Bài tập Toán lớp 9 khó (có hướng dẫn)

Bài 1:

1. Tìm các số nguyên dương x, y sao cho là một số nguyên tố.

2. Có bao nhiêu số tự nhiên n không vượt quá 2019 thỏa mãn n3 + 2019 chia hết cho 6

Bài 2:

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) sao cho x2 + 8y và y2 + 8x là các số

chính phương.

2. Cho a, b là hai số nguyên dương, đặt . Chứng minh rằng A và B không đồng thời là hai số chính phương

Bài 3:

1. Giải phương trình : (x+1)(x – 2 )(x + 6)(x – 3) = 45x2

2. Cho phương trình với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho

Gợi ý:

Bài 1.1:

Vì p nguyên tố

Hai trường hợp đầu không xẩy ra vì p2 < p2 + p < (p + 1)2 nên p2 + p không chính phương. Trường hợp thứ ba => p = 2 => x = y = 2. Thử lại đúng.

1.2:

n3 + 2019 chia hết cho 6 => n lẻ và n chia hết cho 3 vì 2019 chia hết cho 3. Như vậy n = 6k + 3. Do (2019 – 3);6 = 336 => có tất cả 337 số.

Bài 2.1:

Có thể giả sử x ≥ y. Khi đó x2 < x2 + 8y ≤ x2 + 8x < x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

Như vậy để x2 + 8y là số chính phương thì x2 + 8y phải nhận các giá trị (x + 1)2 hoặc (x + 2)2 hoặc (x + 3)2. Từ đó nhận được x = 2y – 1. Tiếp theo ta có y2 + 8x = y2 + 16y – 8 mà (y + 1)2 < y2 + 16y – 8 < (y + 8)2 . Vì vậy để y2 + 8x là số chính phương thì y2 + 16y – 8 nhận giá trị (y + 2)2 hoặc (y + 3)2 hoặc (y + 4)2 hoặc (y + 5)2 hoặc(y + 6)2 hoặc (y + 7)2 => y => x….

2.2:

Giả sử tồn tại a, b để đồng thời là các số chính phương, nghĩa là có các số m, n nguyên dương mà => m2 + n2 = 4ab chia hết cho 4 => m, n cùng là số chẵn => m = 2m1; n = 2n1 => => a, b cùng là số chẵn => a = 2a1; b = 2b1 . Như vậy Tiếp tục m1; n1; a1; b1 lại là các số chẵn … quá trình này diễn ra không có điểm dừng => vô lí, vì a, b là các số hữu hạn. Vậy A, B không đồng thời là hai số chính phương

Bài 3.1:

Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế của phương trình cho x2:

Với

Tìm t => x.

3.2:

Điều kiện nghiệm phân biệt 1 – 4(3m – 11) > 0 => m < 45/12.

Dùng Viet x1 + x2 = -b/a = 1. Thế vào điều kiện

Tính được x2 = 2. Thay giá tri x = 2 vào phương trình của ta tính được m = 3.