6 = Va . B. 3 2 9 = Va . C. 3 22 3 = Va . D. 3 42 3 = Va . Câu 7. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a . Tính thể tích của khối tứ diện đó. A. 3 2 12 a V = . B. 3 3 6 a V = . C. 3 3 a V = . D. 3 2 6 a V = . Câu 8. Cho hình chóp đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng 3 a . Thể tích khối chóp đều . S ABCD bằng? A. 3 43 a . B. 3 3 a . C. 3 43 3 a . D. 3 3 3 a . Câu 9. Cho khối chóp đều . S ABC có cạnh bên bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc 45 ° . Tính thể tích của khối chóp . S ABC theo . a . A. 3 15 25 a . B. 3 5 25 a . C. 3 3 a . D. 3 15 5 a . Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là 3 a . Tính thể tích V của khối chóp đó. A. 3 2 9 a V = . B. 3 42 Va = . C. 3 42 3 a V = . D. 3 2 6 a V = . Câu 11. Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a và các mặt bên đều tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . ° Tính thể tích V của khối chóp. https://toanmath.com/ A. 3 3 4 a V = . B. 3 3 24 a V = . C. 3 2 6 a V = . D. 3 3 8 a V = . Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2 a (hình vẽ). Thể tích khối chóp là A. 3 3 6 a . B. 3 22 3 a . C. 3 6 3 a . D. 3 6 6 a . Câu 13. [S ở G DĐT Lâm Đồn g lần 07 - 2017] Cho ( ) H là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a . Thể tích của ( ) H bằng: A. 3 4 5 a . B. 3 4 3 3 a . C. 3 42 3 a . D. 3 4 3 a . Câu 14. Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc α . Thể tích của hình chóp đó là A. 3 3 cos sin 4 b α α . B. 32 3 sin cos 4 b αα . C. 32 3 cos sin 4 b α α . D. 32 3 cos sin 4 b α α . Câu 15.Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có thể tích 2 6 V = . Gọi M là trung điểm của cạnh SD . Nếu SB SD ⊥ thì khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ) MAC bằng: A. 3 4 . B. 1 2 . C. 2 3 . D. 1 2 . Câu 16. Khối chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a có thể tích bằng: A. 3 3 12 a . B. 3 3 4 a . C. 3 2 6 a . D. 3 3 a . Câu 17. Khi chiều cao của một hình chóp đều tăng lên n lần nhưng mỗi cạnh đáy giảm đi n lần thì thể tích của nó. A. Không thay đổi. B. Tăng lên n lần. C. Tăng lên 1 n − lần. D. Giảm đi n lần. Câu 18. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . A. 3 23 3 a . B. 3 2 6 a . C. 3 3 4 a . D. 3 3 2 a . Câu 19. Cho khối chóp đều . S ABC có cạnh đáy bằng a , tính thể tích khối chóp . S ABC biết cạnh bên bằng a là: A. 3 . 4 S ABC a V = . B. 3 . 2 12 S ABC a V = . C. 3 . 3 6 S ABC a V = . D. 3 . 12 S ABC a V = . https://toanmath.com/ Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60  . Thể tích V của khối chóp . S ABCD bằng A. 3 3 2 a V = . B. 3 3 3 a V = . C. 3 6 6 a V = . D. 3 6 3 a V = . Câu 21. Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a và các mặt bên đều tạo với mặt phẳng đáy một góc 0 60 . Tính thể tích V của khối chóp. A. 3 3 24 a V  . B. 3 3 4 a V  . C. 3 2 6 a V  . D. 3 3 8 a V  . Câu 22. Thể tích của khối chóp tứ giác đều có chiều cao bằng 6 3 a và cạnh đáy bằng 3 a bằng: A. 3 32 2 a . B. 3 32 4 a . C. 3 6 3 a . D. 3 36 2 a . Câu 23. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi điểm O là giao điểm của AC và BD . Biết khoảng cách từ O đến SC bằng 6 a . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 6 a . B. 3 4 a . C. 3 8 a . D. 3 12 a . Câu 24. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60° . Thể tích của hình chóp đã cho. A. 3 3 4 a . B. 3 3 6 a . C. 3 3 3 a . D. 3 3 12 a . Câu 25. Cho hình chóp đều . S ABCD có 2 AC a = , mặt bên ( ) SBC tạo với đáy ( ) ABCD một góc 45 °. Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 2 a V = . B. 3 2 3 a V = . C. 3 2 3 3 a V = . D. 3 2 Va = . Câu 26. Khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 3 a có thể tích bằng: A. 3 2 6 a V = . B. 3 6 6 a V = . C. 3 6 2 a V = . D. 3 3 1 a V = . Câu 27. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 2 2 a V = . B. 3 14 2 a V = . C. 3 14 6 a V = . D. 3 2 6 a V = . Câu 28. Một hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và có chiều cao bằng 4. Tính thể tích hình chóp đó. A. 2 3 . B. 2 . C. 4 . D. 4 3 3 . Câu 29.] Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x . Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Khi đó thể tích của khối chóp bằng: A. 3 .3 3 x . B. 3 .3 2 x . C. 3 .3 12 x . D. 3 .3 6 x . Câu 30. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng 3 a . Gọi , MN lần lượt là trung điểm của , SB BC Tính thể tích khối chóp . A BCNM . Biết mặt phẳng ( ) AMN vuông góc với mặt phẳng ( ) SBC . https://toanmath.com/ A. 3 3 15 48 a . B. 3 15 32 a . C. 3 3 15 32 a . D. 3 3 15 16 a . Câu 31. Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết các cạnh của khối lập phương bằng a . Hãy tính thể tích của khối tám mặt đều đó: A. 3 8 a . B. 3 6 a . C. 3 4 a . D. 3 12 a . Câu 32. Cho ( ) H là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của ( ) H bằng. A. 3 3 2 a . B. 3 2 6 a . C. 3 3 a . D. 3 3 4 a . Câu 33. Một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a , các mặt bên tạo với đáy một góc α . Thể tích khối chóp đó là A. 3 tan 6 a α . B. 3 tan 2 a α . C. 3 cot 6 a α . D. 3 sin 2 a α . Câu 34.Cho khối chóp đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , 3 SA a = . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 26 9 Va = . B. 3 10 6 Va = . C. 3 2 3 Va = . D. 3 11 6 Va = . Câu 35. Thể tích của chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là A. 3 2 4 a . B. 3 2 2 a . C. 3 2 6 a . D. 3 2 12 a . Câu 36. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích khối chóp đã cho. A. 3 2 4 a . B. 3 42 3 a . C. 3 3 12 a . D. 3 2 6 a . Câu 37. Cho hình chóp đều . S ABC có 1 = SA . Gọi , DE lần lượt là trung điểm của hai cạnh , SA SC . Tính thể tích khối chóp . S ABC , biết đường thẳng BD vuông góc với đường thẳng AE . A. . 2 12 = S ABC V B. . 21 54 = S ABC V C. . 12 4 = S ABC V D. . 21 18 = S ABC V Câu 38. Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh a . A. 3 a . B. 3 3 4 a . C. 3 2 12 a . D. 3 3 12 a . Câu 39. Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a , thể tích V của khối chóp có thể tích nhỏ nhất. A. 3 32 3 = a V . B. 3 10 3 = a V . C. 3 2 = Va . D. 3 8 3 = a V . Câu 40. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng o 60 . Thể tích khối chóp . S ABC là: A. 3 3 12 a . B. 3 6 12 a . C. 3 8 a . D. 3 3 8 a . Câu 41. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có = AB a , cạnh bên 6 3 = SA a . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 3 36 = a V . B. 3 4 = a V . C. 3 24 = a V . D. 3 12 = a V . https://toanmath.com/ Câu 42. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm của SH đến ( ) SBC bằng b . Thể tích khối chóp . S ABCD là A. 3 22 2 3 16 a b ab − . B. 3 22 3 16 a b ab − . C. 3 22 2 16 a b ab − . D. 2 3 ab . Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và CD . Cho biết MN tạo với mặt đáy một góc bằng 30° . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 15 5 a . B. 3 30 18 a . C. 3 15 3 a . D. 3 5 12 a . Câu 44. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b . Thể tích của khối chóp là A. 2 22 3 6 a ba − . B. 2 22 3 a ba − . C. 2 22 3 4 a ba − . D. 2 22 3 12 a ba − . Câu 45. Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a . Khi đó, khoảng cách h giữa đường thẳng AD và mặt phẳng ( ) SBC là: A. 6 3 a h = . B. 2 a h = . C. 2 2 a h = . D. 2a 5 5 h = . Câu 46. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC đỉnh S , độ dài cạnh đáy là a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung điểm của cạnh BC . Tính thể tích V của khối chóp . S ABI . A. 3 11 8 a . B. 3 11 6 a . C. 3 11 12 a . D. 3 11 24 a . Câu 47. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60 ° . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 6 a . B. 3 6 3 a . C. 3 6 2 a . D. 3 6 6 a . Câu 48. Xét tứ diện ABCD có các cạnh 2 AC CD DB BA = = = = và AD , BC thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng A. 32 3 27 . B. 16 3 27 . C. 32 3 9 . D. 16 3 9 . Câu 49. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD , đáy ABCD có diện tích 2 16cm , diện tích một mặt bên là 2 8 3 cm . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 32 2 cm . 3 V = B. 3 32 13 cm . 3 V = C. 3 32 11 cm . 3 V = D. 3 32 15 cm . 3 V = Câu 50. Cho khối chóp tam giác đều. Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần thì thể tích của khối chóp đó sẽ: A. Giảm đi hai lần. B. Không thay đổi. C. Tăng lên hai lần. D. Giảm đi ba lần. Câu 51. Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích khối chóp đó bằng: A. 3 2 2 a . B. 3 2 6 a . C. 3 3 3 a . D. 3 2 3 a . Câu 52. Khi chiều cao của một hình chóp đều tăng lên n lần nhưng mỗi cạnh đáy giảm đi n lần thì thể tích của nó. A. Không thay đổi. B. Tăng lên n lần. C. Tăng lên 1 n − lần. D. Giảm đi n lần. Câu 53. Cho hình chóp đều . S ABCD có đáy bằng 2a , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng 3 a . Thể tích khối chóp đều . S ABCD bằng. A. 3 3 a . B. 3 43 a . C. 3 3 3 a . D. 3 43 3 a . https://toanmath.com/ Câu 54. Thể tích khối bát diện đều cạnh a là: A. 3 2 3 a . B. 3 2 2 a . C. 3 2 6 a . D. 3 2a . Câu 55. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3 a và 2 SA SB SC SD a = = = = . Tính thể tích khối chóp . S ABCD ? A. 3 2 2 a . B. 3 3 3 a . C. 3 6 6 a . D. 3 2 6 a . Câu 56. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có chiều cao bằng h, góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) ABCD bằng α . Tính thể tích của khối chóp . S ABCD theo h và α . A. 3 2 3 8tan h α . B. 3 2 3 4 tan h α . C. 3 2 4 3tan h α . D. 3 2 8 3tan h α . Câu 57. Cho tứ diện đều . Biết khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích của tứ diện . A. . B. . C. . D. . Câu 58. Cho hình chóp đều . S ABCD có 2 AC a = , mặt bên ( ) SBC tạo với đáy ( ) ABCD một góc 45 ° . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD ? A. 3 2 a V = . B. 3 2 3 a V = . C. 3 2 Va = . D. 3 2 3 3 a V = . Câu 59. Thể tích hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a bằng A. 3 2 3 a B. 3 2 2 a C. 3 6 a D. 3 2 6 a Câu 60. Cho hình chóp đều . S ABCD có chiều cao bằng 2 a và độ dài cạnh bên bằng 6 a . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 83 3 a . B. 3 10 3 3 a . C. 3 82 3 a . D. 3 10 2 3 a . Câu 61. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . A. 3 2 6 a . B. 3 23 3 a . C. 3 3 4 a . D. 3 3 2 a . Câu 62. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với đáy một góc 45P 0 P. Thể tích V khối chóp . S ABCD là: A. 3 6 a V = . B. 3 9 a V = . C. 3 2 a V = . D. 3 1 24 Va = . Câu 63. Tính thể tích V của hình tứ diện đều có đường cao ha = . A. 3 3 12 a V = . B. 3 3 6 a V = . C. 3 3 8 a V = . D. 3 3 4 a V = . Câu 64. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho? A. 3 47 Va = . B. 3 47 9 a V = . C. 3 4 3 a V = . D. 3 47 3 a V = . Câu 65. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 34 . 6 a V = B. 3 2 . 6 a V = C. 3 2 . 2 a V = D. 3 34 . 2 a V = ABCD A ( ) BCD 6 V ABCD 9 3 2 V = 53 V = 27 3 V = 27 3 2 V = https://toanmath.com/ Câu 66. Một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a , các mặt bên tạo với đáy một góc α . Thể tích của khối chóp đó là A. 3 sin 2 a α . B. 3 tan 2 a α . C. 3 cot 6 a α . D. 3 tan 6 a α . Câu 67.Tính thể tích của khối bát diện đều có cạnh bằng 2. A. 82 3 . B. 16 3 . C. 42 3 . D. 16 2 3 . Câu 68. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi SH là chiều cao của hình chóp, khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên ( ) SBC bằng b . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 22 3 16 ab V ab = − . B. 3 22 2 3 16 a b V ab = − . C. 22 16 ab V ab = − . D. 22 2 16 ab V ab = − . Câu 69. Cho hình chóp đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng o 60 . Tính thể tích của khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 6 2 a B. 3 6 6 a C. 3 3 6 a D. 3 6 12 a Câu 70. Thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng 3 . A. 22 . B. 42 9 . C. 92 4 . D. 2 . Câu 71. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy hợp với mặt bên một góc 45°. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD bằng 2 . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 32 2 9 . B. 64 2 27 . C. 64 2 81 . D. 128 2 81 . Câu 72. Người ta cắt miếng bìa hình tam giác cạnh bằng 10cm như hình bên và gấp theo các đường kẻ, sau đó dán các mép lại để được hình tứ diện đều. Tính thể tích của khối tứ diện tạo thành. A. 3 250 2 . V cm = B. 3 125 2 . 12 V cm = C. 3 1000 2 . 3 V cm = D. 3 250 2 . 12 V cm = Câu 73. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 3a . A. 3 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 a . D. 3 3 12 a . Câu 74. Thể tích của khối bát diện đều cạnh a là: A. 3 3 6 a . B. 3 2 3 a . C. 3 2 6 a . D. 3 3 3 a . https://toanmath.com/ Câu 75. Thể tích của khối tứ diện đều cạnh a là A. 3 6 12 a . B. 3 3 12 a . C. 3 2 12 a . D. 3 2 24 a . Câu 76. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a ,diện tích mỗi mặt bên bằng 2 2a . Thể tích khối nón có đỉnh là S và có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD bằng A. 3 37 4 a π . B. 3 7 4 a π . C. 3 7 3 a π . D. 3 7 6 a π . Câu 77.Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi , MN lần lượt là trung điểm các cạnh ,. AD BD Lấy điểm không đổi P trên cạnh AB (khác , A B ). Thể tích khối chóp PMNC bằng A. 92 16 B. 83 3 C. 33 D. 27 2 12 Câu 78. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có chiều cao là h và bán kính mặt cầu nội tiếp là r ( ) 20 hr >> . A. ( ) 22 4 2 rh V hr = + . B. ( ) 22 4 32 rh V hr = − . C. ( ) 22 3 42 rh V hr = − . D. ( ) 22 4 32 rh V hr = + . Câu 79. Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi ', ' B C lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Tính thể tích V của khối tứ diện '' AB C D theo a . A. 3 24 a V = . B. 3 2 24 a V = . C. 3 3 48 a V = . D. 3 2 48 a V = . Câu 80. Thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 2a là. A. 3 3 6 a . B. 3 2 12 a . C. 3 22 a . D. 3 22 3 a . Câu 81. Cho hình chóp đều . S ABC có đáy cạnh bằng a , góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ) ABC bằng 60° . Gọi A ′, B ′, C ′ tương ứng là các điểm đối xứng của A , B , C qua S . Thể tích của khối bát diện có các mặt , ABC ABC ′′ ′ , A BC ′ , B CA ′ , C AB ′ , AB C ′′, BA C ′′ , CA B ′′ là A. 3 2 3 3 a . B. 3 2 3a . C. 3 3 2 a . D. 3 4 3 3 a . Câu 82. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC , cạnh đáy bằng a . Mặt bên tạo với mặt đáy một góc o 60 . Tính thể tích V của hình chóp . S ABC . A. 3 3 2 a V = . B. 3 3 12 a V = . C. 3 3 24 a V = . D. 3 3 6 a V = . Câu 83. Cho khối chóp đều . S ABC cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích khối chóp đó ? A. 3 26 12 a V = . B. 3 11 6 a V = . C. 3 3 4 a V = . D. 3 11 12 a V = . https://toanmath.com/ Câu 84.Cắt một miếng giấy hình vuông như hình bên và xếp thành hình một hình chóp tứ giác đều. Biết các cạnh hình vuông bằng 20cm , ( ) OM x cm = . Tìm x để hình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất A. 8 x cm = . B. 6 x cm = . C. 7 x cm = . D. 9 x cm = . Câu 85. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên ( ) SCD bằng 3 6 a . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên ( ) SCD và thể tích của khối chóp . S ABCD . A. ( ) ( ) , 3 2 O SCD a d = và 3 . 3 6 S ABCD a V = . B. ( ) ( ) , 3 4 O SCD a d = và 3 . 3 6 S ABCD a V = . C. ( ) ( ) , 3 4 O SCD a d = và 3 . 3 2 S ABCD a V = . D. ( ) ( ) , 3 2 O SCD a d = và 3 . 3 2 S ABCD a V = . https://toanmath.com/ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỀU B. LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a , M là trung điểm BC . Thể tích V của khối chóp . M ABC bằng bao nhiêu? A. 3 3 24 a V = . B. 3 2 a V = . C. 3 2 12 a V = . D. 3 2 24 a V = . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 33 . 1 12 2 . 2 2 12 24 M ABC ABCD aa VV = = = . Câu 2. Cho hình chóp đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 60°. Thể tích của hình chóp đều đó là: A. 3 6 6 a . B. 3 3 6 a . C. 3 3 2 a . D. 3 6 2 a . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi ( ) O AC BD SO ABCD = ∩ ⇒ ⊥  60 tan 60 3 . 3 2 SO a SCO SO OC OC ⇒ = ° ⇒ ° = ⇒ = = 3 2 13 6 . 32 6 a V aa ⇒= = . Câu 3. Thể tích hình tứ diện đều có cạnh bằng a là: A. 3 2 3 a . B. 3 2 12 a . C. 3 2 6 a . D. 3 52 12 a . Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ Gọi I là trung điểm ,' BA A là trọng tâm ABC ∆ . Ta có 3 2 ,BA' 23 3 aa BI BI = = = ,. diện tích tam giác BCD là 2 13 . 24 a S CD AI = = . Trong tam giác ' ABA vuông tại ' A ta có: 2 2 22 2 '' 3 3 aa A A AB A B a = − = −= Thể tích tứ diện là: 23 1 1 32 2 .' . . 3 3 4 12 3 x ABC aa a V S A A ∆ = = = . Câu 4.Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đã cho. A. 3 2 2 a . B. 3 2 6 a . C. 3 14 6 a . D. 3 14 2 a . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 2 AC a = 2 2 a AO ⇒= 22 SO SA OA ⇒= − 14 2 a = . Vậy . 1 . 3 S ABCD ABCD V SO S = 33 1 14 14 .. 3 2 6 aa = = . Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 3 a . Tính thể tích V của khối chóp đó theo a . A. 3 3 3 a V = . B. 3 2 a V = . C. 3 2 3 a V = . D. 3 10 6 a V = . Hướng dẫn giải Chọn D O D C B A S https://toanmath.com/ Gọi h là chiều cao hình chóp, ta có 2 2 10 3 22 aa ha = − = . 1 . 3 ABCD V Sh = 3 2 1 10 10 . 32 6 a a a = = . Câu 6. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là 3 a . Thể tích V của khối chóp đó là: A. 3 2 6 = Va . B. 3 2 9 = Va . C. 3 22 3 = Va . D. 3 42 3 = Va . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có 3 = SM a . SCD ∆ đều nên 2 SC CD a = = . Suy ra: 22 2 22 AC a SO a = = = . Vậy 3 2 1 1 42 . 2.4 . 33 3 = = = ABCD a V SO S a a Câu 7. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a . Tính thể tích của khối tứ diện đó. A. 3 2 12 a V = . B. 3 3 6 a V = . C. 3 3 a V = . D. 3 2 6 a V = . Hướng dẫn giải: Chọn C . D A B C S https://toanmath.com/ Ta có 22 33 42 ABC AB a S = = ; 22 . 33 23 3 6 2 a a AH m a = = = . 22 23 3 a SH SA AH ⇒ = − = . 3 1 . 33 ABC a V SH S ⇒ = = . Câu 8. Cho hình chóp đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng 3 a . Thể tích khối chóp đều . S ABCD bằng? A. 3 43 a . B. 3 3 a . C. 3 43 3 a . D. 3 3 3 a . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi O AC BD = ∩ , hình chóp đều . S ABCD ( ) SO ABCD ⇒⊥ và tứ giác ABCD là hình vuông. Ta có // CD AB ( ) // CD SAB ⇒ ( ) ; d CD SA ⇒ ( ) ( ) ; d C SAB = ( ) ( ) 2; d O SAB = . Bài ra ( ) ; 3 d CD SA a = ( ) ( ) 3 ; 2 a d O SAB ⇒= . Tứ diện vuông . O SAB 2 22 2 11 1 1 h OS OA OB ⇒= + + với ( ) ( ) 3 ; 2 a h d O SAB = = . Cạnh 2 2 AB OA OB a = = = 2 222 4 1 11 3 22 a SO a a ⇒ = ++ 3 SO a ⇒= . Do đó . 1 . 3 S ABCD ABCD V SO S = 3 2 1 43 3.4 33 a aa = = . Câu 9. Cho khối chóp đều . S ABC có cạnh bên bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc 45 ° . Tính thể tích của khối chóp . S ABC theo . a . A. 3 15 25 a . B. 3 5 25 a . C. 3 3 a . D. 3 15 5 a . Hướng dẫn giải Chọn A O S A B C D https://toanmath.com/ . Gọi O là trọng tâm tam giác ( ) ABC SO ABC ⇒ ⊥ . I là trung điểm của ( ) ( ) ( )   , 45 . BC SBC ABC SIO ⇒= = ° . x là độ dài cạnh của tam giác ABC ( 0 x > ). Ta có: 2 22 2 13 ;. 36 4 xx OI AI SI SC IC a = = = − = − . Trong tam giác SOI có: 2 2 22 3 2 2 15 cos45 5 12 . 62 4 5 xx a OI SI a x a x = °⇒ = − ⇔ = ⇒ = . Suy ra: 5 , 5 SO OI a = = 2 2 3 33 . 45 ABC x Sa ∆ = = . Vậy: 3 2 . 1 3 3 5 15 .. . 3 5 5 25 S ABC a V aa = = . Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là 3 a . Tính thể tích V của khối chóp đó. A. 3 2 9 a V = . B. 3 42 Va = . C. 3 42 3 a V = . D. 3 2 6 a V = . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi cạnh của hình chóp tứ giác đều là x . Xét tam giác vuông SCH ta có 22 2 SC HC SH −= 2 2 2 3 4 x x a ⇔− = 2 x a ⇔= . Chiều cao 2 2 22 32 SO SH HO a a a = − = −= . https://toanmath.com/ Thể tích khối chóp là 3 2 1 42 . 2.4 33 a V aa = = . Câu 11. Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a và các mặt bên đều tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . ° Tính thể tích V của khối chóp. A. 3 3 4 a V = . B. 3 3 24 a V = . C. 3 2 6 a V = . D. 3 3 8 a V = . Hướng dẫn giải Chọn B . Gọi M là trung điểm của BC , G là trọng tâm ABC ∆ . 2 2 33 . 4 4 ABC AB a S ∆ = = . 13 3 32 6 AB a GM = = . Ta có: góc giữa mặt đáy và mặt bên bằng 60° suy ra  60 . SMG = ° Xét tam giác vuông SGM :  tan . SG SMG GM = . Suy ra: 3 .tan 60 . 3 . 62 aa SG GM = ° = = . Vậy 23 . 1 1 33 . . . 3 3 2 4 24 S ABC ABC a a a V SG S ∆ = = = . Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2 a (hình vẽ). Thể tích khối chóp là A. 3 3 6 a . B. 3 22 3 a . C. 3 6 3 a . D. 3 6 6 a . Hướng dẫn giải Chọn D M G B A C S https://toanmath.com/ Xét hình chóp tứ giác đều . S ABCD . Ta có: 2 2 a OD = , 2 22 2 6 2 22 aa SO SD OD a = − = − = . 3 2 . 1 16 6 . . . . 3 32 6 S ABCD ABCD aa V SO S a = = = . Câu 13. [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07 - 2017] Cho ( ) H là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a . Thể tích của ( ) H bằng: A. 3 4 5 a . B. 3 4 3 3 a . C. 3 42 3 a . D. 3 4 3 a . Hướng dẫn giải Chọn C ABCD hình vuông cạnh 2a AC = >= 2 2a 22 2 .– AO SO SA AO = > == = = > 2 SO a = . 23 1 42 (2 ) . 2 33 V aa a = = . Câu 14. Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc α . Thể tích của hình chóp đó là A. 3 3 cos sin 4 b α α . B. 32 3 sin cos 4 b αα . C. 32 3 cos sin 4 b α α . D. 32 3 cos sin 4 b α α . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi M là trung điểm BC , H là tâm tam giác ABC . Ta có: ( ) SH ABC ⊥ . Xét tam giác SHA ∆ vuông tại H , ta có: sin sin cos cos SH SA b AH SA b αα α α = =   = =  https://toanmath.com/ 33 cos 22 AM AH b α ⇒= = . Mà: 32 3 cos 2 3 AB AM AM AB α = ⇔= = . ( ) 2 32 3 3 cos 11 . . . sin . 33 4 3 cos sin 4 SABC ABC b V SH S b b α α α α = = = . Câu 15.Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có thể tích 2 6 V = . Gọi M là trung điểm của cạnh SD . Nếu SB SD ⊥ thì khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ) MAC bằng: A. 3 4 . B. 1 2 . C. 2 3 . D. 1 2 . Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Khi đó, 2 BD a = . Tam giác SBD vuông cân tại S nên SD SB a = = và 2 22 BD a SO = = . Suy ra các tam giác , SCD SAD là các tam giác đều cạnh a và ( ) SD MAC ⊥ tại M . Thể tích khối chóp là 3 12 . . 36 ABCD a V SO S = = Mà 3 2 2 1 66 a a = ⇒= Vì O là trung điểm BD nên ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , 2 d B MAC d D MAC DM = = = . Câu 16. Khối chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a có thể tích bằng: A. 3 3 12 a . B. 3 3 4 a . C. 3 2 6 a . D. 3 3 a . Hướng dẫn giải Chọn A Chiều cao của khối chóp là 2 2 23 6 . 32 3 aa ha  =−=   mà 2 3 4 day a S = . O M A S D C B https://toanmath.com/ Do đó thể tích khối chóp là 3 13 . 3 12 day a hS = . Câu 17. Khi chiều cao của một hình chóp đều tăng lên n lần nhưng mỗi cạnh đáy giảm đi n lần thì thể tích của nó. A. Không thay đổi. B. Tăng lên n lần. C. Tăng lên 1 n − lần. D. Giảm đi n lần. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: 1 . . 3 V hS = , với h là chiều cao, S là diện tích đáy 2 0 180 4 tan xa S a =     với x là độ dài cạnh của đa giác đều, a là số đỉnh của đa giác đều. Ycbt 2 1 0 1 11 1 . . . . . . 33 180 4 tan x a n V nh h S V nn a    ⇔= = =     . Câu 18. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . A. 3 23 3 a . B. 3 2 6 a . C. 3 3 4 a . D. 3 3 2 a . Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Diện tích đáy ABCD : 2 ABCD Sa = . 11 2 2 22 2 a AO AC AB = = = ; 2 2 22 2 2 2 2 a a SO SA AO a  = −= − =    Vậy thể tích khối chóp tứ giác đều là: 3 2 1 1 22 . .. 3 32 6 ABCD aa V S SO a = = = . Câu 19. Cho khối chóp đều . S ABC có cạnh đáy bằng a , tính thể tích khối chóp . S ABC biết cạnh bên bằng a là: A. 3 . 4 S ABC a V = . B. 3 . 2 12 S ABC a V = . C. 3 . 3 6 S ABC a V = . D. 3 . 12 S ABC a V = . Hướng dẫn giải Chọn B O C A B D S https://toanmath.com/ Gọi H là trọng tâm ABC ∆ đều ( ) SH ABC → ⊥ . 2 3 33 a AH AM = = (M là trung điểm BC) SAH ∆ vuông tại H có 22 6 3 a SH SA AH = − = . ABC ∆ đều cạnh a nên 2 3 4 ABC a S = . Vậy 23 1 1 36 2 . .. 3 3 4 3 12 ABC aa a V S SH = = = . Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60  . Thể tích V của khối chóp . S ABCD bằng 1 7 T A. 1 7 T 3 3 2 a V = 1 7 T.1 7 T B. 3 3 3 a V = .1 7 T C. 1 7 T 3 6 6 a V = 1 7 T.1 7 T D. 3 6 3 a V = . Hướng dẫn giải 1 7 TChọn C Gọi O AC BD = ∩ thì ( ) SO ABCD ⊥ . Ta có góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc  60 SDO =  . Mà ABCD là hình vuông nên 22 BD AB a = = . Tam giác SBD đều nên 36 . 22 a SO BD = = . https://toanmath.com/ Vậy 3 2 . 1 16 6 . . . . 3 3 2 6 S ABCD ABCD aa V SO S a = = = . Câu 21. Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a và các mặt bên đều tạo với mặt phẳng đáy một góc 0 60 . Tính thể tích V của khối chóp. A. 3 3 24 a V  . B. 3 3 4 a V  . C. 3 2 6 a V  . D. 3 3 8 a V  . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi hình chóp tam giác đó là ., S ABC kẻ ( ) SH ABC ⊥ tại . H . Gọi ', ', ' A B C lần lượt là chân đường cao hạ từ H xuống BC, CA, AB. . Xét ', ', ' SHA SHB SHC ∆∆ ∆ đều vuông tại H có SH chung.       0 ' ' ' 60 ' ' ' SB H SC H SA H HSC HSA HSB = = =⇒ = = . ( ) ' ' ' ' ' '. SHA SHB SHC g g g HA HB HC ⇒∆ =∆ =∆ − − ⇒ = = . Do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . ABC . Tam giác ABC đều cạnh 2 3 .' 42 ABC AB BC CA a S a HA ++ ⇒= = . 2 33 3 ' ' . 4 2 6 a a HA HA a ⇒ = ⇒= . Tam giác ' SHA vuông tại H và  0 ' 60 '.tan 60 . 2 a HA S SH HA = ⇒ = = . Thể tích 23 1 13 3 . .. . 3 3 2 4 24 ABC a V SH S a a = = = . Câu 22. Thể tích của khối chóp tứ giác đều có chiều cao bằng 6 3 a và cạnh đáy bằng 3 a bằng: A. 3 32 2 a . B. 3 32 4 a . C. 3 6 3 a . D. 3 36 2 a . Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ Ta có : 1 . 3 ABCD V S SO = ( ) 2 16 . 3. 33 a a = 3 6 3 a = . Câu 23. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi điểm O là giao điểm của AC và BD . Biết khoảng cách từ O đến SC bằng 6 a . Tính thể tích khối chóp . S ABC . A. 3 6 a . B. 3 4 a . C. 3 8 a . D. 3 12 a . Hướng dẫn giải Chọn C H là hình chiếu của O lên SC nên 6 a OH = , ABCD là hình vuông có 12 22 a OC AC = = SOC ∆ vuông tại O có OH là đường cao 22 2 1 11 2 a SO OH SO OC → = + → = . 3 . 1 11 .. . 3 3 2 12 S ABCD ABC ABCD a V S SO S SO → = = = . Câu 24. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60° . Thể tích của hình chóp đã cho. A. 3 3 4 a . B. 3 3 6 a . C. 3 3 3 a . D. 3 3 12 a . Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ Gọi M là trung điểm của cạnh BC , O là tâm của tam giác đều ABC . Hình chóp tam giác đều . S ABC có góc giữa cạnh bên bên và mặt đáy bằng 60° , nên  60 SAM = ° . Ta có: 3 2 a AM = 3 3 a AO ⇒= . Diện tích tam giác ABC : 2 3 4 ABC a S = . Xét tam giác SAO vuông tại O có: .tan 60 SO AO = ° 3 .3 3 a a = = . Thể tích khối chóp tam giác đều . S ABC : 2 13 .. 34 a Va = = 3 3 12 a . Câu 25. Cho hình chóp đều . S ABCD có 2 AC a = , mặt bên ( ) SBC tạo với đáy ( ) ABCD một góc 45 °. Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 3 2 a V = . B. 3 2 3 a V = . C. 3 2 3 3 a V = . D. 3 2 Va = . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M là trung điểm của BC OM BC → ⊥ mà BC SO ⊥ nên ( ) BC SOM ⊥ BC SM → ⊥ . ( ) ( ) BC SBC ABCD = ∩→ Góc ( ) ( )  , 45 SBC ABCD SMO  = = °  Do hình chóp đều nên đáy ABCD là hình vuông có 2 2 AC AD a = = SOM ∆ vuông tại O có  45 SMO = ° nên 1 2 22 a SO OM AD = = = . Vậy ( ) 3 2 . 1 1 22 . 2. 3 3 23 S ABCD ABCD aa V S SO a = = = . 60° a O M A C B S https://toanmath.com/ Câu 26. Khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 3 a có thể tích bằng: A. 3 2 6 a V = . B. 3 6 6 a V = . C. 3 6 2 a V = . D. 3 3 1 a V = . Hướng dẫn giải: Chọn C . ABC đều cạnh a AM = > = 2 3 a AO = > = 3 3 a . 2 2 22 –3 SO SA AO a = = − 2 3 a = 3 8 2 a . 12 2 1 3 .. . 3 22 3 a V aa = 3 2 6 Va ⇔ = . Câu 27. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 2 2 a V = . B. 3 14 2 a V = . C. 3 14 6 a V = . D. 3 2 6 a V = . Hướng dẫn giải UChọn C Ta có: ( ) 2 2 22 2 2 2 a SO SB OB a  = −= −    14 2 a = . 2 1 1 14 . . .. 3 3 2 ABCD a V S SO a = = 3 14 6 a = . Câu 28. Một hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và có chiều cao bằng 4. Tính thể tích hình chóp đó. O A B D C S https://toanmath.com/ A. 2 3 . B. 2 . C. 4 . D. 4 3 3 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có diện tích tam giác đều cạnh 2 là 1 .2.2.sin 60 2 S = ° 3 = . Thể tích của khối chóp là 1 . 3.4 3 V = 4 3 3 = . Câu 29.] Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x . Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Khi đó thể tích của khối chóp bằng: A. 3 .3 3 x . B. 3 .3 2 x . C. 3 .3 12 x . D. 3 .3 6 x . Hướng dẫn giải: Chọn D . 2 ; S 4. 2 . ABCD xq SCD S x S SI x = = = . Theo yêu cầu bài toán. 2 2 . SI x x SI x = ⇔= . 2 22 2 3 42 x SO SI OI x x = − = −= . 3 2 1 1 3 .3 . .. 3 32 6 SABCD ABCD x V SO S x x = = = . Câu 30. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng 3 a . Gọi , MN lần lượt là trung điểm của , SB BC Tính thể tích khối chóp . A BCNM . Biết mặt phẳng ( ) AMN vuông góc với mặt phẳng ( ) SBC . A. 3 3 15 48 a . B. 3 15 32 a . C. 3 3 15 32 a . D. 3 3 15 16 a . Hướng dẫn giải Chọn C O A D B C S I https://toanmath.com/ E là trung điểm BC nên , CB AE CB SH ⊥ ⊥ ( ) CB SAE CB SE → ⊥ → ⊥ . SE vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên SBC ∆ cân tại S F là giao điểm của MN với SE 1 , 2 SF MN SF SE → ⊥ = . Giả thiết ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SF MN AMN SBC SF AMN AMN SBC MN ⊥  ⊥  → ⊥  ∩=   SE AF →⊥ và 1 2 SF SE = nên SAE ∆ cân tại 3 2 a A AE AS →= = 22 2 23 5 . 3 32 2 aa AH AE a SH SA AH = = = → = − = ( ) 3 2 . 1 1 3 5 15 . .3 . 3 3 42 8 S ABC ABC aa V S SH a = = = . 3 . . . 1 15 . 4 32 S AMN S AMN S ABC V SM SN a V V SB SC = = → = . Vậy 3 .. 3 15 32 S ABC S AMN a V V V = −= . Câu 31. Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết các cạnh của khối lập phương bằng a . Hãy tính thể tích của khối tám mặt đều đó: A. 3 8 a . B. 3 6 a . C. 3 4 a . D. 3 12 a . Hướng dẫn giải Chọn B Dựng được hình như hình bên. https://toanmath.com/ . + Thấy được thể tích khối cần tính bằng 2 lần thể tích của hình chóp . S ABCD . + Nhiệm vụ bây giờ đi tìm thể tích của . S ABCD . + ABCD là hình vuông có tâm O đồng thời chính là hình chiếu của S lên mặt đáy. 2 a SO = ; BD a = (cạnh của hình lập phương). Suy ra các cạnh của hình vuông 2 2 ABCD a = . . 1 3 S ABCD V Sh = 3 11 2 2 32 2 2 a    = ⋅⋅          3 12 a = . đa diên . 2. khôi S ABCD VV = 3 6 a = . Câu 32. Cho ( ) H là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của ( ) H bằng. A. 3 3 2 a . B. 3 2 6 a . C. 3 3 a . D. 3 3 4 a . Hướng dẫn giải: Chọn B . Tính diện tích ABCD : 2 ABCD Sa = . Xác định chiều cao: Gọi D O AC B SO = ∩⇒ là chiều cao của khối chóp. SOA ∆ vuông tại O cho ta 2 2 22 1 2 2 a SO SA AO a a = − = −= . Vậy: 3 2 1 12 2 . .. 3 32 6 SABCD ABCD aa V S SO a = = = . Câu 33. Một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a , các mặt bên tạo với đáy một góc α . Thể tích khối chóp đó là O D A C B S a https://toanmath.com/ A. 3 tan 6 a α . B. 3 tan 2 a α . C. 3 cot 6 a α . D. 3 sin 2 a α . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi h là đường cao của hình chóp ta có tan 2 a h α = , 2 day Sa = Vậy 3 1 . tan 36 day a V hS α = = . 4 2 TCâu 34.Cho khối chóp đều 4 2 T . S ABCD 4 2 T có đáy 4 2 T ABCD 4 2 T là hình vuông cạnh 4 2 T a 4 2 T, 4 2 T 3 SA a = 4 2 T. Tính thể tích 4 2 T V 4 2 T của khối chóp 4 2 T . S ABCD 4 2 T theo 4 2 T a 4 2 T. A. 3 26 9 Va = . B. 3 10 6 Va = . C. 3 2 3 Va = . D. 3 11 6 Va = . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi O là tâm hình vuông ABCD ( ) SO ABCD ⇒⊥ 4 2 T. 2 22 2 10 3 22 aa SO SA OA a = − = −= 4 2 T. Thể tích của khối chóp . S ABCD 4 2 T là 4 2 T 1 . . 3 ABCD V SO S = 23 1 10 10 .. 32 6 a aa = = . Câu 35. Thể tích của chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là A. 3 2 4 a . B. 3 2 2 a . C. 3 2 6 a . D. 3 2 12 a . Hướng dẫn giải Chọn D UCách 1: Theo tự luận https://toanmath.com/ Gọi O là tâm mặt đáy ( ) ABC và I là trung điểm cạnh BC . . S ABC là hình chóp tam giác đều nên ( ) SO ABC ⊥ . SAO ∆ vuông tại O có: 2 23 3 . 3 32 3 aa AO AI = = = 22 SO SA AO ⇒= − 2 3 a = . 2 3 4 ABC a S = . Vậy thể tích khối chóp cần tìm là: . 1 . 3 S ABC ABC V SO S = 2 12 3 .. 34 3 aa = 3 2 12 a = . UCách 2: Tính bằng công thức tính nhanh. Hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là hình tứ diện đều cạnh a . 3 2 12 a V ⇒ = . Câu 36. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích khối chóp đã cho. A. 3 2 4 a . B. 3 42 3 a . C. 3 3 12 a . D. 3 2 6 a . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi khối chóp đó là S.ABCD có tâm O. Vẽ hình nhanh ta thấy 2 2 AC OA a = = . 3 22 2 . 1 1 42 2 . .4 . 2 34 3 S ABCD ABCD a SO SA OA a V S SO a a = − = → = = = . Câu 37. Cho hình chóp đều . S ABC có 1 = SA . Gọi , DE lần lượt là trung điểm của hai cạnh , SA SC . Tính thể tích khối chóp . S ABC , biết đường thẳng BD vuông góc với đường thẳng AE . A. . 2 12 = S ABC V B. . 21 54 = S ABC V C. . 12 4 = S ABC V D. . 21 18 = S ABC V Hướng dẫn giải I O C B A S https://toanmath.com/ Chọn B Giả sử cạnh đáy có độ dài a ; SH h = . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: ( ) 0;0;0 I ; ;0;0 2 a A  −   ; ;0;0 2 a B    ; 3 0; ;0 2 a C         ; 3 0; ; 6 a Sh     ; 3 ;; 4 12 2 aa h D  −    ; 3 0; ; 32 ah E     . Lại có BD AE ⊥ 6 . 0 7 BD AE a h ⇔ = ⇒=      2 3 6 . 37 a − = 27 33 ah ⇒ = ⇒= . Vậy . 2 .3 1 7 21 3 .. 3 3 4 54 S ABCD V = = . Câu 38. Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh a . A. 3 a . B. 3 3 4 a . C. 3 2 12 a . D. 3 3 12 a . Hướng dẫn giải Chọn C 1 7 TTa có: 2 2 22 36 3 3 aa SG SA AG a  = −= − =    . 1 7 TVậy: 23 1 16 3 2 . .. 3 3 3 4 12 SABC ABC aa a V SG S ∆ = = = . 1 7 TÁp dụng công thức tính nhanh 1 7 Tthể tích khối tứ diện đều có cạnh a bằng: 3 2 12 a . https://toanmath.com/ Câu 39. Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a , thể tích V của khối chóp có thể tích nhỏ nhất. A. 3 32 3 = a V . B. 3 10 3 = a V . C. 3 2 = Va . D. 3 8 3 = a V . Hướng dẫn giải Chọn A Giả sử = SO x ta có: = − SI x a ; ( ) 2 22 2 = − − = − SE x a a x ax Xét ∆∆ SEI SON ∽ ta có: = SE IE SO NO 2 . 2 ⇒= = − IE SO ax NO SE x ax Thể tích khối chóp là: ( ) 2 22 2 12 4 . 3 32 2  = =  − −  ax a x Vx x a x ax Xét hàm số ( ) 2 2 = − x f x x a ( ) 02 << a x ( ) ( ) 2 2 4 2 − ′ = − x ax fx x a ; ( ) 0 ′ = fx 4 ⇔= x a (do 02 << a x ) Bảng biến thiên Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích là: 3 32 3 = a V . Câu 40. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng o 60 . Thể tích khối chóp . S ABC là: A. 3 3 12 a . B. 3 6 12 a . C. 3 8 a . D. 3 3 8 a . Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ . Gọi O trọng tâm tam giác E , khi đó ( ) SO ABC ⊥ . Ta có: 3 3 a AO SO a = ⇒= . Suy ra: 23 1 1 33 . . .. 3 3 4 12 ABC aa V SO S a ∆ = = = . Câu 41. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có = AB a , cạnh bên 6 3 = SA a . Tính thể tích V của khối chóp . S ABC . A. 3 3 36 = a V . B. 3 4 = a V . C. 3 24 = a V . D. 3 12 = a V . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi O là tâm của tam giác đều ABC khi đó 23 3 32 3 = = AO a a . Vì SO là đường cao của khối chóp nên 22 22 6 33 3 33    = −= − =          SO SA AO a a a . Diện tích 2 3 4 ∆ = ABC Sa , suy ra thể tích 3 2 . 1 33 3 4 3 12 = = S ABC a V aa . Câu 42. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm của SH đến ( ) SBC bằng b . Thể tích khối chóp . S ABCD là https://toanmath.com/ A. 3 22 2 3 16 a b ab − . B. 3 22 3 16 a b ab − . C. 3 22 2 16 a b ab − . D. 2 3 ab . Hướng dẫn giải Chọn A Hình chóp tứ giác đều H AC BD = ∩ và tứ giác ABCD là hình vuông. Gọi I là trung điểm của cạnh SH ( ) ( ) ( ) ( ) ,2 ,2 d H SBC d I SBC b ⇒ = = Tứ diện vuông ( ) 2 2 2 2 1 11 1 2 SHBC HS HB HC b ⇒ =++ 22 22 2 2 2 2 22 22 1 1 1 1 1 4 16 4 44 22 2 16 ab aa SH b b a a b ab SH ab − ⇒ = − − = − = ⇒ = − 3 2 . 22 22 1 12 2 .. . 33 16 3 16 S ABCD ABCD ab a b V SH S a ab ab ⇒= = = − − . Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và CD . Cho biết MN tạo với mặt đáy một góc bằng 30 ° . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . 4 2 T A. 4 2 T 3 15 5 a 4 2 T. B. 4 2 T 3 30 18 a 4 2 T. C. 4 2 T 3 15 3 a 4 2 T. D. 4 2 T 3 5 12 a 4 2 T. Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi O AC BD = ∩ , ta có ( ) SO ABCD ⊥ . Gọi H là trung điểm OA, ta có // MH SO ( ) MH ABCD ⇒⊥ . Do đó ( ) ( ) , MN ABCD ( ) , MN NH =  MNH = 30 = °. Ta có: 22 2 31 44 NH AD CD     = +         2 5 8 a = 10 4 a NH ⇒= . a H N M O B C A D S H O N D A B C https://toanmath.com/  tan MH MNH NH = 10 4 MH a = 3 3 = 30 12 a MH ⇒= . Mặt khác: 30 2 6 a SO MH = = . Vậy thể tích khối chóp . S ABCD là: 1 .. 3 ABCD V S SO = 2 1 30 .. 36 a a = 3 30 18 a = . Câu 44. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b . Thể tích của khối chóp là A. 2 22 3 6 a ba − . B. 2 22 3 a ba − . C. 2 22 3 4 a ba − . D. 2 22 3 12 a ba − . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi . S ABC là hình chóp tam giác đều và G là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó ( ) SG ABC ⊥ và AB a = , SB b = , 23 3 . 32 3 aa AG = = 22 22 3 3 ba SG SA AG − ⇒= − = . Vậy 2 22 2 22 . 1 1 33 . .. 3 3 3 4 3 12 S ABC ABC a ba a V SG S b a ∆ − = = = − . Câu 45. Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a . Khi đó, khoảng cách h giữa đường thẳng AD và mặt phẳng ( ) SBC là: A. 6 3 a h = . B. 2 a h = . C. 2 2 a h = . D. 2a 5 5 h = . Hướng dẫn giải: Chọn A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 2, d AD SBC d A SBC d O SBC = = với O là tâm hình vuông ABCD . Gọi I là trung điểm ( ) ( ) ( ) BC OI BC BC SOI SBC SOI BC SO ⊥  ⇒ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  . Ta có ( ) ( ) SBC SOI SI ∩= , kẻ OH SI ⊥ tại H ( ) ( ) ( ) , OH SBC d O SBC OH ⇒ ⊥ ⇒ =. . 22 22 , 22 2 AC a a AO SO SA AO = = = −= . 2 2 22 2 . .6 2 2 6 2 44 aa SO OI a OH SO OI a a = = = + + . ( ) ( ) 6 ,2 3 a d AD SBC OH = = . a a O B A D C S I H https://toanmath.com/ Câu 46. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC đỉnh S , độ dài cạnh đáy là a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung điểm của cạnh BC . Tính thể tích V của khối chóp . S ABI . A. 3 11 8 a . B. 3 11 6 a . C. 3 11 12 a . D. 3 11 24 a . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi O là hình chiếu của S lên (ABC) ta có: 2 22 2 33 4 33 aa SO SB BO a = − = −= 23 1 1 3 33 11 . .. 3 3 8 3 24 ABI aa a V S SO ∆ ⇒ = = = . Câu 47. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60° . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 3 6 a . B. 3 6 3 a . C. 3 6 2 a . D. 3 6 6 a . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có:  60 SBO = ° . .tan 60 SO OB = ° 2 .tan 60 2 a = ° 6 2 a = . 2 ABCD Sa = Suy ra 1 . 3 SABCD ABCD V SO S = 2 16 .. 32 a a = 3 6 6 a = . I A B C S O a 60° O D A B C S https://toanmath.com/ Câu 48. Xét tứ diện ABCD có các cạnh 2 AC CD DB BA = = = = và AD , BC thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng A. 32 3 27 . B. 16 3 27 . C. 32 3 9 . D. 16 3 9 . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Theo giả thiết ta có: ABD và ACD là các tam giác cân có M là trung điểm của AD nên BM AD ⊥ và CM AD ⊥ ( ) AD BMC ⇒⊥ . Và có BM CM = MBC ⇒∆ cân tại. Trong tam giác MBC ∆ có MN vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên 2 2 2 4 BC MN MB = − 22 22 44 AD BC MN AB ⇔ = −− 22 4 4 AD BC MN + ⇔=− . Khi đó diện tích tam giác MBC ∆ là: 1 . 2 MBC S MN BC ∆ = 22 1 .4 24 AD BC BC + = − Thể tích tứ diện ABCD là: 1 .. 3 ABCD MBC V AD S ∆ = 22 1 . . .4 34 AD BC BC AD + = − . Đặt AD x = , BC y = ta có: 22 1 . . . 4 3 4 ABCD xy V x y + = − . Ta có: 22 2 x y xy +≥ 22 42 x y xy + ⇔≥ 22 42 x y xy + ⇔ − ≤− . Do đó: 1 . . . 4 32 ABCD xy V x y ≤− ( ) ( ) 2 2 8 6 ABCD V xy xy ⇔≤ − . Dấu bằng xảy ra khi x y = . Ta lại có: ( ) ( ) 2 8 xy xy − ( ) 4... 8 22 xy xy xy = − 3 8 22 4. 3 xy xy xy   + +−   ≤       3 4.8 27 = . Dấu bằng xảy ra khi 8 2 xy xy = − 16 3 xy ⇔= 4 3 x y ⇔= = . Vậy giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD là: tập xác định 3 m 2 ax 4.8 6 27 ABCD V = 32 3 27 = . Câu 49. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD , đáy ABCD có diện tích 2 16cm , diện tích một mặt bên là 2 8 3 cm . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . N M A B C D https://toanmath.com/ A. 3 32 2 cm . 3 V = B. 3 32 13 cm . 3 V = C. 3 32 11 cm . 3 V = D. 3 32 15 cm . 3 V = Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 22 16cm 4cm 2 2 cm. ABCD S AB AB AO = = ⇒= ⇒ = Gọi M là trung điểm của AB . Khi đó . SM AB ⊥ 2 1 . 8 3 cm 4 3 cm. 2 SAB S SM AB SM = = ⇒= 22 2 13 cm. SA SM AM = += 22 2 11cm. SO SA AO = −= 3 1 1 32 11 . .16.2 11 cm . 33 3 ABCD V S SO = = = Câu 50. Cho khối chóp tam giác đều. Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần thì thể tích của khối chóp đó sẽ: A. Giảm đi hai lần. B. Không thay đổi. C. Tăng lên hai lần. D. Giảm đi ba lần. Hướng dẫn giải Chọn B Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần thì diện tích đáy tăng bốn lần. Vì giảm chiều cao đi bốn lần nên thể tích khối chóp không thay đổi. Câu 51. Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích khối chóp đó bằng: A. 3 2 2 a . B. 3 2 6 a . C. 3 3 3 a . D. 3 2 3 a . Hướng dẫn giải: Chọn B M O B D C A S https://toanmath.com/ . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD , khi đó ( ) SO ABCD ⊥ . Ta có: 2 2 a AO = . Suy ra: 22 2 2 a SO SA AO = −= . Khi đó: 3 2 1 12 2 . . . . 3 32 6 ABCD aa V SO S a = = = . Câu 52. Khi chiều cao của một hình chóp đều tăng lên n lần nhưng mỗi cạnh đáy giảm đi n lần thì thể tích của nó. A. Không thay đổi. B. Tăng lên n lần. C. Tăng lên 1 n − lần. D. Giảm đi n lần. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: 1 . . 3 V hS = , với h là chiều cao, S là diện tích đáy 2 0 180 4 tan xa S a =     với x là độ dài cạnh của đa giác đều, a là số đỉnh của đa giác đều. Ycbt 2 1 0 1 11 1 . . . . . . 33 180 4 tan x a n V nh h S V nn a    ⇔= = =     . Câu 53. Cho hình chóp đều . S ABCD có đáy bằng 2a , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng 3 a . Thể tích khối chóp đều . S ABCD bằng. A. 3 3 a . B. 3 43 a . C. 3 3 3 a . D. 3 43 3 a . Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ . Ta có ( ) // // CD AB CD SAB ⇒ . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ; 2; d CD AB d CD SAB d C SAB d O SAB = = = ( ) ( ) 3 ; 2 a d O SAB ⇒= . Gọi I là trung điểm AB SI AB ⇒⊥ (tam giác SAB cân tại S). Dựng OH SI ⊥ (với H SI ∈ ). Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ; 2 OH AB AB SOI a OH SAB d O SAB OH OH SI ⊥⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ==  ⊥   . Tam giác SOI vuông tại O ta có: 2 22 22 2 2 3 .a 1 1 1 . 2 3 3 4 a OH OI SO a OH SO OI OI OH a a = + ⇒= = = − − . Vậy 3 2 1 43 3.4 33 a V a a = = . Câu 54. Thể tích khối bát diện đều cạnh a là: A. 3 2 3 a . B. 3 2 2 a . C. 3 2 6 a . D. 3 2a . Hướng dẫn giải Chọn A O A B C D E F https://toanmath.com/ Vì hình bát diện ABCDEF có các cạnh bằng 2 a EF a ⇒= . Khi đó 23 . 1 22 2 2 2. . . . . 3 32 3 ABCDEF E ABCD ABCD a V V EO S a a = = = = . Câu 55. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3 a và 2 SA SB SC SD a = = = = . Tính thể tích khối chóp . S ABCD ? A. 3 2 2 a . B. 3 3 3 a . C. 3 6 6 a . D. 3 2 6 a . Hướng dẫn giải Chọn A Có: 2 ABCD S AB = ( ) 2 3 a = 2 3a = . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . 1 2 BO BD = 1 . 3. 2 2 a = 6 2 a = . Vì . S ABCD là hình chóp đều nên ( ) SO ABCD ⊥ 22 SO SB BO ⇒= − 2 2 3 2 2 a a = − 2 a = . . 1 . . 3 S ABCD ABCD V SO S = 2 1 . .3 3 2 a a = 3 2 2 a = (đvtt). Câu 56. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có chiều cao bằng h, góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) ABCD bằng α . Tính thể tích của khối chóp . S ABCD theo h và α . A. 3 2 3 8tan h α . B. 3 2 3 4 tan h α . C. 3 2 4 3tan h α . D. 3 2 8 3tan h α . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi O là tâm của đáy. Do . S ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ( ) SO ABCD ⊥ , các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông. Gọi I là trung điểm của AB , ta có SI AB ⊥ suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) ABCD bằng  SIO α = . Ta có: tan tan SO h OI SIO α = = suy ra 2 2 tan h AD OI α = = . Vậy thể tích hình chóp . S ABCD : 2 3 2 1 12 4 . . . 3 3 tan 3tan ABCD hh V SO S h α α  = = =   . https://toanmath.com/ Câu 57. Cho tứ diện đều . Biết khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích của tứ diện . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn A . Gọi cạnh của tứ diện đều ABCD là a . Gọi M là trung điểm cạnh CD và G là trọng tâm tam giác BCD . Ta có 2 2 2 22 2 2 2 2 23 6 36 . 3 3 32 AG BG AB BM a a a a    + = ⇔ + = ⇔ + = ⇒=         . Khi đó 9 3 4 BCD S ∆ = . Thể tích của tứ diện ABCD là 1 1 9 3 9 3 . . .6 3 34 2 BCD V S AG ∆ = = = . Câu 58. Cho hình chóp đều . S ABCD có 2 AC a = , mặt bên ( ) SBC tạo với đáy ( ) ABCD một góc 45°. Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD ? A. 3 2 a V = . B. 3 2 3 a V = . C. 3 2 Va = . D. 3 2 3 3 a V = . Hướng dẫn giải ABCD A ( ) BCD 6 V ABCD 9 3 2 V = 53 V = 27 3 V = 27 3 2 V = 6 a M G D C B A https://toanmath.com/ Chọn B Ta có ABCD là hình vuông nên 2 AC AB = 2 2 AC AB a ⇒= = . Gọi M là trung điểm BC Ta có góc giữa mặt bên ( ) SBC và đáy chính là góc giữa SM và MO hay  45 SMO = ° . Do đó SOM ∆ vuông cân tại O 2 22 AB a SO OM ⇒= = = . Ngoài ra 22 2 ABCD S AB a = = . Vậy 3 2 1 12 2 . . . .2 3 32 3 ABCD ABCD aa V SO S a = = = . Câu 59. Thể tích hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a bằng A. 3 2 3 a B. 3 2 2 a C. 3 6 a D. 3 2 6 a Hướng dẫn giải Chọn D 12 22 AO AC = = ; 22 SO SA AO = − 2 2 2 a a = − 2 2 a = . 1 . . 3 ABCD V SO S = 2 12 .. 32 a a = 3 2 6 a = . Câu 60. Cho hình chóp đều . S ABCD có chiều cao bằng 2 a và độ dài cạnh bên bằng 6 a . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . O A D B C S https://toanmath.com/ A. 3 83 3 a . B. 3 10 3 3 a . C. 3 82 3 a . D. 3 10 2 3 a . Hướng dẫn giải. Chọn C Ta có 22 2 BO SA SO a = −= . Vậy 4 BD a = , suy ra 22 AB a = . Vậy 2 1 1 82 .. 33 3 = = = ABCD a V S SO AB SO Câu 61. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . A. 3 2 6 a . B. 3 23 3 a . C. 3 3 4 a . D. 3 3 2 a . Hướng dẫn giải Chọn A Giả sử cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Diện tích đáy ABCD : 2 ABCD Sa = . 11 2 2 22 2 a AO AC AB = = = ; 2 2 22 2 2 2 2 a a SO SA AO a  = −= − =    . Vậy thể tích khối chóp tứ giác đều là: 3 2 1 1 22 . .. 3 32 6 ABCD aa V S SO a = = = . . Câu 62. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với đáy một góc 45P 0 P. Thể tích V khối chóp . S ABCD là: A. 3 6 a V = . B. 3 9 a V = . C. 3 2 a V = . D. 3 1 24 Va = . Hướng dẫn giải: O C A B D S https://toanmath.com/ Chọn A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ( ), ABCD M là trung điểm của BC .  3 0 . 45 26 S ABCD aa SMH SH HM V = ⇒ = =⇒ = . Câu 63. Tính thể tích V của hình tứ diện đều có đường cao ha = . A. 3 3 12 a V = . B. 3 3 6 a V = . C. 3 3 8 a V = . D. 3 3 4 a V = . Hướng dẫn giải: Chọn C . Gọi x là độ dài một cạnh của tứ diện. Ta có chiều cao. 2 2 23 2 3 6 . 32 3 2 2 xa h x xx h  = − = ⇔= =    . Suy ra diện tích tam giác đáy là. 22 33 3 48 xa S = = . Vậy 23 13 3 3 .. 38 8 aa Va = = . Câu 64. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho? A. 3 47 Va = . B. 3 47 9 a V = . C. 3 4 3 a V = . D. 3 47 3 a V = . Hướng dẫn giải Chọn D Trong mặt phẳng ABCD , gọi O AC BD = ∩ , do hình chóp . S ABCD đều nên ( ) SO ABCD ⊥ . Đáy là hình vuông vạnh 2a 2 2 AC AO a ⇒= = Trong tam giác vuông SAO có 22 7 SO SA AO a = −= x x a https://toanmath.com/ Thể tích V của khối chóp trên là 3 2 1 1 47 . 74 33 3 ABCD a V SO S a a = = = . Câu 65. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. 3 34 . 6 a V = B. 3 2 . 6 a V = C. 3 2 . 2 a V = D. 3 34 . 2 a V = Hướng dẫn giải Chọn A Gọi O là tâm mặt đáy ( ) ABCD của hình chóp tứ giác đều . S ABCD . Ta có ( ) SO ABCD ⊥ SO ⇒ là đường cao của hình chóp. Tam giác SAO vuông tại O có 12 22 a OA AC = = , 3 SA a = 22 34 2 a SO SA OA ⇒= − = . Khi đó thể tích khối chóp tứ giác đều là 3 1 34 . 36 ABCD a V S SO = = . Câu 66. Một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a , các mặt bên tạo với đáy một góc α . Thể tích của khối chóp đó là A. 3 sin 2 a α . B. 3 tan 2 a α . C. 3 cot 6 a α . D. 3 tan 6 a α . Hướng dẫn giải Chọn C Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Gọi M là trung điểm của AB suy ra ( ) OM AB AB SMO SO AB ⊥  ⇒⊥  ⊥  . Khi đó ( ) ( )  ( )   ,, SAB ABCD SM OM SMO α = = = . S A B C D O https://toanmath.com/ Tam giác SMO vuông tại O, có  .tan tan 2 SO a SMO SO MO α = ⇒ = . Thể tích khối chóp S.ABCD là 3 . 1 . . .tan 36 S ABCD ABCD a V SO S α = = . Câu 67.Tính thể tích của khối bát diện đều có cạnh bằng 2. A. 82 3 . B. 16 3 . C. 42 3 . D. 16 2 3 . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi ABCDEF là hình bát diện đều có tâm H (như hình vẽ) có cạnh bằng 2 . Ta có 22 2 22 AC EH AH = = = = . Thể tích của bát diện đều đã cho là . 2 E ABCD VV = 1 2. . . 3 ABCD S EH = 2 1 82 2. .2 . 2 33 = = . Câu 68. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi SH là chiều cao của hình chóp, khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên ( ) SBC bằng b . Tính thể tích V của khối chóp . S ABCD . A. 22 3 16 ab V ab = − . B. 3 22 2 3 16 a b V ab = − . C. 22 16 ab V ab = − . D. 22 2 16 ab V ab = − . Hướng dẫn giải: Chọn B E A B D F C H https://toanmath.com/ . Vì . S ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra H là tâm của hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm BC , K là hình chiếu vuông góc của H lên SM . Ta có: ( ) BC SH BC SHM BC HM ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  . ( ) ( ) SBC SHM ⇒ ⊥ , mà ( ) HK SM HK SBC ⊥⇒ ⊥ . Suy ra 22 HK IJ b = = , ta có. 22 22 22 .2 16 HK HM ab SH HM HK ab = = − − . Vậy 3 22 2 3 16 a b V ab = − . Câu 69. Cho hình chóp đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng o 60 . Tính thể tích của khối chóp . S ABCD theo a . A. 3 6 2 a B. 3 6 6 a C. 3 3 6 a D. 3 6 12 a Hướng dẫn giải Chọn B Gọi O là tâm của mặt đáy ( )  ( ) , SO ABCD ⇒  SBO = 60 = ° . Ta có .3 SO BO = 6 2 a SO ⇒= . Vậy thể tích khối chóp 1 . . 3 ABCD V SO S = 3 6 6 a = . Câu 70. Thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng 3 . A. 22 . B. 42 9 . C. 92 4 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Áp dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều: 3 3 2 92 12 4 V = = . H A D C S B M K I J https://toanmath.com/ Cách 2: Khối tứ diện đều . S ABC có đáy là tam giác đều và đường cao SG . 2 3 9 3 44 ABC AB S ∆ = = , 22 23 3 9 3 6. 3 2 AB AG SG SA AG = = ⇒ = − = −= Vậy . 1 92 .. 34 S ABC ABC V S SG ∆ = = . Câu 71. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy hợp với mặt bên một góc 45 °. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . S ABCD bằng 2 . Tính thể tích khối chóp . S ABCD . A. 32 2 9 . B. 64 2 27 . C. 64 2 81 . D. 128 2 81 . Hướng dẫn giải Chọn C . Đặt AB a = . Gọi O là tâm ABCD , E là trung điểm AB . Khi đó ( ) , 45 SAB ABCD SEO = = °. Suy ra 2 a SO OE = = và 22 3 24 2 aa a SA= += . Mà 2 2 . 3 3 42 4 2 24 3 2. 2 S ABCD a SA a R a a SO = = = = ⇒= . Nên . 1 1 2 2 32 64 2 . 3 3 3 9 81 S ABCD ABCD V SO S = = = . Câu 72. Người ta cắt miếng bìa hình tam giác cạnh bằng 10cm như hình bên và gấp theo các đường kẻ, sau đó dán các mép lại để được hình tứ diện đều. Tính thể tích của khối tứ diện tạo thành. E O B C A D S https://toanmath.com/ A. 3 250 2 . V cm = B. 3 125 2 . 12 V cm = C. 3 1000 2 . 3 V cm = D. 3 250 2 . 12 V cm = Hướng dẫn giải Chọn B Tứ diện đều tạo thành là tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng 5cm . Diện tích đáy là 2 2 3 25 3 44 a S cm = = . Đường cao 2 2 22 25 3 5 6 5 32 3 AH AD DH  = − = −⋅ =    , với H là tâm đáy. Thể tích 1 25 3 5 6 125 2 3 4 3 12 V=⋅ ⋅= . Ghi nh ớ: Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là 3 2 12 a V = Câu 73. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 3a . A. 3 a . B. 3 3 4 a . C. 3 3 a . D. 3 3 12 a . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: 23 . 11 . .3 . 33 S ABCD ABCD V hS aa a = = = Câu 74. Thể tích của khối bát diện đều cạnh a là: A. 3 3 6 a . B. 3 2 3 a . C. 3 2 6 a . D. 3 3 3 a . Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ Khối bát diện đều là khối ghép bởi 2 khối chóp tứ giác S.ABCD đều cạnh a, với O là tâm đáy. 2 3 22 2 . 22 2 2 2. . . 22 3 3 S ABCD ABCD aa a SO SA OA a V V S SO  = − = − = → = = =   . Câu 75. Thể tích của khối tứ diện đều cạnh a là A. 3 6 12 a . B. 3 3 12 a . C. 3 2 12 a . D. 3 2 24 a . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi tứ diện đều cạnh a là ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có: ( ) AG ABC ⊥ . Xét ABG ∆ vuông tại G , ta có: 22 AG AB BG = − 2 2 23 . 32 a a   = −       6 3 a = . Thể tích của khối tứ diện đều là: 1 .. 3 BCD V S AG = 2 1 36 .. 34 3 aa = 3 2 12 a = . Câu 76. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a ,diện tích mỗi mặt bên bằng 2 2a . Thể tích khối nón có đỉnh là S và có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD bằng A. 3 37 4 a π . B. 3 7 4 a π . C. 3 7 3 a π . D. 3 7 6 a π . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 2 2 1 63 . 2 4 ; 16 2 42 SCD aa S a SI a SI a SO a = = ⇒= = − = Khối nón có .3 7 2 ; 22 aa h SO r = = = 23 1 37 7 . 32 2 4 aa a V π π = = Câu 77.Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi , MN lần lượt là trung điểm các cạnh ,. AD BD Lấy điểm không đổi P trên cạnh AB (khác , A B ). Thể tích khối chóp PMNC bằng A. 92 16 B. 83 3 C. 33 D. 27 2 12 Hướng dẫn giải Chọn A a a B C D A G O I A D B C S https://toanmath.com/ Do ( ) AB CMN  nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,A,D, d P CMN d CMN d CMN = = Vậy 1 4 PCMN DPMN MCND ABCD VV V V = = = (Do diện tích đáy và chiều cao đều bằng một nửa). Mặt khác 2 23 2 1 3 2 27 2 . 3 4 12 12 3 ABCD a aa Va  = −= =   nên 1 27 2 9 2 . 4 12 16 MCND V = = Câu 78. Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có chiều cao là h và bán kính mặt cầu nội tiếp là r ( ) 20 hr >> . A. ( ) 22 4 2 rh V hr = + . B. ( ) 22 4 32 rh V hr = − . C. ( ) 22 3 42 rh V hr = − . D. ( ) 22 4 32 rh V hr = + . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong tam giác ' SMM ∆ . Nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ' SMM ∆ . Mặt khác, do . S ABCD là hình chóp tứ giác đều nên I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Xét SMO ∆ có MI là đường phân giác ta có: SM SI MO IO = 22 h x hr x r +− ⇒= (với x MO = ). 2 2 2 hr x hr ⇒= − 2 2 4 2 hr AB hr ⇒= − Vậy thể tích cần tìm là ( ) 22 2 14 .4. 3 32 hr V hx hr = = − . Câu 79. Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi ', ' B C lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Tính thể tích V của khối tứ diện '' AB C D theo a . A. 3 24 a V = . B. 3 2 24 a V = . C. 3 3 48 a V = . D. 3 2 48 a V = . Hướng dẫn giải Chọn D N M B D C A P x I M O C B A D S M’ https://toanmath.com/ Ta có '' 11 . 44 ′′ ′′ = =⇒= AB C D AB C D ABCD ABCD V AB AC VV V AB AC Khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a thì 33 '' 22 12 48 ABCD AB C D aa V V = ⇒= . Câu 80. Thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 2a là. A. 3 3 6 a . B. 3 2 12 a . C. 3 22 a . D. 3 22 3 a . Hướng dẫn giải: Chọn D Giả sử khối tứ diện đều là ABCD như hình bên. Tam giác đều ABC cạnh a có. 2 3 ABC Sa   . 2 2 23 23 3 32 3 aa AO AM   . . Tam giác SAO vuông tại O có. 2 22 2 4 26 4 33 aa SO SA AO a     . Thể tích cần tìm. 3 2 12 6 2 2 . .3 33 3 aa Va  . Câu 81. Cho hình chóp đều . S ABC có đáy cạnh bằng a , góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ) ABC bằng 60° . Gọi A ′, B ′, C ′ tương ứng là các điểm đối xứng của A , B , C qua S . Thể tích của khối bát diện có các mặt , ABC ABC ′′ ′ , A BC ′ , B CA ′ , C AB ′ , AB C ′′, BA C ′′ , CA B ′′ là A. 3 2 3 3 a . B. 3 2 3a . C. 3 3 2 a . D. 3 4 3 3 a . Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp . S ABC : Gọi H là tâm tam giác ABC đều cạnh a 3 3 a CH ⇒ = . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 0 60  23 . 1 13 3 60 .S . . . 3 3 4 12 o S ABC ABC aa SCH SH a V H S a ⇒ = ⇒ =⇒ = = = 3 . ' ' .ACS . 23 2 2.4 8 3 B ACA C B S ABC a V V V V = = = = . Cách 2: Ta có thể tích khối chóp . S ABC là: 3 . 3 12 S ABC a V = . Diện tích tam giác SBC là: 2 39 12 SBC a S ∆ = . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) SBC là: ( ) ( ) 3 , 13 a d A SBC = . Tứ giác '' BCB C là hình chữ nhật vì có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Có 23 23 39 '' 33 3 a aa SB BB B C = ⇒ = ⇒ = . Diện tích '' BCB C là: 2 '' 39 3 BCB C a S = . Thể tích khối 8 mặt cần tìm là: ( ) ( ) 3 '' 1 23 2. , . . 33 BCB C a V d A SBC S = = Cách 3 (Tham khảo Hướng dẫn giải của Ngọc HuyềnLB). Thể tích khối bát diện đã cho là ' ' ' '. . 1 2 2.4 8 8. . 3 A B C BC A SBC S ABC ABC V V V V SG S = = = = . Ta có: ( ) ( )   0 ; 60 . SA ABC SAG = = Xét SGA ∆ vuông tại G :   tan .tan . SG SAG SG AG SAG a AG = ⇔= = Vậy 2 3 1 1 3 2 3 8. . 8. . . . 3 3 4 3 ABC aa V SG S a = = = H B' A' C' C A B S https://toanmath.com/ Câu 82. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC , cạnh đáy bằng a . Mặt bên tạo với mặt đáy một góc o 60 . Tính thể tích V của hình chóp . S ABC . A. 3 3 2 a V = . B. 3 3 12 a V = . C. 3 3 24 a V = . D. 3 3 6 a V = . Hướng dẫn giải Chọn C . Gọi các điểm như hình vẽ. Theo đề suy ra  0 60 SIA = . Ta có 33 2 62 aa a AI HI SH = ⇒= ⇒ = . Vậy 3 3 24 a V = . Câu 83. Cho khối chóp đều . S ABC cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích khối chóp đó ? A. 3 26 12 a V = . B. 3 11 6 a V = . C. 3 3 4 a V = . D. 3 11 12 a V = . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . 1 . 3 ABC V SG S ∆ = (do khối chóp . S ABC đều). Ta có 23 3 . 32 3 aa AG = = 22 26 3 a SG SA AG ⇒= − = ; 2 3 4 ABC a S ∆ = ; H A B C S I a a a 3a 3a 3a H N M A C B S https://toanmath.com/ Suy ra 23 1 26 3 26 .. 3 4 12 3 aa a V = = (đvtt). Câu 84.Cắt một miếng giấy hình vuông như hình bên và xếp thành hình một hình chóp tứ giác đều. Biết các cạnh hình vuông bằng 20cm , ( ) OM x cm = . Tìm x để hình chóp đều ấy có thể tích lớn nhất A. 8 x cm = . B. 6 x cm = . C. 7 x cm = . D. 9 x cm = . Hướng dẫn giải Chọn A Giả sử được hình chóp tứ giác đều như hình vẽ Ta có OM x = 2 x OH HM ⇒ = = 10 2 2 x SH ⇒ = − nên ( ) 22 22 10 2 20 10 22 xx SO SH OH x    = −= − − = −       . Suy ra cạnh đáy bằng 2 x . Thể tích 1 .. 3 MNPQ V S SO = ( ) 2 1 .2 . 20 10 3 xx = − 2 20 . . 40 4 3 xx = − , (với 0 10 x ≤≤ ). Tìm GTLN của V ta được max 90,51 V = khi 8 x = * Cách 1 – tìm GTLN: Áp dụng BĐT Cauchuy cho 4 số không âm, ta có: 4 40 4 40 4 .... 4 xxxxx xxxxx − ++++   −≤     2 4 40 4 . 10 xx ⇔− ≤ 24 20 20 . 40 4 .10 33 x x ⇔ −≤ . Dấu bằng xảy ra khi 40 4 8 xx x − = ⇔= . * Cách 2 – tìm GTLN: Có thể sử dụng máy tính – phần bảng (mode 7) để tìm GTLN cho nhanh: x H O N Q M P S https://toanmath.com/ Câu 85. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên ( ) SCD bằng 3 6 a . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên ( ) SCD và thể tích của khối chóp . S ABCD . A. ( ) ( ) , 3 2 O SCD a d = và 3 . 3 6 S ABCD a V = . B. ( ) ( ) , 3 4 O SCD a d = và 3 . 3 6 S ABCD a V = . C. ( ) ( ) , 3 4 O SCD a d = và 3 . 3 2 S ABCD a V = . D. ( ) ( ) , 3 2 O SCD a d = và 3 . 3 2 S ABCD a V = . Hướng dẫn giải Chọn B . Gọi I là trung điểm của CD . ( ) ( ) ( ) OI CD SOI CD SOI SCD ⇒ ⊥⇒ ⊥⇒ ⊥ . Kẻ ( ) ( ) ,GH SI , OK OK SCD GH SCD ⊥⇒ ⊥ ⊥ . ( ) ( ) 0, SCD d OK ⇒= , mà 33 24 a OK GH OK = ⇒= . 22 22 .3 2 OI OK a SO OI OK = = − . Vậy 3 . 3 6 S ABCD a V = .