Bài toán Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của môđun số phức

https://toanmath.com/ GTLN - GTNN CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC A. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC I. CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN 1. PHƯƠNG PHÁP Bài toán: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện T. Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn rồi thế vào biểu thức P để được hàm một biến. Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu bài toán của hàm số một biến vừa tìm được. II. CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC HAI BIẾN MÀ CÁC BIẾN THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC. 1. PHƯƠNG PHÁP: Để giải được lớp bài toán này, chúng tôi cung cấp cho học sinh các bất đẳng thức cơ bản như: Bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học và một số bài toán công cụ sau: UBÀI TOÁN CÔNG CỤ 1:U Cho đường tròn () T cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường tròn () T . Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất. UGiải: TH1: A thuộc đường tròn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I TH2: A không thuộc đường tròn (T) Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T); Giả sử AB < AC. +) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có: AM AI IM AI IB AB ≥ − = − = . Đẳng thức xảy ra khi MB ≡ AM AI IM AI IC AC ≤ + = += . Đẳng thức xảy ra khi MC ≡ +) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có: AM IM IA IB IA AB ≥ −= −= . Đẳng thức xảy ra khi MB ≡ AM AI IM AI IC AC ≤ + = += . Đẳng thức xảy ra khi MC ≡ Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía trị nhỏ nhất. Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía trị lớn nhất. UBÀI TOÁN CÔNG CỤ 2:U Cho hai đường tròn 1 () T có tâm I, bán kính RR1 R; đường tròn 2 () T có tâm J, bán kính RR2 R. Tìm vị trí của điểm M trên 1 () T , điểm N trên 2 () T sao cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. https://toanmath.com/ UGiải: Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; d cắt đường tròn 1 () T tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt 2 () T tại hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC). Với điểm M bất khì trên 1 () T và điểm N bất kì trên 2 () T . Ta có: 12 MN IM IN IM IJ JN R R IJ AD ≤+ ≤+ + =+ + = . Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D 12 MN IM IN IJ IM JN IJ R R BC ≥ − ≥ − − = −+ = . Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C. Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất. khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. UBÀI TOÁN CÔNG CỤ 3:U Cho hai đường tròn () T có tâm I, bán kính R; đường thẳng ∆ không có điểm chung với () T . Tìm vị trí của điểm M trên () T , điểm N trên ∆ sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất. UGiải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d Đoạn IH cắt đường tròn () T tại J Với M thuộc đường thẳng ∆ , N thuộc đường tròn () T , ta có: MN IN IM IH IJ JH const ≥ − ≥ −= = . Đẳng thức xảy ra khi ; M HN I ≡≡ Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. B – BÀI TẬP Câu 1. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện 3 2. zi z i + = +− Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? A. 12 55 zi =− + . B. 12 55 zi = − . C. 1 2 zi =−+ . D. 12 zi = − . Câu 2. Trong các số phức z thỏa mãn 24 2 z i z i −− = − . Số phức z có môđun nhỏ nhất là A. 32 zi = + B. 1 zi =−+ C. 22 zi =−+ D. 22 zi = + Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn 1 −= − z zi . Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức w2 2 = +− zi . A. 3 2 2 . B. 3 2 . C. 3 2 . D. 3 22 . Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn 34 1 zi − − =. Tìm giá trị nhỏ nhất của z . A. 6 . B. 4 . C. 3. D. 5. https://toanmath.com/ Câu 5. Cho hai số phức 1 z , 2 z thỏa mãn 1 35 2 zi − += và 2 1 2 4 iz i − + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 12 2 3 T iz z = + . A. 313 16 + . B. 313 . C. 313 8 + . D. 313 2 5 + . Câu 6. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 12 z i z i + − = +− , hãy tìm phần ảo của số phức có môđun nhỏ nhất? A. 10 13 . B. 2 5 . C. 2 − . D. 2 13 − . Câu 7. Xét các số phức 1 34 zi = − và 2 2 z mi = + , ( ) m ∈  . Giá trị nhỏ nhất của môđun số phức 2 1 z z bằng? A. 2 5 . B. 2 . C. 3. D. 1 5 . Câu 8. Số phức z nào sau đây có môđun nhỏ nhất thỏa | | | 3 4| zz i = − + : A. 3 2 2 zi = −− . B. 7 3 8 zi = − . C. 3 2 2 zi = + . D. 3– 4 zi = − . Câu 9. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn ( ) 18 zm i − − += và 1 23 z i z i − + = − + . A. 66 . B. 130. C. 131. D. 63. Câu 10. Cho các số phức z thoả mãn 2 = z . Đặt ( ) 1 2 1 2 = + − + w iz i . Tìm giá trị nhỏ nhất của w . A. 2 . B. 35 . C. 2 5 . D. 5 . Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn 11 zi − − =, số phức w thỏa mãn 23 2 wi −− =. Tìm giá trị nhỏ nhất của zw − . A. 17 3 + B. 13 3 + C. 13 3 − D. 17 3 − Câu 12. Cho số phức ( ) , 12 mi z m mm i −+ = ∈ − −  . Tìm môđun lớn nhất của . z A. 2. B. 1. C. 0. D. 1 2 . Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn 13 z i zi +− = − . Tính môđun nhỏ nhất của zi − . A. 35 10 . B. 4 5 5 . C. 35 5 . D. 75 10 . Câu 14. Cho số phức z thoả mãn 34 5 zi −− = . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2 P z zi = + − − . Tính môđun của số phức . w M mi = + A. 2 309 w = . B. 2315 w = . C. 1258 w = . D. 3 137 w = . Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn 12 3 zi −+ =. Tìm môđun lớn nhất của số phức 2. z i − A. + 26 8 17 . B. − 26 4 17 . C. + 26 6 17 . D. − 26 6 17 . Câu 16. Giả sử 1 z , 2 z là hai trong số các số phức z thỏa mãn 2 1 iz i + −= và 12 2 zz −= . Giá trị lớn nhất của 12 zz + bằng https://toanmath.com/ A. 3. B. 2 3 . C. 3 2 . D. 4 . Câu 17. Gọi T là tập hợp tất cả các số phức z thõa mãn 2 zi −≥ và 14 z+ ≤ . Gọi 12 , zz T ∈ lần lượt là các số phức có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất trong T . Khi đó 12 zz − bằng: A. 4 i − . B. 5 i − . C. 5 i − + . D. 5 − . Câu 18. Trong tập hợp các số phức, gọi 1 z , 2 z là nghiệm của phương trình 2 2017 0 4 zz − + =, với 2 z có thành phần ảo dương. Cho số phức z thoả mãn 1 1 zz − = . Giá trị nhỏ nhất của 2 P zz = − là A. 2016 1 2 − . B. 2017 1 − . C. 2016 1 − . D. 2017 1 2 − . Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn . 1 zz = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 P z zz zz = + + − + . A. 15 4 . B. 3. C. 13 4 . D. 3 4 . Câu 20.Cho các số phức z , w thỏa mãn 5 z = , ( ) 4 3 12 w iz i = − +− . Giá trị nhỏ nhất của w là : A. 6 5 B. 35 C. 4 5 D. 55 Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn 1 4 z z += . Tính giá trị lớn nhất của z . A. 4 3 + . B. 2 5 + . C. 2 3 + . D. 4 5 + . Câu 22. Biết số phức ( ) ,, z a bi a b =+∈  thỏa mãn điều kiện 24 2 z i z i −− = − có mô đun nhỏ nhất. Tính 22 Ma b = + . A. 26 M = . B. 10 M = . C. 8 M = . D. 16 M = . Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn 1. z = Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 1. Pz z z = + + − + Tính giá trị của . Mm . A. 13 3 4 . B. 39 4 . C. 33 . D. 13 4 . Câu 24. Cho số phức 0 z ≠ thỏa mãn 2 z ≥ . Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức zi P z + = . A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 1. Câu 25. Nếu z là số phức thỏa 2 zz i = + thì giá trị nhỏ nhất của 4 zi z −+ − là A. 3 . B. 4 . C. 5. D. 2 . Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn 23 1 −− = zi . Giá trị lớn nhất của 1 ++ zi là A. 13 2 + . B. 4 . C. 6 . D. 13 1 + . Câu 27. Cho hai số phức u , v thỏa mãn 3 6 3 1 3 5 10 ui u i − + − − = , 1 2 v i vi − + = + . Giá trị nhỏ nhất của uv − là: https://toanmath.com/ A. 5 10 3 B. 10 3 C. 2 10 3 D. 10 Câu 28. Gọi 1 z , 2 z là các nghiệm phức của phương trình 2 4 13 0 zz − + = , với 1 z có phần ảo dương. Biết số phức z thỏa mãn 1 2 2 zz zz − ≤ − , phần thực nhỏ nhất của z là A. 2  B. 1 C. 9 D. 6 Câu 29. Cho số phức z thỏa mãn ( ) ( ) 2 1 2 1 10 zi z i + ++ − − = . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính tổng S Mm = + . A. 8 S = . B. 2 21 S = . C. 2 21 1 S = − . D. 9 S = . Câu 30. Cho 2018 phức z thoả mãn 34 5 zi − − = . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2 P z zi = + −− . Tính môđun của 2018 phức w M mi = + . A. 2 314 w = . B. 2 309 w = . C. 1258 w = . D. 1258 w = . Câu 31. Cho hai số phức , zz ′ thỏa mãn 55 z+= và 13 3 6 z i z i ′ ′ +− = − − . Tìm giá trị nhỏ nhất của zz ′ − . A. 10 . B. 3 10 . C. 5 2 . D. 5 4 . Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn 2 z ≤ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 12 1 4 P z z zz i = + + −+ − − bằng: A. 7 2 15 + . B. 2 3 + . C. 14 4 15 + . D. 4 2 3 + . Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn 1 z = . Giá trị lớn nhất của biểu thức 1 21 Pz z = + + − bằng A. 6 5 . B. 2 5 . C. 4 5 . D. 5 . Câu 34. Cho các số phức 1 3 zi = , 2 13 zi =−− , 3 2 z mi = − . Tập giá trị tham số m để số phức 3 z có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là. A. { } 5; 5 − . B. ( ) 5; 5 − . C. ( ) ( ) ; 5 5; −∞ − ∪ +∞ . D. 5; 5  −  . Câu 35. Cho số phức z thỏa mãn 32 zz − = và max 1 2 2 z i ab − + = + . Tính ab + . A. 3. B. 4 3 . C. 4 . D. 42 . Câu 36. Cho số phức z thỏa mãn: 22 1 zi −− =. Số phức zi − có môđun nhỏ nhất là: A. 52 + . B. 51 + . C. 5 2 − . D. 51 − . Câu 37. Cho số phức z thỏa 2 z ≥ . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức zi P z + = . A. 2 3 . B. 3 . 4 C. 1. D. 2 . Câu 38. Tìm số phức z sao cho ( ) 34 5 zi − + = và biểu thức 22 2 P z zi = + −− đạt giá trị lớn nhất. A. 55 zi = + . B. 2 zi = + . C. 22 zi = + . D. 43 zi = + . https://toanmath.com/ Câu 39. Cho số phức thỏa điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của bằng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 40. Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức A. B. C. D. Câu 41. Cho số phức với thỏa mãn và . Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức . Tính tỉ số . A. . B. . C. . D. . Câu 42. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của ? A. B. C. D. Câu 43. Cho số phức thỏa mãn điều kiện: và có môđun lớn nhất. Số phức có môđun bằng: A. . B. . C. . D. . Câu 44. Cho là các số phức thỏa mãn và Khẳng định nào dưới đây là sai ? A. . B. . C. . D. . Câu 45. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của môđun số phức là A. . B. . C. . D. . Câu 46. Cho số phức thỏa mãn không phải số thực và là số thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là? A. . B. . C. . D. . Câu 47. Biết số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức A. B. C. D. Câu 48. Cho số phức và thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A. . B. . C. . D. . Câu 49. Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của lần lượt là. A. . B. . C. . D. . z ( ) 2 4 2 z zz i += + zi + z 12 3 zi −+ = 1. zi −+ 2. 4. 2 2. 2. z x yi = + , xy ∈  11 zi − − ≥ 3 3 5 zi − − ≤ , mM 2 P x y = + M m 7 2 5 4 14 5 9 4 z 5 13 3 1 zi z i z i − = + − + − + M 23 zi −+ 4 5 M = 9 M = 10 3 M = 1 13 M = + z 1 2 5 zi − + = 1 wz i = ++ z 52 2 5 6 3 2 12 3 , , zz z 12 3 0 zz z ++ = 12 3 1. zz z = = = 33 3 3 3 3 1 23 1 2 3 zzz z z z ++ = + + 33 3 3 3 3 1 23 1 2 3 zzz z z z ++ ≤ + + 33 3 3 3 3 1 23 1 2 3 zzz z z z ++ ≥ + + 33 3 3 3 3 1 23 1 2 3 zzz z z z ++ ≠ + + z 23 12 32 i z i −− += − z 3 3 2 2 z z 2 2 z w z = + 1 Pz i = +− 2 2 22 8 z 34 5 z i −− = 22 2 M z zi = + −− . zi + 52 zi + = 41. zi + = 2 41 zi + = 3 5. zi + = z w 34 zw i += + 9 zw −= T zw = + max 14 T = max 4 T = max 106 T = max 176 T = z 4 4 10. zz − + + = z 5 và 4 4 và 3 5 và 3 10 và 4 https://toanmath.com/ Câu 50. Cho hai số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của là: A. B. C. D. Câu 51. Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Đặt , tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. 1. Câu 52. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. . B. . C. . D. . Câu 53. Trong các số phức thỏa mãn , số phức có mô đun nhỏ nhất là A. . B. . C. . D. . Câu 54. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là. A. . B. . C. . D. . Câu 55. Cho số phức thỏa điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của bằng ? A. . B. . C. . D. . Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để có đúng số phức thỏa và . A. . B. . C. . D. . Câu 57.Cho số phức thỏa mãn . Đặt . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. . B. . C. . D. . Câu 58. Trong tập hợp các số phức thỏa mãn: Tìm môđun lớn nhất của số phức . A. . B. . C. . D. . Câu 59. Cho số phức thỏa mãn . Tính , với . A. . B. . C. . D. . Câu 60. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. . Câu 61. Gọi điểm lần lượt biểu diễn các số phức và trên mặt phẳng tọa độ ( và đều không thẳng hàng). Với là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác vuông cân tại . B. Tam giác đều. C. Tam giác vuông cân tại . D. Tam giác vuông cân tại . 12 , zz 12 2 5 5, 1 3 3 6 z z i z i + = +− = − − 12 zz − 1 2 3 2 5 2 7 2 z ( ) 11 z iz − = + mz = m 2 21 − 21 + z 1 z = 1 31 . Pz z = + + − 65 20 2 20 3 15 z 1 2 zz i = − + 5 z = 3 1 4 zi = + 1 2 zi = + 3 zi = + 22 1 zi −+ = z 42 2 − 22 + 22 1 + 3 2 1 + z ( ) 2 4 2 z zz i += + zi + 2 3 4 1 m 2 z ( ) 18 zm i − − += 1 23 z i z i − + = − + 66 65 131 130 z 1 z ≤ 2 2 zi A iz − = + 1 A < 1 A > 1 A ≤ 1 A ≥ z 2 2. 1 zi zi +− = +− zi + 22 + 3 2 + 32 − 22 − z ( ) ( ) 2 2 5 1 2 3 1 z z z iz i − + = − + + − min | | w 22 wz i = −+ 1 min | | 2 w = min | | 1 w = min | | 2 w = 3 min | | 2 w = z 23 1 zi −− = z 13 1 13 + 2 13 + 13 1 − , AB z ( ) 1 ;0 2 i z z z + ′ = ≠ ,, A BC ,, A B C ′′ ′ O OAB A OAB OAB O OAB B https://toanmath.com/ Câu 62. Xét số phức thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị lớn nhất . A. . B. . C. . D. . Câu 63. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của . A. . B. . C. . D. . Câu 64. Cho các số phức thỏa mãn . Giả sử biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất khi lần lượt bằng và . Tính A. . B. . C. . D. . Câu 65. Cho số phức thỏa mãn . Gọi , và số phức . Tính A. . B. . C. . D. . Câu 66. Cho số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giá trị của bằng A. . B. . C. . D. . Câu 67. Cho số phức thỏa mãn và . Giá trị lớn nhất của biểu thức là: A. . B. . C. . D. . Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ, hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất, biết rẳng số phức thỏa mãn điều kiện . A. . B. . C. . D. . Câu 69. Cho là số phức thay đổi thỏa mãn và là điểm biểu diễn cho trong mặt phẳng phức. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A. . B. . C. . D. . Câu 70. Trong các số phức thỏa mãn . Hãy tìm có môđun nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . Câu 71. Cho số phức , tìm giá trị lớn nhất của biết rằng thỏa mãn điều kiện . A. . B. . C. . D. . Câu 72. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức A. B. C. D. Câu 73. Cho số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Tính ? ( ) , ,0 z a bi a b R b =+ ∈> 1 z = 2 2 4 P ab = + 3 2 zz − + 4 P = 22 P = − 2 P = 22 P = + z 11 z− = z 1 2 0 21 − z 43 2 −+ = zi = Pz z 1 11 = + z a bi ( ) 11 , ∈  ab 2 2 2 = + z a bi ( ) 2 2 , ∈  ab 12 = + Sa a 8 = S 10 = S 4 = S 6 = S z ( ) ( ) 1 2 1 2 42 i z i z ++ + +− = max mz = min n z = w m ni = + 2018 w 1009 5 1009 6 1009 2 1009 4 z 1 z = M m 2 11 Pz z z = + + − + . Mm 33 8 13 3 8 3 3 13 3 4 z 2 4 zi zi − ≤ − 3 3 1 zi − − = 2 Pz = − 10 1 + 13 10 13 1 + z z 24 5 zi −− = 12 zi =−− 12 zi = − 1 2 zi =−+ 1 2 zi = + z ( ) 1 24 iz i + + −= ( ) ; M xy z 3 T xy = ++ 4 22 + 8 4 42 z 23 zi z i − = −− z 27 6 55 zi = + 6 27 55 zi = − − 6 27 55 zi = − + 36 55 zi = − z z z 23 11 32 i z i −− += − 2 1 2 3 24 2 z iz i −− = − 2. zi + 3 5. 32 32 + 5 z 2 25 zz − + + = , Mm z Mm + https://toanmath.com/ A. B. C. D. Câu 74. Cho các số phức , thỏa mãn , . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A. B. C. D. Câu 75. Trong các số phức thỏa , gọi là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó. A. Không tồn tại số phức . B. . C. . D. . Câu 76. Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khẳng định nào sau đây là đúng? A. . B. . C. . D. . Câu 77. Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức A. B. C. D. Câu 78. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện .Tìm số phức có môđun nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . Câu 79. Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức A. . B. . C. . D. Câu 80. Cho số phức thỏa mãn không phải số thực và là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức là. A. . B. . C. . D. . Câu 81. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của , với là số phức khác thỏa mãn . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 82. Cho số phức thỏa mãn và số phức . Tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. . Câu 83. Xét các số phức , thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất A. . B. . C. . D. . 1 Mm + = 4 Mm + = 17 2 Mm + = 8 Mm + = z w 53 3 zi −+ = 42 2 iw i ++ = 32 T iz w = + 578 13 + 578 5 + 554 13 + 554 5 + z 34 2 zi   0 z 0 z 0 7 z  0 2 z  0 3 z  z 2 4 2. zz += − + ≤≤ 21 2 1 33 z −+ ≤≤ 31 3 1 66 z −≤ ≤ + 51 5 1 z −≤ ≤ + 61 6 1 z z ( ) 1 6 2 10 i z i − −− = . z 35 + 45 3 5. 3. z 24 2 z i z i −− = − z 1 zi =−+ 32 zi = + 22 zi = + 22 zi =−+ z 12 2 zi −+ = . z 5 65 + 11 4 5 + 6 45 + 9 4 5. + z z 2 2 z w z = + 1 Pz i = +− 22 22 8 2 M m zi P z + = z 0 2 z ≥ 2Mm − 5 2 2 Mm −= 2 10 Mm −= 26 Mm −= 3 2 2 Mm −= z 13 +− = − z i zi 1 = w z w max 9 5 10 = w max 75 10 = w max 4 5 7 = w max 2 5 7 = w z a bi = + ( ) , ab ∈  ( ) ( ) 2 4 15 1 z z i iz z − − = +− 4 F ab =−+ 1 3 2 zi −+ 4 F = 6 F = 5 F = 7 F = https://toanmath.com/ Câu 84. Gọi và là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức thỏa mãn . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 85. - 2017] Cho , là hai nghiệm của phương trình , thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của bằng. A. . B. 5. C. . D. . Câu 86. Trong các số phức thỏa mãn gọi và lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun của số phức là A. . B. . C. . D. . Câu 87. Cho số phức thỏa mãn: . Số phức có môđun nhỏ nhất là: A. . B. . C. . D. . Câu 88. Cho số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Khi đó bằng. A. . B. . C. . D. . Câu 89. Cho các số phức , , thỏa mãn và . Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . Câu 90. Số phức nào sau đây có môđun nhỏ nhất thỏa : A. . B. . C. . D. . Câu 91. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho điểm và là điểm biển diễn số phức thoả mãn điều kiện . Tìm toạ độ điểm để đoạn thẳng nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . Câu 92. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. . Câu 93. Tìm giá trị lớn nhất của với là số phức thỏa mãn . A. . B. . C. . D. . Câu 94. Cho số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt là điểm biểu diễn số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi là trung điểm của , biểu diễn số phức , tổng nhận giá trị nào sau đây? A. . B. . C. . D. . M m z 2 1 = − z Mm + 5 3 2 4 1 z 2 z 63 2 69 i iz z i − + = − − 12 8 5 zz −= 12 zz + 42 56 5 31 5 z 2 12 zz += 1 z 2 z 12 wz z = + 12 w = + 22 w = 2 w = 2 w = z 22 1 zi −− = zi − 51 − 51 + 52 + 5 2 − z 2 3 4 10 zi − − = M m z Mm − 15 10 20 5 z 1 z 2 z 12 45 1 z i z −− = − 4 84 z i z i + = − + 12 M zz = − 12 P zz zz = − + − 6 2 5 8 41 z || 3 4 zz i = − + 3– 4 zi = − 7 3 8 zi = − 3 2 2 zi = + 3 2 2 zi = − − , Oxy ( ) 4; 4 A M z 12 z zi − = +− M AM ( ) 1; 5 M ( ) 2; 8 M ( ) 1; 1 M − − ( ) 2; 4 M − − z 23 1 zi −− = 1 zi ++ 13 1 + 13 2 + 4 6 2 2 1 = − + ++ Pz z z z z 1 = z 3 13 4 5 3 z 3 3 10 z iz i + + − = 1 M 2 M z M 12 MM ( ) ; M ab w a b + 7 2 5 4 9 2 https://toanmath.com/ Câu 95. Cho số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Khi đó bằng A. B. C. D. Câu 96. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. . B. . C. . D. . Câu 97. Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. . Câu 98. Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. . Câu 99.Cho số phức thỏa mãn điều kiện: và có môđun lớn nhất. Số phức có môđun bằng: A. . B. . C. . D. . Câu 100. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện , môđun nhỏ nhất của số phức bằng: A. . B. . C. . D. . Câu 101. Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ? A. . B. . C. . D. . Câu 102. Cho các số phức , và số phức thay đổi thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Giá trị biểu thức bằng A. B. C. D. Câu 103. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A. . B. . C. . D. . Câu 104. Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. . Câu 105. Cho số phức thỏa mãn và . Khi đó số phức là. A. . B. . C. . D. . z 3 38 zz −+ + = M m . z Mm + 4 7. − 4 7. + 7. 4 5. + z 1 z = max M min M 23 1 1. Mz z z = ++ + + = = max min 5; 1 MM = = max min 5; 2 MM = = max min 4; 1 MM = = max min 4; 2 MM z 12 z− = 2 T zi z i = + + − − max 4 2 T = max 8 T = max 8 2 T = max 4 T = z 1 8 3 53 − − + − − = z iz i 1 2 = ++ Pz i max 53 = P max 185 2 = P max 106 = P max 53 = P z 1 2 5 zi − + = 1 wz i = ++ z 6 52 2 5 3 2 42 2 z i i z − −= − z 3 22 2 3 2 1 2 , zz 1 12 zi +− = 2 1 z iz = m 12 zz − 22 2 m = − 22 m = 2 m = 21 m = − 1 2 zi =−+ 2 2 zi = + z 22 12 16 zz zz − + − = M m z 22 M m − 15 7 11 8 z 11 3 2 z zi − = + 2 47 P zi z i = + + − + 8 10 2 5 4 5 1 2 , zz 1 23 2 zi +− = 2 12 1 zi − − = 12 P zz = − 6 P = 3 P = 3 34 P = + 3 10 P = + z 24 5 zi −− = min z z 45 zi = + 32 zi = + 2 zi = − 1 2 zi = + https://toanmath.com/ Câu 106. Xét số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là , . Số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là , . Biết rằng , , , là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của . A. . B. . C. . D. . Câu 107. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng A. . B. . C. . D. . Câu 108. Trong các số phức thỏa , gọi là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó A. Không tồn tại số phức . B. . C. . D. . Câu 109. Gọi là số các số phức đồng thời thỏa mãn và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Gọi là giá trị lớn nhất của . Giá trị tích của là A. B. C. D. Câu 110. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là. A. . B. . C. . D. . Câu 111. Cho là các số phức thỏa Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. . B. . C. . D. . Câu 112. Cho với , là số phức thỏa mãn điều kiện . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính . A. . B. . C. . D. . Câu 113. Tìm số phức thỏa mãn và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. A. và . B. . C. . D. . Câu 114. Cho số phức thỏa mãn . Tính , với . A. . B. . C. . D. . Câu 115. Cho số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Môđun của số phức là A. B. C. D. Câu 116. Cho số phức thoả mãn và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức bằng z M M ′ ( ) 43 zi + N N ′ M M ′ N N ′ 45 zi + − 5 34 2 5 1 2 4 13 z 1 z = 1 21 Pz z = + + − 2 5 4 5 5 6 5 z 34 2 zi   0 z 0 z 0 2 z  0 7 z  0 3 z  n z i 1 2i 3 z++ = 2 5 2i 3 3i Tz z = ++ + − M T . Mn 2 13 10 21 6 13 5 21 z 23 1 zi −− = 1 zi ++ 13 2 + 6 4 13 1 + 1 2 3 , , zz z 12 3 1. zz z = = = 1 2 3 1 2 2 3 31 z zz z zz z z z ++ < + + 1 2 3 1 2 2 3 31 z zz z zz z z z ++ ≠ + + 1 2 3 1 2 2 3 31 z zz z zz z z z ++ = + + 1 2 3 1 2 2 3 31 z zz z zz z z z ++ > + + z x yi = + x y ∈  23 2 5 z i zi + − ≤ + − ≤ M m 22 86 P x y x y = + + + Mm + 156 20 10 5 − 60 20 10 − 156 20 10 5 + 60 2 10 + z 15 zi − − = 79 2 8 Tz i z i = −− + − 16 zi = + 52 zi = − 45 zi = + 52 zi = − 16 zi = + z ( ) ( ) 2 2 5 1 2 3 1 z z z iz i − + = − + + − min | | w 22 wz i = −+ 3 min | | 2 w = min | | 2 w = min | | 1 w = 1 min | | 2 w = z 34 5 zi − − = M m 22 2 P z zi = + −− w M mi = + 1258 w = 2 309 w = 2 314 w = 3 137 w = z 3 4i 5 z− − = 22 2 i Pz z = + −− z https://toanmath.com/ A. . B. . C. . D. . Câu 117. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của , với là số phức khác và thỏa mãn . Tính tỷ số . A. B. C. D. Câu 118. Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của . A. . B. . C. . D. . Câu 119. Gọi là số phức thỏa mãn hai điều kiện và đạt giá trị lớn nhất. Tính tích A. . B. . C. . D. . Câu 120. Xét các số phức ( ) thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . Câu 121.Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A. . B. . C. . D. . Câu 122. Cho các số phức , thỏa mãn và . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng A. . B. . C. . D. . Câu 123. Biết rằng . Tìm giá trị lớn nhất của module số phức ? A. B. C. D. Câu 124. Trong các số phức thỏa mãn , số phức có môđun nhỏ nhất là. A. . B. . C. . D. . Câu 125. Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của . A. . B. . C. . D. . Câu 126. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A. . B. . C. . D. . Câu 127. Xét số phức thỏa mãn Mệnh đề nào dưới đây đúng? 52 13 10 10 M m zi P z + = z 0 2 z ≥ M m 5 M m = 3 M m = 3 4 M m = 1 3 M m = z ( ) ( ) 2 4 2 1 2 + = − − + z z iz i 32 = +− Pz i min 7 2 = P min 3 = P min 4 = P min 2 = P ( ) , z x yi x y =+∈  22 2 2 26 z z − + + = 33 22 zi −− . xy = 9 2 xy = 13 2 xy = 16 9 xy = 9 4 xy z a bi = + , ab ∈  32 2 zi − − = ab + 12 2 2 5 z iz i +− + − − 3 4 3 + 43 − 2 3 + z 1 z = 1 31 Pz z = + + − 3 15 P = 2 5 P = 2 10 P = 6 5 P = w z 35 wi 5 += ( ) ( ) 5w 2 i 4 z =+− 1 2i 5 2i Pz z = − − + − − 67 4 2 13 + 2 53 4 13 12 z− = 2 wz i = + 25 + 2 5 + 5 2 − 52 − z 24 zz i = −+ 3 zi = + 5 z = 5 2 zi = 1 2 zi = + z 3 − = + z zi = Pz min 2 10 5 = P min 3 10 5 = P min 10 5 = P min 3 = P z 1 z = = + 5 1 i A z 6 8 5 4 z 2 1 3 2 2. z zi −+ − ≤ https://toanmath.com/ A. . B. . C. . D. . Câu 128. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là A. . B. . C. . D. . 13 22 z << 3 2 2 z << 2 z > 1 2 z < z 33 2 zi − + = zi − 8 9 6 7 https://toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện 3 2. zi z i + = +− Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? A. 12 55 zi =− + . B. 12 55 zi = − . C. 1 2 zi =−+ . D. 12 zi = − . Hướng dẫn giải Chọn B Phương pháp tự luận Giả sử ( ) , z x yi x y =+ ∈  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 3 2 3 2 1 3 2 1 zi z i x y i x y i x y x y + = + − ⇔ + + = + +− ⇔ + + = + +− 6 9 4 4 2 1 48 4 0 21 0 2 1 y x y xy x y x y ⇔ + =+ −+ ⇔ − − =⇔ −−=⇔ = + ( ) 2 2 22 2 2 2 15 21 5 41 5 5 5 5 z xy y y y y y  = += + += + + = + + ≥   Suy ra min 5 5 z = khi 21 55 yx = − ⇒= Vậy 12 . 55 zi = − Phương pháp trắc nghiệm Giả sử ( ) , z x yi x y = +∈  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 3 2 3 2 1 3 2 1 zi z i x y i x y i x y x y + = + − ⇔ + + = + +− ⇔ + + = + +− 6 9 4 4 2 1 48 4 0 21 0 y x y xy x y ⇔ + =+ −+ ⇔ − − =⇔ −−= Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện 3 2 zi z i + = +− là đường thẳng : 2 10 dx y − −= . Phương án A: 12 zi = − có điểm biểu diễn ( ) 1; 2 d −∉ nên loại A. Phương án B: 12 55 zi =− + có điểm biểu diễn 12 ; 55 d  −∉   nên loại B. Phương án D: 1 2 zi =−+ có điểm biểu diễn ( ) 1;2 d − ∉ nên loại B. Phương án C: 12 55 zi = − có điểm biểu diễn 12 ; 55 d  −∈   Câu 2. Trong các số phức z thỏa mãn 24 2 z i z i −− = − . Số phức z có môđun nhỏ nhất là A. 32 zi = + B. 1 zi =−+ C. 22 zi =−+ D. 22 zi = + Hướng dẫn giải Chọn D Đặt z a bi = + . Khi đó 24 2 z i z i −− = − ⇔ ( ) ( ) ( ) 24 2 a bi a bi −+− = +− ⇔ ( ) ( ) ( ) 22 2 2 24 2 a b ab − +− = +− ⇔ 4 ab + = (1) Mà 22 z ab = + . Mà ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 11 BCS a b ab + + ≥+ https://toanmath.com/ ⇔ ( ) 2 22 8 2 ab ab + + ≥ = (Theo (1)) ⇔ 22 22 ab + ≥ ⇔ 22 z ≥ ⇒ min 2 2 z = Đẳng thức xảy ra ⇔ 11 ab = (2) Từ (1) và (2) ⇒ 2 2 a b =   =  ⇒ 22 zi = + . Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn 1 −= − z zi . Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức w2 2 = +− zi . A. 3 2 2 . B. 3 2 . C. 3 2 . D. 3 22 . Hướng dẫn giải Chọn A Giả sử = + ⇒= − z a bi z a bi . Khi đó 1 −= − z zi ( ) 11 ⇔ −+ = + − a bi a b i . ( ) ( ) 22 22 11 ⇔ − + = +− a b a b 0 ⇔ − = a b . Khi đó w2 2 = +− zi ( ) ( ) ( ) 2 2 22 1 = + + −= + + − a ai i a i a . ( ) ( ) 22 w 2 2 21 ⇒= + + − aa 2 3 2 8 45 2 = + + ≥ aa . Vậy mô đun nhỏ nhất của số phức w là 3 2 2 . Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn 34 1 zi − − =. Tìm giá trị nhỏ nhất của z . A. 6 . B. 4 . C. 3. D. 5. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ( ) 34 5 5 3 1 14 4 zi i z z z ≥ + − = − + = − ⇔ ≥ −= . Câu 5. Cho hai số phức 1 z , 2 z thỏa mãn 1 35 2 zi − += và 2 1 2 4 iz i − + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 12 2 3 T iz z = + . A. 313 16 + . B. 313 . C. 313 8 + . D. 313 2 5 + . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 11 3 5 2 2 6 10 4 z i iz i − + = ⇔ ++ = ( ) 1 ; ( ) 22 1 2 4 3 6 3 12 iz i z i − + = ⇔ − − − = ( ) 2 . Gọi A là điểm biểu diễn số phức 1 2iz , B là điểm biểu diễn số phức 2 3z − . Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra điểm A nằm trên đường tròn tâm ( ) 1 6; 10 I −− và bán kính 1 4 R = ; điểm B nằm trên đường tròn tâm ( ) 2 6;3 I và bán kính 2 12 R = . https://toanmath.com/ Ta có 22 1 2 12 1 2 2 3 12 13 4 12 313 16 T iz z AB I I R R = + = ≤ + + = + ++ = + . Vậy max 313 16 T = + . Câu 6. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 12 z i z i + − = +− , hãy tìm phần ảo của số phức có môđun nhỏ nhất? A. 10 13 . B. 2 5 . C. 2 − . D. 2 13 − . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi ( ) ,, z a bi a b R =+∈ . 2 3 12 2 3 12 z i z i a bi i a bi i + − = +− ⇔ + + − = − +− ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 3 1 2 2 10 8 0 a b a b ab ⇔ + +− = + ++ ⇔ − + = ( ) 2 2 22 2 2 8 5 4 26 40 16 13 z ab b b b b = += − += − + ≥ . Suy ra: z có môđun nhỏ nhất khi 10 13 b = . Câu 7. Xét các số phức 1 34 zi = − và 2 2 z mi = + , ( ) m ∈  . Giá trị nhỏ nhất của môđun số phức 2 1 z z bằng? A. 2 5 . B. 2 . C. 3. D. 1 5 . Hướng dẫn giải Chọn A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 34 6 4 3 8 2 64 3 8 3 4 3 4 3 4 25 25 25 mi i m m i z mi m m i z i ii + + −+ + + − + = = = = + − − + 22 2 1 64 3 8 25 25 z mm z − +    ⇒= +       22 2 2 1 36 48 16 9 48 64 25 z m mm m z − + ++ + ⇒= 22 22 2 11 25 100 4 4 2 25 25 25 5 z m zm zz ++ ⇒= ⇒= ≥ = . Hoặc dùng công thức: 2 2 11 z z zz = . Câu 8. Số phức z nào sau đây có môđun nhỏ nhất thỏa | | | 3 4| zz i = − + : I 2 I 1 B A https://toanmath.com/ A. 3 2 2 zi = −− . B. 7 3 8 zi = − . C. 3 2 2 zi = + . D. 3– 4 zi = − . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi z a bi =+ = > z a bi = − ; | | | 3 4| zz i = − + ⇔ ( ) 6 8 25 0 * . ab −+ + = Trong các đáp án, có đáp án 7 3 8 zi = − và 3 2 2 zi = −− thỏa (*). Ở đáp án 7 3 8 zi = − : 25 8 z = ; Ở đáp án 3 2 2 zi = −− thì 5 2 z = . Chọn đáp án: 3 2 2 zi = −− . Câu 9. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn ( ) 18 zm i − − += và 1 23 z i z i − + = − + . A. 66 . B. 130. C. 131. D. 63. Hướng dẫn giải Chọn A - Đặt z x yi = + , với x , y ∈  . - Từ giả thiết ( ) 18 zm i − − += ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 64 xm y ⇒− − + + =, do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn ( ) T có tâm ( ) 1; 1 Im−− , bán kính 8 R = . - Từ giả thiết 1 23 z i z i − + = − + ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 11 2 3 xy x y ⇒ − + + = − +− + 2 8 11 0 xy ⇔ + −= hay M nằm trên đường thẳng : 2 8 11 0 xy ∆ + −= . - Yêu cầu bài toán ⇔∆ cắt ( ) T tại 2 điểm phân biệt ( ) ; dI R ⇔ ∆< ( ) 2 1 8 11 8 2 17 m− − − ⇔< 2 21 16 17 m ⇔ −< 21 16 17 21 16 17 22 m −+ ⇔ << , do m ∈  nên { } 22; 21;...;42;43 m∈− − . Vậy có tất cả 66 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 10. Cho các số phức z thoả mãn 2 = z . Đặt ( ) 1 2 1 2 = + − + w iz i . Tìm giá trị nhỏ nhất của w . A. 2 . B. 35 . C. 2 5 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi số phức = + z a bi với a , ∈  b . Ta có 22 22 =⇔ += z ab 22 4 ⇔ += ab ( ) * . Mà số phức ( ) 1 2 1 2 = + − + w iz i ( ) ( ) 1 2 1 2 ⇔ = + + − + w i a bi i ( ) ( ) 21 2 2 ⇔ = − − + ++ w a b ab i . Giả sử số phức = + w x yi ( ) , ∈  xy . Khi đó 21 1 2 2 2 22 = − − += −  ⇔  = ++ − = +  x ab x ab y ab y ab . Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 22 + +− =− + + x y a b ab ( ) ( ) 2 2 2 2 22 1 2 4 4 4 4 ⇔ + + − = + − + + + x y a b ab a b ab https://toanmath.com/ ( ) ( ) ( ) 2 2 22 1 25 ⇔ + +− = + x y ab ( ) ( ) 2 2 1 2 20 ⇔ + +− = x y (theo ( ) * ). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm ( ) 1;2 − I , bán kính 20 2 5 = = R . Điểm M là điểm biểu diễn của số phức w thì w đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất. Ta có ( ) 2 2 12 5 = − + = OI , 2 5 = = IM R . Mặt khác ≥− OM OI IM 5 2 5 ⇔ ≥ − OM 5 ⇔ ≥ OM . Do vậy w nhỏ nhất bằng 5 . Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn 11 zi − − =, số phức w thỏa mãn 23 2 wi −− =. Tìm giá trị nhỏ nhất của zw − . A. 17 3 + B. 13 3 + C. 13 3 − D. 17 3 − Hướng dẫn giải Chọn D Gọi ( ) ; M xy biểu diễn số phức z x iy = + thì M thuộc đường tròn ( ) 1 C có tâm ( ) 1 1;1 I , bán kính 1 1 R = . ( ) ; Nx y ′′ biểu diễn số phức w x iy ′′ = + thì N thuộc đường tròn ( ) 2 C có tâm ( ) 2 2; 3 I − , bán kính 2 2 R = . Giá trị nhỏ nhất của zw − chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn MN . Ta có ( ) 12 1; 4 II = −   12 17 II ⇒= 12 RR >+ ( ) 1 C ⇒ và ( ) 2 C ở ngoài nhau. min MN ⇒ 12 1 2 II R R = −− 17 3 = − Câu 12. Cho số phức ( ) , 12 mi z m mm i −+ = ∈ − −  . Tìm môđun lớn nhất của . z A. 2. B. 1. C. 0. D. 1 2 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: ( ) −+ = = + ⇒ = ≤⇒ = ⇔ = = − − ++ + 22 2 max 1 1 1 ;0 12 11 1 mi m i z z z z im mm i mm m . Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn 13 z i zi +− = − . Tính môđun nhỏ nhất của zi − . A. 35 10 . B. 4 5 5 . C. 35 5 . D. 75 10 . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi ( ) ; ; z x yi x y = +∈  có điểm ( ) ; M xy biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ. Từ giả thiết 13 z i zi +− = − suy ra : 2 4 7 0 M xy ∈∆ + − = . Ta có: ( ) 1 zi x y i −= + − có điểm ( ) ; 1 M xy ′ − biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ. Ta có: ( ) 24 7 0 24 1 3 0 : 24 3 0 xy x y M xy ′′ + − = ⇔ + − −= ⇒ ∈∆ + −= . https://toanmath.com/ Vậy ( ) min 22 3 35 ; , 10 24 z i dO − ′ − = ∆= = + khi 38 10 5 zi = + . Câu 14. Cho số phức z thoả mãn 34 5 zi −− = . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2 P z zi = + − − . Tính môđun của số phức . w M mi = + A. 2 309 w = . B. 2315 w = . C. 1258 w = . D. 3 137 w = . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z x yi = + . Ta có ( ) ( ) 22 22 2 1 42 3 Px y x y x y   = + + − +− = + +   . Mặt khác ( ) ( ) 2 2 34 5 3 4 5 zi x y − − = ⇔ − + − = . Đặt 3 5 sin x t = + , 4 5 cos yt = + Suy ra 4 5 sin 2 5 cos 23 Pt t = ++ . Ta có 10 4 5 sin 2 5 cos 10 tt −≤ + ≤ . Do đó 13 33 33 P M ≤≤ ⇒ = , 22 13 33 13 1258 mw = ⇒ = + = . Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn 12 3 zi −+ =. Tìm môđun lớn nhất của số phức 2. z i − A. + 26 8 17 . B. − 26 4 17 . C. + 26 6 17 . D. − 26 6 17 . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi ( ) ( ) ;; 2 2 z x yi x y z i x y i = + ∈ ∈ ⇒ − = + −  . Ta có: ( ) ( ) 22 12 9 1 2 9 zi x y −+ = ⇔ − + + = . Đặt 1 3sin ; 2 3cos ; 0; 2 . x ty tt π = + = − + ∈    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α α ⇒ − = + +− + = + − = + + ∈  2 22 2 1 3sin 4 3cos 26 6 sin 4cos 26 6 17 sin ; z i t t t t t ⇒− ≤− ≤+ ⇒− =+ max 26 6 17 2 26 6 17 2 26 6 17 z i z i . Câu 16. Giả sử 1 z , 2 z là hai trong số các số phức z thỏa mãn 2 1 iz i + −= và 12 2 zz −= . Giá trị lớn nhất của 12 zz + bằng A. 3. B. 2 3 . C. 3 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có ( ) 2 1 1 21 iz i z i + −= ⇔ − + = . Gọi 0 1 2 zi = + có điểm biểu diễn là ( ) 1; 2 I . Gọi A , B lần lượt là các điểm biểu diễn của 1 z , 2 z . Vì 12 2 zz −= nên I là trung điểm của AB . Ta có ( ) 22 22 12 2 4 16 4 z z OA OB OA OB OI AB += + ≤ + = + = = . Dấu bằng khi OA OB = . https://toanmath.com/ Câu 17. Gọi T là tập hợp tất cả các số phức z thõa mãn 2 zi −≥ và 14 z+ ≤ . Gọi 12 , zz T ∈ lần lượt là các số phức có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất trong T . Khi đó 12 zz − bằng: A. 4 i − . B. 5 i − . C. 5 i − + . D. 5 − . Hướng dẫn giải Chọn B . Đặt z x yi = + khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 12 2 14 14 14 1 16 xy i zi x y z x yi x y   +− ≥  −≥ +− ≥  ⇔⇔   + ≤ ++ ≤ + +≤      . Vậy T là phần mặt phẳng giữa hai đường tròn ( ) 1 C tâm ( ) 1 0;1 I bán kính 1 2 r = và đường tròn ( ) 2 C tâm ( ) 2 1;0 I − bán kính 2 4 r = . Dựa vào hình vẽ ta thấy 12 0, 5 z iz =− = − là hai số phức có điểm biểu diễn lần lượt là ( ) ( ) 1 0; 1 , 5;0 MM −− có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất. Do đó ( ) 12 55 zz i i − =−− − = − . Câu 18. Trong tập hợp các số phức, gọi 1 z , 2 z là nghiệm của phương trình 2 2017 0 4 zz − + =, với 2 z có thành phần ảo dương. Cho số phức z thoả mãn 1 1 zz − = . Giá trị nhỏ nhất của 2 P zz = − là A. 2016 1 2 − . B. 2017 1 − . C. 2016 1 − . D. 2017 1 2 − . Hướng dẫn giải Chọn C Xét phương trình 2 2017 0 4 zz − + = Ta có: 2016 0 ∆ = − < ⇒ phương trình có hai nghiệm phức 1 2 1 2016 2 2 1 2016 22 z i zi  = +    = −   . Khi đó: 12 2016 zz i −= ( ) ( ) 2 1 12 12 1 2016 1 zz zz z z z z zz P − = − + − ≥ − − − ⇔ ≥ − . Vậy min 2016 1 P = − . Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn . 1 zz = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 P z zz zz = + + − + . https://toanmath.com/ A. 15 4 . B. 3. C. 13 4 . D. 3 4 . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi z a bi = + , với , ab ∈  . Ta có: 2 zz a += ; 2 . 1 1 1 zz z z =⇔ =⇔= . Khi đó 32 33 z P z zz zz z z zz z  = + + − + = ++ − +   . 2 2 22 2 .3 2 1 z P z z zz z zz z zz z = + + −+ = + + + −+ . ( ) 2 2 2 2 1 33 1 4 1 2 4 1 2 2 2 44 P zz zz a a a a a  = + +− + = + − = + − = − + ≥   . Vậy min 3 4 P = . 4 3 TCâu 20.Cho các số phức 4 3 T z 4 3 T, 4 3 Tw 4 3 T thỏa mãn 4 3 T 5 z = 4 3 T, 4 3 T ( ) 4 3 12 w iz i = − +− 4 3 T. Giá trị nhỏ nhất của 4 3 T w 4 3 T là : A. 6 5 B. 35 C. 4 5 D. 55 Hướng dẫn giải Chọn C Theo giả thiết ta có ( ) 1 2 4 3 12 43 wi w iz i z i − + = − +− ⇒ = − 4 3 T. Mặt khác 1 2 5 5 1 2 55 43 wi z wi i − + = ⇔ = ⇔ − + = − 4 3 T. Vậy tập hợp điểm biễu diễn số phức w 4 3 T là đường tròn tâm 4 3 T ( ) 1; 2 I − 4 3 T và bán kính 4 3 T55 4 3 T. Do đó min 4 5 w R OI =−= . Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn 1 4 z z += . Tính giá trị lớn nhất của z . A. 4 3 + . B. 2 5 + . C. 2 3 + . D. 4 5 + . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 11 zz zz +≥ − 1 4 z z ⇔≥ − 2 5 z ⇒ ≤ + . Câu 22. Biết số phức ( ) ,, z a bi a b =+∈  thỏa mãn điều kiện 24 2 z i z i −− = − có mô đun nhỏ nhất. Tính 22 Ma b = + . A. 26 M = . B. 10 M = . C. 8 M = . D. 16 M = . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi ( ) ,, z a bi a b =+∈  . Ta có 24 2 24 2 z i z i a bi i a bi i − −= −⇔ + − −= + − . ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 4 2 40 a b a b ab ⇔ − +− = +− ⇔ + − = . https://toanmath.com/ ( ) ( ) 22 22 2 4 2 2 8 22 z ab a a a = + = + − = − +≥ . Vậy z nhỏ nhất khi 2, 2 ab = = . Khi đó 22 8 Ma b = += . Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn 1. z = Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 1. Pz z z = + + − + Tính giá trị của . Mm . A. 13 3 4 . B. 39 4 . C. 33 . D. 13 4 . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi ( ) ;; z x yi x y =+ ∈∈  . Ta có: 1 .1 z zz =⇔= Đặt 1 tz = + , ta có 0 1 1 1 2 0; 2 . zz z t = − ≤ + ≤ + = ⇒ ∈    Ta có ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 . 22 . 2 t t z z zz z z x x − = + + = + ++ = + ⇒ = Suy ra ( ) 2 22 2 1 . 1 21 21 3 zz zz zz z z z x x t − + = − + = − + = − = − = − . Xét hàm số ( ) 2 3 , 0; 2 . ft t t t = + − ∈    Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra ( ) ( ) = = ⇒= 13 13 3 max ; min 3 . 4 4 ft ft Mn . Câu 24. Cho số phức 0 z ≠ thỏa mãn 2 z ≥ . Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức zi P z + = . A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: 11 1 11 1 11 iii i zzz zzz − ≤ + ≤+ ⇔ − ≤ + ≤+ . Mặt khác 11 2 2 z z ≥⇔ ≤ suy ra 1 3 22 P ≤≤ . Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 31 , 22 . Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2 . Câu 25. Nếu z là số phức thỏa 2 zz i = + thì giá trị nhỏ nhất của 4 zi z −+ − là A. 3 . B. 4 . C. 5. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z x yi = + với x , y ∈  theo giả thiết 2i zz = + 1 y ⇔= − . ( ) d Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng ( ) d . Gọi ( ) 0;1 A , ( ) 4;0 B suy ra 4 zi z P −+ − = là tổng khoảng cách từ điểm ( ) ;1 Mx − đến hai điểm A , B . https://toanmath.com/ Thấy ngay ( ) 0;1 A và ( ) 4;0 B nằm cùng phía với ( ) d . Lấy điểm đối xứng với ( ) 0;1 A qua đường thẳng ( ) d ta được điểm ( ) 0; 3 A ′ − . Do đó khoảng cách ngắn nhất là 22 34 5 AB ′ = += . Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn 23 1 −− = zi . Giá trị lớn nhất của 1 ++ zi là A. 13 2 + . B. 4 . C. 6 . D. 13 1 + . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi = + z x yi ta có ( ) 23 23 2 3 −− = + −− = −+ − z i x yi i x y i . Theo giả thiết ( ) ( ) 22 2 31 −+ −= xy nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm ( ) 2;3 I bán kính 1 = R . Ta có ( ) ( ) ( ) 22 1 1 11 1 1 ++ = − ++ = ++ − = + + − z i x yi i x y i x y . Gọi ( ) ; M xy và ( ) 1;1 − H thì ( ) ( ) 2 2 11 = + +− HM x y . Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn. Phương trình 23 : 32 = +   = +  xt HI yt , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: 22 1 941 13 + =⇔=± tt t nên 3 2 32 2 ;3 , 2 ;3 13 13 13 13    + + −−       MM . Tính độ dài MH ta lấy kết quả 13 1 = + HM . Câu 27. Cho hai số phức u , v thỏa mãn 3 6 3 1 3 5 10 ui u i − + − − = , 1 2 v i vi − + = + . Giá trị nhỏ nhất của uv − là: A. 5 10 3 B. 10 3 C. 2 10 3 D. 10 Hướng dẫn giải Chọn C  Ta có: 3 6 3 1 3 5 10 ui u i − + − − = 5 10 6 13 3 u iu i ⇔ − + − − = 12 5 10 3 MF MF ⇒ + = . u ⇒ có điểm biểu diễn M thuộc elip với hai tiêu điểm ( ) ( ) 12 0;6 , 1;3 FF , tâm 19 ; 22 I    và độ dài trục lớn là 5 10 2 3 a = 5 10 6 a ⇒= . ( ) 12 12 1; 3 : 3 6 0 FF FF x y = − ⇒ + −=    .  Ta có: 1 2 v iv iv i − + = + = − NA NB ⇒= https://toanmath.com/ v ⇒ có điểm biểu diễn N thuộc đường thẳng d là trung trực của đoạn AB với ( ) ( ) 1; 2 , 0;1 AB − . ( ) 1;3 AB = −   , 1 1 ; 2 2 K  −     là trung điểm của AB : 3 20 dx y ⇒ − − =. ( ) ( ) 2 2 1 27 2 3 10 22 , 2 13 d I d −− = = +− Dễ thấy 12 FF d ⊥ ( ) 2 10 min min , 3 u v MN d I d a ⇒ −= = − = . Câu 28. Gọi 1 z , 2 z là các nghiệm phức của phương trình 2 4 13 0 zz − + = , với 1 z có phần ảo dương. Biết số phức z thỏa mãn 1 2 2 zz zz − ≤ − , phần thực nhỏ nhất của z là A. 2  B. 1 C. 9 D. 6 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có 2 4 13 0 zz − + = ⇔ 1 2 3i z = + hoặc 2 2 3i z = − . Gọi i z xy = + , với , xy ∈  . Theo giả thiết, 1 2 2 zz zz − ≤ − ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 3 2 3 xy xy − +− ≤ − ++ ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 42 3 2 3 xy xy  ⇔ − +− ≤ − ++  ( ) ( ) 22 2 5 16 xy ⇔ − + − ≤ . Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là miền trong của hình tròn ( ) C có tâm ( ) 2;5 I , bán kính 4 R = , kể cả hình tròn đó. Do đó, phần thực nhỏ nhất của z là min 2 x = − . Câu 29. Cho số phức z thỏa mãn ( ) ( ) 2 1 2 1 10 zi z i + ++ − − = . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính tổng S Mm = + . A. 8 S = . B. 2 21 S = . C. 2 21 1 S = − . D. 9 S = . Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử z a bi = + , ( ) , ab ∈  z a bi ⇒= − . Chia hai vế cho i ta được: 2 2 10 z iz i + −+ − + = . Đặt ( ) ; M ab , ( ) ; Na b − , ( ) 2;1 A − , ( ) 2; 1 B − , ( ) 2;1 C NB MC ⇒= . Ta có: 10 MA MC += ( ) 22 :1 25 21 XY ME ⇒∈ + = . https://toanmath.com/ Elip này có phương trình chính tắc với hệ trục tọa độ IXY , ( ) 0;1 I là trung điểm AC . Áp dụng công thức đổi trục ( ) 2 2 1 1 1 25 21 Xx y x Yy = −  ⇒+ =  = −  . Đặt 5sin 1 21cos at bt =    −=   , [ ) 0;2 t π ∈ 2 2 22 z OM a b ⇒ = = + ( ) 2 2 25sin 1 21cos tt = + + ( ) 2 26 4cos 2 21cos tt = +− + . max 0 1 21 cos 1 1 21 a zt b =   =+⇔ =⇔  = +   . min 0 1 21 cos 1 1 21 a z t b =   =−+ ⇔ =− ⇔  = −   . 2 21 Mm ⇒ + = . Câu 30. Cho 2018 phức z thoả mãn 34 5 zi − − = . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2 P z zi = + −− . Tính môđun của 2018 phức w M mi = + . A. 2 314 w = . B. 2 309 w = . C. 1258 w = . D. 1258 w = . Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử z a bi = + ( , ab ∈  ) . ( ) ( ) 22 34 5 3 4 5 zi a b − − = ⇔ − + − = (1) . ( ) ( ) 22 22 22 2 2 1 4 23 P z zi a b a b a b  = + −− = + + − + − = + +  (2) . Từ (1) và (2) ta có ( ) 22 20 64 8 22 137 0 a Pa P P + − + − + = (*) . Phương trình (*) có nghiệm khi 2 4 184 1716 0 PP ′ ∆ =− + − ≥ 13 33 1258 Pw ⇔ ≤≤ ⇒ = . Câu 31. Cho hai số phức , zz ′ thỏa mãn 55 z+= và 13 3 6 z i z i ′ ′ +− = − − . Tìm giá trị nhỏ nhất của zz ′ − . A. 10 . B. 3 10 . C. 5 2 . D. 5 4 . Hướng dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ Gọi ( ) ; M xy là điểm biểu diễn của số phức z x yi = + , ( ) ; Nx y ′′ là điểm biểu diễn của số phức z x yi ′′ = + . Ta có ( ) 2 22 55 5 5 5 5 z x yi x y + = ⇔ ++ = ⇔ + + = . Vậy M thuộc đường tròn ( ) ( ) 2 22 :5 5 Cx y + += 13 3 6 z i z i ′ ′ +− = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 13 3 6 x y ix y i ′′ ′ ′ ⇔ + + − = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 1 3 3 6 8 6 35 x y x y xy ′ ′ ′ ′ ′′ ⇔ + + − = − + − ⇔ + = Vậy N thuộc đường thẳng :8 6 35 xy ∆ += Dễ thấy đường thẳng ∆ không cắt ( ) C và z z MN ′ −= Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho bộ ba điểm ( ) ,, IM N ta có. 0 MN IN IM IN R IN R ≥ − = −≥ − ( ) ( ) 22 8. 5 6.0 5 5 ,5 2 86 dI R − + − = ∆− = − = + Dấu bằng đạt tại 00 ; M MN N ≡= . Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn 2 z ≤ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 12 1 4 P z z zz i = + + −+ − − bằng: A. 7 2 15 + . B. 2 3 + . C. 14 4 15 + . D. 4 2 3 + . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi ( ) i, , z x y x y = +∈  . Theo giả thiết, ta có 22 24 z xy ≤⇔ + ≤ . Suy ra 2, 2 x y −≤ ≤ . Khi đó, 2 12 1 4 P z z zz i = + + −+ − − ( ) ( ) ( ) 22 22 21 1 2 x y x yy = + + + − + + − ( ) ( ) ( ) 22 22 21 1 2 P x y x yy ⇔ = + + + − + + − ( ) 2 22 1 2 y y ≥ + +− . Dấu “ = ” xảy ra khi 0 x = . https://toanmath.com/ Xét hàm số ( ) 2 21 2 fy y y = + +− trên đoạn [ ] 2; 2 − , ta có: ( ) 2 2 1 1 y fy y ′ = − + 2 2 2 1 1 y y y −+ = + ; ( ) 1 0 3 fy y ′ = ⇔= . Ta có 1 2 3 3 f  = +   ; ( ) 2 4 2 5 f − = + ; ( ) 2 2 5 f = . Suy ra [ ] ( ) 2; 2 min 2 3 fy − = + khi 1 3 y = . Do đó ( ) 22 3 4 2 3 P≥+ =+ . Vậy min 4 2 3 P = + khi 1 i 3 z = . Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn 1 z = . Giá trị lớn nhất của biểu thức 1 21 Pz z = + + − bằng A. 6 5 . B. 2 5 . C. 4 5 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi số phức i z xy = + , với , xy ∈  . Theo giả thiết, ta có 1 z = ⇔ 22 1 xy += . Suy ra 11 x −≤ ≤ . Khi đó, 1 21 Pz z = + + − ( ) ( ) 22 22 1 21 x y xy = + + + − + 2 2 22 2 x x = ++ − . Suy ra ( ) ( ) ( ) 22 1 2 2 2 22 P xx ≤ + + + −     hay 2 5 P ≤ , với mọi 11 x −≤ ≤ . Vậy max 2 5 P = khi 22 2 2 2 xx += − ⇔ 3 5 x = − , 4 5 y = ± . Câu 34. Cho các số phức 1 3 zi = , 2 13 zi =−− , 3 2 z mi = − . Tập giá trị tham số m để số phức 3 z có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là. A. { } 5; 5 − . B. ( ) 5; 5 − . C. ( ) ( ) ; 5 5; −∞ − ∪ +∞ . D. 5; 5  −  . Hướng dẫn giải Chọn B  Ta có: 1 3 z = , 2 10 z = , 2 3 4 zm = + .  Để số phức 3 z có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho thì 2 43 5 5 mm + < ⇔− < < . Câu 35. Cho số phức z thỏa mãn 32 zz − = và max 1 2 2 z i ab − + = + . Tính ab + . A. 3. B. 4 3 . C. 4 . D. 42 . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi ( ) , z x yi x y =+ ∈  . Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 2 2 32 3 2 3 xy z z x yi x iy y x − = ⇔ − + = − + + ⇔ = + . ( ) ( ) 22 2 2 2 2 4 3 3 69 3 0 x xy y xy x ⇔ = + ⇔ + +− + = − https://toanmath.com/ 22 2 30 x y x ⇔ + + −= ( ) 2 22 12 x y ⇔+ + =. Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn z chính là đường tròn tâm ( ) 1;0 , 2 IR −= . Ta có ( ) ( ) 1 2 1 2 , 1;2 z i z i MN N − + = − − = − . Dựa vào hình vẽ nhận thấy MN lớn nhất khi đi qua tâm. Khi đó 22 22 2 MN NI IM R = + = += + . Suy ra 2, 2 ab = = . Do đó 22 4 ab + = + = . . Câu 36. Cho số phức z thỏa mãn: 22 1 zi −− =. Số phức zi − có môđun nhỏ nhất là: A. 52 + . B. 51 + . C. 5 2 − . D. 51 − . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi z x yi = + , , xy ∈  . Ta có: 22 2 2 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) ( 2) 1 z i x y i x y − − =⇔ − + − =⇔ − + − = . Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn ( ) C tâm (2;2) I và bán kính 1 R = . ( ) 2 2 1 z i x y IM −= + − = , với ( ) 2;2 I là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm ( ) ( ) 0;1 , 2;2 N Oy I ∈ với đường tròn (C). min 51 IM IN R = − = − Câu 37. Cho số phức z thỏa0 T 0 T 2 z ≥ . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức zi P z + = . y x 1 1 O I M https://toanmath.com/ A. 2 3 . B. 3 . 4 C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 13 11 . || 2 i P zz = + ≤+ ≤ Mặt khác: 11 11 . || 2 i z z + ≥− ≥ Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là 1 2 , xảy ra khi 2 ; zi = − giá trị lớn nhất của P bằng 3 2 xảy ra khi 2. z i = Câu 38. Tìm số phức z sao cho ( ) 34 5 zi − + = và biểu thức 22 2 P z zi = + −− đạt giá trị lớn nhất. A. 55 zi = + . B. 2 zi = + . C. 22 zi = + . D. 43 zi = + . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt ( ) , z x yi x y =+∈  . . Đặt . . . Theo điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác. . Vậy GTLN của là . Câu 39. Cho số phức thỏa điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của bằng ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn A Giả sử . . . Suy ra . . Suy ra , . Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng . ( ) ( ) ( ) 22 34 5 3 4 5 zi x y − + = ⇔ − + − = 3 5 sin 3 5 sin 4 5 cos 4 5 cos x tx t y ty t  −= ⇔ =+  − = ⇔ = +  ( ) ( ) 22 2 4 2 3 4 3 5 sin 2 4 5 cos 3 P z zi x y t t = + − − = + += + + + + 4 5 sin 2 5 cos 23 t tP ⇔+ =− ( ) ( ) ( ) 22 2 2 4 5 2 5 23 46 429 0 13 33 P PP P ⇒+≥− ⇔− + ≤⇔≤≤ P 33 55 zi ⇒= + z ( ) 2 4 2 z zz i += + zi + ( ) , z x yi x y =+∈  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 4 2 2 2 22 2 z z zi z i z zi z i zi z zi + = +⇔ − = +⇔ − += + ( ) ( ) 20 1 22 zi z i z +=  ⇔  −=  ( ) 1 2 zi ⇔= − 21 z i ii i +=− +=− = ( ) 2 ( ) 2 2 22 22 22 2 2 44 x yi i x yi x y x y x y y x y ⇔ + − = + ⇔ + − = + ⇔ + − += + 1 y ⇔= ( ) 2 22 1 4 2 z i x yi i x y x += + += + + = + ≥ x ∀∈  zi + 1 https://toanmath.com/ Câu 40. Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D Gọi . Ta có: . Đặt , khi Câu 41. Cho số phức với thỏa mãn và . Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức . Tính tỉ số . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi là điểm biểu diễn của số phức . Từ giả thiết ta có là các điểm nằm bên ngoài hình tròn có tâm bán kính . Mặt khác ta có là các điểm nằm bên trong hình tròn có tâm bán kính . Ta lại có: . Do đó để tồn tại thì và phần gạch chéo phải có điểm chung tức là . Suy ra . Câu 42. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của ? A. B. C. D. Chọn A Hướng dẫn giải z 12 3 zi −+ = 1. zi −+ 2. 4. 2 2. 2. ( ) ( ) ( ) ; ; 1 11 z x yi x y z i x y i = + ∈ ∈ ⇒ − += − + +  ( ) ( ) 22 12 9 1 2 9 zi x y −+ = ⇔ − + + = 1 3sin ; 2 3cos ; 0; 2 . x ty tt π = + = − + ∈    ( ) ( ) 2 22 min 1 3sin 1 3cos 10 6cos 2 2 4 1 2 zi t t t z i zi ⇒ −+ = + − + = − ⇒ ≤ − ≤ ⇒ −+ = 1. zi = + z x yi = + , xy ∈  11 zi − − ≥ 3 3 5 zi − − ≤ , mM 2 P x y = + M m 7 2 5 4 14 5 9 4 x 1 3 3 J O I 1 A z 11 zi − − ≥ A ( ) 1 C ( ) 1;1 I 1 1 R = 3 3 5 zi − − ≤ A ( ) 2 C ( ) 3;3 J 2 5 R = ( ) 2 20 P xy xy P = + ⇔+ − = ∆ , xy ( ) ∆ ( ) 9 ;5 5 5 P dJ − ∆≤ ⇔ ≤ 9 5 4 14 PP ⇔ − ≤⇔ ≤ ≤ 7 4; 14 2 M mM m = = ⇒ = z 5 13 3 1 zi z i z i − = + − + − + M 23 zi −+ 4 5 M = 9 M = 10 3 M = 1 13 M = + https://toanmath.com/ Gọi , . Ta thấy là trung điểm của . Ta lại có : Mà . Dấu xảy ra khi , với ; . . Câu 43. Cho số phức thỏa mãn điều kiện: và có môđun lớn nhất. Số phức có môđun bằng: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D . Gọi . Ta có: . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm bán kính như hình vẽ. Dễ thấy , . Theo đề ta có: là điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn: ( ) 0;1 A ( ) ( ) 1;3 , 1; 1 B C −− A BC 2 22 2 24 MB MC BC MA + ⇒= − 2 22 2 2 2 2 10 2 BC MB MC MA MA ⇔+ = + = + 5 13 3 1 zi z i z i − = + − + − + 22 5 3 10. MA MB MC MB MC ⇔= + ≤ + ( ) 22 25 10 2 10 MA MA ⇒≤ + 2 5 MC ⇒≤ ( ) ( ) 23 2 4 z i zi i − + = − +− + 24 zi i ≤ −+ − 2 5 4 5 zi ≤ −+ ≤ "" = 2 5 1 24 zi ab  −=   − =  − z a bi = + , ab ∈  ( ) 2 3 25 z i loai zi = −  ⇔  =−+  z 1 2 5 zi − + = 1 wz i = ++ z 52 2 5 6 3 2 ( ) ( ) ( ) , 1 2 1 2 z x yi x y z i x y i = + ∈ ⇒ − + = − + +  ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 1 2 5 12 5 12 5 z i xy xy −+ = ⇔ − + + = ⇔ − + + = ( ) ; M xy z ( ) C ( ) 1; 2 I − 5 R = ( ) OC ∈ ( ) ( ) 1; 1 NC − − ∈ ( ) ( ) ; M xy C ∈ z https://toanmath.com/ . Suy ra đạt giá trị lớn nhất lớn nhất. Mà nên lớn nhất khi là đường kính đường tròn là trung điểm . Câu 44. Cho là các số phức thỏa mãn và Khẳng định nào dưới đây là sai ? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Ta có: . Mặt khác nên . Vậy phương án D sai. Cách 2: thay thử vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 45. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của môđun số phức là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt: . Ta có: . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức nằm trên đường tròn tâm và bán kính . Ta có: . Do đó giá trị lớn nhất của khi lớn nhất nghĩa là , , thẳng hàng . ( ) ( ) 1 1 1 1 w z i x yi i x y i = ++ = + ++ = + + + ( ) ( ) 22 1 11 z i x y MN ⇒ ++ = + + + =  1 zi ++ MN ⇔ ( ) , MN C ∈ MN MN ( ) C I ⇔ ( ) ( ) 2 2 3; 3 3 3 3 3 3 2 MN M z i z ⇒ − ⇒ = − ⇒ = +− = 12 3 , , zz z 12 3 0 zz z ++ = 12 3 1. zz z = = = 33 3 3 3 3 1 23 1 2 3 zzz z z z ++ = + + 33 3 3 3 3 1 23 1 2 3 zzz z z z ++ ≤ + + 33 3 3 3 3 1 23 1 2 3 zzz z z z ++ ≥ + + 33 3 3 3 3 1 23 1 2 3 zzz z z z ++ ≠ + + 1 2 3 2 3 1 0 + +=⇔ += − z zz zz z ( ) ( ) ( ) ( ) 3 33 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 2 3 2 3 33 ++ = + + + + ++ + + z zz z z z z zz z z zz z z zz 33 3 1 2 3 12 3 3 = ++− zzz z z z 33 3 1 2 3 12 3 3 ⇒ ++ = zzz z z z 33 3 1 2 3 12 3 1 2 3 33 3 ⇒ ++ = = = zzz z z z z z z 12 3 1 = = = zz z 3 33 12 3 3 ++ = zz z 12 3 1 zz z = = = z 23 12 32 i z i −− += − z 3 3 2 2 x y -3 1 I O M ( ) , z x yi x y =+∈  ( ) 2 2 23 12 12 2 1 4 32 i z iz z i x y i −− += ⇔− += ⇔ + = ⇔ + + = − M z ( ) 0; 1 I − 2 R = z OM = z OM O M I max 3 z ⇒= https://toanmath.com/ Câu 46. Cho số phức thỏa mãn không phải số thực và là số thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1. Xét suy ra suy ra . Xét suy ra . Gọi suy ra . Vì nên . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn . Xét điểm là điểm biểu diễn số phức , suy ra . . (Với là bán kính đường tròn ). Cách 2. , là phương trình bậc hai với hệ số thực . Vì thỏa nên là nghiệm phương trình . Gọi là hai nghiệm của suy ra . Suy ra . Câu 47. Biết số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B Gọi . Ta có: : tâm và Mặt khác: Do số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên và có điểm chung z z 2 2 z w z = + 1 Pz i = +− 2 2 22 8 0 z = 0 w = 12 Pz i = +− = 0 z ≠ 12 z wz = + ,0 z a bi b =+ ≠ 22 22 1 22 2 1 a z ab i wz ab ab    = + = + − −    ++    1 w ∈  22 22 0 2 10 2 b b ab ab =    −= ⇔    + +=    z ( ) 22 :2 Cx y += ( ) 1;1 A − 0 1 zi =−+ P MA = 22 Max P OA r ⇒ = += r ( ) 22 :2 Cx y += ( ) ( ) 22 2 1 2 2 0 * 2 z w w z zz z w z = ⇔ + = ⇔ − += + ( ) * 1 w  ∈    z ( ) * z ( ) * 12 , zz ( ) * 1 2 1 2 1 2 .2 . 2 2 2 zz zz z z z =⇒ =⇔ =⇒= 1 1 2 2 22 Pz i z i = + −≤ +− = + = z 34 5 z i −− = 22 2 M z zi = + −− . zi + 52 zi + = 41. zi + = 2 41 zi + = 3 5. zi + = ( ) ;; z x yi x y =+ ∈∈  ( ) ( ) ( ) 22 34 5 : 3 4 5 z i Cx y −− = ⇔ − + − = ( ) 3; 4 I 5. R = ( ) ( ) ( ) 22 22 22 2 2 1 42 3 : 42 3 0. M z z i x y x y xy d xy M   =+ − − = + + − + − = + + ⇔ + + − =     z d ( ) C ( ) 23 ; 5 23 10 13 33 25 M d Id R M M − ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ https://toanmath.com/ Câu 48. Cho số phức và thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt . Do nên . Mặt khác nên . Suy ra . Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có . Dấu xảy ra khi . Từ và ta có . Vậy . Câu 49. Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của lần lượt là. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi là điểm biểu diễn số phức . Theo đề: . Dựa vào hình elip. và . Câu 50. Cho hai số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của là: A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C Giả sử , . ( ) ( ) 22 max 4 2 30 0 5 33 5 4 41. 5 3 45 xy x M zi i zi y xy  + − = =  ⇒ = ⇔ ⇔ ⇒ += − ⇒ + =  = − − +− =    z w 34 zw i += + 9 zw −= T zw = + max 14 T = max 4 T = max 106 T = max 176 T = ( ) , z x yi x y =+ ∈  34 zw i += + ( ) ( ) 34 w x yi = − + − 9 zw −= ( ) ( ) 22 22 2 3 2 4 4 4 12 16 25 9 zw x y x y x y −= − + − = + − − + = ⇔ 22 2 2 6 8 28 x y xy + −− = ( ) 1 ( ) ( ) 2 2 22 34 T zw x y x y = + = + + − + − ( ) 2 22 2 2 2 6 8 25 T x y xy ≤ + −− + ( ) 2 "" = ( ) ( ) 2 2 22 34 xy x y + = − + − ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2. 28 25 106 106 TT ≤ + ⇔− ≤ ≤ 106 MaxT = z 4 4 10. zz − + + = z 5 và 4 4 và 3 5 và 3 10 và 4 ( ) ; M ab z 4 4 10 zz − + + = ( ) ( ) 22 22 4 4 10 a ba b ⇔ − + + + + = ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 4 100 4 20 4 a b ab ab ⇔ + + = + −+ − −+ ( ) 2 2 20 4 100 16 ab a ⇔ − += − ( ) 2 2 5 4 25 4 ab a ⇔ − += − ( ) 22 2 25 8 16 625 16 200 aa b a a ⇔ − ++ = + − 2 2 9 25 225 ab ⇔+ = 2 2 22 1 53 ab ⇔ += 22 50 a b max a b ⇒ + ⇔ = ⇒= 22 min 3 0 ab b a + ⇔= ⇒ = 12 , zz 12 2 5 5, 1 3 3 6 z z i z i + = +− = − − 12 zz − 1 2 3 2 5 2 7 2 ( ) 1 1 1 11 , z a bi a b =+ ∈  ( ) 2 2 2 22 , z a bi a b =+∈  https://toanmath.com/ Ta có  . Do đó, tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức là đường tròn có tâm là điểm và bán kính .  . Do đó tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức là đường thẳng . Khi đó, ta có . Suy ra . Vậy giá trị nhỏ nhất của là . Câu 51. Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Đặt , tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn C . Đặt với . Ta có . . tập các điểm biểu diễn là đường tròn tâm và bán kính . . Câu 52. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi . Ta có: Ta có: . 1 55 z+= ( ) 2 2 1 1 5 25 ab ⇔ + + = A 1 z ( ) ( ) 2 2 : 5 25 Cx y + += ( ) 5;0 I − 5 R = 22 13 3 6 z i z i +− = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 2 2 13 3 6 ab a b ⇔ + +− = − +− 22 8 6 35 0 ab ⇔ + −= B 2 z :8 6 35 0 xy ∆ + −= 12 z z AB −= 1 2 min min z z AB −= ( ) ; dI R = ∆− ( ) 22 8. 5 6.0 35 5 86 − + − = − + 5 2 = 12 zz − 5 2 z ( ) 11 z iz − = + mz = m 2 21 − 21 + z x iy = + , xy ∈  ( ) 1 1 11 . z iz z i z − = + ⇔ − = + ( ) ( ) 2 2 22 12 x y x y ⇔− + = + 22 2 10 x y x ⇔ + + −= ⇒ z ( ) 1;0 I − 2 R = 2 12 Max z OM OI R ⇒ = = +=+ z 1 z = 1 31 . Pz z = + + − 65 20 2 20 3 15 ( ) ;; z x yi x y =+ ∈∈  = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ ∈ −    22 2 2 1 1 1 1;1 z xy y x x ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 1 3 1 1 3 1 2 1 3 21 P z z xy xy x x = + + − = + + + − + = + + − O x y 1  2 M I https://toanmath.com/ Xét hàm số Hàm số liên tục trên và với ta có: Ta có: . Câu 53. Trong các số phức thỏa mãn , số phức có mô đun nhỏ nhất là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi suy ra . Theo giả thiết ta có . Khi đó . Vậy nhỏ nhất bằng khi . Vậy số phức có mô đun nhỏ nhất là . Câu 54. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C UCách 1: Đặt khi đó ta có . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm bán kính . Phương trình đường thẳng . Hoành độ giao điểm của và đường tròn tâm là nghiệm phương trình tương giao: . Ta có hai tọa độ giao điểm là và . Ta thấy . Vậy tại giá trị lớn nhất của . UCách 2:U Casio. Quy tắc tính đối với bài toán tổng quát như sau. Cho số phức thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của . ( ) ( ) ( ) 2 1 3 21 ; 1;1 . f x x x x = + + − ∈ −    1;1 −    ( ) 1;1 x∈− ( ) ( ) ( ) ( ) ′ = − = ⇔ =− ∈ − +− 13 4 0 1;1 5 2 1 21 f x x xx ( ) ( )  = −= − = ⇒ =   max 4 1 2; 1 6; 2 20 2 20 5 ff f P z 1 2 zz i = − + 5 z = 3 1 4 zi = + 1 2 zi = + 3 zi = + ( ) , z x yi x y =+∈  z x yi = − ( ) ( ) 2 2 22 12 xy x y + = − + − 2 4 50 xy ⇔− − + = 5 2 2 x y ⇔= − 2 22 z xy = + 2 2 5 2 2 yy  =−+   ( ) 2 55 51 44 y = − +≥ z 5 2 5 2 2 1 x y y  = −    =  1 2 1 x y  =  ⇔   =  1 2 zi = + 22 1 zi −+ = z 42 2 − 22 + 22 1 + 3 2 1 + z x yi = + ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 2 2 1 22 1 22 1 z i xy xy − + =⇔ − ++ =⇔ − ++ = z ( ) 2; 2 I − 1 r = : OI y x = − OI ( ) 2; 2 I − ( ) ( ) 22 1 2 21 2 2 x x x − +− + = ⇔ = ± 11 2 ;2 22 M  + −−   11 2 ;2 22 M  ′ − −+   22 1; 22 1 OM OM ′ =+=− 22 1 z = + z 1 zz r − = 2 P zz = − https://toanmath.com/ Bước 1: Tính . Bước 2: GTLN của , GTNN của . Áp dụng đối với bài này ta có . Vậy GTLN của . UCách 3: Xét . Vậy , GTLN của . Câu 55. Cho số phức thỏa điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của bằng ? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử . . . Suy ra . . Suy ra , . Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng . Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để có đúng số phức thỏa và . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt Ta có: tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính . Ta có: tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường thẳng . Yêu cầu bài toán khoảng cách từ đến nhỏ hơn Vì nên có giá trị thỏa yêu cầu bài toán. Câu 57.Cho số phức thỏa mãn . Đặt . Mệnh đề nào sau đây đúng? 12 az z = − P ar = + P ar = − 1 2 12 1; 2 2 , 0 2 2 r z iz a z z = = − = ⇒= − = 22 1 z = + ( ) 2 2 1 1 22 22 2 2 z i z i z i z − + = ⇔= − − ≥ − − = − 1 22 z ≤+ 1 22 z = + z ( ) 2 4 2 z zz i += + zi + 2 3 4 1 ( ) , z x yi x y =+∈  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 4 2 2 2 22 2 z z zi z i z zi z i zi z zi + = +⇔ − = +⇔ − += + ( ) ( ) 20 1 22 zi z i z +=  ⇔  −=  ( ) 1 2 zi ⇔= − 21 z i ii i +=− +=− = ( ) 2 ( ) 2 2 22 22 22 2 2 44 x yi i x yi x y x y x y y x y ⇔ + − = + ⇔ + − = + ⇔ + − += + 1 y ⇔= ( ) 2 22 1 4 2 z i x yi i x y x += + += + + = + ≥ x ∀∈  zi + 1 m 2 z ( ) 18 zm i − − += 1 23 z i z i − + = − + 66 65 131 130 z x iy = + ( ) , x y ∈  ( ) 12 zm i − − += ⇔ M z ( ) 1; 1 Im−− 8 R = 1 23 z iz i − += −+ ⇔ M z : 2 8 11 0 dx y + −= ⇔ I d R 2 21 8 68 m ⇔ −< 21 21 4 68 4 68 22 m ⇔ − << + m ∈  22 43 m − ≤≤ ⇒ 66 z 1 z ≤ 2 2 zi A iz − = + https://toanmath.com/ A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt Có (do ) Ta chứng minh . Thật vậy ta có Dấu “=” xảy ra khi . Vậy . Câu 58. Trong tập hợp các số phức thỏa mãn: Tìm môđun lớn nhất của số phức . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt , . . . . . Suy ra . Ta có: . . Vậy là môđun lớn nhất của số phức . Câu 59. Cho số phức thỏa mãn . Tính , với . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có . 1 A < 1 A > 1 A ≤ 1 A ≥ ( ) =+ ∈ ⇒+≤  22 , , 1 a a bi a b a b 1 z ≤ ( ) ( ) ( ) +− ++ − = = = + −+ −+ 2 2 2 2 2 21 4 2 1 2 2 2 2 a bi a b zi A iz b ai ba ( ) ( ) ++ ≤ −+ 2 2 2 2 4 21 1 2 ab b a ( ) ( ) ( ) ( ) ++ ≤⇔ + + ≤ − + ⇔ + ≤ −+ 2 2 22 2 2 22 2 2 4 21 1 4 21 2 1 2 ab a b b a ab b a += 22 1 ab 1 A ≤ z 2 2. 1 zi zi +− = +− zi + 22 + 3 2 + 32 − 22 − z x yi = + , xy ∈  2 2 22 11 zi zi zi zi +− +− =⇔= +− +− ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 21 1 x yi x yi ⇔ + + − = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 2 1 21 1 x y xy ⇔ + + − = + +− ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 2 12 1 1 x y xy   ⇔ + +− = + +−   ( ) 2 2 12 x y ⇔ +− = ( ) 2 1 2 12 y y − ≤ ⇒ ≤+ ( ) ( ) 22 2 2 12 12 4 x y x y y +− =⇔ ++ =+ ( ) 2 24 24 1 2 64 2 zi y ⇒ + = + ≤ + + = + 1 6 42 2 2 z ⇒ + ≤ + = + 12 2 z+= + zi + z ( ) ( ) 2 2 5 1 2 3 1 z z z iz i − + = − + + − min | | w 22 wz i = −+ 1 min | | 2 w = min | | 1 w = min | | 2 w = 3 min | | 2 w = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 1 z z z iz i z iz i z iz i − + = − + + − ⇔ − + − − = − + + − ( ) ( ) 1 2 0 12 3 1 zi z i zi − + =  ⇔  − − = + −   https://toanmath.com/ Trường hợp : . Trường hợp 2: . Gọi (với ) khi đó ta được . Suy ra . Từ , suy ra . Câu 60. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt . Ta có: . Đặt: . Ta được: . . Suy ra: . Câu 61. Gọi điểm lần lượt biểu diễn các số phức và trên mặt phẳng tọa độ ( và đều không thẳng hàng). Với là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác vuông cân tại . B. Tam giác đều. C. Tam giác vuông cân tại . D. Tam giác vuông cân tại . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: Ta có: Suy ra: và là tam giác vuông cân tại . Câu 62. Xét số phức thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị lớn nhất . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 2 0 zi − + = 1 1 ww ⇒ =−⇒ = ( ) 1 12 3 1 z i zi − − = + − z a bi = + , ab ∈  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 12 1 3 2 3 2 a b ia b i b b b − +− =− ++ ⇔ − =+ ⇔ = − ( ) 2 3 93 22 2 2 2 42 w z i a i w a = −+ = −+ ⇒ = − + ≥ ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 min | | 1 w = z 23 1 zi −− = z 13 1 13 + 2 13 + 13 1 − ( ) , , z x yi x y = + ∈  ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 2 3 1 2 3 1 2 3 1 z i xy xy −− =⇔ −+ − =⇔ −+ −= { { 2 sin 2 sin 3 cos 3 cos x t x t y ty t − = = + ⇒ −= =+ ( ) ( ) 22 2 22 2 sin 3 cos 4sin 6cos 14 z x y t t t t = + = + ++ = + + ( ) ( ) 22 4 6 sin 14 2 13sin 14 t t α α = + + + = + + 2 13 14 13 1 z≤ += + , AB z ( ) 1 ;0 2 i z z z + ′ = ≠ ,, A BC ,, A B C ′′ ′ O OAB A OAB OAB O OAB B ++ ′ = = = = = 11 2 ; .. 22 2 ii OA z OB z z z z + − ′ = − ⇒ = −= − = =        11 2 . 2 2 2 ii BA OA OB BA z z z z z z 2 22 OA OB AB = + AB OB OAB = ⇒ B ( ) , ,0 z a bi a b R b =+ ∈> 1 z = 2 2 4 P ab = + 3 2 zz − + 4 P = 22 P = − 2 P = 22 P = + https://toanmath.com/ Do Ta có : = Biểu thức trên đạt GTLN trên miền khi (do ) Vậy Câu 63. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính . Mặt khác . Câu 64. Cho các số phức thỏa mãn . Giả sử biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất khi lần lượt bằng và . Tính A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi , Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc vào đường tròn có tâm , . Ta có . Suy ra , . Gọi là đường thẳng qua hai điểm ta có phương trình của . Gọi và lần lượt là hai giao điểm của và sao cho và khi đó 1 z =  1 z z = 0 b >  1 1 a −< < 3 2 zz − + 2 12 z zz = −+ 2 2 zz z = − + ( ) 2 2 bi a bi = +− 22 22 bi a b abi = + −− ( ) ( ) 2 2 22 2 2a a b b b = − +− 22 2 41 b ab −+ ( ) 22 21 4 1 1 a aa = −− − + 32 24 4 2 aa a = −− + 1 1 a −< < 1 2 a − =  3 2 b = 0 b > 2 2 4 2 P ab = += z 11 z− = z 1 2 0 21 − 11 z− = ⇒ M z ( ) C ( ) 1;0 I 1 R = ( ) z OM OC =  ∈  min 0 z ⇒ = z 43 2 −+ = zi = Pz z 1 11 = + z a bi ( ) 11 , ∈  ab 2 2 2 = + z a bi ( ) 2 2 , ∈  ab 12 = + Sa a 8 = S 10 = S 4 = S 6 = S = + z a bi ( ) , ∈  ab ( ) 43 2 43 2 4 3 2 −+ = ⇔ + −+ = ⇔ −+ + = z ia ib ia b i ( ) ( ) 22 4 34 ⇔ − ++ = ab ( ) ; M ab = + z a bi ( ) C ( ) 4; 3 − I 2 = R 22 34 5 = += OI max 52 7 = + = += z OI R min 52 3 = − = − = z OI R ∆ OI ( ) :3 4 0 ∆ += xy M N ( ) ∆ ( ) C 3 = OM 7 = ON https://toanmath.com/ . Câu 65. Cho số phức thỏa mãn . Gọi , và số phức . Tính A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có . Gọi là điểm biểu diễn của số phức , là điểm biểu diễn của số phức và là điểm biểu diễn của số phức . Khi đó ta có . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là Elip nhận và làm hai tiêu điểm. Ta có . Mặt khác suy ra . Do đó Elip có độ dài trục lớn là , độ dài trục bé là . Mặt khác là trung điểm của nên và . Do đó suy ra . Câu 66. Cho số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giá trị của bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt nên . Do nên . Ta có nên . Vậy , với . Khi đó, nên . . ; ; ; . Vậy ; nên . 3 12 9 ; 5 55 7 28 21 ; 5 55   =⇒−        =⇒−               OM OI M ON OI N 1 2 28 21 55 12 9 55  = −   ⇒   = −   zi zi 28 12 8 55 ⇒= + = S z ( ) ( ) 1 2 1 2 42 i z i z ++ + +− = max mz = min n z = w m ni = + 2018 w 1009 5 1009 6 1009 2 1009 4 ( ) ( ) 1 2 1 2 42 i z i z ++ + +− = 1 14 zi zi ⇔ + − + −+ = M z ( ) 1 1;1 F − 1 1 z i =−+ ( ) 2 1; 1 F − 2 1 zi = − 12 4 MF MF + = M z 1 F 2 F 12 2 2 22 2 FF c c c = ⇔ = ⇔ = 24 2 a a = ⇔= 22 4 2 2 b ac = − = − = 12 24 AA a = = 12 2 22 BB b = = O AB m max z = maxOM = 1 OA = 2 a = = n min z = minOM = 1 2 OB b = = = 22 wi = + 6 w = 2018 1009 6 w ⇒= z 1 z = M m 2 11 Pz z z = + + − + . Mm 33 8 13 3 8 3 3 13 3 4 1 12 tz z = + ≤ += [ ] 0;2 t ∈ 1 z = . 1 zz = 2 1 .1 1 P z z zz z z zz ⇒ = ++ − + = ++ + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 . 12 t z z z z z zz zz = + = + + = ++ + =++ 2 2 zz t += − ( ) 2 3 P ft t t = =+− [ ] 0;2 t ∈ ( ) 2 2 3 khi 3 2 3 khi 0 3 tt t ft tt t  +− ≤ ≤  =  − ++ ≤ <   ( ) 2 1 khi 3 2 2 1 khi 0 3 t t ft tt  + <≤  ′ =  − + ≤<   ( ) 0 ft ′ = 1 2 t ⇒= ( ) 03 f = 1 13 2 4 f  =   ( ) 33 f = ( ) 23 f = 13 4 M = 3 m = 13 3 . 4 Mm = https://toanmath.com/ Câu 67. Cho số phức thỏa mãn và . Giá trị lớn nhất của biểu thức là: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Gọi là điểm biểu diễn số phức ta có: ; điểm M nằm trên đường tròn tâm và bán kính bằng 1. Biểu thức trong đó , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của đạt được khi nên . Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ, hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất, biết rẳng số phức thỏa mãn điều kiện . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi . Ta có: . . Ta có: Tập hợp các số phức là đường tròn tậm , bán kính . Gọi là điểm biểu diễn của số phức . Ta có: . nhỏ nhất thẳng hàng. Ta có: . là giao điểm của và . Ta có: , . Chọn . z 2 4 zi zi − ≤ − 3 3 1 zi − − = 2 Pz = − 10 1 + 13 10 13 1 + ( ) ; M xy z 2 4 zi zi − ≤ − ( ) ( ) 22 22 24 x y x y ⇔ +− ≤ +− 3 y ⇔≤ 3 3 1 zi − − = ⇔ ( ) 3;3 I 2 P z AM = −= ( ) 2;0 A 2 Pz = − ( ) 4;3 M ( ) ( ) 22 max 4 2 3 0 13 P= − +− = z z 24 5 zi −− = 12 zi =−− 12 zi = − 1 2 zi =−+ 1 2 zi = + ( ) , z a bi a b =+ ∈  ( ) ( ) 24 5 24 5 2 4 5 z i a bi i a b i −− = ⇔ + −− = ⇔ − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 24 5 24 5 ab ab ⇔ − +− = ⇔ − +− = ( ) 24 5 zi −+ = ⇒ ( ) C ( ) 2;4 I 5 R = M z 0 z z OM = − = OM , , I OM ⇒ ( ) :2 IM y x = M IM ( ) C ( ) ( ) 1;2 3;6 MM ⇒∨ 1 2 3 6 z iz i ⇒ = + ∨= + 1 2 5 i + = 3 6 35 i += 1 2 zi = + https://toanmath.com/ Câu 69. Cho là số phức thay đổi thỏa mãn và là điểm biểu diễn cho trong mặt phẳng phức. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có . Vậy quỹ tích điểm biểu diễn cho số phức là đường tròn tâm bán kính (1). Biểu thức , với thì ta có (2). Khi đó điểm là điểm thuộc đường tròn và một trong hai đường thẳng trong (2). Điều kiện để một trong hai đường thẳng trên cắt đường tròn là . Vậy . Câu 70. Trong các số phức thỏa mãn . Hãy tìm có môđun nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử . Ta có . Do đó . Dấu xảy ra , khi đó . Câu 71. Cho số phức , tìm giá trị lớn nhất của biết rằng thỏa mãn điều kiện . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi . Ta có: . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính . z ( ) 1 24 iz i + + −= ( ) ; M xy z 3 T xy = ++ 4 22 + 8 4 42 ( ) 1 24 iz i + + −= 13 22 22 zi ⇔ +− = z ( ) C 13 ; 22 I   −     22 R = 3 T xy = ++ 0 T ≥ 30 30 xy T xy T + +− =   + ++ =  M ( ) C ( ) C 4 22 2 4 22 2 T T − ≤    + ≤   08 8 0 T T ≤ ≤  ⇔  − ≤ ≤  08 T ⇒≤ ≤ maxT 8 = z 23 zi z i − = −− z 27 6 55 zi = + 6 27 55 zi = − − 6 27 55 zi = − + 36 55 zi = − z x yi = + ( ) , xy ∈  z x yi ⇒= − 23 x yi i x yi i + − = − −− ( ) ( ) ( ) 1 23 xy i x y i ⇔+ − = − − + ( ) ( ) ( ) 2 22 2 12 3 x y x y ⇔ +− = − ++ 1 2 13 4 6 4 12 8 2 3 y xy x y x y ⇔−= − +⇔ = + ⇔ =+ ( ) 2 2 2 22 2 2 6 99 23 5 129 5 55 5 z xy y y y y y  = += + += + + = + + ≥   "" = 6 5 y ⇔= − 3 36 5 55 xz i = ⇒= − z z z 23 11 32 i z i −− += − 2 1 2 3 ( ) , z x yi x y =+ ∈  ( ) 2 2 23 11 11 1 1 1 32 i z iz z i x y i −− += ⇔− += ⇔ + = ⇔ + + = − z ( ) 0; 1 I − 1 R = https://toanmath.com/ Gọi là điểm biểu diễn số phức , ta có . Ta có: . Câu 72. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B Gọi . Ta có: Ta có: khi Câu 73. Cho số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Tính ? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B Gọi , , biểu diễn cho số phức , , . Ta có chạy trên Elip có trục lớn , trục nhỏ . Mà . Do đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của là ; . Suy ra . Câu 74. Cho các số phức , thỏa mãn , . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C là đường tròn có tâm và . là đường tròn có tâm và . đạt giá trị lớn nhất khi . Câu 75. Trong các số phức thỏa , gọi là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó. A. Không tồn tại số phức . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D M z 1 IM = 2 z OM OI IM = ≤+ ≤ 24 2 z iz i −− = − 2. zi + 3 5. 32 32 + 5 ( ) ;; z x yi x y =+ ∈∈  ( ) ( ) ( ) 22 2 2 24 2 2 4 2 4 0 4 . z i z i x y x y x y y x − − = − ⇔ − + − = + − ⇔ +−= ⇔ =− ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 2 2 2 6 2 12 36 2 3 18 18 zi x y x x x x x + = + += + −= − + = − + ≥ min 2 18 3 2 zi ⇒+ = = 3. zi = + z 2 25 zz − + + = , Mm z Mm + 1 Mm + = 4 Mm + = 17 2 Mm + = 8 Mm + = ( ) ; M xy ( ) 1 2;0 F − ( ) 1 2;0 F z 2 − 2 12 5 MF MF +=  M 25 a = 25 2 2 43 4 b= −= z OM = z 5 2 M = 3 2 m = 4 Mm + = z w 53 3 zi −+ = 42 2 iw i ++ = 32 T iz w = + 578 13 + 578 5 + 554 13 + 554 5 + 5 3 3 3 15 9 9 z i iz i −+ = ⇒ − − = ( ) 9;15 I 9 R = 42 2 2 8 4 4 iw i w i ++ = ⇒ − + = ( ) 4; 8 J − 4 R ′ = 32 T iz w = + 554 13 T IJ R R ′ = ++ = + z 34 2 zi   0 z 0 z 0 7 z  0 2 z  0 3 z  https://toanmath.com/ . Cách 1: Đặt . Khi đó . Suy ra biểu diễn hình học của số phức là đường tròn tâm và bán kính . Gọi là điểm biểu diễn số phức . Ta có: . . Vậy bé nhất bằng 3 khi . Cách 2: Đặt . . . . Câu 76. Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khẳng định nào sau đây là đúng? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng bất đẳng thức ta được Vậy, nhỏ nhất là khi và lớn nhất là khi Câu 77. Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức A. B. C. D. Hướng dẫn giải (, ) z a bi a b    22 3 4 2 ( 3) ( 4) 4 zi a b        z ( ) C ( ) 3; 4 I −− 5 R = ( ) M z z ( ) ( ) M z C ∈ 3 z OM OI R = ≥ − = z ( ) ( ) M z C IM = ∩ 3 2cos 3 2cos 4 2sin 4 2sin aa bb                   22 2 2 (2cos 3) (2sin 4) 29 12cos 16sin z ab              34 29 20 cos sin 29 20cos( ) 9 55                 0 3 z  z 2 4 2. zz += − + ≤≤ 21 2 1 33 z −+ ≤≤ 31 3 1 66 z −≤ ≤ + 51 5 1 z −≤ ≤ + 61 6 1 z , u v uv + ≥ + +− = + +− ≥ ⇒ − − ≤ ⇒ ≤ + 22 2 2 4 4 4 2 4 0 51 z z z z z z + = + +− ≥ ⇒ + − ≥ ⇒ ≥ − 22 22 2 4 4 2 4 0 51 zz z z z z z z 5 1, − 5 z i i =−+ z 5 1, + 5. z i i = + z ( ) 1 6 2 10 i z i − −− = . z 35 + 45 3 5. 3. https://toanmath.com/ Chọn C Gọi . Ta có: Đặt . Lúc đó: đạt được khi . Câu 78. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện .Tìm số phức có môđun nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt , ta có: . . Câu 79. Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức A. . B. . C. . D. Hướng dẫn giải Chọn D Gọi . Ta có: Đặt . Lúc đó: đạt được khi . Câu 80. Cho số phức thỏa mãn không phải số thực và là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức là. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A ( ) ;; z x yi x y =+ ∈∈  ( ) ( ) ( ) ( ) 22 62 1 6 2 10 1 . 10 2 4 5 2 4 5. 1 i i z i i z z i x y i −− − − −= ⇔ − + = ⇔ − −= ⇔ − + − = − 2 5 sin ; 4 5 cos ; 0; 2 x ty t t π = + = + ∈    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α α = + + + = + + =+ + +∈  22 2 22 2 5 sin 4 5 cos 25 4 5 sin 8 5 cos 25 45 85 sin ; z t t tt t ( ) 2 25 20sin 5; 3 5 z tz α  ⇒ = + + ⇒ ∈  max 35 z ⇒ = = + 36 z i z 24 2 z i z i −− = − z 1 zi =−+ 32 zi = + 22 zi = + 22 zi =−+ ( ) , , z x yi x y = + ∈  24 2 4 z i z i xy −− = − ⇒ + = 22 2 2( 2) 8 2 2 2 2 z x y x z i ⇒ = + = − +≥ ⇒ = + z 12 2 zi −+ = . z 5 65 + 11 4 5 + 6 45 + 9 4 5. + ( ) ;; z x yi x y =+ ∈∈  ( ) ( ) 22 1 2 2 1 2 4. zi x y −+ = ⇔ − + + = 1 2sin ; 2 2cos ; 0; 2 x ty t t π = + = − + ∈    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 22 1 2sin 2 2cos 9 4sin 8cos 9 4 8 sin ; z t t tt tα α = + +− + = + − = + + + ∈  ( ) 2 9 45 sin 9 45 ; 9 45 z t z α  ⇒ = + + ⇒ ∈ − + +   max 9 45 z ⇒ =+ + −+ = + 5 25 10 45 55 zi z z 2 2 z w z = + 1 Pz i = +− 22 22 8 2 https://toanmath.com/ Cách 1. Xét suy ra . Gọi . Suy ra . Vì nên . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng là đường tròn . Xét điểm là điểm biểu diễn số phức suy ra . Với là bán kính đường tròn . Cách 2. . là phương trình bậc hai với hệ số thực . Vì thỏa nên là nghiệm phương trình . Gọi là hai nghiệm của suy ra . Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi . Câu 81. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của , với là số phức khác thỏa mãn . Tính . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A . Dấu bằng xảy ra khi . Vậy . . Dấu bằng xảy ra khi . Vậy . Vậy . Câu 82. Cho số phức thỏa mãn và số phức . Tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt . . 0 z ≠ 12 z wz = + ,0 z a bi b =+ ≠ 22 22 1 22 2 1 a z ab i wz ab ab    = + = + − −    ++    1 w ∈  22 22 0 2 10 2 b b ab ab =    −= ⇔    + +=    z Oxy ( ) 22 :2 Cx y += ( ) 1;1 A − 0 1 zi =−+ max 2 2 P MA P OA r = ⇒ = += r ( ) 22 :2 Cx y += ( ) ( ) 22 2 1 2 2 0 * 2 z w w z zz z w z = ⇔ + = ⇔ − += + ( ) * 1 w  ∈    z ( ) * z ( ) * 12 , zz ( ) * 1 2 1 2 1 2 .2 . 2 2 2 zz zz z z z =⇒ =⇔ =⇒= 1 1 2 2 22 Pz i z i = + −≤ +− = + = 1 zi = − M m zi P z + = z 0 2 z ≥ 2Mm − 5 2 2 Mm −= 2 10 Mm −= 26 Mm −= 3 2 2 Mm −= zi P z + = zi z i zz ++ = ≤ 13 1 2 z =+≤ 2 zi = 3 2 M = zi P z + = zi zi zz − + = ≥ zi z − = 11 1 2 z =− ≥ 2 zi = − 1 2 m = 5 2 2 Mm −= z 13 +− = − z i zi 1 = w z w max 9 5 10 = w max 75 10 = w max 4 5 7 = w max 2 5 7 = w = + z a bi ( ) , ∈  ab ( ) ( ) ( ) 22 2 2 1 3 11 3 + − = − ⇔ + +− = +− zi z i a b a b 7 2 2 ⇔= − + a b https://toanmath.com/ . Đẳng thức xảy ra khi và . Vậy . Câu 83. Xét các số phức , thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có suy ra . Xét hàm số với suy ra là hàm số đồng biến trên nên . Do đó đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi . Khi đó . Câu 84. Gọi và là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức thỏa mãn . Tính . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi được biểu diễn bởi điểm . Khi đó . . Chứng tỏ thuộc đường tròn có phương trình , tâm , bán kính . Yêu cầu bài toán sao cho lớn nhất, nhỏ nhất. Ta có nên điểm nằm trong đường tròn . Do đó và . Vậy . 22 = + z ab 2 2 7 2 2   = −+ +     bb 2 49 5 14 4 = −+ bb 2 7 49 5 5 20   = − +     b 7 2 5 ≥ 1 ⇒ = w z 1 = z 2 5 7 ≤ 7 5 = b 63 10 = a max 2 5 7 = w z a bi = + ( ) , ab ∈  ( ) ( ) 2 4 15 1 z z i iz z − − = +− 4 F ab =−+ 1 3 2 zi −+ 4 F = 6 F = 5 F = 7 F = ( ) ( ) 2 4 15 1 z z i iz z − − = +− ( ) ( ) 2 4 15 1 a bi a bi i i a bi a bi ⇔ +− + − = ++ − − ( ) 2 8 15 2 1 ba ⇔ − = − 15 8 b ≥ ( ) ( ) 22 22 11 1 1 3 2 1 2 6 8 15 4 24 36 4 32 21 22 2 2 z i a b b b b bb −+ = − + + = − + + + = + + ( ) 2 4 32 21 f x x x = ++ 15 8 x ≥ ( ) 15 8 32 0, 8 fx x x ′ = + > ∀≥ ( ) f x 15 ; 8   +∞     ( ) 15 4353 8 16 f x f  ≥=   1 3 2 zi −+ 1 4353 2 16 15 1 ; 82 ba = = 47 F ab =−+ = M m z 2 1 = − z Mm + 5 3 2 4 yi x z + = ( ) y x M ; z OM = 2 1 = − z ⇔ ( ) 2 1 2 2 = + − y x ⇔ ( ) 4 1 2 2 = + − y x ( ) 1 M ( ) C ( ) 1 ( ) 0 ; 1 I 2 = R ⇔ ( ) C M ∈ OM 1 = OI O ⇒ R OI OM OI R + ≤ ≤ − ⇔ 3 1 ≤ ≤ OM 3 = M 1 = m 4 Mm + = https://toanmath.com/ Câu 85. - 2017] Cho , là hai nghiệm của phương trình , thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của bằng. A. . B. 5. C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt , . Ta có . . Ta lại có: . . Ta có: . Câu 86. Trong các số phức thỏa mãn gọi và lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun của số phức là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt thì TH1: . Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm , bán kính , giao điểm của (trục tung) với đường tròn là và TH2: . Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm , bán kính , giao điểm của (trục tung) với đường tròn là và . 1 z 2 z 63 2 69 i iz z i − + = − − 12 8 5 zz −= 12 zz + 42 56 5 31 5 z a bi = + , ab ∈  22 63 2 69 6 8 24 0 i iz z i a b a b − + = − − ⇔ + − − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 22 2 34 1 3 4 1 34 1 34 1 zi a b zi zi  − + =  ⇔ − + − =⇔− + =⇒  − + =   ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 1 2 12 1 2 2 34 34 6 8 hbh z i z i zz z z i  − + + − + = − + + − +   ( ) ( ) ( ) 2 2 12 12 64 6 2 1 1 68 68 25 5 zz i zz i ⇔ + = + + −+ ⇔ + −+ = ( ) ( ) ( ) 12 12 12 6 56 68 68 68 68 10 55 zz zz i i zz i i + = + −+ + + ≤ + −+ + + ≤ + = z 2 12 zz += 1 z 2 z 12 wz z = + 12 w = + 22 w = 2 w = 2 w = z a bi = + ( ) , ab ∈  2 12 zz += ( ) 2 12 a bi a bi ⇔ + += + 22 1 2 2 a b abi a bi ⇔ − ++ = + ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 14 4 a b ab a b ⇔ −+ + = + 4 4 2 2 22 12 6 2 0 a b a b ab ⇔ + +− − + = ( ) 2 22 2 14 0 ab b ⇔ + − − = ( ) ( ) 22 22 12 1 2 0 ab b ab b ⇔ + − − + − + = 22 22 12 0 1 2 0 ab b ab b  + − − = ⇔  + − + =  22 12 0 ab b + − − = ( ) 2 2 12 ab ⇔ +− = ( ) ; M ab z ( ) 1 0;1 I 2 R = OI ( ) 1 0; 2 1 M + ( ) 2 0;1 2 M − ( ) ( ) 21 1 2 w ii ⇒ = + + − 2 wi ⇒ = 2 w ⇒ = 22 1 2 0 ab b + − + = ( ) 2 2 12 ab ⇔ ++ = ( ) ; M ab z ( ) 2 0; 1 I − 2 R = OI ( ) 3 0; 2 1 M − ( ) 4 0; 2 1 M −− ( ) ( ) 21 1 2 wi i ⇒ = − +− − 2 w i ⇒ = − 2 w ⇒ = https://toanmath.com/ Với đáp án của trường ĐH Vinh đưa ra là A thì ta chọn số phức và có nên đề bài chưa chuẩn, có thể chọn phương án B. Câu 87. Cho số phức thỏa mãn: . Số phức có môđun nhỏ nhất là: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A . Gọi , . Ta có: . Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức là đường tròn tâm và bán kính . , với là tâm đường tròn, là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm với đường tròn (C). . Câu 88. Cho số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Khi đó bằng. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt . Ta có: . Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa đề là đường tròn tâm , bán kính . Khi đó: . Câu 89. Cho các số phức , , thỏa mãn và . Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải 1 M 3 M 22 wi = 22 w ⇒ = z 22 1 zi −− = zi − 51 − 51 + 52 + 5 2 − y x 1 1 O I M z x yi = + , xy ∈  22 2 2 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) ( 2) 1 z i x y i x y − − =⇔ − + − =⇔ − + − = Oxy z ( ) C (2;2) I 1 R = ( ) 2 2 1 z i x y IM −= + − = ( ) 2;2 I M M ( ) ( ) 0;1 , 2;2 N Oy I ∈ min 51 IM IN R = − = − z 2 3 4 10 zi − − = M m z Mm − 15 10 20 5 z x yi = + 2 3 4 10 zi − − = 3 25 2 zi ⇔ −− = ( ) 2 2 3 2 25 2 xy  ⇔ − + − =   3 ;2 2 I    5 R = m IO R M IO R = −   = +  2 10 Mm R ⇒ −= = z 1 z 2 z 12 45 1 z i z −− = − 4 84 z i z i + = − + 12 M zz = − 12 P zz zz = − + − 6 2 5 8 41 https://toanmath.com/ Chọn B Gọi , . Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn số phức . Khi đó nằm trên đường tròn tâm bán kính , nằm trên đường tròn tâm bán kính . Đặt , . Ta có: Gọi là điểm biểu diễn số phức thì . Ta có: . , . hai đường tròn không cắt và nằm cùng phía với . Gọi là điểm đối xứng với qua , suy ra nằm trên đường tròn tâm bán kính (với là điểm đối xứng với qua ). Ta có . Khi đó: nên . Khi đó: ; . Như vậy: khi đối xứng qua và . Vậy . ( ) 4;5 I ( ) 1;0 J , A B 1 2 , zz A I 1 R = B J 1 R = z x yi = + , xy ∈  4 84 z i z i + = − + ⇔ 4 84 x yi i x yi i − + = + − + ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 84 x y x y + − = − + + ⇔ 16 16 64 0 xy − −= ⇔ : 40 x y ∆ − − = C z ( ) C∈∆ 12 P z z z z CA CB = − + − = + ( ) ( ) 2 2 45 4 5 ,1 2 11 dI R −− ∆= = > = +− ( ) ( ) 2 2 10 4 3 J, 1 2 11 dR − − ∆= = > = +− ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 5 410 4 0 II J J xy x y − − − − = − − − − > ⇒ ∆ ∆ 1 A A ∆ 1 A 1 I 1 R = 1 I I ∆ ( ) 1 9;0 I 1 1 P CA CB CA CB A B = + = +≥ min P ⇔ 1 min AB 1 AA BB ′ ≡  ⇔  ′ ≡  11 1 8 I A IJ =       ( ) 8;0 A ′ ⇒ 11 7 8 IB I J =       ( ) 2;0 B ′ ⇒ min P A A ′ ∆ BB ′ ≡ ( ) ( ) 4;4 2;0 A B   ⇔    12 20 2 5 M z z AB = −= = = https://toanmath.com/ Câu 90. Số phức nào sau đây có môđun nhỏ nhất thỏa : A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi . Ta có: . Trong các đáp án, có đáp án và thỏa . Ở đáp án thì ; Ở đáp án thì . Chọn đáp án: . Câu 91. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho điểm và là điểm biển diễn số phức thoả mãn điều kiện . Tìm toạ độ điểm để đoạn thẳng nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi . Ta có . Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng . Để đoạn nhỏ nhất thì là hình chiếu của trên . qua và vuông góc với có phương trình . Tọa độ là nghiệm của hệ phương trình . Vậy . Câu 92. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt . Ta có . . Ta có: . . Câu 93. Tìm giá trị lớn nhất của với là số phức thỏa mãn . z || 3 4 zz i = − + 3– 4 zi = − 7 3 8 zi = − 3 2 2 zi = + 3 2 2 zi = − − ( ) ,, z a bi a b R =+∈ || 3 4 zz i = − + ⇔ ( ) 6 8 25 0 * ab −+ + = 7 3 8 zi = − 3 2 2 zi = − − ( ) * 7 3 8 zi = − 25 8 z = 3 2 2 zi = − − 5 2 z = 3 2 2 zi = − − , Oxy ( ) 4; 4 A M z 12 z zi − = +− M AM ( ) 1; 5 M ( ) 2; 8 M ( ) 1; 1 M − − ( ) 2; 4 M − − ( ) ,, z x yi x y R =+∈ 12 z zi − = +− ( ) ( ) ( ) 2 22 2 1 21 x y x y ⇔ − + = + + − 3 20 x y ⇔ −+= ( ) ; M xy z ( ) :3 2 0 d x y −+= AM M A d d ′ A d 3 16 0 xy + −= M { { 3 16 0 1 3 20 5 xy x x y y + −= = ⇔ −+= = ( ) 1; 5 M z 23 1 zi −− = 1 zi ++ 13 1 + 13 2 + 4 6 1 wz i = ++ 2 31 2 31 2 31 zi zi z i −− = ⇔ −− = ⇔ −+ = 1 32 1 zi i ⇔ + +− + = 32 1 wi ⇔ − + = ( ) 1 32 32 1 13 w iw i w = − − ≥ − − ⇔ ≤+ 1 1 13 Max z i ⇒ ++ = + 2 2 1 = − + ++ Pz z z z z 1 = z https://toanmath.com/ A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt . Do nên . Sử dụng công thức: ta có: . (vì ). Vậy . TH1: . Suy ra (vì ). TH2: . Suy ra . Xảy ra khi . Câu 94. Cho số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt là điểm biểu diễn số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi là trung điểm của , biểu diễn số phức , tổng nhận giá trị nào sau đây? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D . Gọi , . Theo giả thiết, ta có . . . Gọi , và . 3 13 4 5 3 ( ) , =+∈  z a bi a b 1 = z 22 1 += ab . = uv u v ( ) 2 22 1 1 1 22 − = − = − = − + = − z z zz z a b a ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 22 1 1 12 1 2 + + = + ++ + = − ++ + + = − ++ + + z z a bi a bi a b a ab b i a b a ab b ( ) 2 2 22 (21) 21 21 = + + + = + aa b a a 22 1 += ab 2 1 22 = + + − Pa a 1 2 <− a ( ) 2 1 22 22 22 3 4 2 3 3 = − −+− =− +− − ≤ + − = Pa a a a 0 22 2 ≤ −≤ a 1 2 ≥− a ( ) 2 1 1 13 2 1 22 22 22 3 22 3 2 44  =++ − = − − + −+ = − −− + + ≤   Pa a a a a 7 16 = a z 3 3 10 z iz i + + − = 1 M 2 M z M 12 MM ( ) ; M ab w a b + 7 2 5 4 9 2 z x yi = + ( ) , xy ∈  3 3 10 z iz i + + − = ( ) ( ) 3 3 10 xy i xy i ⇔ ++ + ++ = ( ) ( ) ( ) 22 22 3 3 10 x y x y ⇔ ++ + +− = ∗ ( ) ; E xy ( ) 1 0; 3 F − ( ) 2 0;3 F https://toanmath.com/ Khi đó nên tập hợp các điểm là đường elip có hai tiêu điểm và . Và độ dài trục lớn bằng . Ta có ; và . Do đó, phương trình chính tắc của là . Vậy khi có điểm biểu diễn là . và khi có điểm biểu diễn là . Tọa độ trung điểm của là . Vậy . Câu 95. Cho số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Khi đó bằng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B Gọi với . Ta có . Do đó . Mà . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có . Do đó . Vậy . Câu 96. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: , khi ( ) 1 2 12 10 6 MF MF F F ∗⇔ + = > = E ( ) E 1 F 2 F 10 3 c = 2 10 5 bb = ⇔= 2 22 16 a bc = −= ( ) E 2 2 1 16 25 xy += max 5 z OB OB ′ = = = 5 zi = ± ( ) 1 0; 5 M ± min 4 z OA OA ′ = = = 4 z = ± ( ) 2 4;0 M ± 12 MM 5 2; 2 M  ±±   59 2 22 a b + = + = z 3 38 zz −+ + = M m . z Mm + 4 7. − 4 7. + 7. 4 5. + z x yi = + ; xy ∈  8 3 3 3 32 4 z z z z zz = − + + ≥ − + + = ⇔ ≤ 4 M max z = = ( ) ( ) 22 22 3 38 3 3 8 3 3 8 z z x yi x yi x y x y − + + = ⇔ − + + + + = ⇔ − + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 22 2 2 8 1. 3 1. 3 1 1 3 3 xy x y xy x y  = −+ + + + ≤ + −+ + + +  ( ) ( ) 22 22 8 2 2 2 18 2 2 2 18 64 xy xy ⇔≤ ++ ⇔ ++ ≥ 22 22 7 7 7 xy xy z ⇔ + ≥⇔ + ≥ ⇔ ≥ 7 M min z = = 47 Mm + = + z 1 z = max M min M 23 1 1. Mz z z = ++ + + = = max min 5; 1 MM = = max min 5; 2 MM = = max min 4; 1 MM = = max min 4; 2 MM 23 1 15 M z z z ≤ + ++ + = max 1 5 5. z M M =⇒=⇒ = https://toanmath.com/ Mặt khác: khi . Câu 97. Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D . Đặt . Ta có và . Đặt . Khi đó . Vậy . Câu 98. Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Xét ta có các điểm biểu diễn là đoạn thẳng với là điểm biểu diễn số phức , là điểm biểu diễn số phức Phương trình đường thẳng Hình chiếu vuông góc của lên là Ta có nằm giữa và nên lớn nhất lớn nhất . Câu 99.Cho số phức thỏa mãn điều kiện: và có môđun lớn nhất. Số phức có môđun bằng: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Gọi Ta có: Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm bán kính như hình vẽ: 3 3 3 33 3 1 1 1 11 1 1, 22 2 1 z z z z z Mz z − − + − ++ = + + ≥ + ≥ = − =− ⇒ = ⇒ = min 11 1 z MM z 12 z− = 2 T zi z i = + + − − max 4 2 T = max 8 T = max 8 2 T = max 4 T = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 11 T zi z i z i z i = + + − − = − + + + − − + 1 wz = − 1 w = ( ) ( ) 11 T w i w i = + + + − + . w x yi = + 2 22 2 w xy = = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 11 T x y ix y i = + ++ + − +− ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 1. 1 1 1. 1 1 x y xy = + ++ + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 11 1 1 1 1 x yx y ≤ + + + + + − +− ( ) 22 22 2 4 4 xy = + + = max 4 T = z 1 8 3 53 − − + − − = z iz i 1 2 = ++ Pz i max 53 = P max 185 2 = P max 106 = P max 53 = P ( ) ( ) 1;1 , 8;3 AB 53 = AB ⇒ z AB 1 2 ′ = ++ = P z i MM M z ′ M 12 ′=−− zi : 2 7 5 0 − + −= AB x y ′ M AB 1 87 13 ; 53 53  = −   M A 1 M B ′ = P MM 1 ⇔ MM 83 ⇔ ≡ ⇒= + MB z i max 106 ⇒ = P z 1 2 5 zi − + = 1 wz i = ++ z 6 52 2 5 3 2 ( ) ( ) ( ) , 1 2 1 2 z x yi x y z i x y i = + ∈ ⇒ − + = − + +  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 5 12 5 12 5 z i xy xy −+ = ⇔ − + + = ⇔ − + + = ( ) ; M xy z ( ) C ( ) 1; 2 I − 5 R = https://toanmath.com/ Dễ thấy , . Theo đề ta có: là điểm biểu diễn cho sốphức thỏa mãn: Suy ra đạt giá trị lớn nhất lớn nhất. Mà nên lớn nhất khi là đường kính đường tròn . là trung điểm . Câu 100. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện , môđun nhỏ nhất của số phức bằng: A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt , được biểu diễn bởi điểm trên mặt phẳng tọa độ. Ta có: . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường thẳng . . Câu 101. Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt . ( ) OC ∈ ( ) ( ) 1; 1 N C −− ∈ ( ) ( ) ; M xy C ∈ z ( ) ( ) 1 1 1 1 w z i x yi i x y i = ++ = + ++ = + + + ( ) ( ) 22 1 11 z i x y MN ⇒ ++ = + + + =    1 zi ++ MN ⇔ ( ) , MN C ∈ MN MN ( ) C I ⇔ ( ) ( ) 2 2 3; 3 3 3 3 3 3 2 MN M z i z ⇒ − ⇒ = − ⇒ = +− = 42 2 z i i z − −= − z 3 22 2 3 2 z x yi = + ( ) , xy ∈  ( ) ; M xy 42 2 z i i z − −= − ( ) ( ) 24 2 xy i xy i ⇔ − + − =−+ − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 24 2 x y x y ⇔ − + − = + − 40 xy ⇔ + − = M z : 40 dx y + − = ( ) min min 4 ; 22 2 z OM d O d − = = = = 1 2 , zz 1 12 zi +− = 2 1 z iz = m 12 zz − 22 2 m = − 22 m = 2 m = 21 m = − 1 ; , z a bi a b =+∈  2 z b ai ⇒ =−+ ( ) ( ) 12 z z ab ba i ⇒ − = ++− https://toanmath.com/ Nên Ta lại có . Suy ra . Dấu xảy ra khi . Vậy . Câu 102. Cho các số phức , và số phức thay đổi thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Giá trị biểu thức bằng 1 7 T A. 1 7 T 17T B. 1 7 T 17T C. 1 7 T 17T D. 1 7 T 1 7 THướng dẫn giải Chọn D Giả sử . Ta có: . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường tròn tâm số phức bán kính . Do đó , . Vậy . Câu 103. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B ( ) ( ) 22 12 1 2. z z ab ba z − = + +− = 11 1 21 1 2 z iz i z = + −≤ +− = + 1 22 z ⇒ ≥ − 12 1 2. 2 2 2 zz z −= ≥ − "" = 0 11 ab = < − 12 min 2 2 2 m zz = −= − 1 2 zi =−+ 2 2 zi = + z 22 12 16 zz zz − + − = M m z 22 M m − 15 7 11 8 ( ) , z x yi x y =+ ∈  22 12 16 zz zz − + − = 22 2 2 16 x yi i x yi i ⇔ + + − + + − − = ( ) 2 2 14 x y ⇔ +− = z ( ) 0;1 I 2 R = 1 m = 3 M = 22 8 M m − = z 11 3 2 z zi − = + 2 47 P zi z i = + + − + 8 10 2 5 4 5 https://toanmath.com/ Gọi với , gọi là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức . Ta có: . Như vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm và bán kính . Gọi , lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức , . Dễ thấy thuộc đường tròn . Vì nên là đường kính của đường tròn . Từ đó: . Dấu xảy ra khi . Vậy . Câu 104. Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi là điểm biều diễn số phức , là điểm biểu diễn số phức Số phức thỏa mãn suy ra nằm trên đường tròn tâm và bán kính . Số phức thỏa mãn suy ra nằm trên đường tròn tâm và bán kính . Ta có đạt giá trị lớn nhất bằng . Câu 105. Cho số phức thỏa mãn và . Khi đó số phức là. A. . B. . C. . D. . z x yi = + , xy ∈  M z 11 3 2 z zi − = + 21 3 z zi ⇔ − = + ( ) ( ) 21 3 x yi x y i ⇔ − + = + + ( ) ( ) 22 22 21 3 x y x y ⇔ − + = ++ ( ) ( ) 22 2 3 20 xy ⇔ − + − = M z ( ) C ( ) 2;3 I 2 5 R = ( ) 0; 1 A − ( ) 4;7 B 1 zi = − 2 47 zi = + , A B ( ) C 4 5 2 AB R = = AB ( ) C 2 22 20 MA MB AB ⇒+ = = 2 47 P zi z i = + + − + 2 47 zi z i = + + − − ( ) ( ) 22 2 2 2 1 2 10 MA MB MA MB = + ≤+ + = "" = 22 2 2 4 20 MB MA MA MB MA MB = =   ⇒   = +=   max 10 P = 1 2 , zz 1 23 2 zi +− = 2 12 1 zi − − = 12 P zz = − 6 P = 3 P = 3 34 P = + 3 10 P = + ( ) 11 ; Mx y 1 z ( ) 22 ; Nx y 2 z 1 z 1 23 2 zi +− = ( ) ( ) 22 11 2 34 xy ⇔ + +− = ( ) 11 ; Mx y ( ) 2;3 I − 1 2 R = 2 z 2 12 1 zi − − = ( ) ( ) 22 21 1 21 xy ⇔ −+ + = ( ) 22 ; Nx y ( ) 1; 2 J − 2 1 R = 12 z z MN −= 12 R IJ R ++ 2 34 1 =++ 3 34 = + z 24 5 zi −− = min z z 45 zi = + 32 zi = + 2 zi = − 1 2 zi = + https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn D Do nên tập điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm và bán kính . Mà . Gọi là giao của và đường tròn . Tọa độ là nghiệm của hệ phương trình. . Khi đó . Câu 106. Xét số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là , . Số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là , . Biết rằng , , , là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi . Ta có: . Vì và cùng vuông góc với trục nên , , , là bốn đỉnh của hình chữ nhật khi . Khi đó: . Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi . Câu 107. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi số phức , với . Theo giả thiết, ta có . Suy ra . 24 5 zi −− = M ( ) ( ) 22 2 45 xy − +− = ( ) 2;4 I 5 R = OM z = , AB OI ( ) ( ) 22 2 45 xy − +− = ( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 2 45 1;2 , 2;4 1 2 2 x xy AB x yx yx =    − +− =  ⇔⇒ =   =   =  min 1 2 OA OM OB z OA z i ≤ ≤ ⇒ = ⇔=+ z M M ′ ( ) 43 zi + N N ′ M M ′ N N ′ 45 zi + − 5 34 2 5 1 2 4 13 ( ) ( ) ;, ; z a bi M a b M a b ′ = +⇒ − ( ) ( ) ( ) 43 43 z i a bi i + = + + ( ) 43 3 4 a b a bi = − + + ( ) ( ) 43 ;3 4 , 43 ; 34 N ab a b N ab a b ′ ⇒ − + − −− MM ′ NN ′ Ox M M ′ N N ′ MM NN MN MM ′′ =   ′ ⊥  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 68 3 3.0 3 3. 2 0 0,3 4 0 b ab ab a b b b ab  = +   ⇔ − + + − =   ≠ +≠   0 0,3 4 0 ab b ab + =  ⇔  ≠ +≠  ( ) ( ) 45 5 4 zi a b i + −= − + + ( ) ( ) 22 54 ab = − ++ ( ) ( ) 22 54 aa = − + − 2 2 18 41 aa = −+ 2 9 11 2 22 2 a   = − +≥     45 zi + − 1 2 99 22 a b =⇒= − z 1 z = 1 21 Pz z = + + − 2 5 4 5 5 6 5 i z xy = + , xy ∈  1 z = ⇔ 22 1 xy += 11 x −≤ ≤ https://toanmath.com/ Khi đó, . Suy ra hay , với mọi . Vậy khi , . Câu 108. Trong các số phức thỏa , gọi là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó A. Không tồn tại số phức . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Đặt . Khi đó . Suy ra biểu diễn hình học của số phức là đường tròn tâm và bán kính Gọi là điểm biểu diễn số phức . Ta có: . . Vậy bé nhất bằng 3 khi . Cách 2: Đặt . . . . Câu 109. Gọi là số các số phức đồng thời thỏa mãn và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Gọi là giá trị lớn nhất của . Giá trị tích của là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B Gọi , với . Khi đó là điểm biểu diễn cho số phức . Theo giả thiết, . 1 21 Pz z = + + − ( ) ( ) 22 22 1 21 x y xy = + + + − + 2 2 22 2 x x = ++ − ( ) ( ) ( ) 22 1 2 2 2 22 P xx ≤ + + + −     2 5 P ≤ 11 x −≤ ≤ max 2 5 P = 22 2 2 2 xx += − ⇔ 3 5 x = − 4 5 y = ± z 34 2 zi   0 z 0 z 0 2 z  0 7 z  0 3 z  (, ) z a bi a b    22 3 4 2 ( 3) ( 4) 4 zi a b        z ( ) C ( ) 3; 4 I −− 5 R = ( ) M z z ( ) ( ) M z C ∈ 3 z OM OI R = ≥ − = z ( ) ( ) M z C IM = ∩ 3 2cos 3 2cos 4 2sin 4 2sin aa bb                   22 z ab   22 (2cos 3) (2sin 4)     29 12cos 16sin     34 29 20 cos sin 29 20cos( ) 9 55                 0 3 z  n z i 1 2i 3 z++ = 2 5 2i 3 3i Tz z = ++ + − M T . Mn 2 13 10 21 6 13 5 21 i z xy = + , xy ∈  ( ) ; M xy z i 1 2i 3 z++ = ⇔ 2i 3 z+ −= ⇔ ( ) ( ) 22 2 19 xy + +− = https://toanmath.com/ Ta có , với và . Nhận xét rằng , , thẳng hàng và . Cách 1: Gọi là đường trung trực của , ta có . . Dấu “ ” xảy ra khi hoặc . Giải hệ và . Khi đó . Vậy . Cách 2: Ta có , , thẳng hàng và nên . . Do đó hay . Khi đó . Dấu “ ” xảy ra khi hoặc . Vậy . Câu 110. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A . Gọi ta có . Theo giả thiết nên điểm biểu diễn cho số phức nằm trên đường tròn tâm bán kính . Ta có . 2 5 2i 3 3i Tz z = ++ + − 2 3 MA MB = + ( ) 5; 2 A −− ( ) 0;3 B A B I 2 3 IA IB = ∆ AB : 50 xy ∆ + += 2 3 T MA MB = + PA PB ≤+ = MP ≡ MQ ≡ ( ) ( ) 22 50 2 19 xy xy + +=    + +− =   ⇔ 8 22 2 ; 22 P  − − − +    8 22 2 ; 22 Q   − + + −       max 5 21 M T = = . 10 21 Mn = A B I 2 3 IA IB = 23 0 IA IB +=       ⇒ 22 23 MA MB + ( ) ( ) 22 23 MI IA MI IB = + + +         2 22 5 23 MI IA IB = ++ 105 = ( ) 2 2 2. 2 3. 3 T MA MB = + ( ) 22 52 3 MA MB ≤ + 525 = 5 21 T ≤ max 5 21 M T = = = MP ≡ MQ ≡ . 10 21 Mn = z 23 1 zi −− = 1 zi ++ 13 2 + 6 4 13 1 + M1 I H M2 z x yi = + ( ) 23 23 2 3 z i x yi i x y i −− = + −− = −+ − ( ) ( ) 22 2 31 xy −+ −= M z ( ) 2;3 I 1 R = ( ) ( ) ( ) 22 1 1 11 1 1 z i x yi i x y i x y ++ = − ++ = ++ − = + + − https://toanmath.com/ Gọi và thì . Do chạy trên đường tròn, cố định nên lớn nhất khi là giao của với đường tròn. Phương trình , giao của và đường tròn ứng với thỏa mãn: nên . Tính độ dài ta lấy kết quả . Câu 111. Cho là các số phức thỏa Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Kí hiệu : là phần thực của số phức. Ta có (1). (2). Từ và suy ra . Các h khác: B hoặc C đúng suy ra D đúngLoại B, C. Chọn ⇒ A đúng và D sai Cách 2: thay thử vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 112. Cho với , là số phức thỏa mãn điều kiện . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B ( ) ; M xy ( ) 1;1 H − ( ) ( ) 2 2 11 HM x y = + +− M H MH M HI { 23 : 32 xt HI yt = + = + HI t 2 2 1 941 13 tt t + =⇔=± 3 2 32 2 ;3 , 2 ;3 13 13 13 13 MM    + + −−       MH 13 1 HM = + 1 2 3 , , zz z 12 3 1. zz z = = = 1 2 3 1 2 2 3 31 z zz z zz z z z ++ < + + 1 2 3 1 2 2 3 31 z zz z zz z z z ++ ≠ + + 1 2 3 1 2 2 3 31 z zz z zz z z z ++ = + + 1 2 3 1 2 2 3 31 z zz z zz z z z ++ > + + Re 2 12 3 zz z ++ ( ) 2 22 1 2 3 1 2 2 3 31 2Re z z z zz z z z z = + ++ + + ( ) 1 2 2 3 31 3 2 Re zz z z z z =+ ++ 2 1 2 2 3 31 zz z z z z ++ ( ) 2 22 1 2 2 3 31 1 2 2 3 2 3 31 31 1 2 2Re zz z z z z zz z z z z z z z zzz = + ++ + + ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 31 2 . . . 2 Re z z z z z z zz z z z z z z z = + + + + + ( ) ( ) 13 21 3 2 1 2 3 3 3 1 3 2Re 3 2 Re z z z z zz z z zz zz =+ ++ = =+ + + ( ) 1 ( ) 2 1 2 3 1 2 2 3 31 z zz z zz z z z ++ = + + 12 3 zz z = = 12 3 1 zz z = = = z x yi = + x y ∈  23 2 5 z i zi + − ≤ + − ≤ M m 22 86 P x y x y = + + + Mm + 156 20 10 5 − 60 20 10 − 156 20 10 5 + 60 2 10 + https://toanmath.com/ - Theo bài ra: tập hợp điểm biểu diễn số phức là miền mặt phẳng thỏa mãn - Gọi , là các giao điểm của đường thẳng và đường tròn . - Ta có: . Gọi là đường tròn tâm , bán kính . - Đường tròn cắt miền khi và chỉ khi và . Vậy . Câu 113. Tìm số phức thỏa mãn và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. A. và . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Từ giả thiết suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn (C) tâm , bán kính . Xét các điểm và . Ta thấy . 6 4 2 2 4 6 8 10 10 5 5 10 x y -1 A B -1 2 J I K 23 2 5 z i zi + − ≤ + − ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 3 2 15 x y xy ⇔ + +− − ≤ − + + ≤ ( ) ( ) 22 2 20 2 1 25 xy xy + + ≤   ⇔  − ++ ≤   ⇒ z ( ) T ( ) ( ) 22 2 20 2 1 25 xy xy + + ≤    − ++ ≤   ( ) 2; 6 A − ( ) 2;2 B − 2 20 xy + += ( ) ( ) ( ) 22 : 2 1 25 Cx y ′ − ++ = 22 86 P x y x y = + + + ( ) ( ) 22 4 3 25 x yP ⇔ ++ +=+ ( ) C ( ) 4; 3 J −− 25 RP = + ( ) C ( ) T JK R JA ≤≤ IJ IK R IA ⇔ − ≤≤ 2 10 5 25 3 5 P ⇔ −≤ + ≤ 40 20 10 20 P ⇔ − ≤≤ 20 M ⇒= 40 20 10 m = − 60 20 10 Mm + = − z 15 zi − − = 79 2 8 Tz i z i = −− + − 16 zi = + 52 zi = − 45 zi = + 52 zi = − 16 zi = + M 0 K A I M B 15 zi − − = M z ( ) 1;1 I 5 R = ( ) 7;9 A ( ) 0;8 B 10 2. IA IM = = https://toanmath.com/ Gọi là điểm trên tia sao cho Do , góc chung . Lại có: , nằm giữa và . Ta có: phương trình đường thẳng là: 2x+y-8=0 Tọa độ điểm là nghiệm của hệ: . Vậy là số phức cần tìm. Câu 114. Cho số phức thỏa mãn . Tính , với . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có . Trường hợp : . Trường hợp 2: Gọi (với ) khi đó ta được . Suy ra . Từ , suy ra . Câu 115. Cho số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Môđun của số phức là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A - Đặt , với . K IA 1 4 IK IA = 5 ;3 2 K   ⇒=     1 2 IM IK IA IM = =  MIK IKM IMA ⇒∆ ∆  ( ) .. c gc 1 2 MK IK MA IM ⇒= = 2. MA MK ⇒= 79 2 8 Tz i z i = −− + − 2. MA MB = + ( ) 2 MK MB = + 2. 5 5 BK ≥= min 55 T ⇒= ( ) M BK C ⇔= ∩ M B K 5 0 2 M x ⇒< < BK M ( ) ( ) 22 2 80 1 1 25 xy xy + −=    − +− =   1 6 5 2 x y x y  =    =   ⇔  =    = −    ( ) 1;6 M ⇒= 16 zi = + z ( ) ( ) 2 2 5 1 2 3 1 z z z iz i − + = − + + − min | | w 22 wz i = −+ 3 min | | 2 w = min | | 2 w = min | | 1 w = 1 min | | 2 w = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 1 z z z iz i z iz i z iz i − + = − + + − ⇔ − + − − = − + + − ( ) ( ) 1 2 0 12 3 1 zi z i zi − + =  ⇔  − − = + −   1 1 2 0 zi − + = 1 1 ww ⇒ =−⇒ = ( ) 1 12 3 1 z i zi − − = + − z a bi = + , ab ∈  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 12 1 3 2 3 2 a b ia b i b b b − +− =− ++ ⇔ − =+ ⇔ = − ( ) 2 3 93 22 2 2 2 42 w z i a i w a = −+ = −+ ⇒ = − + ≥ ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 min | | 1 w = z 34 5 zi − − = M m 22 2 P z zi = + −− w M mi = + 1258 w = 2 309 w = 2 314 w = 3 137 w = z x yi = + , xy ∈  https://toanmath.com/ Ta có: , hay tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm , bán kính . - Khi đó : , kí hiệu là đường thẳng . - Số phức tồn tại khi và chỉ khi đường thẳng cắt đường tròn Suy ra và . Vậy . Câu 116. Cho số phức thoả mãn và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt với và gọi là điểm biểu diễn của trên , ta có Và . Như vậy Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Vậy đạt giá trị lớn nhất khi . Câu 117. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của , với là số phức khác và thỏa mãn . Tính tỷ số . A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B 34 5 zi − − = ( ) ( ) 3 45 x yi ⇔ − + − = ( ) ( ) 2 2 3 45 xy ⇔ − + − = z ( ) C ( ) 3;4 I 5 r = 22 2 P z zi = + −− ( ) ( ) 2 2 22 21 x yx y = + + −− − 42 3 xy = + + 42 3 0 xy P ⇒ + +− = ∆ z ∆ ( ) C ( ) ; dI r ⇔ ∆≤ 23 5 2 5 P − ⇔≤ 23 10 P ⇔ − ≤ 13 33 P ⇔ ≤≤ 33 M = 13 m = 33 13 wi ⇒ = + 1258 w = z 3 4i 5 z− − = 22 2 i Pz z = + −− z 52 13 10 10 i z xy = + , xy ∈  ( ) ; M xy z Oxy 34 5 zi − − = ( ) ( ) 2 2 3 45 xy ⇔ − + − = 22 2 P z zi = + −− ( ) ( ) 2 2 22 21 x yx y = + + −− − 42 3 xy = + + 42 3 P xy = + + ( ) ( ) 4 3 2 4 23 xy = − + − +   ( ) ( ) 2 2 22 4 2 . 3 4 23 xy ≤ + − +− + 33 = ( ) ( ) 34 42 4 3 2 4 10 xy t xy −−  = =    − + − =  5 5 0,5 x y t =   ⇔=   =  P 55 zi = + 52 z ⇒= M m zi P z + = z 0 2 z ≥ M m 5 M m = 3 M m = 3 4 M m = 1 3 M m = https://toanmath.com/ Gọi . Nếu Không có số phức nào thoả mãn yêu cầu bài toán. Nếu . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là hình tròn tâm có bán kính . . Câu 118. Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có . Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ là điểm và đường trung trực của đoạn thẳng với , . Ta có , là trung điểm nên phương trình đường trung trực của là . Đặt , , . Khi đó , với là điểm biểu diễn cho . Suy ra . ( ) 1 zi T T zi z + = ⇒− = 1 T = ⇒ 1 1 21 11 2 ii Tz z T TT ≠⇒ = ⇔ = ≥ ⇒ − ≤ −− T ( ) 1;0 I 1 2 R = 3 2 1 2 M OB OI R m OA OI R  = = +=   ⇒   = = − =   3 M m ⇒= z ( ) ( ) 2 4 2 1 2 + = − − + z z iz i 32 = +− Pz i min 7 2 = P min 3 = P min 4 = P min 2 = P ( ) ( ) 2 4 2 1 2 + = − − + z z iz i ( ) 2 2 1 2 0 ⇔ − + − − + = z iz i z i 20 2 1 2 − = ⇔  + = − +   zi z i z i N z Oxy ( ) 0;2 A BC ( ) 0; 2 − B ( ) 1; 2 − C ( ) 1;0 =   BC 1 ;0 2    M BC BC : 2 1 0 ∆ −= x ( ) 3;2 − D 3 = DA ( ) 7 , 2 ∆= dD 32 = +− = P z i DN N z ( ) { } min min , , 3 = ∆= P DA d D https://toanmath.com/ Câu 119. Gọi là số phức thỏa mãn hai điều kiện và đạt giá trị lớn nhất. Tính tích A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được Đặt Thay vào điều kiện thứ hai, ta có Dấu bằng xảy ra khi Câu 120. Xét các số phức ( ) thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Đặt với . Theo bài ra ta có . Ta có . . Vậy GTNN của là bằng đạt được khi . ( ) , z x yi x y =+∈  22 2 2 26 z z − + + = 33 22 zi −− . xy = 9 2 xy = 13 2 xy = 16 9 xy = 9 4 xy ( ) ,. z x iy x y =+∈  22 36. xy + = 3cos, 3sin. x ty t = = 33 18 18 sin 6. 4 22 Pz i t π  =−− = − +≤   3 32 32 sin 1 . 4 4 22 t tz i ππ  + =− ⇒ =− ⇒ =− −   z a bi = + , ab ∈  32 2 zi − − = ab + 12 2 2 5 z iz i +− + − − 3 4 3 + 43 − 2 3 + 32 z iw − − = w x yi = + ( ) , xy ∈  22 24 w xy =⇔+ = ( ) ( ) ( ) 2 22 2 1 2 2 2 5 4 2 13 4 2 1 3 Pz i z i w w i x y x y = +− + − − = + + +− = + + + + + − ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 20 8 21 3 2 5 2 21 3 xx y xx y = + + + +− = + + + +− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 22 22 2 2 2 1 1 3 2 1 1 3 x y x x y x y x y = + + + + + + − = + + + + + − ( ) 2 32 3 6 yy y y ≥ + − ≥ +− = ( ) 22 1 1 6 30 3 4 x x P y y y xy  = − = −    = ⇔ − ≥ ⇔   =    +=  P 6 ( ) 22 3 zi =++ https://toanmath.com/ Cách 2: với . với , . Ta có ; . Chọn thì . Do đó ta có và đồng dạng với nhau . Từ đó . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , , thẳng hàng và thuộc đoạn thẳng . Từ đó tìm được . Cách 3: Gọi là điểm biểu diễn số phức Đặt , và . Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn có tâm , bán kính sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Trước tiên, ta tìm điểm sao cho . Ta có . luôn đúng . . Thử trực tiếp ta thấy thỏa mãn . Vì nên nằm ngoài . Vì nên nằm trong . Ta có . Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi thuộc đoạn thẳng . Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của và đoạn thẳng Phương trình đường thẳng . 32 2 zi − − = 2 MI ⇒ = ( ) ;2 MI ⇒∈ ( ) 3;2 I = 12 2 2 5 2 P z i z i MA MB = +− + − − = + ( ) 1;2 A = ( ) 2;5 B = 2 IM = 4 IA = ( ) 2;2 K 1 IK = 2 . IA IK IM = IA IM IM IK ⇒= IAM ⇒∆ IMK ∆ 2 AM IM MK IK ⇒= = 2 AM MK ⇒= 2 P MA MB = + ( ) 2 MK MB = + 2BK ≥ M K B M BK ( ) 2;2 3 M = + ( ) ; M ab . z a bi = + ( ) 3;2 I = ( ) 1;2 A − ( ) 2;5 B ( ) C I 2 R = 2 P MA MB = + ( ) ; K xy 2 MA MK = ( ) MC ∀ ∈ ( ) ( ) 22 22 24 4 MA MK MA MK MI IA MI IK = ⇔ = ⇔+ = +         ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2. 4 2. 2 4 3 4 MI IA MI IA MI IK MI IK MI IA IK R IK IA ⇔ ++ = + + ⇔ − = + −               ( ) * ( ) * ( ) 2 22 40 34 0 IA IK MC R IK IA  −=  ∀ ∈ ⇔  + −=        ( ) ( ) 43 4 2 40 2 4 20 x x IA IK y y −= −  =   −=⇔ ⇔  = − =         ( ) 2;2 K 2 22 34 0 R IK IA + −= 2 2 2 2 1 3 10 4 BI R = += > = B ( ) C 22 14 KI R =< = K ( ) C ( ) 22 22 2 MA MB MK MB MK MB KB += += + ≥ M BK 2 MA MB + ( ) C . BK :2 BK x = https://toanmath.com/ Phương trình đường tròn . Tọa độ điểm là nghiệm của hệ hoặc . Thử lại thấy thuộc đoạn . Vậy , . Câu 121.Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có . Vậy . Câu 122. Cho các số phức , thỏa mãn và . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Gọi , với . Khi đó là điểm biểu diễn cho số phức . Theo giả thiết, . Suy ra thuộc đường tròn . Ta có , với và . Gọi là trung điểm của , ta có và khi đó: hay . Mặt khác, với mọi nên . ( ) ( ) ( ) 2 2 : 3 24 Cx y − +− = M ( ) ( ) 2 2 2 2 3 24 2 3 x x xy y =  =    ⇔   − +− = = +     2 23 x y =    = −   ( ) 2;2 3 M + BK 2 a = 2 3 b = + 4 3 ab ⇒ + = + z 1 z = 1 31 Pz z = + + − 3 15 P = 2 5 P = 2 10 P = 6 5 P = 1 31 Pz z = + + − ( ) ( ) 22 2 2 13 1 1 zz ≤ + + +− ( ) 2 10 1 z = + ( ) 10 1 1 = + 2 5 = max 2 5 P = w z 35 wi 5 += ( ) ( ) 5w 2 i 4 z =+− 1 2i 5 2i Pz z = − − + − − 67 4 2 13 + 2 53 4 13 i z xy = + , xy ∈  ( ) ; M xy z ( ) ( ) 5w 2 i 4 z =+− ( ) ( ) ( ) 5 w i 2 i 4 5i z ⇔ += + − + ( ) ( ) 2 i w i 3 2i z ⇔ − + = − + 3 2i 3 z ⇔ − + = ( ) ; M xy ( ) ( ) ( ) 2 2 : 3 29 Cx y − ++ = 1 2i 5 2i Pz z = − − + − − MA MB = + ( ) 1;2 A ( ) 5;2 B H AB ( ) 3;2 H P MA MB = + ( ) 22 2 MA MB ≤+ 22 4 P MH AB ≤+ MH KH ≤ ( ) MC ∈ 22 4 P KH AB ≤+ ( ) 2 2 4 IH R AB = ++ 2 53 = https://toanmath.com/ Vậy khi hay và . Câu 123. Biết rằng . Tìm giá trị lớn nhất của module số phức ? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B Quỹ tích là đường tròn tâm bán kính . Còn với . Khi đó . Câu 124. Trong các số phức thỏa mãn , số phức có môđun nhỏ nhất là. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt . Khi đó: . . Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng . . Suy ra: bé nhất bằng khi . Câu 125. Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Gọi , Ta có: Mà Hay Lúc đó max 2 53 P = MK MA MB ≡   =  3 5i z = − 3 11 wi 55 = − 12 z− = 2 wz i = + 25 + 2 5 + 5 2 − 52 − ( ) Mz ( ) 1,0 I 2 R = 2 w z i MA = + = ( ) 0,2 A max 2 5 w IA R = += + z 24 zz i = −+ 3 zi = + 5 z = 5 2 zi = 1 2 zi = + ( ) ,, z x yi x y R z x yi = + ∈ ⇒= − 24 24 z z i x yi x yi i = −+ ⇔ + = − −+ ( ) ( ) 22 22 2 4 2 50 x y x y x y ⇔ + = − + − ⇔ + −= ( ) ; M xy z 2 50 xy + −= ( ) ( ) ( ) 22 22 2 2 52 5 4 4 5 5 2 5 5 x yi x y y y y y y + = += − += − + + = − + ≥ x yi + 5 2 1 y x = ⇒= z 3 − = + z zi = Pz min 2 10 5 = P min 3 10 5 = P min 10 5 = P min 3 = P = + z a bi ( ) , ∈  ab 22 = = + Pz a b 3 − = + z zi 3 +− = ++ a ib a ib i ( ) ( ) 31 ⇔ − + = + + a ib a b i ( ) ( ) 2 2 22 31 ⇔ − + = ++ a ba b 43 ⇔= − ba ( ) 2 22 2 2 4 3 10 24 16 = = + = + − = − + Pz a b a a a a 2 24 144 8 2 10 10 10 100 5 5   = − + +≥     x x https://toanmath.com/ Câu 126. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: Khi Câu 127. Xét số phức thỏa mãn Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1. Chọn . Cách 2. . Dấu xảy ra khi hay . Câu 128. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1. . Cách 2. Đặt . Gọi là điểm biểu diễn của trong hệ trục tọa độ . với nằm trên đường tròn tâm , bán kính . Ta có . Vậy .  Lưu ý: Nếu đề bài hỏi “Giá trị nhỏ nhất của ” thì . z 1 z = = + 5 1 i A z 6 8 5 4 5 55 1 1 1 6. ii A zz z = + ≤+ =+ = 6. zi A =⇒= z 2 1 3 2 2. z zi −+ − ≤ 13 22 z << 3 2 2 z << 2 z > 1 2 z < zi = ( ) 22 2 1 3 2 1 z zi z zi zi ≥ −+ − = −+ − + − ( ) 21 z zi zi ≥ − − − + − 2 1 22 22 i zi zi = − + − = + − ≥ "" = 0 zi −= zi = 1. zi ⇒= = z 33 2 zi − + = zi − 8 9 6 7 2 33 zi = − + ( ) ( ) 34 zi i = −− − 34 zi i ≥ −− − 2 34 zi i ⇒ −≤ + − 7 zi ⇒ −≤ w zi = − M w Oxy 33 2 zi − + = 34 2 wi ⇒ − + = 2 MI ⇒ = ( ) 3; 4 I − ⇒ M ( ) C ( ) 3; 4 I − 2 R = zi − w = OM = max OM OI R = + 52 = + 7 = zi − min OM ON OI R = = −