Các bài toán vận dụng cao dãy số

` CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Các bài toán V ẬN D ỤNG CAO DÃY S Ố HAPPY NEW YEAR 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC LỜI GIỚI THIỆU Nhân dịp năm mới 2019 thay mặt nhóm quản trị viên Tạp chí và tƣ liệu toán học , lời đầu tiên xin gửi tới các bạn đọc , các thầy cô theo dõi fanpage một lời chúc sức khỏe, mong rằng sang năm mới các thầy cô sẽ đạt đƣợc nhiều thành công hơn trong công việc, các bạn học sinh sẽ thực hiện ƣớc mơ nguyện vọng vào các trƣờng Đại học của mình. Chuyên đề “CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ” đƣợc 2 thành viên trong nhóm Chinh Phục Olympic Toán sƣu tầm và biên soạn với mục đích chào xuân năm mới cũng nhƣ là một món quà với các bạn theo dõi page trong suốt 1 năm vừa qua và đồng thời ủng hộ bọn mình phát triển tới nay, xin gửi lời cảm ơn tới tất cả mọi ngƣời. Nhƣ các bạn đã biết, trƣớc kia thì dãy số tuy không phải là một phần quan trọng trong kì thi THPT Quốc Gia, kì thi đại học nhƣng trong 2 năm gần đây vấn đề này đã đƣợc các trƣờng kết nối với các mảng khác nhƣ hàm số, mũ – logarit, tích phân... và cũng gây ra không ít những bỡ ngỡ, những sự lúng túng cho các bạn lần đầu gặp những bài nhƣ thế. Vì vậy trong chủ đề này, chúng mình và các bạn sẽ cùng tìm hiểu các bài toán liên quan tới chúng, hy vọng phần nào sẽ giúp mọi ngƣời có kinh nghiệm và hƣớng giải quyết khi gặp các bài toán nhƣ thế này. Để hoàn thành đƣợc chuyên đề này bọn mình cũng đã sƣu tầm và tham khảo, đồng thời cũng nhận đƣợc sự giúp đỡ của các thầy cô, xin gửi lời cảm ơn tới  NHÓM STRONG TEAM TOÁN VD – VDC.  ANH PHẠM MINH TUẤN – ADMIN NHÓM PI  CÁC THÀNH VIÊN TRONG NHÓM CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Mặc dù chuyên đề đƣợc biên soạn cẩn thận tuy nhiên sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót, mọi ý kiến thắc mắc vui lòng gửi về 1 trong 2 địa chỉ sau NGUYỄN MINH TUẤN Sinh viên K14 – Đại học FPT Email: tuangenk@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt NGUYỄN NHẬT LINH Chuyên Thái Bình Email: linhnhatnhatlinhnguyen@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100009880805520 MỘT LẦN NỮA, XIN GỬI LỜI CẢM ƠN MỌI NGƢỜI ĐÃ THEO DÕI FANPAGE TRONG SUỐT THỜI GIAN QUA, HY VỌNG CÁC BẠN SẼ TIẾP TỤC ỦNG HỘ BỌN MÌNH PHÁT TRIỂN HƠN NỮA THANK YOU! HAPPY NEW YEAR! TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 1 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ Nguy ễn Minh Tu ấn – Nguy ễn Nh ật Linh CÂU CHUYỆN MỞ ĐẦU Trư ớc khi cùng nhau đi vào tìm hi ểu các bài toán dãy s ố c ủa chuyên đ ề này, b ọn mình mu ốn g ửi t ới các b ạn m ột bài vi ết r ất hay v ề nhà bác h ọc Newton đ ể ph ần nào làm gi ảm b ớt đ ộ nh ạt nh ẽo c ủa chuyên đ ề, bài vi ết mang tên “ 10 phát minh n ổi ti ếng c ủa New to n ” M ời các b ạn cùng th ư ởng th ức! Nhắc tới nhà phát minh vĩ đại Isaac Newton, chắc chắn ai cũng nghĩ tới câu chuyện "quả táo rơi vào đầu" đã làm nên thuyết vạn vật hấp dẫn. Không chỉ vậy, ông còn sở hữu nhiều phát minh vĩ đại giúp thay đổi thế giới: ba định luật chuyển động, vi phân, tích phân, giả thuật kim... Tại nhà thờ Westminster Abbey, một dòng chữ bằng tiếng Latin đã được khắc lên trên bia mộ của Newton "Hic depositum est, quod mortale fult Isaac Newtoni" với ý nghĩa là "Một con người đã từng tồn tại và trang hoàng cho sự phát triển của nhân loại". Lời ca tụng trên không hề quá mức đối với những di sản mà thiên tài Newton đã để lại cho loài người. Cùng điểm lại 10 phát minh quan trọng và nổi tiếng nhưng cũng hết sức thú vị Của Isaac Newton trong suốt sự nghiệp sáng tạo của ông mà có thể chúng ta ít khi chú ý đến. I. Ý TƯỞNG CỦA NEWTON KHẨU PHÁO BẮN VÀO QUỸ ĐẠO. Đối với một số ý kiến xuyên tạc sẽ cho rằng làm sao một người đàn ông đang ngáy ngủ và một quả táo vô tình rơi xuống lại làm nên một phát minh vĩ đại đến như vậy? Kết quả của quá trình "chờ sung rụng" chăng? Không hề, điều đó chỉ đến với một bộ óc thiên tài luôn suy nghĩ về các quy luật vật lý mà cụ thể là lực hấp dẫn. Không chỉ dừng lại ở trọng lực mà Newton còn đưa ra nhiều ý tưởng khác đi trước thời đại. Trong định luật hấp dẫn phổ quát, Newton đã diễn tả đến một ngọn núi khổng lồ mà đỉnh của nó là khoảng trên bầu khí quyển của Trái Đất, trên đỉnh có đặt một khẩu pháo vô cùng lớn có thể bắn một viên đạn theo chiều ngang ra ngoài không gian. CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 2 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Ý tưởng của Newton khẩu pháo bắn vào quỹ đạo Newton không hề có ý định tạo ra một loại siêu vũ khí nhằm bắn những kẻ xâm lược ngoài hành tinh! Khẩu pháo của ông là một ý tưởng thí nghiệm nhằm giải thích làm thế nào để đưa một vật thể vào một quỹ đạo quay quanh Trái Đất. Nếu lực hấp dẫn tác động lên quá pháo, nó sẽ bay theo đường tùy thuộc vào vận tốc ban đầu của nó . Tốc độ thấp, nó chỉ đơn giản là sẽ rơi trở lại trên Trái đất. Nếu tốc độ là tốc độ quỹ đạo, nó sẽ đi lòng vòng xung quanh Trái đất theo một quỹ đạo tròn cố định giống như mặt trăng. Tốc độ cao hơn so với vận tốc quỹ đạo, nhưng không đủ lớn để rời khỏi trái đất hoàn toàn (thấp hơn vận tốc thoát) nó sẽ tiếp tục xoay quanh Trái đất dọc theo một quỹ đạo hình elip. Tốc độ rất cao, nó thực sự sẽ rời khỏi quỹ đạo và bay ra ngoài vũ trụ. Thí nghiệm trên đã được trình bày trong Principia Mathematica vào năm 1687, theo đó, tất cả mọi hạt đều gây ra một lực hấp dẫn và bị hấp dẫn bởi những vật thể khác. Lực tương tác này phụ thuộc vào trọng lượng và khoảng cách của hạt hay vật thể đó. Quy tắc này chi phối tất cả các hiện tượng từ mưa rơi cho đến quỹ đạo của các hành tinh. Đây chính là tác phẩm nổi tiếng với nhiều đóng góp quan trọng cho vật lý học cổ điển và cung cấp cơ sở lý thuyết cho du hành không gian cũng như sự phát triển của tên lửa sau này. Sau đó, Einstein cùng các nhà vật lý thế kỷ 16, 17 đã tiếp tục củng cố học thuyết của Newton để cho chúng ta những hiểu biết về lực hấp dẫn như ngày nay. II. CÁNH CỬA DÀNH CHO CHÓ MÈO. Không chỉ có tầm nhìn mang tính vĩ mô như khẩu pháo không gian và phát hiện ra mối liên hệ giữa vạn vật trong vũ trụ, Newton cũng dùng trí tuệ tuyệt vời của mình để giải quyết những vấn đề thường thức trong đời sống hàng ngày. Điển hình là phương pháp TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 3 giúp các mèo không cần cào cấu vào cánh cửa nhờ vào tạo ra một lối đi dành riêng cho chúng. Như chúng ta đã biết, Newton không kết hôn và cũng có ít các mối quan hệ bạn bè, đổi lại ông chọn mèo và chó làm bầu bạn trong căn phòng của của mình. Hiện nay, có nhiều giả thuyết và lập luận cho rằng ông dành nhiều mối quan tâm đến những "người bạn" bé nhỏ của mình. Một số sử gia đương đại cho rằng Newton là một người rất yêu động vật. Một số còn chỉ ra rằng ông đặt tên cho một con chó của mình là Diamond (kim cương). Dù vậy, một số nhà sử học vẫn nghi ngờ về giả thuyết trên. Một câu chuyện kể rằng trong quá trình nghiên cứu của Newton tại Đại học Cambridge, các thí nghiệm của ông liên tục bị gián đoạn bởi một con mèo của ông luôn cào vào cánh cửa phòng thí nghiệm gây ra những âm thanh phiều toái. Để giải quyết vấn đề, ông đã mời một thợ mộc tại Cambridge để khoét 2 cái lỗ trên cửa ra vào phòng thí nghiệm: 1 lỗ lớn dành cho mèo mẹ và 1 lỗ nhỏ dành cho mèo con! Dù câu chuyện trên là đúng hay sai thì theo các ghi chép đương thời sau khi Newton qua đời thì có một sự thật hiển nhiên rằng người ta đã tìm thấy 1 cánh cửa với 2 cái lỗ tương ứng với kích thước của mèo mẹ và mèo con. Cho tới ngày nay vẫn còn nhiều tranh cãi xung quanh câu chuyện trên. Tuy nhiên, nhiều ý kiến vẫn cho rằng chính Newton mới là tác giả của cánh cửa dành cho chó mèo vẫn còn được sử dụng ngày nay. III. BA ĐỊNH LUẬT CHUYỂN ĐỘNG CỦA NEWTON. Trong khi các sử gia vẫn còn tranh cãi về những cánh cửa dành cho thú cưng có phải là của Newton hay không thì không một ai có thể phủ nhận đóng góp của Newton cho hiểu biết của con người trong vật lý học ngày nay. Tầm quan trọng tương đương với việc phát hiện ra định luật vạn vật hấp dẫn, 3 định luật về chuyển động được Newton giới thiệu vào năm 1687 trong tác phẩm Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các nguyên lý toán học trong triết học tự nhiên). 3 định luật của ông đã đặt nền móng vững chắc cho sự phát triển của cơ học cổ điển (còn gọi là cơ học Newton) trong thời gian sau này. CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 4 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 3 định luật của ông được miêu tả ngắn gọn như sau: 1. Nếu một vật không chịu tác dụng của lực nào hoặc chịu tác dụng của các lực có hợp lực bằng không thì nó giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. 2. Gia tốc của 1 vật cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỷ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật. Ba định luật chuyển động của Newton 3. Trong mọi trường hợp, khi vật A tác dụng lên vật B một lực, thì vật B cũng tác dụng lại vật A một lực. Hai lực này có cùng giá, cùng độ lớn nhưng ngược chiều. Bìa quyển sách Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các nguyên lý toán học trong triết học tự nhiên) xuất bản năm 1687 Ngày nay, chúng ta có thể dễ dàng phát biểu và hiểu về 3 định luật nổi tiếng trên. Tuy nhiên, các học giả trong lịch sử đã phải vật lộn với những khái niệm cơ bản về chuyển động trong suốt nhiều thế kỷ. Nhà triết học Hy Lạp Aristotle từng nghĩ rằng sở dĩ khói có thể bay lên trên không là vì khói chứa nhiều không khí. Trước đó, các học giả khác lại nghĩ rằng khói bay lên trời để tụ hợp cùng với những đám khói "bạn bè" của chúng. Nhà triết học Pháp René Descartes đã từng nghĩ tới những lý thuyết về chuyển động tương tự như Newton nhưng cuối cùng, ông vẫn cho rằng Thiên Chúa mới chính là động lực của các chuyển động. 3 định luật Newton như một vẻ đẹp đến từ sự tối giản trong khoa học. Dù đơn giản như thế, nhưng đây chính là căn cứ để các nhà khoa học có thể hiểu được tất cả mọi thứ chuyển động từ của các hạt electron cho tới chuyển động xoắn ốc của cả thiên hà. IV. HÒN ĐÁ PHÙ THỦY CỦA “ NHÀ GIẢ KIM THUẬT “ NEWTON. TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 5 Trong một bức vẽ về một nhà giả kim thuật, chúng ta thấy các biểu tượng hành tinh diễn tả các kim loại trong một quyển sách đang mở ra dưới sàn nhà. Đây được cho là các biểu tượng mà Newton đã sử dụng trong các ghi chép của ông. Newton đã cống hiến rất nhiều cho nhân loại với những khám phá khoa học của ông. Bên cạnh đó, người ta cũng nhắc đến ông như 1 trong những nhà giả kim học lỗi lạc nhất: huyền thoại giả kim thuật với hòn đá phù thủy. Các văn bản ghi chép lại còn được lưu trữ đến ngày nay đã có nhiều mô tả khác nhau về hòn đá này: từ khả năng tạo nên người từ đá cho tới khả năng chuyển hóa từ chì thành vàng. Thậm chí, những người bấy giờ còn cho rằng Hòn đá phù thủ của “nhà giả kim thuật” Newton hòn đá của ông có thể chữa bệnh hoặc có thể biến một con bò không đầu thành một bầy ong Có lẽ các bạn sẽ thắc mắc tại sao một biểu tượng của khoa học lại trở thành một nhà giả kim thuật? Để trả lời câu hỏi đó, hãy nghĩ đến bối cảnh bấy giờ, cuộc cách mạng khoa học chỉ mới đạt được động cơ hơi nước vào những năm 1600. Các nhà giả kim thuật bấy giờ vẫn còn tồn tại cùng với những thủ thuật lỗi thời của họ cùng với các học thuyết và triết học huyền bí nhằm mê hoặc một số người. Dù vậy, các ghi chép giả kim thuật vẫn được cho là những thí nghiệm hóa học. Bút tích còn lưu lại của Newton về nghiên cứu giả kim Tuy nhiên, những ghi chép trong suốt 30 năm làm thí nghiệm của Newton đã tiết lộ rằng ông cũng hy vọng về một cái gì đó hơn là những phản ứng hóa học bình thường, thậm chí CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 6 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton là hứa hẹn về việc biến các nguyên tố khác thành vàng. Theo sử gia William Newman, ông cho rằng Newton muốn tìm kiếm những "quyền lực siêu hạn trong tự nhiên." Đây chính là những căn cứ cho lập luận rằng Newton cũng đã có những nghiên cứu và để lại ghi chép về giả kim mà người đương thời gọi là "hòn đá phù thủy." Các ghi chép cho thấy ông đã tìm cách tạo nên những loại nguyên tố bí ẩn lúc bấy giờ. Trên thực tế, Newton đã có những nỗ lực nhằm tạo ra một loại hợp kim đồng màu tím. Dù vậy, nghiên cứu của ông đã thất bại. Đây có thể không phải là một sáng chế của Newton, nhưng nó cũng cho chúng ta một cái nhìn về những suy nghĩ cũng như thời gian mà ông dành cho các nghiên cứu khoa học. Vào năm 2005, nhà sử học Newman cũng đã tạo nên một "hòn đá phù thủy" dựa trên các ghi chép 300 năm trước của Newton và dĩ nhiên, không có sự chuyển hóa tạo thành vàng xảy ra. V. CHA ĐẺ CỦA CÁC PHÉP TÍNH VI PHÂN. Nếu bạn đã hoặc đang đau đầu với môn toán học mà đặc biệt là tích phân và vi phân đã cày nát bộ não của bạn, bạn có thể đổ một phần lỗi cho Newton! Trên thực tế, hệ thống toán học chính là một công cụ để chúng ra có thể tìm hiểu được mọi thứ trong vũ trụ này. Giống như nhiều nhà khoa học cùng thời, Newton cũng đã nhận thấy rằng các lý thuyết đại số và hình học trước đó không đủ cho yêu cầu nghiên cứu khoa học của ông. Hệ thống toán học đương thời không đủ để phục vụ ông. Bút tích của Newton còn lưu giữ đến ngày nay Các nhà toán học lúc bấy giờ có thể tính toán được vận tốc của một con tàu nhưng họ vẫn không thể tính toán được mối liên hệ với gia tốc của nó cũng như tỷ lệ của lực tác động. TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 7 Họ vẫn chưa thể tính toán được góc bắn là bao nhiêu để viên đạn pháo bay đi xa nhất. Các nhà toán học đương thời vẫn cần một phương pháp để tính toán các hàm có nhiều biến. Một sự kiện đã xảy đến trong quá trình nghiên cứu của Newton, một đợt bùng phát bệnh dịch hạch đã khiến hàng loạt người chết trên khắp các đường phố tại Cambridge. Tất cả các cửa hàng đều đóng cửa và dĩ nhiên, Newton cũng phải hạn chế đi ra ngoài. Đó là khoảng thời gian 18 tháng nghiên cứu của Newton để rồi ông xây dựng nên một mô hình toán học và đặt tên là "khoa học của sự liên tục". Ngày nay, chúng ta biết đó chính là các phép tính vi-tích phân. Một công cụ quan trọng trong vật lý, kinh tế học và các môn khoa học xác suất. Vào những năm 1960, chính các hàm số vi-tích phân này đã cung cấp công cụ cho phép các kỹ sư phi thuyền Apollp có thể tính toán được các số liệu trong sứ mạng đặt chân lên Mặt Trăng. Dĩ nhiên, một mình Newton không tạo nên phép toán mà chúng ta sử dụng ngày nay. Ngoài Newton, nhà toán học người Đức Gottfried Leibniz (1646-1716) cũng đã độc lập phát triển mô hình phép tính vi - tích phân trong cùng thời gian với Newton. Dù vậy, chúng ta vẫn phải công nhận tầm quan trọng của Newton trong sự phát triển toán học hiện đại với các đóng góp không nhỏ của ông. VI. SINH SỰ VỚI CẦU VỒNG. Cầu vồng? Cầu vồng là gì? Bạn nghĩ rằng Newton để yên cho những bí mật bên trong cầu vồng? Không hề! Thiên tài của chúng ta đã quyết tâm giải mã những điều ẩn chứa bên trong hiện tượng thiên nhiên này. Vào năm 1704, ông đã viết một quyển sách Thí nghiệm của Newton về vấn đề khúc xạ ánh sáng với tiêu đề "Opticks". Quyển sách đã góp một phần không nhỏ trong việc thay đổi cách nghĩ của chúng ta về ánh sáng và màu sắc. Các nhà khoa học bấy giờ đều biết rằng cầu vồng được hình thành khi ánh sáng bị khúc xạ và phản xạ trong những hạt nước mưa trong không khí. Dù vậy, họ vẫn chưa thể lý giải rõ CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 8 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton ràng được tại sao cầu vồng lại chứa nhiều màu sắc như vậy. Khi Newton bắt đầu nghiên cứu tại Cambridge, các lý thuyết phổ biến trước đó vẫn cho rằng các hạt nước bằng cách nào đó đã nhuộm nhiều màu sắc khác nhau lên tia sáng Mặt Trời. Bằng cách sử dụng một lăng kính và một chiếc đèn, Newton đã thực hiện thí nghiệm bằng cách cho ánh sáng chiếu qua lăng kính. Và kết quả như tất cả chúng ra đều biết, ánh sáng bị tách ra thành các màu như cầu vồng. VII. KÍNH VIỄN VỌNG PHẢN XẠ. Newton được sinh ra trong thời kỳ mà sự hiện diện của kính viễn vọng vẫn còn khá mờ nhạt. Mặc dù vậy, các nhà khoa học đã có thể chế tạo nên các mô hình sử dụng một tập hợp các thấu kính thủy tinh để phóng to hình ảnh. Trong thí nghiệm với các màu sắc của Newton, ông đã biết được các màu sắc khác nhau sẽ khúc xạ với các góc độ khác nhau, từ đó tạo nên một hình ảnh lờ mờ cho người xem. Một bản sao của chiếc kính viễn vọng phản xạ do Newton chế tạo và đã trình bày trước Hội đồng hoàng gia vào năm 1672 Để cải tiến chất lượng hình ảnh, Newton đã đề xuất sử dụng một gương khúc xạthay cho các thấu kính khúc xạ trước đó. Một tấm gương lớn sẽ bắt lấy hình ảnh, sau đó một gương nhỏ hơn sẽ phản xạ hình ảnh bắt được tới mắt của người ngắm. Phương pháp này không chỉ tạo nên hình ảnh rõ ràng hơn mà con cho phép tạo nên một kính viễn vọng với kích thước nhỏ hơn. Một số ý kiến cho rằng, nhà toán học người Scotland James Gregory là người đầu tiên đề xuất ý tưởng chế tạo kính viễn vọng phản xạ vào năm 1663 dù mô hình này vẫn chưa thể hoạt động hoàn chỉnh. Tuy nhiên, dựa trên các ghi chép còn lưu trữ lại, các nhà sử học cho rằng Newton mới là người đầu tiên có thể chế tạo một chiếc kính viễn vọng phản xạ dựa trên lý thuyết do ông đề xuất. Trên thực tế, Newton đã tự mài các tấm gương, lắp ráp một mẫu thử nghiệm và trình bày nó với Hội đồng hoàng gia vào năm 1672. Đó chỉ đơn thuần là 1 thiết bị dài 15 cm, có khả TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 9 năng loại bỏ sự khúc xạ và có độ phóng đại lên tới 40 lần. Đến ngày nay, gần như tất cả các đài thiên văn học đều sử dụng các biến thể của thiết kế ban đầu nói trên của Newton. VIII. ĐỒNG XU HOÀN HẢO. Vào những cuối những năm 1600, hệ thống tài chính tại Anh lâm vào tình trạng khủng hoảng nghiêm trọng. Bấy giờ, toàn bộ hệ thống tiền tệ trong cả nước Anh đều sử dụng các đồng xu bạc và dĩ nhiên, bản thân bạc có giá trị cao hơn so với giá trị định danh được in trên mỗi đồng xu. Lúc đó nảy sinh ra một vấn đề, có người sẽ cắt xén bớt hàm lượng bạc và thêm vào các kim loại khác trong quá trình nấu và đúc tiền. Lượng bạc cắt xén được sẽ bị "chảy máu" sang Pháp thông qua đường biên giới để bán được giá cao hơn. Những đồng 2 pound tại Anh với các khía 2 xung quanh cạnh Thậm chí, bấy giờ còn là cuộc khủng hoảng của việc tranh giành nhau nhận thầu đúc tiền. Do đó, lòng tin của người dân vào hệ thống tài chính suy giảm nghiêm trọng. Đồng thời, các tổ chức tội phạm làm tiền giả cũng mặc sức lan tràn do đã không còn một đồng tiền chuẩn đáng tin tưởng nào đang lưu thông. Mặt khác, sự gian lận cũng diễn ra ngay trong quá trình đúc tiền. Sau khi đúc mỗi mẻ tiền xu, người ta sẽ cân mỗi đồng xu lấy ra và xem nó lệch so với tiêu chuẩn là bao nhiêu. Nếu giá trị bạc dư ra lớn hơn so với giá trị in trên nó, những kẻ đầu cơ sẽ mua chúng, nấu chảy ra và tiếp tục bán lại cho chính xưởng đúc tiền để kiếm lời. Trước tình hình đó, vào năm 1696, chính phủ Anh đã kêu gọi Newton giúp tìm ra giải pháp tìm ra giải pháp chống nạn sao chép và cắt xén đồng xu bạc. Newton đã có một bước CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 10 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton đi hết sức táo bạo là thu hồi toàn bộ tiền xu trên khắp đất nước, tiến hành nấu lại và đúc theo một thiết kế mới của ông. Bước đi này đã khiến cho toàn bộ nước Anh không có tiền trong lưu thông trong suốt 1 năm. Bấy giờ, Newton đã làm việc cật lực trong suốt 18 giờ mỗi ngày để rồi cuối cùng, thiết kế tiền xu mới cũng được ra đời. Những đồng tiền mới được đúc ra với chất lượng bạc cao hơn, đồng thời rìa mỗi đồng xu đều được khía các cạnh theo một công thức đặc biệt. Nếu không có các cỗ máy khía cạnh chuyên dụng thì sẽ không thể nào tạo ra được các đồng xu mang đặc trưng như do Hoàng gia đúc ra. IX. SỰ MẤT NHIỆT. Trong các nghiên cứu của mình, Newton cũng đã dành nhiều thời gian để tìm hiểu khía cạnh vật lý của hiện tượng lạnh đi của các chất. Vào cuối những năm 1700, ông đã tiến hành các thí nghiệm với quả cầu sắt nung đỏ. Ông đã lưu ý trong các ghi chép rằng có sự khác biệt giữa nhiệt độ của quả bóng sắt và không khí xung quanh. Cụ thể, nhiệt độ chênh lệch lên tới 10 độ C. Và ông cũng nhận ra rằng tốc độ mất nhiệt tỷ lệ thuận với sự khác biệt về nhiệt độ. Từ đó, Newton hình thành nên định luật về trạng thái làm mát. Theo đó, tốc độ mất nhiệt của cơ thể tỷ lệ thuận với sự khác biệt về nhiệt độ giữa môi trường xung quanh so với nhiệt độ cơ thể. Sau này, nhà hóa học người Pháp Piere Dulong và nhà vật lý Alexis Prtot đã hoàn thiện định luật trên vào năm 1817 dựa trên nền tảng từ nghiên cứu của Newton. Nguyên tắc của Newton đã đặt nền móng cho nhiều nghiên cứu khác của vật lý hiện đại từ lò phản ứng hạt nhân an toàn cho tới việc thám hiểm không gian. X. DỰ ĐOÁN CỦA NEWTON VỀ NGÀY TẬN THẾ. Ngày tận thế luôn là nỗi ám ảnh của con người. Dù vậy, Newton không phải là dạng người có thể dễ dàng chấp nhận nỗi sợ hãi về ngày tận thế qua những câu chuyện hay những truyền thuyết. Bản thân Newton là một người thực tế và luôn tìm cách kiểm định, đưa ra các quan điểm của mình trong quá trình nghiên cứu Kinh Thánh. Trong quá trình nghiên cứu, Newton đã không đặt nặng khía cạnh Thần học mà dùng các kiến thức của mình nhằm cố lý giải vấn đề. Theo các ghi chép cách đây 300 năm còn được lưu trữ đến ngày nay cho thấy Newton đã nghiên cứu Book of Daniel. Để phục vụ nghiên cứu, ông đã tự học tiếng Do Thái, tập trung nghiên cứu triết học Do Thái bí truyền. TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 11 Hình vẽ 4 loài thú dữ xuất hiện vào ngày tận thế mô tả trong Book of Daniel Qua nghiên cứu, ông dự đoán ngày tận cùng của thế giới là vào năm 2060 hoặc có thể là sau đó nhưng không thể sớm hơn. Dù sao đi nữa, đó vẫn là những gì mà ông tuyên bố với mọi người vào thế kỷ 18. Dĩ nhiên, ngày nay, các nhà khoa học đã có một lời giải đáp hoặc dự đoán tốt hơn cho hiện tượng tận thế nói chung. Qua đó, chúng ta phần nào hiểu được thêm về quan điểm của 1 nhà khoa học vào thế kỷ 18 về ngày tàn của nhân loại. CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 12 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton A. ĐỀ BÀI. Câu 1. Cho hàm số 3 2009  y x x có đồ thị là   C . 1 M là điểm trên   C có hoành độ 1 1  x . Tiếp tuyến của   C tại 1 M cắt   C tại điểm 2 M khác 1 M , tiếp tuyến của   C tại 2 M cắt   C tại điểm 3 M khác 2 M , <, tiếp tuyến của   C tại 1  n M cắt   C tại n M khác 1  n M   4;5;...  n , gọi   ; nn xy là tọa độ điểm n M . Tìm n để: 2013 2009 2 0    nn xy . A. 685  n B. 679  n C. 672  n D. 675  n Câu 2. Một hình vuông ABCD có cạnh 50 2  AB , diện tích 1 S . Nối 4 trung điểm 1 A , 1 B , 1 C , 1 D theo thứ tự của 4 cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình vuông thứ hai là 1 1 1 1 A BC D có diện tích 2 S . Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba 2 2 2 2 A BC D có diện tích 3 S và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích 45 , ,... SS Tính 1 2 3 100 ...      S S S S S A. 101 22  S B. 101 21  S C. 100 2 2.  S D. 100 21  S Câu 3. Khối tứ diện ABCD có thể tích V , khối tứ diện 1 1 1 1 A BC D có thể tích 1 V , các đỉnh 1 A , 1 B , 1 C , 1 D lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD , CDA , DAB , ABC . Khối tứ diện 2 2 2 2 A BC D có thể tích 2 V , các đỉnh 2 A , 2 B , 2 C , 2 D lần lượt là trọng tâm các tam giác 1 1 1 BC D , 1 1 1 C D A , 1 1 1 D A B , 1 1 1 A BC . Cứ tiếp tục như thế ta được khối tứ diện n n n n A BC D có thể tích n V , các đỉnh n A , n B , n C , n D lần lượt là trọng tâm các tam giác 1 1 1    n n n B C D , 1 1 1    n n n C D A , 1 1 1    n n n D A B , 1 1 1    n n n A B C . Tính 1 2 2018 ...     S V V V . A.   2018 2018 31 2.3   V S B.   2019 2019 27 1 26.27   V S C.   2018 2018 27 1 26.27   V S D.   2019 2019 31 2.3   V S Câu 4. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , ,... A BC A BC A BC sao cho 1 1 1 A BC là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương 2  n , tam giác n n n A B C là tam giác trung bình của tam giác 1 1 1    n n n A B C . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu n S tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác n n n A B C . Tính tổng 12 ... ...      n S S S S ? A. 15 . 4   S B. 4.  S C. 9 . 2   S D. 5.  S Câu 5. Cho dãy số   n u có số hạng tổng quát   cos 2 1 6      n un . Tổng 2018 số hạng đầu tiên của dãy số   n u bằng bao nhiêu? A. 0 B. 3 2  C. 3 2 D. 1 2 TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 13 Câu 6. Cho dãy số   n u thỏa mãn   1 * 1 3 , 21 1 2 1              n n n u n u u u . Khi đó 2019 3, ,    u a b a b . Tính tổng  S a b . A. 3  S B. 4  S C. 9  S D. 2  S Câu 7. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là ,, a b c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết tan tan 22  A C x y với ,  xy và x y tối giản. Tính giá trị của  xy . A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 8. Cho dãy số   n u xác định 1 1 11 10 1 9 , 1         nn u u u n n . Tính giá trị của 2018 u ? A. 2018 2018 10  u B. 2018 2018 2018  u C. 2018 2018  u D. 2018 2018 10 2018  u Câu 9. Cho dãy số () n u thỏa mãn 11 1 ; , 1 21      n n n u u u n u . Đặt 3 12 ... 1 2 3      n n uu uu S n . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để 2019 2020  n S ? A. 2019 B. 2020 C. 2018 D. 2021 Câu 10. Cho dãy   n u : 0 1 2 21 2           n n n u u u u . Tìm phần nguyên của 2018 1    i i Su . A. 2020 B. 2017 C. 2019 D. 2018 . Câu 11. Cho dãy số   n u được xác định bởi:   1 1 2 3 1 2019 2019 ... , 1               nn u u u u u u n n . Tính giá trị của biểu thức 2 2019 1 2 2019 2. 2 ... 2 .     A u u u . A. 2019 3 B. 2019 C. 3 D. 2 Câu 12. Cho dãy số   n x xác định bởi 1 1 2 2 * 2 1 3 1, 3             nn nn x x n x n x n x A. 2 2018 2019 B. 8144648 12105 C. 8144648 12107 D. 8144648 12103 Câu 13. Cho dãy số   n u thỏa mãn 2 11 1, 1, 1       nn u u au n , 1  a . Biết rằng   2 2 2 12 lim ... 2      n u u u n b . Giá trị của biểu thức  T ab ? A. 1  B. 2  C. 1 D. 2 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 14 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Câu 14. Cho dãy số () n u được xác định bởi 1 2 3  u và     * 1 ,. 2 2 1 1    n n n u un nu Tính tổng 2019 số hạng đầu tiên của dãy số đó ? A. 4036 4035 B. 4035 4034 C. 4038 4037 D. 4038 4039 Câu 15. Cho dãy số   n u xác định như sau: 1 2020 2019 1 1 2018         n n n n u u u u u , với 1,2,3,...  n Tính 2019 2019 2019 2019 3 12 2 3 4 1 lim ... 2018 2018 2018 2018             n n uu uu u u u u . A. 4 . 2019 B. 3 . 2019 C. 2 . 2019 D. 1 . 2019 Câu 16. Xét dãy số nguyên 1 2 3 34, 334, 3334, , 33...34     n x x x x (có n số 3). Hỏi có bao nhiêu chữ số 3 trong số 3 2018 9x ? A. 6054 B. 6055 C. 6056 D. 6057 Câu 17. Cho dãy số   n u xác định bởi 1 1  u và 1 1 1 2018 2019    n n n u u với n nguyên dương. Tính giới hạn lim     n x Au A. 2019 2018 B. 2018 C. 2018 2019 D. 0 Câu 18. Cho dãy số (u ) n xác định bởi 1 1  u và 1 1 1 2018 2019    n n n u u với n nguyên dương. Tính giới hạn   12 lim       n x A u u u A. 2018 2019 B. 2017 2019 C. 2017 2018 D. 2019 2017 Câu 19. Cho dãy số () n x có       1 * 1 1 ; 1 2 3 1              n n n n n x n x x x x x . Đặt 1 1 2     n n i i y x . Biết lim  n a y b với a b là phân số tối giản và a, b nguyên dương. Khi đó tọa độ   ; M a b nằm trên đường tròn nào? A.     2 2 1 2 4     xy B.     2 2 1 1 4     xy C.     2 2 1 1 10     xy D.   2 2 1 10    xy Câu 20. Cho dãy số   n u xác định bởi 1 1 3 16 9 4 1 3 4,               n n n u u u u n Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn 8 10 .  n u A. 9. B. 10. C. 12. D. 13. TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 15 Câu 21. Xét các cấp số nhân có 21  n số hạng dương (n là số nguyên dương) thỏa tổng tất cả các số hạng của nó bằng 400 và tổng tất cả các nghịch đảo của các số hạng của nó bằng 4 . Giá trị lớn nhất của n là? A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 Câu 22. Cho dãy số () n u được xác định bởi 0 1 11 2018 2019 4 3 ; 1             n n n u u u u u n . Hãy tính lim 3 n n u . A. 1 2 B. 1 3 C. 2018 3 D. 2019 3 Câu 23. Cho dãy số   n u xác định bởi * 11 2 3 1; 2 , 32         nn n u u u n nn . Hỏi 2018 u thuộc khoảng nào sau đây? A.   2015 2016 2 ;2 B.   2016 2017 2 ;2 C.   2017 2018 2 ;2 D.   2018 2019 2 ;2 Câu 24. Cho dãy số   n u xác định 1 1 2 3 2 ;* 3              n n u nu un n . Tính 12 2 lim 2 2 2           n n n u uu L A. 1 2  L B. 3 4  L C. 1  L D. 3 2  L Câu 25. Cho dãy số   n x được xác định bởi: 2019 11 (3 1) 1; 2019      n nn x x x x với n là số nguyên dương. Đặt         2018 2018 2018 2018 1 2 3 2 3 4 1 3 1 3 1 3 1 3 1 ... 3 1 3 1 3 1 3 1               n n n x x x x u x x x x . Tính lim n u A. 2019 4 B. 2019 3 C. 673 3 D. 673 4 Câu 26. Cho dãy số thực   n u tăng xác định bởi   1 2 1 2019 2018 2020 1 0, 1 1              n n n u u u u n Đặt 12 1 1 1 ... 2019 2019 2019        n n S u u u . Tính lim n S A. 2018 B. 1 2018 C. 2019 D. 1 2019 Câu 27. Cho dãy số:   1 1 1 1 ,2 1 5 .u           n n n n n u u u un . Tìm lim u n . A. 1616  k B. 808  k C. 404  k D. 1212  k Câu 28. Cho dãy số   n u được xác định 12 * 21 1, 3 2 1,           n n n uu u u u n . Tính 2 lim    n n u n CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 16 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton A. 1 B. 1 6 C. 1 3 D. 1 2 Câu 29. Cho dãy số () n u xác định như sau: 1 2 * 1 4 . , 2018           n nn u u u u n Giả sử giới hạn   * 12 2 3 1 lim ... ,          n n u uu a ab u u u b và a b tối giản. Tính 3.  ab A. 1012 B. 1021 C. 1015 D. 1018 Câu 30. Cho dãy số   n x được xác định như sau     11 2 ; , 1,2.... 3 2 2 1 1      n n n x x x n nx Hỏi tổng của 2018 số hạng đầu tiên là bao nhiêu? A. 4035 4036 B. 2017 2018 C. 2018 2019 D. 4036 4037 Câu 31. Cho dãy số   n u 12 11 1; 2 2 1; 2           n n n uu u u u n . Tổng 2018 2019 1 2 ... 2017       S u u có giá trị bằng bao nhiêu? A. 2039190 B. 2035153 C. 2037171 D. 2033136 Câu 32. Cho dãy số   n u xác định bởi     1 2 2 11 4 3 ,1 21             n n n n u n n u n u u n u . Tìm lim n u . A. lim 2  n u B. lim 4  n u C. 3 lim 4  n u D. lim 3  n u Câu 33. Cho dãy   n u với 25 25    n nn n n u . Giả sử ta có tổng sau 100 1 2 3 100 1 1 1 1 .... 1 1 1 1               a c b S u u u u b a Trong đó a, b c là các số nguyên dương và a, b là hai số dương nguyên tố cùng nhau . Khi đó ?    S a c A. 151 B. 153 C. 152 D. 154 Câu 34. Cho dãy số   n u được xác định bởi 1 1 1 1 1 9 3.2 2.3 , 2;3....                n n n n nn u u u n . Tính giá trị của 2018 u ? A. 2018 2018 2018 2018 3.2 2.3  u B. 2018 2018 2018 2018 9 3.2 2.3    u C. 2018 2017 2017 2018 3.2 2.3  u D. 2018 2018 2018 2018 3.2 3  u . TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 17 Câu 35. Cho dãy số thực 12 ; ;...; n a a a được xác định bởi 1 2 12 2008 ... . , 1           nn a a a a n a n . Tính giá trị của 2008 a . A. 1 2009 B. 2 2007 C. 1 2007 D. 2 2009 Câu 36. Cho dãy số   n u xác định bởi 1 * 1 1 1 , 2               n nn u u u n . Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho 1999 . 1000  n u A. 11 B. 10 C. 15 D. Vô số Câu 37. Cho dãy số   n x xác định bởi 1 1 4  x . Biết rằng     2 1 2 3 1 2 4 9 ... 1 , 2,3.... 1           n n x x x n x xn nn Tính   2 lim 30 12 2018  n n n x A. 15 B. 30 C. 15 4 D. 15 2 Câu 38. Cho dãy số   n u được xác định bởi công thức 1 2 1 2 2019 2018 , 1          n n n u u u u n . Tìm giới hạn của dãy số   n S xác định bởi công thức 12 2 3 1 1 1 1         n n n u uu S u u u . A. lim 2018  n S B. lim 2019  n S C. 2018 lim 2019  n S D. lim 1  n S Câu 39. Cho dãy số   n u được xác định bởi: 11 1, , 1,2,3,... 1      n n n u u u n u Tính       12 2018 1 1 ... 1 lim 2019    n u u u n . A. lim 2018  n S B. lim 2019  n S C. 2018 lim 2019  n S D. lim 1  n S Câu 40. Cho các số 1 2 3 4 5 , , , , 0  a a a a a lập thành cấp số cộng với công sai d và 1 2 3 4 5 , , , , 0  b b b b b lập thành cấp số nhân với công bội q . Biết rằng 11  ab và 55  ab . Hỏi có bao nhiêu khẳng định luôn đúng trong các khẳng định sau? i) 22  ab ii) 33  ab iii) 44  ab iv)  dq A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 41. Cho dãy số   n u biết : 1 1  u ,   1 3 31 2 3 1       nn u u n n n n   *  n . Giá trị nhỏ nhất của n để 3 2018 .3  n u n n là bao nhiêu? CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 18 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton A. 2019  n B. 2018  n C. 2017  n D. 2020  n Câu 42. Cho dãy số không âm     * ,  n un được xác định bởi công thức sau     2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 ,, 1 2                   m n m n m n u m n m n u u u u Khi đó tổng của 2019 số hạng đầu tiên của dãy khi viết dưới dạng thập phân có chữ số ở hàng đơn vị bằng bao nhiêu? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 43. Cho dãy số   n x được xác định bởi 2 11 2019, 1, 1,2,3,...       n n n x x x x n . Với mỗi số nguyên dương n , đặt 12 1 1 1 2019 ... .        n n y x x x Khi đó lim n y bằng? A. 2018 2019 B. 2019 2018 C. 2018 D. 2019 Câu 44. Cho dãy số (un) được xác định bởi     1 22 1 2020 4 16 6 5 , 1             nn u n n u n n u n . Gọi 2 4 lim .     n n ku n thì k có giá trị là? A. 1616  k B. 808  k C. 404  k D. 1212  k Câu 45. Cho dãy   n u được xác định bởi 1 2 1 1 1 11 ; 2,               n n n u u u n n u , đặt 12 ...     nn S u u u . Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? A.   n u là dãy bị chặn. B. 1 1 11 42             n n S C.   n u là dãy giảm D. ,     n S n n . Câu 46. Cho dãy số   n u thỏa mãn     1 1 * 2 2 1 21 2 ,. 11                 n n u nu n un n nn Tìm giới hạn của dãy số   n s với 3* , n .    nn s n u A.   lim    n s B.   lim 0  n s C.   lim 1  n s D.   1 lim . 2  n s . Câu 47. Cho các dãy   n u thỏa:   2 1 * 2018 4 4 0 1 2            n n n u u u n u . Khi đó 1 u có thể nhận tất cả bao nhiêu giá trị? TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 19 A. 2017 2 B. 2018 2 C. 2019 2 D. 2018 21  . Câu 48 . Cho dãy số   n u thỏa mãn: 1 1  u ; 2* 1 2 , 3      nn u u a n . Biết rằng   2 2 2 12 lim ... 2      n u u u n b . Giá trị của biểu thức  T ab là? A. 2  B. 1  C. 1 D. 2 Câu 49. Cho 2 dãy cấp số cộng 12 ; ;...  nn u u u u có công sai 1 d và 12 ; ;...  nn v v v v có công sai 2 d . Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là 12 ... 7 1       nn S u u u n và 12 ... 14 27       nn T v v v n . Tính tỉ số của 11 11 u v A. 5 3 B. 4 3 C. 9 4 D. 5 4 Câu 50. Cho dãy số   n a xác định bởi 11 5, . 3     nn a a qa với mọi 1  n , trong đó q là hằng số, 0  q , 1  q . Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng 1 1 1 . 1         n n n q aq q . Tính 2    ? A. 13 B. 9 C. 11 D. 16 Câu 51. Cho cấp số nhân 1 2 3 , , ,.., n u u u u ; trong đó 0, 1,2,...,    i u i n . Biết rằng 1 2 3 ... 2018       nn S u u u u , 1 2 3 1 1 1 1 ... 2019       n n T u u u u và 1 2 3 1 . . .... 100  n P u u u u . Hỏi số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn P là? A. 9295 B. 9296 C. 18592 D. 18591 Câu 52. Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 4 16 9 , đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi q thuộc khoảng nào sau đây? A.   3; 4  q B.   1;2  q C.   2;3  q D.   0;1  q Câu 53. Cho dãy số   n u như sau: 24 1   n n u nn , 1  n , 2 ,... Tính giới hạn của tổng   12 lim ...       n x u u u . A. 1 4 B. 1. C. 1 2 D. 1 3 Câu 54. Cho hàm số       10 khi 2018 11 khi 2018         xx fx f f x x . Tính giá trị     1 2018  ff . A. 1999 B. 2009 C. 4018 D. 4036 Câu 55. Cho dãy   n u thỏa mãn 5 1 5 5 1 2 1 2 25.2 15.2 5.2 15.2 4 0         u u u u u và 1 8.   nn uu CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 20 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Giá trị nhỏ nhất của n để 2019.  n u A. 512. B. 258. C. 511. D. 257. Câu 56. Cho một cấp số cộng : 1 2 3 4 , , , u u u u thỏa 1 4 2 3 6  u u u u . Tìm tập xác định D của hàm           1 2 3 4 9       f x x u x u x u x u A.   ;6    D B.   6;    D C.  D D.   6;6  D Câu 57. Biết tổng 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 ... 2 2 2 2                          n n n S . Giá trị nhỏ nhất của n để 99 3 2 4 4   n n n n S , *  n A. 41 B. 40 C. 51 D. 50 Câu 58. Cho dãy () n x thỏa mãn 2 11 5, 2, 1       nn x x x n . Tính giá trị của 1 1 2 1 2 1 1 1 lim ........ ...        n M x x x x x x A. 5 21 2   M B. 5 21 2   M C. 3 31 3   M D. 3 15 3   M Câu 59. Cho hàm số   2 1 ln 1       y f x x . Biết rằng :       2 3 ... 2018 ln ln ln ln        f f f a b c d trong đó , , a c d là các số nguyên tố và    a b c d . Tính     P a b c d A. 1986 B. 1698 C. 1689 D. 1989 Câu 60. Cho dãy số   n u thỏa mãn 1 1 10 10 log 2 log 2 log 2 log     u u u u và 1 2   nn uu với mọi 1  n . Giá trị nhỏ nhất để 100 5  n u bằng A. 247 B. 248 C. 229 D. 290 Câu 61. Cho dãy số   n u thỏa mãn 2 6 8 4 ln ln ln 1    u u u và 1 .e 1     nn u u n . Tìm 1 u A. e B. 2 e C. 3  e D. 4  e Câu 62. Cho dãy số   n u thỏa mãn 18 18 11 44 e 5 e e e    uu uu và 1 3   nn uu với mọi 1  n . Giá trị lớn nhất của n để 3 log ln 2018  n u bằng? A. 1419 B. 1418 C. 1420 D. 1417 Câu 63. Cho dãy số   n a thỏa mãn 1 1  a và 1 3 51 32     nn aa n , với mọi 1  n . Tìm số nguyên dương 1  n nhỏ nhất để n a là một số nguyên. A. 123  n B. 41  n C. 39  n D. 49  n TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 21 Câu 64. Cho dãy số   n u thỏa mãn 9 9 1 9 11 2 2 * 1 4 2 4 3 3,                 u u u u uu nn e e e e e u u n . Giá trị nhỏ nhất của số n để 1  n u ? A. 725 B. 682 C. 681 D. 754 Câu 65. Cho dãy số   n u có số hạng đầu tiên 1 1  u thỏa mãn đẳng thức sau :     2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 log 5 log 7 log 5 log 7    uu và 1 7   nn uu với mọi 1  n . Giá trị nhỏ nhất của n để 1111111  n u bằng? A. 11 B. 8 C. 9 D. 10 Câu 66. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn   0; 2018 sao cho ba số 11 5 5 ; ;25 25 2     x x x x a theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng? A. 2008 B. 2006 C. 2018 D. 2007 Câu 67. Cho dãy số   n u thỏa mãn 12 2 1 3 2 3 3 1 8 22 1 log 4 4 4       uu uu và 1 2   nn uu với mọi 1  n . Giá trị nhỏ nhất của n để 12 ...     nn S u u u 100 5  bằng A. 230 B. 231 C. 233 D. 234 Câu 68. Cho dãy số   n u thỏa mãn     3 5 4 log 2 63 2 log 8 8     n u u n , *  n . Đặt 12 ...     nn S u u u . Tìm số nguyên dương lớn nhất n thỏa mãn 2 2 . 148 . 75  nn nn uS uS . A. 18 B. 17 C. 16 D. 19 Câu 69. Cho hàm số     22 11 1 1 e    x x fx . Biết         1 . 2 . 3 ... 2017 e  m n f f f f   ,  mn với m n là phân số tối giản. Tính 2  P m n . A. 2018  B. 2018 C. 1 D. 1  Câu 70. Cho cấp số cộng   n u có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn điều kiện   1 2 2018 1 2 1009 ... 4 ...        u u u u u u . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 3 2 3 5 3 14 log log log    P u u u . A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 Câu 71. Cho cấp số cộng   n a , cấp số nhân   n b thỏa mãn 21 0  aa và 21 1  bb ; và hàm số   3 3  f x x x sao cho     21 2  f a f a và     2 2 2 1 log 2 log  f b f b . Số nguyên dương n nhỏ nhất và lớn hơn 1 sao cho 2018  nn ba là CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 22 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton A. 16 B. 15 C. 17 D. 18 Câu 72. Cho cấp số nhân   n b thỏa mãn 21 1  bb và hàm số   3 3  f x x x sao cho         2 2 2 1 log 2 log  f b f b . Giá trị nhỏ nhất của n để 100 5  n b bằng A. 234 B. 229 C. 333 D. 292 Câu 73. Cho dãy số   n u thỏa mãn 21 4 7 6 6 2 1 1 3 1 3 * 1 2 11 log 3 48 34 , 2 3 2                           uu nn u u u e e n u u n nn Giá trị lớn nhất của số n để   2018 3 1 2 1    n n u n A. 3472 B. 3245 C. 3665 D. 3453 Câu 74. Cho     2 2* 11       f n n n n N . Đặt             1 . 3 ... 2 1 2 . 4 ... 2   n f f f n u f f f n . Tìm số n nguyên dương nhỏ nhất sao cho n u thỏa mãn điều kiện 2 10239 log 1024   nn uu . A. 23  n B. 29  n C. 21  n D. 33  n Câu 75. Cho biểu thức           log 2017 log 2016 log 2015 log ... log 3 log 2 ...       A Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A.   log 2017;log 2018 B.   log 2019;log 2020 C.   log 2018;log 2019 D.   log 2020;log 2021 Câu 76. Cho dãy số   n u xác định bởi     22 ln 2 1 ln 1 , 1        n u n n n n . Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho   2 3  nn uu . Biết   a kí hiệu phần nguyên của số a là số tự nhiên nhỏ nhất không vượt quá a. A. 37 B. 36 C. 38 D. 40 Câu 77. Cho dãy số   n u có tất cả số hạng đều dương thỏa mãn 1 2   nn uu và đồng thời 2 2 2 2 1 2 1 2 4 ... 1 , 1 3           n n n u u u u u n . Số tự nhiên n nhỏ nhất để 100 5  n u là? A. 232 B. 233 C. 234 D. 235 Câu 78. Cho dãy số   n u thỏa mãn     22 1 2 1 2 ln 10 ln 2 6     u u u u và đồng thời 21 2 1, 1       n n n u u u n . Giá trị nhỏ nhất của n để 5050  n u A. 100 B. 99 C. 101 D. 102 TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 23 Câu 79. Cho dãy số   n u thỏa mãn     21 1 * 2 2 391 1 39 log log 2 40 4 4 21 2 , 11                                  n n uu nu n un n nn . Giá trị nhỏ nhất của n để   100 2 100 3 51 5    n n u nn . A. 235 B. 255 C. 233 D. 241 Câu 80. Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 4 16 9 , đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi q thuộc khoảng nào sau đây? A.   3; 4  q B.   1;2  q C.   2;3  q D.   0;1  q Câu 81. Cho 2 0 sin    n n I xdx với n nguyên dương. Tính 2 lim .  n n I I A. 1  B. 1 C. 2 D.  Câu 82. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu   1 22 0 1d   n n I x x x . Tính 1 lim    n n n I I . A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 Câu 83. Đặt         2 2 2 1 2 1 1 0 22 1 2 1 21 . 11            n n n n nn xx x I dx xx Tính 1 .  n n I lim I A. 1 B. 1 2 C. 1  D. 3 2 Câu 84. Ta đặt   1     n n n n xx F x dx x . Biết   10  n Fn . Tính   lim 2    n n F . A. 1 B.  C. 1  D.  Câu 85. Cho tích phân 1 0 e d 1e      nx n x Ix với  n . Đặt         1 2 2 3 3 4 1 1. 2 3 ...            n n n u I I I I I I n I I n . Biết lim  n uL . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A.   1;0  L B.   2; 1    L C.   0;1  L D.   1;2  L Câu 86. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn tích phân   2 2 2 3 1 0 1 2 3 4 ... 2           n n x x x nx dx A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 24 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Câu 87. Cho hàm số   fx có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn điều kiện     2018 2017 2018 ,     f x f x x . Tính tích phân   1 2 0    f x dx ? A.   2 4 1 3    f B.   2 5 1 3    f C.   2 7 1 3    f D.   2 8 1 3    f Câu 88. Cho tan d   n n I x x với  n . Khi đó   0 1 2 3 8 9 10 2 ...        I I I I I I I bằng? A.   9 1 tan    r r x C r B.   1 9 1 tan 1      r r x C r C.   10 1 tan    r r x C r D.   1 10 1 tan 1      r r x C r Câu 89. Cho dãy số xác định bởi 1 2 1 62 4 2. 1         nn U UU , * 1,  n n N . S= lim n U n có giá trị là ? A. 1 B. 1 2 C. 0 D. 1 4 Câu 90. Cho dãy số n U xác định bởi   1 22 1 1 2 ,1 1               nn n U n U n U n U n Khi đó 1 2 3 1 1 1 1 lim          n S U U U U thuộc khoảng nào sau đây? A.   3; 1  B.   1; 2  C.   1; 2  D.   1;1  Câu 91. Trong dịp hội trại hè 2017, bạn Anh thả một quả bóng cao su từ độ cao   6m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng ? A.   44 m B.   45 m C.   42 m D.   43 m Câu 92. Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là 20   m và 25   m để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất? A. luôn chọn A. B. luôn chọn B. C. giếng 20   m chọn A còn giếng 25   m chọn B. D. giếng 20   m chọn B còn giếng 25   m chọn B. TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 25 Câu 93. Cho cấp số cộng   n u có các số hạng đều dương, số hạng đầu 1 1  u và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14950 . Tính giá trị của tổng sau? 2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018 1 1 1 ...        S u u u u u u u u u u u u A. 11 1 3 6052     B. 1 1 6052  C. 2018 D. 1 Câu 94. Giá trị của tổng 4 44 444 ... 44...4     (tổng đó có 2018 số hạng) bằng? A.   2018 40 10 1 2018 9  . B. 2019 4 10 10 2018 99      . C. 2019 4 10 10 2018 99      . D.   2018 4 10 1 9  . Câu 95. Cho dãy số   n u thỏa mãn 1 6   nn uu , 2  n và 2 5 9 2 log log 8 11    uu . Đặt 12 ...     nn S u u u . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn 20172018  n S . A. 2587 B. 2590 C. 2593 D. 2584 Câu 96. Cho hai cấp số cộng   n a : 1 4  a ; 2 7  a ;...; 100 a và   n b : 1 1  b ; 2 6  b ;...; 100 b . Hỏi có bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên? A. 32 B. 20 C. 33 D. 53 Câu 97. Cho tam giác ABC cân tại A . Biết rằng độ dài cạnh BC , trung tuyến AM và độ dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q . Tìm công bội q của cấp số nhân đó? A. 12 2   q B. 2 2 2 2   q C. 12 2   q D. 2 2 2 2   q Câu 98. Cho hàm số       cos 2017 2 32     x f x x x và dãy số   n u được xác định bởi công thức tổng quát       log 1 log 2 log      n u f f f n Tìm tổng tất cả các giá trị của n thỏa mãn điều kiện 2018 1  n u A. 21 B. 18 C. 3 D. 2018 Câu 99. Biết rằng 2 2018 2 2018 2019 4 44 2 22 lim             nn nn nn nn u u u u ab L c u u u u Trong đó   n u xác định bởi 11 0; 4 3      nn u u u n và a b c , , là các số nguyên dương và 2019  b . Tính    S a b c A. 1  B. 0 C. 2017 D. 2018 Câu 100. Cho ba số dương a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của biểu thức   2 2 83 21    a bc P ac có dạng   ,  x y x y Hỏi  xy bằng bao nhiêu? A. 9 B. 11 C. 13 D. 7 CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 26 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Câu 101. Cho các số hạng dương a, b, c là số hạng thứ m, n, p của một cấp số cộng và một cấp số nhân. Tính giá trị của biểu thức 2 log     b c c a a b a b c A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 Câu 102. Cho 2     a b c và cot ,cot ,cot a b c Tạo thành cấp số cộng. Giá trị của cot .cot ac bằng? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 27 B. LỜI GIẢI. Câu 1. Cho hàm số 3 2009  y x x có đồ thị là   C . 1 M là điểm trên   C có hoành độ 1 1  x . Tiếp tuyến của   C tại 1 M cắt   C tại điểm 2 M khác 1 M , tiếp tuyến của   C tại 2 M cắt   C tại điểm 3 M khác 2 M , <, tiếp tuyến của   C tại 1  n M cắt   C tại n M khác 1  n M   4;5;...  n , gọi   ; nn xy là tọa độ điểm n M . Tìm n để: 2013 2009 2 0    nn xy . A. 685  n B. 679  n C. 672  n D. 675  n L ời gi ải Phương trình hoành độ giao điểm của   C và tiếp tuyến là     3 2 3 1 1 1 1 2009 3 2009 2009       x x x x x x x   1 . Phương trình   1 có một nghiệm kép 1 1  x và một nghiệm 2 x . Ta có   1  3 3 2 0    xx . Áp dụng định lí Viét cho phương trình bậc ba, ta có 12 2 1 1 2 2 12 20 23 .2           xx x x x xx 21 2    xx . Suy ra 1 1  x , 2 2  x , 3 4  x , <,   1 2   n n x . Ta có: 2013 2009 2 0    nn xy 3 2013 2009 2009 2 0      n n n x x x   33 2013 22      n 3 3 2013    n 672  n . Chọn ý C. Câu 2. Một hình vuông ABCD có cạnh 50 2 AB  , diện tích 1 S . Nối 4 trung điểm 1 A , 1 B , 1 C , 1 D theo thứ tự của 4 cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình vuông thứ hai là 1 1 1 1 A BC D có diện tích 2 S . Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba 2 2 2 2 A BC D có diện tích 3 S và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích 45 , ,... SS Tính 1 2 3 100 ...      S S S S S A. 101 22  S B. 101 21  S C. 100 2 2.  S D. 100 21  S L ời gi ải Dễ thấy 100 99 98 1 2 3 100 2 ; 2 ; 2 ; ; 2      S S S S Như vậy 1 2 3 100 , , ,..., S S S S là cấp số nhân với công bội 1 2  q . Khi đó ta có 100 100 100 99 98 101 1 2 100 1 2 . 1 2 ... 2 2 2 ... 2 2 2 1 1 2                  S S S S Chọn ý B. CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 28 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Câu 3. Khối tứ diện ABCD có thể tích V , khối tứ diện 1 1 1 1 A BC D có thể tích 1 V , các đỉnh 1 A , 1 B , 1 C , 1 D lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD , CDA , DAB , ABC . Khối tứ diện 2 2 2 2 A BC D có thể tích 2 V , các đỉnh 2 A , 2 B , 2 C , 2 D lần lượt là trọng tâm các tam giác 1 1 1 BC D , 1 1 1 C D A , 1 1 1 D A B , 1 1 1 A BC . Cứ tiếp tục như thế ta được khối tứ diện n n n n A BC D có thể tích n V , các đỉnh n A , n B , n C , n D lần lượt là trọng tâm các tam giác 1 1 1    n n n B C D , 1 1 1    n n n C D A , 1 1 1    n n n D A B , 1 1 1    n n n A B C . Tính 1 2 2018 ...     S V V V . A.   2018 2018 31 2.3   V S B.   2019 2019 27 1 26.27   V S C.   2018 2018 27 1 26.27   V S D.   2019 2019 31 2.3   V S L ời gi ải Ta có     1 1 1 // BC D BCD nên             1 1 1 1 1 1 , , , 3  d A BC D d D BCD d A BCD . Lại có 1 1 1  BC D BCD với tỉ số đồng dạng 1 3  k nên 1 1 1 1 9  B C D BCD SS . Do đó 1 1 27  VV . Tương tự ta có 21 2 11 27 27  V V V , 32 3 11 27 27  V V V , <, 2018 2018 1 27  VV . 2 2018 1 1 1 ... 27 27 27         SV 2018 1 1 1 27 . 1 27 1 27    V   2018 2018 27 1 26.27   V . Câu 4. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC .Ta xây dựng dãy các tam giác 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , ,... A BC A BC A BC sao cho 1 1 1 A BC là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương 2  n , tam giác n n n A B C là tam giác trung bình của tam giác 1 1 1    n n n A B C . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu n S tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác n n n A B C . Tính tổng 12 ... ...      n S S S S ? A. 15 . 4   S B. 4.  S C. 9 . 2   S D. 5.  S L ời gi ải A B C D 1 C 1 B 1 A 1 DTUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 29 Vì dãy các tam giác 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , ,... A BC A BC A BC là các tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh 3 3 . Với 1  n thì tam giác đều 1 1 1 A BC có cạnh bằng 3 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 1 1 A BC có bán kính 1 3 3. 3  R 2 1 3 3. 3        S . Với 2  n thì tam giác đều 2 2 2 A BC có cạnh bằng 3 2 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 2 2 A BC có bán kính 2 13 3. . 23  R 2 2 13 3. . 23        S . Với 3  n thì tam giác đều 3 3 3 A BC có cạnh bằng 3 4 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 2 2 A BC có bán kính 3 13 3. . 43  R 2 3 13 3. . 43        S . Như vậy tam giác đều n n n A B C có cạnh bằng 1 1 3. 2     n nên đường tròn ngoại tiếp tam giác n n n A B C có bán kính 1 13 3. . 23      n n R 2 1 13 3. . 23            n n S . Khi đó ta được dãy 1 S , 2 S , ... ... n S là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 11 3    uS và công bội 1 4  q . Do đó tổng 12 ... ...      n S S S S 1 4 1     u q . Câu 5. Cho dãy số   n u có số hạng tổng quát   cos 2 1 6      n un . Tổng 2018 số hạng đầu tiên của dãy số   n u bằng bao nhiêu? A. 0 B. 3 2  C. 3 2 D. 1 2 L ời gi ải Ta có       6 cos 2 11 cos 2 1 2 cos 2 1 6 6 6                                nn u n n n u , *  n . 1 7 13 2011 2017 2 8 14 2012 2018 3 9 15 2013 4 10 16 2014 5 11 17 2015 6 12 18 2016 ... ... ... ... ... ...                                       u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 30 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 1 2 6 7 8 12 2011 2012 2016 ... ... ... ... .              u u u u u u u u u         2018 1 2 6 7 8 12 2011 2012 2016 2017 2018 ... ... ... ...                 S u u u u u u u u u u u     1 2 6 1 2 336. ...       u u u u u 3 3 3 3 3 336. 0 0 0 2 2 2 2 2                                       3 2  . Câu 6. Cho dãy số   n u thỏa mãn   1 * 1 3 , 21 1 2 1              n n n u n u u u . Khi đó 2019 3, ,    u a b a b . Tính tổng  S a b . A. 3  S B. 4  S C. 9  S D. 2  S L ời gi ải Ta có 2 2 2 tan 8 1 tan tan 2 tan 1 0 tan 2 1 4 8 8 8 1 tan 8                 vì tan 0 8   Do đó   1 2 1 tan tan 21 38 tan 38 1 2 1 1 tan tan 38               u u u   2 3 2 tan tan 21 3 8 8 tan 2. 38 1 2 1 1 tan tan 3 8 8                         u u u Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được   * tan 1 , 38          n u n n Do đó 2019 tan 2018. 2 3 3 38             uS . Câu 7. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là ,, a b c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết tan tan 22  A C x y với ,  xy và x y tối giản. Tính giá trị của  xy . A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 L ời gi ải Theo giả thiết ta có 2 sin sin 2 sin 2 sin .cos 4sin .cos 2 2 2 2         A C A C B B a c b A C B 2 sin .cos 4sin .cos 2 2 2 2      A C A C A C A C cos 2 cos cos cos sin sin 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2        A C A C A C A C A c A C TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 31 1 3sin sin cos cos 3tan tan 1 tan tan 2 2 2 2 2 2 2 2 3       A C A C A C A C . Do đó 1 3 4     xy . Câu 8. Cho dãy số   n u xác định 1 1 11 10 1 9 , 1         nn u u u n n . Tính giá trị của 2018 u ? A. 2018 2018 10  u B. 2018 2018 2018  u C. 2018 2018  u D. 2018 2018 10 2018  u L ời gi ải Cách 1. Ta nhận thấy 1 2 21 3 32 11 10 1 10 1 9 10.11 8 102 10 2 10 1 18 10.102 17 1003 10 3                         u uu uu Nên dự đoán 10  n n un Chứng minh bằng quy nạp. Ta có 1 11 10 1    u . Giả sử đúng với 1 10      k k n k u k khi đó   1 1 10. 1 9. 10. 10 1 9 10 1             kk kk u u k k k k . Vậy 10  n n un nên 2018 2018 10 2018  u . Cách 2. Ta có     11 10 1 9 1 10          n n n n u u n u n u n Đặt   11 1        n n n n v u n v u n và 11 1 10    vu Ta có dãy số 1 1 10 10 , 1        nn v v v n ,   n v là một cấp số nhân có công bội 10  q và 1 10  v . Ta có công thức tổng quát 11 1 10.10 10 10 10            n n n n n n n n n v v q v u n u n Do đó 2018 2018 10 2018  u Câu 9. Cho dãy số () n u thỏa mãn 11 1 ; , 1 21      n n n u u u n u . Đặt 3 12 ... 1 2 3      n n uu uu S n . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để 2019 2020  n S ? A. 2019 B. 2020 C. 2018 D. 2021 L ời gi ải Từ hệ thức truy hồi ta có 0, 1    n un . Ta có 1 1 11 1 1        n n n n n u u u u u . Do đó 1    n u là cấp số cộng có 1 1 2  u và công sai 1  d , Từ đó suy ra   1 2 1 1      n nn u , 1  n . Do đó 1 1   n u n , 1  n   1 1 1 11      n u n n n n n . Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 2 3 3 4 1 1             n S n n n . CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 32 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Khi đó 2019 1 2019 1 2019 2020 1 2020        n Sn n . Do đó 2020  n . Câu 10. Cho dãy   n u : 0 1 2 21 2           n n n u u u u . Tìm phần nguyên của 2018 1    i i Su . A. 2020 B. 2017 C. 2019 D. 2018 . L ời gi ải Ta có 1 1 1 13 11 2 1 1            n n n n n u u u u u . Đặt 0 1 1 1     n n aa u và 1 31   nn aa 1 1 3 1 2 1 2 3 1          n nn n au . 2018 2018 2018 1 1 1 1 1 2 1 2018 2 2018 2018 2019 3 1 3 3                  iii i i i S u S Phần nguyên của S . bằng 2018 . Câu 11. Cho dãy số   n u được xác định bởi:   1 1 2 3 1 2019 2019 ... , 1               nn u u u u u u n n . Tính giá trị của biểu thức 2 2019 1 2 2019 2. 2 ... 2 .     A u u u . A. 2019 3 B. 2019 C. 3 D. 2 L ời gi ải Ta có đẳng thức sau           1 1 1! 1 1 ! 1 1 . . . 1 1 !. ! 1 1 1 ! 1 1 !                  kk nn n n CC k k k n k n n k n k Suy ra  S 11 2018 1 2019 2019 11 . .2019 1 2019    k k k C u C C k Từ giả thiết ta có   1 2 3 2 1 2019 ... 2019         n n n nu u u u u u     1 1 1 1 2019 2020         n n n n u u n u 1 2020    nn n uu n . 1 1 2 2 1 2018 1 2018 2019 23 2 1 2018 1 2019 34 3 2018 1 2019 2018 2019 2019 2018 1 2019 2018 1 1 .2019 2 2 2 2017.2018 1 . 2.3 3 2016.2017.2018 1 2.3.4 4 ... 1 2019                                   u u C u C C u u C u C u C u C u C u C 1 2 2 3 3 4 4 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2. 2 2 2 ... 2        S C C C C C   2019 2 1 1 2     . TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 33 Câu 12. Cho dãy số   n x xác định bởi 1 1 2 2 * 2 1 3 1, 3             nn nn x x n x n x n x A. 2 2018 2019 B. 8144648 12105 C. 8144648 12107 D. 8144648 12103 L ời gi ải Ta có     2 2 11 1 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 3 3 3 1 13                 n n n n n n n n n n n n x nx x n x x x n x x x n x n x n x n n Đặt dãy số 1 2 1 11 , * 3 13           n n nn n n n y x y n y n y y y và 1 2  y Đặt 1 1 , * 3       n n n n u n u u y Suy ra   n u là cấp số cộng với 1 1 2  u và công sai 3  d   15 1 3 3 22       n u n n 2 * 2 , 65      n n xn n 2018 8144648 12103  x Câu 13. Cho dãy số   n u thỏa mãn 2 11 1, 1, 1       nn u u au n , 1  a . Biết rằng   2 2 2 12 lim ... 2      n u u u n b . Giá trị của biểu thức  T ab ? A. 1  B. 2  C. 1 D. 2 L ời gi ải Theo giả thiết ta có 2 2 2 2 11 11 1 11            n n n n u au u a u aa Đặt 2 1 1 1        n n n n v u v av a   n v là cấp số nhân với công bội  qa Suy ra 1 2 1 1 2 1 11 11 .. 1 1 1 1                   n n n n nn aa v v a u a a u a a a a a Ta có   2 1 2 2 2 2 1 2 12 21 1 11 1 . 1 ... 1 ... . 11 11 ............................. 1 . 11                              n n n n a u aa a ua a u u u a a n aa aa a ua aa 2 2 2 12 11 ... . . 1 1 1           n n aa u u u n a a a Thực hiện phép đồng nhất ta được CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 34 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 lim 2 lim . 1 11 1 2                                         n n a a T aa b b aa Câu 14. Cho dãy số () n u được xác định bởi 1 2 3  u và     * 1 ,. 2 2 1 1    n n n u un nu Tính tổng 2019 số hạng đầu tiên của dãy số đó ? A. 4036 4035 B. 4035 4034 C. 4038 4037 D. 4038 4039 L ời gi ải Theo giả thiết ta có 1 11 42     nn n uu         11 11 4 1 2 4 2 4.1 2 4.2 2 ... 4 2                   n n n n uu 2 2 3 4 8 3 24 22      nn nn     1 2 22 4 8 3 2 1 2 3         n u n n n n     2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1         n u n n n n Từ đó suy ra 12 1 1 1 1 1 1 .... 1 ... 1 3 3 5 2 1 2 1 2 1                                   nn S u u u n n n 2019 1 4038 1. 2.2019 1 4039      S Câu 15. Cho dãy số   n u xác định như sau: 1 2020 2019 1 1 2018         n n n n u u u u u , với 1, 2, 3,...  n Tính 2019 2019 2019 2019 3 12 2 3 4 1 lim ... 2018 2018 2018 2018             n n uu uu u u u u . A. 4 . 2019 B. 3 . 2019 C. 2 . 2019 D. 1 . 2019 L ời gi ải Ta dễ ràng thấy rằng 1  n u với mọi 1,2,3,...  n Xét 2020 2019 1 2018 0      n n n n u u u u với mọi 1,2,3,...  n , nên dãy   n u tăng. Giả sử dãy   n u bị chặn trên, khi đó   n u có giới hạn. Giả sử lim 1  n ua . Từ hệ thức 2020 2019 1 2018     n n n n u u u u chuyển qua giới hạn có 2020 2019 2018 0 2018         a a a a a a - Điều này vô lý Vậy, dãy   n u không bị chặn trên. Suy ra lim   n u . Ta có TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 35           2019 2019 1 1 1 1 1 2018 11 . 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018                   kk k k k k k k k k k k uu u u u u u u u u u u 2019 2019 2019 2019 3 12 2 3 4 1 1 1 11 ... 2018 2018 2018 2018 2018 2018               n nn uu uu u u u u u u Vậy 2019 2019 2019 2019 3 12 2 3 4 1 1 1 11 lim ... lim 2018 2018 2018 2018 2018 2018                          n nn uu uu u u u u u u 1 11 . 2018 2019   u Câu 16. Xét dãy số nguyên 1 2 3 34, 334, 3334, , 33...34     n x x x x (có n số 3). Hỏi có bao nhiêu chữ số 3 trong số 3 2018 9x ? A. 6054 B. 6055 C. 6056 D. 6057 L ời gi ải Ta đặt 32  nn ux . Khi đó 1 10   n n u    3 1 1 3 3 3 2 2 1 10 2 10 2 10 1 9 2.10 4.10 3 3 3 3             n nn nn nn xx Lại có     3 3 3 2 3 1 10 1 10 1 10 10 10 1           n n n   33 3 2 3 1 10 1 3 10 10 10 1 3          n nn   3 3 2 3 1 2 2 1 9 3 10 10 10 1 2.10 4.10 3              n n n n n x Để ý rằng 3 2 3 1 10 10 10 1 111...111       nn (có 3n +2 số 1) 22 2.10 2000...00   n (có 2n +2 số 0) và 1 4.10 400...00   n (có n+1 số 0) 3 9 33...33533...33733...336  n x (trước 5 có n số 3, giữa 5 và 7 có n số 3, giữa 7 và 6 có n số 3) 3 9  n x có 3n số 3. Câu 17. Cho dãy số   n u xác định bởi 1 1  u và 1 1 1 2018 2019    n n n u u với n nguyên dương. Tính giới hạn lim     n x Au A. 2019 2018 B. 2018 C. 2018 2019 D. 0 L ời gi ải Do 1 1 11 1 1 2018 2018 2018 2018 2019 2019             n nn n n n n n u u u u . Đặt 2018  n nn vu ta được 1 2018  v và 1 1 2018 2019       n nn vv với n nguyên dương. Suy ra 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( )            n n n n n v v v v v v v v CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 36 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton 1 1 2018 1 2018 2018 2019 2018 2018 2018 2019 2019 1 2019 2018 2018 2018 1 2018 2018 2 2 2 2019 2018 2018 2019 2018 2019                                                                        n k n k n n n n n n n n v u Vì * 0,    n un mà 1 1 2018 lim lim 2 0 lim 0 2018 2019                        n nn n x x x uu Câu 18. Cho dãy số (u ) n xác định bởi 1 1  u và 1 1 1 2018 2019    n n n u u với n nguyên dương. Tính giới hạn   12 lim       n x A u u u A. 2018 2019 B. 2017 2019 C. 2017 2018 D. 2019 2017 L ời gi ải Do 1 1 11 1 1 2018 2018 2018 2018 2019 2019             n nn n n n n n u u u u . Đặt 2018  n nn vu ta được 1 2018  v và 1 1 2018 2019       n nn vv với n nguyên dương. Suy ra       1 1 2 2 1 1            n n n n n v v v v v v v v 1 2018 1 2018 2018 2019 2018 2018 2018 2019 2019 1 2019                     n k n k 1 2018 2018 2018 1 2018 2018 2 2 2 2019 2018 2018 2019 2018 2019                                                    n n n n n n n n v u Do đó 1 1 1 1 1 1 2018 1 1 2 4036 2018 2018 2019 2018 2019                     k n n n n k k k k k k k k u Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta được   12 11 4036 2019 2018 2019 lim 4036 2018 1 11 2017 2017 11 2018 2019               n x A u u u TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 37 Câu 19. Cho dãy số () n x có       1 * 1 1 ; 1 2 3 1              n n n n n x n x x x x x . Đặt 1 1 2     n n i i y x . Biết lim  n a y b với a b là phân số tối giản và a, b nguyên dương. Khi đó tọa độ   ; M a b nằm trên đường tròn nào? A.     2 2 1 2 4     xy B.     2 2 1 1 4     xy C.     2 2 1 1 10     xy D.   2 2 1 10    xy L ời gi ải Từ giả thiết       2 2 2 2 2 1 3 3 2 1 3 1 3 1             n n n n n n n n n x x x x x x x x x Lại có   2 2* 1 2 1 1 0;           n n n n n x x x x x n . Suy ra   n x là một dãy số tăng. Giả sử   n x là dãy bị chặn trên 2 lim 3 1 1          n x a a a a a . Vô lý. Vậy lim   n x . Mặt khác     2 11 1 3 2 1 1 2           n n n n n n x x x x x x     11 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1             n n n n n n x x x x x x 1 1 1 1 2 1 1        n n n x x x . Vậy 1 11 21    n n y x  1 lim 2  n y   2;1 M . Câu 20. Cho dãy số   n u xác định bởi 1 1 3 16 9 4 1 3 4,               n n n u u u u n Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn 8 10 .  n u A. 9. B. 10. C. 12. D. 13. L ời gi ải Đặt dãy số 1 3 ,      nn x u n Ta có 0  n x và 2 2 1 1 3 , 3         n n n n x x u n u Thay vào giả thiết ta được 22 1 11 9 4 4 33      nn n xx x   2 2 1 32     nn xx Suy ra 1 32   nn xx .   n Giả sử   1 3       nn xx thì 1.    Xét dãy   n y xác định bởi 1  nn yx . Khi đó   n y là cấp số nhân với 11 9 1, 4    yx công bội 3  q 2 1 11 9 .3 1 1 99 4 .3 .3 1 4 4 3              n nn n n n y x u Có 2 8 1 8 9 10 .3 1 3.10 1 4          n n u 18 9 .3 1 3.10 1 4      n CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 38 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton   8 3 4 log 3.10 1 1 . 1 9,14. 9              nn Vậy n nhỏ nhất bằng 10 Câu 21. Xét các cấp số nhân có 21  n số hạng dương (n là số nguyên dương) thỏa tổng tất cả các số hạng của nó bằng 400 và tổng tất cả các nghịch đảo của các số hạng của nó bằng 4 . Giá trị lớn nhất của n là? A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 L ời gi ải Đặt các số hạng của cấp số nhân là 1 12 , , ,..., , , ,..., ,   nn n n n a a a a a aq aq aq q q q q với , aq là các số dương. Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... 1 ... 400 ... ... 400 1 1 1 1 1 1 ... ... 4 ... 1 ... 4                                                   nn nn nn nn nn nn nn nn aa a q q a aq aq qq qq qq qq a a a aq aq a q q   1 1 1 1 2 1 1 1 11 ... 1 40 * ... 1 ... 400 10 100                                nn nn nn nn q q q a q q q q q qq a a Muốn tồn tại cấp số nhân thì điều kiện cần và đủ là phương trình   * phải có nghiệm dương. Xét hàm số   1 1 1 1 1 ... 1           nn nn f x x x x x x x liên tục trên   0;    D . Theo bất đẳng thức AM – GM ta có   1 1 1 1 1 ... 1 2 2 ... 2 1 2 1                  nn nn f x x x x n x x x Dấu bằng xảy ra khi 1  x . Mặt khác     0 lim , lim            xx f x f x Suy ra tập giá trị của hàm số f trên D là   2 1;    n . Phương trình   * có nghiệm dương khi và chỉ khi 40 2 1 19,5     nn . Vậy giá trị lớn nhất của n là 19 . Câu 22. Cho dãy số () n u được xác định bởi 0 1 11 2018 2019 4 3 ; 1             n n n u u u u u n . Hãy tính lim 3 n n u . A. 1 2 B. 1 3 C. 2018 3 D. 2019 3 L ời gi ải Ta có   1 1 1 1 4 3 3           n n n n n n n u u u u u u u . TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 39 Đặt 1   n n n v u u ta có 1 1 1 3 ; 2        nn v v v n . Suy ra 1 3 ; 1.     n n vn Ta được       1 1 2 2 1 1            n n n n n u u u u u u u u 12 3 1 3 1 3 3 3 2019 2018 2018 3 1 2             nn nn Suy ra 3 1 2018 1 lim lim . 3 2.3 3 2        n n n n n u Câu 23. Cho dãy số   n u xác định bởi * 11 2 3 1; 2 , 32         nn n u u u n nn . Hỏi 2018 u thuộc khoảng nào sau đây? A.   2015 2016 2 ;2 B.   2016 2017 2 ;2 C.   2017 2018 2 ;2 D.   2018 2019 2 ;2 L ời gi ải Ta có     1 1 1 3 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1                        n n n n n n n u u u u u u n n n n n n Đặt 1 ,* 1      nn v u n n , suy ra 11 1 11 22 2 , *             nn vu v v n Do đó dãy số   n v là cấp số nhân có công bội 2  q và 1 1 2  v . Suy ra 1 2 * 2 * 11 .2 2 , 2 , 21                   n n n nn v n u n n . Vậy   2016 2016 2017 2018 1 2 2 ;2 2019    u . Câu 24. Cho dãy số   n u xác định 1 1 2 3 2 ;* 3              n n u nu un n . Tính 12 2 lim 2 2 2           n n n u uu L A. 1 2  L B. 3 4  L C. 1  L D. 3 2  L L ời gi ải Ta có           11 2 1 2 3 2 1 2 ; * 3             n n n n nu u n n n u n n n u n n Đặt     12    nn v n n n u ta được dãy   n v thỏa mãn 11 4; 2 ; *      nn v v v n nên dãy   n v là một cấp số nhân có công thức 11 4.2 2   nn n v . Vậy     1 2 12    n n u n n n           2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2                             n n u n n n n n n n n n n n . 12 2 1 1 1 1 lim lim 2 2 2 2 1 2 2                      n n nn u uu L nn CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 40 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Câu 25. Cho dãy số   n x được xác định bởi: 2019 11 (3 1) 1; 2019      n nn x x x x với n là số nguyên dương. Đặt         2018 2018 2018 2018 1 2 3 2 3 4 1 3 1 3 1 3 1 3 1 ... 3 1 3 1 3 1 3 1               n n n x x x x u x x x x . Tính lim n u A. 2019 4 B. 2019 3 C. 673 3 D. 673 4 L ời gi ải Ta có 2019 1 (3 1) 2019    n nn x xx , 1 n            2018 1 1 1 1 3 3 1 11 3 1 3 1 3 1 3 1 673 3 1               n n n n n n n n x x x x x x x x    2018 11 1 1 1 1 31 1 1 1 1 673 673 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1                             nn i n ii i i i n x u x x x x x Mặt khác:   2019 1 31 0 2019      n nn x xx nên dãy   n x là dãy số tăng 1  n . Nếu   n x bị chặn thì lim n x tồn tại hữu hạn. Giả sử lim  n xa  1  a và 2019 ( 1) 2019   a aa - Điều này vô lý Suy ra   n x không bị chặn trên hay lim    n x . Do đó 1 1 lim 0 31    n x . Suy ra 1 673 673 lim 3 1 4      n n u x . Câu 26. Cho dãy số thực   n u tăng xác định bởi   1 2 1 2019 2018 2020 1 0, 1 1              n n n u u u u n Đặt 12 1 1 1 ... 2019 2019 2019        n n S u u u . Tính lim n S A. 2018 B. 1 2018 C. 2019 D. 1 2019 L ời gi ải Do   n u là dãy tăng nên 2018, 1    n un . Ta có 2 1 2018 2020 1 0      n n n u u u 2 1 2018 1 2020    nn n uu u 2 1 2018 2019 1 2020      nn n uu u       1 2020 1 1 2019       n n n u u u     1 2020 1 1 2019 1      n n n u u u   1 1 1 1 * 2019 1 1        n n n u u u Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 41 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2019 2019 2019 1 1 2018 1                n n n n S u u u u u u Do   n u là dãy số tăng nên có hai trường hợp xảy ra.  Dãy   n u bị chặn trên suy ra tồn tại lim n u . Giả sử lim  n ux thì 2018  x . Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi    n ta có 22 2018 2020 1 0 2 1 0 1           x x x x x x - Điều này vô lý  Dãy   n u không bị chặn trên, do   n u tăng và không bị chặn trên nên   1 1 1 lim lim 1 lim 0 1              nn n uu u Do vậy, 1 1 1 1 lim lim 2018 1 2018         n n S u Câu 27. Cho dãy số:   1 1 1 1 ,2 1 5 .u           n n n n n u u u un . Tìm lim u n . A. 1616  k B. 808  k C. 404  k D. 1212  k L ời gi ải Từ hệ thức truy hồi ta có 1 11 11 5 1 5 .u        n n n n n n n u u uu . Đặt dãy số 1  n n v u 11 55        nn n n n n v v v v       1 1 2 2 1 1 ...             n n n n n v v v v v v v v 12 5 21 1 5 5 ... 5 1 .5 limu 0 5 21 44 .5 44               n n n n n n n vu . Câu 28. Cho dãy số   n u được xác định 12 * 21 1, 3 2 1,           n n n uu u u u n . Tính 2 lim    n n u n A. 1 B. 1 6 C. 1 3 D. 1 2 L ời gi ải Ta có 2 1 1 1, 1,2,...         n n n n u u u u n 2 1 1 1 2 1 1 2 ...                 n n n n n n u u u u u u u u n 21 2      nn u u n Do đó             1 1 1 2 2 1 ... 1 ... 2                 n n n n n u u u u u u u u n n     22 11 1 1 2 ... lim lim 2 2 2                 n n nn n n n n u un nn CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 42 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Câu 29. Cho dãy số () n u xác định như sau: 1 2 * 1 4 . , 2018           n nn u u u u n Giả sử giới hạn   * 12 2 3 1 lim ... ,          n n u uu a ab u u u b và a b tối giản. Tính 3.  ab A. 1012 B. 1021 C. 1015 D. 1018 L ời gi ải Từ cách xác định dãy số suy ra () n u là dãy số tăng, nên tồn tại giới hạn hữu hạn hoặc vô hạn. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn lim  n lu Khi đó 4.  l Từ 2 * 1 , 2018     n nn u u u n lấy giới hạn hai vế ta có 2 0 2018     l l l l (mâu thuẫn). Vậy lim .   n u Từ công thức truy hồi ta có   2 1 1 1 1 1 2018 11 2018              nn nn n n n n n n n uu uu u u u u u u u 12 2 3 1 1 1 1 1 1 1009 lim lim 2018 lim 2018 42                              n n n n u uu u u u u u u Vậy 3 1015.  ab Câu 30. Cho dãy số   n x được xác định như sau     11 2 ; , 1,2.... 3 2 2 1 1      n n n x x x n nx Hỏi tổng của 2018 số hạng đầu tiên là bao nhiêu? A. 4035 4036 B. 2017 2018 C. 2018 2019 D. 4036 4037 L ời gi ải Dễ thấy 0, 1,2,...    n xn . Nên theo giả thiết ta có     1 1 1 1 1 2 2 1 , * 1 2 2 1           n nn n x n n xx n x . Đặt   11 2 3; 4 2 1 , *          n n n n u u u n u n x               1 12 1 8 4, 1,2,.... 8 1 4 8 1 2 2.4 ..... 8 1 2 .... 2 1 .4 2 1 2 1                                     nn n n n u u n n u u n u n n u n n n nn Do đó     2 2 1 1 , 1,2.... 2 1 2 1 2 1 2 1           n n xn u n n n n 1 2 2018 1 1 1 1 1 1 4036 ...... .... 1 3 3 5 4035 4037 4037                               x x x TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 43 Câu 31. Cho dãy số   n u 12 11 1; 2 2 1; 2           n n n uu u u u n . Tổng 2018 2019 1 2 ... 2017       S u u có giá trị bằng bao nhiêu? A. 2039190 B. 2035153 C. 2037171 D. 2033136 L ời gi ải Cách 1. Từ công thức truy hồi suy ra 1 2 3 2 1 4 3 2 12 1 2 21 21 .... 21                        n n n u u u u u u u u u u u Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được 11 21       nn u u u n 1     nn u u n   * Từ đề bài và   * ta lại suy ra 1 21 32 43 1 1 1 2 3 .... 1                   nn u uu uu uu u u n Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được       2 1 1 1 1 2 3 ... 1 1 2 22              n nn u n n n Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là   2 1 2 , 1 2      u n n n n     2 2018 2 2019 1 2018 2018 2 2035154 2 1 2019 2019 2 2037172 2                 u u 2018 2019 1 2 ... 2017 1 2 ... 2017 2035154 2037172 2018.2019 1 2 ... 2017 2018 2037171 2                     S u u Cách 2. Ta có   1 1 1 1 2 1; 2 1; 2 *                 n n n n n n n u u u n u u u u n Đặt 1 ,2      n n n v u u n và 1 2 1 1    v u u Khi đó   1 * 1, 2       nn v v n là cấp số cộng có 1 1  v công sai 1  d   1 1 .1 , 1        n v n n n   2018 2019 2019 2018 2018 1 2 ... 2017 1 2 ... 2017 1 2 ... 2017 2018.2019 1 2 ... 2017 2018 2037171 2                          S u u u u v CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 44 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Câu 32. Cho dãy số   n u xác định bởi     1 2 2 11 4 3 ,1 21             n n n n u n n u n u u n u . Tìm lim n u . A. lim 2  n u B. lim 4  n u C. 3 lim 4  n u D. lim 3  n u L ời gi ải Dễ thấy * 0,    n un . Từ giả thiết ta có     2 2 1 2 1      nn n n n uu Với mỗi *  n , đặt 11 4  n n v u ta có 1 1  v và         2 22 22 1 1 1 2 11 2 1 2 44 2                            n n n n n n n n v n v n n v n v v v n     2 2 2 2 2 2 1122 22 1 2 3 3 2 1 4 4 ... 1 1 5 4 3 11                                              n n n n v v v n n n n n n n lim 0  n v . Ta có 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 0 lim lim 4 4 4 4               nn n n n vu u u u . Câu 33. Cho dãy   n u với 25 25    n nn n n u . Giả sử ta có tổng sau 100 1 2 3 100 1 1 1 1 .... 1 1 1 1               a c b S u u u u b a Trong đó a, b c là các số nguyên dương và a, b là hai số dương nguyên tố cùng nhau . Khi đó ?    S a c A. 151 B. 153 C. 152 D. 154 L ời gi ải Ta có 2 5 2.5 1 2 5 1 2 1 1 1 2 5 2 5 1 2.5 2 5                        n n n n n n n n n n n n n u u 1 2 100 1 2 3 100 100 100 100 1 1 1 1 1 2 2 2 100 1 1 1 1 2 5 5 5 22 1 151 1 2 1 2 2 55 100 100 1 2 2 5 2 3 5 3 1 5                                                                                S u u u u Từ đó suy ra 2, b=5, c=151  a nên : 153.  ac TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 45 Câu 34. Cho dãy số   n u được xác định bởi 1 1 1 1 1 9 3.2 2.3 , 2; 3....                n n n n nn u u u n . Tính giá trị của 2018 u ? A. 2018 2018 2018 2018 3.2 2.3  u B. 2018 2018 2018 2018 9 3.2 2.3    u C. 2018 2017 2017 2018 3.2 2.3  u D. 2018 2018 2018 2018 3.2 3  u . L ời gi ải Ta có 1 1 1 1 1 2 2 2 12 2 3 3 3 23 3 2 2 2 32 2 1 1 1 21 3.2 2.3 3.2 2.3 3.2 2.3 ... 3.2 2.3 3.2 2.3                                         n n n n nn n n n n nn n n n n nn uu uu uu uu uu     1 1 2 1 1 2 1 1 3. 2 2 ... 2 2. 3 3 ... 3            n n n n uu . 11 1 2 1 3 9 3.2. 2.3. 3.2 3 1 2 1 3         nn nn Vậy 2018 2018 2018 2018 3.2 3  u . Câu 35. Cho dãy số thực 12 ; ;...; n a a a được xác định bởi 1 2 12 2008 ... . , 1           nn a a a a n a n . Tính giá trị của 2008 a . A. 1 2009 B. 2 2007 C. 1 2007 D. 2 2009 L ời gi ải Ta có   2 1 2 1 1 ... 1       nn a a a n a . Do đó     2 1 2 1 2 1 1 ... ... 1             n n n n n a a a a a a a n a a . Ta có phương trình   2 2 11 1 1 1         n n n n n n n a a n a a a n . Suy ra   1 1 2 1 2 3 2 1 . . ... . . 1 1 4 3 1        n a n n n aa n n n n n . Cho 2008  n ta được 2008 2.2008 2 2008.2009 2009  a . Câu 36. Cho dãy số   n u xác định bởi 1 * 1 1 1 , 2               n nn u u u n . Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho 1999 . 1000  n u A. 11 B. 10 C. 15 D. Vô số L ời gi ải CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 46 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Ta có 1 21 2 32 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ... 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 ............ 1 2                                                        n n n n n n nn u uu u u u uu Theo giả thiết ta có 1 11 2 1999 1 1999 1 1 1 2 1 log 10 11 1000 2 1000 2 1000 1000                 n nn u n n Suy ra có 10 số nguyên dương n thỏa mãn đề bài. Câu 37. Cho dãy số   n x xác định bởi 1 1 4  x . Biết rằng     2 1 2 3 1 2 4 9 ... 1 , 2,3.... 1           n n x x x n x xn nn Tính   2 lim 30 12 2018  n n n x A. 15 B. 30 C. 15 4 D. 15 2 L ời gi ải Ta có     2 2 1 2 3 1 1 2 4 9 ... 1 1             nn n x x x n x n x x nn     22 1 2 1 1     nn n n n x n x x nn     3 2 11 22 11       n n n n nx n x x x n n n   2 2 1 1     nn n x n x .   2 2 1 2 1 1 1 ... 4 1. 4         nn n x n x x x 2 1 4  n x n   2 2 22 30 12 2018 15 3 1009 15 lim 30 12 2018 lim lim 4 2 2 2             n nn n n x n n n Câu 38. Cho dãy số   n u được xác định bởi công thức 1 2 1 2 2019 2018 , 1          n n n u u u u n . Tìm giới hạn của dãy số   n S xác định bởi công thức 12 2 3 1 1 1 1         n n n u uu S u u u . A. lim 2018  n S B. lim 2019  n S C. 2018 lim 2019  n S D. lim 1  n S L ời gi ải TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 47 Trước tiên ta có hai nhận xét sau  2 11 1 2018 2019, 1         n n n u u u u n  2, 1    n un nên 2 1, 1     nn u u n . Theo giả thiết ta có     2 1 11 2019 2018 2019 1 2019 1             n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u       1 1 1 1 1 11 2019 2019 1 1 1 1 1 1                     n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u 11 11 2019 11         n n S uu . Để tính 1 1 lim 1   n u , ta chứng minh mệnh đề   * : 1 2019 4036 , 1      n u n n bằng quy nạp. Từ 2 2019 4 4036 4040 4037     u suy ra mệnh đề   * đúng khi 1  n . Giả sử 1 2019 4036 , 1      k u k k . Khi đó 2 2 1 1 1 1 1 2019 2018 1 2018 1 2019 1 4036                 k k k k k k u u u u u u k . Suy ra   * đúng khi 1  nk . Hay 1 2019 4036 , 1      n u n n . Do đó   1 1 1 2019 2019 1 2019 1 2019         n n un un . Ta lại có 2019 lim 0 2019   n nên 1 1 lim 0 1    n u . Vậy 11 11 lim 2019 lim 2019 11         n n S uu . Câu 39. Cho dãy số   n u được xác định bởi: 11 1, , 1,2,3,... 1      n n n u u u n u Tính       12 2018 1 1 ... 1 lim 2019    n u u u n . A. lim 2018  n S B. lim 2019  n S C. 2018 lim 2019  n S D. lim 1  n S L ời gi ải Do 1 0 0, *      n u u n . Ta có 1 1 1 1 1 1 1          n nn n n n u uu u u u n , 1,2,...  n       12 1 1 1 2 3 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 . ... 1 1 2 1 2                              n n u u u n nn         12 1 2018 1 2018 1 1 ... 1 2018 1 2018 lim lim lim 2019 2019 2019 2019             n u u u n n nn Vậy       12 2018 1 1 ... 1 2018 lim 2019 2019     n u u u n . CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 48 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Câu 40. Cho các số 1 2 3 4 5 , , , , 0  a a a a a lập thành cấp số cộng với công sai d và 1 2 3 4 5 , , , , 0  b b b b b lập thành cấp số nhân với công bội q . Biết rằng 11  ab và 55  ab . Hỏi có bao nhiêu khẳng định luôn đúng trong các khẳng định sau? i) 22  ab ii) 33  ab iii) 44  ab iv)  dq A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 L ời gi ải Đặt 1 1 5 5 ,     a b x a b y , mà 51 4  a a d và 21  a a d nên 41 2 3 3 . 44    xy aa a Tương tự ta tính được 3 2   xy a và 4 3 . 4   xy a Lập luận tương tự với CSN, ta cũng có 33 44 2 3 4 ,,    b x y b xy b xy . Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 33 44 3 3 2 2 4 4 33 ,, 2 4 4             x y x y x y a xy b a x y b a xy b Do đó, cả i), ii) và iii) đều đúng. Tuy nhiên, điều kiện iv) không luôn đúng, chẳng hạn khi  xy thì 0  d nhưng 1.  q Câu 41. Cho dãy số   n u biết : 1 1  u ,   1 3 31 2 3 1       nn u u n n n n   *  n . Giá trị nhỏ nhất của n để 3 2018 .3  n u n n là bao nhiêu? A. 2019  n B. 2018  n C. 2017  n D. 2020  n L ời gi ải Biến đổi giả thiết ta có     2 3 2 2 11 1 31 2 3 1 3 2 2 1 1 3 11                      n n n n nn n u u u u u u n n n n n n n n n n n Đặt 2  n n u Sn n .Ta có 1 3 * ,    nn S S n  Dãy số   n S là cấp số nhân với công bội 3  q và 1 2  S 1* 2.3 ,      n n S n N Theo bài ra, 3 2018 2 2018 1 2018 2019 1 .3 3 2.3 3 3 2           nn n n u u n n n n 33 11 2019 log log 2019 2018,369... 22        nn Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 2019  n . TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 49 Câu 42. Cho dãy số không âm     * ,  n un được xác định bởi công thức sau     2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 ,, 1 2                   m n m n m n u m n m n u u u u Khi đó tổng của 2019 số hạng đầu tiên của dãy khi viết dưới dạng thập phân có chữ số ở hàng đơn vị bằng bao nhiêu? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 L ời gi ải Cho  nm ta có   2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 0 2         m m m u u u u u   1 Cho 0  n ta có     2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 4 2 2 2               m m m m m m m u u u u u u u u Vì 2 1  u nên 3 2.1 1 1 1 2 5 2.2 1 2 1 3 2. 2 2. 2 2 4.              u u u u u u u u   2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 4 1 2 1 4 4 1 93 2               u u u u u u . Ta chứng minh 1 ,     n u n n   3 Thật vậy, với 0, 1, 2, 3     n n n n thì   3 đúng. Giả sử   5 đúng đến , , 3    n k k k , tức là 1   k uk và 1  k uk . Khi đó         2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 3 1 22 2 2 2 2 2 11 44 22 2 2 1 2 1 1 1                           k k k k k k u u u u u u k k k k k uk Vậy tổng của 2019 số hạng đầu tiên của dãy là 2019 0 1 2 ... 2018 2037171       S . Do đó chữ số ở hàng đơn vị là 1. Câu 43. Cho dãy số   n x được xác định bởi 2 11 2019, 1, 1,2,3,...       n n n x x x x n . Với mỗi số nguyên dương n , đặt 12 1 1 1 2019 ... .        n n y x x x Khi đó lim n y bằng? A. 2018 2019 B. 2019 2018 C. 2018 D. 2019 L ời gi ải Ta có   2 2 11 2 1 1 0 , 1.             n n n n n n n x x x x x x x n Do đó   n x tăng. Giả sử dãy   n x có giới hạn hữu hạn bằng A 1 lim lim 2019      nn x x A . Chuyển qua giới hạn hai vế phương trình 2 1 1     n n n x x x ta được 2 1 1 2019       A A A A vô lý. Vậy lim   n x . Ta có   1 11     n n n x x x   1 1 1 1 1 1 1 1         n n n n n x x x x x 1 1 1 1 . 11      n n n x x x Do đó 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2019 ... 2019 2019 1 1 2018 1                               n n n n y x x x x x x CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 50 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Từ 1 lim lim 0      n n x x . Vậy 2019 lim . 2018  n y Câu 44. Cho dãy số (un) được xác định bởi     1 22 1 2020 4 16 6 5 , 1             nn u n n u n n u n . Gọi 2 4 lim .     n n ku n thì k có giá trị là? A. 1616  k B. 808  k C. 404  k D. 1212  k L ời gi ải Ta có     22 1 4 16 6 5      nn n n u n n u       2 2 1 4 4 1 4 1          nn n n u n n u         2 1 1 2 22 1 4 1 11 .. 4 4 4 4 1 4 1              nn nn nn uu uu n n n n nn Đặt dãy số 1 2 1 44      n n n n u v v v nn    n v là cấp số nhân có công bội 1 4  q và số hạng đầu 1 1 1 .2020 404 55    u v   11 2 11 404. 404. 4 44                   nn nn v u n n   1 2 2 41 lim .404. 4 4            n n k n n n 2 2 4 lim .4.404      nn n 4 lim 1 .1616 1616       n Câu 45. Cho dãy   n u được xác định bởi 1 2 1 1 1 11 ; 2,               n n n u u u n n u , đặt 12 ...     nn S u u u . Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? A.   n u là dãy bị chặn. B. 1 1 11 42             n n S C.   n u là dãy giảm D. ,     n S n n . L ời gi ải Cách 1. Ta có 2 12 1 tan 1 1 os 4 4 1 tan ; tan 4 2.4 tan sin 44            c uu . Từ đây ta dự đoán   1 tan , 1 2 .4       n n u n N . Thật vậy, giả sử 1 tan , 1 2 .4      k k uk , khi đó TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 51 2 1 1 1 11 1 tan 1 1 os 2 .4 2 .4 tan 2 .4 tan sin 2 .4 2 .4              k k k k kk c u . Theo nguyên lý quy nạp suy ra công thức   1 đúng.  Vì 1 0 0 1 2 .4 4        n n u nên   n u là dãy bị chặn.  Vì tanx là hàm số đồng biến trên 0; 4      suy ra   n u là dãy giảm.  Ta có 1 2 1 ... .       nn S u u u nu n  Xét hàm ( ) tan ; 0; 4        f x x x x , có 2 2 1 ( ) 1 tan 0, 0; cos 4            f x x x x . tan , 0; 4         x x x đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0  x . Do đó 1 21 1 1 1 1 2.4 2 .4 2 .4 4 2                      n n n S Cách 2. Từ giả thiết suy ra 0,     n un . Ta có 2 1 1 1 2 1 1 11 11         n n nn n n u u uu u u . Suy ra   n u giảm (C đúng) và   0;1 ,     n un hay A đúng. Và khi đó  n Sn tức D đúng. Vậy chọn B. Câu 46. Cho dãy số   n u thỏa mãn     1 1 * 2 2 1 21 2 ,. 11                 n n u nu n un n nn Tìm giới hạn của dãy số   n s với 3* , n .    nn s n u A.   lim    n s B.   lim 0  n s C.   lim 1  n s D.   1 lim . 2  n s . L ời gi ải Ta có             22 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1              n n n n n n n n Theo giả thiết ta có             2 1 1 2 2 2 2 21 22 21 1 1 1 11                 n n n n nu n n n u nu n u n nn nn           11 22 22 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1                    n n n n nu n u n u nu nn nn CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 52 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Đặt * 2 1 , . 1      nn v nu n n Khi đó   1 trở thành   * 1 1 , 2      n n n v v n v là một cấp số nhân với công bội 1 , 2  q 11 11 22    vu 1 1 11 . 22                 nn n vv 3 11 2     n n u n n n 32 3 3 . 2      nn n nn s n u nn Ta có  3 3 2 1 lim lim 1 1 1    n nn n ;  Với mọi số nguyên dương 3  n , ta có   33 0 1 2 3 0 1 2 3 5 6 5 6 2 ... 2 2 66                  n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C Mặt khác   2 vẫn đúng mới   1;2  n . Do vậy nên 3 * 56 2 , . 6     n nn n 2 2 2 2 2 * 33 23 6 66 , ; lim lim 0 lim 0. 56 2 2 5 6 5 6 2 1               n n n n n n n n n n n n n n nn Vậy 32 3 lim lim 1. 2        n n nn s nn Câu 47. Cho các dãy   n u thỏa:   2 1 * 2018 4 4 0 1 2            n n n u u u n u . Khi đó 1 u có thể nhận tất cả bao nhiêu giá trị? A. 2017 2 B. 2018 2 C. 2019 2 D. 2018 21  . L ời gi ải Xét hàm số:   2 44  f x x x với   0;1  x ta có     0;1  fx Mặt khác         2018 2017 2017 1 1 0;1 0;1 ... 0;1 2         u f u u u Ta chứng minh bằng quy nạp 01  n u . Theo trên có     12 0;1 ; 0;1  uu . Giả sử   0;1  k u khi đó do     1 0;1   kk u f u nên có điều chứng minh. Vì 1 01  u nên tồn tại số 0; 2      sao cho 2 1 sin  u Khi đó       2 2 2 2 1 1 4 1 4sin 1 sin sin 2         u u u Theo nguyên lý quy nạp ta có   21 sin 2   n n u TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 53 Theo giả thiết ta có     2 2017 2018 2018 1 1 1 1 1 sin 2 cos 2 2 2 2 2 2         u     2018 2019 2018 cos 2 0 22          kk Vì 2017 2019 2018 11 0; nên 0 2 2 2 2 2 2 2                  kk Vậy 2017 {0;1;2;...;2 1}  k Do đó có 2017 2 giá trị 1 2019 2018 22   uk với   2017 0;1;2; ;2 1    k thỏa yêu cầu. Câu 48 . Cho dãy số   n u thỏa mãn: 1 1  u ; 2* 1 2 , 3      nn u u a n . Biết rằng   2 2 2 12 lim ... 2      n u u u n b . Giá trị của biểu thức  T ab là? A. 2  B. 1  C. 1 D. 2 L ời gi ải Biến đổi giả thiết ta có   2 2 2 11 22 33 33        n n n n u u a u a u a Đặt 2 3  nn v u a thì   n v là cấp số nhân với 1 13  va và công bội 2 3  q . Do đó     11 2 22 1 3 3 1 3 3 33                      nn n n n v a u v a a a .       2 2 2 12 2 1 2 3 ... 2 1 3 2 3 3 1 3 1 3 2 2 3 1 3                           n n n u u u n a n na a n a . Mặt khác ta lại có   2 2 2 12 lim ... 2      n u u u n b       2 3 2 0 2 lim 3 1 3 1 3 2 3 3 1 3 3 3                                n a a a n a b ba b , Vậy 2    T ab . Câu 49. Cho 2 dãy cấp số cộng 12 ; ;...  nn u u u u có công sai 1 d và 12 ; ;...  nn v v v v có công sai 2 d . Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là 12 ... 7 1       nn S u u u n và 12 ... 14 27       nn T v v v n . Tính tỉ số của 11 11 u v A. 5 3 B. 4 3 C. 9 4 D. 5 4 L ời gi ải Từ giả thiết, ta có   11 21 2     n n u n d S và   12 21 2     n n v n d T CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 54 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton         11 12 11 1 1 1 1 11 1 2 1 2 21 71 1 2 1 4 27 10 2 20 2 10 2 20                   n n u n d S n T v n d n u u d u d v v d v d . So sách (1) và (2) bằng cách đồng nhất 11 11 148 4 1 20 21 111 3         u nn v Câu 50. Cho dãy số   n a xác định bởi 11 5, . 3     nn a a qa với mọi 1  n , trong đó q là hằng số, 0  q , 1  q . Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng 1 1 1 . 1         n n n q aq q . Tính 2    ? A. 13 B. 9 C. 11 D. 16 L ời gi ải Ta có   1     nn a k q a k 3    k kq 3 1   k q Đặt  nn v a k 2 1 1 1 . . ... .       n n n n v qv q v q v Khi đó   1 1 1 11 3 . . . 5 1             n n n n v q v q a k q q Vậy 1 1 1 1 1 3 3 3 . 5 . 5 5. 3. 1 1 1 1                                n n n n nn q a v k q k q q q q q q . Do đó 5; 3     2 5 2.3 11        . Câu 51. Cho cấp số nhân 1 2 3 , , ,.., n u u u u ; trong đó 0, 1,2,...,    i u i n . Biết rằng 1 2 3 ... 2018       nn S u u u u , 1 2 3 1 1 1 1 ... 2019       n n T u u u u và 1 2 3 1 . . .... 100  n P u u u u . Hỏi số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn P là? A. 9295 B. 9296 C. 18592 D. 18591 L ời gi ải Ta có   1 1 2 3 1 ... 2018 1          n nn uq S u u u u q   1 Và     1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 ... 2019 1           n n n n q T u u u u u q q   2 Từ   1 và   2 suy ra 21 1 2018 2019   n n n T uq S Ta có           1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2018 . . .... . . . . .... . 2019           n nn n n n n nn Q u u u u u u q u q u q u q u q TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 55 Theo đề 2 2018 min 2019 2018 1 1 2 log 18591,1 18592 2019 100 100                   n nn Câu 52. Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 4 16 9 , đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi q thuộc khoảng nào sau đây? A.   3; 4  q B.   1;2  q C.   2;3  q D.   0;1  q L ời gi ải Gọi : 1 2 3 ,, u u u là 3 số hạng đầu tiên của cấp số nhân , với công bội q . Gọi   n v là cấp số cộng tương ứng với công sai là d . Theo giả thiết ta có :       2 1 2 3 1 1 1 11 11 2 2 4 1 11 381 4 4 16 16 1 9 9 3 2 3 7 3 7                               u u u u u q u q uv u q u d u v v d u q u d u v v d Khử d từ (2) và (3) ta được :     2 1 3 7 4 0 4    u q q . Do (1) nên :   1 1 04 4 3          q u q . Theo định nghĩa thì 1  q , do vậy 4 3  q Câu 53. Cho dãy số   n u như sau: 24 1   n n u nn , 1  n , 2 ,... Tính giới hạn của tổng   12 lim ...       n x u u u . A. 1 4 B. 1. C. 1 2 D. 1 3 L ời gi ải Ta có       2 22 22 22 1 1 1 2 1 1 11 1                n nn u n n n n n n n n nn Ta có 12 22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2 3 3 7 7 13 13 21 1 1                      n u u u n n n n 2 22 1 1 1 1 2 1 2 1            nn n n n n   12 2 1 1 11 lim ... lim 11 22 1         n n u u u nn . Câu 54. Cho hàm số       10 khi 2018 11 khi 2018         xx fx f f x x . Tính giá trị     1 2018  ff . A. 1999 B. 2009 C. 4018 D. 4036 L ời gi ải Ta có CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 56 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton                                                                     2018 2018 11 2029 2019 10 2009 2017 2017 11 2028 2018 2009 ... 2009 2009 11 2020 2010 2009 2008 2008 11 2019 2009 2009 2007 2007 11 2018 2009 2009 ... 1 1 11 12 2009                               f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Do đó ta có           2018 2018 ... 1 2009 1 2018 4018        f f f f f Câu 55. Cho dãy   n u thỏa mãn 5 1 5 5 1 2 1 2 25.2 15.2 5.2 15.2 4 0         u u u u u và 1 8.   nn uu Giá trị nhỏ nhất của n để 2019.  n u A. 512. B. 258. C. 511. D. 257. L ời gi ải Từ   1 8.     n n n u u u là CSC công sai   1 5 1 8 8 1 32         n d u u n u u Thay vào giả thiết ta được:     11 2 32 32 2 5.2 3 2 5.2 3 2 4 0        uu Có dạng phương trình bậc 2 suy ra:     1 32 12 32 1 33 1 33 5.2 3 2 log 4 4 5.2 3              u u   1 1 min 2019 8 1 2019 1 257,63 258 8            n u u u n n n Câu 56. Cho một cấp số cộng : 1 2 3 4 , , , u u u u thỏa 1 4 2 3 6  u u u u . Tìm tập xác định D của hàm           1 2 3 4 9       f x x u x u x u x u A.   ;6    D B.   6;    D C.  D D.   6;6  D L ời gi ải Theo tính chất của cấp số cộng , ta có : 1 4 2 3    u u u u Do đó             22 1 2 3 4 1 4 1 4 2 3 2 3                    x u x u x u x u x u u x u u x u u x u u   * Đặt     22 1 4 2 3       t x u u x x u u x , khi đó :   *         2 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 99           f t t u u t u u t u u u u t u u u u Với :     22 1 4 1 3 1 2 3 4 1 4 2 3 4 36 36         t u u u u u u u u u u u u . Rõ ràng   1 4 2 3 6 0 0,          t u u u u f t t   fx có nghĩa với mọi x TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 57 Câu 57. Biết tổng 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 ... 2 2 2 2                          n n n S . Giá trị nhỏ nhất của n để 99 3 2 4 4   n n n n S , *  n A. 41 B. 40 C. 51 D. 50 L ời gi ải Ta có 2 4 2 2 4 2 1 1 1 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 2                             n n n S   2 4 2 2 4 2 1 1 1 2 2 .. 2 2 .. 2 2 2             n n n Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân : 1 1 1    n n q Su q :     1 1 1 4 1 4 1 4 1 1 4 4. 2 . 2 1 3 4 3.4 1 4              n nn n n n S n n Theo đề bài ta có:         1 99 1 100 min 4 1 4 1 3 2 4 2 4 1 4 1 3 39,124... 40 3.4 4               nn n nn nn n n n n Câu 58. Cho dãy () n x thỏa mãn 2 11 5, 2, 1       nn x x x n . Tính giá trị của 1 1 2 1 2 1 1 1 lim ........ ...        n M x x x x x x A. 5 21 2   M B. 5 21 2   M C. 3 31 3   M D. 3 15 3   M L ời gi ải Đầu tiên dễ thấy  n x Ta có         2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 4 4 ... . .... 4           n n n n n n x x x x x x x x x     11 22 1 2 1 2 1 2 1 2 44 21 lim lim 21 21 . .... . .... . .... . ....         nn nn nn xx x x x x x x x x x x x x Lại có 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 ... 2 ........ ... ... ... ... ...                n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ........ ... 2 ... 1 1 1 1 5 21 lim ........ 5 lim ... 2 ... 2                                n nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 58 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Câu 59. Cho hàm số   2 1 ln 1       y f x x . Biết rằng :       2 3 ... 2018 ln ln ln ln        f f f a b c d trong đó , , a c d là các số nguyên tố và    a b c d . Tính     P a b c d A. 1986 B. 1698 C. 1689 D. 1989 L ời gi ải Ta có     2 2 1 ln ln 1 ln 1 2 ln           x y x x x x Khi đó:                     2 ln 1 ln 3 2 ln 2 3 ln 2 ln 4 2 ln 3 4 ln 3 ln 5 2 ln 4 .......... 2017 ln 2016 ln 2018 2 ln 2017 2018 ln 2017 ln 2019 2 ln 2018 2 3 4 ... 2017 2018 ln 2 ln 2018 ln 2019 ln 3 ln 4 ln 673 ln 1019                              f f f f f f f f f f Câu 60. Cho dãy số   n u thỏa mãn 1 1 10 10 log 2 log 2 log 2 log     u u u u và 1 2   nn uu với mọi 1  n . Giá trị nhỏ nhất để 100 5  n u bằng A. 247 B. 248 C. 229 D. 290 L ời gi ải Vì 1 2   nn uu nên dễ thấy dãy số   n u là cấp số nhân có công bội 2  q . Ta có 99 10 1 1 . 2 .  u u q u . Xét 1 1 10 10 log 2 log 2 log 2 log     u u u u     99 1 1 1 1 log 2 log 2 . 2 log 2 log 2 . 0       u u u u 1 1 1 1 log 18log 2 2 log 2 log 18log 2 2 log 0         u u u u 11 log 18log 2 2 log 18log 2 0        uu Đặt   1 2 log 18log 2 0     u t t . Phương trình trên trở thành   22 1 2 0 2 0 2              t t t t t tL Với 1 1 1 17 5 1 2 log 18log 2 1 2 log 18log 2 1 2            t u u u Trong trường hợp này ta có: 1 100 18 99 2 17 5 .2 5 2 5 99log 5 18 2         nn n un Mà *  n nên giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này là 248  n . TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 59 Chọn ý B. Câu 61. Cho dãy số   n u thỏa mãn 2 6 8 4 ln ln ln 1    u u u và 1 .e 1     nn u u n . Tìm 1 u A. e B. 2 e C. 3  e D. 4  e L ời gi ải Từ giả thiết suy ra dãy số   n u là cấp số nhân với công bội e và 01    n un . Ta có 5 7 3 6 1 8 1 4 1 .e ; .e ; .e    u u u u u u . Do đó ta có:                 2 2 5 7 3 6 8 4 1 1 1 22 1 1 1 1 1 4 11 ln ln ln 1 ln .e ln .e ln .e 1 ln 5 ln 7 ln 3 1 ln 8 ln 16 0 ln 4 e                         u u u u u u u u u u u uu Chọn ý D. Câu 62. Cho dãy số   n u thỏa mãn 18 18 11 44 e 5 e e e    uu uu và 1 3   nn uu với mọi 1  n . Giá trị lớn nhất của n để 3 log ln 2018  n u bằng? A. 1419 B. 1418 C. 1420 D. 1417 L ời gi ải Ta có 1 3   nn uu với mọi 1  n nên   n u là cấp số cộng có công sai 3  d   18 18 18 18 1 1 1 1 4 4 4 4 e 5 e e e 5 e e e e 1        u u u u u u u u Đặt   18 1 4 e e 0    u u tt Phương trình   1 trở thành   5 5 0 5 0 0 0             t t t t t t t t Với 0  t ta có 18 1 4 18 1 1 1 1 e e 4 51 4 17         u u u u u u u Vậy     1 1 17 1 3 3 14         n u u n d n n Khi đó ta được ln 2018 ln 2018 ln 2018 3 3 14 log ln 2018 3 3 14 3 1419,98 3           nn u u n n Vậy giá trị lớn nhất của n là 1419 . Chọn ý A. Câu 63. Cho dãy số   n a thỏa mãn 1 1  a và 1 3 51 32     nn aa n , với mọi 1  n . Tìm số nguyên dương 1  n nhỏ nhất để n a là một số nguyên. A. 123  n B. 41  n C. 39  n D. 49  n L ời gi ải Từ giả thiết ta có 1 3 51 32     nn aa n 1 35 5 32      nn aa n n 15 35 log 32       nn n aa n Từ đó suy ra CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 60 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton   1 5 2 5 5 1 5 5 5 5 5 5 5 3 2 3 1 3 2 log log log 3 1 3 4 3 1 ... 8 11 3 1 3 2 log log ... log log 5 8 3 4 3 1 8 11 3 1 3 2 3 2 1 log . ... . 1 log log 3 2 5 8 3 4 3 1 5                                  n n n n n n a a a n n n nn a nn n n n n nn Do đó   5 log 3 2  n an . Vì 1  n nên   55 log 3 2 log 5 1     n an , đồng thời dễ thấy   n a là dãy tăng. Lại có   5 52 log 3 2 3      n a n a n n . Lần lượt thử các giá trị 2;3; 4;...  n a ta có 3  n a là giá trị nguyên, lớn hơn 1, nhỏ nhất, cho giá trị tương ứng 41  n . Vậy 41  n . Chọn ý B. Câu 64. Cho dãy số   n u thỏa mãn 9 9 1 9 11 2 2 * 1 4 2 4 3 3,                 u u u u uu nn e e e e e u u n . Giá trị nhỏ nhất của số n để 1  n u ? A. 725 B. 682 C. 681 D. 754 L ời gi ải Từ giả thiết ta suy ra   n u là CSC có công sai 91 3 24     d u u . Biến đổi giả thiết tương đương             9 9 1 9 11 1 1 1 1 1 11 1 2 2 2 48 24 2 24 2 2 22 24 24 2 24 1 24 4 2 4 3 4 2 4 3 0 2 1 2 1 3 0 1 13 1 13 2 1 ln 2 2 2 1                                     u u u u uu u u u u u uu u e e e e e e e e e e e e e e e e u e Ta có   1 3 1 2018 681 682         n u u n n n Chọn ý B. Câu 65. Cho dãy số   n u có số hạng đầu tiên 1 1  u thỏa mãn đẳng thức sau :     2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 log 5 log 7 log 5 log 7    uu và 1 7   nn uu với mọi 1  n . Giá trị nhỏ nhất của n để 1111111  n u bằng? A. 11 B. 8 C. 9 D. 10 L ời gi ải Vì 1 7   nn uu nên dễ thấy dãy số   n u là cấp số nhân có công bội 7  q . Biến đổi giả thiết tương đương TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 61           2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 22 22 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 21 1 1 2 2 1 2 21 log 5 log 7 log 5 log 7 log 5 log log 7 log log 5 log 7 2 log 5.log 2 log 2 log 7.log 0 log 0 1 1 2 log 5 2 log 2 log 7 0 35 log 35 0                              uu uu u u u u uL u u u Ta có 1 1 .7   n n uu . 1111111  n u 1 1 .7 1111111 35   n 1 7 35.1111111   n   7 log 35.1111111 1    n . Mà *  n nên giá trị nhỏ nhất trong trương hợp này là 10  n . Chọn ý D. Câu 66. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn   0; 2018 sao cho ba số 11 5 5 ; ;25 25 2     x x x x a theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng? A. 2008 B. 2006 C. 2018 D. 2007 L ời gi ải Ba số 11 55   xx ; 2 a ; 25 25   xx , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi     11 5 5 25 25        x x x x a 11 2 5 5 2 25 25        x x x x 12  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 11 55 0 25 25           xx xx x . Như vậy nếu xét   0;2018  a thì ta nhận   12;2018  a . Có 2007 số a thoả đề. Chọn ý D. Câu 67. Cho dãy số   n u thỏa mãn 12 2 1 3 2 3 3 1 8 22 1 log 4 4 4       uu uu và 1 2   nn uu với mọi 1  n . Giá trị nhỏ nhất của n để 12 ...     nn S u u u 100 5  bằng A. 230 B. 231 C. 233 D. 234 L ời gi ải Theo giả thiết ta có 1 2   nn uu nên   n u là một cấp số nhân với công bội 2  q . Suy ra 1 1 .2   n n uu với mọi *  n , 2  n . Ta lại có : 12 2 1 3 2 3 3 1 8 22 1 log 4 4 4       uu uu  1 1 2 3 3 3 88 2.4 1 4 log 4 4      u u uu   1 Mà 1 1 8 2.4 4  u u 8  và 2 3 3 3 8 1 log 4 4     uu 2 33 8 1 log 1 3 2          u 8  CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 62 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Nên phương trình   1 tương đương 1 1 1 2 3 3 3 8 2.4 8 4 1 8 8 2 1 log 4 4               u u u uu Khi đó 12 ...     nn S u u u 1 12 12    n u 21 2   n Do đó, 100 5  n S  21 2  n 100 5   5 21 log 100 2   n  233  n Chọn ý D. Câu 68. Cho dãy số   n u thỏa mãn     3 5 4 log 2 63 2 log 8 8     n u u n , *  n . Đặt 12 ...     nn S u u u . Tìm số nguyên dương lớn nhất n thỏa mãn 2 2 . 148 . 75  nn nn uS uS . A. 18 B. 17 C. 16 D. 19 L ời gi ải Ta có *  n ,     3 5 4 log 2 63 2 log 8 8     n u u n     3 5 2 log 2 63 log 8 8      n u u n . Đặt   35 log 2 63  tu 5 2 63 3 8 8 2           t t n u un 5 5 2 63 3 32 2         t t u u 1 3 2.2    tt 2  t 84    n un 2 12 ... 4       nn S u u u n Do đó     2 2 2 2 8 4 .16 . 148 . 16 4 .4 75    nn nn nn uS u S n n 19  n . Chọn ý A. Câu 69. Cho hàm số     22 11 1 1 e    x x fx . Biết         1 . 2 . 3 ... 2017 e  m n f f f f   ,  mn với m n là phân số tối giản. Tính 2  P m n . A. 2018  B. 2018 C. 1 D. 1  L ời gi ải Biến đổi giả thiết ta có     22 11 1 1 e    x x fx   2 1 1 2 1 11 e         x x x x 2 1 1 1 1 21 11 e                   x x x x 2 11 1 1 e       xx 11 1 1 e    xx 11 1 e.e    xx . Do đó ta được:   1 1 2 1 e.e   f ;   11 23 2 e.e   f ;   11 34 3 e.e   f ;<;   11 2016 2017 2016 e.e   f ;   11 2017 2018 2017 e.e   f .         1 . 2 . 3 ... 2017  f f f f 1 1 2017 2018 e .e   2017 2017 2018 e   2 2018 1 2018 e   2 2018 1    m , 2018  n . Vậy 1  P . Chọn ý D. TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 63 Câu 70. Cho cấp số cộng   n u có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn điều kiện   1 2 2018 1 2 1009 ... 4 ...        u u u u u u . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 3 2 3 5 3 14 log log log    P u u u . A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 L ời gi ải Ta có   2018 1 2018 2 2017 2  S u d ,   1009 1 1009 2 1008 2  S u d . Theo giả thiết, ta có   1 2 2018 1 2 1009 ... 4 ...        u u u u u u   1 2018 2 2017 2 ud   1 1009 4. 2 1008 2 ud   1 1 1 2 2017 2 2 1008 2       d u d u d u Dãy số   n u : 2 d , 3 2 d , 5 2 d , ... Ta có 2 2 2 3 2 3 5 3 14 log log log    P u u u 222 333 3 9 27 log log log 2 2 2    d d d 2 2 2 3 3 3 1 log 2 log 3 log 2 2 2                         d d d . Đặt 3 log 2  d x thì       2 2 2 2 1 2 3 3 12 14 2           P x x x x x Dấu bằng xảy ra khi 2 2 9     xd . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2. Câu 71. Cho cấp số cộng   n a , cấp số nhân   n b thỏa mãn 21 0  aa và 21 1  bb ; và hàm số   3 3  f x x x sao cho     21 2  f a f a và     2 2 2 1 log 2 log  f b f b . Số nguyên dương n nhỏ nhất và lớn hơn 1 sao cho 2018  nn ba là A. 16 B. 15 C. 17 D. 18 L ời gi ải Hàm số   3 3  f x x x có bảng biến thiên như sau x  1  1  ' y  0  0  y  2  2  Theo giả thiết         2 1 2 1 2 1 2 1 2 00              f a f a f a f a a a a a Từ đó suy ra 12 12 01 01          aa aa , hơn nữa   2 0 0     f x x . Ta xét các trường hợp CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 64 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton  Nếu 12 01    aa thì         22 2 1 11 2 0 2 1 0 00                  f a f a a a f a f a .  Nếu 12 01    aa thì     2 1 20 0        fa fa điều này là không thể. Do đó chỉ xảy ra trường hợp 12 0; 1  aa . Từ đó suy ra   11    n a n n . Tương tự vì 21 1  bb nên 2 2 2 1 log log 0  bb , suy ra   2 2 2 1 2 1 1 log 1 1 21 log 0 1           n n bb bn ab . Xét hàm số   2 2018  x g x x trên nữa khoảng   0;  , ta có bảng biến thiên x  2 2018 log ln 2    ' gx  0    gx  1 2 2018 log ln 2    g Ta có         2 2 2018 log 0 ln 2 2018 log 11 ln 2 12 20120 13 18042 14 11868 15 2498 0                      g g g g g nên số nguyên dương nhỏ nhất n thỏa   10  gn là 1 15 16     nn . Chọn ý A. Câu 72. Cho cấp số nhân   n b thỏa mãn 21 1  bb và hàm số   3 3  f x x x sao cho         2 2 2 1 log 2 log  f b f b . Giá trị nhỏ nhất của n để 100 5  n b bằng A. 234 B. 229 C. 333 D. 292 L ời gi ải Xét hàm số   3 3  f x x x . Có   2 33   f x x ,   0   fx 1    x . Ta có bảng biến thiên sau TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 65 x  1  1  ' y  0  0  y  2  2  Mặt khác, ta có 12 1  bb . Đặt 2 2 2 1 log log 0     a b b b . Ta có: 33 3 2 3     a a b b   1 .  Nếu 1  b 1    ab 33 33     a a b b   1  vô nghiệm.  Nếu 01  b 3 2 3 0      bb 3 3 2 0     aa     2 1 2 0     aa . Suy ra 1  a 0  b . Khi đó 0 1 1 2 21 22        b b 1 100 25     n n b 2 1 100 log 5    n 234  n . Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 234 . Chọn ý A. Câu 73. Cho dãy số   n u thỏa mãn 21 4 7 6 6 2 1 1 3 1 3 * 1 2 11 log 3 48 34 , 2 3 2                           uu nn u u u e e n u u n nn Giá trị lớn nhất của số n để   2018 3 1 2 1    n n u n A. 3472 B. 3245 C. 3665 D. 3453 L ời gi ải Biến đổi giả thiết ta có 11 3 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 1                         n n n n u u u u n n n n Đặt   1 33 12        n n n n n v u v v v n là CSN với công bội 3 2  q . Khi đó 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 2 2                                          n n n nn v v u u u n Ta có 3 1 2 1 33 9 13 3 , 8 4 4 2     u u u u , thay vào giả thiết ta được   11 6 6 6 6 2 1 1 1 3 log 2 4 3       uu u u e e Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 6 6 3 2 . 3 1           u u u u e e e e Mặt khác ta cũng có       2 2 1 1 1 1 1 33 log 2 4 log 1 3 1        u u u Do đó  VT VP , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 3 1 3 1 1 2 2          n n uu n CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 66 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Để     1 2018 2018 3 1 2 3 1 2 3 1 3 3453 1 1 2 2 1                  n n nn un n n n Chọn ý D. Câu 74. Cho     2 2* 11       f n n n n N . Đặt             1 . 3 ... 2 1 2 . 4 ... 2   n f f f n u f f f n . Tìm số n nguyên dương nhỏ nhất sao cho n u thỏa mãn điều kiện 2 10239 log 1024   nn uu . A. 23  n B. 29  n C. 21  n D. 33  n THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam lần 1 năm học 2017 – 2018 L ời gi ải Từ giả thiết ta có     2 2 11     f n n n     2 2 1 1 1       nn . Khi đó ta có                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 ... 2 1 1 4 1 2 1 3 1 4 1 5 1 ... 4 1 2 1 1                        n nn u nn   2 2 2 1 1   n 2 1 2 2 1   nn Theo đề bài ta có 2 10239 log 1024   nn uu   2 2 2 1 10239 log 2 2 1 0 2 2 1 1024         nn nn . Xét hàm số     2 2 2 1 10239 log 2 2 1 2 2 1 1024        g n n n nn với 1  n . Ta có       2 2 2 4 2 4 2 0 2 2 1 ln 2 2 2 1         nn gn nn nn với 1  n   gn nghịch biến. Mà 1 2047 0 2       g nên   2 2 2 1 10239 log 2 2 1 0 2 2 1 1024        nn nn 1 2047 2   n . Do n nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn nên 23  n Chọn ý A. Câu 75. Cho biểu thức           log 2017 log 2016 log 2015 log ... log 3 log 2 ...       A Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A.   log 2017;log 2018 B.   log 2019;log 2020 C.   log 2018;log 2019 D.   log 2020;log 2021 L ời gi ải Đặt             1 log 2017 log 2016 log 2015 log ... log 3 log 2 ...           n n n A A n A Ta có TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 67       2 32 98 10 9 0 log 2 1 0 1 0 log 3 log 3 log 4 1 ... 0 log 9 log 9 log 10 1 1 log 10 log 10 log 11 2                           A AA AA AA   11 10 1 log 12 log 11 log 13 2 ...        AA         997 996 998 997 999 998 2017 2016 2 log 999 log 997 log 1000 3 3 log 1000 log 998 log 1001 4 3 log 1002 A log 999 log 1003 4 ... 3 log 2020 log 2017 log 2021 4                             AA AA A AA Vậy   2017 log 2020;log 2021  A Câu 76. Cho dãy số   n u xác định bởi     22 ln 2 1 ln 1 , 1        n u n n n n . Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho   2 3  nn uu . Biết   a kí hiệu phần nguyên của số a là số tự nhiên nhỏ nhất không vượt quá a. A. 37 B. 36 C. 38 D. 40 L ời gi ải Ta có     2 2 21 ln 0;ln 2 0 1       nn n uu nn   22 3 2 22 2 2 2 1 2 2 1 ln 37.462 3 3 1 3 1                   n n n nn u u u e n n n n n Chọn ý A. Câu 77. Cho dãy số   n u có tất cả số hạng đều dương thỏa mãn 1 2   nn uu và đồng thời 2 2 2 2 1 2 1 2 4 ... 1 , 1 3           n n n u u u u u n . Số tự nhiên n nhỏ nhất để 100 5  n u là? A. 232 B. 233 C. 234 D. 235 L ời gi ải Ta có 1 11 22      n n n n u u u u , đẳng thức đúng với mọi 1  n nên đúng với 1  n nên 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 2 1 1 1 1 44 1 4 4 1 33 4 4 1 2 1 1 3 3 3                   u u u u u u u u u u Do đó 1 100 1 100 22 2 5 2 3.5 log 3 100log 5 233 3           n n n un . Chọn ý C. CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 68 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Câu 78. Cho dãy số   n u thỏa mãn     22 1 2 1 2 ln 10 ln 2 6     u u u u và đồng thời 21 2 1, 1       n n n u u u n . Giá trị nhỏ nhất của n để 5050  n u A. 100 B. 99 C. 101 D. 102 L ời gi ải Biến đổi giả thiết ta có         22 1 22 1 2 1 2 1 2 2 1 ln 10 ln 2 6 1 3 0 3                u u u u u u u u Mặt khác ta có 2 1 2 1 1 2 1 1              n n n n n n n u u u u u u u . Đặt   11 1        n n n n n n v u u v v v là CSC có công sai 1  d Khi đó   21 32 11 2 1 2 3 1 11 ................... 2                            n n n n n i nn uu uu nn v n u u n u u i u u n Vậy để 5050  n u   1 5050 100 2      nn n Chọn ý C. Câu 79. Cho dãy số   n u thỏa mãn     21 1 * 2 2 391 1 39 log log 2 40 4 4 21 2 , 11                                  n n uu nu n un n nn . Giá trị nhỏ nhất của n để   100 2 100 3 51 5    n n u nn . A. 235 B. 255 C. 233 D. 241 L ời gi ải Ta có             22 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1              n n n n n n n n Biến đổi giả thiết tương đương                             2 2 2 11 22 22 11 22 22 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1                                      n n n n n n n nn nn nu n u n u n n n n nu n u n u nu nn nn Đặt   1 2 11 12        n n n n n v nu v v v n là CSN có công bội 1 2  q Từ đó suy ra 11 1 1 1 31 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2                                   nn nn n v v u u u n n n TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 69 Thay 21 11 40 4    uu vào giả thiết ta được 1 1 1 3 1 39 1 39 1 1 log log 2 1 4 4 4 4 2                       n n u u u u n n n Để   100 2 2 100 3 51 100log 5 233 5        n n u n n nn Chọn ý C. Câu 80. Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 4 16 9 , đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi q thuộc khoảng nào sau đây? A.   3; 4  q B.   1;2  q C.   2;3  q D.   0;1  q L ời gi ải Gọi : 1 2 3 ,, u u u là 3 số hạng đầu tiên của cấp số nhân , với công bội q . Gọi   n v là cấp số cộng tương ứng với công sai là d . Theo giả thiết ta có :       2 1 2 3 1 1 1 11 11 2 2 4 1 11 381 4 4 16 16 1 9 9 3 2 3 7 3 7                                u u u u u q u q uv u q u d u v v d u q u d u v v d Khử d từ (2) và (3) ta được :     2 1 3 7 4 0 4    u q q . Do (1) nên :   1 1 04 4 3          q u q . Theo định nghĩa thì 1  q , do vậy 4 3  q Câu 81. Cho 2 0 sin    n n I xdx với n nguyên dương. Tính 2 lim .  n n I I A. 1  B. 1 C. 2 D.  L ời gi ải Xét 21 22 2 00 sin sin .sin      nn n I xdx x xdx Đặt   1 1 sin .cosxdx sin sin x cos              n n du n x ux dv dx vx   1 2 2 2 0 0 cos .sin cos . 1 sin .cos           nn n I x x x n x xdx       22 22 2 00 0 1 sin .cos 1 sin . 1 sin           nn n I n x xdx n x x dx         2 22 22 00 1 sin 1 sin 1 . 1 .              nn n n n I n xdx n xdx n I n I CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 70 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton     2 2 . 1 .      nn n I n I 2 1 2     n n I n In 2 1 lim lim 1. 2       n n I n In Chọn ý B. Câu 82. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu   1 22 0 1d   n n I x x x . Tính 1 lim    n n n I I . A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 L ời gi ải Cách 1. Tự luận Xét   1 22 0 1d   n n I x x x . Đặt   2 d 1 d        n ux v x x x     1 2 dd 1 21            n ux x v n .           1 1 2 11 11 22 00 0 1 11 1 d 1 d 1 2 1 2 1              n nn n xx I x x x x n n n       1 1 22 1 0 1 1 1 d 22         n n I x x x n       11 11 2 2 2 1 00 1 1 d 1 d 22              nn n I x x x x x n     11 1 21 22         n n n I n I I n 11 21 lim 1 25           nn n nn II n I n I . Cách 2. Trắc nghiệm Ta thấy   2 0 1 1    x với mọi   0;1  x , nên         1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 1 d 1 1 d 1 d              n n n n n I x x x x x x x x x x I , Suy ra 1 1   n n I I , nên 1 lim 1   n n I I . Dựa vào các đáp án, ta chọn A. Chọn ý A. Câu 83. Đặt         2 2 2 1 2 1 1 0 22 1 2 1 21 . 11            n n n n nn xx x I dx xx Tính 1 .  n n I lim I A. 1 B. 1 2 C. 1  D. 3 2 L ời gi ải Ta có bước biến đổi sau     2 22 1 2 2 2 2 0 2 1 2 1 2 1 1 .. 1 1 1 1             nn n x xx I dx x x x x TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 71         2 2 22 11 22 22 00 22 11 2 1 2 1 2 .. 11 11         nn xx x x xdx dx xx xx Đến lúc này ta sẽ đổi biến. Đặt   2 2 2 2 1 2 1 1       x xdx u du x x 3 2 1 1 1 33 22 11 1 3 .1 1 12                n n n n n n n un I udu u du n n n 1 2 11 1 3 .1 12 lim 1 13 .1 22                    n n nn n nn n n n II II n n Chọn ý A. Câu 84. Ta đặt   1     n n n n xx F x dx x . Biết   10  n Fn . Tính   lim 2    n n F . A. 1 B.  C. 1  D.  L ời gi ải Ta có   1 1 11 1 1 1 1                n n n n n n n n n n n x x xx x F x dx dx dx x x x Đặt 1 11 1 1          n n n n dx du u du dx x x x n     1 1 . 1 11          n n n nn uu F x G u du C n nn n   1 21 1 .1 1           n n n n n F x C nx . Mà   1 0 0      n F n C n   1 21 1 21 12          n n n n n F n . Có   2 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 2 2 1 lim 1                                 n n n nn n n n F n n Chọn ý D. CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 72 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Câu 85. Cho tích phân 1 0 e d 1e      nx n x Ix với  n . Đặt         1 2 2 3 3 4 1 1. 2 3 ...            n n n u I I I I I I n I I n . Biết lim  n uL . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A.   1;0  L B.   2; 1    L C.   0;1  L D.   1;2  L L ời gi ải Với  n , biến đổi giả thiết ta có   1 1 1 0 e d 1e       nx n x Ix 1 0 e .e d 1e      nx x x x 11 00 e e d d 1e       nx nx x xx 1 0 ed    nx n xI 1 1 0 ed       nx nn I x I   1 1 1e       n nn II n Do đó         1 2 3 1 e 1 e 1 e ... 1 e               n n un 1 2 3 e e e ... e            n n u Ta thấy n u là tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân lùi vô hạn với 1 1 e   u và 1 e  q , nên 1 e lim 1 1 e     n u 1 e1    L   1;0    L . Chọn ý A. Câu 86. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn tích phân   2 2 2 3 1 0 1 2 3 4 ... 2           n n x x x nx dx A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 L ời gi ải Biến đổi giả thiết ta có:   2 2 2 3 1 0 1 2 3 4 ... d 2           n n x x x nx x   2 2 2 3 4 0 ... 2          n x n x x x x x 2 2 3 4 2 2 2 2 2 ... 2 2          n n 2 1 2 1 2 2 ... 2 1         n n 22 2 1 1 2 2 0         nn nn . Thử với các giá trị   1;2;3; 4  n đều không thỏa mãn. Với  n , 5  n ta chứng minh 2 22  n n   1 . Dễ thấy 5  n thì   1 đúng. Giả sử   1 đúng với  nk với  k , 5  k . Khi đó 2 22  k k . Khi đó:   1 2 2 2 2 2 2 2 2        k k k k   2 2 2 1 2 1 2        k k k . Do đó   1 đúng với 1  nk . Theo nguyên lý quy nạp thì   1 đúng. Vậy không tồn tại số nguyên n . Chọn ý C. TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 73 Câu 87. Cho hàm số   fx có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn điều kiện     2018 2017 2018 ,     f x f x x . Tính tích phân   1 2 0    f x dx ? A.   2 4 1 3    f B.   2 5 1 3    f C.   2 7 1 3    f D.   2 8 1 3    f L ời gi ải Xét biểu thức     2018 2017 2018  f x f x . Lấy đạo hàm 2 vế ta được     2018 ' 2018 2017 2018 '  f x f x Thay x bởi 2018 2017  x , ta được   2 2 2017 2018 1 2018 1 2018 ' ' ' 2018 2018           x x f x f f Thay đến n lần và bằng quy nạp ta chứng minh được   2018 1 1 ' ' ' 1 2018 2018 2018          n n n n xx f x f f Khi           ' ' 1 ' 1 *           n f x f f x f x C Thay       1 1 2018 1 1 0          x f f f Thay         1 * : 1 ' 1 0 ' 1             x f f C f C Vậy           122 0 7 ' 1 1 1 3                f x f x f x dx f Chọn ý C. Câu 88. Cho tan d   n n I x x với  n . Khi đó   0 1 2 3 8 9 10 2 ...        I I I I I I I bằng? A.   9 1 tan    r r x C r B.   1 9 1 tan 1      r r x C r C.   10 1 tan    r r x C r D.   1 10 1 tan 1      r r x C r L ời gi ải Biến đổi tích phân ban đầu ta có 22 tan .tan d    n n I x x x 2 2 1 tan . 1 d cos       n xx x 1 2 tan 1       n n x IC n   2 2 tan . tan d      n n x x x I 1 2 tan 1        n nn x I I C n . Khi đó   0 1 2 3 8 9 10 2 ...        I I I I I I I =         10 8 9 7 3 1 2 0 ...         I I I I I I I I 9 8 2 tan tan tan .... tan 9 8 2       x x x xC 9 1 tan    r r x C r . CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 74 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Câu 89. Cho dãy số xác định bởi 1 2 1 62 4 2. 1         nn U UU , * 1,  n n N . S= lim n U n có giá trị là ? A. 1 B. 1 2 C. 0 D. 1 4 L ời gi ải Đây là một bài toán lượng giác hoá quen thuộc, với ý tưởng gợi mở từ công thức biến đổi hạ bậc 2 cos 2 x 2 cos 1  x Nhận thấy 1 22 21 21 1 62 cos 4 12 2. 1 2.cos 1 cos 2. 12 12 .... 2. 1 cos 2 12                          n nn U UU UU Lại có 1 cos 2 1 12 0      n n U n n n và lim 1 0  n lim 0  n U n Câu 90. Cho dãy số n U xác định bởi   1 22 1 1 2 ,1 1               nn n U n U n U n U n Khi đó 1 2 3 1 1 1 1 lim          n S U U U U thuộc khoảng nào sau đây? A.   3; 1  B.   1; 2  C.   1; 2  D.   1;1  L ời gi ải Đây là một bài toán khá khó. Với những dạng toán nhưng này, hướng biến đổi nằm ở câu hỏi, tức là ta phải tìm cách đưa dãy về dạng 1 k U Để có được điều này, hướng giải quyết cơ bản và ưu tiên là thêm vào 2 vế   fx sao cho khi chia k U xuống mẫu, ta được một dãy có khả năng triệt tiêu Cụ thể, ta thấy   22 2 2 2 1 1 1              kk k k k k k U k U k U kU k k U kU Uk k k k Thêm vào 2 vế   1  k ( có thể nói là chuyển   1  k sang trái , nhưng mình dùng từ theo đúng phương pháp trên vì phương pháp này còn áp dụng vào nhiều dạng toán) , ta được: TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 75     2 1 2 1 1 1 1 1 1               kk k k k k k k U kU k Uk k U k U kU U k U   1 1 1 1 1        k k k U U k U k Áp dụng vào dãy số   1 1 2 2 2 3 1 1 1 1 12 1 1 1 23 .... 1 1 1 n1                     n n n U U U U U U U U n U Cộng vế với vế ta được     1 2 3 n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 U U U U U 1 U n 1 U n 1                 Lại có 3  k Uk - Chứng minh qua quy nạp     1 3 1 1 2 n 2 0           nn U n U n   1 11 n 1 2 2      n Un Mà lim   1 11 0 lim 0 2 2 1        n n U n   1 1 2 2 2 n1          n S U Câu 91. Trong dịp hội trại hè 2017, bạn Anh thả một quả bóng cao su từ độ cao   6m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng ? A.   44 m B.   45 m C.   42 m D.   43 m L ời gi ải Ta có quãng đường bóng bay bằng tổng quảng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống. Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng 3 4 lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là 23 1 3 3 3 3 6. 6. 6. ... 6. ... 4 4 4 4                         n S Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu 1 39 6. 42  u và công bội 3 4  q . Suy ra 1 9 2 18 3 1 4   S . CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 76 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường bóng nảy lên nên là 2 2 3 3 3 6 6. 6. ... 6. ... 4 4 4                         n S Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 1 6  u và công bội 3 4  q . Suy ra 2 6 24 3 1 4   S . Vậy tổng quãng đường bóng bay là 12 18 24 42      S S S . Câu 92. Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là 20   m và 25   m để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất? A. luôn chọn A. B. luôn chọn B. C. giếng 20   m chọn A còn giếng 25   m chọn B. D. giếng 20   m chọn B còn giếng 25   m chọn B. L ời gi ải Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Do đó theo tổng của một cấp số cộng ta có: + Nếu đào giếng 20   m hết số tiền là:   20 20 2.8000 20 1 500 255000 2       S (đồng). + Nếu đào giếng 25   m hết số tiền là:   25 25 2.8000 25 1 500 350000 2       S (đồng). Cơ sở B giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Do đó theo tổng của một cấp số nhân ta có: + Nếu đào giếng 20   m hết số tiền là:   20 20 1 1,07 6000 245973 1 1,07    S (đồng). + Nếu đào giếng 25   m hết số tiền là:   25 25 1 1,07 6000 379494 1 1,07    S (đồng). Ta thấy 20 20   SS , 25 25   SS nên giếng 20   m chọn B còn giếng 25   m chọn A. TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 77 Câu 93. Cho cấp số cộng   n u có các số hạng đều dương, số hạng đầu 1 1  u và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14950 . Tính giá trị của tổng sau? 2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018 1 1 1 ...        S u u u u u u u u u u u u A. 11 1 3 6052     B. 1 1 6052  C. 2018 D. 1 L ời gi ải Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó 100 1 100.99 100 100 4950 14950 3 2        S u d d d . Do đó 2018 1 2017 6052    u u d . Ta có   1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 .. . ..                  kk k k k k k k k k k k k k uu dd u u u u u u u u u u u u . 1 2 2 3 2017 2018 1 2018 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . ... . 1 1 1 1 1 .1 3 6052                                        S d d d u u u u u u d uu Câu 94. Giá trị của tổng 4 44 444 ... 44...4     (tổng đó có 2018 số hạng) bằng? A.   2018 40 10 1 2018 9  . B. 2019 4 10 10 2018 99      . C. 2019 4 10 10 2018 99      . D.   2018 4 10 1 9  . L ời gi ải Cách 1. Đặt 4 44 444 ... 44...4      S (tổng đó có 2018 số hạng). Ta có 9 9 99 999 ... 99...9 4      S         2 3 2018 10 1 10 1 10 1 ... 10 1         9 4  S   2 3 2018 10 10 10 ... 10 2018       2018  A . Với 2 3 2018 10 10 10 ... 10      A là tổng 2018 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu 1 10  u , công bội 10  q nên ta có 2018 1 1 1    q Au q 2018 1 10 10 9    2019 10 10 9   . Do đó 2019 9 10 10 2018 49   S 2019 4 10 10 2018 99        S . Cách 2. Xét dãy số có 1 1 1 1 4 4 44 10 4 10 99                    nn nn u u uu uu CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 78 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Đặt   1 1 40 4 9 9 10             nn nn v v u v n vv là cấp số nhân. Ta có 1 2 2018 1 2 2018 1 2 2018 4 4 2018.4 ....... ... ... 9 9 9 9                n v S u u u v v v v v v Trong đó     2018 2018 1 2018 40. 10 1 1 1 10 40 .. 1 1 10 9 81        n v q Sv q Vậy tổng là   2019 2018 40 4 4 10 10 10 1 .2018 2018 . 81 9 9 9          S Câu 95. Cho dãy số   n u thỏa mãn 1 6   nn uu , 2  n và 2 5 9 2 log log 8 11    uu . Đặt 12 ...     nn S u u u . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn 20172018  n S . A. 2587 B. 2590 C. 2593 D. 2584 L ời gi ải Ta có dãy số   n u là cấp số cộng có công sai 6  d .   2 5 9 2 5 9 2 log log 8 11 log 8 11       u u u u   * với 5 0  u . Mặt khác 5 1 1 4 24     u u d u và 9 1 1 8 48     u u d u . Thay vào   * ta được 15 15 8 32 88 64            uu uu . Suy ra 1 8  u .   2 1 20172018 2 1 20172018 3 5 20172018 0 2            n n S u n d n n . Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn 20172018  n S là 2593  n . Câu 96. Cho hai cấp số cộng   n a : 1 4  a ; 2 7  a ;...; 100 a và   n b : 1 1  b ; 2 6  b ;...; 100 b . Hỏi có bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên? A. 32 B. 20 C. 33 D. 53 L ời gi ải Cấp số cộng   n a : 1 4  a ; 2 7  a ;...; 100 a có số hạng tổng quát:   4 1 3 3 1      n a n n . Cấp số cộng   n b : 1 1  b ; 2 6  b ;...; 100 b có số hạng tổng quát:   1 1 5 5 4      m b m m . Các số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên thỏa mãn hệ   3 5 1 3 1 5 4 1 100 1 100 1 100 1 100                      nm nm nn mm Vì   3 5 1  nm nên 5 n và 13  m với 10  m Ta lại có   100 3 300 5 1 300 61         n n m m . Có 1 3 3 1     m m t , *  t . Vì 1 61 1 3 1 61 0 20          m t t . Vì   * 1;2;3;...;20    tt . Vậy có 20 số hạng có mặt đồng thời ở hai dãy số trên. TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 79 Câu 97. Cho tam giác ABC cân tại A . Biết rằng độ dài cạnh BC , trung tuyến AM và độ dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q . Tìm công bội q của cấp số nhân đó? A. 12 2   q B. 2 2 2 2   q C. 12 2   q D. 2 2 2 2   q L ời gi ải Ta có   2 2 2 2 2 4   AB AC BC AM   1 . Do ba cạnh BC , AM , AB lập thành cấp số nhân nên ta có: 2 .  BC AB AM   2 Thay   2 vào   1 ta được   2 2 2 2 . 4   AB AC BC BC AB 22 4 4 . 0     AB ABBC BC 2 4 4 1 0        AB AB BC BC   12 2 12 2            AB BC AB loai BC 12 2   AB BC 1 2 2 2 2 22     q . Câu 98. Cho hàm số       cos 2017 2 32     x f x x x và dãy số   n u được xác định bởi công thức tổng quát       log 1 log 2 log      n u f f f n Tìm tổng tất cả các giá trị của n thỏa mãn điều kiện 2018 1  n u A. 21 B. 18 C. 3 D. 2018 L ời gi ải Ta có             11 log cos 2017 log 1 log 2             nn n kk u f k k k k k chan k le  Trường hợp 1: 2  np khi đó ta có khai triển             log 3 log 4 log 2 1 log 2 1 log 2 log 3 log 2 log 2 1                n u p p p p Như vậy   log 1  n up 2018 1 9 18       n u p n  Trường hợp 2: 21  np khi đó ta có khai triển             log 3 log 4 log 2 1 log 2 1 log 2 log 3 log 2 2 log 2 3                 n u p p p p Như vậy   log 4 6    n up 2018 1 1 3       n u p n Tổng các giá trị của n thỏa mãn điều kiện 2018 1  n u là 21. CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 80 | Chinh phục olympic toán Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton Câu 99. Biết rằng 2 2018 2 2018 2019 4 44 2 22 lim             nn nn nn nn u u u u ab L c u u u u Trong đó   n u xác định bởi 11 0; 4 3      nn u u u n và a b c , , là các số nguyên dương và 2019  b . Tính    S a b c A. 1  B. 0 C. 2017 D. 2018 L ời gi ải Ta có 2 1 4 1 2 3         n n n u u n u n n Ta xét     2 2018 2 2018 12 , 4 , 4 , .4 , ,2 ,2 , 2     S n n n n S n n n n Có 2 2 3 2 3 2 2. 2 2 3 2             k k u k k k k k k k k Vậy   1 2 2019 2019 2 2019 2 3 4 1 2 3 21 2 3 2 lim 3 3 2 2 1 2 3 2                        kS kS k n k k k L k n k k k Câu 100. Cho ba số dương a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của biểu thức   2 2 83 21    a bc P ac có dạng   ,  x y x y Hỏi  xy bằng bao nhiêu? A. 9 B. 11 C. 13 D. 7 L ời gi ải Ta có     22 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 4 8 2                  a c b a b c a b c a bc b bc c a bc b c     22 2 3 3 10 2 1 21            b c t P t b c t bc Dấu bằng xảy ra khi 1 2 11 3      b c x y Câu 101. Cho các số hạng dương a, b, c là số hạng thứ m, n, p của một cấp số cộng và một cấp số nhân. Tính giá trị của biểu thức 2 log     b c c a a b a b c A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 L ời gi ải Ta có a, b, c là số hạng thứu m, n, p của một cấp số cộng và một cấp số nhân nên             1 11 1 11 1 11 1 1 1                                  n n p a u m d a q a b m n d b u n d a q b c n p d c u p d a q c a p m d         1 1 0 0 2 2 1 1 2 1 log log log 0               m n d n p d p m b c c a a b P a b c a q a q a q TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 81 Câu 102. Cho 2     a b c và cot ,cot ,cot a b c Tạo thành cấp số cộng. Giá trị của cot .cot ac bằng? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 L ời gi ải Ta có    cot cot 1 1 cot cot tan 2 2 2 cot cot cot                       ab a b c a b a b c c a b c    cot cot 1 1 cot cot tan 2 2 2 cot cot cot                       ab a b c a b a b c c a b c cot cot cot cot cot cot       a b c a b c Mặt khác cot cot 2 cot  a c b cot cot cot 3cot cot cot 3        a b c b a c Ta có 2 sin sin 2 sin      a c b A C B 2 sin cos 4sin cos 4sin cos 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos cos cos sin sin 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3sin sin cos cos 3tan tan 1 tan tan 2 2 2 2 2 2 2 2 3                       A C A C B B A C A C A C A C A C A C A C A C A C A C A C A C LỜI KẾT Vậy là ta đã đi đến những trang cuối cùng của tuyển tập này với hơn 100 bài toán đa dạng chắc hẳn đã mang tới cho bạn đọc một cái nhìn khác và mới lạ hơn về chủ đề dãy số này. Các bạn thấy đó với hình thức thi trắc nghiệm như thế này sẽ xuất hiện rất nhiều các dạng toán mới lạ mà nó liên kết nhiều mảng kiến thức với nhau yêu cầu chúng ta cần phải tìm hiểu kỹ, sâu và rộng thì mới có thể giải quyết được chúng. Hy vọng qua ebook này các bạn đã học thêm được nhiều điều và rút ra được kinh nghiệm cho bản thân trong việc giải quyết các dạng toán mà bọn mình đưa ra và nhiều dạng toán có liên quan khác. Sau đây bọn mình sẽ giới thiệu cho các bạn một số tài liệu và sách tham khảo, trang web có thể giúp ích được cho các bạn trong quá trình học tập. 1. Chuyên khảo dãy số - Nguyễn Tài Chung 2. Trắc nghiệm nâng cao chuyên đề dãy số - Đặng Việt Đông 3. Đi tìm công thức tổng quát của dãy số – Trần Duy Sơn 4. Các dạng toán phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Trần Quốc Nghĩa 5. Dãy số và giới hạn của dãy số – Nguyễn Tất Thu 6. Bài tập trắc nghiệm xác định số hạng thứ n của dãy số – Nguyễn Chiến 7. Tài liệu dãy số – cấp số dành cho học sinh khối chuyên – Lê Quang Ánh 8. Website toanmath.com 9. Website lovetoan.wordpress.com Blog Chinh Ph ục Olympic Toán https://lovetoan.wordpress.com/ Email: tuangenk@gmail.com Blog chuyên chia sẻ tài liệu ôn học sinh giỏi môn toán với rất nhiều tài liệu chất và thư viện tài liệu được xây dựng rất đồ sộ Ngoài ấn phẩm các bạn đang đọc thì các bạn có thể tìm hiểu thêm một số ấn phẩm khác được đăng miễn phí trên blog sau - Tham khảo thêm - Bên cạnh blog của chúng tôi các bạn có thể theo dõi trang fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học – Đây là một trang chúng tôi đăng free các tài liệu liên quan tới toán VDC, VD, Ôn Olympic, HSG… Cảm ơn mọi người Tài liệu được chia sẻ miễn phí