Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau - 50 bài toán ôn thi THPTQG

NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 410 KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng Khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng đó.     , d M MM    với M  là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng    . 1.1. Khoảng cách từ điểm M bất kì đến mặt phẳng    có chứa đường cao của hình chóp (lăng trụ…) Phương pháp: Bước 1: Quy khoảng cách từ điểm M về điểm A thuộc mp đáy. Bước 2: Tìm giao tuyến của mp đáy với mp    Bước 3: Từ A dựng AH vuông góc với giao tuyến tại H . Khi đó     ; AH d A   * Công thức tính tỉ lệ khoảng cách:         d M,mp P MO = AO d A,mp P 1.2. Khoảng cách từ hình chiếu vuông góc A của đỉnh S đến mp bên    Phương pháp: Bước 1: Tìm giao tuyến của    với mp đáy. Bước 2: Từ A dựng AH vuông góc với giao tuyến tại H . Bước 3: Nối SH , dựng AK vuông góc SH tại K . Khi đó     ; AK d A   . 1.3. Khoảng cách từ điểm bất kì đến mp bên. d P A O H M K d P M O K A H BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 411 Phương pháp: Quy khoảng cách từ điểm đó đến mp bên về khoảng cách từ điểm là hình chiếu của đỉnh S đến mp bên. 2. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng này tới mặt phẳng kia. 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này tới mặt phẳng kia. 4. Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau 4.1. Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó , , a b a A b B                , d a b AB   4.2. Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cách 1:Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.       , , d a b d a   .Với     / / b a         .  Cách 2:Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.         , , d a b d    . Với         / / a b            . NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 412 Cách 3: Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. BÀI TẬP MẪU Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang, 2 AB a  , AD DC CB a    , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 3 SA a  (minh họa như hình bên dưới). Gọi M là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng A. 3 4 a B. 3 2 a C. 3 3 13 a D. 3 3 13 a Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng khoảng cách từ đường thẳng DM đến mặt phẳng   SBC . B2: Tính khoảng cách từ DM đến mặt phẳng   SBC thông qua khoảng cách từ điểm A đến   SBC . B3: Tính và kết luận Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A M C B A D SNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 413 Do M là trung điểm của AB 1 2 BM AM AB a AD BC CD         nên tứ giác ADCM ; BCDM là hình thoi.             / / / / , , , DM BC DM SBC d DM SB d DM SBC d M SBC      . Mặt khác           , 1 2 , d M SBC BM AM SBC B BA d A SBC                1 , , 1 2 d M SBC d A SBC   Xét tam giác ABC , có đường trung tuyến 1 2 CM AB ABC    vuông tại C AC BC   Trong tam giác vuông SAC dựng AH SC  . Lại có:       D BC AC BC SAC BC AH BC SA do SA ABC             . Suy ra:       , . AH SBC AH d A SBC    Xét tam giác vuông ABC tại C có 2 2 3 AC AB BC a    Tam giác SAC vuông tại A nên ta có: 2 2 2 1 1 1 AH AS AC       2 2 2 2 . 3 . 3 3 3 , 2 2 9 3 AS AC a a a a AH d A SBC AS AC a a         Từ   1     3 , 4 a d M SBC   . Vậy       3 , , 4 a d DM SB d M SBC   . H M C B A D SNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 414 Bài tập tương tự và phát triển: Câu 37.1: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật có 2 ; 3 AB a AD a   . Hình chiếu vuông góc của S lên   ABCD là H thuộc AB sao cho 2 HB HA  . Tính khoảng cách từ D đến   SHC . A. 9 97 97 a . B. 2 85 11 a . C. 85 11 a . D. 97 97 a . Lời giải Chọn A Dựng DK HC  tại K. Ta có       ; DK HC DK SHC DK d D SHC DK SH          .   2 2 2 2 4 97 3 . 3 3 a HC BH BC a a            Khi đó 1 1 . 2 2 HDC ABCD S S DK HC    ABCD S DK HC   2 6 9 97 . 97 97 3 a a a   Câu 37.2: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , , 3 AB a AC a   . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng   SAC . A. 39 . 13 a d  B. . d a  C. 2 39 . 13 a d  D. 3 . 2 a d  Lời giải Chọn C NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 415 Gọi H là trung điểm của BC , suy ra   SH BC SH ABC    . Gọi K là trung điểm AC , suy ra HK AC  . Kẻ HE SK   . E SK  Khi đó         2 2 . 2 39 , 2 , 2 2. 13 SH HK a d B SAC d H SAC HE SH HK      . Câu 37.3: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng   ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng   ABCD góc 30  . Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng   SCD theo a . A. 2 21 . 21 a d  B. 21 . 7 a d  C. . d a  D. 3 d a  . Lời giải Chọn B Ta có:             3 , , , . 2 BD d B SCD d H SCD d H SCD HD   E K H S C B A H K O B D C A SNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 416 Trong   SHC ,kẻ   1 HK SC  . Ta có: HC AB HC CD    . Lại có:   SH ABCD SH CD    . Suy ra:     2 CD SHC CD HK    . Từ     1 , 2        , HK SCD d H SCD HK    . + Theo bài ra ta có:        SD,HD = SD, ABCD = = SDH 30  và  2a SH = HD.tanSDH = 3 . Tam giác vuông SHC , có 2 2 . 2 21 21 SH HC a HK SH HC    . Vậy     3 21 , 2 7 a d B SCD HK   . Câu 37.4: Cho hình chóp . S ABCD có   , SA a SA ABCD   , đáy ABCD là hình vuông. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AD DC , góc giữa   SBM và mặt đáy là 45 .Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng   SBM ? A. 2 3 a B. 2 a C. 2 2 a D. 3 2 a Lời giải Chọn C + Ta có :         , , AM DM d D SBM d A SBM    . + Gọi H là giao điểm của BM và AN . Ta có :     1 1 . . ABM DAN c g c B A      . Mà     0 0 1 1 1 1 90 90 B M A M      . Vậy BM AN  . Khi đó:   BM AN BM SAN BM SH BM SA          . Trong   SAH , dựng AI SH  . 45° H N M A D B C S I 1 1 1 H A B C D M NNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 417 Lại có:   BM SAN BM AI    . Suy ra:       , AI SBM d A SBM AI    . + Ta có :                , , 45 BM SBM ABCD BM SH SBM ABCD SH AN SHA BM AN               Suy ra : SAH  vuông cân tại A có 2 SA AH a SH a     . 1 2 2 2 a AI SH    . Vậy     2 , 2 a d D SBM AI   . Câu 37.5: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , , 2 AB BC a AD a    .   SA ABCD  và SA a  . Tính khoảng cách giữa AD và SB ? A. 2 4 a . B. 2 a . C. 3 3 a . D. 2 2 a . Lời giải Chọn D Trong   SAB , dựng AH SB  . Vì   AD SA AD SAB AD AH AD AB          . Khi đó:   , d AD SB AH  . Xét tam giác SAB vuông tại A có 2 2 . 2 2 SA AB a AH SA AB    . Câu 37.6: Cho hình hộp chữ nhật 1 1 1 1 . ABCD A B C D có 1 2 , 4 AA a AD a   . Gọi M là trung điểm . AD Khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 1 A B và 1 C M bằng bao nhiêu? A. 3 . a B. 2 2. a C. 2. a D. 2 . a Lời giải Chọn B NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 418 Ta có 1 1 1 1 // A B C D suy ra           1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , d A B C M d A B C D M d A C D M   Vì 1 2 , 4 AA a AD a   và M là trung điểm AD nên 1 1 A M D M  , suy ra   1 1 1 A M C D M      1 1 1 1 , 2 2 d A C D M A M a    . Câu 37.7: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Cạnh bên 2 SA a  và vuông góc với mặt đáy   ABCD . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD . A. . 3 a B. 2 . 3 a C. 2 . a D. . 2 a Lờigiải Chọn A + Gọi . E HK AC   Do   / / / / HK BD HK SBD  .               1 , , , , 2 d HK SD d HK SBD d E SBD d A SBD     . + Kẻ AF SO  . Lại có:   BD SA BD SAC BD AF BD AC          . Suy ra:       , . AF SBD d A SBD AF    S A B C D H K E F ONHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 419 +Xét tam giác vuông SAO có: 2 2 SA.AO 2a AF = = . 3 SA + AO Vậy   1 , 2 3 a d HK SD AF   . Câu 37.8: Cho hình lập phương . ABCD A B C D     cạnh bằng . a Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD  và A B   bằng bao nhiêu ? A. 2 a . B. 2 2 a . C. 3 3 a . D. 3 2 a . Lờigiải Chọn B Ta có   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' A B A A A B ADD A A B A D        . Gọi H là giao điểm của ' AD với ' A D ' ' A H AD   . Khi đó:   ' ' 2 ' '; ' ' ' ' ' 2 A H AD a d A B AD A H A H A B         . Câu 37.9: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật tâm Gọi là trung điểm của cạnh là trung điểm đoạn Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với điểm Biết góc tạo bởi đường thẳng với mặt phẳng bằng 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng theo là: A. . B. 6 2 a . C. 6 3 a . D. 6 6 a . Lờigiải Chọn D . S ABCD ABCD , , 2 . I AB a AD a   M và AB N . MI S   ABCD . N SB   ABCD và MN SD a 6 aNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 420 Do     / / / / , ( ,( )) ( ,( )) MN AD MN SAD d MN SD d MN SAD d N SAD     . Kẻ       , NE AD SN AD AD SNE SAD SNE SE        . Kẻ       ( ) , ,( ) NH SE NH SAD d N SAD d MN SAD NH       . Ta có :       ; 45 . SB ABCD SBN    Xét 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 a a a a BN BM NM SN        . Do . Câu 37.10:Cho tứ diện OABC trong đó , , OA OB OC đôi một vuông góc với nhau, . OA OB OC a    Gọi I là trung điểm . BC Khoảng cách giữa và AI OC bằng bao nhiêu? A. a. B. 5 a . C. 3 2 a . D. 2 a . Lời giải Chọn B Gọi J là trung điểmOB   / / / / IJ OC OC AIJ   . BMN   2 2 2 . . 6 2 2 6 3 2 a a NE NS a NH a NE NS    NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 421 Suy ra:           , , , d AI OC d OC AIJ d O AIJ   . Kẻ OH vuông góc AJ tại H . Ta có:   OC OA OC OAB OC OH IJ OH OC OB            . Khi đó:       , OH AJ OH AIJ OH I d O AIJ OH J          . Vì AOJ  vuông tại O , có OH là đường cao. Suy ra: 2 2 2 2 . . 2 5 2 a a OA OJ a OH OA OJ a a            .Vậy   5 , . 5 O d AI H a OC   Câu 37.11: Cho hình chóp . S ABCD có   SA ABCD  , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng10cm . Biết 10 5 cm SC  . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , SA CD .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và MN . A. 3 5 cm . B. 5 cm . C. 5cm . D. 10cm . Lờigiải Chọn B + Gọi P là trung điểm BC và E NP AC   . Khi đó:   / / / / PN BD BD MNP  . Suy ra:               1 , , , , 3 d BD MN d BD MNP d O MNP d A MNP    . + Kẻ AK ME  . O D C B A N K E P S MNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 422 Lại có:   BD SA BD SAC BD AK PN AK BD AC            . Suy ra:       , . AK MNP d A MNP AK    + Xét tam giác vuông SAC có: 2 2 10 3 SA SC AC    5 3 MA   . Tam giác vuông MAE , có 3 15 2 10 3; 4 2 SA AE AC    . Suy ra:   2 2 . 3 5 cm MA AE AK MA AE    . Vậy     1 , 5 cm 3 d BD MN AK   . Câu 37.12: Cho hình chóp . S ABCD có   SA ABCD  , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết , 5 AB a AC a   , góc giữa SB và mặt đáy là 30  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC bằng. A. 2 13 13 a . B. 2 21 7 a . C. 2 39 13 a . D. 13 13 a . Lời giải Chọn A Cách 1: + Chọn mặt phẳng   SAD . Ta có:       AB SA do SA ABCD AB SAD AB AD           + Chiếu SC trên   SAD . Ta có:       CD SA do SA ABCD CD SAD CD AD          NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 423 SD  là hình chiếu của SC trên   SAD . + Dựng AH SD H   . + Dựng hình chữ nhật AHKP với , K SC P AB   . Khi đó: PK là đoạn vuông góc chung của AB và SC và PK AH  . + Tính AH . Ta có: Góc giữa SB và mặt đáy là 0 30  0 30 SBA   . Xét tam giác SAB vuông tại A có: 0 3 .tan 30 3 a SA AB   . Xét tam giác ABC vuông tại B có 2 2 2 BC AC AB a    2 AD BC a    . Xét SAD  vuông tại A:   2 2 2 2 3 .2 . 2 13 3 13 3 2 3 a a SA AD a AH SA AD a a            . Vậy đoạn vuông góc chung của AB và SC là 2 13 13 a PK AH   . Cách 2: +             / / / / , , , AB CD AB SCD d AB SC d AB SCD d A SCD     . + Kẻ AH SD  . Chứng minh   AH SCD  . Từ đó suy ra:     , d A SCD AH  . + Tính AH (như cách 1) Câu 37.13: Cho hình hộp đứng . ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a , cạnh bên 2 AA a   và AD BA    .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD  và BA  . A. 2 3 a . B. 6 3 a . C. a . D. 6 2 a . Lời giải Chọn B NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 424 + Gọi E là điểm đối xứng với B  qua B . Khi đó: AA BE  là hình bìn1h hành   / / / / A B AE A B AD E      . Suy ra           , , , d A B AD d A B AD E d B AD E        . + Gọi I AC BD   . Khi đó:       AI BD AI DD B B AI DD do DD ABCD                   AD E DD B B D E        Trong   mp DD B B   , kẻ BH D E   . Suy ra :       , BH AD E d B AD E BH      . + Tính BH . Xét tam giác ABA  vuông tại A có     2 2 2 2 2 2 6 BA AB AA a a a        . Vì   / / AD BA BA BC AD BC A BC              vuông cân tại B . 2 3 3 A C a AI a       . Xét tam giác ABI vuông tại I có :     2 2 2 2 2 3 BI AB AI a a a      . Xét IBE  vuông tại B có : 2, BE AA a BI a     . NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 425   2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 . . 2 6 3 2 BI BE a a a BH BH BI BE BI BE a a          . Câu 37.14: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy   ABCD , biết 2 5 SD a  , SC tạo với mặt đáy   ABCD một góc 60  . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SA. A. 15 79 a . B. 5 79 a . C. 2 15 79 a . D. 3 5 79 a . Lờigiải Chọn C + Dựng hình bình hành AMDI . Khi đó :   / / / / MD AI MD SAI  .           , , , d MD AI d MD SAI d M SAI    . + Dựng MH AI  và   1 MK SH  . Ta có:         2 AI MH AI SMH AI MK AI SM do SM ABCD             . Từ   1 và   2 suy ra :       , MK SAI d M SAI MK    . + Ta có:   SM ABCD  MC  là hình chiếu của SC trên   ABCD nên       , 60 SC ABCD SCM    . + Xét tam giác vuông SMC và SMD có:   2 2 .tan 60 3 SM SD MD MC     . NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 426 Mặt khác : MC MD  ( ABCD là hình vuông). Suy ra :   2 2 2 3 3 5 SD MC MC MC a MD       15 SM a   . + Đặt   0 2 MA x x AD x     . Xét tam giác MAD vuông tại A có     2 2 2 2 2 2 5 2 MA MD AD x a x x a        . Lại có: MAH AID   ∽ . 2 5 AD MA a MH AI    . Khi đó: 2 2 2 1 1 1 2 15 79 a MK MK MH SM     . Câu 37.15: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a . Các cạnh bên 2 SA SB SC SD a     . Tính khoảng cách giữa AD và SB ? A. 7 2 a . B. 42 6 a . C. 6 7 a . D. 6 2 a . Lời giải Chọn C + Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AD BC .Trong   mp SMN , kẻ OH SN  . + Ta có:   / / / / AD BC AD SBC  .NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 427               , , , 2 , d AD SB d AD SBC d M SBC d O SBC     + Vì 2 SA SB SC SD a     suy ra các tam giác , SAC SBD   là các tam giác cân tại S . Khi đó:     1 SO AC SO ABCD SO BC SO BD          . Mặt khác:     , / / 2 BC MN BC AB AB MN   . Từ   1 và   2 suy ra: BC OH  . Ta có:       , BC OH OH SBC d O SBC OH SN OH          . + Xét tam giác vuông SOA có: 2 2 2 2 2 6 2 2 2 a a SO SA OA a              . Xét tam giác vuông SON có: 2 2 . 6 2 7 ON SO a OH ON SO    . Vậy   6 , 2 7 a d AD SB OH   . Câu 37.16: Cho hình chóp . S ABC . Tam giác ABC vuông tại B , , 2 BC a AC a   , tam giác SAB đều. Hình chiếu của S lên mặt phẳng   ABC trùng với trung điểm M của AC . Khoảng cách giữa SA và BC là? A. 66 11 a . B. 2 11 11 a . C. 2 66 11 a . D. 11 11 a . Lời giải Chọn C + Dựng hình bình hành ABCD .Ta có:                 / / / / , , , 2 , BC AD BC SAD d BC SA d BC SAD d C SAD d M SAD      . + Gọi N là trung điểm của AD . Dựng   MH SN H SN   . Do  90 ABC   ABCD  là hình chữ nhật MN AD   . Lại có:     SM AD do SM ABC   nên   AD SMN  AD MH   . Khi đó:       , AD MH MH SAD d M SAD MH SN MH          . + Tam giác ABC vuông tại B , , 2 BC a AC a   3 AB a SA    (vì tam giác SAB đều) . NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 428 Tam giác SAM vuông tại M ,có : 1 3, 2 2 SA a AM AC a SM a      . Xét tam giác SMN vuông tại M có 1 3 2, 2 2 a SM a MN AB    .   2 2 2 2 3 2. . 66 2 11 3 2 2 a a SM MN a MH SM MN a a             Vậy   2 66 , 11 a d BC SA  . Câu 37.17: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với , 2 AD DC a AB a    . Hai mặt phẳng   SAB và   SAD cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 60  . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB . A. 6 2 a . B. 2a . C. 2 a . D. 2 15 5 a . Lời giải Chọn A + Hai mặt phẳng   SAB và   SAD cùng vuông góc với đáy   SA ABCD   . Khi đó:          SC, ABCD SC, AC = 60 = = SCA  và SA= AC.tan60 = a 6  . Gọi M là trung điểm AB , suy ra ADCM là hình vuông nên CM AD a   . Xét tam giác ABC , ta có trung tuyến 1 2 CM a AB   nên tam giác ABC vuông tạiC . + Dựng hình chữ nhật ACBE . Ta có:   / / / / AC BE AC SBE  . Suy ra:           , , , d AC SB d AC SBE d A SBE   . + Kẻ   1 AK SE  . S B C D M A E KNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 429 Ta có:     2 BE SA BE SAE BE AK BE AE          . Từ           1 , 2 , AK SBE d A SBE AK     . + Xét tam giác vuông SAE có:     2 2 2 2 . 6. 2 6 2 6 2 SA AE a a a AK SA AE a a      . Câu 37.18: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với , 2 AB BC a AD a    . Hai mặt phẳng   SAC và   SBD cùng vuông góc với đáy. Góc giữa   SAB và mặt đáy bằng60  . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB . A. 2 3 5 a . B. 2 3 15 a . C. 3 15 a . D. 3 3 5 a . Lờigiải Chọn A + Gọi H AC BD   1 3 BH BD   . Hai mặt phẳng   SAC và   SBD cùng vuông góc với đáy   SH ABCD   . Gọi O là trung điểm của AD ABCD  là hình vuông cạnh a và   / / / / BO CD CD SBO  . Suy ra:               , , , 3 , d CD SB d CD SBO d D SBO d H SBO    . + Gọi I AC BO   . Trong   SAC , kẻ HK SI  . Lại có:   BO AC BO SAC BO HK BO SH          . Suy ra:       , HK SBO d H SBO HK    .NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 430 + Trong   ABCD kẻ HM AB M   . Dễ dàng chứng minh được :   AB SHM AB SM    . Khi đó, góc giữa   SAB và mặt đáy là     0 , 60 SM HM SMH   . Xét tam giác vuông SHM có: 0 1 2 2a 3 .tan 60 3 3 3 a MH AD SH MH      Xét tam giác SHI vuông tại H có: 1 1 2 2 3 ; 3 6 6 3 a a IH IC AC SH     . Suy ra: 2 2 . 2 3 5 IH SH a HK IH SH    . Câu 37.19: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Góc  60 ABC   và 2 SD a  .Hình chiếu vuông góc của S lên   ABCD là điểm H thuộc đoạn BD sao cho 3 HD HB  . Gọi M là trung điểm của cạnh SD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SB . A. 3 40 a . B. 30 8 a . C. 3 8 a . D. 3 4 a . Lờigiải Chọn B + Từ giả thiết có tam giác ABC đều cạnh a . Gọi 3 3 2 a O AC BD BO BD a       . NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 431 3 3 3 4 4 a HD BD    . Suy ra: 2 2 2 2 2 2 27 5 5 2 16 16 4 a a a SH SD HD a SH        . 2 2 2 2 2 5 3 2 16 16 2 a a a SB SH HB SB       . Ta có:   BD AC AC SBD AC OM AC SH          . Diện tích tam giác MAC là : 2 1 1 1 2 2 . . . 2 4 4 2 8 MAC a a S OM AC SB AC a      .                 / / / / , , , , SB OM SB MAC d SB CM d SB MAC d B MAC d D MAC      . Ta có:         3 . . 1 1 1 1 1 15 , . . , . 3 3 2 2 4 96 M ACD ACD ABCD S ABCD a V d M ACD S d S ABCD S V      . Mặt khác:     . 1 , . 3 M ACD MAC V d D MAC S   .     3 . 2 15 3. 3 30 96 , 8 2 8 M ACD MAC a V a d D MAC S a      . Câu 37.20: Cho hình lập phương . ABCD A B C D     cạnh a . Gọi K là trung điểm của DD  . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A D  . A. 3 a . B. 5 a . C. 4 a . D. 2 a . Lờigiải Chọn A Gọi M là trung điểm của BB  thì   / / / / A M CK CK A DM    . NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 432           . 3 , , , K A DM A DM V d CK A D d CK A DM d K A DM S          . Ta có: 3 . . . 1 1 1 . . 3 2 12 K A DM M KA D B KA D V V V B A A D KD a             . Hạ DH A M   . Do   AD ABB A    nên   AD A M A M AHD A M AH         . Vì 2 2 2 . 2S 5 AMA ABB A a a AH A M S a AH A M            . Do đó: 2 2 2 3 1 3 . . 2 4 5 A MD a DH AD AH S DH A M a         Vậy   3 . 2 3. 3 12 , 3 3 4 K A DM A DM a V a d CK A D S a       . Câu 37.21: Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh 2 AD a  ,   SA ABCD  và SA a  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng A. 3 3 a . B. 6 4 a . C. 2 5 5 a . D. 6 a . Lờigiải Chọn C Trong tam giác SAD kẻ đường cao AH ta có Dễ thấy AH chính là đường vuông góc chung của AB và SD . . . AD AS AH SD  . AD AS AH SD     2 2 2 . 2 5 5 2 a a a a a    . Vậy   2 5 , 5 a d AB SD AH   . Câu 37.22: Cho tứ diện OABC có OA , OB ,OC đôi một vuông góc với nhau và OA a  , 2 OB OC a   . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng A. 2 2 a . B. 2 5 5 a . C. a . D. 6 3 a . Lời giải D B C A S HNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 433 Chọn D Ta có được   OA OBC  . Trong mặt phẳng   OBC , dựng điểm E sao cho OMCE là hình bình hành thì OMCE cũng là hình vuông (do OBC là tam giác vuông cân tại O). Lại có: CE OE CE OA        CE AOE   . Kẻ OH AE  tại H thì   OH AEC  . Vì   // OM AEC nên       , , d AC OM d O ACE OH   2 2 2 2 . . 2 6 3 2 OA OE a a a OA OE a a      . Câu 37.23: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông với đường chéo 2 AC a  , SA vuông góc với mặt phẳng   ABCD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là A. 3 a . B. 2 a . C. 2 a . D. 3 a . Lời giải Chọn C Ta có DA SA DA AB        DA SAB   . M A O C B E H D C B A SNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 434 Mặt khác   // CD SAB CD AB         // CD SAB  . Từ đó suy ra khoảng cách giữa SB và CD bằng khoảng cách giữa   SAB và CD và bằng . DA Tứ giác ABCD là hình vuông với đường chéo 2 AC a  suy ra 2 DA a  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là 2. a Câu 37.24: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy bằng 2a , SA tạo với đáy một góc 30  . Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và CD . A. 2 10 5 a d  . B. 3 14 5 a d  . C. 4 5 5 a d  . D. 2 15 5 a d  . Lời giải Chọn A Gọi O AC BD   . Ta có 1 1 2 2 2. 2 2 OA AC a a    Vì SA tạo với đáy một góc 30  nên  30 SAO   . Do đó: tan 30 SO AO   .tan 30 SO AO    1 6 2. . 3 3 a a   Mặt khác,       , , d d SA CD d CD SAB           , 2 , d C SAB d O SAB   . Gọi I , J lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên AB , SI . Ta có . OI a  Xét tam giác SOI : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 5 2 2 OJ OI SO a a a      2 2 2 5 a OJ   10 5 a OJ   . Vậy 2 10 5 a d  . Câu 37.25: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh . a Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  . ABCD Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD là A. a . B. 3 2 a . C. 3 3 a . D. 2 2 a . Lờigiải NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 435 Chọn B Gọi M , H lần lượt là trung điểm của AB , . SA Khi đó SM AB  mà     SAB ABCD    SM ABCD   . Tam giác SAB đều nên BH SA  . Mà   AD SAB  AD BH   . Do đó   BH SAD  . Mặt khác ta có   // BC SAD       , , d BC SD d BC SAD       , d B SAD BH   . Do đó   3 , 2 a d BC SD BH   . Câu 37.26: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a  , cạnh bên SA vuông góc với đáy và 2 SA a  . Gọi E là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa đường thẳng SE và đường thẳng BC bằng bao nhiêu? A. 3 3 a . B. 3 2 a . C. 2 a . D. 2 3 a . Lời giải Chọn D S A B C E I K a H M C A D B SNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 436 Gọi I là trung điểm của AC , ta có // EI BC nên       , , d BC SE d BC SEI      , d B SEI      , d A SEI AK   (hình vẽ). Trong tam giác vuông SAE ta có 2 2 . AS AE AK AS AE   2 2 2. 2 2 3 2 4 a a a a a    . Câu 37.27: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật 2 AD a  . Cạnh bên 2 SA a  và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD . A. 2a . B. 2 a . C. a . D. 2 5 a . Lời giải Chọn B Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SD . Ta có AB AD AB SD        AB SAD   AB AH   . Suy ra AH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AB và SD . Do đó   , d AB SD AH  . SAD  vuông cân tại A có AH là đường cao nên H là trung điểm của SD , suy ra 1 2 2 2 2 2 a AH SD a    . Vậy   , 2 d AB SD a  . Câu 37.28: Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có AB a  , 2 AA a   . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB  và A C  . A. 3 2 a . B. 2 5 5 a . C. 5 a . D. 2 17 17 a . Lời giải Chọn D H C A D B SNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 437 Gọi I là giao điểm của AB  và A B  ; H là trung điểm của BC . Ta có IH là đường trung bình trong tam giác A BC  nên // IH A C  .       , , d AB A C d A C AB H          , d C AB H       , d B AB H   Ta có AH BB AH BC         AH BCC B     Từ B kẻ BL B H   ; mà   BL BCC B    nên BL AH  .Suy ra   BL AB H   Tam giác BB H  vuông tại B có 2 BB a   và 2 AC BH  2 a  và có BL là đường cao nên 2 2 2 1 1 1 BL BB BH    2 2 1 4 4a a   2 17 4a  2 17 17 a BL   . Vậy   2 17 , 17 a d AB A C    . Câu 37.29: Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có tất cả các cạnh đều bằng 2a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AA  bằng A. 2 5 3 a . B. 2 5 a . C. 3 2 a . D. 3 a . Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm BC , vì ABC là tam giác đều nên AH BC  . Mặt khác AH BB   . Do đó   AH BCC B        , d A BCC B AH     3 a  . Ta có // AA BB     // AA BCC B     H I L C' B' A' C B ANHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 438       , , d AA BC d AA BCC B          , d A BCC B AH     3 a  . Câu 37.30: Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 a , 2 AA a   . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD  . A. 2a . B. 2 a . C. 5 5 a . D. 2 5 5 a . Lời giải Chọn D + Ta có     // , // BD B D B D CD B BD CD B              , d CD BD      , d D CD B    . + Gọi I DC D C       I DC CD B       mà I là trung điểm của DC          , , d D CD B d C CD B        . + Vì A B C D     là hình vuông tâm O  cạnh 2 a C O a     2 2 5 CO CC C O a         Ta có diện tích 2 1 1 . 5.2 5 2 2 C B D S CO B D a a a           . + Ta '. ' ' . ' ' ' C CD B C C B D V V  1 . . 6 CC CB CD     2 3 1 2 2 .2 6 3 a a a       3 . ' ' ' 2 ' ' 2 3. 3 2 5 3 , . 5 5 C C B D CB D a V a d C CB D S a         Câu 37.31: Cho lăng trụ . ABC A B C    có các mặt bên là những hình vuông cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A C  và AB  . A. 3 2 a . B. 5 2 a . C. 3 4 a . D. 5 5 a . Lời giải Chọn D a 2 I O' 2a a 2 D' C' B' A' D C B A H D E A' B' C' C B ANHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 439 + Gọi , D E lần lượt là trung điểm của BC và B C  . Khi đó ta có // ; // AD A E B D CE       // CA E ADB                , , , d AB A C d ADB CEA d B CEA          + Do B C   cắt mặt phẳng   CA E  tại E là trung điểm của B C   nên có         , , d B CA E d C CA E      . + Do A B C     đều có E là trung điểm của B C   nên A E B C     . Mặt khác các mặt bên của lăng trụ là hình vuông nên . ABC A B C    là lăng trụ đứng A E CC       A E CC E         CA E CC E     mà     CA E CC E CE      từ C  hạ đường vuông góc xuống CE tại H thì     , C H d C CA E     . + Xét tam giác vuông tại CC E  tại C  có 2 2 2 2 . . 5 2 ; 2 5 4 a a a CC C E a CC a C E C H CC C E a a                . Vậy   5 , 5 a d AB A C    . Câu 37.32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, // AB CD . Tam giác ABC vuông tại A , , AB a  2 , BC a  2 SA SB SC a    . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SC. A. 21 7 a d  . B. 2 7 7 a d  . C. 2 21 7 a d  . D. 2 3 7 a d  . Lời giải Chọn C Gọi H là trung điểm của BC , do ABC  vuông tại A AH HB HC    , mặt khác lại có SA SB SC     SH ABCD   . Kẻ   / / , HE AC E CD  Do ABCD là hình thang  // , 90 , // AB CD BAC HE AC CD HE     , CD SH    CD SHE       SCD SHE   hay     SDE SHE  Từ H hạ HI CE      , HI d H SCD   Ta có 2, 2 SB SC a BC a SH a      ; 2 2 1 1 3 2 2 2 a HE AC BC AB     E I AB=a BC=CD=2a SA=SB=SC=a 2 S D C B A HNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 440 Suy ra 2 2 2 2 3 . . 21 2 7 3 2 a a SH HE a HI SH HE a a            Ta có   / / , AB CD CD SCD    // AB SCD                , , , 2 , d AB SC d AB SCD d B SCD d H SCD     Vậy   2 21 , 7 a d AB SC  . Câu 37.33: Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AB và AD , H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc mặt phẳng   ABCD và 3 SH a  . Khoảng cách giữa đường thẳng DM và SC là A. 57 19 a . B. 57 38 a . C. 3 57 38 a . D. 2 57 19 a . Lời giải Chọn D Ta có:   ADM DCN c g c      .        90 90 o o ADM DCN ADM CDM DCN CDM DHC DM NC            . Ta có:   CN DM DM SNC SH DM        . Kẻ   HK SC K SC   . Mặt khác HK DM  vì   DM SNC  . HK  là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng DM và SC .   ; d SC DM HK   . NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 441 2 2 . DC DC HC CN HC CN    . 2 2 2 2 2 2 2 5 5 2 DC a a DN DC a a            . Xét tam giác SHC vuông tại H:   2 2 2 2 2 5 3. . 2 57 5 19 2 5 3 5 a a SH HC a HK SH HC a a            . Vậy khoảng cách giữa SC và DM bằng 2 57 19 a . Câu 37.34: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có 2 , 4 AB a SA a   . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng. A. 14 2 a . B. 7 2 a . C. 14 4 a . D. 7 2 a . Lời giải Chọn B Gọi   O AC BD SO ABCD     . Ta có   AC BD AC SBD AC SO        . Kẻ OH SD OH SD OH AC        OH  là đoạn vuông góc chung của , AC SD . Ta có 2 2 2, 14 OD a SO SD OD a     2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 7 14 2a 7 2 a OH OH OS OD a a         . Vậy   7 ; 2 a d AC SD  . Câu 37.35: Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a ; 2 SO a  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng A. 3 3 a . B. 2 3 3 a . C. 2 3 a . D. 4 3 a . Lời giải O A D B C S HNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 442 Chọn C Gọi   O AC BD SO ABCD     . Ta có   AC BD AC SBD AC SO        . Kẻ OH SD OH SD OH AC        OH  là đoạn vuông góc chung của , AC SD . Ta có 2 2 , 2 2 a AB a BD a OD SO a       2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 9 2 4a 4 3 a OH OH OS OD a a         . Vậy   2 ; 3 a d AC SD  . Câu 37.36: Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a ;   ; SO a SO ABCD   . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 3 15 a . B. 5 5 a . C. 2 3 15 a . D. 2 5 5 a . Lời giải Chọn D Gọi , M N lần lượt là trung điểm , ; AB CD H là hình chiếu của O lên SN . Vì / / AB CD nên               ; ; ; 2 ; d AB SC d AB SCD d M SCD d O SCD    . Ta có   CD SO CD SON CD OH CD ON          . O A D B C S HNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 443 Khi đó       ; OH CD OH SCD d O SCD OH OH SN          . Tam giác SON vuông tại O 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 5 5 5 a OH OH OS ON a a a         Vậy   2 5 ; 2 5 a d AB SC OH   . Câu 37.37: Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ) ABC bằng 0 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng A. 2 2 a . B. 15 5 a . C. 2a . D. 7 7 a . Lời giải Chọn B Ta có ( ) SA ABC  , nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ) ABC là 0 60 SBA   . Lấy điểm D sao cho tứ giác ACBD là hình bình hành. Khi đó / / / / ( ) ( , ) ( ,( )) ( ,( )) AC BD AC SBD d AC SB d AC SBD d A SBD     . Kẻ ,( ) AK BD K BD   ( ) ( ) ( ) BD SAK SAK SBD     ; ( ) ( ) . SAK SBD SK   Kẻ , ( ) ( ) ( ,( )) AH SK H SK AH SBD d A SBD AH       . Tam giác ABD đều nên AK là đường trung tuyến 0 3 .sin 60 2 a AK AB    . 0 .tan 60 3 SA AB a   . Trong tam giác SAK ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 5 3 15 . 3 3 3 5 5 a a AH AH AK SA a a a         15 ( ,( )) 5 a d A SBD AH    . H K D C B A SNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 444 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng 15 5 a . Câu 37.38: Cho hình chóp . S ABC có tam giác ABC là tam giác vuông tại A , 3 AC a  ,  30 ABC  . Góc giữa SC và mặt phẳng ABC bằng 60  . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến   SBC bằng A. 6 35 a . B. 3 35 a . C. 2 3 35 a . D. 3 5 a . Lời giải Chọn D Dựng AM BC  , AH SM  . Ta có   AM BC BC SAM SA BC        AH BC   và AH SM    AH SBC   . Do đó     , d A SBC AH  . Tam giác SAC vuông tại A .tan 60 3. 3 3 SA AC a a      . SAC BAC    (g – c – g) 3 SA BA a    . Tam giác ABC vuông tại A 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 9 3 9 AM AB AC a a a       . Tam giác SAM vuông tại A 2 2 2 1 1 1 AH SA AM    2 2 2 2 1 1 4 5 9 9 9 AH a a a     3 5 a AH   . SỬ DỤNG PP TỌA ĐỘ ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH Câu 37.39: Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm của DD  . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK , A D  . A. a . B. 3 8 a . C. 2 5 a . D. 3 a . Lời giải a 3 30° 60 0 S C B A M HNHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 445 Chọn D Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó:   0;0; A a  ,   ;0;0 D a ;   ; ;0 C a a ,   ;0; D a a  suy ra ;0; 2 a K a       . Ta có:   ;0; A D a a         , 0; '; 2 a CK a             , 0;0; 2 a DK            . Suy ra 2 2 2 , ; ; 2 a A D CK a a                         . Vậy   , . , 3 , A D CK DK a d A D CK A D CK                                    . Câu 37.40: Cho hình lập phương . ABCD A B C D     cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và DD  . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD . A. 3a . B. 3 2 a . C. 3 3 a . D. 3 6 a . Lời giải Chọn D Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó,   ;0; B a a ,   0; ; D a a , ; ; 2 a M a a       , 0; ; 2 a N a       . z x y K D' C' B' C A D B A'NHÓMWORD – BIÊN SO ẠN TÀI LI ỆU 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG:2019-2020 Trang 446   ; ;0 BD a a       , ; ; 2 2 a a MN a               , 0; ;0 2 a BM             . , ; ; 2 2 2 a a a BD MN                       ; 2 , . 4 a BD MN BM                     .   , . , , BD MN BM d BD MN BD MN                                 2 3 : 4 2 a a  3 6 a  .