Bài tập thể tích khối lăng trụ xiên (có đáp án và lời giải chi tiết)

https://toanmath.com/ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN Câu 1. Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt phẳng ( ) BCC B ′′ vuông góc với đáy và  30 B BC ′ = °. Thể tích khối chóp . ACC B ′′ là: A. 3 3 6 a . B. 3 3 12 a . C. 3 3 18 a . D. 3 3 2 a . Câu 2. Cho lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có đáy ABCD là hình chữ nhật với 6 AB = , 3 AD = , 3 AC ′ = và mặt phẳng ( ) AA C C ′′ vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng ( ) AA C C ′′ , ( ) AABB ′′ tạo với nhau góc α thỏa mãn 3 tan 4 α = . Thể tích khối lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ bằng? A. 6 V = . B. 8 V = . C. 12 V = . D. 10 V = . Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là điểm trên cạnh SD sao cho 53 SH SD = , mặt phẳng ( ) α qua B, H và song song với đường thẳng AC cắt hai cạnh SA, SC lần lượt tại E, F. Tính tỉ số thể tích . . . C BEHF S ABCD V V A. 1 . 7 B. 3 . 20 C. 6 . 35 D. 1 . 6 Câu 4. Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt phẳng ( ) BCC B ′′ vuông góc với đáy và  30 B BC ′ = °. Thể tích khối chóp . ACC B ′′ là: A. 3 3 2 a . B. 3 3 12 a . C. 3 3 18 a . D. 3 3 6 a . Câu 5. Cho hình lăng trụ . ′′ ′ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A . cạnh 2 = BC a và  60 = ° ABC . Biết tứ giác ′′ BCC B là hình thoi có  ′ B BC nhọn. Biết ( ) ′′ BCC B vuông góc với ( ) ABC và ( ) ′′ ABB A tạo với ( ) ABC góc 45°. Thể tích của khối lăng trụ . ′′ ′ ABC A B C bằng A. 3 37 a . B. 3 7 a . C. 3 3 7 a . D. 3 6 7 a . Câu 6. Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,  30 ABC = °. Điểm M là trung điểm cạnh AB , tam giác MA C ′ đều cạnh 23 a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ là A. 3 72 2 7 a . B. 3 24 3 7 a . C. 3 72 3 7 a . D. 3 24 2 7 a . Câu 7. Cho hình lăng trụ tứ giác . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và thể tích bằng 3 3a . Tính chiều cao h của lăng trụ đã cho. A. 9 h a = . B. 3 a h = . C. ha = . D. 3 ha = . Câu 8. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là A. 2 V Bh = . B. V Bh = . C. 1 3 V Bh = . D. V Bh π = . Câu 9.Cho hình lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Các cạnh bên tạo với đáy một góc o 60 . Đỉnh A ′ cách đều các đỉnh ,, , A BC D . Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị thể tích của hình lăng trụ nói trên? https://toanmath.com/ A. 3 6 9 a . B. 3 3 2 a . C. 3 6 2 a . D. 3 6 3 a . Câu 10.Tính thể tích V của khối lăng trụ có diện tích mặt đáy bằng 2 3 3 cm và chiều cao bằng 6 cm . A. ( ) 3 9 2 cm V = . B. ( ) 3 12 2 cm V = . C. ( ) 3 92 cm 2 V = . D. ( ) 3 3 2 cm V = . Câu 11.Cho lăng trụ đều . ABC A B C ′′ ′ có 3cm AB ′ = và đường thẳng AB ′ vuông góc với đường thẳng BC ′ . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ bằng A. 3 27 6 cm 16 . B. 3 2 3cm . C. 3 76 cm 4 . D. 3 9 cm 2 . Câu 12. Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A  lên mặt phẳng   ABC trùng với trung điểm cạnh BC . Góc giữa BB  và mặt phẳng   ABC bằng 60  . Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    . A. 3 3 8 a . B. 3 23 8 a . C. 3 3 4 a . D. 3 33 8 a . Câu 13. Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , biết A A A B A C a ′′ ′ = = = . Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ ? A. 3 3 4 a . B. 3 2 4 a . C. 3 3 4 a . D. 3 4 a . Câu 14. Cho hình hộp . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có diện tích tứ giác ABCD bằng 12, khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ) ABCD và ( ) ABC D ′′ ′ ′ bằng 2 . Tính thể tích V của khối hộp. A. 12 V = . B. 8 V = . C. 24 V = . D. 72 V = . Câu 15. Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C ′′ ′ có đáy ABC là tam giác đ ều cạnh 22 AB a = . Biết 8 AC a ′ = và tạo với mặt đáy một góc 45°. Thể tích khối đa diện ABCC B ′′ bằng A. 3 16 6 3 a . B. 3 86 3 a . C. 3 16 3 3 a . D. 3 83 3 a . Câu 16. Cho khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′. Gọi E là trọng tâm tam giác ABC ′′ ′ và F là trung điểm BC . Tính tỉ số thể tích giữa khối . B EAF ′ và khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′. A. 1 8 . B. 1 5 . C. 1 6 . D. 1 4 . Câu 17. Cho hình lăng trụ tam giác . ′′ ′ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu của ′ A trên mặt phẳng ( ) ABC là trung điểm cạnh BC . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( ) ′ ABA và ( ) ABC bằng 45 °. Tính thể tích V của khối chóp . ′′ A BCC B . A. 3 3 2 a . B. 3 = Va . C. 3 3 a . D. 3 2 3 3 a . Câu 18. Cho khối lăng trụ có thể tích , V diện tích đáy là B và chiều cao . h Tìm khẳng định đúng? A. 3 V Bh = . B. 1 3 V Bh = . C. V Bh = . D. V Bh = . Câu 19. Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại , B  60 , ACB =  , BC a = 2 AA a ′ = . Cạnh bên tạo với mặt phẳng ( ) ABC một góc 30  . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ bằng A. 3 3 6 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 2 a . D. 3 3 a . Câu 20.Cho ( ) H là khối lăng trụ có chiều cao bằng 3, a đáy là hình vuông cạnh . a Thể tích của ( ) H bằng. A. 3 4a . B. 3 2a . C. 3 3a . D. 3 a . https://toanmath.com/ Câu 21.Cho hình lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có đáy là hình thoi cạnh bằng a và  120 ABC = °. Góc giữa cạnh bên AA ′ và mặt đáy bằng 60 ° , điểm ' A cách đều các điểm A , B , D . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a . A. 3 3 6 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 2 a . D. 3 3 12 a . Câu 22. Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm ' A lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng ' AA và BC bằng 3 4 a . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là A. 3 3 3 a . B. 3 3 6 a . C. 3 3 24 a . D. 3 3 12 a . Câu 23. Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ′ và BC bằng 3 4 a . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′. A. 3 3 12 a V = . B. 3 3 3 a V = . C. 3 3 24 a V = . D. 3 3 6 a V = . Câu 24. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng , , a bc . Thể tích của khối hộp đó là A. . V abc = B. . V abc = ++ C. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 8 b c a c a b a b c V +− + − + − = D. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 8 b c a c a b a b c V +− + − + − = Câu 25. Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ′ và BC bằng 3 4 a . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là A. 3 3 24 a . B. 3 3 12 a . C. 3 3 36 a . D. 3 3 6 a . Câu 26. Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ , đáy ABC là tam giác đều cạnh x . Hình chiếu của đỉnh A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với tâm ABC ∆ , cạnh 2 AA x ′ = . Khi đó thể tích khối lăng trụ là: A. 3 11 12 x . B. 3 39 8 x . C. 3 3 2 x . D. 3 11 4 x . Câu 27. Cho hình hộp . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có đáy là hình chữ nhật với 3, 7 AB AD = = và cạnh bên bằng 1 . Hai mặt bên ( ) ABB A ′′ và ( ) ADD A ′′ lần lượt tạo với đáy các góc 45° và 60° . Thể tích khối hộp bằng A. 33 B. 77 C. 7 D. 3 Câu 28. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là A. 1 6 V Bh = . B. 1 3 V Bh = . C. 1 2 V Bh = . D. V Bh = . https://toanmath.com/ Câu 29. Cho lăng trụ 11 1 . ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại C , cạnh 5 AC a = . Hình chiếu vuông góc của 1 A lên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AC , góc giữa mặt phẳng ( ) 11 AA B B với ( ) 11 AAC C bằng o 30 , cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc o 60 . Tính thể tích V của lăng trụ 11 1 . ABC A B C ? A. 3 3. 8 a V = . B. 3 24 a V = . C. 3 8 a V = . D. 3 3. 24 a V = . Câu 30.Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 ° . Tính thể tích khối lăng trụ. A. 3 9 4 Va = . B. 3 3 4 Va = . C. 3 3 2 Va = . D. 3 27 8 V a = . Câu 31. Khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là một tam giác đều cạnh , a góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 ° Hình chiếu của đỉnh A ′ trên mặt phẳng đáy ( ) ABC trùng với trung điểm của cạnh . BC Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho. A. 3 3 4 a . B. 3 3 12 a . C. 3 3 8 a . D. 3 3 3 a . Câu 32. Cho lăng trụ tam giác . ′′ ′ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh 22 = AC . Biết ′ AC tạo với mặt phẳng ( ) ABC một góc 60° và 4 ′ = AC . Tính thể tích V của khối đa diện ′′ ABCB C . A. 16 3 3 = V . B. 16 3 = V . C. 83 3 = V . D. 8 3 = V . Câu 33. Cho hình lăng trụ .A B C ABC ′′ ′ có thể tích bằng 30 . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của , AA ′ , BB ′ CC ′ . Tính thể tích V của tứ diện CIJK . A. 15 2 V = . B. 12 V = . C. 6 V = . D. 5 V = . Câu 34. Khối lăng trụ . ′′ ′ ABC A B C có đáy là tam giác đều, a là độ dài cạnh đáy. Góc giữa cạnh bên và đáy là 30 ° . Hình chiếu vuông góc của ′ A trên mặt ( ) ABC trùng với trung điểm của BC . Thể tích của khối lăng trụ đã cho là A. 3 3 8 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 4 a . D. 3 3 12 a . Câu 35. Cho lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và  120 ABC = °. Góc giữa cạnh bên AA ′ và mặt đáy bằng 60° . Đỉnh A ′ cách đều các điểm A , B , D . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 3 2 a V = . B. 3 3 6 a V = . C. 3 3 2 a V = . D. 3 3 Va = . Câu 36. Cho hình hộp . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có đáy là hình chữ nhật với 3, 7 AB AD = = và cạnh bên bằng 1 . Hai mặt bên ( ) ABB A ′′ và ( ) ADD A ′′ lần lượt tạo với đáy các góc 45° và 60° . Thể tích khối hộp bằng A. 33 B. 77 C. 7 D. 3 Câu 37. Cho hình lăng trụ ABCABC ′ ′′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ′ và BC bằng 3 4 a . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABCABC ′ ′′ https://toanmath.com/ A. 3 3 . 6 a V = B. 3 3 . 24 a V = C. 3 3 . 12 a V = D. 3 3 . 3 a V = Câu 38. Cho khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên AA a ′ = , góc giữa AA ′ và mặt phẳng đáy bằng 30 ° . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a . A. 3 3 8 a . B. 3 3 24 a . C. 3 3 4 a . D. 3 3 12 a . Câu 39. Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường AA ′ và BC bằng 3 4 a . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ . A. 3 3 24 a V = . B. 3 3 12 a V = . C. 3 3 3 a V = . D. 3 3 6 a V = . Câu 46. Cho hình lăng trụ .' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh 3a , hình chiếu của ' A trên mặt phẳng ( ) ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Cạnh ' AA hợp với mặt phẳng đáy một góc 45 °. Thể tích của khối lăng trụ .' ' ' ABC A B C tính theo a bằng. A. 3 9 4 a . B. 3 27 4 a . C. 3 3 4 a . D. 3 27 6 a . Câu 47. Khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a , đường cao bằng 3 a có thể tích bằng A. 3 3 6 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 a . D. 3 23 a . Câu 48. Cho lăng trụ 11 1 ABCA B C có diện tích mặt bên 11 ABB A bằng 4 ; khoảng cách giữa cạnh 1 CC và mặt phẳng ( ) 11 ABB A bằng 7. Tính thể tích khối lăng trụ 11 1 ABCA B C . A. 14 B. 28 3 C. 14 3 D. 28 Câu 49. Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C ′′ ′. Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh AA ′ , BB ′ ,CC ′ sao cho 1 2 AM AA = ′ , 2 3 BN BB = ′ và mặt phẳng ( ) MNP chia lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau. Khi đó tỉ số CP CC ′ là A. 1 4 . B. 5 12 . C. 1 3 . D. 1 2 . Câu 50. Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , 3 2 a AA ′ = . Biết rằng hình chiếu vuông góc của A ′ lên ( ) ABC là trung điểm BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó. A. 3 Va = . B. 3 2 3 a V = . C. 3 3 42 a V = . D. 3 3 2 Va = . Câu 51. Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A ′ trên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Góc giữa cạnh bên của lăng trụ và mặt phẳng đáy bằng o 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a . A. 3 3 4 a B. 3 4 a C. 3 24 a D. 3 8 a Câu 52. Cho hình lăng trụ . ′′ ′ ABC A B C có đáy là tam giác vuông cân ở C . Cạnh ′ = BB a và tạo với đáy một góc bằng 60° . Hình chiếu vuông góc hạ từ ′ B lên đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Thể tích khối lăng trụ . ′′ ′ ABC A B C là: https://toanmath.com/ A. 3 9 3 80 a . B. 3 9 80 a . C. 3 33 80 a . D. 3 3 80 a . Câu 53. Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ′ và BC bằng 3 4 a . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là A. 3 3 6 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 24 a . D. 3 3 12 a . Câu 54.Cho hình hộp . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có  60 , 7, 3, BCD AC a BD a AB AD =°= = > ,đường chéo BD ′ hợp với mặt phẳng ( ) ADD A ′′ góc 30 ° . Tính thể tích V của khối hộp . ABCD A B C D ′′ ′ ′ . A. 3 39 . 3 a B. 3 2 3 . a C. 3 33 . a D. 3 39 . a Câu 55. Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ′ và BC bằng 3 4 a . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′. A. 3 3 12 a V = . B. 3 3 3 a V = . C. 3 3 24 a V = . D. 3 3 6 a V = . Câu 56. Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh . a Hình chiếu vuông góc của mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm của tam giác . ABC Biết thể tích của khối lăng trụ là 3 3 4 a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB ′ và BC là: A. 2 3 a . B. 4 3 a . C. 3 4 a . D. 3 2 a . Câu 57. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14 ,15 cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 ° và có chiều dài bằng 8 . Khi đó thể tích khối lăng trụ là. A. 340. B. 336 . C. 274 3 . D. 124 3 . Câu 58. Cho lăng trụ tam giác .' ' ' ABC A B C có đáy ABC là đều cạnh 22 AB a = . Biết '8 AC a = và tạo với mặt đáy một góc 0 45 . Thể tích khối đa diện '' ABCC B bằng A. 3 83 . 3 a B. 3 86 . 3 a C. 3 16 3 . 3 a D. 3 16 6 . 3 a Câu 59. Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a , AA b ′ = và AA ′ tạo với mặt đáy một góc 60° . Tính thể tích khối lăng trụ. A. 2 3 4 ab . B. 2 3 8 ab . C. 2 3 8 ab . D. 2 1 8 ab . Câu 60. Cho khối lăng trụ tam giác .' ' ' ABC A B C có thể tích bằng 30 (đơn vị thể tích). Thể tích của khối tứ diện AB C C ′′ là: A. 5 (đơn vị thể tích). B. 10 (đơn vị thể tích). C. 12,5 (đơn vị thể tích). D. 7,5 (đơn vị thể tích). Câu 61.Cho lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ với đáy ABCD là hình thoi, 2 AC a = ,  0 120 BAD = . Hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng ( ) ABC D ′′ ′ ′ là trung điểm cạnh AB ′′ , góc giữa mặt phẳng ( ) AC D ′′ và mặt đáy lăng trụ bằng o 60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ . A. 3 3 Va = . B. 3 6 3 Va = . C. 3 2 3 V a = . D. 3 33 Va = . https://toanmath.com/ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN Câu 1.Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt phẳng ( ) BCC B ′′ vuông góc với đáy và  30 B BC ′ = °. Thể tích khối chóp . ACC B ′′ là: A. 3 3 6 a . B. 3 3 12 a . C. 3 3 18 a . D. 3 3 2 a . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi H là hình chiếu của B ′ trên BC . Từ giả thiết suy ra: ( ) B H ABC ′ ⊥ .  1 . .sin 2 BB C S BB BC B BC ′ ′′ = 1 4 . .sin 30 2 aa = ° 2 a = . Mặt khác: 1 . 2 BB C S B H BC ′ ′ = 2 BB C S BH BC ′ ′ ⇒= 2 2 2 a a a = = . . LT ABC V BH S ′ = 2 3 2. 4 a a = 3 3 2 a = . .. 1 2 A CC B A CC B B V V ′′ ′′ = 1 2 1 . 23 3 LT LT VV = = 3 13 . 32 a = 3 3 6 a = . Câu 2. Cho lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có đáy ABCD là hình chữ nhật với 6 AB = , 3 AD = , 3 AC ′ = và mặt phẳng ( ) AA C C ′′ vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng ( ) AA C C ′′ , ( ) AABB ′′ tạo với nhau góc α thỏa mãn 3 tan 4 α = . Thể tích khối lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ bằng? A. 6 V = . B. 8 V = . C. 12 V = . D. 10 V = . 1 6 THướng dẫn giải 1 6 TChọn B 1 6 TTừ 1 6 T B 1 6 T kẻ 1 6 T BI AC ⊥ ( ) BI AA C C ′′ ⇒⊥ 1 6 T. M C' B' D' C D A B A' I H K https://toanmath.com/ Từ I kẻ IH AA ′ ⊥ ( ) ( ) ( )   , B AAC C A BB I A H ′′ ′ = ′ ⇒ . Theo giải thiết ta có 3 AC = . AB BC BI AC ⇒= 2 = . Xét tam giác vuông BIH có  tan BI BHI IH =  tan BI IH BHI ⇔= 42 3 IH ⇔= . Xét tam giác vuông ABC có 2 . AI AC AB = 2 2 AB AI AC ⇒= = . Gọi M là trung điểm cả AA ′ , do tam giác AA C ′ cân tại C nên CM AA ′ ⊥ // CM IH ⇒ . Do 2 3 AI AH AC AM = = 2 3 AH AM ⇒= 1 3 AH AA ⇒= ′ . Trong tam giác vuông AHI kẻ đường cao HK ta có 42 9 HK = ⇒ chiều cao của lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ là 3 h HK = 42 3 = . Vậy thể tích khối lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ là . .. ABCD A B C D V AB AD h ′′ ′ ′ = 42 63 3 = 8 = . Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là điểm trên cạnh SD sao cho 53 SH SD = , mặt phẳng ( ) α qua B, H và song song với đường thẳng AC cắt hai cạnh SA, SC lần lượt tại E, F. Tính tỉ số thể tích . . . C BEHF S ABCD V V A. 1 . 7 B. 3 . 20 C. 6 . 35 D. 1 . 6 Hướng dẫn giải Chọn B - Đặt . S ABCD VV = - Trong tam giác SOD ta có: 3 . . 1 3 . 4 IS BO HD IS SI SE SF IO BD HS IO SO SA SC =⇒=⇒ == = - Ta có: . . . 3 3 . 5 10 S HBC S HBC S DBC V SH V V V SD ==⇒= - Mặt khác: . . . 13 . 4 40 C FHB C FHB C SHB V CF V V V CS ==⇒= https://toanmath.com/ - Mà: . .. . 63 2. 40 20 C BEHF C BEHF C FHB S ABCD V V VV V = =⇒= Câu 4. Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Độ dài cạnh bên bằng 4a . Mặt phẳng ( ) BCC B ′′ vuông góc với đáy và  30 B BC ′ = °. Thể tích khối chóp . ACC B ′′ là: A. 3 3 2 a . B. 3 3 12 a . C. 3 3 18 a . D. 3 3 6 a . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi H là hình chiếu của B ′ trên BC . Từ giả thiết suy ra: ( ) B H ABC ′ ⊥ .  1 . .sin 2 BB C S BB BC B BC ′ ′′ = 1 4 . .sin 30 2 aa = ° 2 a = . Mặt khác: 1 . 2 BB C S B H BC ′ ′ = 2 BB C S BH BC ′ ′ ⇒= 2 2 2 a a a = = . . LT ABC V BH S ′ = 2 3 2. 4 a a = 3 3 2 a = . .. 1 2 A CC B A CC B B V V ′′ ′′ = 1 2 1 . 23 3 LT LT VV = = 3 13 . 32 a = 3 3 6 a = . Câu 5. Cho hình lăng trụ . ′′ ′ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A . cạnh 2 = BC a và  60 = ° ABC . Biết tứ giác ′′ BCC B là hình thoi có  ′ B BC nhọn. Biết ( ) ′′ BCC B vuông góc với ( ) ABC và ( ) ′′ ABB A tạo với ( ) ABC góc 45°. Thể tích của khối lăng trụ . ′′ ′ ABC A B C bằng A. 3 37 a . B. 3 7 a . C. 3 3 7 a . D. 3 6 7 a . Hướng dẫn giải Chọn C a C' A' B' C B A H 4a https://toanmath.com/ Do ABC là tam giác vuông tại , A cạnh 2 = BC a và  60 = ° ABC nên = AB a , 3 = AC a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của ′ B lên BC ⇒ H thuộc đoạn BC (do  ′ B BC nhọn) ( ) ′ ⇒⊥ B H ABC (do ( ) ′′ BCC B vuông góc với ( ) ABC ). Kẻ HK song song AC ( ) ∈ K AB ⇒⊥ HK AB (do ABC là tam giác vuông tại A ). ( ) ( )   , 45 (1)   ′′ ′ ′ ⇒ = = °⇒ =   ABB A ABC B KH B H KH Ta có ′ ∆BB H vuông tại H 22 4 (2) ′ ⇒ = − BH a B H Mặt khác HK song song AC⇒= BH HK BC AC .2 (3) 3 ⇒ = HK a BH a Từ (1), (2) và (3) suy ra 22 .2 4 3 ′ ′ −= BH a a BH a 12 7 ′ ⇒= BH a . Vậy 3 .' ' 13 . .. 2 7 ′ ′′ = = = ABC A B C ABC a V S B H AB AC B H . Câu 6. Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,  30 ABC = °. Điểm M là trung điểm cạnh AB , tam giác MA C ′ đều cạnh 23 a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ là A. 3 72 2 7 a . B. 3 24 3 7 a . C. 3 72 3 7 a . D. 3 24 2 7 a . Hướng dẫn giải Chọn A 60 ° 2a 2a K H C' B' A' C B A https://toanmath.com/ Gọi H là trung điểm của MC . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A H MC A MC ABC A H ABC A MC ABC MC  ′ ⊥  ′′ ⊥ ⇒⊥   ′ ∩=  . Tam giác MA C ′ đều cạnh 23 a 23 3 MC a AH a  =  ⇒  ′ =   Đặt 0 AC x = > , tam giác ABC vuông tại A có  30 ABC = ° 2 3 BC x AB x =   ⇒  =   Áp dụng công thức tính độ dài trung tuyến ta có 2 2 2 22 2 22 4 3 43 12 2 4 24 7 CA CB AB x x x a CM a x ++ = − ⇔ = − ⇔= . Suy ra 2 1 1 12 4 3 24 3 . .. 22 7 77 ABC aa a S AB AC = = = . Do đó 3 . 72 3 . 7 ABC A B C ABC a V AH S ′′ ′ ′ = = . Câu 7. Cho hình lăng trụ tứ giác . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và thể tích bằng 3 3a . Tính chiều cao h của lăng trụ đã cho. A. 9 h a = . B. 3 a h = . C. ha = . D. 3 ha = . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: . . ABCD A B C D ABCD V Sh ′′ ′ ′ = . ABCD A B C D ABCD V h S ′′ ′ ′ ⇔= 3 2 3a a = 3a = . Câu 8. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là A. 2 V Bh = . B. V Bh = . C. 1 3 V Bh = . D. V Bh π = . H C' B' A' C B M A https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn B Thể tích khối lăng trụ: . V B h = . Câu 9.Cho hình lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Các cạnh bên tạo với đáy một góc o 60 . Đỉnh A ′ cách đều các đỉnh ,, , A BC D . Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị thể tích của hình lăng trụ nói trên? A. 3 6 9 a . B. 3 3 2 a . C. 3 6 2 a . D. 3 6 3 a . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi O là tâm hình vuông ABCD .Từ giả thiết A ′ cách đều các đỉnh A , B , C ta suy ra hình chiếu của A ′ trên mặt phẳng ABCD là O hay A O ′ là đường cao của khối lăng trụ. Trong tam giác A OA ′ vuông tại A và  60 A OA ′ =  , ta có: 6 .tan 60 . 3 2 2 aa A O OA ′ = = =  . Diện tích đáy ABCD là 2 ACDD Sa = . Thể tích của khối lăng trụ là 3 6 .. 2 ABCD a V B h S A O ′ = = = . Vậy 3 6 2 a V = . . Câu 10.Tính thể tích V của khối lăng trụ có diện tích mặt đáy bằng 2 3 3 cm và chiều cao bằng 6 cm . A. ( ) 3 9 2 cm V = . B. ( ) 3 12 2 cm V = . C. ( ) 3 92 cm 2 V = . D. ( ) 3 3 2 cm V = . Hướng dẫn giải ChọnA Thể tích khối lăng trụ: ( ) 3 . 33.6 9 2 cm V Sh = = = . Câu 11.Cho lăng trụ đều . ABC A B C ′′ ′ có 3cm AB ′ = và đường thẳng AB ′ vuông góc với đường thẳng BC ′ . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ bằng A. 3 27 6 cm 16 . B. 3 2 3cm . C. 3 76 cm 4 . D. 3 9 cm 2 . Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ Gọi M là trung điểm của BC . Suy ra ( ) AM BCC B ′′ ⊥ AM BC ′ ⇒⊥ . Mà BC AB B M BC ′ ′′ ′ ⊥⇒ ⊥ . Đặt AB a = , AA b ′ = . Ta có   tan cot B BC BB M ′′ ′ = 2 2 ab a b ba ⇒ = ⇒= . Mà 22 33 AB AB AA ′′ =⇒ += 2 2 36 2 a aa ⇒ + = ⇒= . Thể tích khối lăng trụ là 2 3 3 9 . 3. 6 . cm 42 ABC V AA S ′ = = = . Câu 12. Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A  lên mặt phẳng   ABC trùng với trung điểm cạnh BC . Góc giữa BB  và mặt phẳng   ABC bằng 60  . Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C    . A. 3 3 8 a . B. 3 23 8 a . C. 3 3 4 a . D. 3 33 8 a . Hướng dẫn giải Chọn D . Gọi H là trung điểm cạnh BC . Theo đề ra:   A H ABC   . 33 2 2 AB a AH .   2 2 33 44 ABC AB vdt a S đ   . Ta có:                  ', ' ' 60 ', ', 60 AA ABC A AH A AH AA ABC BB ABC               . N M C' B' A C B A' 60° C' B' A' H C B A https://toanmath.com/ Xét A AH   vuông tại H : 3 .tan 60 2 A H AH a     . Vậy   3 . 33 . 8 ABC ABC A B C a V AH S đv t t       . Câu 13. Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , biết A A A B A C a ′′ ′ = = = . Tính thể tích khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ ? A. 3 3 4 a . B. 3 2 4 a . C. 3 3 4 a . D. 3 4 a . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi H là trọng tâm tam giác ABC . Theo giả thiết ta có ABC là tam giác đều cạnh bằng a và A A A B AC a ′′ ′ = = = nên . A ABC ′ là tứ diện đều cạnh a ⇒ ( ) A H ABC ′ ⊥ hay A H ′ là đường cao của khối chóp . A ABC ′ . Xét tam giác vuông A HA ′ ta có 22 A H A A AH ′′ = − 6 3 a = . Diện tích tam giác ABC là 1 . .sin 60 2 ABC S aa = ° 2 3 4 a = . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ là 2 . 36 43 ABC A B C aa V ′′ ′ = 3 2 4 a = . Câu 14. Cho hình hộp . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có diện tích tứ giác ABCD bằng 12, khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ) ABCD và ( ) ABC D ′′ ′ ′ bằng 2 . Tính thể tích V của khối hộp. A. 12 V = . B. 8 V = . C. 24 V = . D. 72 V = . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ., ABCD V S d A ABCD ′ = ( ) ( ) ( ) ., ABCD S d A B C D ABCD ′′ ′ ′ = 12.2 24 = = . Câu 15. Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C ′′ ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 22 AB a = . Biết 8 AC a ′ = và tạo với mặt đáy một góc 45°. Thể tích khối đa diện ABCC B ′′ bằng A. 3 16 6 3 a . B. 3 86 3 a . C. 3 16 3 3 a . D. 3 83 3 a . Hướng dẫn giải Chọn A B' A C B A' H https://toanmath.com/ Ta có .. ABC A B C A A B C ABCC B V VV ′′ ′ ′′ ′ ′ ′ = + .. ABCC B ABC A B C A A B C VV V ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ⇔= − . Mặt khác .. 1 3 A A B C ABC A B C VV ′′ ′ ′′ ′ = nên .. ABCC B ABC A B C A A B C VV V ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ⇔= − . 2 A A B C V ′′ ′ = . Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng ( ) ABC ′′ ′ khi đó góc giữa AC ′ và mặt phẳng đáy ( ) ABC ′′ ′ là góc  45 AC H ′ = ° . Xét tam giác vuông AHC ′ có 8 AC a ′ = và  45 AC H ′ = ° nên 42 AH a = . Thể tích khối chóp . A ABC ′′ ′ là . 1 . 3 A A B C A B C V S AH ′′ ′ ′′ ′ = ( ) 2 11 .22 .sin 60 .4 2 32 a a = ° 3 86 3 a = Vậy thể tích khối đa diện ABCC B ′′ là . 2 ABCC B A A B C V V ′′ ′ ′ ′ ⇔= 3 16 6 3 a = . Câu 16. Cho khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ . Gọi E là trọng tâm tam giác ABC ′′ ′ và F là trung điểm BC . Tính tỉ số thể tích giữa khối . B EAF ′ và khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ . A. 1 8 . B. 1 5 . C. 1 6 . D. 1 4 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có C' B' A C B A' H E M F A A' C C' B B' https://toanmath.com/ M là trung điểm của BC ′′ khi đó 1 2 EAF AA MF S S ′ = và ( ) ( ) ( ) ( ) ,, d B AA MF d B AEF ′′ ′ = . Vì . . . B AA MF ABF A B M B ABF VV V ′ ′ ′′ ′ = − .. 1 3 ABF A B M ABF A B M V V ′′ ′′ = − . 2 3 ABF A B M V ′′ = Suy ra . 1 2 B EAF B AA MF VV ′ ′′ = . 1 2 .. 23 ABF A B M V ′′ = . 11 .. 32 ABC A B C V ′′ ′ = . 1 . 6 ABC A B C V ′′ ′ = . Câu 17. Cho hình lăng trụ tam giác . ′′ ′ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu của ′ A trên mặt phẳng ( ) ABC là trung điểm cạnh BC . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( ) ′ ABA và ( ) ABC bằng 45 °. Tính thể tích V của khối chóp . ′′ A BCC B . A. 3 3 2 a . B. 3 = Va . C. 3 3 a . D. 3 2 3 3 a . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có : . .. ′′ ′ ′′ ′ ′ ′ = + ABC A B C A A B C A BCC B V VV .. ′ ′ ′′ = + A ABC A BCC B VV . Mà .. ′ ′′ ′′ = A BCC B A BCC B VV .. ′′ ′ ′ ⇒= A A B C A ABC V V . Gọi M là trung điểm của BC , I là trung điểm của AB và K là trung điểm của IB . Khi đó : ( ) ′ ⊥ A M ABC . Mặt khác : //  ⇒ ⊥  ⊥  MK CI MK AB CI AB . ⊥ MK AB , ′ ⊥ A M AB ′ ⇒⊥ A K AB . Góc giữa hai mặt phẳng ( ) ′ ABA và ( ) ABC chính là góc giữa ′ AK và KM và bằng  ′ A KM 45 = ° nên tam giác ′ A KM vuông cân tại M . Trong tam giác ABC : 1 1 2 3 3 .. 2 2 2 2 = = = aa MK CI Trong tam giác vuông cân ′ A KM : 3 2 ′ = = a A M MK . .. 1 . 3 ′ ′′ ′ = A ABC ABC A B C V V . .. . 1 3 ′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ⇒= − A BCC B ABC A B C ABC A B C VV V . 2 3 ′′ ′ = ABC A B C V 2 .. 3 ∆ ′ = ABC S AM 2 2 3 . 3. 32 = a a 3 = a . 45° K I C 2a M B A C ' B ' A ' https://toanmath.com/ Câu 18. Cho khối lăng trụ có thể tích , V diện tích đáy là B và chiều cao . h Tìm khẳng định đúng? A. 3 V Bh = . B. 1 3 V Bh = . C. V Bh = . D. V Bh = . Hướng dẫn giải Chọn D Theo công thức tính thể tích khối lăng trụ ta có V Bh = Câu 19. Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại , B  60 , ACB =  , BC a = 2 AA a ′ = . Cạnh bên tạo với mặt phẳng ( ) ABC một góc 30  . Thể tích khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ bằng A. 3 3 6 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 2 a . D. 3 3 a . Hướng dẫn giải Chọn C Trong tam giác ABC vuông tại B ta có: tan 60 . 3 3 AB AB BC a BC ° = ⇒ = = Diện tích đáy: 2 1 .3 . 22 ABC a S AB BC = = . Gọi H là hình chiếu của A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC . Góc giữa cạnh bên AA ′ và đáy là  30 A AH ′ = ° . Trong tam giác vuông A HA ′ ta có: 1 .sin 30 2 . 2 A H AA a a ′′ = ° = = Thể tích lăng trụ là: 23 3 .3 .. 22 ABC aa V AH S a ′ = = = Câu 20.Cho ( ) H là khối lăng trụ có chiều cao bằng 3, a đáy là hình vuông cạnh . a Thể tích của ( ) H bằng. A. 3 4a . B. 3 2a . C. 3 3a . D. 3 a . Hướng dẫn giải Chọn C 23 . 3. 3 V B h a a a = = = . Câu 21.Cho hình lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có đáy là hình thoi cạnh bằng a và  120 ABC = °. Góc giữa cạnh bên AA ′ và mặt đáy b ằng 60 ° , điểm ' A cách đều các điểm A , B , D. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a . A. 3 3 6 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 2 a . D. 3 3 12 a . Hướng dẫn giải 2a 30° a 60° A B A' B' C' H C https://toanmath.com/ Chọn C Ta có điểm A ′ cách đều các đỉnh A , B , D cho nên điểm A ′ sẽ nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABD . Ta có  120 ABC = ° nên  60 ABD = ° ⇒ tam giác ABD là tam giác đều Vậy ta có ( ) A G ABD ′ ⊥ với G là trọng tâm tâm tam giác ABD . Dễ thấy ( ) ( ) ( )  ,, A A ABCD A A GA A AG ′ ′′ = =  60 = ° . Tam giác ABD đều, AI là trung tuyến ( I AC BD = ∩ ) 3 2 AI a ⇒= ; 23 33 a AG AI = = . Ta có 3 3 . 1 cot 60 3 a AG AG a ′ = = = ° . Thể tích khối lăng trụ 1 .S .2S .2. . . .sin 60 2 ABCD ABD V AG AG a a a ′′ = = = ° 3 3 2 a = . Câu 22. Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm ' A lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng ' AA và BC bằng 3 4 a . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là A. 3 3 3 a . B. 3 3 6 a . C. 3 3 24 a . D. 3 3 12 a . Hướng dẫn giải Chọn D I D' C' B' A' G D C B A https://toanmath.com/ Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC Suy ra ( ) ' A H ABC ⊥ . Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với BC. Ta có // Ax BC ( ) ( ) ( ) ', , ' d A A BC d BC A Ax ⇒= ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ,' ,' 2 d M A Ax d H A Ax = = Kẻ ' HK AA ⊥ ta có ' BC AM BC A H ⊥   ⊥  ( ) ' BC A AM BC HK ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Mà ( ) 3 '' 6 a HK AA HK A Ax HK ⊥ ⇒⊥ ⇒= Ta có 22 2 1 11 ' '3 a HA HK HA HA = + ⇒ = mà 23 3 3 ' . 4 12 ABC ABC aa S V A HS = ⇒= = . Câu 23. Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ′ và BC bằng 3 4 a . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ . A. 3 3 12 a V = . B. 3 3 3 a V = . C. 3 3 24 a V = . D. 3 3 6 a V = . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ( ) A G ABC ′ ⊥ nên A G BC ′ ⊥ ; BC AM ⊥ ( ) BC MAA ′ ⇒ ⊥ https://toanmath.com/ Kẻ MI AA ′ ⊥ ; BC IM ⊥ nên ( ) 3 ; 4 a d AA BC IM ′ = = Kẻ GH AA ′ ⊥ , ta có 2 23 3 . 3 34 6 AG GH a a GH AM IM = =⇔ = = 2 22 2 2 22 3 3 . 1 11 . 36 3 3 12 a a AG HG a AG HG A G AG AG HG a a ′ = + ⇔ = = = ′ − − 22 . 33 .. 3 4 12 ABC A B C ABC aa a V AG S ′′ ′ ′ = = = . Câu 24. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng , , a bc . Thể tích của khối hộp đó là A. . V abc = B. . V abc = ++ C. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 8 b c a c a b a b c V +− + − + − = D. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 8 b c a c a b a b c V +− + − + − = Hướng dẫn giải Chọn C Giả sử hình hộp chữ nhật có ba kích thước: , , x yz . Theo yêu cầu bài toán ta có 2 22 22 2 22 2 22 2 22 2 2 22 2 2 2 22 22 2 22 2 x ya ya x ya x y z c y z c a x b x c x zb zb x zb x   += = − = −   += ⇔ += ⇔ − + − =     += = − = −   ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 28 2 a b c y a c b ab c bc a a b c xV bc a z  −+ =   +− + − +− + −  ⇔ = ⇒ =    +− =   Câu 25. Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ′ và BC bằng 3 4 a . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là z c b a x y A' C' D' C B D A B' https://toanmath.com/ A. 3 3 24 a . B. 3 3 12 a . C. 3 3 36 a . D. 3 3 6 a . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi G là trọng tâm của ABC ∆ , M là trung điểm của BC . ( ) A G ABC ′ ⇒ ⊥ . Trong ( ) AA M ′ dựng MN AA ′ ⊥ , ta có: BC AM BC A G ⊥   ′ ⊥  ( ) BC AA G ′ ⇒ ⊥ BC MN ⇒ ⊥ . ( ) , d AA BC MN ′ ⇒= 3 4 a = . Gọi H là hình chiếu của G lên AA ′ . Ta có: // GH MN GH AG MN AM ⇒= 2 3 = 2 3 GH MN ⇒ = 3 6 a = . Xét tam giác AA G ′ vuông tại G , ta có: 2 2 2 1 11 GH GA GA = + ′ 2 22 1 11 GA GH GA ⇒= − ′ 22 11 33 6 3 aa = −       2 27 3a = . 3 a GA ′ ⇒ = . Vậy thể tích của khối lăng trụ là: . ABC V S AG ′ = 2 3 . 43 aa = 3 3 12 a = . Câu 26.-2017]Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ , đáy ABC là tam giác đều cạnh x . Hình chiếu của đỉnh A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với tâm ABC ∆ , cạnh 2 AA x ′ = . Khi đó thể tích khối lăng trụ là: A. 3 11 12 x . B. 3 39 8 x . C. 3 3 2 x . D. 3 11 4 x . Hướng dẫn giải ChọnA Gọi H là hình chiếu vuông góc của A ′lên ( ) ABC . Do ABC ∆ đều nên H là trọng tâm tam giác ABC ∆ . Ta có 3 2 x AM = 23 33 x AH AM ⇒ = = . Xét tam giác vuông AA H ′ ∆ , có 22 33 3 x A H AA AH ′′ = −= . 2 2 13 3 . 22 4 ABC x S x ∆ = = 23 . 3 33 11 43 4 ABC A B C x x x V ′′ ′ = ⋅= . N H B' C' M A C B A' G https://toanmath.com/ Câu 27. Cho hình hộp . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có đáy là hình chữ nhật với 3, 7 AB AD = = và cạnh bên bằng 1. Hai mặt bên ( ) ABB A ′′ và ( ) ADD A ′′ lần lượt tạo với đáy các góc 45° và 60° . Thể tích khối hộp bằng A. 33 B. 77 C. 7 D. 3 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi H là hình chiếu của A ′ trên ( ) ABCD và , KL là hình chiếu của H trên , AB AD . Ta có các góc  45 A KH ′ = ° và  60 A LH ′ = ° . Đặt AH x ′ = suy ra 3 ; 3 x HK x HL = = . Do đó 2 2 2 22 2 3 x AA AH A H x x ′′ = + = ++ 2 73 1 37 x x ⇒ = ⇒= . Thể tích khối hộp bằng 3 . . . 3 7. 3 7 V B h AB AD A H ′ = = = = . Câu 28. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là A. 1 6 V Bh = . B. 1 3 V Bh = . C. 1 2 V Bh = . D. V Bh = . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có thể tích khối lăng trụ V Bh = . Câu 29. Cho lăng trụ 11 1 . ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại C , cạnh 5 AC a = . Hình chiếu vuông góc của 1 A lên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AC , góc giữa mặt phẳng ( ) 11 AA B B với ( ) 11 AAC C bằng o 30 , cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc o 60 . Tính thể tích V của lăng trụ 11 1 . ABC A B C ? A. 3 3. 8 a V = . B. 3 24 a V = . C. 3 8 a V = . D. 3 3. 24 a V = . Hướng dẫn giải Chọn A O D' B' C' C B A' D A H K L https://toanmath.com/ . Gọi G là trung điểm của  0 1 11 53 ( ) A 60 .tan 60 . 2 O AC AG ABC AG AG AG a ⇒⊥ ⇒ = ⇒= = Ta có ( ) 11 BC AAC C ⊥ . Câu 30.Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60° . Tính thể tích khối lăng trụ. A. 3 9 4 Va = . B. 3 3 4 Va = . C. 3 3 2 Va = . D. 3 27 8 V a = . Hướng dẫn giải ChọnA . Ta có ABCDEF là lục giác đều nên góc ở đỉnh bằng 120 ° . ABC là tam giác cân tại B , DEF là tam giác cân tại E . 2 13 . .sin120 24 ABC DEF a S S aa = = ° = . 22 2. . .cos AC AB BC AB BC B = +− 22 1 2... 3 2 a a aa a   = + − − =     . 2 . 3. 3 ACDF S AC AF a a a = = = . 2 22 2 3 33 3 3 4 42 ABCDEF ABC ACDF DEF a aa S SS S a = + += + + = . B C D E A F F' A' E' D' C' B' H https://toanmath.com/  3 ' 60 ' '.sin 60 2 a B BH B H BB = °⇒ = ° = . Suy ra 3 9 4 a V = . Câu 31. Khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là một tam giác đều cạnh , a góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30° Hình chiếu của đỉnh A ′ trên mặt phẳng đáy ( ) ABC trùng với trung điểm của cạnh . BC Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho. A. 3 3 4 a . B. 3 3 12 a . C. 3 3 8 a . D. 3 3 3 a . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi H là hình chiếu của A ′ trên ( ) ABC ⇒ A H BC ′ ⊥ . Dễ thấy AH BC ⊥ (Vì ABC ∆ đều). ⇒ ( )  ( )  ( )  ;; A A ABC A A AH A AH ′ ′′ = = (1). Vì ABC ∆ đều ⇒ 3 2 a AH = . Trong A AH ′ ∆ vuông, ta có 31 .tan 30 22 3 aa A H AH ′ = ° = ⋅ = . Vậy 23 . 33 . 24 8 ABC A B C ABC aa a V AH S ′′ ′ ∆ ′ = =⋅= . Câu 32. Cho lăng trụ tam giác . ′′ ′ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh 22 = AC . Biết ′ AC tạo với mặt phẳng ( ) ABC một góc 60° và 4 ′ = AC . Tính thể tích V của khối đa diện ′′ ABCB C . A. 16 3 3 = V . B. 16 3 = V . C. 83 3 = V . D. 8 3 = V . Hướng dẫn giải Chọn A Phân tích: Tính thể tích của khối đa diện ′′ ABCB C bằng thể tích khối của lăng trụ . ′′ ′ ABC A B C trừ đi thể tích của khối chóp . ′′ ′ A ABC . Giả sử đường cao của lăng trụ là ′ CH . Khi đó góc giữa ′ AC mặt phẳng ( ) ABC là góc  60 ′ = ° C AH . Ta có: B B A C H C A 22 4 0 60 https://toanmath.com/ sin 60 2 3; 4 ∆ ′ ′ ° = ⇒ = = ′ ABC CH CH S AC ( ) 2 . 1 . 2 3. . 2 2 8 3 2 ′′ ′ ∆ ′ = = = ABC A B C ABC V CH S . .. 1 1 83 .. 33 3 ′′ ′ ′′ ′ ∆ ′ = = = A A B C ABC ABC A B C V CH S V . .. 8 3 16 3 83 33 ′′ ′ ′′ ′ ′′ = − = −= ABB C C ABC A B C A A B C VV V . Câu 33. Cho hình lăng trụ .A B C ABC ′′ ′ có thể tích bằng 30 . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của , AA ′ , BB ′ CC ′ . Tính thể tích V của tứ diện CIJK . A. 15 2 V = . B. 12 V = . C. 6 V = . D. 5 V = . Hướng dẫn giải Chọn D . Nhận thấy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C, IJ 1 IJ ABC A B C 2 C, A B C dK CK K CC d ′′ ′⇒== ′ ′′ ′  . ( ) ( ) ( ) ( ) IJ A B C 1 11 1 C, IJ . . . C, A B C . .30 5 3 32 6 CIJK K V d KS d S ′′ ′ ′′ ′ = = = = . Câu 34. Khối lăng trụ . ′′ ′ ABC A B C có đáy là tam giác đều, a là độ dài cạnh đáy. Góc giữa cạnh bên và đáy là 30° . Hình chiếu vuông góc của ′ A trên mặt ( ) ABC trùng với trung điểm của BC . Thể tích của khối lăng trụ đã cho là A. 3 3 8 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 4 a . D. 3 3 12 a . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi H là trung điểm của cạnh ( ) ′ ⇒⊥ BC A H ABC  1 30 tan 30 3 ′ ′ ⇒ = °⇒ ° = = AH A AH AH . https://toanmath.com/ Cạnh 33 2 2 2 ′ = = ⇒= AB a a AH A H 3 13 3 . .. . 2 2 2 8 ′ ⇒= = = ABC a a a V AH S a . Câu 35. Cho lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và  120 ABC = °. Góc giữa cạnh bên AA ′ và mặt đáy bằng 60 ° . Đỉnh A ′ cách đều các điểm A , B , D . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. 3 3 2 a V = . B. 3 3 6 a V = . C. 3 3 2 a V = . D. 3 3 Va = . Hướng dẫn giải Chọn A Do AB AD a = = và  60 BAD ABD = °⇒ ∆ đều cạnh a . Mặt khác: AA AB AD ′′ ′ = = . Suy ra . A ABD ′ là chóp đều nên A ′ có hình chiếu vuông góc là tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD . AH ⇒ là hình chiếu vuông góc của AA ′ lên đáy ( ) ( ) ( )   , 60 ABCD AA ABCD A AH ′′ ⇒== °. 22 33 2 2. 42 ABCD ABD S S aa = = = . Tam giác ABD đều cạnh a nên 33 23 AO a AH a = ⇒ = . Tam giác A AH ′ vuông tại H nên: 3 tan 60 . 3 3 A H AH a a ′ = ° = = . Vậy, thể tích khối lăng trụ là: 3 3 . 2 ABCD V AH S a ′ = = . Câu 36. Cho hình hộp . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có đáy là hình chữ nhật với 3, 7 AB AD = = và cạnh bên bằng 1. Hai mặt bên ( ) ABB A ′′ và ( ) ADD A ′′ lần lượt tạo với đáy các góc 45° và 60° . Thể tích khối hộp bằng A. 33 B. 77 C. 7 D. 3 Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ Gọi H là hình chiếu của A ′ trên ( ) ABCD và , KL là hình chiếu của H trên , AB AD . Ta có các góc  45 A KH ′ = ° và  60 A LH ′ = ° . Đặt AH x ′ = suy ra 3 ; 3 x HK x HL = = . Do đó 2 2 2 22 2 3 x AA AH A H x x ′′ = + = ++ 2 73 1 37 x x ⇒ = ⇒= . Thể tích khối hộp bằng 3 . . . 3 7. 3 7 V B h AB AD A H ′ = = = = . Câu 37. Cho hình lăng trụ ABCABC ′ ′′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ′ và BC bằng 3 4 a . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABCABC ′ ′′ A. 3 3 . 6 a V = B. 3 3 . 24 a V = C. 3 3 . 12 a V = D. 3 3 . 3 a V = Hướng dẫn giải Chọn C M là trung điểm của BC thì ( ) BC AAM ′ ⊥ . Gọi MH là đường cao của tam giác AAM ′ thì MH AA ′ ⊥ và HM BC ⊥ nên HM là khoảng cách AA ′ và BC . Ta có .. AAHM AGAM ′′ = ⇔ 2 2 33 . 42 3 aa a AA AA ′′ = − O D' B' C' C B A' D A H K L H G M B C A C' B' A' https://toanmath.com/ 2 22 22 2 2 4 42 4 3 . 3 3 93 a a a a AA AA AA AA AA  ′ ′ ′′′ ⇔= − ⇔ = ⇔= ⇔ =    Đường cao của lăng trụ là 22 43 9 93 a aa AG ′ = −= . Thể tích 23 33 . 3 4 12 LT a aa V = = . Câu 38. Cho khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên AA a ′ = , góc giữa AA ′ và mặt phẳng đáy bằng 30 ° . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a . A. 3 3 8 a . B. 3 3 24 a . C. 3 3 4 a . D. 3 3 12 a . Hướng dẫn giải Chọn A Kẻ ( ) A H ABC ′ ⊥ , ( ) H ABC ∈ . Khi đó góc giữa AA ′ và mặt phẳng đáy bằng góc giữa AA ′ và AH bằng  30 A AH ′ = ° . Trong A AH ′ ∆ vuông tại H , có  .sin .sin 30 AH AA AAH a ′′ ′ = = ° 2 a AH ′ ⇔= . Ta có 2 . 3 .. 42 ABC A B C ABC aa V S AH ′′ ′ ′ = = 3 . 3 8 ABC A B C a V ′′ ′ ⇔= . Câu 39. Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường AA ′ và BC bằng 3 4 a . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ . A. 3 3 24 a V = . B. 3 3 12 a V = . C. 3 3 3 a V = . D. 3 3 6 a V = . Hướng dẫn giải Chọn B https://toanmath.com/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Vì ( ) A G ABC ′ ⊥ và tam giác ABC đều nên A ABC ′ là hình chóp đều. Kẻ EF AA ′ ⊥ và ( ) BC AA E ′ ⊥ nên ( ) 3 , 4 a d AA BC EF ′ = = . Đặt A G h ′ = Ta có 2 2 3 3 a A A h  ′ = +    . Tam giác A AG ′ đồng dạng với tam giác EAF nên A A AG A G EA FA FE ′′ = = 2 2 3 33 . .. . 2 34 3 a aa a A G EA A A FE h h h  ′′ ⇒ = ⇔ = + ⇔=    . Thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ là 23 33 .. 3 4 12 ABC aa a V AG S = = = . Đặt A H x HB x ′′ =⇒= . Ta có K là trọng tâm tam giác AA B ′′ Suy ra 2 2 22 33 4 a KB A B x ′ = = + ; 22 22 33 KA AH x a ′ = = + . KAB ∆ vuông tại K nên 22 2 KB KA AB + = 2 2 2 45 2 94 a xa  ⇔ + =   2 2 2 8 5 9 xa a ⇔+ = 2 2 a x ⇔= . Vậy . ABC V S AH ′ = 2 32 . 42 aa = 3 6 8 a = . Câu 46. Cho hình lăng trụ .' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh 3a , hình chiếu của ' A trên mặt phẳng ( ) ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Cạnh ' AA hợp với mặt phẳng đáy một góc 45°. Thể tích của khối lăng trụ .' ' ' ABC A B C tính theo a bằng. A. 3 9 4 a . B. 3 27 4 a . C. 3 3 4 a . D. 3 27 6 a . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi AI là đường cao, H là tâm của tam giác ABC ( ) A H ABC ′ ⇒⊥ . Vì ( ) ( ) AA ABC A A H ABC ′∩=   ⇒  ′ ⊥   góc giữa AA ′ và ( ) ABC là   45 A AH A AH ′′ ⇒ =°. Ta có: 33 2 , 3 23 a AI AH AI a = = = , ( ) 2 2 33 93 44 ABC a a S = = . .tan 45 3 A H AH AH a ′ = ° = = . Thể tích của lăng trụ là: https://toanmath.com/ 2 3 9 3 27 . 3. 44 ABC aa V AH S a ′ = = = . . Câu 47. Khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a , đường cao bằng 3 a có thể tích bằng A. 3 3 6 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 a . D. 3 23 a . Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ ta có 2 . 3 V Bh a a = = 3 3 a = . Câu 48. Cho lăng trụ 11 1 ABCA B C có diện tích mặt bên 11 ABB A bằng 4 ; khoảng cách giữa cạnh 1 CC và mặt phẳng ( ) 11 ABB A bằng 7. Tính thể tích khối lăng trụ 11 1 ABCA B C . A. 14 B. 28 3 C. 14 3 D. 28 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi thế tích lăng trụ 11 1 ABCA B C là V . Ta chia khối lăng trụ thành 11 1 ABCA B C theo mặt phẳng ( ) 1 ABC được hai khối: khối chóp tam giác 1 . C ABC và khối chóp tứ giác 1 11 . C ABB A Ta có 1 . 1 3 C ABC VV = 1 11 . 2 3 C ABB A VV ⇒= Mà ( ) ( ) 1 11 11 . 11 1 1 28 . .d ; .4.7 3 33 C ABB A ABB A V S A ABB A = = = . Vậy V = 28 3 . 14 32 = I B' C' A B C H A' A 1 A C 1 B C B 1 https://toanmath.com/ Câu 49. Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C ′′ ′ . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh AA ′ , BB ′ ,CC ′ sao cho 1 2 AM AA = ′ , 2 3 BN BB = ′ và mặt phẳng ( ) MNP chia lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau. Khi đó tỉ số CP CC ′ là A. 1 4 . B. 5 12 . C. 1 3 . D. 1 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức : . . 1 3 ABC MNP ABC A B C V AM BN CP V AA BB CC ′′ ′  = ++  ′′′  . Ta có : .. ABC MNP ABC A B C VV ′′ ′ = nên 11 32 AM BN CP AA BB CC  ++ =  ′′′  2 1 11 3 2 32 BB AA CP AA BB CC  ′ ′  ⇔ + +=  ′ ′′   1 3 CP CC ⇔= ′ . Câu 50. Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , 3 2 a AA ′ = . Biết rằng hình chiếu vuông góc của A ′ lên ( ) ABC là trung điểm BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó. A. 3 Va = . B. 3 2 3 a V = . C. 3 3 42 a V = . D. 3 3 2 Va = . Hướng dẫn giải Chọn C A B C A ′ B ′ C ′ H https://toanmath.com/ Gọi H là trung điểm BC . Theo giả thiết, AH ′ là đường cao hình lăng trụ và 22 6 . 2 a A H AA AH ′ = −= ′ Vậy, thể tích khối lăng trụ là 2 3 Δ 3 63 2 .. 42 8 ABC aa a V S AH = = = ′ . Câu 51. Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A ′ trên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Góc giữa cạnh bên của lăng trụ và mặt phẳng đáy bằng o 30 . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a . A. 3 3 4 a B. 3 4 a C. 3 24 a D. 3 8 a Hướng dẫn giải Chọn D Ta có AH là hình chiếu của AA ′ trên ( ) ABC  o 30 A AH ′ ⇒ = 3 . 23 a AH ′ ⇒= 3 6 a = . ABC V AH S ′ = 2 33 . 64 aa = 3 8 a = . Câu 52. Cho hình lăng trụ . ′′ ′ ABC A B C có đáy là tam giác vuông cân ở C . Cạnh ′ = BB a và tạo với đáy một góc bằng 60 ° . Hình chiếu vuông góc hạ từ ′ B lên đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Thể tích khối lăng trụ . ′′ ′ ABC A B C là: A. 3 9 3 80 a . B. 3 9 80 a . C. 3 33 80 a . D. 3 3 80 a . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi P là trọng tâm của ( ) ′ ∆ ⇒ ⊥ ABC B P ABC https://toanmath.com/ ( ) ( )  ( )   , 60 ′ ′′ ⇒ = ⇒ =° BB ABC B BP B BP 33 sin 60 2 2 1 cos60 22  ′ ′ °= = =   ′ ⇒⇒   °= = =  ′  BP a BP BB BP a BP BB Gọi 33 24 a K BP AC BK BP = ∩⇒ = = 22 2 1 3 35 2 4 10 aa BC BC BC    ⇒ + = ⇒ =       2 3 31 3 5 9 3 . .. 2 2 10 80   ′ ⇒= = =     ABC aa a V BP S . Câu 53. Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ′ và BC bằng 3 4 a . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là A. 3 3 6 a . B. 3 3 3 a . C. 3 3 24 a . D. 3 3 12 a . Hướng dẫn giải Chọn D Do ABC ∆ đều trọng tâm G và ( ) A G ABC ′ ⊥ nên . A ABC ′ là hình chóp đều. Gọi M là trung điểm của BC , khi đó 3 2 a AM = 3 3 a AG ⇒= . Gọi H là hình chiếu của M trên AA ′ . Khi đó do ( ) BC AA M ′ ⊥ BC HM ⇒ ⊥ nên HM là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AA ′ và BC . Do đó 3 4 a HM = . Đặt AA AB AC x ′′ ′ = = = , khi đó 2 2 3 a AG x ′ = − . Do 2 . . AA M S A G AM MH AA ′ ∆ ′′ = = 2 2 33 .. 2 34 a aa xx ⇒ −= 2 3 a x ⇒= . Do 2 3 4 ABC a S ∆ = , 3 a AG ′ = 3 . 3 . 12 ABC A B C ABC a V AG S ′′ ′ ∆ ′ ⇒= = . G M B' C' A' A C B H https://toanmath.com/ Câu 54.Cho hình hộp . ABCD A B C D ′′ ′ ′ có  60 , 7, 3, BCD AC a BD a AB AD =°= = > ,đường chéo BD ′ hợp với mặt phẳng ( ) ADD A ′′ góc 30° . Tính thể tích V của khối hộp . ABCD A B C D ′′ ′ ′ . A. 3 39 . 3 a B. 3 2 3 . a C. 3 33 . a D. 3 39 . a Hướng dẫn giải Chọn C  Đặt  Áp dụng định lý hàm cos và phân giác trong tam giác BCD và  Với và   Vậy V hình hộp = Câu 55. Cho hình lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ′ lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ′ và BC bằng 3 4 a . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABC A B C ′′ ′. A. 3 3 12 a V = . B. 3 3 3 a V = . C. 3 3 24 a V = . D. 3 3 6 a V = . Hướng dẫn giải Chọn A 30° y x O A C B C' A' B' D' D ( ) ;y x CD BC x y = = > 2 22 3a x y xy = +− 22 2 5 xy a += 2; x a y a ⇒= = 22 x ya = =  60 C = BD AD → ⊥  ';(ADD'A') 30 BD→ = '3 DD a → = 2 .sin 60 a 3 ABCD S xy = = 3 33 a https://toanmath.com/ Gọi M là trung điểm của BC . Vẽ MH AA ′ ⊥ ( ) H BC ∈ . Ta có AM BC ⊥ , A G BC ′ ⊥ ( ) BC A AG ′ ⇒ ⊥ BC MH ⇒ ⊥ ( ) , d AA BC MH ′ ⇒= . 22 AH AM MH = − 22 33 4 16 aa = − 3 4 a = . Ta có  tan MH A G GAH AH AG ′ = = . MH AG AG AH ′ ⇒ = 33 . 43 3 4 aa a = 3 a = . Vậy . ABC V S AG ′ = 2 3 . 43 aa = 3 3 12 a = . Câu 56. Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh . a Hình chiếu vuông góc của mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm của tam giác . ABC Biết thể tích của khối lăng trụ là 3 3 4 a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB ′ và BC là: A. 2 3 a . B. 4 3 a . C. 3 4 a . D. 3 2 a . Hướng dẫn giải Chọn C . Phương pháp: Dựng hình vẽ như giả thiết bài toán. + phương pháp phổ biến nhất để tìm khoảng cách giữa 2 đường thẳng: tìm một mặt phẳng chứa 1 đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại. https://toanmath.com/ Cách giải: Gọi F là trọng tâm tam giác . ABC Suy ra AF ′ là đường cao của hình lăng trụ 02 13 . .sin 60 24 ABC S aa a ∆ = = . Suy ra AF a ′ = . AA ′ song song với mặt phẳng ( ) BCC B ′′ nên khoảng cách giữa AA ′ và BC chính là khoảng cách giữa AA ′ và ( ) BCC B ′′ và cũng bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng này. BC vuông góc với ( ). FOE Dựng FK vuông góc với OE nên ( ) ( ) ,' EF d F BCC = . Tính ( ) ( ) 2 2 2 3 3 AA A F AF a OE ′ ′ = += = . Xét hình bình hành : AOEA ′ ( ) ( ) , d A ABCD = khoảng cách hình chiếu của A lên OE . 3 .' . 4 AOEA S AO A F OE d a = = = . Câu 57. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14 ,15 cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 30° và có chiều dài bằng 8 . Khi đó thể tích khối lăng trụ là. A. 340. B. 336 . C. 274 3 . D. 124 3 . Hướng dẫn giải Chọn B . Ta có: S 21(21 13)(21 14)(21 15) 84 ABC ∆ = − − − = . Gọi O là hình chiếu của A ′ trên ( ) ABC . A AO ′ ∆ vuông tại O cho ta: .sin 30 4 A O AA ′′ = ° = . Vậy: . 84.4 336 ABC A B C V ′′ ′ = = . Câu 58. Cho lăng trụ tam giác .' ' ' ABC A B C có đáy ABC là đều cạnh 22 AB a = . Biết '8 AC a = và tạo với mặt đáy một góc 0 45 . Thể tích khối đa diện '' ABCC B bằng A. 3 83 . 3 a B. 3 86 . 3 a C. 3 16 3 . 3 a D. 3 16 6 . 3 a Hướng dẫn giải Chọn D a O H C' B' A' C B A https://toanmath.com/ Gọi H là hình chiếu của A lên ( ) '' ' mp A B C  0 ' 45 HC A ⇒ = ' AHC ⇒∆ vuông cân tại H. '8 4 2. 22 AC a AH a ⇒ = = = NX: ( ) 2 3 . '' . '' ' 2 2 .3 2 2 2 16 6 . .4 2. . 3 3 3 43 A BCC B ABC A B C ABC a a V V AH S a = = = = Gọi H là hình chiếu của A lên ( ) '' ' mp A B C  0 ' 45 HC A ⇒ = ' AHC ⇒∆ vuông cân tại H. '8 4 2. 22 AC a AH a ⇒ = = = NX: ( ) 2 3 . '' . '' ' 2 2 .3 2 2 2 16 6 . .4 2. . 3 3 3 43 A BCC B ABC A B C ABC a a V V AH S a = = = = Câu 59. Cho lăng trụ . ABC A B C ′′ ′ có đáy là tam giác đ ều cạnh a , AA b ′ = và AA ′ tạo với mặt đáy một góc 60° . Tính thể tích khối lăng trụ. A. 2 3 4 ab . B. 2 3 8 ab . C. 2 3 8 ab . D. 2 1 8 ab . Hướng dẫn giải Chọn B Kẻ ( ) A H ABC ′ ⊥ tại H Suy ra góc giữa AA ′ và đáy bằng  60 A AH ′ = ° 8a 2a 2 C' B' A C B A' H A' B' C' A B C H https://toanmath.com/ 3 sin 60 2 AH AA ′ ⇒ ° = = ′ 33 22 b AH AA ′′ ⇒= = . Do đó . . ABC A B C ABC V AH S ′′ ′ ′ = 2 31 . sin 60 22 b a = ° 2 3 8 ab = . Câu 60. Cho khối lăng trụ tam giác .' ' ' ABC A B C có thể tích bằng 30 (đơn vị thể tích). Thể tích của khối tứ diện AB C C ′′ là: A. 5 (đơn vị thể tích). B. 10 (đơn vị thể tích). C. 12,5 (đơn vị thể tích). D. 7,5 (đơn vị thể tích). Hướng dẫn giải Chọn B Ta có. . Khi đó ta có thể so sánh trực tiếp cũng được, tuy nhiên ở đây ta có thể suy luận nhanh như sau: Khối B ABC ′ có chung đường cao kẻ từ đỉnh B’ đến đáy ( ) ABC và chung đáy ABC với hình lăng trụ . ABC A B C ′′ ′. Do vậy . 1 3 B ABC ABC A B C V V ′ ′′ ′ = . Tương tự ta có . . 1 3 A A B C ABC A B C V V ′′ ′ ′′ ′ = , khi đó .. 1 . 3 A A B C ABC A B C V V ′′ ′ ′′ ′ = . 1 .30 10 3 A A B C V ′′ ′ ⇒== . Câu 61.Cho lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ với đáy ABCD là hình thoi, 2 AC a = ,  0 120 BAD = . Hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng ( ) ABC D ′′ ′ ′ là trung điểm cạnh AB ′′ , góc giữa mặt phẳng ( ) AC D ′′ và mặt đáy lăng trụ bằng o 60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ . ABCD A B C D ′′ ′ ′ . A. 3 3 Va = . B. 3 6 3 Va = . C. 3 2 3 V a = . D. 3 33 Va = . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi H là trung điểm AB ′′ , suy ra ( ) BH ABC D ′′ ′ ′ ⊥ . Vì ABC D ′′ ′ ′ là hình thoi và  o 120 BAD ABC ′′ ′ ′ ′ ′ = ⇒∆ là tam giác đều cạnh 2a . A C B A C https://toanmath.com/ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   o , 60 ACD A B CD CD HC CD ACD A B CD BCH BC C D ′′ ′ ′ ′′ ′′ ∩=   ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ⊥⇒ ==   ′ ′′ ⊥  . Có ABC ′′ ′ ∆ đều cạnh 2a nên 3 .2 3 2 CH a a ′ = = . Xét tam giác BHC ′ vuông tại H có: oo tan 60 tan 60 3 BH BH C H a CH ′ = ⇒ = = ′ . ( ) 2 2 3 2 2. . 2 2 3 4 A B C D A B C S S aa ′′ ′ ′ ′′ ′ = = = . Vậy, 23 . . 3 .2 3 6 3 ABCD A B C D A B C V BH S a a a ′′ ′ ′ ′′ ′ = = = .