Các dạng toán thường gặp - Khoảng cách

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1 TOÁN 11 1H3-5 Contents A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1 DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ..................................................... 1 DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG ................................................................................... 3 Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên.............................................................................. 3 Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng ........................................................................................ 6 DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .......................................................................................... 11 B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 18 DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ................................................... 18 DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG ................................................................................. 22 Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên............................................................................ 22 Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng ...................................................................................... 34 DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .......................................................................................... 54 A. CÂU HỎI DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy là 2 a và tam giác SAC đều. Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. A. 2a . B. 2 a . C. 3 a . D. a . Câu 2. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD có 3 , 4 AC a BD a   . Gọi , M N lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết AC vuông góc BD . Tính MN . A. 5 2 a MN  . B. 7 2 a MN  . C. 7 2 a MN  . D. 5 2 a MN  . Câu 3. (Ngô Quyền - Hải Phòng lần 2 - 2018-2019) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ,   SA ABC  , góc giữa hai mặt phẳng   ABC và   SBC là 60  . Độ dài cạnh SA bằng A. 3 2 a . B. 2 a . C. 3 a . D. 3 a . Câu 4. (ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30  . Hình chiếu H của A trên mặt phẳng   A B C    là trung điểm của B C   . Tính theo a khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ . ABC A B C    . KHOẢNG CÁCH CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2 A. 2 a . B. 3 a . C. 3 2 a . D. 2 2 a . Câu 5. Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' ' ABCD A B C D có 2 AD a  , CD a  , ' 2 AA a  . Đường chéo ' AC có độ dài bằng A. 5 a . B. 7 a . C. 6 a . D. 3 a . Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D     có 2 AD a  , CD a  , 2 AA a   . Đường chéo AC  có độ dài bằng: A. 5 a . B. 7 a . C. 6 a . D. 3 a . Câu 7. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD đều cạnh bằng 2 , tam giác ABC vuông tại B , 3 BC  . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD bằng 11 2 . Khi đó độ dài cạnh CD là A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 3 . Câu 8. Cho hình bình hành ABCD . Qua , , , A B C D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng , , , Ax By Cz Dt cùng phía so với   ABCD song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng   ABCD . Một mặt phẳng    lần lượt cắt các nửa đường thẳng , , , Ax By Cz Dt tại , , , A B C D     thỏa mãn 2, 3, 4 AA BB CC       . Hãy tính . DD  A. 3. B. 7 . C. 2 . D. 5. Câu 9. (Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD đều cạnh bằng 2, tam giác ABC vuông tại B , 3 BC  . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD bằng 11 2 . Khi đó độ dài cạnh CD là A. 2 . B. 2. C. 1. D. 3 . Câu 10. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' ' ABC A B C có độ dài cạnh đáy bằng 4 3 và cạnh bên bằng 12 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của ' AA và BC , gọi P và Q là hai điểm chạy trên đáy   ' ' ' A B C sao cho 3 PQ  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T MP NQ   bằng A. 8 3 . B. 3 37 . C. 3 61 . D. 6 29 . Câu 11. (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho hình chóp . S ABCD có   SA ABCD  , 2 SA a  , ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Gọi O là tâm của ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC . A. 2 4 a . B. 3 3 a . C. 4 3 a . D. 3 2 a . Câu 12. Một hình lập phương được tạo thành khi xếp miếng bìa carton như hình vẽ bên. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3 Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB sau khi xếp, biết rằng độ dài đoạn thẳng AB bằng 2a . A. 5 2 a . B. 5 4 a . C. 5 3 a . D. 5 a . DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên Câu 13. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh lần 1 năm 18-19) Cho hình chóp . S ABC có   SA ABC  , 2 SA AB a   , tam giác ABC vuông tại B (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBC bằng A. 3 a . B. a . C. 2a . D. 2 a . Câu 14. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB a  , 3 AC a  , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 2 SA a  . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   SBC bằng A. 57 19 a . B. 2 57 19 a . C. 2 3 19 a . D. 2 38 19 a . Câu 15. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , 2 2 SA AC a   và SA vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBC là A. 2 6 3 a . B. 4 3 3 a . C. 6 3 a . D. 3 3 a . Câu 16. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết 3 , 4 , 2 SB a AB a BC a    . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ) SAC bằng A. . B. 3 14 14 a . C. 4 5 a . D. 12 29 29 a . 12 61 61 aCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4 Câu 17. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB a  , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 2 SA a  . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBC bằng A. 2 5 5 a . B. 5 3 a . C. 2 2 3 a . D. 5 5 a . Câu 18. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3 a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a  . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBC bằng A. 5 3 a . B. 3 2 a . C. 6 6 a . D. 3 3 a . Câu 19. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại , C BC a  , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a  . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBC bằng A. 2a . B. 2 2 a . C. 2 a . D. 3 2 a . Câu 20. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB a  , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a  . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   SBC bằng A. 2 a . B. a . C. 6 3 a . D. 2 2 a . Câu 21. (HKII-CHUYÊN NGUYỄN HUỆ-HN-2018-2019) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng   BDA  . A. 3 3 d  . B. 6 4 d  . C. 2 2 d  . D. 3 d  . Câu 22. (Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Cho hình lăng trụ đứng ' ' ' ABCA BC có đáy là tam giác ABC vuông tại A có 2a BC  , 3 AB a  , (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ' ' ( ) BCC B là A. 5 2 a . B. 7 3 a . C. 3 2 a . D. 21 7 a . Câu 23. (Thi thử Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa – 07-05 - 2019) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Khoảng cách từ tâm O của đáy tới   mp SCD bằng CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5 A. 2 a . B. 2 a . C. 6 a . D. 3 a . Câu 24. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O , SA vuông góc với mặt đáy. Hỏi mệnh đề nào sau đây là sai? A.         2 d B, SCD d O, SCD .  B.         d A, SBD d B, SAC .  C.         d C, SAB d C, SAD .  D.     d S, ABCD SA.  Câu 25. (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp . S ABC có tam giác ABC là tam giác vuông tại A , 3 AC a  ,  30 ABC   . Góc giữa SC và mặt phẳng ABC bằng 60  . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến   SBC bằng bao nhiêu? A. 6 35 a . B. 3 35 a . C. 2 3 35 a . D. 3 5 a Câu 26. (SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình chóp . S MNPQ có đáy là hình vuông cạnh 3 2 MN a  , SM vuông góc với mặt phẳng đáy, 3 SM a  , với 0 a    . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng   SNP bằng A. 3 a . B. 2 6 a . C. 2 3 a . D. 6 a . Câu 27. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp . S ABCD có đường cao 2 SA a  , đáy ABCD là hình thang vuông ở A và D , 2 , AB a AD CD a    . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   SBC bằng A. 2 . 3 a B. 2 . 2 a C. 2 . 3 a D. 2. a Câu 28. (Đề thi HSG 12-Sở GD&ĐT Nam Định-2019) Cho hình chóp . S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng   ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , 2 AC a  . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và K là hình chiếu của điểm A trên cạnh SC . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng   ABC và   AGK . Tính cos  , biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   KBC bằng 2 a . A. 1 cos 2   . B. 2 cos 2   . C. 3 cos 2   . D. 3 cos 3   . Câu 29. (Thi thử SGD Bình Phước - 2019) Cho hình chóp . S ABC có 3 SA a  và   SA ABC  . Biết 2 AB BC a   ,  120 ABC  . Khoảng cách từ A đến   SBC bằng A. 3 2 a . B. 2 a . C. a . D. 2a . Câu 30. (Chuyên Quốc Học Huế lần 2 - 2018-2019) Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D cạnh a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ' ) A BD theo a . A. 3 3 a . B. 3 a . C. 2 3 a . D. 3 6 a . Câu 31. (KSCL Sở Hà Nam - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' ' ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng   ' A BC bằng CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6 A. 12 7 a . B. 21 7 a . C. 6 4 a . D. 3 4 a . Câu 32. (Sở giáo dục Cần Thơ - 2019) Cho hình lăng trụ đứng .    ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A,    AA AC a và 3  AB a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ' ) A BC bằng A. 21 7 a . B. 3 7 a . C. 21 3 a . D. 7 3 a . Câu 33. (Thi Thử Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-Lần 2-2019) Cho tứ diện OABC có , , OA OB OC đôi một vuông góc. Biết , 2 , 3 OA a OB a OC a    . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng   ABC . A. 3 2 a . B. 2 3 19 a . C. 17 19 a . D. 19 a . Câu 34. (KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm ; O mặt phẳng   SAC vuông góc với mặt phẳng   SBD . Biết khoảng cách từ O đến các mặt phẳng       , , SAB SBC SCD lần lượt là 1;2; 5 . Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng   SAD . A. 19 20 d  . B. 20 19 d  . C. 2 d  . D. 2 2 d  . Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng Câu 35. (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O ,   SA ABCD  . Gọi I là trung điểm của SC . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng   ABCD bằng độ dài đoạn thẳng nào? A. IB . B. IC . C. IA . D. IO . Câu 36. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi M là trung điểm của SD . Khoảng cách từ M đến mặt phẳng   SAC bằng A. 2 2 a . B. 2 4 a . C. 2 a . D. 4 a . Câu 37. (THPT NÔNG CỐNG - THANH HÓA LẦN 1_2018-2019) Cho tứ diện đều . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 2a , gọi M là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho 2 DM MA  . Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng   BCD . A. 2 6 9 a . B. 6 a . C. 4 6 9 a . D. 2 6 3 a . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7 Câu 38. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng   BCD bằng: A. 3 4 a . B. 3 3 a . C. 6 3 a . D. 6 2 a . Câu 39. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Trong không gian cho tam giác ABC có  o 90 , ABC AB a   . Dựng AA’, CC’ ở cùng một phía và vuông góc với mặt phẳng   ABC . Tính khoảng cách từ trung điểm của A’C’ đến   ' BCC . A. 2 a . B. a . C. 3 a . D. 2a . Câu 40. (Thi thử Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Cho hình chóp . S ABCD có SA vuông góc với mặt đáy và đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết 4 AB a  , 3 AD a  , 5 SB a  . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng   SBD . A. 12 41 41 a . B. 41 12 a . C. 12 61 61 a . D. 61 12 a . Câu 41. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh 2 2 . AB AD a   Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy   ABCD Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   SBD . A. 3 4 a . B. 3 2 a . C. 2 a . D. a . Câu 42. (Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng 3 a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SCD bằng. A. 3 2 a . B. a . C. 3 a . D. 2a . Câu 43. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4a. Gọi H là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho 3 0 HA HB           . Hai mặt phẳng   SAB và   SHC đều vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng   SHC . A. 5 6 a . B. 12 5 a . C. 6 5 a . D. 5 12 a . Câu 44. (LÊ HỒNG PHONG HKI 2018-2019) Cho hình chóp . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi F là trung điểm của cạnh SA . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng   FCD ? A. 1 2 a . B. 1 5 a . C. 2 11 a . D. 2 9 a . Câu 45. (TRƯỜNG CHUYÊN QUANG TRUNG- BÌNH PHƯỚC 2018-2019) Cho hình chóp . S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc  30 BAC   , SA a  và BA BC a   . Gọi D là điểm đối xứng với B qua AC . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ) SCD bằng A. 21 7 a . B. 2 21 7 a . C. 21 14 a . D. 2 2 a . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8 Câu 46. (Thi thử lần 1 trường THPT Hậu Lộc 2 năm 2018-2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 2 AD a  , SA vuông góc với đáy và 3 SA a  . Gọi H là hình chiếu của A lên SB . Khoảng cách từ H đến mặt phẳng   SCD bằng A. 6 3 a . B. 3 6 8 a . C. 6 2 a . D. 3 6 16 a . Câu 47. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp . S ABCD đáy là hình thoi tâm O cạnh a ,  60 ABC   ,   SA ABCD  , 3 2 a SA  . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng   SBC bằng A. 3 8 a . B. 5 8 a . C. 3 4 a . D. 5 4 a . Câu 48. (Trường THPT Chuyên Lam Sơn_2018-2019) Cho hình lăng trụ . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại A, , 2 AB a AC a   . Hình chiếu vuông góc của A  trên mặt phẳng   ABC là điểm I thuộc cạnh BC . Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng   A BC  . A. 2 3 a . B. 3 2 a . C. 2 5 5 a . D. 1 3 a . Câu 49. (THPT Cẩm Bình 2018-2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh 2 2 AB AD a   . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy   ABCD . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBD . A. 2 a . B. 3 2 a . C. 3 4 a . D. a . Câu 50. (101 - THPT 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBD bằng A. 21 14 a . B. 21 7 a . C. 2 2 a . D. 21 28 a . Câu 51. (102 - THPT 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) SBD bằng A. 21 28 a . B. 21 14 a . C. 2 2 a . D. 21 7 a . Câu 52. (103 - THPT 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ D đến mặt phẳng   SAC bằng CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9 A. 21 14 a . B. 21 28 a . C. 2 2 a . D. 21 7 a . Câu 53. (104 - THPT 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng   SAC bằng A. 2 2 a . B. 21 28 a . C. 21 7 a . D. 21 14 a . Câu 54. (Tham khảo THPTQG 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a ,  60   BAD ,  SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng   SCD bằng A. 21 7 a . B. 15 7 a . C. 21 3 a . D. 15 3 a . Câu 55. (Đề minh họa lần 1 2017) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Tam giác SAD cân tại S và mặt bên   SAD vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp . S ABCD bằng 3 4 3 a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng   SCD A. 2 3 h a  B. 4 3 h a  C. 8 3 h a  D. 3 4 h a  Câu 56. (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - Lần 1 - Năm học 2018_2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, mặt bên   SCD tạo với mặt đáy một góc bằng 0 60 , M là trung điểm BC . Biết thể tích khối chóp . S ABCD bằng . 3 3 3 a Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng   SCD bằng A. 6 3 a . B. 3 a . C. 4 3 a . D. 2 3 a . Câu 57. (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Góc  o 60 BAC  , hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng   ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC , góc tạo bởi hai mặt phẳng   SAC và   ABCD là o 60 . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng   SCD bằng A. 3 2 7 a . B. 3 7 a . C. 9 2 7 a . D. 2 7 a . A B D C SCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 Câu 58. (THPT THUẬN THÀNH 3 - BẮC NINH) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B biết 3 BC a  , BA a  . Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AC và biết thể tích khối chóp . S ABC bằng 3 6 6 a . Tính khoảng cách d từ C đến mặt phẳng   SAB . A. 30 5 a d  . B. 2 66 11 a d  . C. 30 10 a d  . D. 66 11 a d  . Câu 59. (Thi HK2 THPT Chuyên Bắc Giang 2018-2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy la hình vuông cạnh bằng 2 a . Tam giác SAD cân tại S và mặt phẳng   SAD vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp . S ABCD bằng 3 4 3 a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng   SCD . A. 3 4  h a . B. 2 3  h a . C. 8 3  h a . D. 4 3  h a . Câu 60. (Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hình chóp . S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng   ABCD . Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a , 2 SA a  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng   SCD . A. 4 5 5 a . B. 4 5 25 a . C. 2 5 5 a . D. 8 5 25 a . Câu 61. (Kim Liên - Hà Nội lần 2 năm 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB . Biết , 2 , AD DC CB a AB a     cạnh SA vuông góc với đáy và mặt phẳng   SBD tạo với đáy góc 0 45 . Gọi I là trung điểm cạnh AB . Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng  . SBD A. 4 a d  . B. 2 a d  . C. 2 4 a d  . D. 2 2 a d  . Câu 62. (SGD Điện Biên - 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tâm O . Biết 2 SA a  và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng   SBC bằng A. 5 5 a . B. 2 5 5 a . C. 4 5 5 a . D. 3 5 5 a . Câu 63. (SP Đồng Nai - 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a  , 3 AD a  . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 2 SA a  . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng   SBD . A. 2 57 19 a . B. 2 5 a . C. 5 2 a . D. 57 19 a . Câu 64. (Thi thử Nguyễn Huệ- Ninh Bình- Lần 3- 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SA . Biết 3, AD a AB a   . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng   MBD bằng A. 2 15 . 10 a B. 39 . 13 a C. 2 39 . 13 a D. 15 . 10 a CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11 Câu 65. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có 2 3 AB  và 2 AA   . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A B   , A C   và BC (tham khảo hình vẽ dưới). Khoảng cách từ A đến   MNP bằng A. 17 65 . B. 6 13 65 . C. 13 65 . D. 12 5 . Câu 66. (Kim Liên - Hà Nội - Lần 1 - 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại C và D ,  30 ABC  . Biết AC a  , 2 a CD  , 3 2 a SA  và cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng   SCD bằng A. 6 a . B. 6 2 a . C. 6 4 a . D. 3 2 a . DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Câu 67. (KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho hình lập phương . D A B ABC C D     cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB  và CD  . A. 2 . 2 a B. . a C. 2. a D. 2 . a Câu 68. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 2 3 a . B. 2 2 a . C. 3 2 a . D. 3 3 a . P N M C A B' A' C' BCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12 Câu 69. (SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình chóp . S MNPQ có đáy là hình vuông, 3 MN a  , với 0 a    , biết SM vuông góc với đáy, 6 SM a  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng NP và SQ bằng A. 6a . B. 3a . C. 2 3 a . D. 3 2 a . Câu 70. (SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật . EFGH E F G H     có 3 , 4 , 12 , EF a EH a EE a     với 0    a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng  EF và  GH bằng A. 12a . B. 3a . C. 2a . D. 4a . Câu 71. (HKI- BÙI THỊ XUÂN-TP HCM 2018-2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng   ABCD và SA a  . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và CD . A. 2 d a  . B. 3 d a  . C. 2 d a  . D. d a  . Câu 72. (Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB  và A C   bằng A. 2 a . B. a . C. 3 a . D. 2 2 a . Câu 73. (Thi thử THPT lần 2-Yên Dũng 2-Bắc Giang) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a ,   SA ABCD  , 3 SA a  . Gọi M là trung điểm SD . Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và CM . A. 2 3 3 a . B. 3 2 a . C. 3 4 a . D. 3 4 a . Câu 74. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật, các mặt     , SAB SAD vuông góc với đáy. Góc giữa   SCD và đáy bằng 60 , BC a   . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 3 2 a . B. 3 2 13 a . C. 2 a . D. 3 2 5 a . Câu 75. (Tham khảo 2018) Cho lập phương . ABCD A B C D     có cạnh bằng a ( tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A C   bằng A. 3a . B. a . C. 3 2 a . D. 2a . Câu 76. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a  , 2 BC a  , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD , SC bằng CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13 A. 30 6 a . B. 4 21 21 a . C. 2 21 21 a . D. 30 12 a . Câu 77. (Ngô Quyền - Hải Phòng lần 2 - 2018-2019) Cho lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có AB a  , 2 AA a   . Khoảng cách giữa AB  và CC  bằng A. 2 5 5 a . B. a . C. 3 a . D. 3 2 a . Câu 78. (Chuyên ĐH Vinh-lần 2-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB BC a   , 2 AD a  , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a  . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD . A. 6 6 a . B. 6 2 a . C. 6 3 a . D. 3 3 a . Câu 79. (Thi thử hội 8 trường chuyên lần 3 - 23 - 5 - 2019) Cho khối lăng trụ . ABC A B C    có đáy là tam giác ABC cân tại A có 2 AB AC a   ; 2 3 BC a  . Tam giác A BC  vuông cân tại A  và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy   ABC . Khoảng cách giữa hai AA  và BC bằng A. 3 a . B. 2 2 a . C. 5 2 a . D. 3 2 a . Câu 80. (HKI-Chuyên Vinh 18-19) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh 2 AD a  ,   SA ABCD  và SA a  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng A. 3 3 a . B. 6 4 a . C. 2 5 5 a . D. 6 a . Câu 81. (TRIỆU QUANG PHỤC HƯNG YÊN-2018-2019) Cho tứ diện OABC có , , OA OB OC đôi một vuông góc với nhau và , 2 . OA a OB OC a    Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng: A. 2 2 a . B. 2 5 5 a . C. a . D. 6 3 a . Câu 82. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông với đường chéo 2 AC a  , SA vuông góc với mặt phẳng   ABCD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là A. 3 a . B. 2 a . C. 2 a . D. 3 a . Câu 83. (Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C    có  , 2 , 120 AC a BC a ACB    . Gọi M là trung điểm của BB  . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC  theo a . A. 3 7 a . B. 3 a . C. 7 7 a . D. 3 7 a . Câu 84. (HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Cho tứ diện SABC có các cạnh , , SA SB SC đôi một vuông góc với nhau và , 2 , SA a SB a   3 SC a  . Gọi I là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AI theo . a A. a . B. 2 a . C. 3 2 2 a . D. 2 2 a . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14 Câu 85. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a  , cạnh bên SA vuông góc với đáy và 2 SA a  . Gọi E là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa đường thẳng SE và đường thẳng BC bằng bao nhiêu? A. 3 3 a . B. 3 2 a . C. 2 a . D. 2 3 a . Câu 86. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật 2  AD a . Cạnh bên 2  SA a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD . A. 2a . B. 2 a . C. a . D. 2 5 a . Câu 87. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB a  , 2 AD a  . Mặt phẳng   SAB và   SAC cùng vuông góc với   ABCD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SD . Tính khoảng cách giữa AH và SC biết AH a  . A. 19 19 a . B. 2 19 19 a . C. 73 73 a . D. 2 73 73 a . Câu 88. (NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và 11, SA SB SC     0 30 , SAB   0 60 SBC  và  0 45 . SCA  Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SD . A. 4 11. d  B. 2 22. d  C. 22 . 2 d  D. 22. d  Câu 89. (NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và 11 SA SB SC    ,  0 30 SAB  ,  0 60 SBC  và  0 45 SCA  . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SD ? A. 4 11 d  . B. 2 22 d  . C. 22 2 d  . D. 22 d  . Câu 90. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp đáy là hình vuông cạnh , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là điểm trung điểm của đoạn . Gọi là trung điểm của đoạn . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo . A. B. C. . D. . Câu 91. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , I là trung điểm của AB , hình chiếu S lên mặt đáy là trung điểm H của CI , góc giữa SA và đáy là 45  . Khoảng cách giữa SA và CI bằng: A. 2 a . B. 3 2 a . C. 77 22 a . D. 7 4 a . Câu 92. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho hình chóp . S ABC có    0 0 0 , 60 , 90 , 120       SA SB SC a ASB BSC CSA . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB . 17 , 2 a a SD  S ABCD H AB K AD HK SD a 3 5 a 3 45 a 3 15 a 3 25 aCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15 A. 3 4  a d . B. 3 3  a d . C. 22 11  a d . D. 22 22  a d . Câu 93. (SGD Nam Định) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC . A. 7 3 a h  . B. 21 7 a h  . C. 3 h a  . D. 7 21 a h  . Câu 94. (Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    có tất cả các cạnh đều bằng a . M là trung điểm của AA  . Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MB  và BC . A. 2 a . B. 3 2 a . C. 6 3 a . D. a . Câu 95. (Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm của AB , hình chiếu của S lên mặt phẳng   ABC là trung điểm của CI , góc giữa SA và mặt đáy bằng 45 o . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CG bằng A. 21 14 a . B. 14 8 a . C. 77 22 a . D. 21 7 a . Câu 96. (THPT Minh Khai - lần 1) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD . A. 2 . 2 a B. 3 . 2 a C. 2. a D. 3. a Câu 97. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,   SA ABC  , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng   ABC bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB . A. 2 2 a . B. 2a . C. 7 7 a . D. 15 5 a . Câu 98. (Chuyên Đại học Vinh - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Gọi E là trung điểm của AB . Cho biết 2 AB a  , 13 BC a  , 4 CC a   . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB  và CE bằng A. 4 7 a . B. 12 7 a . C. 6 7 a . D. 3 7 a . Câu 99. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ' BC và '. CD A. 2. a B. 2 . a C. 3 . 3 a D. 2 . 3 a Câu 100. (TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng   ABCD . Góc giữa SC và mặt đáy bằng 0 45 . Gọi E là trung điểm BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC . A. 5 5 a . B. 5 19 a . C. 38 5 a . D. 38 19 a . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16 Câu 101. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là ình chữ nhật, , 2 , AB a BC a   SA vuông góc với mặt phẳng đáy và . SA a  Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng A. 6 2 a . B. 2 3 a . C. 2 a . D. 3 a . Câu 102. (THPT THUẬN THÀNH 3 - BẮC NINH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng 3 a ,  120 BAD   và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa   SBC và   ABCD bằng 60  . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC . A. 3 39 26 a . B. 14 6 a . C. 39 26 a . D. 3 39 13 a . Câu 103. (Nho Quan A - Ninh Bình - lần 2 - 2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng   ABCD và 10 5 SC  . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của SA và CD . Tính khoảng cách d giữa BD và MN . A. 3 5 d  . B. 5 d  . C. 5 d  . D. 10 d  . Câu 104. (Đề thi thử Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk lần 2) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của S xuống ( ) ABC trùng với trung điểm H của AB . Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ) SAC và ( ) SBC bằng 0 60 . Khoảng cách giữa AB và SC A. 3 6 a . B. 2 4 a . C. 3 4 a . D. 3 2 a . Câu 105. (Thi Thử Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-Lần 2-2019) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1, gọi M là trung điểm AD và N trên cạnh BC sao cho 2 BN NC  . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và CD . A. 2 2 9 . B. 6 3 . C. 6 9 . D. 2 9 . Câu 106. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho hình chóp . D S ABC có đáy là hình thoi cạnh là 2a ,  60 ABC  . Tam giác D SA là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho 1 3 AM AB  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng A. 30 . 10 a B. 30 . 5 a C. 3 . 2 a D. 3 . 4 a Câu 107. (HKI - SGD BẠC LIÊU_2017-2018) Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình vuông, SAB  đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp . S ABCD có diện tích   2 84 cm  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là A.   3 21 7 cm . B.   2 21 7 cm . C.   21 7 cm D.   6 21 7 cm . Câu 108. (THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. , , M N P lần lượt là trung điểm , , SB BC SD . Tính khoảng cách giữa AP và MN A. 3 15 a . B. 3 5 10 a . C. 4 15 a . D. 5 5 a . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17 Câu 109. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành và   11, 30 , 60 o o SA SB SC SAB SBC      và  45 o SCA  . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SD . A. 4 11 d  . B. 2 22 d  . C. 22 2 d  . D. 22 d  Câu 110. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp . S ABCD có các mặt phẳng   SAB ,   SAD cùng vuông góc với mặt phẳng   ABCD , đáy là hình thang vuông tại các đỉnh A và B , có 2 2 2 AD AB BC a    , SA AC  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng: A. 3 2 a . B. 15 5 a . C. 3 4 a . D. 10 5 a . Câu 111. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho tứ diện . O ABC có , , OA OB OC đôi một vuông góc với nhau,OA a  và 2 OB OC a   . Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. 2 2 a . B. a . C. 2 5 5 a . D. 6 3 a . Câu 112. (THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình lập phương . ABCD A B C D     cạnh a ( tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB  và BC  bằng A. 3 3 a . B. 2 2 a . C. 3 a . D. 2 a . Câu 113. (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB a  , 3 BC a  . Tam giác ASO cân tại S , mặt phẳng   SAD vuông góc với mặt phẳng   ABCD , góc giữa SD và   ABCD bằng 60  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng A. 3 4 a . B. 3 2 a . C. 6 7 a . D. 3 2 a . Câu 114. [THPT THĂNG LONG-HÀ NỘI-LẦN 2-2018-2019] Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a . Hình chiếu của S trên mặt đáy là trung điểm của H của OA. Góc giữa hai mặt phẳng   SCD và   ABCD bằng 45 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC . C' D' B' A' C B D ACÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18 A. 6 a . B. 2 a . C. 3 2 2 a . D. 3 2 4 a . B. LỜI GIẢI DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 1. Chọn A Hình chóp tứ giác đều . S ABCD nên ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2 a nên 2 AC a  . Tam giác SAC đều nên cạnh bên 2 SA AC a   . Câu 2. Chọn A Gọi P là trung điểm AB Ta có // // AC PN PN PM BD PM      và 3 ; 2 2 2 2 AC a BD PN PM a     2 2 5 2 a MN PM PN    Câu 3. Chọn A Gọi I là trung điểm BC , khi đó BC AI  P N M A C B DCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19 Mặt khác   , BC AI BC SA BC SAI BC SI       Suy ra góc giữa hai mặt phẳng   ABC và   SBC là  SIA . Tam giác SIA vuông tại A nên   3 3 tan .tan . 3 2 2 SA a a SIA SA IA SIA AI      . Câu 4. Chọn A. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30  nên  30 AA H    . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ . ABC A B C    bằng  .sin .sin 30 2 a AH AA AA H AA        . Câu 5. Chọn B     2 2 2 2 2 2 ' + ' 2 + 2 7 AC AB AD AA a a a a      . Câu 6. Chọn B Ta có 2 2 5 AC AD DC a    . Nên 2 2 AC AC CC     2 2 5 2 a a   7 a  . Câu 7. Chọn A Dựng hình chữ nhật ABCE , gọi , M N lần lượt là trung điểm , AB CE , MH DN  tại H Ta có     AB DM AB DMN CE DMN MH CE AB MN              MH DN MH CDE MH CE        tại H     11 , ; 2 d AB CD d M CDE MH         Tam giác DMN có 3 DM MN   H  là trung điểm DN , mà 2 2 1 2 HN MN MH    1 DN   Xét tam giác DNC vuông tại N 2 2 2 CD DN CN    . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20 Câu 8. Chọn C Gọi I là giao của AC và BD. I  là giao điểm của A C   và B D   . Khi đó II  là đường trung bình của các hình thang ACC A   và BDD B   . Theo tính chất của hình thang ta có 2 2 4 6 3 II BB DD AA CC DD                . Câu 9. Chọn A Dựng hình chữ nhật ABCE , gọi , M N lần lượt là trung điểm , AB CE , MH DN  tại H Ta có     AB DM AB DMN CE DMN MH CE AB MN            N M E A B C D H x t z y D' I' I B A D C A' B' C'CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21   MH DN MH CDE MH CE        tại H     11 , ; 2 d AB CD d M CDE MH         Tam giác DMN có 3 DM MN   H  là trung điểm DN , mà 2 2 1 2 HN MN MH    1 DN   Xét tam giác DNC vuông tại N 2 2 2 CD DN CN    . Câu 10. Chọn B Chiều cao của tam giác đáy: 3 4 3. 6 2 AN A H     . Gọi H là hình chiếu vuông góc của N lên B C  . Đặt , A P x QH y    . Ta có: 3 6 3 A P PQ QH A H A P QH x y              . Dấu " "  xảy ra khi , P Q nằm trên đoạn A H  . Lại có: 2 2 2 2 6 , 12 MP x NQ y     . Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki : 2 2 2 2 2 2 , , , ( ) ( ) x y a b a b x y a x b y            . đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0 ay bx ax by       . Ta có :     2 2 2 2 2 2 2 2 6 12 6 12 18 3 3 37 T MP NQ x y x y              . Dấu " "  xảy ra khi: 3 1 6 12 2 6.12 0 x y x y x y xy                 . Vậy min 3 37 T  . Câu 11. Chọn B 4 3 12 H B' M C' N A B C P Q A'CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22 Kẻ   , OH SC d O SC OH    . 2 2 2 AC a OC   ; 2 2 6 SC SA AC a    . 2.2 3 3 2 6 OH SA OC SA a a a OHC SAC OH OC SC SC a          Câu 12. Chọn D Sau khi xếp miếng bìa lại ta được hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D cạnh 2a , O là tâm của ' ' ' ' A B C D . Gọi , M N lần lượt là trung điểm các cạnh , ' . AB A B ' 2 MN AA a    , 1 ' ' 2 OM A D a   . Lại có: AB OM AB MN      AB ON     , d O AB ON   2 2 OM MN   5 a  . DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên Câu 13. Lời giải Chọn D CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23 Gọi H là trung điểm cạnh SB .       AH BC BC SAB AH SBC AH SB             . Do đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBC là 2 2 2 2 2 SB a AH a    . Câu 14. Chọn B Từ A kẻ AD BC  mà   SA ABC SA BC      BC SAD       SAD SBC   mà     SAD SBC SD    Từ A kẻ   AE SD AE SBC        ; d A SBC AE   Trong ABC  vuông tại A ta có: 2 2 2 2 1 1 1 4 3 AD AB AC a    Trong SAD  vuông tại A ta có: 2 2 2 2 1 1 1 19 12 AE AS AD a    2 57 19 a AE   Câu 15. Lờigiải Chọn C CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24 Kẻ   AH SB H SB   . Ta có:         BC AB BC SAB BC AH SAB BC SA SA ABC              . Vì   AH SB AH SBC AH BC        . Do đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBC là     , A SBC d AH  . Xét tam giác ABC vuông cân tại B , có 2 2 2 AC AC a AB a     . Xét tam giác SAB vuông tại A, ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 2 2 AH SA AB a a a      2 2 2 6 3 3 a a AH AH     . Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBC là     , 6 3 A SBC a d AH   . Câu 16. Chọn A Từ B kẻ BI AC  nối S với I và kẻ BH SI  dễ thấy BH là khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ) SAC Ta có . B SAC là tam diện vuông tại B nên: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 61 12 61 9 4 16 144 61 a BH BH BS BC BA a a a a          Câu 17. Chọn A H C B A S 2a 4a 3a B C A S I HCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25 Ta có   BC AB BC SAB BC SA        . Kẻ AH SB  . Khi đó AH BC    AH SBC    AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBC . Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 4 4 AH SA AB a a a      2 2 4 2 5 5 5 a a AH AH     . Câu 18. Chọn B Ta có: BC AB BC SA         BC SAB           SAB SBC SAB SBC SB         Trong mặt phẳng   SAB : Kẻ AH SB       ; AH d A SBC  2 2 2 1 1 1 AH SA AB   2 2 1 1 3 a a   2 4 3a  .      3 ; 2 a d A SBC AH   . Câu 19. Chọn B a 2a A C B S HCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26 Vì   BC AC BC SAC BC SA        Khi đó     SBC SAC  theo giao tuyến là SC . Trong  , SAC kẻ AH SC  tại H suy ra   AH SBC  tại H . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng   SBC bằng AH . Ta có AC BC a   , SA a  nên tam giác SAC vuông cân tại A. Suy ra 1 1 2 2 2 AH SC a   . Cách 2: Ta có     . . 3 3 , A SBC S ABC SBC SBC V V d A SBC S S     . Vì BC AC BC SC BC SA        nên tam giác SBC vuông tạiC . Suy ra     2 . . 1 1 3. . 3 3 2 3 2 , 1 2 . 2 A SBC S ABC SBC SBC SA CA V V a d A SBC S S SC BC       . Câu 20. Chọn D S A B C H Kẻ AH SB  trong mặt phẳng   SBC Ta có:   BC AB BC SAB BC SA        BC AH   Vậy   AH BC AH SBC AH SB            1 2 , 2 2 a d A SBC AH SB     . a a a // // A C B S HCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27 Câu 21. Chọn A Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Ta có BD AO BD AA         BD AA O    Suy ra     BDA AA O    . Kẻ AH A O     AH BDA    . Suy ra     , AH d A BDA   . Xét tam giác AA O  vuông tại A có 1 AA   , 1 2 2 2 AO AC   : 2 2 . AA AO AH AA AO     3 3  . Vậy     3 , 3 d A BDA   . Câu 22. Chọn C Vì lăng trụ ' ' ' ABCA BC là lăng trụ đứng nên ' ' ( ) ( ) ABC BCC B  . Do đó kẻ ' ' ( ) AH BC AH BCC B    . Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng ' ' ( ) BCC B là đoạn AH . Ta có 2 2 4a 3a AC a    . 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 3 3a 3a 2 a AH AH AB AC a        . Câu 23. Chọn C Gọi M là trung điểm của CD ; H là hình chiếu vuông góc của O lên (*) SM OH SM   . Ta có   (**) OM CD CD SOM CD OH SM CD          Từ (*), (**) suy ra   OH SCD  khi đó     , d O SCD OH  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28 Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 a a SO SB BO a              ; 3 ; 2 2 a a OM SM   . Ta lại có 2 . 2 2 . . 3 6 2 a a a OH SM SO OM OH a     . Cách khác: Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên   SCD . Vì , , OC OD OS đôi một vuông góc nên ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OC OD OS    (không cần xác định chính xác vị trí của điểm H) Câu 24. Chọn B - Vì O là trung điểm của BD nên         2 d B, SCD d O, SCD .  Do đó câu A đúng. - Kẻ AH vuông góc với SO mà hai mặt phẳng   SAC và   SBD vuông góc với nhau theo giao tuyến SO , suy ra AH vuông góc với mặt phẳng   SBD . Ta có     d A, SBD AH OA   và     d B, SAC OB OA   nên         d A, SBD d B, SAC  Do đó câu B sai. - Ta có     d C, SAB CB  và     d C, SAD CD  nên         d C, SAB d C, SAD .  Do đó câu C đúng. - Vì SA vuông góc với mặt đáy nên     d S, ABCD SA  . Do đó câu D đúng. Câu 25. Chọn D Dựng AM BC  ; AH SM  a 3 30 ° 60 0 S C B A M HCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29 Ta có:   AM BC BC SAM SA BC        AH BC   và AH SM    AH SBC     ; d A SBC AH   Tam giác SAC vuông tại A .tan 60 SA AC    = 3. 3 3 a a  SAC BAC      g c g   3 SA BA a    Tam giác ABC vuông tại A 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 9 3 9 AM AB AC a a a       Tam giác SAM vuông tại A 2 2 2 1 1 1 AH SA AM    2 2 2 2 1 1 4 5 9 9 9 AH a a a     3 5 a AH   Câu 26. Chọn D Gọi H là hình chiếu của M trên SN . Ta có: ( ) NP MN NP SMN NP SM        mà   SH SMN NP SH    . ( ) SH NP SH SNP SH SN        hay khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng   SNP bằng MH . Trong tam giác vuông SMN có 2 2 2 2 . 3 .3 2 6 9 18 MN SM a a MH a MN SM a a      . Câu 27. Chọn A + Lấy E là trung điểm AB  tứ giác ADCE là hình vuông cạnh bằng a 2 AC a   + BCE  vuông cân , 2 CE EB CE EB a BC a      ACB  có:     2 2 2 2 2 2 2 2 4 AC BC a a a AB      ACB   vuông tại C BC AC   (1) H E D C B A SCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30   SA ABCD   BC SA  (2) Từ (1) và (2)   BC SAC   + Dựng AH SC  , có AH BC  (vì     , BC SAC SAC AH   )       ; AH SBC d A SBC AH         2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 2 ; 4 2 4 3 a AH d A SBC AH AS AC a a a         Câu 28. Chọn D Tam giác ABC vuông cân tại B mà 2 AC a  suy ra AB BC a   . Do BC BA  , BC SA  (vì   SA ABC  ) nên   BC SAB  . Gọi H là hình chiếu của điểm A lên SB , thì AH SB  , AH BC  (vì   BC SAB  ) nên   AH SAB  hay     , 2 a AH d A SBC   . Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông SAB với đường cao AH , ta được: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 AH SA AB SA AH AB a       SA a   nên tam giác SAB vuông cân tại A do đó trọng tâm G thuộc AH . Từ   AH SBC AH SC    và AK SC  nên   SC AHK  hay   SC AGK  . Vì   SC AGK  và   SA ABC  nên góc giữa hai mặt phẳng   AGK và   ABC chính là góc giữa hai đường thẳng SC và SA hay  CSA   . Theo trên ta có 2 2 3 SC SA AC a    suy ra 3 cos 3 3 SA a AC a     . Câu 29. Chọn A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31 Gọi S là diện tích tam giác ABC ta có 2 1 . .sin120 3 2 S BA BC a    . Nên thể tích khối chóp . S ABC là 2 3 1 3.3 3 3 3 V Bh a a a    . Gọi AH là đường cao trong tam giác ABC khi đó ta có 2 2 2 3 3 2 S a AH a BC a    . 2 2 2 3 SH SA AH a    . Vì   BC SAH   BC SH  . Nên diện tích tam giác SBC là 2 1 1 . 2 3 2 S BC SH a   . Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   SBC là 3 2 1 3 3 3 3 2 2 3 V a a d S a    . Câu 30. Chọn A Gọi I AC BD   và H là hình chiếu của A lên đường thẳng ' A I . Ta có:  ' BD AI BD AH BD AA      ( ' ) d( ,( ' )) ' AH BD AH A BD A A BD AH AH A I        . Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 ' 3 2 ( ) 2 a AH AH AI AA a a a        . Câu 31. Chọn B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32 Gọi D là trung điểm cạnh BC , E là hình chiếu của A lên ' A D. Ta có:   ' ' BC AD BC ADA BC AE BC AA          .   ' ' AE BC AE A BC AE A D        , suy ra     , ' d A A BC AE  . Trong tam giác ' A AD có: 3 ' , 2 a AA a AD   , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 7 ' 3 3 AE AA AD a a a      3 21 7 7 a a AE    . Câu 32. Chọn A Kẻ ( )   AE BC E BC ; ( 'E )    AH A E H A . Ta có: ( )            BC AE BC A AE BC AH BC AA . Mà ( )      AH A E AH A BC . Do đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ' ) A BC bằng AH . Xét tam giác ABC vuông tại A ta có 2 2 2 2 1 1 1 4 3    AE AB AC a . Xét tam giác  A AE vuông tại A ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 7 21 3 3 7         a AH AH AE A A a a a . Câu 33. Chọn B H E C' B' A' C B ACÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33 Trong tam giác OAB dựng đường cao OH , trong tam giác OCH dựng đường cao (1) OI OI CH   . Mặt khác ta có   (2) BC OH BC OAH BC OI BC OA          . Từ (1) và (2) suy ra       ; OI ABC d O ABC OI    . Xét tam giác OAB vuông tại O có 2 2 4 2 2 2 . 4 2 , 2 5 5 OA OB a a OA a OB a OH OA OB a        . Xét tam giác OCH vuông tại O có 2 2 4 2 2 2 2 . 12 2 3 3, 19 5 19 a OC OI a a OC a OH OI OC OI a        . Vậy     2 3 ; . 19 a d O ABC OI   Câu 34. Chọn B Cách 1: Gọi , , , p q u v lần lượt là các khoảng cách từ O đến các mặt phẳng         , , , . SAB SBC SCD SDA Trong mặt phẳng   SAC dựng đường thẳng qua O vuông góc với đường thẳng SO cắt hai đường thẳng , SA SC lần lượt tại ', ' A C Trong mặt phẳng   SBD dựng đường thẳng qua O vuông góc với đường thẳng SO cắt hai đường thẳng , SB SD lần lượt tại ', ' B D . Do         , , ' ' SAC SBD SAC SBD SO A C SO     nên   ' ' A C SBD  ' ' ' ' A C B D   . Khi đó tứ diện ' ' OSA B có , ', ' OS OA OB đôi một vuông góc nên ta chứng minh được   2 2 2 2 1 1 1 1 1 ' ' p OS OA OB    C O A B H I O D' C' B ' A ' D C B A SCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34 Chứng minh tương tự:   2 2 2 2 1 1 1 1 2 ' ' q OS OB OC    ;   2 2 2 2 1 1 1 1 3 ' ' u OS OC OD      2 2 2 2 1 1 1 1 4 ' ' v OS OD OA    Từ         1 , 2 , 3 , 4 ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 . p u q v    Với   2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 19 20 1; 2; 5 1 2 20 19 5 p q u d v v v             . Cách 2: Dựng mặt phẳng qua O, vuông góc với SO , cắt các đường thẳng , , , SA SB SC SD lần lượt tại , , , A B C D       SO A B C D       . Vì     SAC SBD  A C B D       . Ta có:     2 2 2 1 1 1 1 1 , d O SA B SO OA OB         .   1     2 2 2 1 1 1 1 1 4 , d O SB C SO OB OC         .   2     2 2 2 1 1 1 1 1 5 , d O SC D SO OC OD         .   3     2 2 2 2 1 1 1 1 1 , d O SD A SO OD OA d         .   4         2 1 1 1 1 , 2 , 3 , 4 1 5 4 d     20 19 d   . Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng Câu 35. Chọn D CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35 Từ giả thiết suy ra OI là đường trung bình của SAC  , do đó OI SA  . Ta có     IO SA IO ABCD SA ABCD          . Vậy     , d I ABCD OI  . Câu 36. Chọn B         1 1 1 2 , , 2 2 4 4 a d M SAC d D SAC DO BD     . Câu 37. Chọn C Gọi H là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác BCD, AG là đường cao của tứ diện Xét tam giác đều BCD có 3 2 2 3 2 . 3 2 3 3 a BH a a BG BH      . Xét tam giác vuông ABG có 2 2 2 2 2 3 2 6 (2 ) . 3 3 a AG AB BG a a              Mà 2 2 4 6 ( ;( )) ( ;( )) . 3 3 9 d M BCD d A BCD AG a    Câu 38. Chọn C CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36 Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Ta có   AG BCD  tại G nên     , d A BCD AG  . Xét tam giác ABG vuông tại G có 2 2 2 2 3 6 3 3 a a AG AB BG a              . Câu 39. Chọn A • Gọi M, N, H lần lượt là trung điểm của A’C’, AC, BC.     / / ' ' / / ' MN CC BCC MN BCC            ; ' ; ' 2 a d M BCC d N BCC NH     Câu 40. Chọn A a H N M A C B A ' C 'CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37 Ta có:     2 2 2 2 5 4 3 SA SB AB a a a      . Ta có         , , d C SBD d A SBD h   . Tứ diện ASBD có các cạnh , , AB AD AS đôi một vuông góc với nhau và 4 , 3 , 3 AB a AD a AS a    nên ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 41 12 41 16 9 9 144 41 a h h AB AD AS a a a a          Vậy     12 41 , 41 a d C SBD  . Câu 41. Chọn B Kẻ . SI AB  Do tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy   ABCD . I  là trung điểm của AB và   SI ABCD  . SAB  đều cạnh 2a 2 3 3. 2 a SI a    Kẻ   IK BD K BD   ,   AH BD H BD   1 2 IK AH   Kẻ   , (1). IJ SK J SK   Ta có   IK BD SI ABCD SI BD            (2). BD SIK BD IJ     4a 3a 5a C D A B S H I C A B D S K JCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38 Từ (1) và (2) suy ra   IJ SBD    ,( ) . d I SBD IJ   Ta có: 2 2 2 1 1 1 AH AB AD   2 2 1 5 4 AH a   2 5 a AH   . 5 a IK   2 2 2 1 1 1 IJ SI IK   2 2 1 16 3 IJ a   3 4 a IJ     3 ,( ) . 4 a d I SBD   I là trung điểm AB   ,( ) d A SBD    3 2 ,( ) . 2 a d I SBD   Câu 42. Chọn C Vì chóp SABCD là chóp đều nên ABCD là hình vuông cạnh 2a . Gọi O là tâm hình vuông, ta có   SO ABCD  . Ta có         , 2 , d A SCD d O SCD  . Gọi K trung điểm CD OK CD   . Lại có CD SO  . Suy ra   CD SOK  suy ra     SCD SOK  . Trong   SOK kẻ       , OH SK OH SCD d O SCD OH      . Xét SOK  vuông tạiO , đường caoOH , ta có     2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 , 2 3 3 2 a OH d A SCD OH a OH OK OS a a          . Câu 43. Chọn B A D C B S H ICÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39 Trong mặt phẳng   ABCD dựng BI HC  . Ta có:               ; SAB SHC SH SH ABCD SAB ABCD SHC ABCD            . Khi đó:       , BI HC BI SHC d B SHC BI BI SH          . Xét trong tam giác BHC vuông tại B ta có:     2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 25 12 144 5 3 4 a BI BI BH BC a a a        . Suy ra: Khoảng cách từ B đến mặt phẳng   SHC bằng 12 5 a . Câu 44. Chọn C Gọi O AC BD   , G SO FC   G  là trọng tâm tam giác SAC . Do đó:         , 2 , d S FCD SG OG d O FCD           , 2 , 2 d S FCD d O FCD h    . Lại có: ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của , AC BD và OC OD  . Mà: SA SB SC SD      SO ABCD OA OB OC OD           ABCD  là hình vuông. 2 2 a OC OD    2 2 2 2 a OS SC OC     1 2 3 6 a OG OS    . Khi đó: . O GCD là tứ diện vuông đỉnh O 2 2 2 2 1 1 1 1 h OC OD OG     2 22 a  1 22 h a   . Vậy     2 , 2 11 d S FCD h a    . Câu 45. Chọn A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40 Do D là điểm đối xứng với B qua AC và ABC  cân tại B nên tứ giác ABCD là hình thoi cạnh a . Suy ra BCD  là tam giác đều cạnh a . Gọi M là trung điểm củaCD , suy ra BM CD  và 3 2 a BM  . Qua điểm A , dựng đường thẳng song song với BM và cắt CD tại K . Khi đó AK CD  và 3 2 a AK BM   . Ta có       CD AK CD SAK SCD SAK CD SA              . Trong mặt phẳng ( ) SAK , dựng AH SK  , với H SK  . Suy ra ( ) AH SCD  tại H . Do AB song song với mặt phẳng ( ) SCD nên ( ,( )) ( ,( )) d B SCD d A SCD AH   . Xét SAK  vuông tại A , ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 7 21 3 3 7 AH a AH SA AK a a a        . Câu 46. Chọn D Do ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD nên tứ giác ABCD cũng nội tiếp đường tròn đường kính AD . Gọi I là trung điểm AD thì các tam giác , , IAB IBC ICD    đều CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41 cạnh a và AC CD  nên 2 2 3 AC AD CD a    . Lấy ; K BC M AD   sao cho ; HK SC KM CD               ; ; ; d H SCD d K SCD d M SCD    SAB  vuông tại A có 2 SB a  và 2 2 3 3 3 . 2 2 4 a a SH KC MD SH SB SA SH a SB CB DI         . Vậy         ; 3 3 2 8 8 ; d M SCD MD MD AD DI d A SCD     . Do   AC CD CD SAC CD SA        . Trong   mp SAC kẻ AN SC  tại N thì       ; AN SCD d A SCD AN    . SAC  vuông cân tại A (Do 3 SA AC a   ) nên 6 2 a AN  . Vậy         3 3 6 ; ; . 8 16 a d H SCD d M SCD AN    Câu 47. Chọn A Cách 1: Xét ABC  đều do  60 ABC   và AB BC  . Lấy I là trung điểm BC , kẻ AH SI  tại H . Ta có: AI BC  , mà     , BC SA BC SAI AH SAI BC AH       . Từ và   AH SBC   tại H     , AH d A SBC   . Ta có: ABC  đều cạnh a  3 2 a AI  . Xét SAI  vuông tại A có:     2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 4 16 3 , 9 3 9 4 a AH d A SBC AH SA AI a a a         . Ta có:                 O, 1 1 3 O, A, 2 2 8 A, d SBC OC a d SBC d SBC AC d SBC      . Cách 2: Tương tự cách 1 ta có ABC  đều cạnh 3 2 a a AI   . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42 Diện tích OBC  là: 2 1 3 . 2 8 OBC ABC a S S    . Thể tích của khối chóp . S OBC là: 2 3 . 1 1 3 3 3 . . . . 3 3 2 8 16 S OBC OBC a a a V SA S     . Xét SAI  vuông tại A: 2 2 2 2 3 3 3 2 2 a a SI SA AI a                    . Xét SAI  có   SA SC do SAB SAC      SI là đường cao 2 1 . 3 2 SBC S SI BC a     . Ta có:     3 . 2 3. 3 3 3 16 ; 8 3 S OBC SBC a V a d O SBC S a     . Câu 48. Chọn C Xét tam giác ABC có , 2 5 AB a AC a BC a     . Trong mp   ABC kẻ , AH BC H BC   . Ta có:               ' ' , ABC A BC ABC A BC BC AH A BC d A A BC AH AH BC                Trong tam giác vuông ABC ta có     . 2 5 2 5 , 5 5 AB AC AH a d A A BC a BC      . Câu 49. Chọn B 2a a A A' B B' C C' I HCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43 Gọi I là trung điểm của AB SI AB   . Ta có:             SI AB SAB ABCD gt SI ABCD SAB ABCD AB            . Xét SAB  đều có cạnh bằng 2a 3 SI a   Kẻ AK BD  tại K . Ta xét BAD  có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 2 5 4 4 5 a AK AK AB AD a a a        . Kẻ JI BD  tại 1 5 / / 2 5 a J JI AK JI AK     . Ta có:   BD SI BD SJI    . Kẻ HI SJ  tại   H IH SBD   tại     ; H d I SBD IH   . Xét SJI  có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 5 1 16 3 3 3 4 a HI HI JI SI a a a        . Do I là trung điểm của AB nên:                 ; 3 2 ; 2 ; 2 ; d A SBD AB a d A SBD d I SBD AI d I SBD      . Câu 50. Chọn B Gọi H là trung điểm AB . Suy ra   SH ABCD  . Ta có                 , 1 , 2 , 2 , d H SBD BH d A SBD d H SBD BA d A SBD     . Gọi I là trung điểm OB , suy ra || HI OA (với O là tâm của đáy hình vuông). Suy ra 1 2 2 4 a HI OA   . Lại có   BD HI BD SHI BD SH        . Vẽ   HK SI HK SBD    . Ta có 2 2 2 1 1 1 21 14 a HK HK SH HI     . Suy ra         21 , 2 , 2 7 a d A SBD d H SBD HK    . Câu 51. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44 . Chọn D . Gọi H là trung điểm của ( ). AB SH AB SH ABCD     . Từ H kẻ HM BD  , M là trung điểm của BI và I là tâm của hình vuông. Ta có: (SHM) BD HM BD BD SH            . Từ H kẻ HK SM HK BD    ( Vì (SHM) BD  ). ( ) d(H;(SBD)) HK. HK SBD     . Ta có: 2 . 2 4 4 AI AC a HM    3 2 a SH  . 2 2 2 2 2 3 . . 21 4 2 . 14 2 3 4 2 a a HM HS a HK HM HS a a                              . 21 21 ( ;( )) ( ;( )) 2 ( ;( )) 2 2. . 14 7 a a d C SBD d A SBD d H SBD HK      . Vậy: ( ;( )) d C SBD 21 . 7 a  . Câu 52. Chọn D CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45 * Gọi O AC BD   và G là trọng tâm tam giác ABD , I là trung điểm của AB ta có   SI ABCD  và                 ; 2 ; 2. ; ; d D SAC DG d D SAC d I SAC IG d I SAC     . * Gọi K là trung điểm của AO , H là hình chiếu của I lên SK ta có   ; IK AC IH SAC           ; 2. ; 2. d D SAC d I SAC IH    * Xét tam giác SIK vuông tại I ta có: 3 2 ; 2 2 4 a BO a SI IK    2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 16 28 3 3 2 3 2 7 a IH IH SI IK a a a                21 ; 2. ; 2. 7 a d D SAC d I SAC IH     . Câu 53. Chọn C Gọi O là giao điểm của AC và BD , I là trung điểm của AB . Kẻ / / ,  IK BD K AC ; kẻ ,   IH SK H SK (1). Do      SAB ABCD và tam giác SAB đều nên      SI ABCD SI AC Lại có  IK AC , suy ra      AC SIK AC IH (2) Từ (1) và (2) suy ra    IH SAC suy ra IH là khoảng cách từ I đến đến mặt phẳng   SAC bằng O G I A B D C S O A C S I K HCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46 Ta có 1 2 2 4   a IK BO , tam giác SIK vuông tại I nên 2 2 2 2 1 1 1 28 3 2 7 3      a IH IH SI IK a Khoảng cách từ B đến mặt phẳng   SAC bằng hai lần khoảng cách từ H đến mặt phẳng   SAC nên khoảng cách từ B đến mặt phẳng   SAC là 21 7  a d . Câu 54. Chọn A Cách 1 Diện tích hình thoi 2 3 2  a S . Thể tích hình chóp . S ABCD : 3 3 6  a V . Ta có 2  SD a , 3  AC a , 2  SC a . Nửa chu vi SCD là 3 2 2    SCD a a p .       2 7 2 2 4       SCD a S p p a p a p a     3 . 2 1 3 3. . 3 21 2 6 , 7 7 4     S BCD SCD a V a d B S a SCD Cách 2 Ta có   // //  AB CD AB SCD , suy ra         , ,  d B d A SCD SCD . Trong mặt phẳng   ABCD , kẻ  AK CD tại K . Trong mặt phẳng   SAK , kẻ  AH SK tại H . Suy ra       ,    AH SCD d A SCD AH . Tam giác SAK vuông tại A, AH là đường cao, suy sa: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 7 21 3 3 7        a AH AH AK AS a a a , do 3 2  a AK . Vậy     21 , 7  SCD a d B . Câu 55. Lời giải Chọn B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47 Gọi I là trung điểm của AD . Tam giác SAD cân tại S SI AD   Ta có       SI AD SI ABCD SAD ABCD          SI  là đường cao của hình chóp. Theo giả thiết 3 2 . 1 4 1 . . .2 2 3 3 3 S ABCD ABCD V SI S a SI a SI a      Vì AB song song với   SCD             , , 2 , d B SCD d A SCD d I SCD    Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD . Mặt khác SI DC IH DC ID DC        . Ta có       , IH SD IH SCD d I SCD IH IH DC          Xét tam giác SID vuông tại 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 2 : 4 2 3 a I IH IH SI ID a a                   4 , , 2 , 3 d B SCD d A SCD d I SCD a     . Câu 56. Chọn C +         1 ; ; 2  d M SCD d B SCD (vì M là trung điểm BC ). H M A D C B SCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48 Vì           / / ; ;   AB SCD d B SCD d A SCD . Kẻ  AH SD  AH CD vì    CD SAD (do ;   CD AD CD SA )     AH SCD .     ;   d A SCD AH . +       ABCD SCD CD    CD SAD  góc giữa   SCD và   ABCD bằng góc  SDA ,  0 60  SDA . Gọi cạnh của hình vuông ABCD có độ dài bằng x . Tam giác vuông SAD có: 0 tan 60 3    SA SA x AD . 3 2 1 1 3 . . 3. 3 3 3    ABCD ABCD x V SA S x x . Mà thể tích khối chóp . S ABCD bằng 3 3 3 a 3 3 3 3 3 3      x a x AD a và 3  SA a . + Tam giác vuông SAD có đường cao AH : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 3 . 3 3 2        a AH AH AD SA a a a Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng   SCD bằng 3 3 2 2 4  a a . Câu 57. Chọn A Gọi I AC BD   , H là trọng tâm của tam giác ABC . Do ABCD là hình thoi và  o 60 BAC  nên , ABC ACD   là các tam giác đều cạnh a .         o , 60 SAC ABCD SIH    . Ta có: 3 1 3 2 3 6 a a BI IH BI     ; o .tan 60 2 a SH IH   ; 2 4 2 3 3 3 3 a HD BD BI    . Kẻ     , , HK CD HE SK d H SCD HE     . I D A B C S H K ECÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49 Trong tam giác vuông HKD ta có o 3 .sin30 3 a HK HD   . Do đó     2 2 . , 7 SH HK a d H SCD HE SH HK     . Mặt khác             , 3 3 3 , . 2 2 , 7 2 7 d B SCD BD a a d B SCD HD d H SCD      . Câu 58. Chọn B Ta có:   SH ABC  . Mà 3 . 1 6 1 1 . . . . . 3. 2 3 6 3 2 S ABC ABC a V S SH a a SH SH a      . Vì H là trung điểm của cạnh         ; 2 ; AC d C SAB d H SAB   . Gọi M là trung điểm của cạnh AB HM AB   . Mà   AB SH AB SHM    và 3 2 2 BC a HM   . Kẻ KH SM  tại K . Do     AB SHK AB HK HK SAB      tại K .     2 2 2 2 3 2. . 66 2 ; 11 3 2 4 a a SH HM a d H SAB HK SH HM a a            2 66 ; 11 a d C SAB   . Câu 59. Chọn D Gọi H là trung điểm của AD . Vì SAD cân nên      SH AD SH ABCD . A C B S H M K B H D C A S KCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50 Trong mp   SAD kẻ   1  HK SD .Vì     2          CD AD CD SAD CD HK CD SH . Từ (1) và (2) suy ra     ,( )    HK SCD HK d H SCD . Ta có 2 . 1 4 . 2. 2 2 3 3     S ABCD V SH a a a SH a . Xét tam giác SHD vuông tại H ta có   2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 9 2 2 ,( ) 4 4 3 3 2          a a HK d H SCD a HK SH HD a a . Vì         // , ,(   AB SCD d B SCD d A SCD . Mặt khác H là trung điểm của AD       4 ,( ) ,( ) 2 ,( ) 3     a d B SCD d A SCD d H SCD . Vậy 4 3  a h . Câu 60. Chọn D Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Dựng AK SD  tại K    , CD AD CD SA CD SAD CD AK         AK SCD   Ta có: // SH SK SAB SAD HK BD SB SD       . SBD  cân đỉnh S , gọi J HK SO   HJ JK   . Dựng AJ cắt SC tại I . Dựng   // JM AK JM SCD       ; d H SCD       2 ; 2 d J SCD JM  . Ta có: 2 5 2 3 3 2 2 3 4 3 2 2 ; ; ; ; ; . 5 3 2 5 15 5 a a a a a a AH AK AI SO AJ IJ HJ        Ta có: 4 5 25 IJ JM a JM AI AK        ; d H SCD  8 5 . 25 a  Câu 61. Chọn C M I J K O D A B C S H H I C D A B SCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51 Hai tứ giác ADCI và BCDI là hình thoi AD CI AD BD CI BD           BD SAD SD BD     . Suy ra góc giữa mặt phẳng   SBD và   ABCD là  0 45 SDA  . Do đó SA AD a   . Gọi H là hình chiếu của A lên SD   AH SBD       2 , . 2 a d A SBD AH    Ta có                 , 1 1 2 , , . 2 2 4 , d I SBD IB a d I SBD d A SBD AB d A SBD      Câu 62. Chọn A Ta có:         1 ; ; 2 d O SBC d A SBC  . Kẻ   1 AH SB  . +)   BC AB BC SAB BC SA        .   2 AH BC   . Từ   1 và   2   AH SBC       ; d A SBC AH   . +) Xét tam giác SAB , ta có: 2 2 . 2 5 5 SA AB AH a SA AB    . Vậy khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng   SBC bằng 5 5 a . Câu 63. Chọn A GọiO AC BD   . Suy ra, O là trung điểm của AC nên         , , d C SBD d A SBD  . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52 Kẻ AK BD  , AH SK  . Ta có       SA BD BD SAK SBD SAK AK BD          . Lại do     SBD SAK SK AH SK         , suy ra   AH SBD  nên     , d A SBD AH  . Ta có 2 2 2 2 . . . 3 3 2 3 AB AD AB AD a a a AK BD AB AD a a       . 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 19 2 57 4 3 12 19 a AH AH SA AK a a a        . Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng   SBD là     2 57 , 19 a d C SBD  . Câu 64. Chọn B Diện tích hình chữ nhật ABCD là 2 . 3 ABCD S AD AB a   . Δ SAB đều cạnh AB a  , gọi H là trung điểm AB SH AB   , 3 2 a SH  .           Do , SAB ABCD SAB ABCD AB SH SAB SH AB             SH ABCD   . Thể tích hình chóp . S ABCD là: 3 . 1 . 3 2 S ABCD ABCD a V SH S   . Gọi M là trung điểm SA 3 2 a BM   và thể tích tứ diện MBCD là:         3 Δ . 1 1 1 1 1 , . . , . 3 3 2 2 4 8 MBCD BCD ABCD S ABCD a V d M BCD S d S ABCD S V     . Hình chữ nhật ABCD có 2 2 2 BD AB AD a    . Có   SH ABCD SH AD    , mà AB AD    AD SAB AD SA     .  Δ MAD vuông tại A , 2 2 13 2 a MD MA AD    . CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53  Δ MBD có 2 2 2 MB MD BD    Δ MBD vuông tại M . Diện tích tam giác MBD là 2 Δ 1 39 . 2 8 MBD a S MB MD   . Mà thể tích tứ diện CMBD là:     Δ 1 , . 3 CMBD MBD V d C MBD S      3 2 Δ Δ 3 3 3 39 8 , 13 39 8 CMBD MBCD MBD MBD a V V a d C MBD S S a      . Câu 65. Chọn D - Gọi D là trung điểm của B C   MN A D MN DP          MN A DPA        MNP A DPA    - Gọi E MN A D    EP  là giao tuyến của   MNP và   A DPA  . - Dựng   AH EP AH MNP        ; AH d A MNP   . - Gọi F là trung điểm của AP EF AP   và 2 EF A A    , 3 2 2 AP FP   2 2 5 2 EP EF FP     . EF AP AH EP   2.3 12 5 5 2   . Vậy     12 ; 5 d A MNP  . Câu 66. Chọn B F E D P N M B C A' C' B' A HCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54 Gọi E là giao điểm của AB và CD ; H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SD , BC . Ta có 2 2 3 2 a AD AC CD CK     ,  .cot KB AK ABC  3 .cot 30 2 a CD    . 3 BC BK KC a    . Tam giác EBC có // AD BC và 2 BC AD  nên AD là đường trung bình, suy ra A là trung điểm của cạnh EB . CD AD CD SA        CD SAD   CD AH   . AH CD AH SD        AH SCD       , d A SCD AH   . Tam giác SAD vuông cân tại A nên 2 6 2 4 AD a AH   . Vậy         , . , EB d B SCD d A SCD EA  6 2 2 a AH   . DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Câu 67. Chọn B * Do   // AB CDD C    nên ta có:           ; ; ; D DD C DD C D a d AB C d AB C d A C A            . A B D C A' B' D' C' S A B C D E H K CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55 Câu 68. Chọn B Gọi , E F lần luợt là trung điểm của AB và CD . Do tứ diện ABCD đều cạnh a nên 3 2 a DE CE   .Xét trong tam giác cân ECD tại E có 2 2 2 2 2 2 3 4 4 2 a a a EF ED FD      . Do tam giác , ABC ABD đều nên , ED AB EC AB   suy ra EF AB  mà tam giác ECD cân tại E nên EF CD  . Vậy khoảng cách giữa AB và CD bằng độ dài đoạn EF . Tức bằng 2 2 a . Câu 69. Chọn B Do MN SM  ( giả thiết SM vuông góc với đáy) và MN MQ  (do MNPQ là hình vuông) vậy   MN SMQ  suy ra           , d , d , 3 d NP SQ NP SMQ N SMQ NM a     . Câu 70. Chọn D Ta có:                     , , ,                              EF EFF E GH GHH G d EF GH d EFF E GHH G d E GHH G EFF E GHH G . Vì       EH GHH G     , 4 .     d E GHH G EH a Câu 71. Chọn D F E A B C D N M Q P S 12a 4a 3a H' G' F' E' H G F ECÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56 Vì // CD AB nên   // CD SAB . Do đó           ; ; ; d CD SB d CD SAB d D SAB DA a     . Câu 72. Chọn D Gọi O A C B D       . Ta có , BB B O    A C B O       , B O d BB A C       . 2 2 1 1 2 2 2 2 a B O B D B C C D            . Câu 73. Chọn B *) Trong tam giác SAD  , kẻ đường cao AH AH SD   (1). CD AD CD SA     CD SAD CD AH     (2). CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57 Từ (1), (2)   AH SCD   . Có   / / / / AB CD AB SCD  , mà   CM SCD            , , , d AB CM d AB SCD d A SCD AH     . *) 2 2 2 1 1 1 AH SA AD   2 2 2 1 1 4 3 3 a a a    3 2 a AH   . Câu 74. Chọn A Theo giả thiết các mặt     , SAB SAD vuông góc với đáy nên suy ra   SA ABCD  . Xét 2 mặt phẳng   SCD và   ABCD có:       ( ) ( SCD ABCD CD AD CD gt SD CD CD SA vì D           Suy ra          , , 60 SCD ABCD AD SD SDA     . Mặt khác,               / / / / , , , AB CD SCD AB SCD d AB SC d AB SCD d A SCD      . Trong   SAD , từ A dựng AH SD  tại H thì   AH SCD  nên     , d A SCD AH  . Xét tam giác SAD vuông tại A có: 2 2 2 1 1 1 3 , .tan 60 3 2 a AD a SA AD a AH AH AS AD          . Câu 75. Chọn B Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và A C   bằng khoảng cách giữa mặt phẳng song song   ABCD và   A B C D     thứ tự chứa BD và A C   . Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A C   bằng a . Câu 76. Chọn C S H C A D BCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58 Gọi O là tâm hình chữ nhật và M là trung điểm SA , ta có:   // SC BMD . Do đó   , d SC BD     , d SC BMD      , d S BMD      , d A BMD h   Ta có: , , AM AB AD đôi một vuông góc nên 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 1 4 h AM AB AD a a a       Suy ra: 2 21 21 a h  . Câu 77. Chọn D Gọi I là trung điểm của AB . Ta có: / / CC BB   nên   / / CC ABB A    . Vì   AB ABB A     nên       , , d CC AB d CC ABB A CI        . Do lăng trụ tam giác đều . ABC A B C    nên tam giác ABC đều cạnh a nên 3 2 a CI   Nên   3 , 2 a d CC AB CI      . Câu 78. Chọn C Kẻ   / / , Dx AC Dx AB I   .     / / ; / / AC DI AC mp SDI AC mp SDI   Khi đó       ; , d AC SD d A SDI  Kẻ AH vuông góc với DI tại H , do SA DI  nên       DI mp SAH mp SAH mp SDI SH     O M D C B A SCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59 Trong   mp SAH , kẻ   AP SH P   suy ra     ; d A SDI AP  Ta có, trong   : / / 2 mp ABCD AH CD a   . Trong tam giác: SAH vuông tại A , có AP là đường cao     2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 6 6 ; 2 3 3 2 a a AP d AC SD AP AP SA SH a a a            Câu 79. Chọn D Gọi H là trung điểm của BC và K là hình chiều của H trên A A  . Theo giả thiết ta có tam giác ABC cân tại A nên   1 BC AH  và 2 2 2 2 4 3 AH AB BH a a a      . Mặt khác     A BC ABC   và tam giác A BC  vuông cân tại A  nên   2 A H BC   và 1 3. 2 A H BC a    Từ   1 và   2 suy ra   BC AHA BC HK     nên HK là đoạn vuông góc chung của A A  và BC . Vậy   2 2 2 2 2 . 3 3 , . 2 3 AH A H a a d A A BC HK AH A H a a          Câu 80. Chọn C Trong tam giác SAD kẻ đường cao AH ta có   2 2 . 2 . 2 5 . . 5 2 AD AS a a a AD AS AH SD AH SD a a       Dễ thấy AH chính là đường vuông góc chung của AB và SD Vậy   2 5 , 5 a d AB SD AH   . Câu 81. Chọn D B C A A' C' B' H K D B C A S HCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60  Ta có được   OA OBC  .  Trong mặt phẳng (OBC), dựng điểm E sao cho OMCE là hình bình hành thì OMCE cũng là hình vuông (do OBC là tam giác vuông cân tại O).  Lại có:   CE OE CE AOE CE OA        .  Kẻ OH AE  tại H thì   OH AEC  . Vì   // OM AEC nên       2 2 2 2 . . 2 6 ; ; 3 2 OA OE a a a d AC OM d O ACE OH OA OE a a        . Câu 82. Chọn C Ta có   DA SA DA SAB DA AB        . Mặt khác     // // CD SAB CD SAB CD AB        . Từ đó suy ra khoảng cách giữa SB và CD bằng khoảng cách giữa   SAB và CD và bằng DA. Từ giác ABCD là hình vuông với đường chéo 2 AC a  suy ra 2 DA a  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là 2 a . Câu 83. Chọn D M A O C B E H D C B A SCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61 Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB . Có . ABC A B C    là hình lăng trụ đứng nên       , CH ABB A d C ABB A CH          / / / / CC BB CC ABB A       nên           , , , d CC AM d CC ABB A d C ABB A CH          Xét tam giác ABC có 2 2 2 2 2 . . . co s 1 2 0 7 7 A B C A C B C A C B a A B a        1 1 3 3 . .sin . .2 . 7. 2 2 2 7 ABC S CACB C AB CH a a a CH CH a        . Vậy   3 , 7 d AM CC a   Câu 84. Chọn D Trong   SBC kẻ   / / / / IK SC SC AIK  Khoảng cách           ; ; ; d SC AI d SC AIK d S AIK   . , , SA SB SC đôi một vuông góc với nhau   SC SAB   , mà / / IK SC   IK SAB   . Trong   SAB kẻ SH AK      SH IK IK SAB     SH AIK       ; d S AIK SH   . M B C A' B' C' A H 3a 2a a H K I C B S ACÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 a a SH SH SA SK a a a         . Vậy   ; d SC AI  2 2 a . Câu 85. Chọn D S A B C E I K Gọi I là trung điểm của AC , ta có // EI BC nên               , , , , d BC SE d BC SEI d B SEI d A SEI AK     (hình vẽ). Trong tam giác vuông SAE ta có 2 2 2 2 2. . 2 2 3 2 4 a a AS AE a AK AS AE a a      . Câu 86. Chọn B Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SD . Ta có   AB AD AB SAD AB AH AB SD          . Suy ra AH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AB và SD . Do đó   , d AB SD AH  . SAD  vuông cân tại A có AH là đường cao nên H là trung điểm của SD , suy ra 1 2 2 2 2 2 a AH SD a    . Vậy   , 2 d AB SD a  . H C A D B SCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63 Câu 87. Chọn A Ta có:               SAB ABCD SAC ABCD SA ABCD SAB SAC SA            . *   CD AD CD SAD CD AH CD SA          , mà   AH SD AH SCD    . Trong   SCD kẻ HK SC  tại K AH HK   . HK  là đoạn vuông góc chung của AH và SC . * Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 4 4 3 a SA AH SA AD SA AH AD a         . 2 2 3 3 a SH SA AH    ; 2 2 5 AC AB AD a    ; 2 2 57 3 a SC SA AC    .   SHK SCD g g     HK CD SH SC   . 3 3 19 . . 3 19 57 SH CD a HK a a SC a     Câu 88. Chọn D Do 11 SB SC   và  0 60 SBC  nên SBC  đều, do đó 11. BC  Ta lại có, 11 SA SC   và  0 45 SCA  nên SAC  vuông cân tại , S hay 11 2. AC  Mặt khác, 11 SA SB   và  0 30 SAB  nên 11 3. AB  Từ đó, ta có 2 2 2 AB BC AC   suy ra ABC  vuông tại . C Gọi H là trung điểm của . AB Khi đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp . ABC  Vì SA SB SC   nên ( ). SH ABC  Gọi M là điểm trên CD sao cho , HM AB  suy ra . HM CD  Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ C xuống . AB Khi đó, / / HM CN và . HM CN  Do ABC  vuông tại C nên theo công thức tính diện tích ta có: D B C A S H KCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64 2 2 . 11 6 3 CA CB HM CN CA CB     Ta lại có, 1 11 3 2 2 CH AB   nên 2 2 11 . 2 SH SC CH    Trong tam giác vuông , SHM dựng đường cao HI ( ), I SM  suy ra ( ). HI SCD  Khi đó, 2 2 . ( , ) ( ,( )) ( ,( )) 22. SH HM d AB SD d AB SCD d H SCD HI SH HM       Vậy ( , ) 22. d AB SD  Câu 89. Chọn D Theo giả thiết: 11 SA SB SC    ,  0 30 SAB  ,  0 60 SBC  và  0 45 SCA  nên ta được các góc có số đo như hình vẽ. Trong tam giác SAB : 2 0 2 2 . .cos120 11 3 AB SA SB SA SB     . Tam giác SBC đều nên 11 BC  . Tam giác SAC vuông tại C : 2 2 11 2 AC SA SC    . Từ đó ABC   vuông tại C . Gọi H là trung điểm của AB . Do SA SB SC   nên hình chiếu của S xuống đáy trùng với tâm H của đáy. Do / / AB CD nên           , , , d AB SD d AB SDC d H SDC   . Từ H kẻ HK DC  , mà DC SH  nên   DC SHK  . Từ H kẻ HI SK  , HI DC  (vì   DC SHK  )   HI SDC   .     , HI d H SDC  .   . 11 2.11 11 6 , 3 11 3 AC BC HK d C AB AB     . Trong tam giác vuông  0 , 30 SAH SAH  1 11 2 2 SH SA    . Ta có: 2 2 . 22 HK HS HI HK HS    . Câu 90. Chọn A CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65 Ta có Do , với O là giao điểm hai đường chéo Do tứ diện vuông tại O nên Vậy Câu 91. Chọn C Kẻ đường thẳng Ax song song với IC , kẻ HE Ax  tại E . Vì   // IC SAE nên           ; ; ; d IC SA d IC SAE d H SAE   . Kẻ HK SE  tại K , K SE  . (1) , Ax HE Ax SH     Ax SEA   Ax HK   (2) Từ (1), (2) suy ra   HK SAE  . Vậy     ; d H SAE HK  . 1 1 3 3 2 2 2 4 a a CH IH IC     ; 2 2 2 2 3 7 4 2 4 a a a AH IH IA                    .       ; 45 SA ABC SAH    SAH   vuông cân tại H nên 7 4 a SH AH   . Ta có 2 a HE IA   ( vì tứ giác AIHE là hình chữ nhật) 2 2 2 2 7 . . 77 4 2 22 7 4 2 a a SH HE a HK SH HE a a                 . Câu 92. Chọn C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 17 3 4 4 a a SH SD HD SD AH AD a a                / / ;( ) ;( ) HK SBD d HK SBD d H SBO h    HSBO 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 25 3 3 h SH HB HO a a a a        3 5 a h CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66 Ta có 2 2 2 2 0 ; 2; 2 .a.cos120 3           AB SA SB a BC a a a AC a a a a Suy ra 2 2 2 AC AB BC   , hay ABC vuông tại B . Gọi H là trung điểm của AC thì   HA HB HC , mặt khác   SA SB SC nên SH là trục đường tròn ngoại tiếp ABC , do đó ( )  SH ABC . Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC ,    là mặt phẳng xác định bởi SB và . Khi đó             / / ; ; ;    AC d AC SB d SC d H    . Gọi M là hình chiếu vuông góc của H lên d và K là hình chiếu vuông góc của H lên SM , dễ thấy     ;  d H HK  . Gọi N là chân đường cao hạ từ B xuống AC thì 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 6 2 2 3        a BN BN AB BC a a a Ta có 6 3   a HM BN , 0 .cos60 2   a SH a Trong tam giác vuông SHM ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 3 11 22 2 2 11        a HK HK SH HM a a a . Câu 93. Chọn B Gọi H là trung điểm cạnh AB SH AB   . Kết hợp giả thiết     SAB ABC  suy ra   SH ABC  . Dựng hình bình hành ACBD , kẻ HK BD  ( K BD  ), kẻ HI SK  ( I SK  ). Ta có             // , , , AC SBD d SB AC d AC SBD d A SBD    . d a a M H S B A C N KCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67 Ta có   AH SBD B   và 2. AB HB  suy ra         , 2 , d A SBD d H SBD    1 Ta có BD HK BD SH        BD SHK   BD HI   mà HI SK    HI SBD       , d H SBD HI     2 Tính HI dựa vào tam giác vuông SHK có đường cao HI , với 2 a SH  ; 3 4 a HK  . Theo công thức 2 2 2 2 2 2 1 1 1 16 4 28 3 3 HI HK HS a a a      21 14 HI a     3 Từ       1 , 2 , 3 suy ra   21 , 7 d SB AC a  . Câu 94. Chọn B Do / / BC B C   nên   ; d B M BC       ; d BC MB C       ; d B MB C        2 ; d A MB C    (do 2 BE BB AE AM    ).     ; d A MB C A H     , ta có 3 2 a A I   , 2 a A M   suy ra 2 2 3 . 3 2 2 4 3 4 4 a a a A H a a     Vậy   3 ; 2 2 a d B M BC A H     . Câu 95. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68 Chọn C Gọi giao điểm của CG với SB là M . Suy ra M là trung điểm của SB . Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ M xuống mặt phẳng   ABC . Ta có   / / / / AS IM AS IMC  . Suy ra               , , , , d SA CG d SA IMC d S IMC d B IMC    . Theo bài ra ta có 3 2 a CI  suy ra 3 4 a IH  . Suy ra 2 2 2 2 3 7 4 16 4 a a a AH AI IH      . Do góc      , 45 o SA ABC  suy ra tam giác SHA  vuông cân tại H . Suy ra 7 4 a SH AH   . Suy ra 14 2 4 a SA AH   . Xét tam giác SBC  có: Dễ thấy 14 4 a SB SA   . 2 2 10 4 a SC SI SH IH     . Suy ra 2 2 2 2 2 38 4 8 SC BC SB a CM     . Xét tam giác IMC  có: 14 2 8 SA a IM   , 38 8 a CM  , 3 2 a CI  Suy ra 2 33 32 IMC S a   . Thể tích khối chóp MIBC là: 3 1 1 1 1 7 1 3 21 . . . . . . . . 3 3 2 2 3 8 2 2 2 192 MIBC IBC SH a a a V ME S IC IB a      . Suy ra         3 2 21 3. 3 77 192 , , 22 33 32 MIBC IMC a V d S MIC d B MIC a S a      . a G H M I A B C S ECÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69 Câu 96. Chọn C Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tam giác CND cân tại N MN CD   (1) Tam giác AMB cân tại M MN AB   (2) Từ (1) và (2)  MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD ( , ) = d AB CD MN  Ta có 2 CD MD a   ; 3 ND a  Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông NMD ta có: 2 2 2 2 ( 3) 2 MN ND MD a a a      Vậy ( , ) = 2 d AB CD a Câu 97. Chọn D          , , 60 SA ABC SB ABC SB AB SBA        , do đó tan 60 3 AS AB a    Trong   mp ABC lấy điểm D sao cho tứ giác ACBD là hình bình hành  Ta có   // AC SBD nên           , , , d AC SB d AC SBD d A SBD    Gọi I là trung điểm của BD , H là hình chiếu của A trên SI Tam giác ABC đều và tứ giác ACBD là hình bình hành nên AB AD BD a    hay tam giác ABDđều 3 2 a AI   Ta có AI BD  mà SA BD  nên   SAI BD BD AH    , lại có AH SI  nên   SBD AH  Vậy       2 2 2 2 . 15 , , 5 SA AI a d AC SB d A SBD AH SA AI      Câu 98. Chọn C D H I S C B ACÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70 Gọi F là trung điểm AA  . Ta có   // CEF A B  nên               , , , , d d d d CE A B A B CEF A CEF A CEF       . Kẻ ; AI CE AH FI   thì   AH CEF  hay     , d A CEF AH  . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 49 9 4 36 AH AF AI AF AE AF AC a a a a           . Suy ra       6 , , 7 d d a CE A B A CEF AH     . Vậy khoảng cách giữa AB  và CE là 6 7 a . Câu 99. Chọn C Ta có   '/ / ' '/ / ' BC AD BC ACD  . Do đó               ', ' ', ' , ' , ' d BC CD d BC ACD d B ACD d D ACD h     Vì , , ' DA DC DD đôi một vuông góc nên ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 ' 3 a h h DA DC DD h a        . Vậy   3 ', ' 3 a d BC CD  . GHI CHÚ : Ta chứng minh bài toán sau F E C B A' B' C' A I HCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 71 Cho tứ diện OABC có , , OA OB OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng   ABC , ta có H là trực tâm tam giác ABC và 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC    . Thật vậy, từ giả thiết ta có   OA OB OA OBC OA OC        Khi đó     1 BC OA BC OAH BC AH BC OH          Tương tự   OB OAC  Mà     2 AC OB AC OBH AC BH AC OH          Từ   1 và   2 suy ra H là trực tâm của tam giác . ABC Gọi K là giao điểm của AH và BC , ta suy ra BC OK  (định lý ba đường vuông góc). Xét trong tam giác vuông OBC có: 2 2 2 1 1 1 OK OB OC   Xét trong tam giác vuông OAK ta lại có: 2 2 2 1 1 1 OH OA OK   Từ đó suy ra 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC    (Đpcm). Câu 100. Chọn D Dựng hình bình hành DKCE , khi đó / /( ) DE SCK . 1 ( ; ) ( ;( )) ( ;( )) ( ;( )) 3 d DE SC d DE SCK d D SCK d A SCK    . Kẻ ( ) ( ) ( ) AI CK CK SAI SCK SAI      . Kẻ ( ) ( ;( ) AJ SI AJ SCK d A SCK AJ      . Ta có 2 3 4 ACK a S   , 5 2 a CK DE   , suy ra 3 5 5 a AI  . A O B C H K CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 72 2 2 2 1 1 1 3 38 1 38 ( ;( )) 19 3 19 a a AJ d D SCK AJ AJ SA AI        . Câu 101. Chọn B Từ B kẻ   // // , Bx AC AC SB Bx  Suy ra           , , , , , d AC SB d AC SB Bx d A SB Bx   Từ A kẻ   AK Bx K Bx   và AH SK  Do   AK Bx Bx SAK Bx AH SA Bx          Nên       , , , AH SB Bx d A SB Bx AH    Ta có BKA  đồng dạng với ABC  vì hai tam giác vuông có   KBA BAC  (so le trong Suy ra . .2 2 5 . 5 5 AK AB AB CB a a a AK CB CA CA a      Trong tam giác SAK có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 5 9 2 . 4 4 3 a AH AH AS AK a a a        Vậy   2 , . 3 a d AC SB  . Câu 102. Chọn A * Gọi I là trung điểm của BC , do ABC  là tam giác đều nên          ; ; 60 AI BC SBC ABCD AI SI SIA SI BC           x O C D B A S K HCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 73 Do ABCD là hình thoi nên   AC BD BD SAC      SAC  là mặt phẳng chứa SC và BD        1 1 ; ; ; 2 2 d SC BD d O SC d A SC AH     Xét tam giác SAC vuông tại A ta có 3 3 3 .tan 60 3. . 3 2 2 a SA AI a     ; 3 AC AB a   2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 13 27 3 27 AH AS AC a a a      3 3 3 39 13 13 a a AH      1 3 39 ; 2 26 a d SC BD AH    . Câu 103. Chọn B Gọi P là trung điểm của BC // BD NP    // BD MNP        , , d BD MN d BD MNP       , d D MNP      , d C MNP      1 , 3 d A MNP  . Gọi I AC NP   . Kẻ AH MI  tại H . Ta có   NP SA NP SAC NP AC        NP AH   .   AH MI AH MNP AH NP            , d A MNP AH   . Ta có 2 2 2 SA SC AC       2 2 10 5 10 2   300  . 60 I O A B D C S HCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 74 Suy ra 2 2 2 1 1 1 AH AM AI   2 2 1 1 3 2 4 SC AC               4 16 300 1800   20 900  30 2 5 AH   . Vậy   1 , 5 3 d BD MN AH   . Câu 104. Chọn A Có ( ) ( ) . SAC SBC SC   Từ giả thiết ta có ( ) AB SH AB SHC AB SC AB HC          Hạ AI SC  ta có (AIB) AB SC SC SC BI SC AI          do đó góc gữa ( ) SAC và ( ) SBC là  AIB hoặc  0 180 AIB  . Nhận thấy ABC là tam giác đều nên ABI không thể là tam giác đều. Vì thế  0 120 . AIB  Từ ( ) ( ; ) . (AIB) AB SHC AB HI d AB HC HI SC SC HI              Tam giác ABI cân tại I nên HI cũng là phân giác góc  AIB , suy ra  0 60 . AIH  Xét tam giác AIH vuông tại H có 0 3 . tan 60 6 2 3 AH a a HI    Câu 105. Chọn C CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 75 Gọi H là tâm tam giác ABC khi đó   AH ABC  . Có 2 / / BN NC NH CD   . Gọi I là trung điểm CD , từ M kẻ đường thẳng / / CD cắt AI tại . E Gọi K là trung điểm HI , J là hình chiếu của K lên HE . Khi đó           , , 2 , 2 d MN CD d I EMHN d K EMHN KJ    . Ta có 1 1 3 2 6 12 KH HI BI    ; 2 2 1 1 1 3 1 6 2 2 2 4 12 6 EK AH AI IH         2 2 2 1 1 1 144 1 6 6 6 54 , 3 54 18 9 KJ d MN CD KJ KH KE            . Câu 106. Chọn B Dựng MN song song BC            , , , d SM BC d BC SMN d C SMN             2 , , 2d , 2 FC FH HE SMN d C SMN H SMN HE      3 3 , 3 3 a HC a HF SH a       2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 10 30 30 , . 3a 3a 10 5 HE a d SM BC a HE HF HS a          Câu 107. Chọn D E I M A B C D N H K J 60 o F N M H A D C B S ECÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 76 Gọi H là trung điểm của AB thì   SH ABCD  , Gọi F là trọng tâm tam giác (SAB), O là trung điểm AC và I là đỉnh của hình chữ nhật OHFI thì OI là trục của đường tròn ABCD và FI là trục của đường tròn (SAB) nên tâm của mặt cầu là I và bán kính của mặt cầu là IA. Diện tích của mặt cầu là 2 4 84 R    nên 2 21 R  . Đặt 0 AB x   thì 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 21 6 2 x x R IA IO OA HF OA                         6 x   Kẻ hình bình hành BDAJ thì khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (JAS) và gấp hai lần khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (JAS). Kẻ HK  JA ở K, kẻ HG vuông góc với SK ở G thì HG là khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (JAS). Tam giác AHK vuông cân ở H, AH=3 nên 3 2 HK  . Có 2 2 2 2 1 1 1 2 1 7 3 21 9 27 7 6. 3 2 HG HG HK HS              . Vậy khoảng cách cần tính là 6 21 7 . Câu 108. Gọi Q là trung điểm CD , ta có // // PQ SC MN nên có   / / MN APQ           , , , d MN PQ d MN APQ d N APQ    Vì   ND HC ND SHC ND SC ND PQ ND SH            CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 77     . 0 AQ ND AD DQ DC CN AQ ND                                 Vậy có   ND PQ ND APQ ND AQ        tại E   , MN AP d NE   mà có 2 2 2 2 1 1 1 5 5 a DE DE DA DQ a      và 5 3 5 2 10 a a DN EN    Vậy   3 5 , 10 a d MN AP  . Câu 109. Chọn D Dựa vào định lý cosin ta dễ dàng tính được 11 3, 11, 11 2 AB BC AC    . Khi đó ABC  vuông tại . C Do SA SB SC   , nên hình chiếu của S xuống mặt phẳng   ABC trùng với trung điểm H của AB . Nên   SH ABCD  . 11 .s 2 SH SA inSAB   . Kẻ , HK CD AP CD   , tứ giác APKH là hình chữ nhật, 2 2 2 11 6 1 1 1 3 HK AP AP AD AC           . Trong tam giác vuông SHK , kẻ HI SK  . Do AB CD  nên           , , , d AB SD d AB SCD d H SCD HI    . Ta có, 2 2 2 1 1 1 22 HI HI SH HK     . Vậy   , 22 d AB SD  . Câu 110. Chọn D CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 78 Theo giả thiết   SA ABCD   SA AC  ; 2 SA AC a   . Gọi M là trung điểm của AD . Ta có:   // // BM CD CD SBM                ; ; ; ; d CD SB d CD SBM d C SBM d A SBM     . Theo giả thiết và theo cách dựng ta có ABCM là hình vuông cạnh a . Gọi   K AC BM AK BM BM SAC       . Dựng AH SB  . Khi đó:     ; d A SBM AH  Xét tam giác SAC vuông tại A, đường cao AH có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 10 2 5 a AH AH SA AK a a       . Câu 111. Chọn D Ta có OBC  vuông cân tại O , M là trung điểm của BC OM BC   Dựng hình chữ nhật OMBN , ta có     / / / / OM BN OM ABN BN ABN                  , , , d AB OM d OM ABN d O ABN    Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AN ta có: M A O B C N HCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 79   BN ON BN OAN BN OA        OH BN   mà OH AN    OH ABN       , d O ABN OH   OAN  vuông tại O , đường cao OH 2 2 2 1 1 1 OH OA ON    2 2 1 1 OA BM   2 2 1 4 OA BC   2 2 2 1 4 OA OB OC    2 2 2 2 1 4 3 4 4 2 a a a a     2 2 2 3 a OH   6 3 a OH     6 , 3 a d AB OM OH    Câu 112. Chọn A Cách 1: Gọi O và O  lần lượt là tâm các hình vuông ABCD và A B C D     của hình lập phương . ABCD A B C D     cạnh a . Ta có:   B D A C B D AA C C B D AA                   Mà   A C AA C C A C B D            1 Ta lại có:   AB A B AB A BCD AB A D                Mà   A C A BCD A C AB           2 Từ   1 và   2   A C AB D      Tương tự ta chứng minh được   A C BDC         // AB D BDC     Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB  và BC  bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song   AB D   và   BDC  Giả sử A C OC    ; A C AO K     H K O' O C' D' B' A' C A D BCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 80 Xét OHC C HA     ∽   g g  1 2 HC OC OC A H A C AC        1 1 1 1 2 3 3 HC HC HC A C A C A H HC           Tương tự ta có: 1 3 A K A C    Vậy Hai mặt phẳng   AB D   và   BDC  song song với nhau, vuông góc với đoạn A C  và chia A C  thành 3 phần bằng nhau. Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng   AB D   và   BDC  bằng 3 3 3 A C a   . Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB  và BC  bằng 3 3 a . Cách 2: Ta có // AD BC     // BC AB D                   , , , , d BC AB d BC AB D d C AB D d A AB D                Gọi A C B D O       Ta có:   A O B D B D AA O AA B D                 Kẻ A H AO   và ta có     AA O AB D AO      nên ta có A H AO       , d A AB D A H       AA O   vuông tại A  có A H  là đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông nên ta có: 2 2 2 1 1 1 A H AA A O      2 2 2 2 1 1 1 3 2 2 A H a a a            2 2 3 3 3 a a A H A H       Câu 113. Chọn A O C' D' B' A' C B D A HCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 81 Kẻ SH AD  tại H , suy ra   SH ABCD  , do SA SO HA HO    nên H thuộc trung trực AO . Góc giữa SD và   ABCD là góc  0 60 SDH  . Ta có  0 2 .cos 2 .cos30 3 AO AH HAO AH AH    3 3 AO a AH    2 3 3 a HD   2 SH a   . Lây M là trung điểm SD , kẻ   / / MI SH I AD  , kẻ , IE AC IK ME   Khi đó               3 3 , , , , . 2 2 d AC SB d B MAC d D MAC d I MAC IK     Ta có: 1 2 MI SH a   0 2 2. .tan 30 3 a IE HF AF      2 2 2 1 1 1 3 3 , . 2 2 2 4 a a a IK d SB AC IK IM IE        . Câu 114. Chọn B Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và MD . HN CD   SN CD   ( do HN là hình chiếu của SN lên   ABCD ). Ta có     SCD ABCD CD HN CD SN CD          , suy ra góc giữa   SCD và   ABCD là  0 45 SNH  . Ta có   / / / / AB CD AB SCD  nên           , , , d AB SC d AB SCD d A SCD   . F I M O H A B D S C E K N M H O A C S B D ECÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 82 Mà                 , 3 4 , , 4 3 , d H SCD CH d A SCD d H SCD CA d A SCD     . Ta có         SHN SCD SHN SCD SN         . Kẻ   HE SN HE SCD    . Suy ra     , d H SCD HE  . Ta có 3 3 3 3 .2 4 4 4 2 HN CH a HN AD a AD CA       Do đó 3 2 a SH HN   , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 4 8 9 9 9 HE HS HN a a a      3 3 2 4 2 2 a a HE    . Vậy       4 , , 2 3 d AB SC d H SCD a   .