Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức – Nguyễn Tất Thu

ctvtoan5 4 năm trước 99 lượt xem 5 lượt tải

Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức – Nguyễn Tất Thu". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.

Tài liệu gồm 174 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Tất Thu (giáo viên Toán trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, tỉnh Đồng Nai), hướng dẫn các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số 10 chương 4: bất đẳng thức và bất phương trình và ôn thi chọn học sinh giỏi môn Toán bậc THPT.

A. LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP
1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN.
1 Bất đẳng thức AM – GM.
I. Bất đẳng thức AM – GM.
II. Một số ví dụ áp dụng.
III. Bài tập.
2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.
I. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức.
II. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức.
III. Các ví dụ minh họa.
IV. Bài tập.
3 Một số bất đẳng thức khác.
I. Bất đẳng thức Schur.
1. Bất đẳng thức Schur.
2. Các trường hợp đặc biệt.
3. Bất đẳng thức Schur mở rộng.
4. Các ví dụ.
II. Bất đẳng thức Holder.
1. Bất đẳng thức Holder.
2. Trường hợp đặc biệt.
3. Ví dụ minh họa.
III. Bất đẳng thức Chebyshev.
1. Bất đẳng thức Chebyshev.
2. Ví dụ minh họa.
IV. Bài tập.
4 Phương pháp quy nạp.
I. Lý thuyết.
II. Ví dụ minh họa.
5 Phương pháp phân tích bình phương SOS.
I. Lý thuyết.
1. Một số tiêu chuẩn đánh giá.
2. Một số biểu diễn cơ sở.
II. Các ví dụ.
III. Bài tập.
6 Phương pháp dồn biến.
I. Lý thuyết.
II. Ví dụ minh họa.
III. Bài tập.

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HIỆN ĐẠI.
1 Phương pháp p, q, r.
I. Lý thuyết.
1. Bất đẳng thức Schur.
2. Một số biểu diễn đa thức đối xứng ba biến qua p, q, r.
3. Một số đánh giá giữa p, q, r.
II. Một số ví dụ.
III. Bài tập.
2 Phương pháp sử dụng tiếp tuyến và cát tuyến.
I. Lý thuyết.
1. Hàm lồi – Dấu hiệu hàm lồi.
2. Bất đẳng thức tiếp tuyến – Bất đẳng thức cát tuyến.
II. Các ví dụ minh họa.
III. Bài tập.
3 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ.
1 Ứng dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc ba trong chứng minh bất đẳng thức.
I. Lý thuyết.
1. Mở đầu.
2. Một số kết quả.
II. Ví dụ minh họa.
III. Bài tập.
2 Bài toán tìm hằng số tốt nhất trong bất đẳng thức.
I. Lý thuyết.
II. Ví dụ minh họa.
III. Bài tập.
B. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN.
1 Bất đẳng thức AM-GM.
2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
3 Một số bất đẳng thức khác.
2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
1 Phương pháp quy nạp.
2 Phương pháp phân tích bình phương SOS.
3 Phương pháp dồn biến.
4 Phương pháp p, q, r.
5 Phương pháp tiếp tuyến và cát tuyến.
3 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ.
1 Ứng dụng đều kiện có nghiệm của phương trình bậc ba.
2 Bài toán tìm hằng số tốt nhất.

Möc löc 1 C¡c b§t ¯ng thùc cê iºn 3 1 B§t ¯ng thùc AM - GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I. B§t ¯ng thùc AM - GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II. Mët sè v½ dö ¡p döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 III. B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 B§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 I. B§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz d¤ng a thùc . . . . . . . . . . . . . . . . 19 II. B§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz d¤ng ph¥n thùc . . . . . . . . . . . . . . . 19 III. C¡c v½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 IV. B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Mët sè b§t ¯ng thùc kh¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 I. B§t ¯ng thùc Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1. B§t ¯ng thùc Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2. C¡c tr÷íng hñp °c bi»t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3. B§t ¯ng thùc Schur mð rëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4. C¡c v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 II. B§t ¯ng thùc Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1. B§t ¯ng thùc Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2. Tr÷íng hñp °c bi»t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. V½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 III. B§t ¯ng thùc Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1. B§t ¯ng thùc Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2. V½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 IV. B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 Ph÷ìng ph¡p quy n¤p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 I. Lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 II. V½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5 Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch b¼nh ph÷ìng SOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 I. Lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1. Mët sè ti¶u chu©n ¡nh gi¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2. Mët sè biºu di¹n cì sð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 II. C¡c v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 III. B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6 Ph÷ìng ph¡p dçn bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 I. Lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 II. V½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 III. B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2 C¡c ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ng thùc hi»n ¤i 53 1 Ph÷ìng ph¡p p; q; r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 I. Lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1. B§t ¯ng thùc Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1MÖC LÖC 2. Mët sè biºu di¹n a thùc èi xùng ba bi¸n qua p; q; r . . . . . . 54 3. Mët sè ¡nh gi¡ giúa p; q; r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 II. Mët sè v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 III. B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2 Ph÷ìng ph¡p sû döng ti¸p tuy¸n v c¡t tuy¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 I. Lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1. H m lçi - D§u hi»u h m lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2. B§t ¯ng thùc ti¸p tuy¸n - B§t ¯ng thùc c¡t tuy¸n . . . . . . . 58 II. C¡c v½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 III. B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3 Mët sè chuy¶n · 68 1 Ùng döng i·u ki»n câ nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh bªc ba trong chùng minh b§t ¯ng thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 I. Lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1. Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2. Mët sè k¸t qu£ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 II. V½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 III. B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2 B i to¡n t¼m h¬ng sè tèt nh§t trong b§t ¯ng thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 I. Lþ thuy¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 II. V½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 III. B i tªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1 C¡c b§t ¯ng thùc cê iºn 86 1 B§t ¯ng thùc AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2 B§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3 Mët sè b§t ¯ng thùc kh¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2 Mët sè ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ng thùc 129 1 Ph÷ìng ph¡p quy n¤p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2 Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch b¼nh ph÷ìng SOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3 Ph÷ìng ph¡p dçn bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4 Ph÷ìng ph¡p p; q; r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5 Ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n v c¡t tuy¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3 Mët sè chuy¶n · 156 1 Ùng döng ·u ki»n câ nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh bªc ba . . . . . . . . . . . . . . . 156 2 B i to¡n t¼m h¬ng sè tèt nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 2Ch÷ìng 1 C¡c b§t ¯ng thùc cê iºn x1. B§t ¯ng thùc AM - GM B§t ¯ng thùcAMGM l b§t ¯ng thùc cê iºn ÷ñc sû döng nhi·u trong c¡c b i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc. Ta bi¸t trung b¼nh cëng cõa nsè thüca 1 ;a 2 ; ;a n l sè a 1 +a 2 + +a n n v trung b¼nh nh¥n cõa n sè â l n p a 1 a 2 a n (vîi i·u ki»n l n p a 1 a 2 a n tçn t¤i). B§t ¯ng thùcAMGM cho chóng ta ¡nh gi¡ giúa trung b¼nh cëng cõa c¡c sè thüc khæng ¥m v trung b¼nh nh¥n cõa chóng. Cö thº nh÷ sau: I. B§t ¯ng thùc AM - GM ành l½ 1. Cho n sè thüc khæng ¥m a 1 , a 2 ,, a n . ta câ a 1 +a 2 + +a n n n p a 1 a 2 a n : ¯ng thùc x£y ra khi a 1 =a 2 = =a n . Chùng minh. Câ nhi·u c¡ch · chùng minh b§t ¯ng thùc AMGM, d÷îi ¥y ta s³ chùng minh b§t ¯ng thùc AMGM b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p. Tr÷îc h¸t ta chùng minh b§t ¯ng thùc AMGM cho tr÷íng hñp n = 2. Tùc l , c¦n chùng minh a 1 +a 2 2 p a 1 a 2 B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi a 1 +a 2 2 p a 1 a 2 , ( p a 1 p a 2 ) 2 0: B§t ¯ng thùc cuèi hiºn nhi¶n óng. ¯ng thùc x£y ra khi a 1 =a 2 . Ti¸p theo ta chùng minh cho tr÷íng hñp n = 4. Tùc l c¦n chùng minh a 1 +a 2 +a 3 +a 4 4 4 p a 1 a 2 a 3 a 4 : p döng tr÷íng hñp n = 2 ta câ a 1 +a 2 2 p a 1 a 2 v a 3 +a 4 2 p a 3 a 4 : Do â a 1 +a 2 +a 3 +a 4 4 = a 1 +a 2 2 + a 3 +a 4 2 2 p a 1 a 2 + p a 3 a 4 2 4 p a 1 a 2 a 3 a 4 : 31. BT NG THÙC AM - GM N¶n tr÷íng hñp n = 4 ÷ñc chùng minh. Ti¸p ¸n ta chùng minh tr÷íng hñp n = 3, tùc l chùng minh a 1 +a 2 +a 3 3 3 p a 1 a 2 a 3 °t a 4 = a 1 +a 2 +a 3 3 . p döng cho tr÷íng hñp n = 4 ta câ a 1 +a 2 +a 3 +a 4 4 4 p a 1 a 2 a 3 a 4 ; hay a 1 +a 2 +a 3 + a 1 +a 2 +a 3 3 4 4 r a 1 a 2 a 3 a 1 +a 2 +a 3 3 Suy ra a 1 +a 2 +a 3 3 3 p a 1 a 2 a 3 (pcm): º chùng minh cho tr÷íng hñp têng qu¡t ta chùng minh theo hai b÷îc sau: B÷îc 1: Ta chùng minh b§t ¯ng thùc óng vîi n = 2 m +) Vîi m = 1, ta câ n = 2n¶n b§t ¯ng thùc óng vîi m = 1 +) Gi£ sû b§t ¯ng thùc óng vîi n = 2 m1 , ta chùng minh b§t ¯ng thùc óng vîi n = 2 m . Tùc l a 1 +a 2 + +a 2 m1 + +a n n n p a 1 a 2 a n : (1) °t x = a 1 +a 2 + +a 2 m1 2 m1 ; y = a 2 m1 +1 +a 2 m1 +2 + +a 2 m 2 m1 Theo gi£ thi¸t quy n¤p ta câ x 2 m1 p a 1 a 2 a 2 m1;y 2 m1 p a 2 m1 +1 a n : p döng cho tr÷íng hñp n = 2 ta câ: x +y 2 p xy hay a 1 +a 2 + +a 2 m1 +a 2 m1 +1 + +a n 2 m 2 m p a 1 a 2 a n Hay (1) ÷ñc chùng minh. B÷îc 2: Ta chùng minh n¸u b§t ¯ng thùc óng vîi n 2 th¼ công óng vîi n 1 G£i sû a 1 +a 2 + +a n n n p a 1 a 2 a n Ta chùng minh a 1 +a 2 + +a n1 n 1 n1 p a 1 a 2 a n1 : Thªt vªy: °t a n = a 1 +a 2 + +a n1 n 1 . P döng b§t ¯ng thùc AM-GM cho n sè ta câ a 1 +a 2 + +a n n n p a 1 a 2 a n ; hay a 1 +a 2 + + a 1 +a 2 + +a n1 n 1 n n r a 1 a 2 a n1 a 1 +a 2 + +a n1 n 1 : 41. BT NG THÙC AM - GM Suy ra a 1 +a 2 + +a n1 n 1 n1 p a 1 a 2 a n1 (pcm): Tø hai b÷îc tr¶n ta câ b§t ¯ng thùc AMGM ÷ñc chùng minh. H» qu£ 1. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a 1 ;a 2 ; ;a n . Ta câ 1 a 1 + 1 a 2 + + 1 a n n 2 a 1 +a 2 + +a n : ¯ng thùc x£y ra khi a 1 =a 2 = =a n . II. Mët sè v½ dö ¡p döng V½ dö 1.1. Cho a;b;c> 0 thäa a 2 +b 2 +c 2 = 3. Chùng minh r¬ng a 5 +b 5 +c 5 3: p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ a 5 +a 5 + 1 + 1 + 1 3a 2 hay 2a 5 + 3 3a 2 . T÷ìng tü 2b 5 + 3 3b 2 v 2c 5 + 3 3c 2 . Cëng ba b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ pcm. Nhªn x²t 1. Ta câ b i to¡n têng qu¡t nh÷ sau: Cho a;b;c> 0 thäa m¢n a +b +c = 3 (ho°c abc = 1) v m;n2N;mn. Khi â a m +b m +c m a n +b n +c n (1): B§t ¯ng thùc (1) cán óng khim;n l c¡c sè húu t¿ d÷ìng. V ta câ thº têng qu¡t 3 bi¸n th nh k bi¸n. V½ dö 1.2. Cho a;b;c> 0 thäa a + 4b + 9c = 6:Chùng minh r¬ng a 3 +b 3 +c 3 1 6 : X²t x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ a 3 + 2x 3 =a 3 +x 3 +x 3 3x 2 a; ¯ng thùc x£y ra khi a =x. T÷ìng tü ta công câ: b 3 + 2y 3 3y 2 b; c 3 + 2z 3 3y 2 c: ¯ng thùc x£y ra khi b =y; c =z. Cëng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n theo v¸ ta ÷ñc a 3 +b 3 +c 3 3(x 2 a +y 2 b +z 2 c) 2(x 3 +y 3 +z 3 ): 51. BT NG THÙC AM - GM Ta chån x; y; z sao cho 8 < : x + 4y + 9z =a + 4b + 9c = 6 x 2 1 = y 2 4 = z 2 9 =t 2 ) 8 > > > > > < > > > > > : x = 1 6 y = 1 3 z = 1 2 : Do â a 3 +b 3 +c 3 3t 2 (a + 4b + 9c) 2(x 3 +y 3 +z 3 ) = 1 6 : V½ dö 1.3. Cho a; b; c> 0 thäa ab +bc +ca = 3. Chùng minh r¬ng a 3 +b 3 +c 3 3: p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ a 3 +b 3 + 1 3ab b 3 +c 3 + 1 3bc c 3 +a 3 + 1 3ca: Cëng ba b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ pcm. V½ dö 1.4. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c câ têng b¼nh ph÷ìng b¬ng 3. Chùng minh r¬ng ab c + bc a + ca b 3: Gåi P l v¸ tr¡i cõa b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh, ta câ P 2 = ab c + bc a + ca b 2 = a 2 b 2 c 2 + c 2 b 2 a 2 + c 2 a 2 b 2 + 2(a 2 +b 2 +c 2 ) = 1 2 a 2 b 2 c 2 + c 2 b 2 a 2 + 1 2 c 2 b 2 a 2 + c 2 a 2 b 2 + 1 2 a 2 b 2 c 2 + c 2 a 2 b 2 + 6 b 2 +c 2 +a 2 + 6 = 9: Suy ra P 3. ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 1: V½ dö 1.5. Cho a; b; c> 0 v a +b +c =abc. Chùng minh r¬ng : a b 3 + b c 3 + c a 3 1: Ta câ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: abc a b 3 + b c 3 + c a 3 a +b +c: 61. BT NG THÙC AM - GM Hay a 2 c b 2 + b 2 a c 2 + c 2 b a 2 a +b +c: (1) p döng b§t ¯ng thùc Cæ si cho ba sè ta ÷ñc : a 2 c b 2 + b 2 a c 2 +c 3: 3 r a 2 c b 2 : b 2 a c 2 :c = 3a: T÷ìng tü : b 2 a c 2 + c 2 b a 2 +a 3b ; c 2 b a 2 + a 2 c b 2 +b 3c: Cëng ba b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ ÷ñc b§t ¯ng thùc (1). B i to¡n ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra,a =b =c = 1 p 3 . V½ dö 1.6. Cho a; b; c> 0. Chùng minh r¬ng : a 5 b 2 + b 5 c 2 + c 5 a 2 a 3 +b 3 +c 3 : p döng b§t ¯ng thùc Cæ si : a 5 b 2 +ab 2 2 r a 5 b 2 ab 2 = 2a 3 : T÷ìng tü : b 5 c 2 +bc 2 2b 3 ; c 5 a 2 +ca 2 2c 3 : Cæng 3 b§t ¯ng thùc tr¶n l¤i vîi nhau ta ÷ñc : a 5 b 2 + b 5 c 2 + c 5 a 2 a 3 +b 3 +c 3 + a 3 +b 3 +c 3 ab 2 bc 2 ca 2 : N¶n ta c¦n chùng minh : a 3 +b 3 +c 3 ab 2 bc 2 ca 2 0,a 3 +b 3 +c 3 ab 2 +bc 2 +ca 2 : (1) p döng b§t ¯ng thùc Cæ si : a 3 +b 3 +b 3 3 3 p a 3 b 3 b 3 = 3ab 2 )a 3 + 2b 3 3ab 2 T÷ìng tü : b 3 + 2c 3 3bc 2 ; c 3 + 2a 3 3ca 2 : Cæng 3 b§t ¯ng thùc tr¶n l¤i vîi nhau ta câ (1). Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 1.7. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c. Chùng minh r¬ng a 4 b 2 (c +a) + b 4 c 2 (a +b) + c 4 a 2 (b +c) a +b +c 2 : 71. BT NG THÙC AM - GM p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ a 4 b 2 (c +a) + b 2 + b 2 + c +a 4 2a hay a 4 b 2 (c +a) +b + c +a 4 2a: T÷ìng tü, ta công câ b 4 c 2 (a +b) +c + a +b 4 2b v c 4 a 2 (b +c) +a + b +c 4 2c: Cëng ba b§t ¯ng thùc tr¶n theo v¸ ta câ pcm. V½ dö 1.8 (BT Nesbit cho 3 sè). Cho a; b; c> 0. Chùng minh r¬ng a b +c + b c +a + c a +b 3 2 : B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi a b +c + 1 + b c +a + 1 + c a +b + 1 9 2 Hay (a +b +c) 1 a +b + 1 b +c + 1 c +a 9 2 (1): Ta câ 1 a +b + 1 b +c + 1 c +a 9 a +b +b +c +c +a = 9 2 (a +b +c) N¶n (1) óng. V½ dö 1.9. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa a +b +c = 1. Chùng minh r¬ng 1 a 2 +b 2 +c 2 + 1 ab + 1 bc + 1 ca 30: Ta câ: ab +bc +ca (a +b +c) 2 3 = 1 3 1 ab + 1 bc + 1 ca 9 ab +bc +ca 1 a 2 +b 2 +c 2 + 1 ab +bc +ca + 1 ab +bc +ca 9 (a +b +c) 2 = 9: Do â VT 1 a 2 +b 2 +c 2 + 9 ab +bc +ca = 1 a 2 +b 2 +c 2 + 1 ab +bc +ca + 1 ab +bc +ca + 7 ab +bc +ca 9 + 7 1 3 = 30: Ta câ i·u ph£i chùng minh. 81. BT NG THÙC AM - GM V½ dö 1.10. Cho c¡c sè thüc d÷ìngx;y;z thäa m¢n :xy +yz +zx = 3.Chùng minh r¬ng: 1 xyz + 4 (x +y)(y +z)(z +x) 3 2 : Ta câ: 3 p xyz (x +y) (y +z) (z +x) x (y +z) +y (z +x) +z (x +y) 3 = 2: Suy ra 4 (x +y) (y +z) (z +x) xyz 2 Do â VT 1 xyz + xyz 2 1 2xyz + xyz 2 + 1 2xyz 1 + 1 2 = 3 2 : B i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 1.11. (IMO 2012) Cho n 3 v c¡c sè thüc d÷ìng a 2 ; a 3 ;:::; a n thäa m¢n a 2 a 3 a n = 1. Chùng minh r¬ng (1 +a 2 ) 2 (1 +a 3 ) 3 (1 +a n ) n >n n : p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ (1 +a k ) k = 1 k 1 + 1 k 1 + + 1 k 1 +a k k k k a k (k 1) k1 : Suy ra (1 +a 2 ) 2 : (1 +a 3 ) 3 (1 +a n ) n 2 2 1 1 3 3 2 2 4 4 3 3 n n (n 1) n a 1 a 2 a n =n n : Ta th§y khæng câ ¯ng thùc x£y ra. Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 1.12. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c câ t½ch b¬ng 1. Chùng minh r¬ng 1 + 3 a +b +c 6 ab +bc +ca : B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi ab +bc +ca + 3(ab +bc +ca) a +b +c 6: (1) p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ ab +bc +ca + 3(ab +bc +ca) a +b +c 2 s 3(ab +bc +ca) 2 a +b +c : 91. BT NG THÙC AM - GM M°t kh¡c (ab +bc +ca) 2 3(abbc +bcca +caab) = 3abc(a +b +c) = 3(a +b +c): Suy ra ab +bc +ca + 3(ab +bc +ca) a +b +c 6: Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 1.13. (Moldova TST 2014) Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng a 3 +b 3 +c 3 + ab a 2 +b 2 + bc b 2 +c 2 + ca c 2 +a 2 9 2 : B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 2 a 3 +b 3 +c 3 + 2ab a 2 +b 2 + 2bc b 2 +c 2 + 2ca c 2 +a 2 9 (1): Ta câ x 3 +y 3 x 2 y +y 2 x vîi måi x;y> 0 n¶n a 3 +b 3 +c 3 c (a 2 +b 2 ) 2 + b (c 2 +a 2 ) 2 + a (b 2 +c 2 ) 2 Suy ra VT (1) c (a 2 +b 2 ) 2 + 2ab a 2 +b 2 + b (c 2 +a 2 ) 2 + 2bc b 2 +c 2 + a (b 2 +c 2 ) 2 + 2ca c 2 +a 2 +3abc 9: B i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 1.14. Chùng minh r¬ng méi sè thüc d÷ìng a;b;c ta luæn câ: ab a + 3b + 2c + bc b + 3c + 2a + ca c + 3a + 2b a +b +c 6 : Ta câ : ab a + 3b + 2c = ab (a +c) + (b +c) + 2b ab 9 : 1 a +c + 1 b +c + 1 2b : T÷ìng tü : bc b + 3c + 2a bc 9 1 a +b + 1 a +c + 1 2c ; ac c + 3a + 2b ac 9 1 b +c + 1 a +b + 1 2a : Cëng v¸ theo v¸ ta ÷ñc ab a + 3b + 2c + bc b + 3c + 2a + ca c + 3a + 2b 1 9 bc +ac a +b + bc +ab a +c + ab +ac b +c + 1 18 (a +b +c): Hay ab a + 3b + 2c + bc b + 3c + 2a + ca c + 3a + 2b 1 9 (a +b +c) + 1 18 (a +b +c) = a +b +c 6 : 101. BT NG THÙC AM - GM V½ dö 1.15. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa a +b +c = 3. Chùng minh r¬ng ab p c 2 + 3 + bc p a 2 + 3 + ca p b 2 + 3 3 2 : Ta câ 3 (ab +bc +ca) (a +b +c) 2 = 9)ab +bc +ca 3 Suy ra 1 p c 2 + 3 1 p c 2 +ab +bc +ca = 1 p (a +c)(b +c) 1 2 1 a +c + 1 b +c : Do â: ab p c 2 + 3 1 2 ab a +c + ab b +c T÷ìng tü: bc p a 2 + 3 1 2 bc a +b + bc a +b v ca p b 2 + 3 1 2 ca b +a + ca b +c Cëng ba b§t ¯ng thùc tr¶n theo v¸ ta câ: ab p c 2 + 3 + bc p a 2 + 3 + ca p b 2 + 3 1 2 (a +b +c) = 3 2 : V½ dö 1.16. (IMO 2005) Cho c¡c sè thüc d÷ìng x;y;z thäa xyz 1. Chùng minh r¬ng x 5 x 2 x 5 +y 2 +z 2 + y 5 y 2 y 5 +z 2 +x 2 + z 5 z 2 z 5 +x 2 +y 2 0: B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 1 x 5 x 2 x 5 +y 2 +z 2 + 1 y 5 y 2 y 5 +z 2 +x 2 + 1 z 5 z 2 z 5 +x 2 +y 2 3 , 1 x 5 +y 2 +z 2 + 1 y 5 +z 2 +x 2 + 1 z 5 +x 2 +y 2 3 x 2 +y 2 +z 2 : (1) Ta câ x 5 +y 2 +z 2 x 4 yz +y 2 +z 2 2x 4 + (y 2 +z 2 ) 2 y 2 +z 2 2 3 : (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 y 2 +z 2 : Do â 1 x 5 +y 2 +z 2 3 2 y 2 +z 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 : Chùng minh t÷ìng tü 1 y 5 +z 2 +x 2 3 2 z 2 +x 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 v 1 z 5 +x 2 +y 2 3 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 +z 2 : Suy ra 1 x 5 +y 2 +z 2 + 1 y 5 +z 2 +x 2 + 1 z 5 +x 2 +y 2 3 x 2 +y 2 +z 2 Hay (1) óng. 111. BT NG THÙC AM - GM V½ dö 1.17. (IMO Shortlist 2009) Cho c¡c sè thüc d÷ìnga;b;c thäaab+bc+ca 3abc. Chùng minh r¬ng s a 2 +b 2 a +b + s b 2 +c 2 b +c + s c 2 +a 2 c +a + 3 p 2 p a +b + p b +c + p c +a : Ta câ p 2(a +b) = s 2 (a +b) 2 a +b = s 2 a 2 +b 2 a +b + 2ab a +b s a 2 +b 2 a +b + r 2ab a +b : Suy ra VP r 2ab a +b + r 2bc b +c + r 2ca c +a + s a 2 +b 2 a +b + s b 2 +c 2 b +c + s c 2 +a 2 c +a : M°t kh¡c ¡p döng b§t ¯ng thùc 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 (x +y +z) 2 27 ta suy ra x +y +z 3 p 3 v u u t 1 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 Do â r 2ab a +b + r 2bc b +c + r 2ca c +a 3 p 3 v u u u u t 1 r a +b 2ab ! 2 + r b +c 2bc ! 2 + r c +a 2ca 2 = 3 r 3abc ab +bc +ca = 3: Tø â, ta câ pcm. V½ dö 1.18. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c. Chùng minh r¬ng a 3 a 2 +b 2 + b 3 b 2 +c 2 + c 3 c 2 +a 2 a +b +c 2 : Ta câ a 3 a 2 +b 2 = a (a 2 +b 2 )ab 2 a 2 +b 2 =a ab 2 a 2 +b 2 a b 2 : T÷ìng tü b 3 b 2 +c 2 b c 2 v c 3 c 2 +a 2 c a 2 . Cëng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n theo v¸ ta câ pcm. 121. BT NG THÙC AM - GM V½ dö 1.19. Cho c¡c sè thüc a;b;c thäa abc< 0 v a +b +c = 0. Chùng minh r¬ng: 1 a + 1 b + 1 c (1abbcca) + 12abc 8 ab +bc +ca 16: Gåi P l v¸ tr¡i cõa b§t ¯ng thùc. °t m = (ab +bc +ca);n =abc Do a +b +c = 0) 2(ab +bc +ca) = (a 2 +b 2 +c 2 )< 0)m;n> 0 Khi â: P = m(1 +m) n + 12n + 8 m p döng b§t ¯ng thùc Cæ sita câ: m 3 + 8n 2 + 8n 12mn v m 2 + 4n 2 4mn Suy ra m 3 +m 2 + 12n 2 + 8n 16mn Do â: P = m(1 +m) n + 12n + 8 m 16 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi m = 2;n = 1, tùc l a;b;c l ba nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh x 3 2x + 1 = 0, (x 1)(x 2 +x 1) = 0,x = 1;x = 1 p 5 2 : III. B i tªp B i 1.1. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c. Chùng minh r¬ng a) (1 +a) (1 +b) (1 +c) 1 + 3 p abc 3 . b) 1 + a b 1 + b c 1 + c a 2 1 + a +b +c 3 p abc . B i 1.2. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a 1 ; a 2 ; ; a n . Chùng minh r¬ng (1 +a 1 )(1 +a 2 ) (1 +a n ) (1 + n p a 1 a 2 a n ) n : B i 1.3. Cho c¡c sè thüc a; b; c thäa m¢n a +b +c = 1. Chùng minh r¬ng (1 +a) (1 +b) (1 +c) 64abc: B i 1.4. Cho 2n sè thüc d÷ìng a 1 ;a 2 ;:::;a n ;b 1 ;b 2 ;:::;b n . Chùng minh r¬ng n p (a 1 +b 1 ) (a 2 +b 2 ) (a n +b n ) n p a 1 a 2 a n + n p b 1 b 2 b n : 131. BT NG THÙC AM - GM B i 1.5. (BT AM-GM suy rëng) Choa i 0 (i = 1;n) v c¡c sè húu t¿ d÷ìng i thäa m¢n n P i=1 i = 1. Chùng minh r¬ng: n X i=1 i a i a 1 1 a 2 2 a n n : B i 1.6. Cho n sè thüc d÷ìng a 1 ; a 2 ; ; a n v sè nguy¶n d÷ìng k. Chùng minh r¬ng a k 1 +a k 2 + +a k n n a 1 +a 2 + +a n n k : B i 1.7. Cho a; b; c> 0. Chùng minh r¬ng 1 a + 3b + 1 b + 3c + 1 c + 3a 1 a + 2b +c + 1 b + 2c +a + 1 c + 2a +b : B i 1.8. Cho c¡c sè thüc a;b;c> 0 thäa ab +bc +ca 3abc. Chùng minh r¬ng 1 4 p a + 4 p b 4 + 1 4 p b + 4 p c 4 + 1 ( 4 p c + 4 p a) 4 3 16 : B i 1.9. Cho a;b;c> 0. Chùng minh r¬ng 2 a b + 2c + b c + 2a + c a + 2b 1 + b b + 2a + c c + 2b + a a + 2c : B i 1.10. Cho x, y, z l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n x 2 +y 2 +z 2 = 12.T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P = 1 p 1 +x 3 + 1 p 1 +y 3 + 1 p 1 +z 3 : B i 1.11. Cho 3 sè thüc d÷ìng a;b;c tho£ m¢n a +b +c = 3 . Chùng minh r¬ng : a 1 +b 2 + b 1 +c 2 + c 1 +a 2 3 2 : B i 1.12. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa a +b +c = 3 2 . Chùng minh r¬ng: a 2 a + 2b 2 + b 2 b + 2c 2 + c 2 c + 2a 2 3 4 : B i 1.13. Chùng minh r¬ng n¸u xy +yz +zx = 5 th¼ 3x 2 + 3y 2 +z 2 10 B i 1.14. Cho a;b;c> 0. Chùng minh b§t ¯ng thùc a 3 (a + 2b) (b + 2c) + b 3 (b + 2c) (c + 2a) + c 3 (c + 2a) (a + 2b) a +b +c 9 : 141. BT NG THÙC AM - GM B i 1.15. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c> 0 thäa abc = 1. Chùng minh r¬ng a 4 b 2 (c + 2) + b 4 c 2 (a + 2) + c 4 a 2 (b + 2) 1: B i 1.16. Chùng minh r¬ng n¸u a; b; c> 0 th¼ : r a +b c + r b +c a + r c +a b 2 r c a +b + r a b +c + r b a +c ! : B i 1.17. Cho c¡c sè thüc a;b;cthäa a 2 +b 2 +c 2 = 3. Chùng minh r¬ng a 4 b + 2 + b 4 c + 2 + c 4 a + 2 1: B i 1.18. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa a 2 +b 2 +c 2 = 3 . Chùng minh r¬ng 4 a 2 +b 2 + 1 4 b 2 +c 2 + 1 4 c 2 +a 2 + 1 3 (a +b +c) 2 : B i 1.19. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa: p a 2 +b 2 + p b 2 +c 2 + p c 2 +a 2 = 7abc p 2 : Chùng minh r¬ng: a 2 b +c + b 2 c +a + c 2 a +b 3 2 . B i 1.20. Chùng minh r¬ng n¸u a;b;c> 0 v thäa m¢n a:b:c = 1 th¼ 1 a 2 + 2b 2 + 3 + 1 b 2 + 2c 2 + 3 + 1 c 2 + 2a 2 + 3 1 2 : B i 1.21. (Baltic Way 2014) Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa 1 a + 1 b + 1 c = 3: Chùng minh r¬ng 1 p a 3 +b + 1 p b 3 +c + 1 p c 3 +a 3 p 2 : B i 1.22. (USA 2011) Vîi a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa a 2 +b 2 +c 2 + (a +b +c) 2 4, chùng minh r¬ng ab + 1 (a +b) 2 + bc + 1 (b +c) 2 + ca + 1 (c +a) 2 3: B i 1.23. Cho a; b; c> 0. Chùng minh r¬ng 3 s 2a b +c 2 + 3 s 2b c +a 2 + 3 s 2c a +b 2 3: 151. BT NG THÙC AM - GM B i 1.24. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa abc = 1. Chùng minh r¬ng 3 r a 3 +b 3 2 + 3 r b 3 +c 3 2 + 3 r c 3 +a 3 2 + 6 3 (a +b +c): B i 1.25. Cho c¡c sè thüc a;b;c thäa a +b +c = 0. Chùng minh r¬ng 13a 2 b 2 c 2 2abc 2 (a 2 +b 2 +c 2 ) 3 1 4 : B i 1.26. Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a;b;c. Chùng minh r¬ng: q (a +b +c) 3 6 p 3 (ab) (bc) (ca): B i 1.27. Cho c¡c sè thüc a;b;c ph¥n bi»t thäa a +b +c = 1 v ab +bc +ca > 0. T¼m gi¡ trà nhä nh§t P = 2 jabj + 2 jbcj + 2 jcaj + 5 p ab +bc +ca : B i 1.28. (JBMO 2014) Cho c¡c sè thüc d÷ìng a, b, c thäa m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng a + 1 b 2 + b + 1 c 2 + c + 1 a 2 3(a +b +c + 1): B i 1.29. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b thäa m¢n ab 1. Chùng minh r¬ng a + 2b + 2 a + 1 b + 2a + 2 b + 1 16: B i 1.30. (IMO Shortlist 2009) Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa a +b +c = 1 a + 1 b + 1 c . Chùng minh r¬ng 1 (2a +b +c) 2 + 1 (2b +c +a) 2 + 1 (2c +a +b) 2 3 16 : B i 1.31. Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n: 3 p a 3 +b 3 + 3 p b 3 +c 3 + 3 p c 3 +a 3 +abc = 3: Chùng minh r¬ng gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: P = a 3 b 2 +c 2 + b 3 c 2 +a 2 + c 3 a 2 +b 2 b¬ng 6 p 32m, trong â m l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh t 3 + 54t 162 = 0. B i 1.32 (· thi chån ëi tuyºn, váng 1, H T¾nh, n«m håc 2017-20178). Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a, b, c tho£ m¢n i·u ki»n a 2 +b 2 +c 2 3. Chùng minh r¬ng (a +b +c)(a +b +cabc) 2(a 2 b +b 2 c +c 2 a): 161. BT NG THÙC AM - GM B i 1.33 (· thi chån ëi tuyºn, váng 2, Nam ành, n«m håc 2017-2018). X²tc¡csè thüc a;b;c2 [0; 1]. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P = a b +c + 1 + b c +a + 1 + c a +b + 1 + (1a) (1b) (1c) B i 1.34 (· thi chån ëi tuyºn, váng 2, Qu£ng Ng¢i, n«m håc 2017-2018). Choa; b;c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n 3bc + 4ac + 5ab 6abc . T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P = 3a + 2b +c (a +b)(b +c)(c +a) : B i 1.35 ( THI HSG TNH T Y NINH,VÁNG 1, 2017-2018). Chobasèthücd÷ìng x, y, z thäa m¢n xyz = 1. Chùng minh r¬ng: 1 4 p x 3 + 2y 3 + 6 + 1 4 p y 3 + 2z 3 + 6 + 1 4 p z 3 + 2x 3 + 6 p 3: B i 1.36 (· thi chån ëi tuyºn, L¥m çng, n«m håc 2017-2018). Cho x;y;z l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n i·u ki»n x 3 +y 2 +z = 2 p 3 + 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P = 1 x + 1 y 2 + 1 z 3 . B i 1.37 (· thi chån ëi tuyºn, váng 1, H T¾nh, n«m håc 2016-2017). Choc¡csèthüc a;b;c d÷ìng v thäa a 5 +b 5 +c 5 = 3. Chùng minh r¬ng: a 6 b 6 +b 6 c 6 +c 6 a 6 3: B i 1.38. T¼m sè nguy¶n d÷ìng k nhä nh§t sao cho b§t ¯ng thùc x k y k z k (x 3 +y 3 +z 3 ) 3 óng vîi måi sè thüc d÷ìng x;y;z thäa m¢n i·u ki»n x +y +z = 3. B i 1.39. (VN TST 2010) Cho c¡c sè thüc d÷ìnga;b;c thäa m¢n 16 (a +b +c) 1 a + 1 b + 1 c . Chùng minh r¬ng 1 a +b + p 2 (a +c) 3 + 1 b +c + p 2 (b +a) 3 + 1 c +a + p 2 (c +b) 3 8 9 : B i 1.40. (IMO 2001) Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng a 2 p a 2 + 8bc + b 2 p b 2 + 8ca + c 2 p c 2 + 8ab 1: B i 1.41 (Turkey TST 2017). Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a +b +c = 3. Chùng minh r¬ng a 3 b +b 3 c +c 3 a + 9 4(ab +bc +ca): B i 1.42 (IMO Shortlits A5-2008). Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c;d thäa m¢n abcd = 1 v a +b +c +d a b + b c + c d + d a : Chùng minh r¬ng a +b +c +d b a + c b + d c + a d . 171. BT NG THÙC AM - GM B i 1.43. Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a +b +c = 2. Chùng minh r¬ng a 3 +b 3 b 3 +c 3 c 3 +a 3 2: B i 1.44. (H n Quèc MO 2016) Cho c¡c sè thüc x; y; z thäa m¢n x 2 +y 2 +z 2 = 1. T¼m GTLN cõa biºu thùc P = (x 2 yz)(y 2 zx)(z 2 xy): B i 1.45. Cho c¡c sè thüc d÷ìng x; y; z thäa m¢n x +y +z = 1. Chùng minh r¬ng x 2 y 2 1z + y 2 z 2 1x + z 2 x 2 1y + 3xyz 1 6 B i 1.46. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa m¢n: 9 a 4 +b 4 +c 4 25 a 2 +b 2 +c 2 + 48 = 0: T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: F = a 2 b + 2c + b 2 c + 2a + c 2 a + 2b : B i 1.47. (TST Qu£ng Nam 2014-2015) Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng p 5a 2 + 4bc + p 5b 2 + 4ca + p 5c 2 + 4ab p 3 (a 2 +b 2 +c 2 ) + 2 p ab + p bc + p ca : B i 1.48. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a +b +c = 3. Chùng minh r¬ng a 2 b 1 +a +b + b 2 c 1 +b +c + c 2 a 1 +c +a 1: B i 1.49 (P122, T¤p ch½ Pi, th¡ng 12 n«m 2017). Chùngminhr¬ng,vîimåisèthücd÷ìng a;b;c ta luæn câ b§t ¯ng thùc: s a 2 +bc a(b +c) + s b 2 +ca b(c +a) + s c 2 +ab c(a +b) 3: Häi ¯ng thùc x£y ra khi n o? B i 1.50. Cho 2018 sè d÷ìnga 1 ;a 2 ;:::;a 2018 thäa:a 1 +a 2 + +a 2018 = 1 a 1 + 1 a 2 + + 1 a 2018 . Chùng minh r¬ng: a 1 +a 2 + +a 2018 2018. 182. BT NG THÙC CAUCHY - SCHWARZ x2. B§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz I. B§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz d¤ng a thùc ành l½ 1. Cho 2n sè thüc a 1 ;a 2 ; ;a n ;b 1 ;b 2 ; ;b n . Khi â, ta câ a 2 1 +a 2 2 + +a 2 n b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n (a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) 2 : ¯ng thùc x£y ra khi a i =kb i vîi måi i = 1;2; ;n. Chùng minh. N¸u a i = 08i = 1;n th¼ b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng. N¸u n P i=1 a 2 i > 0, ta x²t tam thùc f(x) = n X i=1 a 2 i ! x 2 2 n X i=1 a i :b i ! x + n X i=1 b 2 i Ta câ f(x) = n X i=1 (a i xb i ) 2 8x2R Do â 0 = n X i=1 a i b i ! 2 n X i=1 a 2 i ! n X i=1 b 2 i ! 0 Hay b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a i xb i = 0,a i =k:b i . II. B§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz d¤ng ph¥n thùc ành l½ 2. Cho c¡c n sè thüc a 1 ;a 2 ; ;a n v n sè thüc d÷ìng b 1 ;b 2 ; ;b n . Khi â, ta câ a 2 1 b 1 + a 2 2 b 2 + + a 2 n b n (a 1 +a 2 + +a n ) 2 b 1 +b 2 + +b n : ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = = a n b n . Chùng minh. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz d¤ng a thùc ta câ n X i=1 a i ! 2 = n X i=1 p b i : a i p b i ! 2 n X i=1 b i ! n X i=1 a 2 i b i ! Hay a 2 1 b 1 + a 2 2 b 2 + + a 2 n b n (a 1 +a 2 + +a n ) 2 b 1 +b 2 + +b n (pcm): III. C¡c v½ dö minh håa V½ dö 2.1. Cho a; b; c> 0 thäa m¢n a +b +c = 1. Chùng minh r¬ng r a 2 + 1 b 2 + r b 2 + 1 c 2 + r c 2 + 1 a 2 p 82 192. BT NG THÙC CAUCHY - SCHWARZ p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ a 2 + 1 b 2 1 9 + 9 a 3 + 3 b 2 hay r a 2 + 1 b 2 3 p 82 a 3 + 3 b : T÷ìng tü, ta công câ r b 2 + 1 c 2 3 p 82 b 3 + 3 c v r c 2 + 1 a 2 3 p 82 c 3 + 3 a : Cæng ba b§t ¯ng thùc theo v¸ ta câ r a 2 + 1 b 2 + r b 2 + 1 c 2 + r c 2 + 1 a 2 3 p 82 a +b +c 3 + 3 1 a + 1 b + 1 c : L¤i câ 1 a + 1 b + 1 c 9 a +b +c = 9 n¶n ta suy ra ÷ñc r a 2 + 1 b 2 + r b 2 + 1 c 2 + r c 2 + 1 a 2 3 p 82 1 3 + 27 = p 82: ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 1 3 . V½ dö 2.2. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa abc = 1. Chùng minh r¬ng 1 +a 2 1 +b 2 1 +c 2 4 3 p (a +b) (b +c) (c +a): p döng b§t ¯ng thùc Bunhiacopsky cho hai bë sè (1;a) v (b; 1) ta câ 1 +a 2 1 +b 2 = 1 +a 2 b 2 + 1 (a +b) 2 : T÷ìng tü 1 +b 2 1 +c 2 (b +c) 2 ; 1 +c 2 1 +a 2 (a +c) 2 : Nhªn c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n theo v¸ ta ÷ñc 1 +a 2 1 +b 2 1 +c 2 (a +b) (b +c) (c +a): M°t kh¡c (a +b) (b +c) (c +a) 2 p ab:2 p bc:2 p ca = 8abc = 8: Suy ra (a +b) (b +c) (c +a) = 3 p (a +b) (b +c) (c +a): 3 q [(a +b) (b +c) (c +a)] 2 3 p (a +b) (b +c) (c +a): 3 p 8 2 = 4 3 p (a +b) (b +c) (c +a) (pcm): 202. BT NG THÙC CAUCHY - SCHWARZ V½ dö 2.3. Cho a;b;c> 0 thäa 1 a 2 +b 2 + 1 + 1 b 2 +c 2 + 1 + 1 c 2 +a 2 + 1 1: Chùng minh r¬ng ab +bc +ca 3. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz cho hai bë sè (a;b; 1) v (1; 1;c) ta câ a 2 +b 2 + 1 1 + 1 +c 2 (a +b +c) 2 : Suy ra 1 a 2 +b 2 + 1 2 +c 2 (a +b +c) 2 : T÷ìng tü: 1 b 2 +c 2 + 1 2 +a 2 (a +b +c) 2 ; 1 c 2 +a 2 + 1 2 +b 2 (a +b +c) 2 : Suy ra 2 +a 2 (a +b +c) 2 + 2 +b 2 (a +b +c) 2 + 2 +c 2 (a +b +c) 2 1; Do â ta câ 6 +a 2 +b 2 +c 2 (a +b +c) 2 )ab +bc +ca 3 (pcm): V½ dö 2.4. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa m¢n a +b +c = 1 a + 1 b + 1 c . Chùng minh r¬ng p a 2 + 1 + p b 2 + 1 + p c 2 + 1 p 2 (a +b +c): p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ p a 2 + 1 + p b 2 + 1 + p c 2 + 1 = p a: r a + 1 a + p b: r b + 1 b + p c: r c + 1 c s (a +b +c) a + 1 a +b + 1 b +c + 1 c = p 2 (a +b +c): ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 1. V½ dö 2.5. Cho c¡c sè thüc a; b; c; x; y; z. Chùng minh r¬ng ax +by +cz + p (a 2 +b 2 +c 2 )(x 2 +y 2 +z 2 ) 2 3 (a +b +c)(x +y +z): Ta câ 2 3 (a +b +c)(x +y +z) (ax +by +cz) =a 2y + 2zx 3 +b 2z + 2xy 3 +c 2x + 2yz 3 v u u t (a 2 +b 2 +c 2 ) 2y + 2zx 3 2 + 2z + 2xy 3 2 + 2x + 2yz 3 2 ! : 212. BT NG THÙC CAUCHY - SCHWARZ Hìn núa 2y + 2zx 3 2 + 2z + 2xy 3 2 + 2x + 2yz 3 2 =x 2 +y 2 +z 2 : N¶n ta câ pcm. V½ dö 2.6. Cho c¡c sè thüc a;b;c thäa a 2 +b 2 +c 2 = 9. Chùng minh r¬ng 2 (a +b +c)abc 10: Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sûjajjbjjcj 3 a 2 +b 2 2 a 2 +b 2 +c 2 = 18)a 2 +b 2 6: p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz cho hai bë sè 2 (a +b +c)abc = 2 (a +b) +c (2ab) q 4 + (2ab) 2 (a +b) 2 +c 2 = p (8 4ab +a 2 b 2 ) (a 2 +b 2 +c 2 + 2ab) = p (8 4ab +a 2 b 2 ) (9 + 2ab): Do â, ta ch¿ c¦n chùng minh p (8 4ab +a 2 b 2 ) (9 + 2ab) 10 , 2a 3 b 3 +a 2 b 2 20ab 28 0 , (ab + 2) 2 (2ab 7) 0: (*) V¼ 2aba 2 +b 2 6) 2ab 7< 0, do â (*) óng. V½ dö 2.7 (VQB C©n). Cho c¡c sè thüc d÷ìnga;b;c thäa m¢na +b +c = 6 v a 2 +b 2 + c 2 = 14. Chùng minh r¬ng 2 4a +b c 31 2 : Ta câ 4a +b c 2,4ab + 2c 0, 3a + 6b + 9c 7 (a +b +c) = 42 (1): p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ 3a + 6b + 9c p (3 2 + 6 2 + 9 2 ) (a 2 +b 2 +c 2 ) = 42: Suy ra (1) óng. ¯ng thùc x£y ra khi a = 1;b = 2;c = 3. T÷ìng tü 4a +b c 31 2 , 8a + 2b 31c 0, 57a + 51b + 18c 49 (a +b +c) = 294 (2): p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ 57a + 51b + 18c p (57 2 + 51 2 + 18 2 ) (a 2 +b 2 +c 2 ) = 294: Hay (2) ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = 19 7 ;b = 17 7 ;c = 6 7 . 222. BT NG THÙC CAUCHY - SCHWARZ V½ dö 2.8. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng r 2a a +b + r 2b b +c + r 2c c +a 3: p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ VT 2 = p a +c r a (a +b)(a +c) + p b +a s b (b +c)(b +a) + p c +b r c (c +a)(c +b) ! 2 2 (a +b +c) a (a +b) (a +c) + b (b +a) (b +c) + c (c +a) (c +b) = 4 (a +b +c) [ab +bc +ca] (a +b) (b +c) (c +a) : Do â, ta ch¿ c¦n chùng minh 4 (a +b +c) (ab +bc +ca) (a +b) (b +c) (c +a) 9 2 , (a +b +c) (ab +bc +ca) (a +b) (b +c) (c +a) 9 8 : ¥y l mët k¸t qu£ quen thuëc. V½ dö 2.9. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa 1 a 2 + 2 + 1 b 2 + 2 + 1 c 2 + 2 = 1: Chùng minh r¬ng: ab +bc +ca 3. Tø gi£ thi¸t suy ra: 1 = a 2 a 2 + 2 + b 2 b 2 + 2 + c 2 c 2 + 2 (a +b +c) 2 a 2 +b 2 +c 2 + 6 Do â: a 2 +b 2 +c 2 + 6 (a +b +c) 2 ,ab +bc +ca 3 (pcm): V½ dö 2.10. Cho c¡c sè thüc a;b;c> 0 thäa m¢n a +b +c = 3. Chùng minh r¬ng a 2 a + 2b 2 + b 2 b + 2c 2 + c 2 c + 2a 2 1: Gåi P l v¸ tr¡i cõa b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ P = a 4 a 3 + 2a 2 b 2 + b 4 b 3 + 2b 2 c 2 + c 4 c 3 + 2c 2 a 2 (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 a 3 +b 3 +c 3 + 2 (a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 ) : Vîi a +b +c = 3 ta câ a 4 +b 4 +c 4 a 2 +b 2 +c 2 a 3 +b 3 +c 3 2 a 3 +b 3 +c 3 (a +b +c) a 2 +b 2 +c 2 2 3 a 2 +b 2 +c 2 (a +b +c) 2 : 232. BT NG THÙC CAUCHY - SCHWARZ Nh¥n ba b§t ¯ng thùc tr¶n theo v¸ ta ÷ñc 3 a 4 +b 4 +c 3 (a +b +c) a 3 +b 3 +c 3 Hay a 4 +b 4 +c 4 a 3 +b 3 +c 3 . Do â a 2 +b 2 +c 2 2 =a 4 +b 4 +c 4 + +2 a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 a 3 +b 3 +c 3 + 2 a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 : Vªy P 1. ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 1. V½ dö 2.11. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c. Chùng minh r¬ng: a a +b 2 + b b +c 2 + c c +a 2 3 4 : V¼ b a : c b : a c = 1 n¶n tçn t¤i c¡c sè thüc d÷ìng x;y;z sao cho b a = yz x 2 ; c b = zx y 2 ; a c = xy z 2 : B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh x 4 (x 2 +yz) 2 + y 4 (y 2 +zx) 2 + z 4 (z 2 +xy) 2 3 4 : p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ x 4 (x 2 +yz) 2 + y 4 (y 2 +zx) 2 + z 4 (z 2 +xy) 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 (x 2 +yz) 2 + (y 2 +zx) 2 + (z 2 +xy) 2 : Ta chùng minh (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 (x 2 +yz) 2 + (y 2 +zx) 2 + (z 2 +xy) 2 3 4 Bi¸n êi v rót gån ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc x 4 +y 4 +z 4 + 5 x 2 y 2 +y 2 z 2 +z 2 x 2 6xyz (x +y +z) (): Ta câ x 4 +y 4 +z 4 x 2 y 2 +y 2 z 2 +z 2 x 2 xyz (x +y +z): N¶n suy ra () óng. Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 2.12 (P61, T¤p ch½ Pi, th¡ng 6 n«m 2017). Choa,b,c l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c. Chùng minh r¬ng a b +c + b c +a + c a +b + 2(ab +bc +ca) a 2 +b 2 +c 2 7 2 : Häi d§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi n o? Ta bi¸t r¬ng vîi a, b, c l ba sè thüc tòy þ, luæn câ ab +bc +caa 2 +b 2 +c 2 242. BT NG THÙC CAUCHY - SCHWARZ Do â 2(ab +bc +ca) a 2 +b 2 +c 2 ab +bc +ca a 2 +b 2 +c 2 + 1: (1) Ti¸p theo ta s³ chùng minh a b +c + b c +a + c a +b + ab +bc +ca a 2 +b 2 +c 2 5 2 (2) Thªt vªy, ta câ (2), 1 a b +c + 1 b c +a + 1 c a +b 1 2 + ab +bc +ca a 2 +b 2 +c 2 : , b +ca b +c + c +ab c +a + a +bc a +b (a +b +c) 2 2(a 2 +b 2 +c 2 ) , (b +ca) 2 (b +ca)(b +c) + (c +ab) 2 (c +ab)(c +a) + (a +bc) 2 (a +bc)(a +b) (a +b +c) 2 2(a 2 +b 2 +c 2 ) : (3) Do âa,b,c l ë d i 3 c¤nh cõa mët tam gi¡c n¶n b +c>a,a +c>b v a +b>c. Do â, t§t c£ c¡c ph¥n thùc n¬m ð v¸ tr¡i cõa (3) ·u câ m¨u thùc d÷ìng. V¼ th¸, kþ hi»u VT l biºu thùc n¬m ð v¸ tr¡i cõa (3), theo mët h» qu£ cõa b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ VT (a +b +c) 2 2(a 2 +b 2 +c 2 ) : V¼ (b +ca) + (c +ab) + (a +bc) =a +b +c (b +ca)(b +c) + (c +ab)(c +a) + (a +bc)(a +b) = 2(a 2 +b 2 +c 2 ): n¶n (3) ÷ñc chùng minh v v¼ th¸ (2) ÷ñc chùng minh. Tø (1) v (2), hiºn nhi¶n, suy ra b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh theo y¶u c¦u b i to¡n. Tø i·u ki»n c¦n v õ º d§u b¬ng x£y ra ð c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n, d¹ d ng suy ra d§u b¬ng ð b§t ¯ng thùc · b i x£y ra khi v ch¿ khi a, b, c l ë d i ba c¤nh cõa tam gi¡c ·u. V½ dö 2.13. Cho a;b;c> 0 thäa a +b +c = 2. Chùng minh r¬ng: a p 4a + 3bc + b p 4b + 3ca + c p 4c + 3ab 1: p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ: a p 4a + 3bc + b p 4b + 3ca + c p 4c + 3ab 2 (a +b +c) a 4a + 3bc + b 4b + 3ca + c 4c + 3ab = 2 a 4a + 3bc + b 4b + 3ca + c 4c + 3ab : Ta chùng minh: a 4a + 3bc + b 4b + 3ca + c 4c + 3ab 1 2 , bc 4a + 3bc + ca 4b + 3ca + ab 4c + 3ab 1 3 (1) Ta câ VT (1) (ab +bc +ca) 2 bc(4a +bc) +ca(4b +ca) +ab(4c +ab) 252. BT NG THÙC CAUCHY - SCHWARZ Do bc(4a +bc) +ca(4b +ca) +ab(4c +ab) = 3(ab +bc +ca) 2 : N¶n ta câ: VT (1) 1 3 (pcm). ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a =b =c = 2 3 . V½ dö 2.14. Cho c¡c sè thüc x;y;z > 0. Chùng minh r¬ng x +y p x 2 +y 2 +zx +zy + y +z p y 2 +z 2 +xy +xz + z +x p z 2 +x 2 +yz +xy 3: p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ VT 2 3 " (x +y) 2 x 2 +y 2 +zx +yz + (y +z) 2 y 2 +z 2 +xy +xz + (z +x) 2 z 2 +x 2 +zy +yx # : M°t kh¡c (x +y) 2 x 2 +y 2 +zx +yz = (x +y) 2 x(x +z) +y(y +z) x 2 x (x +z) + y 2 y (y +z) = x x +z + y y +z T÷ìng tü (y +z) 2 y 2 +z 2 +xy +xz y y +x + z z +x v (z +x) 2 z 2 +x 2 +zy +yx z z +y + x x +y Suy ra VT 2 9,VT 3, tø ¥y ta câ pcm. V½ dö 2.15. Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m v khæng câ hai sè n o çng thíi b¬ng 0. Chùng minh r¬ng a 2 (2a +b)(2a +c) + b 2 (2b +c)(2b +a) + c 2 (2c +a)(2c +b) 1 3 : p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ 9a 2 (2a +b)(2a +c) = (2a +a) 2 2a(a +b +c) + (2a 2 +bc) 4a 2 2a(a +b +c) + a 2 2a 2 +bc = 2a a +b +c + a 2 2a 2 +bc : Do â 9VT 2 + a 2 2a 2 +bc + b 2 2b 2 +ca + c 2 2c 2 +ab : N¶n ta chùng minh a 2 2a 2 +bc + b 2 2b 2 +ca + c 2 2c 2 +ab 1 , bc 2a 2 +bc + ca 2b 2 +ca + ab 2c 2 +ab 1: (1) p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ VT (1) (ab +bc +ca) 2 2abc(a +b +c) +a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 = (ab +bc +ca) 2 (ab +bc +ca) 2 = 1: 262. BT NG THÙC CAUCHY - SCHWARZ IV. B i tªp B i 2.1 (B§t ¯ng thùc Mincopski). Cho c¡c 2n sè thüc a 1 ;a 2 ; ;a n ;b 1 ;b 2 ; ;b n . Chùng minh r¬ng q a 2 1 +a 2 2 + +a 2 n + q b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n q (a 1 +b 1 ) 2 + (a 2 +b 2 ) 2 + + (a n +b n ) 2 : B i 2.2. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c. Chùng minh r¬ng a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 (a +b) (b +c) (c +a): B i 2.3. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa m¢n a +b +c = 3. Chùng minh r¬ng 2 a 2 +b 2 +c 2 + 3 9 1 a 2 + 2 + 1 b 2 + 2 + 1 c 2 + 2 : B i 2.4. Cho a;b;c> 0 v a +b +c = 1. Chùng minh r¬ng a p a 2 + 8bc +b p b 2 + 8ca +c p c 2 + 8ab 1: B i 2.5. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa a 2 +b 2 +c 2 = 3. Chùng minh r¬ng: a 3 b + 2c + b 3 c + 2a + c 3 a + 2b 1: B i 2.6. Cho a, b, c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa: a 2 +b 2 +c 2 3. Chùng minh r¬ng: a 3 p b 2 +c 2 + 7 + b 3 p c 2 +a 2 + 7 + c 3 p a 2 +b 2 + 7 1: B i 2.7. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c câ têng b¬ng 3. Chùng minh r¬ng: 1 4a 2 +b 2 +c 2 + 1 a 2 + 4b 2 +c 2 + 1 a 2 +b 2 + 4c 2 1 2 : B i 2.8. Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a +b +c = 3. Chùng minh r¬ng 1 2a 2 + 3 + 1 2b 2 + 3 + 1 2c 2 + 3 3 5 : B i 2.9. Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n ab +bc +ca = 3. Chùng minh r¬ng 1 a 2 + 1 + 1 b 2 + 1 + 1 c 2 + 1 3 2 : B i 2.10. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a 2 +b 2 +c 2 = 3. Chùng minh r¬ng 1 3ab + 1 3bc + 1 3ca 3 2 : 272. BT NG THÙC CAUCHY - SCHWARZ B i 2.11. Cho ba sè thüc d÷ìng x, y, z thäa m¢n x +y +z = 3. Chùng minh r¬ng: 4x + 5 x 3 +xy 2 + 3xyz + 4y + 5 y 3 +yz 2 + 3xyz + 4z + 5 z 3 +zx 2 + 3xyz 162 x 2 +y 2 +z 2 + 27 : B i 2.12. Cho a; b; c> 0 thäa m¢n a +b +c = 1. Chùng minh r¬ng a 2 (b + 2c) 2 (a +b) + b 2 (c + 2a) 2 (b +c) + c 2 (a + 2b) 2 (c +a) 1 2 : B i 2.13. Cho a;b;c2 (1; 2). Chùng minh r¬ng b p a 4b p cc p a + c p b 4c p aa p b + a p c 4a p bb p c 1: B i 2.14. Cho a;b;c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 a 2 b 2 c 2 . Chùng minh r¬ng a 2 b 2 c 3 (a 2 +b 2 ) + b 2 c 2 a 3 (b 2 +c 2 ) + c 2 a 2 b 3 (c 2 +a 2 ) p 3 2 B i 2.15 (IMO Shortlist-2007). Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a 1 ; a 2 ;:::; a 100 thäa m¢n i·u ki»n a 2 1 +a 2 2 + +a 2 100 = 1: Chùng minh r¬ng S =a 2 1 a 2 +a 2 2 a 3 + +a 2 100 a 1 p 2 3 : B i 2.16. (China TST 2005) Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a;b;c thäa ab +bc +ca = 1 3 . Chùng minh r¬ng 1 a 2 bc + 1 + 1 b 2 ca + 1 + 1 c 2 ab + 1 3: B i 2.17. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng 2 ab c + bc a + ca b a r 3 + b 2 c 2 +b r 3 + c 2 a 2 +c r 3 + a 2 b 2 2(a +b +c): B i 2.18. Cho x;y;z >1. Chùng minh r¬ng 1 +x 2 1 +y +z 2 + 1 +y 2 1 +z +x 2 + 1 +z 2 1 +x +y 2 2: B i 2.19 (P77, T¤p ch½ Pi, th¡ng 7 n«m 2017). Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng a 3 p 4(b 3 +c 3 ) + b c +a + c a +b 3 2 : Häi ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi n o? B i 2.20. Cho ba sè thüc khæng ¥m a, b, c thäa m¢n i·u ki»n (b +c)(c + 2a)(c + 4a) > 0. Chùng minh r¬ng a b +c + b c + 4a + 2c c + 2a 1: Häi ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi n o? 282. BT NG THÙC CAUCHY - SCHWARZ B i 2.21. Cho a;b;c> 0 thäa m¢n a 2 +b 2 +c 2 = 3. Chùng minh r¬ng 1 2a + 1 2b + 1 2c 3: B i 2.22. Cho bèn sè thüc a;b;c;d thäa m¢n a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = 1: Chùng minh r¬ng 1 1ab + 1 1bc + 1 1cd + 1 1da 16 3 : B i 2.23. Cho x;y;z > 0 thäa m¢n xyz = 1. Chùng minh r¬ng 1 1 +x +x 2 + 1 1 +y +y 2 + 1 1 +z +z 2 1: B i 2.24. Cho x;y;z > 0 thäa m¢n xyz = 8. Chùng minh r¬ng x 2 x 2 + 2x + 4 + y 2 y 2 + 2y + 4 + z 2 z 2 + 2z + 4 1: B i 2.25 (IMO 2008). Cho c¡c sè thüc x;y;z6= 1 v xyz = 1. Chùng minh r¬ng x x 1 2 + y y 1 2 + z z 1 2 1: B i 2.26. Cho a; b; cl c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng s bc a(3b +a) + r ac b(3c +b) + s ab c(3a +c) 3 2 : B i 2.27. Cho c¡c sè thüc a; b; c t§t c£ khæng còng d§u. Chùng minh r¬ng (a 2 +ab +b 2 )(b 2 +bc +c 2 )(c 2 +ca +a 2 ) 3(ab +bc +ca) 3 : B i 2.28. Cho a; b; c 0 v khæng câ hai sè n o çng thíi b¬ng 0. Chùng minh r¬ng a 2 2b 2 bc + 2c 2 + b 2 2c 2 ca + 2a 2 + c 2 2a 2 ab + 2b 2 1: B i 2.29. Choa,b,c l c¡c sè thüc thäa m¢n i·u ki»n 3a 2 + 2b 2 +c 2 = 6: T¼m gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P = 2(a +b +c)abc: B i 2.30. (Iran MO 2016 day 3) Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng a +b (a +b + 1) 2 + b +c (b +c + 1) 2 + c +a (c +a + 1) 2 2 a +b +c : 292. BT NG THÙC CAUCHY - SCHWARZ B i 2.31. Cho c¡c sè thüc d÷ìng x; y; z thäa m¢n xyz 1. Chùng minh r¬ng (x 4 +y)(y 4 +z)(z 4 +x) (x +y 2 )(y +z 2 )(z +x 2 ): B i 2.32. (Serbia TST 2016) Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a +b +c = 3. Chùng minh r¬ng a p 3a +b + b p 3b +c + c p 3c +a 3 2 : B i 2.33. (H£i D÷ìng TST 2016) Cho a; b; c2 [1;1] thäa m¢n: 1 + 2abca 2 +b 2 +c 2 . Chùng minh r¬ng : 1 + 2a 3 b 3 c 3 a 6 +b 6 +c 6 : B i 2.34. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a 2 +b 2 +c 2 = 3. Chùng minh r¬ng 2 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 b +c a + c +a b + a +b c : B i 2.35. Cho n (n 1) x 1 ; x 2 ; :::; x n thäa m¢n x 1 +x 2 + +x n = 0. Chùng minh r¬ng (n 2)x 2 1 + 2x 1 (n 1)x 2 1 + 1 + (n 2)x 2 2 + 2x 2 (n 1)x 2 2 + 1 + + (n 2)x 2 n + 2x n (n 1)x 2 n + 1 0: B i 2.36. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa m¢n a 2 +b 2 +c 2 = 1. Chùng minh r¬ng 1 2a 2 +bc + 1 2b 2 +ac + 1 2c 2 +ab (a +b +c) 2 ab +bc +ac : B i 2.37. Choa;b;c l c¡c sè thüc d÷ìng v n2N;n 2. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P = n s a 2 +bc a(b +c) + n s b 2 +ac b(a +c) + n s c 2 +ab c(a +b) : B i 2.38. Cho c¡c sè d÷ìng a, b, c thäa m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng: a 3 + 5 a 3 (b +c) + b 3 + 5 b 3 (c +a) + c 3 + 5 c 3 (a +b) 9: B i 2.39. Cho sè nguy¶n d÷ìng n 3 v 2n sè thüc d÷ìng a 1 ;a 2 ;::: ;a n ; b 1 ;b 2 ;::: ;b n thäa m¢n: n X k=1 a k = 1; n X k=1 b 2 k = 1: Chùng minh r¬ng: n X k=1 a k (b k +a k+1 )< 1 (vîi a n+1 =a 1 ): 303. MËT SÈ BT NG THÙC KHC x3. Mët sè b§t ¯ng thùc kh¡c I. B§t ¯ng thùc Schur 1. B§t ¯ng thùc Schur ành l½ 1. Cho c¡c sè thüc khæng ¥m x;y;z v sè thüc d÷ìng r. Khi â, ta câ b§t ¯ng thùc sau x r (xy)(xz) +y r (yx)(yz) +z r (zx)(zy) 0: ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c ho°c c = 0;a =b v c¡c ho¡n và. Chùng minh. V¼ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh l èi xùng ba bi¸n n¶n ta gi£ sû xyz, khi â z r (zx)(zy) 0 v x r (xy)(xz) +y r (yx)(yz) (xy) (x r (yz)y r (yz)) = (xy)(yz)(x r y r ) 0: Tø hai b§t ¯ng thùc tr¶n ta suy ra pcm. 2. C¡c tr÷íng hñp °c bi»t X²t r = 1 ta câ c¡c d¤ng sau a) x 3 +y 3 +z 3 + 3xyzxy(x +y) +yz(y +z) +zx(z +x) b) 4(a 3 +b 3 +c 3 ) + 15abc (a +b +c) 3 c) xyz (x +yz)(y +zx)(z +xy) d) x 2 +y 2 +z 2 + 9xyz x +y +z 2(xy +yz +zx) e) (x +y +z) 3 + 9xyz 4(x +y +z)(xy +yz +zx) r = 2 ta câ c¡c d¤ng sau a) x 4 +y 4 +z 4 +xyz(x +y +z)xy(x 2 +y 2 ) +yz(y 2 +z 2 ) +zx(z 2 +x 2 ) b) 6xyz(x +y +z) [2(xy +yz +zx) (x 2 +y 2 +z 2 )] (x 2 +y 2 +z 2 +xy +yz +zx): 3. B§t ¯ng thùc Schur mð rëng ành l½ 2. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c; x; y; z sao cho c¡c bë (a; b; c) v (x; y; z) l c¡c bë ìn i»u. Khi â, ta câ b§t ¯ng thùc a(xy)(xz) +b(yz)(yx) +c(zx)(zy) 0: Chùng minh. Vi»c chùng minh b§t ¯ng thùc n y t÷ìng tü nh÷ chùng minh b§t ¯ng thùc Schur ð tr¶n. 4. C¡c v½ dö V½ dö 3.1 (çng Nai TST 2016). Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1: Chùng minh r¬ng: r a b +c + r b c +a + r c a +b 3 p 3 p a 3 +b 3 +c 3 + 3 : 313. MËT SÈ BT NG THÙC KHC Vîi x; y; z > 0 ta câ: (x +y +z) 2 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 9 3 p x 2 y 2 z 2 3 3 r 1 x 2 y 2 z 2 = 27: Suy ra : x +y +z 3 p 3 s 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 : () p döng (*) vîi x = r a b +c ; y = r b c +a ; z = r c a +b ta câ r a b +c + r b c +a + r c a +b 3 p 3 r b +c a + c +a b + a +b c = 3 p 3 p ab (a +b) +bc (b +c) +ca (c +a) : M°t kh¡c, theo b§t ¯ng thùc Schur ta câ a 3 +b 3 +c 3 + 3abcab (a +b) +bc (b +c) +ca (c +a): N¶n ta câ : r a b +c + r b c +a + r c a +b 3 p 3 p a 3 +b 3 +c 3 + 3 : ¯ng thùc câ a =b =c = 1. V½ dö 3.2 (Ngh» an TST 2014, ng y 2). Cho c¡c sè thüc x; y; z > 0 thäa xyz = 1. Chùng minh r¬ng 3 r x +y 2z + 3 r y +z 2x + 3 r z +x 2y 5(x +y +z) + 9 8 : °t x =a 3 , y =b 3 , z =c 3 b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh 3 r a 3 +b 3 2c 3 + 3 r b 3 +c 3 2a 3 + 3 r c 3 +a 3 2b 3 5(a 3 +b 3 +c 3 ) + 9 8 : Theo b§t ¯ng thùc Schur ta câ a 3 +b 3 +c 3 + 3 =a 3 +b 3 +c 3 + 3abcab(a +b) +bc(b +c) +ca(c +a): Do â 5(a 3 +b 3 +c 3 ) + 9 = 2(a 3 +b 3 +c 3 ) + 3(a 3 +b 3 +c 3 + 3) 2(a 3 +b b +c 3 ) + 3ab(a +b) + 3bc(b +c) + 3ca(c +a) = (a +b) 3 + (b +c) 3 + (c +a) 3 : (1) Ta chùng minh (a +b) 3 8 3 r a 3 +b 3 2c 3 : (2) 323. MËT SÈ BT NG THÙC KHC Thªt vªy (1) t÷ìng ÷ìng vîi (a +b) 3 8abc 1 c 3 r a 3 +b 3 2 , (a +b) 9 8 3 a 3 b 3 a 3 +b 3 2 : (3) Ta câ 4 8 2 a 3 b 3 (a 3 +b 3 ) =ababab(a 2 ab +b 2 )(a +b) 4 8 2 ab +ab +ab +a 2 ab +b 2 4 4 (a +b) = (a +b) 9 : Do â (2) óng. T÷ìng tü ta câ (b +c) 3 8 3 r b 3 +c 3 2a 3 ; (c +a) 3 8 3 r c 3 +a 3 b 3 : (4) Cæng c¡c b§t ¯ng thùc (2), (4) v tø (1) ta câ pcm. V½ dö 3.3. (VMO 2014) Cho a;b;c 0: Chùng minh r¬ng 3(a 2 +b 2 +c 2 )P (a +b +c) 2 ; vîiP = (a +b +c) p ab + p bc + p ca + (ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 : Ta câ 3(a 2 +b 2 +c 2 )P,a +b +c p ab + p bc + p ca: B§t ¯ng thùc n y l k¸t qu£ quen thuëc. °t x = p a; y = p b, z = p c. Khi â, b§t ¯ng thùc P (a +b +c) 2 , X x 4 +xyz X x + X xy(x 2 +y 2 ) 4 X x 2 y 2 (1) Sû döng b§t ¯ng thùc Schur (vîi tr÷íng hñp r = 2) ta câ X x 4 +xyz X x X xy(x 2 +y 2 ) do â VT (1) 2 X xy(x 2 +y 2 ) 2: X xy:2xy = 4 X x 2 y 2 : Hay (1) ÷ñc chùng minh. V½ dö 3.4. Cho a;b;c> 0. Chùng minh r¬ng a 2 +bc a 2 (b +c) + b 2 +ca b 2 (c +a) + c 2 +ab c 2 (a +b) 1 a + 1 b + 1 c : Ta câ a 2 +bc a 2 (b +c) 1 a = a 2 +bca(b +c) a 2 (b +c) = (ab)(ac) a 2 (b +c) : Do â, b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi x(ab)(ac) +y(bc)(ba) +z(ca)(cb) 0 (1): Vîi x = 1 a 2 (b +c) , y = 1 b 2 (c +a) , z = 1 c 2 (a +b) . Gi£ sû a>b>c, ta câ 1 a 2 (b +c) 1 b 2 (c +a) = ab(ba) +c(b 2 a 2 ) a 2 b 2 (b +c)(c +a) > 0 hay x 0; 384. PH×ÌNG PHP QUY NP v 2 p k + 1 2 p k 1 p k + 1 = 2 p k + p k + 1 1 p k + 1 > 0: Tø â ta câ pcm. V½ dö 4.2 (VMO 2011). Chùng minh r¬ng vîi8n 1;8x> 0 ta câ b§t ¯ng thùc: x n (x n+1 + 1) x n + 1 x + 1 2 2n+1 : (1.4) ¯ng thùc x£y ra khi n o? Vîi n = 1 ta c¦n chùng minh: x(x 2 + 1) x + 1 x + 1 2 3 , 8x(x 2 + 1) (x + 1) 4 hay l : x 4 4x 3 + 6x 2 4x + 1 0, (x 1) 4 0 (óng): Suy ra (1.4) óng vîi n = 1. ¯ng thùc x£y ra khi x = 1. Gi£ sû (1.4) óng vîi n =k 1, tùc l : x k (x k+1 + 1) x k + 1 x + 1 2 2k+1 : (1.5) Ta c¦n chùng minh: x k+1 (x k+2 + 1) x k+1 + 1 x + 1 2 2k+3 : (1.6) Thªt vªy, ta câ: x + 1 2 2k+3 = x + 1 2 2 x + 1 2 2k+1 x + 1 2 2 x k (x k+1 + 1) x k + 1 : N¶n º chùng minh (1.6) ta ch¿ c¦n chùng minh x + 1 2 2 x k (x k+1 + 1) x k + 1 x k+1 (x k+2 + 1) x k+1 + 1 ; hay x + 1 2 2 (x k+1 + 1) 2 x(x k+2 + 1)(x k + 1): (1.7) Khai triºn (1.7), bi¸n êi v rót gån ta thu ÷ñc: x 2k+2 (x 1) 2 2x k+1 (x 1) 2 + (x 1) 2 0, (x 1) 2 (x k+1 1) 2 0; b§t ¯ng thùc cuèi hiºn nhi¶n óng. ¯ng thùc câ khi x = 1. Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. 394. PH×ÌNG PHP QUY NP V½ dö 4.3. Chon 2 sè thüc khæng ¥ma 1 a 2 a n câ têng b¬ng 1. Chùng minh r¬ng: n X i=1 (i 1)a 2 i n 1 2n n X i=1 a i ! 2 : (1.8) Vîi n = 2 ta câ: a 2 2 1 4 (a 1 +a 2 ) 2 óng do a 2 a 1 , n¶n (1.8) óng vîi n = 2. Gi£ sû (1.8) óng vîi n =k, tùc l : k X i=1 (i 1)a 2 i k 1 2k k X i=1 a i ! 2 : (1.9) Ta chùng minh (1.8) óng vîi n =k + 1, tùc l : k+1 X i=1 (i 1)a 2 i k 2(k + 1) k+1 X i=1 a i ! 2 , k X i=1 (i 1)a 2 i +ka 2 k+1 k 2(k + 1) k X i=1 a i +a k+1 ! 2 : (1.10) °t x = 1 k k P i=1 x i ;xx k+1 . Sû döng (1.9), ta ch¿ c¦n chùng minh: k 1 2k k X i=1 a i ! 2 +ka 2 k+1 k 2(k + 1) k X i=1 a i +a k+1 ! 2 , k(k 1) 2 x 2 +kx 2 k+1 k 2(k + 1) (kx +x k+1 ) 2 , (k 2 1)x 2 + 2(k + 1)x k+1 (kx +x k+1 ) 2 ,x 2 + 2kxx k+1 (2k + 1)x 2 k+1 0 , (xx k+1 ) [x + (2k + 1)x k+1 ] 0 (óng): Vªy (1.8) luæn óng. V½ dö 4.4. Cho c¡c sè nguy¶n d÷ìng ph¥n bi»t a 1 ; a 2 ; ; a n . Chùng minh r¬ng a 3 1 +a 3 2 + +a 3 n (a 1 +a 2 + +a n ) 2 : (1.11) óng vîi måi n 1: Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû a 1 0 thäa m¢n xyz 1. Chùng minh r¬ng x 5 x 2 x 5 +y 2 +z 2 + y 5 y 2 y 5 +z 2 +x 2 + z 5 z 2 z 5 +x 2 +y 2 0: (1) Ta câ x 5 x 2 x 5 +y 2 +z 2 x 5 x 2 xyz x 5 + (y 2 +z 2 )xyz = x 4 x 2 yz x 4 +yz (y 2 +z 2 ) 2x 4 x 2 (y 2 +z 2 ) 2x 4 + (y 2 +z 2 ) 2 = 2a 2 a (b +c) 2a 2 + (b +c) 2 ; vîi a =x 2 ; b =y 2 ; c =z 2 . Suy ra VT (1) X a; b; c 2a 2 a (b +c) 2a 2 + (b +c) 2 = X a; b; c a (ab) +a (ac) 2a 2 + (b +c) 2 = X (ab) a 2a 2 + (b +c) 2 b 2b 2 + (c +a) 2 = X a; b; c (ab) 2 c (2a + 2b +c) +a 2 ab +b 2 2a 2 + (b +c) 2 (2b 2 + (c +a) 2 ) 0 (óng): V½ dö 5.2 (VMO 2015). Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng (a +b +c) p ab + p bc + p ca + (ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 (a +b +c) 2 : B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi (ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 (a +b +c) a +b +c p ab p bc p ca : °t x = p a;y = p b;z = p c ta c¦n chùng minh X x 2 y 2 2 x 2 +y 2 +z 2 x 2 +y 2 +z 2 xyyzzx : (2) M x 2 +y 2 +z 2 xyyzzx = 1 2 (xy) 2 + 1 2 (yz) 2 + 1 2 (zx) 2 : 435. PH×ÌNG PHP PH N TCH BNH PH×ÌNG SOS N¶n (2) trð th nh S x (yz) 2 +S y (zx) 2 +S z (xy) 2 0; (3) vîi S x =y 2 +z 2 + 4yzx 2 ;S y =z 2 +x 2 + 4zxy 2 , S z =x 2 +y 2 + 4xyz 2 . G£i sû xyz , khi â S y 0;S z 0 v S x +S y = 2z 2 + 4yz + 4zx 0 . L¤i câ (xz) 2 (yz) 2 n¶n VT (3) (S x +S y ) (yz) 2 0 n¶n (3) óng: V½ dö 5.3. Cho a; b; c> 0. Chùng minh r¬ng: a 2 +b 2 +c 2 ab +bc +ca + 8abc (a +b)(b +c)(c +a) 2: Ta câ a 2 +b 2 +c 2 (ab +bc +ca) = 1 2 (ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 (a +b) (b +c) (c +a) 8abc =a (bc) 2 +b (ca) 2 +c (ab) 2 : B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi (ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 ab +bc +ca 2a (bc) 2 + 2b (ca) 2 + 2c (ab) 2 (a +b) (b +c) (c +a) , X (ab) 2 1 ab +bc +ca 2c (a +b) (b +c) (c +a) 0 , X (ab) 2 S c 0: (4) Vîi S a = 1 ab +bc +ca 2a (a +b) (b +c) (c +a) S b = 1 ab +bc +ca 2b (a +b) (b +c) (c +a) S c = 1 ab +bc +ca 2c (a +b) (b +c) (c +a) : Gi£ sû abc ta câ S b ; S c 0 v S a +S b = 2 ab +bc +ca 2 (a +c) (b +c) 0: Suy ra (4) óng. V½ dö 5.4. Cho a; b; c> 0. Chùng minh r¬ng: a 2 b + b 2 c + c 2 a 3(a 3 +b 3 +c 3 ) a 2 +b 2 +c 2 : Ta gi£ sû b n¬m giúa a v c. Ta câ a 2 b + b 2 c + c 2 a (a +b +c) = (ab) 2 b + (bc) 2 c + (ca) 2 a 3(a 3 +b 3 +c 3 ) a 2 +b 2 +c 2 (a +b +c) = (a +b) (ab) 2 + (b +c) (bc) 2 + (c +a) (ca) 2 a 2 +b 2 +c 2 : 445. PH×ÌNG PHP PH N TCH BNH PH×ÌNG SOS N¶n b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi S a (bc) 2 +S b (ca) 2 +S c (ab) 2 0: (5) Vîi S a = a 2 +b 2 bc c ; S b = b 2 +c 2 ac a ; S c = a 2 +c 2 ab b . N¸u abc)S a 0;S c 0 v S a + 2S b = a 2 +b 2 bc c + 2 b 2 +c 2 ca a > 0: Ta câ S c + 2S b = c 2 +a 2 ab b + 2 b 2 +c 2 ca a c 2 b +ab + 2 b 2 +c 2 ca a c 2 a +ab + 2 b 2 +c 2 ca a ; hay S c + 2S b a 2 + 2b 2 + 3c 2 ab 2ca a : M°t kh¡c 8 > < > : 1 3 a 2 + 3c 2 2ca 2 3 a 2 + 2b 2 >ab )a 2 + 2b 2 + 3c 2 2ca +ab: Do â, ta câ S c + 2S b > 0: N¸u abc)S b 0 th¼ ta câ S b +S a = b 2 +c 2 ca a + a 2 +b 2 bc c > 0 S b +S c = b 2 +c 2 ca a + c 2 +a 2 ab b > 0: V½ dö 5.5 (Iran 1996). Cho a; b; c l sè d÷ìng. Chùng minh r¬ng : (ab +bc +ca) 1 (a +b) 2 + 1 (b +c) 2 + 1 (c +a) 2 9 4 : °t x =a +b; y =b +c; z =c +a)a = x +zy 2 ;b = x +yz 2 ;c = z +yx 2 . B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh 2xy + 2yz + 2zxx 2 y 2 z 2 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 9 , 2 xy +yz +zxx 2 y 2 z 2 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 + x 2 +y 2 +z 2 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 9 0 , (xy) 2 + (yz) 2 + (zx) 2 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 + x 2 y 2 + y 2 x 2 2 + y 2 z 2 + z 2 y 2 2 + + z 2 x 2 + x 2 z 2 2 0 ,S z (xy) 2 +S x (yz) 2 +S y (zx) 2 0;S x = 2 yz 1 x 2 ; S y = 2 zx 1 y 2 ; S z = 2 xy 1 z 2 : 455. PH×ÌNG PHP PH N TCH BNH PH×ÌNG SOS Gi£ sû xyz suy ra S x 0;S x S y S z . M°t kh¡c y +zx)zxz (y +z) 2y 2 )S y 0 (xz) 2 y 2 z 2 (xy) 2 , (yz) (y +zx) 0 (óng): Suy ra S z (xy) 2 +S x (yz) 2 +S y (zx) 2 S y (zx) 2 +S z (xy) 2 y 2 z 2 (xy) 2 S y +S z (xy) 2 M y 2 S y +z 2 S z =y 2 2 zx 1 y 2 +z 2 2 xy 1 z 2 = 2y 2 zx + 2z 2 xy 2 0 ,y 3 +z 3 xyz: Do y +zx;y 2 +z 2 yzyz suy ra y 2 S y +z 2 S z 0: III. B i tªp B i 5.1 (B§t ¯ng thùc Schur). Cho a; b; c l c¡c khæng ¥m . Chùng minh r¬ng : a 3 +b 3 +c 3 + 3abcab (a +b) +bc (b +c) +ca (c +a): B i 5.2. Cho a; b; c 0 v khæng câ hai sè n o çng thíi b¬ng 0. Chùng minh r¬ng abbc +ca b 2 +c 2 + bcca +ab c 2 +a 2 + caab +bc a 2 +b 2 3 2 : B i 5.3. Cho a; b; c l c¡c khæng ¥m . Chùng minh r¬ng : a 3 +b 3 +c 3 + 3abcab p 2 (a 2 +b 2 ) +bc p 2 (b 2 +c 2 ) +ca p 2 (c 2 +a 2 ): B i 5.4. Cho a; b; c l sè khæng ¥m.Chùng minh r¬ng : 2a 2 +bc b 2 +c 2 + 2b 2 +ca c 2 +a 2 + 2c 2 +ab a 2 +b 2 9 2 : B i 5.5. Cho a, b, c l c¡c sè d÷ìng. Chùng minh r¬ng a 3 +b 3 +c 3 + 6 ab 2 +bc 2 +ca 2 3 a 2 b +b 2 c +c 2 a + 12abc: B i 5.6. (VN TST 2006) Chùng minh r¬ng vîi måi sè thücx;y;z2 [1; 2] , ta luæn câ b§t ¯ng thùc sau : (x +y +z) 1 x + 1 y + 1 z 6 x y +z + y z +x + z x +y : Häi ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi n o ? B i 5.7. B i 5.8. Cho c¡c sè thüc a;b;c2 [0; 1] thäa m¢n a +b +c = 2. Chùng minh r¬ng 2 3 (a 2 +b 2 +c 2 )a 3 +b 3 +c 3 4 3 (a 2 +b 2 +c 2 ) 3abc: 465. PH×ÌNG PHP PH N TCH BNH PH×ÌNG SOS B i 5.9. Cho a; b; c> 0. Chùng minh r¬ng: 1 2 + a 2 +b 2 +c 2 ab +bc +ca a b +c + b c +a + c a +b : B i 5.10. Cho a; b; c> 0. Chùng minh r¬ng: p 3(a 2 +b 2 +c 2 ) a 2 +b 2 a +b + b 2 +c 2 b +c + c 2 +a 2 c +a : B i 5.11. Cho a; b; c> 0. Chùng minh r¬ng: 3(a 2 +b 2 +c 2 ) a +b +c a 2 +b 2 a +b + b 2 +c 2 b +c + c 2 +a 2 c +a : B i 5.12. Cho a; b; c> 0. Chùng minh r¬ng: a 2 b +c + b 2 c +a + c 2 a +b +a +b +c 3 2 p 3(a 2 +b 2 +c 2 ): B i 5.13. Cho a; b; c> 0. Chùng minh r¬ng: a b +c + b c +a + c a +b 1 2 4 ab +bc +ca a 2 +b 2 +c 2 : B i 5.14. Cho a; b; c> 0. Chùng minh r¬ng: 2(a 3 +b 3 +c 3 ) abc + 9(a +b +c) 2 a 2 +b 2 +c 2 33: 476. PH×ÌNG PHP DÇN BIN x6. Ph÷ìng ph¡p dçn bi¸n I. Lþ thuy¸t Möc ½ch cõa ph÷ìng ph¡p n y l l m gi£m bi¸n trong b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. II. V½ dö minh håa V½ dö 6.1. Cho a; b; c3 v a +b +c = 3. Chùng minh r¬ng 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 1 a + 1 b + 1 c : Gi£ sû a = minfa; b; cg v °t f(a; b; c) = P cyc 1 a 2 1 a . Ta câ3a 1 v f(a; b; c)f a; b +c 2 ; b +c 2 = 1 b 2 + 1 c 2 8 (b +c) 2 1 b + 1 c 4 b +c = (bc) 2 (b 2 + 4bc +c 2 bc(b +c)) b 2 c 2 (b +c) 2 = (bc) 2 ((3a) 2 +bc(a 1)) b 2 c 2 (b +c) 2 (bc) 2 (3a) 2 + (3a) 2 (a 1) 4 b 2 c 2 (b +c) 2 = (bc) 2 (3a) 2 (a + 3) 4b 2 c 2 (b +c) 2 0: Ti¸p theo ta chùng minh f(a;t;t) 0 vîi t = a +b 2 = 3a 2 . Thªt vªy f(a;t;t) = 1 a 2 + 2 t 2 1 a 2 t = t 2 + 2a 2 at 2 2ta 2 a 2 t 2 = (a + 3)(a 1) 2 4a 2 t 2 0 Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 6.2. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c câ t½ch b¬ng 1. Chùng minh r¬ng 1 a + 1 b + 1 c + 6 a +b +c 5: 486. PH×ÌNG PHP DÇN BIN G£i sû a = maxfa; b; cg, suy ra bc 1a: °t f(a; b; c) = 1 a + 1 b + 1 c + 6 a +b +c v x = p bc. Ta câ f(a; b; c)f(a;x;x) = 1 b + 1 c 2 x + 6 a +b +c 6 a + 2x = p b p c 2 bc 6 p b p c 2 (a +b +c)(a + 2x) = p b p c 2 1 bc 6 (a +b +c)(a + 2x) : Ta câ (a +b +c)(a + 2x) 6bc 1 x 2 + 2x 1 x 2 + 2x 6x 2 3 3 6x 2 > 0: Suy ra f(a; b; c)f(a;x;x) =f 1 x 2 ;x;x : Ta chùng minh f 1 x 2 ;x;x 5: (1) Tuy nhi¶n (1) t÷ìng ÷ìng vîi (x 1) 2 (2x 4 + 4x 3 4x 2 x + 2) 0: (2) B§t ¯ng thùc (2) óng do 0c th¼ (1) luæn óng. +) X²t c>b. Khi â VT (1)> b 2 +c 2 2 v ca6c Ta chùng minh : (a +b +c) (ba)6b (b +c) (2) Thªt vªy (2),aba 2 +b 2 ab +bcca6b 2 +bc,a (c +a)> 0 (luæn óng) Tø â, suy ra VP (1)6bc (b +c) (cb) =bc c 2 b 2 : º chùng minh (1), ta chùng minh: b 2 +c 2 2 > 4bc b 2 c 2 (3): N¸u b = 0) (3) óng. X²t b6= 0 ta °t t = c b > 1. Khi â (3) trð th nh t 2 + 1 2 > 4t t 2 1 ,t 4 4t 3 + 2t 2 + 4t + 1 = 0, t 2 2t 1 2 > 0 (luæn óng): Suy ra (1) ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y khi 8 < : a = 0 c = 1 + p 2 b v c¡c ho¡n và. V½ dö 6.5 (Hojoo Lee). Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n ab +bc +ca = 1. Chùng minh r¬ng 1 a +b + 1 b +c + 1 c +a 5 2 : Gi£ sû c = maxfa; b; cg. °t f(a; b; c) = 1 a +b + 1 b +c + 1 c +a . N¸u c = 0, ta câ ab = 1 n¶n a +b 2 v f(a; b; c) = 1 a +b + 1 a + 1 b = 1 a +b +a +b = 1 a +b + a +b 4 + 3(a +b) 4 1 + 3 2 = 5 2 : 506. PH×ÌNG PHP DÇN BIN X²t P =f(a; b; c)f a +b; 1 a +b ;0 = 0 B @ 1 a +b + 1 b + 1ab a +b + 1 c + 1ab a +b 1 C A 0 B @ 1 a +b + 1 a +b +a +b + 1 a +b 1 C A = (a +b) 1 1 +a 2 + 1 1 +b 2 1 1 1 + (a +b) 2 = (a +b) a (2 2abab(a +b) 2 ) (1 +a 2 )(1 +b 2 )(1 + (a +b) 2 ) : Ta câ 2 2ab = 2(1ab) = 2(bc +ac) = 2c(a +b)ab(a +b) 2 . Suy ra P 0; tø â ta câ f(a; b; c)f(t; 1 t ;0) 5 2 : III. B i tªp B i 6.1. X²t c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa m¢n a +b +c = 3. a) T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P =abc + 12 ab +bc +ca : b) Chùng minh sè nguy¶n k nhä nh§t sao cho abc + k ab +bc +ca 1 + k 3 vîi måi a;b;c thäa m¢n i·u ki»n tr¶n l k = 10. B i 6.2 (Nguy¹n V«n Quþ). Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa m¢n i·u ki»n a +b +c = 3. Chùng minh r¬ng p 3a 2 + 4bc + 9 + p 3b 2 + 4ca + 9 + p 3c 2 + 4ab + 9 12: B i 6.3 (Liu Quan Bao). Choa;b;c;d l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n i·u ki»na +b +c = 3. Chùng minh r¬ng p 9 6ab +a 2 +b 2 + p 9 6bc +b 2 +c 2 + p 9 6ca +c 2 +a 2 3 p 5: B i 6.4. (Yi Chang) Cho c¡c sè thüc d÷ìnga;b;c thäa m¢n i·u ki»na+b+c = 3. Chùng minh r¬ng r 1 + 3bc + 7 12 (bc) 2 + r 1 + 3ca + 7 12 (ca) 2 + r 1 + 3ab + 7 12 (ab) 2 6: B i 6.5. (Vã Quèc B¡ C©n) Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa m¢n i·u ki»n a +b +c = 3. Chùng minh r¬ng p 2(a 2 +b 2 ) + 21c + p 2(b 2 +c 2 ) + 21a + p 2(c 2 +a 2 ) + 21b 15: B i 6.6. (Ph¤m Thanh Tòng) Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c câ têng b¬ng 3. Chùng minh r¬ng p 3a 2 a + 1 + p 3b 2 b + 1 + p 3c 2 c + 1 p 6(a 2 +b 2 +c 2 ) + 9 516. PH×ÌNG PHP DÇN BIN B i 6.7. (Ph¤m Kim Hòng) Cho c¡c sè thüc a;b;c thäa m¢n i·u ki»na+b+c = 2. Chùng minh r¬ng p a +b 2ab + p b +c 2bc + p c +a 2ca 2: º k¸t thóc b i vi¸t, chóng tæi xin giîi thi»u mët b i to¡n r§t ch°t v khâ cõa Liu Quan Ban. Ngo i líi gi£i b¬ng dçn bi¸n m chóng tæi bi¸t v giîi thi»u ð ¥y chóng tæi ch÷a th§y câ líi gi£i n o kh¡c. B i 6.8. (Liu Quan Bao) Cho c¡c sè thüc a;b;c thäa m¢n i·u ki»n a +b +c = 3. Chùng minh r¬ng p 2a 2 a + 1 + p 2b 2 b + 1 + p 2c 2 c + 1 1 3 p 21(a 2 +b 2 +c 2 ) + 99: B i 6.9. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c câ t½ch b¬ng 1. Chùng minh r¬ng 1 a + 1 b + 1 c + 13 a +b +c 25 4 : B i 6.10. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a 2 +b 2 +c 2 = 9: Chùng minh r¬ng 2(a +bc) +abc 10: B i 6.11. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa a +b +c = 3. Chùng minh r¬ng 2(a 4 +b 4 +c 4 ) + 36 7 a 3 +b 3 +c 3 + 3abc : B i 6.12. Cho c¡c sè thüc a; b; c> 0. Chùng minh r¬ng 2(a 2 +b 2 +c 2 ) + 3 3 p a 2 b 2 c 2 (a +b +c) 2 : B i 6.13. Cho c¡c sè thüc a; b; c3 thäa m¢n a +b +c = 3. Chùng minh r¬ng 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 1 a + 1 b + 1 c : B i 6.14. Cho c¡c sè thüc a; b; c thäa m¢n a 2 +b 2 +c 2 = 9: Chùng minh r¬ng 2(a +b +c)abc 10: B i 6.15 (Iran 1996). Cho a; b; c l sè d÷ìng. Chùng minh r¬ng : (ab +bc +ca) 1 (a +b) 2 + 1 (b +c) 2 + 1 (c +a) 2 9 4 : 52Ch÷ìng 2 C¡c ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ng thùc hi»n ¤i 531. PH×ÌNG PHP P; Q; R x1. Ph÷ìng ph¡p p; q; r I. Lþ thuy¸t 1. B§t ¯ng thùc Schur Cho c¡c sè thüc khæng ¥m x;y;z v sè thüc d÷ìng r. Khi â, ta câ b§t ¯ng thùc sau x r (xy)(xz) +y r (yx)(yz) +z r (zx)(zy) 0: ¯ng thùc x£y ra khi x =y =z ho°c z = 0;x =y v c¡c ho¡n và. H» qu£ 1. a) X²t r = 1 ta câ c¡c d¤ng sau x 3 +y 3 +z 3 + 3xyzxy(x +y) +yz(y +z) +zx(z +x) 4(x 3 +y 3 +z 3 ) + 15xyz (x +y +z) 3 xyz (x +yz)(y +zx)(z +xy) x 2 +y 2 +z 2 + 9xyz x +y +z 2(xy +yz +zx) (x +y +z) 3 + 9xyz 4(x +y +z)(xy +yz +zx) b) r = 2 ta câ c¡c d¤ng sau x 4 +y 4 +z 4 +xyz(x +y +z)xy(x 2 +y 2 ) +yz(y 2 +z 2 ) +zx(z 2 +x 2 ) 6xyz(x +y +z) [2(xy +yz +zx) (x 2 +y 2 +z 2 )] (x 2 +y 2 +z 2 +xy +yz +zx): 2. Mët sè biºu di¹n a thùc èi xùng ba bi¸n qua p; q; r Cho c¡c sè thüc a; b; c. °t p = a +b +c, p = ab +bc +ca v r = abc. Khi â ta câ c¡c biºu di¹n sau ab(a +b) +bc(b +c) +ca(c +a) =pq 3r. (a +b)(b +c)(c +a) =pqr. ab(a 2 +b 2 ) +bc ( b 2 +c 2 ) +ca(c 2 +a 2 ) =p 2 q 2q 2 pr. (a +b)(a +c) + (b +c)(b +a) + (c +a)(c +b) =p 2 +q. a 2 +b 2 +c 2 =p 2 2q. a 3 +b 3 +c 3 =p 3 3pq + 3r. a 4 +b 4 +c 4 =p 4 4p 2 q + 2q 2 + 4pr. a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 =q 2 2pr. a 3 b 3 +b 3 c 3 +c 3 a 3 =q 3 3pqr + 3r 2 . a 4 b 4 +b 4 c 4 +c 4 a 4 =q 4 4pq 2 r + 2p 2 r 2 + 4qr 2 . 541. PH×ÌNG PHP P; Q; R 3. Mët sè ¡nh gi¡ giúa p; q; r Düa v o c¡c b§t ¯ng thùc cì b£n ba bi¸n v b§t ¯ng thùc Schur ta câ c¡c ¡nh gi¡ sau (a +b +c) 2 3(ab +bc +ca))p 2 3q. (a +b +c) 3 27abc)p 3 27r. (ab +bc +ca) 2 3abc(a +b +c))q 2 3pr. (a +b +c)(ab +bc +ca) 9abc)pq 9r. p 3 + 9r 4pq (BT Schur vîi r = 1). p 4 + 4q 2 + 6pr 5p 2 q (BT Schur vîi r = 2). r max 0; p(4qp 2 ) 9 (BT Schur vîi r = 1). r max 0; (4qp 2 )(p 2 q) 6p (BT Schur vîi r = 2). II. Mët sè v½ dö V½ dö 1.1. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a 2 +b 2 +c 2 = 3. Chùng minh r¬ng 5(a +b +c) + 3 abc 18: Ta câ p 2 2q = 3 v b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh 5p + 3 r 18: (1) Ta câ q 2 3rq) 3 r 9p q 2 = 36p (p 2 3) 2 : Do â VT (1) 5p + 36p (p 2 3) 2 : N¶n ta i chùng minh 5p + 36p (p 2 3) 2 , 5p 5 18p 4 30p 3 + 108p 2 + 81p 162 0 , (p 3) 2 (5p 3 + 12p 2 3p 18) 0 (2) Ta câ 3

0; n¶n (2) luæn óng. 551. PH×ÌNG PHP P; Q; R V½ dö 1.2. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n ab +bc +ca = 1. Chùng minh r¬ng 1 a +b + 1 b +c + 1 c +a 5 2 : B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi (a +b)(b +c) + (b +c)(c +a) + (c +a)(a +b) (a +b)(b +c)(c +a) 5 2 , p 2 +q pqr 5 2 , p 2 + 1 pr 5 2 , 2p 2 5p + 5r + 2 0: (1) N¸u p 2 th¼ 2p 2 5p + 2 + 5r = (p 2)(2p 1) + 5r 0; suy ra (1) óng. X²t p 3p< 2 ta câ r 4pqp 3 9 = 4pp 3 9 . N¶n º chùng minh (1) ta chùng minh 2p 2 5p + 2 + 5 4pp 3 9 0, (p 2)(5p 2 8p + 9) (luæn óng): V½ dö 1.3. Chùng minh r¬ng n¸u x; y; z > 0 th¼ (xy +yz +zx)( 1 (x +y) 2 + 1 (y +z) 2 + 1 (z +x) 2 ) 9 4 : Ta câ (x +y) 2 (y +z) 2 + (y +z) 2 (z +x) 2 + (z +x) 2 (x +y) 2 = ((x +y)(y +z) + (y +z)(z +x) + (z +x)(x +y)) 2 4(x +y)(y +z)(z +x)(x +y +z) = (p 2 +q) 2 4p(pqr): Do â b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi q( (p 2 +q) 2 4p(pqr) (pqr) 2 ) 9 4 , 4p 4 q 17p 2 q 2 + 4q 3 + 34pqr 9r 2 0 , 3pq(p 3 4pq + 9r) +q(p 4 5p 2 q + 4q 2 + 6pr) +r(pq 9r) 0: B§t ¯ng thùc cuèi óng n¶n ta câ pcm. III. B i tªp B i 1.1. Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c thäa abc = 1. Chùng minh r¬ng : 1 + 3 a +b +c 6 ab +bc +ca : 561. PH×ÌNG PHP P; Q; R B i 1.2. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n ab +bc +ca + 6abc = 9: Chùng minh r¬ng a +b +c + 3abc 6: B i 1.3. Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n ab +bc +ca = 3.Chùng minh r¬ng: a 3 +b 3 +c 3 + 7abc 10: B i 1.4. Cho a; b; c> 0 thäa a +b +c = 3.Chùng minh r¬ng: 3 + 12 abc 5 1 a + 1 b + 1 c : B i 1.5. Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n a 2 +b 2 +c 2 = 3.Chùng minh r¬ng: 1 2a + 1 2b + 1 2c 3: B i 1.6. Cho a, b, c l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n a +b +c = 3.Chùng minh r¬ng: 1 9ab + 1 9bc + 1 9ca 3 8 : B i 1.7. Cho c¡c sè thüc khæng ¥mx;y;z thäa m¢nxy +yz +zx +xyz = 4. Chùng minh r¬ng x 2 +y 2 +z 2 + 5xyz 8: 572. PH×ÌNG PHP SÛ DÖNG TIP TUYN V CT TUYN x2. Ph÷ìng ph¡p sû döng ti¸p tuy¸n v c¡t tuy¸n I. Lþ thuy¸t 1. H m lçi - D§u hi»u h m lçi ành ngh¾a 1. Cho h m sè y =f(x) li¶n töc [a; b] v câ ç thà l (C). Khi â ta câ hai iºm A(a;f(a)); B(b;f(b)) n¬m tr¶n ç thà (C): i) ç thà (C) gåi l lçi tr¶n (a;b) n¸u ti¸p tuy¸n t¤i måi iºm n¬m tr¶n cung AB luæn n¬m ph½a tr¶n ç thà (C). ii) ç thà (C) gåi l lãm tr¶n (a;b) n¸u ti¸p tuy¸n t¤i måi iºm n¬m tr¶n cung AB luæn n¬m ph½a d÷îi ç thà (C). x y O M A B ç thà h m sè lãm x y O M A B ç thà h m sè lçi ành l½ 1 (D§u hi»u h m lçi, lãm). Cho h m sè y =f(x) câ ¤o h m c§p hai li¶n töc tr¶n (a;b). Khi â N¸u f 00 (x)> 08x2 (a;b) th¼ ç thà h m sè lãm tr¶n (a;b). N¸u f 00 (x)< 08x2 (a;b) th¼ ç thà h m sè lçi tr¶n (a;b). 2. B§t ¯ng thùc ti¸p tuy¸n - B§t ¯ng thùc c¡t tuy¸n ành l½ 2 (B§t ¯ng thùc ti¸p tuy¸n). Cho h m sè y = f(x) li¶n töc v câ ¤o h m ¸n c§p hai tr¶n [a;b]. Khi â ta câ N¸u f 00 (x) 08x2 [a;b] th¼ f(x)f 0 (x 0 )(xx 0 ) +f(x 0 )8x 0 2 [a;b] N¸u f 00 (x) 08x2 [a;b] th¼ f(x)f 0 (x 0 )(xx 0 ) +f(x 0 )8x 0 2 [a;b] ¯ng thùc trong hai b§t ¯ng thùc tr¶n x£y ra khi x =x 0 . Chùng minh: Ta chùng minh tr÷íng hñp thù nh§t, tr÷íng hñp thù hai chùng minh t÷ìng tü. X²t h m sè g(x) =f(x)f 0 (x 0 )(xx 0 )f(x 0 ), x2 [a;b]. Ta câ : g 0 (x) =f 0 (x)f 0 (x 0 ))g 00 (x) =f 00 (x) 08x2 [a;b]. Suy ra g 0 (x) = 0,x =x 0 v g 0 (x) êi d§u tø sang + khi x qua x 0 n¶n ta câ : g(x)g(x 0 ) = 08x2 [a;b]: ành l½ 3 (B§t ¯ng thùc c¡t tuy¸n). Cho h m sè y =f(x) li¶n töc v câ ¤o h m ¸n c§p hai tr¶n [a;b]. Khi â 582. PH×ÌNG PHP SÛ DÖNG TIP TUYN V CT TUYN N¸u f 00 (x) 08x2 [a;b] th¼ f(x) f(a)f(b) ab (xa) +f(a)8x 0 2 [a;b] N¸u f 00 (x) 08x2 [a;b] th¼ f(x) f(a)f(b) ab (xa) +f(a)8x 0 2 [a;b]. ¯ng thùc trong c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n câ khi v ch¿ khi x =a ho°c x =b. II. C¡c v½ dö minh håa V½ dö 2.1. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa a +b +c = 1. Chùng minh r¬ng a p a 2 + 1 + b p b 2 + 1 + c p c 2 + 1 3 p 10 : X²t h m sè f(x) = x p x 2 + 1 vîi x2 (0; 1). Ta câ: f 0 (x) = 1 q (x 2 + 1) 3 )f 00 (x) = 3x q (x 2 + 1) 5 < 08x2 (0; 1): N¶n ta câ: f(a)f 0 ( 1 3 )(a 1 3 ) +f( 1 3 ) f(b)f 0 ( 1 3 )(b 1 3 ) +f( 1 3 ) f(c)f 0 ( 1 3 )(c 1 3 ) +f( 1 3 ): Suy ra : f(a) +f(b) +f(c)f 0 1 3 (a +b +c 1) + 3f( 1 3 ) = 3 p 10 : ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 1 3 . V½ dö 2.2. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa : a 2 +b 2 +c 2 = 3. Chùng minh r¬ng 1 p 1 + 8a + 1 p 1 + 8b + 1 p 1 + 8b 1: X²t h m sè : f(x) = 1 p 1 + 8a , 0 08x2 ( 1 8 ; p 3]: N¶n ta câ : f(a)f 0 (1)(a 1) +f(1) f(b)f 0 (1)(b 1) +f(1) f(c)f 0 (1)(c 1) +f(1) 592. PH×ÌNG PHP SÛ DÖNG TIP TUYN V CT TUYN Suy ra f(a) +f(b) +f(c)f 0 (1)(a +b +c 3) + 3f(1): () M°t kh¡c (a +b +c) 2 3(a 2 +b 2 +c 2 ) = 9)3a +b +c 3)a +b +c 3 0 v f 0 (1) = 4 27 < 0 n¶n tø (*) ta suy ra : f(a) +f(b) +f(c) 3f(1) = 1. Nhªn x²t 1. D§u hi»u gióp chóng ta nhªn ra ph÷ìng ph¡p tr¶n l b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh câ d¤ng f(a 1 ) +f(a 2 ) + +f(a n )k ho°c f(a 1 ) +f(a 2 ) + +f(a n )k; trong â a i (i = 1;::;n) l c¡c sè thüc cho tr÷îc. Trong mët sè tr÷íng hñp BT ch÷a câ d¤ng tr¶n, ta ph£i thüc hi»n mët sè ph²p bi¸n êi mîi ÷a v· d¤ng tr¶n.Chóng ta c¦n chó þ mët sè d§u hi»u sau. N¸u b§t ¯ng thùc câ d¤ng f(a 1 )f(a 2 )f(a n )k th¼ ta l§y ln hai v¸ N¸u b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh çng bªc th¼ ta câ thº chu©n hâa. Tòy thuëc v o tøng b i to¡n m ta lüa chån c¡ch chu©n hâa phò hñp. V½ dö 2.3. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c thäa : a +b +c = 3. T¼m GTLN cõa biºu thùc : P = a + p 1 +a 2 b b + p 1 +b 2 c c + p 1 +c 2 a : Ta câ : lnP =b ln(a + p 1 +a 2 ) +c ln b + p 1 +b 2 +a ln c + p 1 +c 2 : X²t h m sè : f(x) = ln x + p 1 +x 2 ; 0 0thäax+y+z = 1.T¼mGTNNcõabiºuthùcP =x y +y z +z x . p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ : P 3 3 p x y :y z :z x : °t A =x y :y z :z x ) lnA =y lnx +z lny +x lnz. V¼ h m sè f(t) = lnt câ f 00 (t) = 1 t 2 < 0. Suy ra lnxf 0 1 3 x 1 3 +f( 1 3 ) = 3x 1 ln 3: Do â lnAy(3x 1 ln 3) +z(3y 1 ln 3) +x(3z 1 ln 3) = 3(xy +yz +zx) 1 3 ln 3 (x +y +z) 2 1 3 ln 3 =3 ln 3: Suy ra A 1 3 )P 3 3 p 3. ¯ng thùc x£y ra,x =y =z = 1 3 . Vªy GTNN cõa P = 3 3 p 3. V½ dö 2.5. Cho a;b;c 1 2 thäa a +b +c = 2. T¼m GTNN cõa biºu thùc P =a a +b b +c c : X²t h m sè f(t) =t t ; 1 2 t 1. Ta câ : lnf(t) =t lnt l§y ¤o h m hai v¸ ta ÷ñc f 0 (t) = (1 + lnt)f(t)) lnf 0 (t) = lnf(t) + ln (lnt + 1) ) f 00 (t) f 0 (t) = f 0 (t) f(t) + 1 t(lnt + 1) = 1 + lnt + 1 t(lnt + 1) )f 00 (t) = (1 + lnt)f(t) 1 + lnt + 1 t(1 + lnt) > 08t2 [ 1 2 ; 1]: V¼ a;b;c2 1 2 ; 1 n¶n ¡p döng b§t ¯ng thùc ti¸p tuy¸n, ta câ : f(a)f 0 ( 2 3 )(a 2 3 ) +f( 2 3 ) f(b)f 0 ( 2 3 )(b 2 3 ) +f( 2 3 ) f(c)f 0 ( 2 3 )(c 2 3 ) +f( 2 3 ): Cëng ba b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ : f(a) +f(b) +f(c)f 0 ( 2 3 ) (a +b +c 2) + 3f( 2 3 ) = 3 3 r 4 9 : Vªy GTNN cõa P = 3 3 r 4 9 ¤t ÷ñc,a =b =c = 2 3 . 612. PH×ÌNG PHP SÛ DÖNG TIP TUYN V CT TUYN V½ dö 2.6. Cho tam gi¡c ABC câ mët gâc khæng nhä hìn 2 3 . Chùng minh r¬ng : tan A 2 + tan B 2 + tan C 2 4 p 3: Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû A 2 3 >BC)C 6 . H m sè f(x) = tanx, x2 0; 3 câ f 00 (x)> 08x2 0; 3 : p döng BT ti¸p tuy¸n, ta câ f( A 2 )f 0 ( 3 )( A 2 3 ) +f( 3 ) f( B 2 )f 0 ( 12 )( B 2 12 ) +f( 12 ) f( C 2 )f 0 ( 12 )( C 2 12 ) +f( 12 ): Suy ra f A 2 +f B 2 +f C 2 h f 0 ( 3 )f 0 ( 12 ) i A 2 2 3 +f 0 ( 12 ) A +B +C 2 2 +f 3 + 2f 12 : Do f 0 3 f 0 12 > 0; A 2 3 0 v A +B +C 2 = 2 n¶n ta câ : f A 2 +f B 2 +f C 2 f 3 + 2f 12 = 4 p 3: ¯ng thùc x£y ra,A = 2 3 ;B =C = 6 v c¡c ho¡n và. V½ dö 2.7. Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a;b;c thäa max{a;b;c} 3 4 v a +b +c = 1. T¼m GTNN cõa biºu thùc : P = 3 p 1 + 3a 2 + 3 p 1 + 3b 2 + 3 p 1 + 3c 2 : Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû a = max{a;b;c})a 3 4 ;c 1 8 . X²t h m sè f(x) = 3 p 1 + 3x 2 , x2 (0; 1) câ f 0 (x) = 2x 3 q (1 + 3x 2 ) 2 )f 00 (x) = 2 2x 2 3 q (1 + 3x 2 ) 5 > 08x2 (0; 1): 622. PH×ÌNG PHP SÛ DÖNG TIP TUYN V CT TUYN p döng b§t ¯ng thùc ti¸p tuy¸n, ta câ : f (a)f 0 3 4 a 3 4 +f 3 4 f (b)f 0 1 8 b 1 8 +f 1 8 f (c)f 0 1 8 c 1 8 +f 1 8 Cëng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ f (a) +f (b) +f (c) f 0 3 4 f 0 1 8 a 3 4 +f 3 4 + 2f 1 8 f 3 4 + 2f 1 8 = 3 p 172 + 2 3 p 67 4 : ¯ng thùc x£y ra,a = 3 4 ;b =c = 1 8 v c¡c ho¡n và. Vªy minP = 3 p 172 + 2 3 p 67 4 . Nhªn x²t 2. Trong mët sè tr÷íng hñp ç thà h m sè y = f(x) câ kho£ng lçi, lãm tr¶n [a;b] nh÷ng ta v¨n câ ÷ñc ¡nh gi¡ : f(x)f 0 (x 0 )(xx 0 ) +f(x 0 ) ,x 0 2 (a;b): V½ dö 2.8. Cho a;b;c2R v a +b +c = 6. Chùng minh r¬ng : a 4 +b 4 +c 4 2(a 3 +b 3 +c 3 ): B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi a 4 2a 3 + b 4 2b 3 + c 4 2c 3 0,f (a) +f (b) +f (c) 0: Trong â f(x) = x 4 2x 3 . Ta th§y f 00 (x) = 12x 2 12x n¶n ç thà h m sè f câ kho£ng lçi v kho£ng lãm do â ta khæng thº ¡p döng BT ti¸p tuy¸n ÷ñc. Tuy nhi¶n ta v¨n câ thº ¡nh gi¡ ÷ñc f(x) qua ti¸p tuy¸n cõa nâ t¤i iºm câ ho nh ë x = 2 (v¼ ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 2). Ta câ ti¸p tuy¸n cõa ç thà h m sè t¤i y =f(x) iºm câ ho nh ë x = 2 l : y = 8x 16. f (x) (8x 16) =x 4 2x 3 8x + 16 = (x 2) 2 x 2 2x + 4 08x2R: Suy ra f (a) +f (b) +f (c) 8 (a +b +c) 48 = 0: Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 2.9 (Ba Lan 1996). Cho a;b;c 3 4 v a +b +c = 1. Chùng minh r¬ng: a a 2 + 1 + b b 2 + 1 + c c 2 + 1 9 10 : 632. PH×ÌNG PHP SÛ DÖNG TIP TUYN V CT TUYN Ta th§y ¯ng thùc x£y ra khia =b =c = 1 3 v b§t ¯ng thùc ¢ cho câ d¤ng:f(a)+f(b)+f(c) 9 10 trong â f(x) = x x 2 + 1 vîi x2 [ 3 4 ; 5 2 ] . Ti¸p tuy¸n cõa ç thà h m sè y =f(x) t¤i iºm câ ho nh ë x = 1 3 l : y = 36x + 3 50 . Ta câ: 36x + 3 50 f(x) = 36x + 3 50 x x 2 + 1 = (3x 1) 2 (4x + 3) 50(x 2 + 1) 08x2 [ 3 4 ; 5 2 ]: Vªy a a 2 + 1 + b b 2 + 1 + c c 2 + 1 36(a +b +c) + 9 50 = 9 10 : B i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 2.10. Cho a;b;c l ë d i ba c¤nh tam gi¡c. Chùng minh r¬ng : 1 a + 1 b + 1 c + 9 a +b +c 4 1 a +b + 1 b +c + 1 c +a : Khæng l m m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ sû , khi â Bt ¢ cho trð th nh 5a 1 aa 2 + 5a 1 bb 2 + 5c 1 cc 2 9: V¼ a;b;c l ë d i ba c¤nh tam gi¡c v a +b +c = 1 suy ra a;b;c2 (0; 1 2 ). Ta câ 5a 1 aa 2 (18a 3) = (3a 1) 2 (2a 1) aa 2 08a2 (0; 1 2 ): Suy ra 5a 1 aa 2 18a 38a2 (0; 1 2 ). Ta công câ hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü. Cëng c¡c b§t ¯ng thùc n y l¤i vîi nhau ta câ 5a 1 aa 2 + 5a 1 bb 2 + 5c 1 cc 2 18(a +b +c) 9 = 9: B i to¡n ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khia =b =c = 1 3 . V½ dö 2.11 (Trung Quèc 2005). Cho a;b;c> 0 v a +b +c = 1. Chùng minh r¬ng: 10 a 3 +b 3 +c 3 ) 9(a 5 +b 5 +c 5 1: Gi£ sû abc. X²t h m sè f(x) = 10x 3 9x 4 ; x2 (0; 1) câ f 0 (x) = 30x 2 45x 4 )f 00 (x) = 60x 180x 3 : Suy ra f 00 (x) = 0,x =x 0 = r 1 3 çng thíi f 00 (x)> 08x2 (0;x 0 ) v f 00 (x)< 08x2 (x 0 ; 1): 642. PH×ÌNG PHP SÛ DÖNG TIP TUYN V CT TUYN N¸u ax 0 . p döng b§t ¯ng thùc ti¸p tuy¸n v c¡t tuy¸n ta câ: f(a) f(1)f(x 0 ) 1x 0 (a 1) +f (1)>f(1) = 1 f(b)f 0 (0) (b 0) +f (0) = 0 f(c)f 0 (0) (c 0) +f (0) = 0: Do â f(a) +f(b) +f(c)> 1. Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 2.12. Cho ABC nhån. T¼m GTLN cõa biºu thùc F = sinA sin 2 B sin 3 C: Ta câ lnF = ln sinA + 2 ln sinB + 3 ln sinC: X²t h m sè f(x) = ln sinx; x2 (0; 2 ), ta câ f 0 (x) = cotx)f 00 (x) = 1 sin 2 x 8x2 0; 2 : p döng b§t ¯ng thùc ti¸p tuy¸n vîi MNP nhån, ta câ : f(A)f 0 (M) (AM) +f(M) = (AM) cotM + ln sinM f(B)f 0 (N) (BN) +f(N) = (BN) cotN + ln sinN f(C)f 0 (P ) (CP ) +f(P ) = (CP ) cotP + ln sinP: Suy ra tanMf(A) + tanNf(B) + tanPf(C) tanM ln sinM + tanN ln sinN + tanP ln sinP: Chån ba gâc M; N; P sao cho : tanM 1 = tanN 2 = tanP 3 =k) tanM =k; tanN = 2k; tanP = 3k: M°t kh¡c : tanM + tanN + tanP = tanM: tanN: tanP, suy ra 6k = 6k 3 )k = 1) sinM = tanM p 1 + tan 2 M = 1 p 2 ; sinN = 2 p 5 ; sinP = 3 p 10 : 652. PH×ÌNG PHP SÛ DÖNG TIP TUYN V CT TUYN Do â, ta câ f(A) +f(B) +f(C) ln 1 p 2 + 2 ln 2 p 5 + 3 ln 3 p 10 = ln 27 25 p 5 ; hay F 27 25 p 5 . ¯ng thùc x£y ra,A =M;B =N;C =P. Vªy GTLN cõa F = 27 25 p 5 . III. B i tªp B i 2.1 (Albania 2002). Cho a;b;c> 0. Chùng minh r¬ng : 1 + p 3 3 p 3 (a 2 +b 2 +c 2 )( 1 a + 1 b + 1 c )a +b +c + p a 2 +b 2 +c 2 : B i 2.2. Cho n sè thüc x 1 ;x 2 ;:::;x n thuëc kho£ng (0; 2 ) thäa : tanx 1 + tanx 2 + + tanx n n: Chùng minh r¬ng sinx 1 sinx 2 sinx n 1 p 2 n : B i 2.3. Cho c¡c sè thüc a;b;c> 0 tho£ m¢na +b +c = 1. Chùng minh : a 1 +bc + b 1 +ac + c 1 +ab 9 10 : B i 2.4. Cho a;b;c> 0. Chùng minh r¬ng : (b +ca) 2 (b +c) 2 +a 2 + (c +ab) 2 (c +a) 2 +b 2 + (a +bc) 2 (a +b) 2 +c 2 3 5 : B i 2.5. Cho a, b, c >1 v a +b +c = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa S =a 3 +b 3 +c 3 + 5(a 2 +b 2 +c 2 ): B i 2.6. Cho a +b +c =6 vîi a, b, c<1: T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa S = a a 2 +a + 1 + b b 2 +b + 1 + c c 2 +c + 1 : B i 2.7. Cho a, b, c> 2 3 v 4(ab +bc +ca) +a +b +c 15: T½nh gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc S =a 3 +b 3 +c 3 + 2(a 2 b +b 2 c +c 2 a): 662. PH×ÌNG PHP SÛ DÖNG TIP TUYN V CT TUYN B i 2.8. Cho a, b, c2 0; 4 3 v 2(ab +bc +ca) + 3(a +b +c) = 3: T¼m gi¡ trà nhä nh§t S = 2(a 3 +b 3 +c 3 ) 3(a 2 b +b 2 c +c 2 a): B i 2.9. Cho c¡c sè d÷ìng a, b, c thäa m¢n ab +bc +ca = 3: T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa S = 5(a 3 +b 3 +c 3 ) + 2(a 2 b +b 2 c +c 2 a): B i 2.10. Cho a, b, c2 1 2 ; p 2 v ab +bc +ca + 9 = 4(a +b +c). T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa T = 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 b a + a c + c b : B i 2.11. Cho c¡c sè d÷ìng a,b,c thäa m¢n 3(ab +bc +ca) (a +b +c) 6: T½nh gi¡ trà nhä nh§t cõa A =a 5 +b 5 +c 5 + 3(a 4 b +b 4 c +c 4 a): B i 2.12. Cho a, b, c2 [0;4] thäa m¢n ab +bc +ca 3: T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa B = (a 2 +b 2 +c 2 ) +b p 3a + 1 +c p 3b + 1 +a p 3c + 1: B i 2.13. Cho tam gi¡c ABC nhån. T¼m GTNN cõa biºu thùc : F = tanA + 2 tanB + 3 tanC: B i 2.14. Cho x; y; z > 0 thäa x +y +z = 1. T¼m GTNN cõa : P =x 3 + p 1 +y 2 + 4 p 1 +z 4 : 67Ch÷ìng 3 Mët sè chuy¶n · x1. Ùng döng i·u ki»n câ nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh bªc ba trong chùng minh b§t ¯ng thùc I. Lþ thuy¸t 1. Mð ¦u ành l½ Vi-²t £o èi vîi ph÷ìng tr¼nh bªc hai ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: ành l½ 1. N¸u hai sè a;b câ têng l S v t½ch l P th¼ hai sè â l hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh x 2 Sx +P = 0: (3.1) Ph÷ìng tr¼nh (3.1) câ nghi»m khi v ch¿ khi =S 2 4P 0 hay S 2 4P. M S = a +b;P = ab n¶n ta câ i·u ki»n º tçn t¤i hai sè a;b (tùc l ph÷ìng tr¼nh (3.1) câ nghi»m) l : (a +b) 2 4ab: ¥y ch½nh l b§t ¯ng thùc quen thuëc. N¸u a; b 0 th¼ ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc AM-GM. T÷ìng tü èi vîi ành l½ Vi-²t £o cõa ph÷ìng tr¼nh bªc ba nh÷ sau: °t m =a +b +c;n =ab +bc +ca;p =abc . Khi â, a; b; c l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh x 3 mx 2 +nxp = 0: (3.2) Ta i t¼m i·u ki»n º ph÷ìng tr¼nh (3.2) câ ba nghi»m (câ thº tròng nhau). 2. Mët sè k¸t qu£ °t: x =y + m 3 ; = m 2 3 n; = 9mn 2m 3 27p 27 . Tø (3.2) ta thu ÷ñc ph÷ìng tr¼nh y 3 y + = 0: (3.3) Sè nghi»m cõa (3.3) ch½nh l sè giao iºm cõa ç thà (C) :f(y) =y 3 y + vîi tröc ho nh. Ta câ: f 0 (y) = 3y 2 : N¸u < 0 th¼ f 0 (y)> 0;8y n¶n ph÷ìng tr¼nh (3.3) câ óng 1 nghi»m. N¸u = 0 th¼ ph÷ìng tr¼nh (3.3) câ nghi»m bëi ba. 681. ÙNG DÖNG IU KIN CÂ NGHIM CÕA PH×ÌNG TRNH BC BA TRONG CHÙNG MINH BT NG THÙC N¸u > 0 th¼ f 0 (y) = 0 câ hai nghi»m y 1 = r 3 ; y 2 = r 3 , khi â f (y 1 ) = 2 3 r 3 + ; f (y 2 ) = 2 3 r 3 + : Suy ra f (y 1 ):f (y 2 ) = 2 4 3 27 = 27 2 4 3 27 : Do â, ph÷ìng tr¼nh (3.3) câ ba nghi»m khi v ch¿ khi: f (y 1 ):f (y 2 ) 0, 4 3 27 2 0: Hay l : 9mn 27p 2m 3 2 q (m 2 3n) 3 : K¸t qu£ 1. Cho c¡c sè thüc a; b; c. °t a +b +c =m; ab +bc +ca =n; abc =p: Khi â, ta câ ¡nh gi¡ sau: 9mn 27p 2m 3 2 q (m 2 3n) 3 : (3.4) Vîi a; b; c 0, °t a +b +c = 3u, ab +bc +ca = 3v 2 v abc =w 3 . V¼ (a +b +c) 2 3 (ab +bc +ca) 9 3 q (abc) 2 n¶n ta câ uvw. Khi â (3.4) trð th nh 9 3u 3v 2 27w 3 2 27u 3 2 q (9u 2 9v 2 ) 3 : Hay 3uv 2 w 3 2u 3 2 q (u 2 v 2 ) 3 : (3.5) Chia hai v¸ cõa (3.5) cho u 3 ta câ 3 v u 2 w u 3 2 2 s 1 v u 2 3 : Hay l 2 s 1 v u 2 3 3 v u 2 w u 3 2 2 s 1 v u 2 3 : Suy ra 3 v u 2 2 s 1 v u 2 3 2 w u 3 3 v u 2 + 2 s 1 v u 2 3 2: K¸t qu£ 2: Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c. °t a +b +c = 3u, ab +bc +ca = 3v 2 v abc =w 3 vîi u;v;w l c¡c sè thüc d÷ìng. Khi â uvw v 3 v u 2 2 s 1 v u 2 3 2 w u 3 3 v u 2 + 2 s 1 v u 2 3 2: (3.6) 691. ÙNG DÖNG IU KIN CÂ NGHIM CÕA PH×ÌNG TRNH BC BA TRONG CHÙNG MINH BT NG THÙC II. V½ dö minh håa V½ dö 1.1. Cho c¡c sè thüc a; b; c thäa m¢n a +b +c = 0. Chùng minh r¬ng a 2 +b 2 +c 2 3 24 a 3 +b 3 +c 3 1 : Ta câ m = 0 n¶n (3.4) trð th nh j27pj 2 q (3n) 3 ,n 3 27 4 p 2 = 3 3 2 p 1 2 + 9p 3 9p 3: Hay l (ab +bc +ca) 3 9abc 3: M°t kh¡c a +b +c = 0 n¶n ta câ a 3 +b 3 +c 3 = 3abc v (ab +bc +ca) = a 2 +b 2 +c 2 2 : Do vªy, ta câ a 2 +b 2 +c 2 3 24 a 3 +b 3 +c 3 1 : Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 1.2. Cho c¡c sè thüc a; b; c câ têng b¬ng1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P = 2abc + (ab +bc +ca) 2 : Ta câ m =1 n¶n ¡p döng (3.4) ta câ j9n + 27p 2j 2 q (1 3n) 3 )p 1 3 n + 2 27 2 27 q (1 3n) 3 : Do â 27P18n + 4 4 q (1 3n) 3 + 27n 2 = 3 (3n 1) 2 4 q (1 3n) 3 + 1: °t t = p 1 3n;t 0 ta câ 27P 3t 4 4t 3 + 1 = (t 1) 2 3t 2 t + 1 0: Do â P 0. ¯ng thùc x£y ra khi a =1; b =c = 0 v c¡c ho¡n và. Vªy minP = 0. V½ dö 1.3. Cho c¡c sè thüc a;b;c thäa m¢n a 2 +b 2 +c 2 = 3:Chùng minh r¬ng 3 (abc 2) (a +b +c) (ab +bc +ca) 3 (abc + 2): Ta câ a 2 +b 2 +c 2 = 3 n¶n (a +b +c) 2 = 2 (ab +bc +ca) + 3 hay n = m 2 3 2 . Tø (3.4) ta suy ra 2 0 @ m 3 s 9m 2 2 3 1 A 9mn 27p 2 0 @ m 3 + s 9m 2 2 3 1 A : 701. ÙNG DÖNG IU KIN CÂ NGHIM CÕA PH×ÌNG TRNH BC BA TRONG CHÙNG MINH BT NG THÙC Ta chùng minh m 3 + s 9m 2 2 3 27, 9m 2 2 3 27m 3 2 : Khai triºn v bi¸n êi ta ÷ñc (m 3) 2 m 4 + 6m 3 + 24m 2 + 42m + 63 0: B§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng do m 4 + 6m 3 + 24m 2 + 42m + 63 = m 2 + 3m + 7 2 +m 2 + 14> 0: Chùng minh t÷ìng tü, ta câ m 3 s 9m 2 2 3 27: Do vªy ta câ ÷ñc b§t ¯ng thùc 54 9mn 27p 54, 3p 6mn 3p + 6: Hay l 3 (abc 2) (a +b +c) (ab +bc +ca) 3 (abc + 2): B i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 1.4. Cho c¡c sè thüc a; b; c thäa m¢n abc = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P = (a +b +c) 3 + (ab +bc +ca) 3 (a +b +c) 2 (ab +bc +ca) 2 + 27 : Ta câ p = 1 n¶n tø (3.4) ta ÷ñc 9mn 27 2m 3 2 q (m 2 3n) 3 : B¼nh ph÷ìng hai v¸ v rót gån ta thu ÷ñc (mn) 2 + 18mn 4 m 3 +n 3 + 27: M°t kh¡c 18mn (mn) 2 + 81 n¶n ta câ 2 (mn) 2 + 81 4 m 3 +n 3 + 27,m 2 n 2 + 27 2 m 3 +n 3 : Do â P = m 3 +n 3 m 2 n 2 + 27 1 2 : ¯ng thùc x£y ra khi ( abc = 1 (ab +bc +ca) (a +b +c) = 9 , ch¯ng h¤n a =b =c = 1. Vªy maxP = 1 2 : V½ dö 1.5. Cho c¡c sè thüca;b;c thäa m¢nab +bc +ca = 3. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P = abc(a +b +c) 3 + 27 (a +b +c + 3abc) 2 : 711. ÙNG DÖNG IU KIN CÂ NGHIM CÕA PH×ÌNG TRNH BC BA TRONG CHÙNG MINH BT NG THÙC Ta câ n = 3 n¶n tø (3.4), suy ra 27m 27p 2m 3 2 q (m 2 9) 3 : B¼nh ph÷ìng hai v¸ v rót gån ta thu ÷ñc 27p 2 + 4m 3 p + 108 54mp + 9m 2 ; hay 108p 2 + 4m 3 p + 108 9 (m + 3p) 2 : Suy ra 4m 3 p + 108 9 (m + 3p) 2 )P = m 3 p + 27 (m + 3p) 9 4 : ¯ng thùc x£y ra khi 8 > < > : abc = 0 a +b +c =2 p 3 ab +bc +ca = 3 , ch¯ng h¤n ta chån a = 0;b =c = p 3. Vªy maxP = 9 4 . V½ dö 1.6. Cho c¡c sè thüc a;b;c tho£ 2 a 2 +b 2 +c 2 = 5 (ab +bc +ca): Chùng minh r¬ng: (a +b +c) 2 + 27: 3 p abc + 1 0: Ta câ 2 m 2 2n = 5n)n = 2 9 m 2 : Khi â (3.4) trð th nh j27pj 2 s m 2 2 3 m 2 3 ) 27 2 p 2 4 27 m 6 )m 2 27 3 r p 2 4 : M°t kh¡c p 2 + 1 2 0 n¶n p 2 4 (p + 1); suy ra m 2 27 3 p p + 1 hay (a +b +c) 2 + 27 3 p abc + 1 0: B i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 1.7. Cho c¡c sè thüc a;b;c tho£ a 2 +b 2 +c 2 =ab +bc +ca + 1. Chùng minh r¬ng: (a +b +c) 2 4 + 3 (ab +bc +ca) 2 + 18abc: 721. ÙNG DÖNG IU KIN CÂ NGHIM CÕA PH×ÌNG TRNH BC BA TRONG CHÙNG MINH BT NG THÙC Ta câ (a +b +c) 2 = 3 (ab +bc +ca) + 1 n¶n m 2 = 3n + 1. Khi â (2) trð th nh: 9m m 2 1 3 27p 2m 3 2) 27pm 3 3m 2: °t T = (a +b +c) 2 3 (ab +bc +ca) 2 18abc, ta c¦n chùng minh T 4. 3T = 3m 2 9n 2 54p 3m 2 m 2 1 2 2 m 3 3m 2 =m 4 2m 3 + 5m 2 + 6m + 3 = m 2 +m 3 2 + 12 12: Suy ra T 4. B i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 1.8 (Iran MO 2014, váng 2). Cho c¡c sè thüc khæng ¥m x;y;z thäa m¢n i·u ki»n: x 2 +y 2 +z 2 = 2(xy +yz +zx): Chùng minh r¬ng: x +y +z 3 3 p 2xyz. N¸u x = y = z = 0 th¼ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh hiºn nhi¶n óng. Ta x²t x +y +z > 0. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi u 3 p 2:w, w u 3 1 2 : p döng (3.6) ta ch¿ c¦n chùng minh w u 3 3 v u 2 + 2 s 1 v u 2 3 2: M x 2 +y 2 +z 2 = 2 (xy +yz +zx) n¶n 9u 2 = 4:3v 2 ) v u 2 = 3 4 : Do â w u 3 3 v u 2 + 2 s 1 v u 2 3 2 = 1 2 : B i to¡n ÷ñc chùng minh. V½ dö 1.9. Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a;b;c. Chùng minh r¬ng a 4 +b 4 +c 4 ab +bc +ca + 3abc a +b +c 2 3 a 2 +b 2 +c 2 : Ta câ a 4 +b 4 +c 4 = 81u 4 108u 2 v 2 + 18v 4 + 12uw 3 ; v a 2 +b 2 +c 2 = 9u 2 6v 2 : 731. ÙNG DÖNG IU KIN CÂ NGHIM CÕA PH×ÌNG TRNH BC BA TRONG CHÙNG MINH BT NG THÙC N¶n b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh 81u 4 108u 2 v 2 + 18v 4 + 12uw 3 3v 2 + 3w 3 3u 2 3 9u 2 6v 2 , 27 36x + 6x 2 + 4y x +y + 4x 6: (3.7) Trong â x = v u 2 v y = w u 3 . Theo (3.6), ta câ y 3x 2 q (1x) 3 2 v x 1 n¶n VT(3.7) = 27 x 36 + 10x +y 1 + 4 x 27 x 36 + 10x + 5y 27 x 36 + 10x + 5 3x 2 q (1x) 3 2 = 25x 2 52x + 27 x 10 q (1x) 2 + 6 (1x) (27 25x) 10 q (1x) 3 + 6 (1x) (1 + 25(1x)) 10 q (1x) 3 + 6 (1x) 10 p 1x 10 q (1x) 3 + 6 = 6: B i to¡n ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c: III. B i tªp B i 1.1. Cho c¡c sè thüc a;b;c khæng çng thíi b¬ng 0 thäa a +b +c = 0. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: P = 13a 2 b 2 c 2 2abc 2 (a 2 +b 2 +c 2 ) 3 : B i 1.2. Cho c¡c sè thüc a;b;c câ têng b¬ng 0. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P = a 2 +b 2 +c 2 5 32 (ab +bc +ca)a 2 b 2 c 2 8jabcj: B i 1.3. Cho c¡c sè thüca;b;c tho£a 2 +b 2 +c 2 = 2(ab +bc +ca). T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: P =abc (a +b +c) 3 + 1 (abc) 4 : B i 1.4. Cho c¡c sè thüc a;b;c tho£ a 2 +b 2 +c 2 = ab +bc +ca + 4. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: P = 18 (ab +bc +ca) 2 (ab +bc +ca) (a +b +c 48) + 9abc: B i 1.5. Cho c¡c sè thüc d÷ìng a;b;c tho£ (a +b +c) 3 = 32abc. T¼m gi¡ trà lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: P = a 4 +b 4 +c 4 (a +b +c) 4 : 742. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT TRONG BT NG THÙC x2. B i to¡n t¼m h¬ng sè tèt nh§t trong b§t ¯ng thùc I. Lþ thuy¸t Trong chuy¶n · nyaf ta i gi£i quy¸t b i to¡n: T¼m h¬ng sèk lîn nh§t (nhä nh§t) º mët BT luæn óng vîi mët gi£ thi¸t n o â cõa c¡c bi¸n. º gi£i d¤ng to¡n n y, ta th÷íng gi£i quy¸t theo hai h÷îng sau: H÷îng 1: B÷îc 1: Chån gi¡ trà °c bi»t cõa c¡c bi¸n ho°c ¡nh gi¡ trüc ti¸p c¡c bi¸n º ch¿ ra i·u ki»n c¦n cõa k. B÷îc 2: Chùng minh b§t ¯ng thùc ¢ cho óng vîi gi¡ trà cõa k ( lîn nh§t, nhä nh§t) vøa t¼m ÷ñc. H÷îng 2: Gi£ sû ta c¦n t¼m k nhä nh§t º b§t ¯ng thùc f(a 1 ;a 2 ;:::;a n )k luæn óng vîi måi a 1 ; a 2 ;:::; a n 2D. Ta i t¼m gi¡ trà lîn nh§t M cõa f(a 1 ;a 2 ;:::;a n ) vîi a 1 ; a 2 ;:::; a n 2D. Khi â k min =M: II. V½ dö minh håa V½ dö 2.1. T¼m h¬ng sè k lîn nh§t sao cho b§t ¯ng thùc sau luæn óng q a +kjbcj + q b +kjcaj + q c +kjabj 2; vîi måi 1 v a;b;c l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n a +b +c = 1: Cho a =b = 0;c = 1; = 1. Ta câ 1 + p k + p k 1, 0k 1 4 : Ta chùng minh b§t ¯ng thùc sau óng q 4a +jbcj + q 4b +jcaj + q 4c +jabj 4: (3.8) óng vîi måi 1 v a;b;c 0 thäa a +b +c = 1: Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ sû abc: Ta câ 0jabj;jbcj;jcaj 1; 1 n¶n ta câ VT(3.8) p 4a +jbcj + p 4b +jcaj + p 4c +jabj = 1 2 p 4(4a +bc) + p 4b +ac + p 4c +ab 1 2 : 4 + 4a +bc 2 + 1 + 4b +ac 2 + 1 + 4c +ab 2 = 8a + 7b + 5c + 8 4 8 (a +b +c) + 8 4 = 4: Vªy k max = 1 4 : 752. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT TRONG BT NG THÙC V½ dö 2.2. T¼m sè k nhä nh§t sao cho b§t ¯ng thùc a 3 +b 3 +c 3 +kabc k + 3 6 a 2 (b +c) +b 2 (c +a) +c 2 (a +b) óng vîi måi a;b;c l ë d i ba c¤nh cõa tam gi¡c. Cho c = 1; a =b = 1 2 + 1 n ta câ: k 3 3 + 2 n 1 + 2 n ! 9. Ta chùng minh b§t ¯ng thùc a 3 +b 3 +c 3 + 9abc 2 a 2 (b +c) +b 2 (c +a) +c 2 (a +b) : Gi£ sû a = maxfa;b;cg, ta câ a 3 +b 3 +c 3 + 9abc 2 a 2 (b +c) +b 2 (c +a) +c 2 (a +b) = (abc) (ab) (ac) + (bc) 2 (b +c 3a) 0: Vªy k max = 9: V½ dö 2.3. Cho a; b; c> 0: T¼m h¬ng sè k lîn nh§t sao cho b§t ¯ng thùc sau óng a b + b c + c a 3k a 2 +b 2 +c 2 ab +bc +ca 1 : Cho a = 1; b =c 3 6= 1, ta câ k (c 3 +c 2 + 1) (c 3 + 3c 2 + 2c + 1) c 2 (c 4 + 2c 3 + 2c 2 +c + 1) ! 1: Ta chùng minh b§t ¯ng thùc a b + b c + c a 3 a 2 +b 2 +c 2 ab +bc +ca 1 ; hay a b + b c + c a a 2 +b 2 +c 2 ab +bc +ca + 2 , (ab +bc +ca) a b + b c + c a (a +b +c) 2 : B§t ¯ng thùc cuèi d¹ d ng chùng minh ÷ñc b¬ng c¡ch ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz. V½ dö 2.4. T¼m sè thüc d÷ìng k lîn nh§t º b§t ¯ng thùc sau óng vîi måi sè thüc d÷ìng x;y;z thäa m¢n i·u ki»n xyz = 1 : x xy + 1 + y yz + 1 + z zx + 1 + k 3 p xy 2 +yz 2 +zx 2 3 2 + k 3 p 3 : 762. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT TRONG BT NG THÙC Do b§t ¯ng thùc ¢ cho óng vîi måi x;y;z > 0 thäa m¢n xyz = 1 n¶n nâ s³ óng khi x =n;y = 1;z = 1 n vîi måi n> 0: Khi â ta câ 2n n + 1 + 1 2n + k 3 r 2n + 1 n 2 3 2 + k 3 p 3 ;8n> 0: Cho n! +1 ta ÷ñc 2 3 2 + k 3 p 3 ,k 3 p 3 2 : Ta s³ chùng minh k = 3 p 3 2 thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n, tùc l 2x xy + 1 + 2y yz + 1 + 2z zx + 1 + 3 r 3 xy 2 +yz 2 +zx 2 4: Do x; y; z > 0 thäa m¢n xyz = 1 n¶n tçn t¤i a;b;c > 0 thäa m¢n x = b a ;y = c b ;z = a c : Khi â b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh 2a b +c + 2b c +a + 2c a +b + 3 r 3abc a 3 +b 3 +c 3 4: Ta câ 2a b +c + 2b c +a + 2c a +b + 3 r 3abc a 3 +b 3 +c 3 (a +b +c) 2 ab +bc +ca + 9abc 3 3 q (3abc) 2 (a 3 +b 3 +c 3 ) (a +b +c) 2 ab +bc +ca + 9abc a 3 +b 3 +c 3 + 6abc : Ta ch¿ c¦n chùng minh (a +b +c) 2 ab +bc +ca 3 1 9abc a 3 +b 3 +c 3 + 6abc , 1 ab +bc +ca a +b +c a 3 +b 3 +c 3 + 6abc : B§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng theo Schur. Vªy b§t ¯ng thùc ¢ cho óng khi k = 3 p 3 2 : ¯ng thùc x£y ra khi x =y =z = 1 ho°c x! +1;y = 1;z = 1 x : Tâm l¤i gi¡ trà k tèt nh§t c¦n t¼m l k = 3 p 3 2 : V½ dö 2.5 (VN TST 2012). Chùng minh r¬ng C = 10 p 24 l h¬ng sè lîn nh§t sao cho n¸u câ 17 sè thüc d÷ìng a 1 ;a 2 ;:::;a 17 thäa c¡c i·u ki»n ( a 2 1 +a 2 2 + +a 2 17 = 24 a 3 1 + +a 3 17 +a 1 + +a 17 0; suy ra a 1 ;a 2 ;a 3 l ë d i 3 c¤nh cõa mët tam gi¡c. Vîi n> 3, khæng m§t t½nh têng qu¡t ta chùng minh a 1 ; a 2 ; a 3 l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c. Ta câ (n 1) a 4 1 +a 4 2 + +a 4 n < a 2 1 +a 2 2 + +a 2 n 2 = p 2 a 2 1 +a 2 2 +a 2 3 p 2 +a 2 4 + +a 2 n 2 0 @ 2 + 1 + + 1 | {z } n3 1 A " (a 2 1 +a 2 2 +a 2 3 ) 2 2 +a 4 4 + +a 4 n # = (n 1) " (a 2 1 +a 2 2 +a 2 3 ) 2 2 +a 4 4 + +a 4 n # : Suy ra 2 a 4 1 +a 4 2 +a 4 3 < a 2 1 +a 2 2 +a 2 3 2 ; do â a 1 ;a 2 ;a 3 l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c. Bê · ÷ñc chùng minh. Trð l¤i b i to¡n. °t x i = a i p 24 ;i = 1;17, khi â c¡c sè d÷ìng x 1 ;x 2 :::;x 17 thäa ( x 2 1 +x 2 2 + +x 2 17 = 1 24 x 3 1 +x 3 2 + +x 3 17 +x 1 + +x 17 < 10 º chùng minh a i ; a j ; a k l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c, ta ch¿ c¦n chùng minh x i ; x j ; x k l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c. Ta chùng minh b i to¡n óng vîi C = 10. Ta i t¼m sè thüc d÷ìng a thäa : 16x 4 + (a 1)x 2 < a 10 24x 3 +x ;8x2 (0; 1): (1) V¼ n¸u câ b§t ¯ng thùc (1) th¼ ta suy ra 16x 4 i + (a 1)x 2 i < a 10 24x 3 i +x i ;8i = 1;17: 782. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT TRONG BT NG THÙC Do â 16 17 X i=1 x 4 i + (a 1) 17 X i=1 x 2 i < a 10 17 X i=1 24x 3 i +x i : Hay 16 17 X i=1 x 4 i + (a 1) 10 sao cho vîi 17 sè thüc d÷ìng x 1 ; x 2 ;:::; x 17 thäa m¢n ( x 2 1 +x 2 2 + +x 2 17 = 1 24 x 3 1 +x 3 2 + +x 3 17 +x 1 + +x 17 x 2 +x 3 ; hay x 1 ; x 2 ; x 3 khæng l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c. Ta câ S(a) = 24 17 X i=1 x 3 i + 17 X i=1 x i = 24 2 4 1 4 3 + s 1 16 a 3 +a 3 + 14 s 1 16 + aa 2 14 3 3 5 + 1 4 + r 1 16 a +a + 14 r 1 16 + aa 2 14 ! 24 2 4 1 4 3 + s 1 16 3 + 14 s 1 16 3 3 5 + 1 4 + r 1 16 + 14 r 1 16 = 10 khi a! 0 + : 792. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT TRONG BT NG THÙC Do t½nh li¶n töc cõa S, n¶n tçn t¤i a 0 2 0; 1 16 sao cho S(a 0 ) 0 v ab = 1: °t t = p 2 (a +b)> 2, ta câ P = t 4 16 4 (t 2) = (t + 2) (t 2 + 4) 4 > 8 khi t> 2: Gi£ sû tçn t¤i k> 8 thäa b i to¡n. Cho t = 2 + 1 n , suy ra k 1 4 4 + 1 n " 2 + 1 n 2 + 4 # ! 8 (væ l½): Vªy k max = 8: V½ dö 2.7. T¼m h¬ng sè d÷ìng k lîn nh§t sao cho b§t ¯ng thùc a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 k (a +b +c) 6 óng vîi måi a;b;c 0: Gi£ sû abc, ta câ a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 = a 2 b 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 = (a +b) q (ab) 2 :ab:ab:ab:ab (a +b) v u u t (ab) 2 + 4ab 5 ! 5 = (a +b) 6 25 p 5 1 25 p 5 (a +b +c) 6 : Tø â ta câ k max = 1 25 p 5 . 802. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT TRONG BT NG THÙC V½ dö 2.8 (IMO 2006). T¼m h¬ng sè M nhä nh§t sao cho vîi måi sè thüc a;b;c ta ·u câ ab a 2 b 2 +bc b 2 c 2 +ca c 2 a 2 M a 2 +b 2 +c 2 2 : B¬ng bi¸n êi ìn gi£n, ta câ ab a 2 b 2 +bc b 2 c 2 +ca c 2 a 2 =j(bc) (ab) (ac) (a +b +c)j B i to¡n trð th nh: T¼m M nhä nh§t º j(bc) (ab) (ac) (a +b +c)jM a 2 +b 2 +c 2 : (1) Gi£ sû a = maxfa;b;cg; ta câ 9 a 2 +b 2 +c 2 2 = (a +b +c) 2 + 2 (bc) 2 + 2 (ab) (ac) 2 h 2 p 2j(a +b +c) (bc)j + 2j(ab) (ac)j i 2 16 p 2j(bc) (ab) (ac) (a +b +c)j: Do â, ta câ j(bc) (ab) (ac) (a +b +c)j 9 p 2 32 a 2 +b 2 +c 2 2 : Câ thº chån b = 1 th¼ a = 1 + 3 p 2 2 ; c = 1 3 p 2 2 º ¯ng thùc x£y ra. Vªy minM = 9 p 2 32 : V½ dö 2.9 (Têng qu¡t IMO 2004). Vîiméisènguy¶nd÷ìngn 3,t¼mh¬ngsèd÷ìng k =k(n) lîn nh§t sao cho n¸u n sè thüc d÷ìng t 1 ; t 2 ;:::;t n thäa m¢n (t 1 +t 2 + +t n ) 1 t 1 + 1 t 2 + + 1 t n 0 v b 1 ;b 2 ;:::;b n > 0 çng thíi thäa m¢n c¡c i·u ki»n; i) P n k=1 b k = 1; 2b k b k1 +b k+1 ;8k = 2;:::;n; ii) a 2 k 1 + P k i=1 a i b i ;k = 1;n; iii) a n =M: 842. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT TRONG BT NG THÙC P SÈ V H×ÎNG DN GII 85Ch÷ìng 1 C¡c b§t ¯ng thùc cê iºn x1. B§t ¯ng thùc AM-GM C¥u 1.1. a) B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 3 s 1:1:1 (1 +a) (1 +b) (1 +c) + 3 s abc (1 +a) (1 +b) (1 +c) 1: °t : T = 3 s 1:1:1 (1 +a) (1 +b) (1 +c) + 3 s abc (1 +a) (1 +b) (1 +c) T 1 3 1 1 +a + 1 1 +b + 1 1 +c + 1 3 a 1 +a + b 1 +b + c 1 +c T 1 3 a + 1 1 +a + b + 1 1 +b + c + 1 1 +c = 1 3 :3 = 1 D§u ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c 0. b) Ta câ 1 + a b 1 + b c 1 + c a = 2 + a b + b c + c a + a c + c b + b a = a +b c + 1 + b +c a + 1 + c +a b + 1 1 = (a +b +c) 1 a + 1 b + 1 c 1 3(a +b +c) 3 p abc 1 2(a +b +c) 3 p abc + 2: C¥u 1.2. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 1 n p (1 +a 1 )(1 +a 2 ) (1 +a n ) + n r a 1 a 2 a n (1 +a 1 )(1 +a 2 ) (1 +a n ) 1: (1) p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ VT (1) 1 n 1 X i=1 1 1 +a i + 1 n 1 X i=1 a i 1 +a i = 1: 861. BT NG THÙC AM-GM B i to¡n ÷ñc chùng minh. C¥u 1.3. Ta câ abc a +b +c 3 3 = 1 27 : Khi â 1 + 1 a 1 + 1 b 1 + 1 c 1 + 1 3 p abc 3 64: Suy ra (1 +a) (1 +b) (1 +c) 64abc: C¥u 1.4. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi n r a 1 a 2 a n (a 1 +b 1 )(a 2 +b 2 ) (a n +b n ) + n s b 1 b 2 b n (a 1 +b 1 )(a 2 +b 2 ) (a n +b n ) 1: (1) p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ n r a 1 a 2 a n (a 1 +b 1 )(a 2 +b 2 ) (a n +b n ) 1 n a 1 a 1 +b 1 + + a n a n +b n n s b 1 b 2 b n (a 1 +b 1 )(a 2 +b 2 ) (a n +b n ) 1 n b 1 a 1 +b 1 + + b n a n +b n Cëng hai b§t ¯ng thùc tr¶n theo v¸ ta câ pcm. C¥u 1.5. V¼ i l c¡csèhúut¿d÷ìngv n P i=1 i = 1n¶ntçnt¤ic¡csènguy¶nd÷ìngN;k 1 ;k 2 ; ;k n sao cho i = k i N . p döng b§t ¯ng thùc AM-GM cho N sè, ta câ n X i=1 i a i = a 1 +a 1 + +a 1 | {z } k 1 sè + +a n +a n + +a n | {z } kn sè N a k 1 n 1 a k n n n =a 1 1 a n n : B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. C¥u 1.6. Chu©n hâa a 1 +a 2 + +a n =n, ta c¦n chùng minh a k 1 +a k 2 +a k n n: (1) p döng b§t ¯ng thùc AMGM cho k sè gçm k 1 sè 1 v a k i ta câ a k i +k 1ka i ) n X i=1 a k i +n(k 1)k n X i=1 a i =kn) n X i=1 a k i n: Vªy (1) óng, hay b i to¡n ÷ñc chùng minh. C¥u 1.7. p döng b§t ¯ng thùc 1 x + 1 y 4 x +y ta câ 1 a + 3b + 1 b + 2c +a 4 (a + 3b) + (b + 2c +a) = 2 a + 2b +c 1 b + 3c + 1 2a +b +c 2 a +b + 2c 1 c + 3a + 1 a + 2b +c 2 2a +b +c : Cëng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n theo v¸ ta câ pcm. 871. BT NG THÙC AM-GM C¥u 1.8. p döng b§t ¯ng thùc Cæ si cho hai sè ta câ 4 p a + 4 p b 2 8 p ab) 4 p a + 4 p b 4 16 p ab v 1 a + 1 b 2 p ab : Suy ra 4 p a + 4 p b 4 1 a + 1 b 16 p ab: 2 p ab = 32: D¨n tîi 1 4 p a + 4 p b 4 1 32 1 a + 1 b : T÷ìng tü: 1 4 p b + 4 p c 4 1 32 1 b + 1 c ; 1 ( 4 p c + 4 p a) 4 1 32 1 c + 1 a : Cëng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ 1 4 p a + 4 p b 4 + 1 4 p b + 4 p c 4 + 1 ( 4 p c + 4 p a) 4 1 16 1 a + 1 b + 1 c : M°t kh¡c, theo gi£ thi¸t ta câ ab +bc +ca 3abc n¶n suy ra 1 a + 1 b + 1 c 3: Suy ra 1 4 p a + 4 p b 4 + 1 4 p b + 4 p c 4 + 1 ( 4 p c + 4 p a) 4 3 16 (pcm): C¥u 1.9. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 2a b + 2c + 2b c + 2a + 2c a + 2b 4 2a b + 2a 2b c + 2b 2c a + 2c ,a 1 b + 2c + 1 b + 2a +b 1 c + 2a + 1 c + 2b +c 1 a + 2b + 1 a + 2c 2: p döng b§t ¯ng thùc 1 x + 1 y 4 x +y ta câ 1 b + 2c + 1 b + 2a 4 2a + 2b + 2c = 2 a +b +c : Suy ra a 1 b + 2c + 1 b + 2a 2a a +b +c : T÷ìng tü: b 1 c + 2a + 1 c + 2b 2b a +b +c ; c 1 a + 2b + 1 a + 2c 2c a +b +c : Cëng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ a 1 b + 2c + 1 b + 2a +b 1 c + 2a + 1 c + 2b +c 1 a + 2b + 1 a + 2c 2 (pcm): 881. BT NG THÙC AM-GM C¥u 1.10. p döng AM GM, ta câ 1 +x 3 = (1 +x) 1x +x 2 (1 +x + 1x +x 2 ) 2 4 = (2 +x 2 ) 2 4 : T÷ìng tü 1 p 1 +y 3 2 2 +y 2 ; 1 p 1 +z 3 2 2 +z 2 : Vªy P = 1 p 1 +x 3 + 1 p 1 +y 3 + 1 p 1 +z 3 2 2 +x 2 + 2 2 +y 2 + 2 2 +z 2 : p döng Cauchy Swarzt, ta ÷ñc: P 18 x 2 +y 2 +z 2 + 6 1: D§u `=' x£y ra khi x =y =z = 2. Vªy GTNN cõa biºu thùc l P = 1. C¥u 1.11. Ta câ: a 1 +b 2 = a (1 +b 2 )ab 2 1 +b 2 =a ab 2 1 +b 2 a ab 2 2b =a ab 2 : Do â: a 1 +b 2 + b 1 +c 2 + c 1 +a 2 a +b +c 1 2 (ab +bc +ca): M : ab +bc +ca 1 3 (a +b +c) 2 = 3: N¶n suy ra: a 1 +b 2 + b 1 +c 2 + c 1 +a 2 3 3 2 = 3 2 : C¥u 1.12. Ta câ: a 2 a + 2b 2 = a (a + 2b 2 ) 2ab 2 a + 2b 2 =a 2ab 2 a +b 2 +b 2 a 2ab 2 2 p 2ab =a 1 p 2 b: p a: Suy ra: a 2 a + 2b 2 + b 2 b + 2c 2 + c 2 c + 2a 2 a +b +c 1 p 2 p a:b + p b:c + p c:a : M°t kh¡c: ab +bc +ca 1 3 (a +b +c) 2 = 3 4 : V p ab: p b + p bc: p c + p ca: p a p (ab +bc +ca) (a +b +c) 3 2 p 2 : Vªy: a 2 a + 2b 2 + b 2 b + 2c 2 + c 2 c + 2a 2 3 2 3 4 = 3 4 : 891. BT NG THÙC AM-GM C¥u 1.13. ax 2 +ay 2 2axy. ¯ng thùc x£y ra khi x =y. by 2 +cz 2 2 p bcyz.¯ng thùc x£y ra khi by 2 =cz 2 . cz 2 +bx 2 2 p cbzx. ¯ng thùc x£y ra khi cz 2 =bx 2 . B¥y gií ta chån a; b; c sao cho : 8 > < > : a +b = 3 2c = 1 a = p bc , 8 > > < > > : a = 1 b = 2 c = 1 2 Suy ra: x 2 +y 2 2xy. ¯ng thùc x£y ra khi x =y. . 2y 2 + 1 2 z 2 2yz.¯ng thùc x£y ra khi 2y 2 = 1 2 z 2 .. 1 2 z 2 + 2x 2 2zx. ¯ng thùc x£y ra khi 1 2 z 2 = 2x 2 .. Cëng v¸ theo v¸ ta ÷ñc : 3x 2 + 3y 2 +z 2 2 (xy +yz +zx)) 3x 2 + 3y 2 +z 2 10 (pcm): ¯ng thùc x£y ra khi : 8 > > > > > > < > > > > > > : x =y 2y 2 = 1 2 z 2 1 2 z 2 = 2x 2 xy +yz +zx = 5 , ( x =y = 1 z = 2 . C¥u 1.14. p döng b§t ¯ng thùc Cæ si cho 3 sè thüc d÷ìng ta câ a 3 (a + 2b) (b + 2c) + a + 2b 27 + b + 2c 27 3 3 s a 3 (a + 2b) (b + 2c) : a + 2b 27 : b + 2c 27 = 1 3 a: T÷ìng tü: b 3 (b + 2c) (c + 2a) + b + 2c 27 + c + 2a 27 1 3 b; v c 3 (c + 2a) (a + 2b) + c + 2a 27 + a + 2b 27 1 3 c: Cëng ba b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ a 3 (a + 2b) (b + 2c) + b 3 (b + 2c) (c + 2a) + c 3 (c + 2a) (a + 2b) + 2(a +b +c) 9 a +b +c 3 Suy ra a 3 (a + 2b) (b + 2c) + b 3 (b + 2c) (c + 2a) + c 3 (c + 2a) (a + 2b) a +b +c 9 : ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c. C¥u 1.15. Ta th§y ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 1. Khi â a 4 b 2 (c + 2) = 1 3 ;b = 1;c + 2 = 3 n¶n ¡p döng b§t ¯ng thùc Cæ si cho 4 sè ta ÷ñc a 4 b 2 (c + 2) + b 3 + b 3 + c + 2 9 4 4 s a 4 b 2 (c + 2) + b 3 : b 3 : c + 2 9 = 4 3 a 901. BT NG THÙC AM-GM T÷ìng tü: b 4 c 2 (a + 2) + 2b 3 + a + 2 9 4 3 b; c 4 a 2 (b + 2) + 2a 3 + b + 2 9 4 3 c: Cëng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ a 4 b 2 (c + 2) + b 4 c 2 (a + 2) + c 4 a 2 (b + 2) + 7(a +b +c) + 6 9 4 (a +b +c) 3 : Hay a 4 b 2 (c + 2) + b 4 c 2 (a + 2) + c 4 a 2 (b + 2) 5(a +b +c) 6 9 : M a +b +c 3 3 p abc = 3 n¶n ta câ a 4 b 2 (c + 2) + b 4 c 2 (a + 2) + c 4 a 2 (b + 2) 1 (pcm): C¥u 1.16. p döng b§t ¯ng thùc p x + p y p 2 (x +y), ta câ : r a +b c + r b +c a + r c +a b 1 p 2 p a p c + p b p c ! + 1 p 2 p b p a + p c p a ! + 1 p 2 p c p a + p b p a ! = p a p 2 1 p c + 1 p b + p b p 2 1 p a + 1 p c + p c p 2 1 p a + 1 p b : p döng b§t ¯ng thùc 1 x + 1 y 4 x +y , ta câ : p a p 2 1 p c + 1 p b + p b p 2 1 p a + 1 p c + p c p 2 1 p a + 1 p b 2 p 2a p b + p c + 2 p 2b p a + p c + 2 p 2c p a + p b : p döng b§t ¯ng thùc p x + p y p 2 (x +y), ta câ : 2 p 2a p b + p c + 2 p 2b p a + p c + 2 p 2c p a + p b 2 p 2a p 2 (b +c) + 2 p 2b p 2 (a +c) + 2 p 2c p 2 (a +b) = 2 r c a +b + r b a +c + r a b +c ! : C¥u 1.17. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ a 4 b + 2 + b + 2 9 2 s a 4 b + 2 : b + 2 9 = 2 3 a 2 : T÷ìng tü: b 4 c + 2 + c + 2 9 2 3 b 2 ; c 4 a + 2 + a + 2 9 2 3 c 2 : Cëng ba b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ a 4 b + 2 + b 4 c + 2 + c 4 a + 2 + a +b +c + 6 9 2 3 a 2 +b 2 +c 2 = 2: Suy ra a 4 b + 2 + b 4 c + 2 + c 4 a + 2 12 (a +b +c) 9 : 911. BT NG THÙC AM-GM M°t kh¡c: a +b +c p 3 (a 2 +b 2 +c 2 ) = 3 n¶n suy ra a 4 b + 2 + b 4 c + 2 + c 4 a + 2 12 3 9 = 1 (pcm): ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 1. C¥u 1.18. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 4 3a 2 + 1 4 3b 2 + 1 4 3c 2 + 1 3 (a +b +c) 2 : Tø · b i, ta suy ra a 2 ;b 2 ;c 2 < 3 . p döng b§t ¯ng thùc Cæ si ta câ: 4 3a 2 + 3a 2 2 r 4 3a 2 (3a 2 ) = 4; suy ra 4 3a 2 + 1a 2 + 2: T÷ìng tü: 4 3b 2 + 1b 2 + 2; 4 3c 2 + 1c 2 + 2: Do â 4 3a 2 + 1 4 3b 2 + 1 4 3c 2 + 1 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 + 2 : M°t kh¡c: 3 (a +b +c) 2 = 3 a +b p 2 : p 2 + 1:c 2 3 " (a +b) 2 2 + 1 # c 2 + 2 : Ta chùng minh 3 " (a +b) 2 2 + 1 # a 2 + 2 b 2 + 2 : () Khai triºn v rót gån, b§t ¯ng thùc (*) trð th nh 2a 2 b 2 +a 2 +b 2 + 2 6ab: B§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng v¼: 2 a 2 b 2 + 1 4ab; a 2 +b 2 2ab: Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. C¥u 1.19. Ta câ: b +c p 2(b 2 +c 2 ) Suy ra a 2 b +c a 2 +b 2 +c 2 p 2(b 2 +c 2 ) 1 p 2 p b 2 +c 2 : T÷ìng tü: b 2 c +a a 2 +b 2 +c 2 p 2(c 2 +a 2 ) 1 p 2 p c 2 +a 2 ; c 2 a +b a 2 +b 2 +c 2 p 2(a 2 +b 2 ) 1 p 2 p a 2 +b 2 : 921. BT NG THÙC AM-GM Suy ra VT a 2 +b 2 +c 2 p 2 1 p a 2 +b 2 + 1 p b 2 +c 2 + 1 p c 2 +a 2 1 p 2 p a 2 +b 2 + p b 2 +c 2 + p c 2 +a 2 : Ta câ: 1 p a 2 +b 2 + 1 p b 2 +c 2 + 1 p c 2 +a 2 9 p a 2 +b 2 + p b 2 +c 2 + p c 2 +a 2 v a 2 +b 2 +c 2 1 6 p a 2 +b 2 + p b 2 +c 2 + p c 2 +a 2 2 : Suy ra VT 1 2 p 2 p a 2 +b 2 + p b 2 +c 2 + p c 2 +a 2 : °t t = p a 2 +b 2 + p b 2 +c 2 + p c 2 +a 2 p 2 p ab + p bc + p ca 3 p 2 3 p abc: Suy ra 1 54 p 2 t 3 abc n¶n tø gi£ thi¸t ta suy ra t = p a 2 +b 2 + p b 2 +c 2 + p c 2 +a 2 = 7abc p 2 7 p 2 1 108 t 3 ,t 3 + 108t 378 p 2 0 , t 3 p 2 t 2 + 3 p 2t + 126 0,t 3 p 2: Suy ra VT 3 p 2 2 p 2 = 3 2 . ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi 8 < : a =b =c 3 p 2a = 7a 3 p 2 , ( a =b =c a 3 + 6a 7 = 0 ,a =b =c = 1. C¥u 1.20. Nhªn th§y ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 1 v 3 = 1 + 2 n¶n ta câ ¡nh gi¡ a 2 + 2b 2 + 3 = a 2 +b 2 + b 2 + 1 + 2 2ab + 2b + 2: Do â: 1 a 2 + 2b 2 + 3 1 2 : 1 ab +b + 1 : Suy ra: 1 a 2 + 2b 2 + 3 + 1 b 2 + 2c 2 + 3 + 1 c 2 + 2a 2 + 3 1 2 1 ab +b + 1 + 1 bc +c + 1 + 1 ca +a + 1 Vªy ta c¦n chùng minh: 1 ab +b + 1 + 1 bc +c + 1 + 1 ca +a + 1 1: B§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng v¼ â l ¯ng thùc. º chùng minh ta thay c = 1 ab v o v¸ tr¡i v bi¸n êi ta câ pcm. C¥u 1.21. Ta câ X 1 p a 3 +b X 1 p 2 p a 3 b = 1 p 2 X 4 s 1 a 3 1 b 1 4 p 2 X 3 a + 1 b = 3 p 2 : 931. BT NG THÙC AM-GM C¥u 1.22. Ta câ ab + 1 2ab +a 2 +b 2 +c 2 +ab +bc +ca 2 = (a +b) 2 + (c +a) (c +b) 2 : Suy ra VT 1 2 3 + (a +c)(b +c) (a +b) 2 + (a +b)(a +c) (b +c) 2 + (b +a)(b +c) (c +a) 2 3: C¥u 1.23. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ a +b +c =a + b +c 2 + b +c 2 3 3 s a (b +c) 2 4 ; suy ra 3 s 2a b +c 2 3a a +b +c : Chùng minh t÷ìng tü, ta công câ 3 s 2b c +a 3 3b a +b +c v 3 s 2c a +b 2 3c a +b +c : Cëng ba b§t ¯ng thùc tr¶n theo v¸ ta câ pcm. C¥u 1.24. B i to¡n n y câ thº chùng minh b¬ng c¡ch sû döng ¡nh gi¡ sau: 3 r a 3 +b 3 2 a 2 +b 2 a +b : Chó þ r¬ng: a 2 +b 2 a +b =a +b 2ab a +b Nh÷ vªy ta ph£i chùng minh: 2 ab a +b + bc b +c + ca c +a +a +b +c 6: p döng b§t ¯ng thùc AM-GM vîi abc = 1,ta câ ngay: 2ab a +b + a +b 2 + 2bc b +c + b +c 2 + 2ca c +a + c +a 2 6: Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh.¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 1. C¥u 1.25. Ta câ 13a 2 b 2 c 2 2abc 2 (a 2 +b 2 +c 2 ) 3 = 27a 2 b 2 c 2 (abc + 2) 2 2(a 2 +b 2 +c 2 ) 3 27a 2 b 2 c 2 2(a 2 +b 2 +c 2 ) 3 : Ta chùng minh: 27a 2 b 2 c 2 2(a 2 +b 2 +c 2 ) 3 1 4 , a 2 b 2 c 2 (a 2 +b 2 +c 2 ) 3 1 54 : V¼a +b +c = 0 n¶n trong ba sèa;b;c câ hai sè còng d§u, ta gi£ sû hai sè â l a;b. Khi âab 0 n¶n a 2 +b 2 +c 2 3 = a 2 +b 2 + (a +b) 2 3 = " a 2 +b 2 + (a +b) 2 2 + (a +b) 2 2 # 3 27 4 a 2 +b 2 (a +b) 2 (a +b) 2 27 4 :2ab:4ab:c 2 = 54a 2 b 2 c 2 : Suy ra a 2 b 2 c 2 (a 2 +b 2 +c 2 ) 3 1 54 (pcm): 941. BT NG THÙC AM-GM C¥u 1.26. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû c = minfa;b;cg. N¸u ab suy ra 6 p 3 (ab) (bc) (ca) 0 n¶n b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh luæn óng. N¸u ab, ta câ: 6 p 3 (ab) (bc) (ca) = 6 p 3 (ba) (bc) (ac) 6 p 3 (ba)ba = 3 p 3: q (ab) 2 2ab:2ab 3 p 3 v u u t (ab) 2 + 2ab + 2ab 3 ! 3 = q (a +b) 3 q (a +b +c) 3 (pcm): ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi ( c = 0 (ab) 2 = 2ab , 8 < : c = 0 a = 2 p 2 b . C¥u 1.27. Tr÷îc h¸t ta câ b§t ¯ng thùc 1 x + 1 y 2 p 2 p x 2 +y 2 : Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû a>b>c. Khi â P = 2 ab + 2 bc + 2 ac + 5 p ab +bc +ca 8 ab +bc + 2 ac + 5 p ab +bc +ca = 10 ac + 10 2 p ab +bc +ca 20 p 2 q (ac) 2 + 4(ab +bc +ca) = 20 p 2 q (a +c) 2 + 4b (a +c) = 20 p 2 p (1b) (1 + 3b) : M°t kh¡c (1b) (1 + 3b) = 1 3 (3 3b) (1 + 3b) 1 3 3 3b + 1 + 3b 2 2 = 4 3 : Do â P 10 p 6. ¯ng thùc x£y ra khi 8 > < > : b = 1 3 a = 2 3 ;c = 0 . Vªy minP = 10 p 6. C¥u 1.28. Ta câ X a + 1 b 2 X a + 1 b b + 1 c = X ab + X a c + X 1 ab + 3: p döng P 1 ab = P a v P ab + Pa c 2 P a: ta câ pcm. C¡ch 2: Ta câ a 2 + 1 b 2 + b c 3 3 r a 2 1 b 2 b c = 3 3 r a 2 bc = 3 3 r a 2 abc bc = 3a: 951. BT NG THÙC AM-GM T÷ìng tü b 2 + 1 c 2 + c a 3b; v c 2 + 1 a 2 + a b 3c: K¸t hñp vîi a b + b c + c a 3 3 r a b b c c a = 3: ta câ pcm. C¥u 1.29. Ta câ b + 2a + 2 b + 1 5 2 + 3 2 a n¶n a + 2b + 2 a + 1 b + 2a + 2 b + 1 5 2 + 3 2 a 5 2 + 3 2 b v 5 2 + 3 2 a 5 2 + 3 2 b = 25 4 + 15 4 (a +b) + 9 4 ab 16 n¶n ta câ pcm. C¥u 1.30. Ta câ 2a +b +c =a +b +a +c 2 p (a +b) (a +c): Suy ra 1 (2a +b +c) 2 1 4 : 1 (a +b) (a +c) : Do â VT 1 2 : a +b +c (a +b) (b +c) (c +a) : M°t kh¡c ta câ: 9 (a +b) (b +c) (c +a) 8(a +b +c)(ab +bc +ca); v (ab +bc +ca) 2 3abc (a +b +c): Tø gi£ thi¸t, ta suy ra ab +bc +ca =abc (a +b +c) n¶n ab +bc +ca 3. Suy ra a +b +c (a +b)(b +c)(c +a) = (a +b +c)(ab +bc +ca) (a +b)(b +c)(c +a) 1 ab +bc +ca 9 8 : 1 3 = 3 8 : Tø â, suy ra pcm. C¥u 1.31. p döng b§t ¯ng thùc Bunhia ta câ: a 2 +b 2 2 = a p aa +b p bb 2 a 3 +b 3 (a +b) a 3 +b 3 p 2 (a 2 +b 2 ) ) q (a 2 +b 2 ) 3 p 2 a 3 +b 3 )a 2 +b 2 3 q 2 (a 3 +b 3 ) 2 ) c 3 a 2 +b 2 1 3 p 2 c 3 3 q (a 3 +b 3 ) 2 = 1 3 p 2 a 3 +b 3 +c 3 3 q (a 3 +b 3 ) 2 1 3 p 2 3 p a 3 +b 3 : (1) 961. BT NG THÙC AM-GM Ta công câ hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü b 3 c 2 +a 2 1 3 p 2 a 3 +b 3 +c 3 3 p (c 3 +a 3 ) 2 1 3 p 2 3 p c 3 +a 3 ; (2) a 3 b 2 +c 2 1 3 p 2 a 3 +b 3 +c 3 3 p (b 3 +c 3 ) 2 1 3 p 2 3 p b 3 +c 3 : (3) Cëng ba b§t ¯ng thùc (1), (2) v (3), ta ÷ñc P 1 3 p 2 a 3 +b 3 +c 3 0 @ 1 3 q (a 3 +b 3 ) 2 + 1 3 q (a 3 +b 3 ) 2 + 1 3 q (a 3 +b 3 ) 2 1 A 1 3 p 2 3 p a 3 +b 3 + 3 p b 3 +c 3 + 3 p c 3 +a 3 : °t x = 3 p a 3 +b 3 ; y = 3 p b 3 +c 3 ; z = 3 p c 3 +a 3 . Suy ra: P 1 3 p 2 x 3 +y 3 +z 3 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 (x +y +z) : M°t kh¡c ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ ÷ñc: x 2 +y 2 +z 2 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 9 ) 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 9 x 2 +y 2 +z 2 ) x 3 +y 3 +z 3 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 9 x 3 +y 3 +z 3 x 2 +y 2 +z 2 )P 1 3 p 2 9 x 3 +y 3 +z 3 x 2 +y 2 +z 2 (x +y +z) : p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ: (x +y +z) 2 3 x 2 +y 2 +z 2 ) (x +y +z) 2 x 2 +y 2 +z 2 3 x 2 +y 2 +z 2 2 m x 2 +y 2 +z 2 2 = x p x: p x +y p y: p y +z p z: p z 2 (x +y +z) x 3 +y 3 +z 3 ) (x +y +z) 2 x 2 +y 2 +z 2 3 (x +y +z) x 3 +y 3 +z 3 ) x 3 +y 3 +z 3 x 2 +y 2 +z 2 1 3 (x +y +z): Do â P 3 p 4 (x +y +z) = 3 p 4 3 p a 3 +b 3 + 3 p b 3 +c 3 + 3 p c 3 +a 3 V¼ t = 3 p a 3 +b 3 + 3 p b 3 +c 3 + 3 p c 3 +a 3 3 p 2 p ab + p bc + p ca 3 3 p 2 3 p abc Suy ra abc 1 54 t 3 . N¶n tø gi£ thi¸t ta suy ra: 3t + 1 54 t 3 ,t 3 + 54t 162 0: () 971. BT NG THÙC AM-GM V¼ h m sèf(t) =t 3 + 54t 162 l h m çng bi¸n v f(2)f(3)< 0 n¶nf(t) câ nghi»m duy nh§t x =m2 (2; 3). Suy ra (),tm)P 6 p 32:m. ¯ng thùc x£y ra, ( a =b =c a 3 + 3 3 p 2a 3 = 0 ,a =b =c = . Trong â l nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh X 3 + 3 3 p 2X 3 = 0 v > 0. Vªy minP = 6 p 32:m (pcm). C¥u 1.32. Ta chùng minh a +bc 2 (1). Do bc b 2 +c 2 2 < 2 n¶n 1 t÷ìng ÷ìng a 2 (2bc) 2 . Do a 2 3 (b 2 +c 2 ) v (2bc) 2 (3b 2 c 2 ) = (bc 1) 2 + (bc) 2 0 n¶n (1) óng. Ta chùng minh p (4a 2 )(4c 2 )ac + 2b (2). Ta câ abc a 2 +b 2 +c 2 3 3 2 1 n¶n (4a 2 )(4c 2 ) (ac + 2b) 2 = 16 4(a 2 +b 2 +c 2 +abc) 0: Suy ra (2) óng. Ta chùng minh a 2 +b 2 +c 2 a b +b 2 c +c 2 a (3). Ta câ a 2 + 1 4 (ab +c 2 ) 2 a(ab +c 2 ) =a 2 b +c 2 a (4) v 1 4 (4a 2 )b 2 + (4c 2 )c 2 1 2 bc p (4a 2 )(4b 2 )bc 2 + abc 2 2 (5) Cëng (4) v (5) theo v¸ suy ra (3) ÷ñc chùng minh. Quay trð l¤i b i to¡n. Tø (1) ta câ a 2 b +ab 2 c 2ab, b 2 c +abc 2 2bc, c 2 a +a 2 bc 2ca. Suy ra 2(ab +bc +ca)a 2 b +b 2 c +c 2 a +abc(a +b +c) ,(a +b +c) 2 a 2 +b 2 +c 2 +abc(a +b +c) +a 2 b +b 2 c +c 2 a: (6) Tø (3) v (6) ta câ (a +b +c) 2 abc(a +b +c) + 2(a 2 b +b 2 c +c 2 a) ,(a +b +c)(a +b +cabc) 2(a 2 b +b 2 c +c 2 a): C¥u 1.33. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a =maxfa;b;cg. Khi â b +c + 1c +a + 1 v b +c + 1a +b + 1 Suy ra b c +a + 1 b b +c + 1 ; c a +b + 1 c b +c + 1 . D§u b¬ng x£y ra khi a =b =c M°t kh¡c theo BT AM-GM ta câ (1b) (1c) (b +c + 1) 1b + 1c +b +c + 1 3 3 = 1 Suy ra (1a) (1b) (1c) 1a b +c + 1 Do â P a b +c + 1 + b b +c + 1 + c b +c + 1 + 1a b +c + 1 = 1 D§u = x£y ra khi a =b =c = 1. 981. BT NG THÙC AM-GM C¥u 1.34. C¡ch 1: Theo BT AM-GM ta câ: a +b 2 p ab;b +c 2 p bc;c +a 2 p ca: Ta câ: P = 3a + 2b +c (a +b)(b +c)(c +a) 3a + 2b +c 2 p ab:2 p bc:2 p ca = 1 8 1 ab + 2 ac + 3 bc . L¤i câ: 3bc + 4ac + 5ab 6abc, 3 a + 4 b + 5 c 6. °t S = 3 a + 4 b + 5 c . Ta câ S 2 = 9 a 2 + 16 b 2 + 25 c 2 + 24 ab + 30 ac + 40 bc = 9 1 a 2 + 1 c 2 + 16 1 b 2 + 1 c 2 + 24 ab + 30 ac + 40 bc )S 2 18 ac + 32 bc + 24 ab + 30 ac + 40 bc = 24 ab + 48 ac + 72 bc = 24 1 ab + 2 ac + 3 bc ) 1 ab + 2 ac + 3 bc S 2 24 3 2 )P 1 8 : 3 2 = 3 16 D§u b¬ng x£y ra khi a =b =c = 2: Vªy gi¡ trà lîn nh§t cõa P b¬ng 3 6 khi a =b =c = 2: C¡ch 2: 3bc + 4ac + 5ab 6abc, 3 a + 4 b + 5 c 6: °t S = 3 a + 4 b + 5 c : Ta câ: S 2 = 9 a 2 + 16 b 2 + 25 c 2 + 24 ab + 30 ac + 40 bc = 9 1 a 2 + 1 c 2 + 16 1 b 2 + 1 c 2 + 24 ab + 30 ac + 40 bc )S 2 18 ac + 32 bc + 24 ab + 30 ac + 40 bc = 24 ab + 48 ac + 72 bc = 24 1 ab + 2 ac + 3 bc : 1 ab 4 (a +b) 2 ; 1 bc 4 (b +c) 2 ; 1 ac 4 a +c) 2 )S 2 24 4 (a +b) 2 + 8 (a +c) 2 + 12 (c +b) 2 = 96 1 (a +b) 2 + 2 (a +c) 2 + 3 (c +b) 2 )S 2 96 1 (a +b) 2 + 1 (b +c) 2 + 2 1 (a +c) 2 + 1 (b +c) 2 )S 2 96 2 (a +b)(b +c) + 4 (a +c)(b +c) S 2 192 1 (a +b)(b +c) + 2 (a +c)(b +c) = 192 3a + 2b +c (a +b)(b +c)(c +a) P S 2 192 = 36 192 = 3 16 D§u b¬ng x£y ra khi a =b =c = 2: Vªy gi¡ trà lîn nh§t cõa P b¬ng 3 6 khi a =b =c = 2: C¥u 1.35. Bi¸n êi t÷ìng ÷ìng ta chùng minh ÷ñc:a+b+c p 3 (a 2 +b 2 +c 2 );8a;b;c> 0: D§u " = " x£y ra khi v ch¿ khi a =b =c. Ta câ VT v u u t 3: 1 p x 3 + 2y 3 + 6 + 1 p y 3 + 2z 3 + 6 + 1 p z 3 + 2x 3 + 6 ! v u u t 3: s 3: 1 x 3 + 2y 3 + 6 + 1 y 3 + 2z 3 + 6 + 1 z 3 + 2x 3 + 6 991. BT NG THÙC AM-GM Theo b§t ¯ng thùc TTBC-TBN ta câ: x 3 + 2y 3 + 6 = (x 3 +y 3 + 1) + (y 3 + 1 + 1) + 3 3xy + 3y + 3 = 3(xy +y + 1) T÷ìng tü: y 3 + 2z 3 + 6 3(yz +z + 1) z 3 + 2x 3 + 6 3(xz +x + 1) Do â VT 4 9 1 xy +y + 1 + 1 yz +z + 1 + 1 zx +x + 1 = 9 1 xy +y + 1 + xy xy(yz +z + 1) + 1 zx +x + 1 = 9: (do xyz = 1) Hay VT p 3. D§u " = " x£y ra khi v ch¿ khi x =y =z = 1. C¥u 1.36. Ta câP + 2 p 3 + 1 3 = 1 3x + 1 3x + 1 3x + 1 3 x 3 + 1 y 2 + y 2 3 + 1 z 3 + z 9 + z 9 + z 9 p döng B§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ: 1 3x + 1 3x + 1 3x + 1 3 x 3 > 4 4 s 1 3x 3 : x 3 3 = 4 3 . (1) 1 y 2 + y 2 3 > 2 p 3 3 . (2) 1 z 3 + z 9 + z 9 + z 9 > 4 p 3 9 (3) Tø (1); (2) v (3) ta câ P + 2 p 3 + 1 3 > 4 3 + 2 p 3 3 + 4 p 3 9 hay P > 4 p 3 + 9 9 D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi: 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : 1 3x = x 3 3 1 y 2 = y 2 3 1 z 3 = z 9 x 3 +y 2 +z = 2 p 3 + 1: , 8 > < > : x = 1 y = 4 p 3 z = p 3 Vªy minP = 4 p 3 + 9 9 khi (x;y;z) = (1; 4 p 3; p 3) C¥u 1.37. Ta câ: a 6 b 6 +b 6 c 6 +c 6 a 6 =a 5 b 5 :ab +b 5 c 5 :bc +c 5 a 5 :ca a 5 b 5 a 5 +b 5 + 1 + 1 + 1 5 +b 5 c 5 b 5 +c 5 + 1 + 1 + 1 5 +c 5 a 5 c 5 +a 5 + 1 + 1 + 1 5 = 1 5 (a 5 b 5 (a 5 +b 5 + 3) +b 5 c 5 (b 5 +c 5 + 3) +c 5 a 5 (c 5 +a 5 + 3)) °t x =a 5 ;y =b 5 ;z =c 5 . Ta câ: x +y +z = 3;vîi x;y;z > 0. C¦n chùng minh: xy(x +y + 3) +yz(y +z + 3) +zx(z +x + 3) 15 hay xy(x +y) +yz(y +z) +zx(z +x) + 3(xy +yz +zx) 15 , (xy +yz +zx)(x +y +z + 3) 3xyz 15 , 2(xy +yz +zx)xyz 5 (1) M°t kh¡c; xyz (3 2x)(3 2y)(3 2z)) 9xyz 12(xy +yz +zx) 27 )xyz 4 3 (xy +yz +zx) 3: Ta câ: VT(1) 2(xy +yz +zx) 4 3 (xy +yz +zx) + 3 = 2 3 (xy +yz +zx) + 3 5: Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. 1001. BT NG THÙC AM-GM C¥u 1.38. Vîi k = 1 th¼ bë 1 2 ; 1 2 ; 2 khæng thäa m¢n. Vîi k = 2 th¼ bë 4 5 ; 4 5 ; 7 5 khæng thäa m¢n. Ta chùng minh vîi k = 3 th¼ b§t ¯ng thùc óng hay x 3 y 3 z 3 (x 3 +y 3 +z 3 ) 3. Khæng m§t t½nh têng qu¡ ta câ thº gi£ sû z nhä nh§t suy ra z 1. Ta câ x 3 +y 3 = (x +y) 3 3xy(x +y) = (3z) 3 3xy(x +y). Khi â b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng (3z) 3 +z 3 3 x 3 y 3 z 3 + 3xy(x +y), 3z 2 9z + 9 1 x 3 y 3 z 3 +x 2 y +xy 2 Ta câ 1 x 3 y 3 z 3 +x 2 y +xy 2 3 3 s x 3 y 3 x 3 y 3 z 3 = 3 z , nh÷ vªy ch¿ c¦n chùng minh 3z 2 9z + 9 3 z , 3(z 1) 2 0 C¥u 1.39. Theo b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ: a +b + p 2(a +c) = (a +b) + r a +c 2 + r a +c 2 3 3 v u u t (a +b): r a +c 2 ! 2 = 3 3 r (a +b)(a +c) 2 : Suy ra 1 a +b + p 2(a +c) 3 2 27(a +b)(a +c) : T÷ìng tü vîi hai biºu thùc cán l¤i. Do â: X cyc 1 a +b + p 2(a +c) 3 X sym 2 27(a +b)(a +c) = 4(a +b +c) 27(a +b)(b +c)(c +a) : Hìn núa, ta th§y vîi måi a, b, c d÷ìng: 9(a +b)(b +c)(c +a) 8(a +b +c)(ab +bc +ca) = X sym a(bc) 2 0 ) (a +b)(b +c)(c +a) 8 9 (a +b +c)(ab +bc +ca): Do â: X cyc 1 a +b + p 2(a +c) 3 1 6(ab +bc +ca) : (1) M°t kh¡c, ta công câ: (ab +ca +ca) 2 3abc(a +b +c)n¶n theo gi£ thi¸t: 16(a +b +c) 1 a + 1 b + 1 c = ab +bc +ca abc 3(a +b +c) ab +bc +ca )ab +bc +ca 3 16 : (2) Tø (1) v (2), suy ra: 1 (a +b + p 2(a +c)) 3 + 1 (b +c + p 2(b +a)) 3 + 1 (c +a + p 2(c +b)) 3 8 9 : 1011. BT NG THÙC AM-GM Ta câ pcm. ¯ngthùcx£yrakhid§ub¬ngðt§tc£c¡cb§t¯ngthùctr¶nx£yrahay: 8 > > < > > : a;b;c> 0 a =b =c 16(a +b +c) = 1 a + 1 b + 1 c ) a =b =c = 1 4 . C¥u 1.40. Gåi P l v¸ tr¡i cõa b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû a +b +c = 1. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ : a p a 2 + 8bc + a p a 2 + 8bc +a a 2 + 8bc 3a, 2a p a 2 + 8bc +a a 2 + 8bc 3a: T÷ìng tü : 2b p b 2 + 8ca +b b 2 + 8ca 3b ; 2c p c 2 + 8ab +c c 2 + 8ab 3c Cëng ba b§t ¯ng thùc tr¶n l¤i vîi nhau ta ÷ñc : 2P +a 3 +b 3 +c 3 + 24abc 3 M°t kh¡c ta l¤i câ : 1 = (a +b +c) 3 =a 3 +b 3 +c 3 + 3 (a +b) (b +c) (c +a)a 3 +b 3 +c 3 + 24abc: Suy ra : 2P 3 a 3 +b 3 +c 3 + 24abc 3 1 = 2)P 1 pcm: C¥u 1.41. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ a 3 b + 2b =a 3 b +b +b 3ab; b 3 c + 2c 3bc; c 3 a + 2a 3ca: Suy ra a 3 b +b 3 c +c 3 a + 2(a +b +c) 3(ab +bc +ca); hay a 3 b +b 3 c +c 3 a + 6 3(ab +bc +ca): M°t kh¡c ab +bc +ca (a +b +c) 2 3 = 3; n¶n ta câ a 3 b +b 3 c +c 3 a + 9 4(ab +bc +ca): C¥u 1.42. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ a = 4 r a 4 abcd 1 4 a b + a b + b c + a d = 1 4 2a b + b c + a d : T÷ìng tü: b 1 4 2b c + c d + b a ; c 1 4 2c d + d a + c b ; d 1 4 2d a + a b + d c : 1021. BT NG THÙC AM-GM Suy ra a +b +c +d 3 4 a b + b c + c d + d a + 1 4 b a + c b + d c + a d 3 4 (a +b +c +d) + 1 4 b a + c b + d c + a d : N¶n a +b +c +d b a + c b + d c + a d : C¥u 1.43. Ta gi£ sû a = minfa;b;cg. Ta câ VT = Q (a +b) (a 2 ab +b 2 ). M (a +b) (b +c) (c +a) = (a +b +c) (ab +bc +ca) 3abc (a +b +c) (ab +bc +ca) = 2 (ab +bc +ca): Suy ra VT 2 (ab +bc +ca) Q (a 2 ab +b 2 ). Do a = minfa;b;cg n¶n a 2 ab +b 2 b 2 v c 2 ca +a 2 c 2 . Ti¸p theo ta chùng minh b 2 c 2 (ab +bc +ca) b 2 bc +c 2 1: () p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ b 2 c 2 (ab +bc +ca) b 2 bc +c 2 bc +bc +ab +bc +ca +b 2 bc +c 2 4 4 = 1 4 4 b 2 +c 2 + 2bc +ab +ca 4 : L¤i câ b 2 +c 2 + 2bc +ca +ab = (b +c) 2 +a (b +c) = (2a) 2 +a (2a) =2a + 4 4: Tø â, ta câ pcm. C¥u 1.44. X²tx 2 yz;y 2 zx;z 2 xy l c¡c sè thüc d÷ìng. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ P x 2 +y 2 +z 2 (xy +yz +zx) 3 3 M°t kh¡c x 2 +y 2 +z 2 + 2(xy +yz +zx) = (x +y +z) 2 0; suy ra xy +yz +zx 1 2 : Do â P 1 8 : X²t x 2 yz > 0>y 2 zx; z 2 xy,khi â ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ P = (x 2 yz)(xzy 2 )(xyz 2 ) xy +xz +x 2 yzy 2 z 2 3 3 1031. BT NG THÙC AM-GM M°t kh¡c x 2 +xy +xzyzy 2 z 2 =x 2 +xy +xz +yz (y +z) 2 x 2 +xy +xz +yz = 3 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) (x 2y) 2 (x 2z) 2 3 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) = 3 2 : Suy ra P 1 8 . ¯ng thùc x£y ra ch¯ng h¤n khi x = p 2 2 ; y = p 2 2 ; z = 0. Vªy GTLN cõa P b¬ng: 1 8 . C¥u 1.45. Ta câ (x +y) 2 4xy) x 2 y 2 1z = x 2 y 2 x +y 1 4 xy(x +y): Do â, VT 1 4 (xy(x +y) +yz(y +z) +zx(z +x)) + 3xyz: Ti¸p theo ta chùng minh xy(x +y) +yz(y +z) +zx(z +x) + 12xyz 2 3 = 2(x +y +z) 3 3 : (1) Ta câ (1) t÷ìng ÷ìng vîi 2(x 3 +y 3 +z 3 ) + 3 (xy(x +y) +yz(y +z) +zx(z +x)) 24xyz: (2) V¼ 2(x 3 +y 3 +z 3 ) 2xy p xy + 2yz p yz + 2zx p zx; n¶n VT (2) 8(xy p xy +yz p zy +zx p zx) 24 p xyz 24xyz: (Do xyz 1 n¶n p xyzxyz:). C¥u 1.46. p döng b§t ¯ng thùc AM GM, ta câ a 2 b + 2c + (b + 2c)a 2 9 2 s a 2 b + 2c (b + 2c)a 2 9 = 2a 2 3 : T÷ìng tü b 2 c + 2a + (c + 2a)b 2 9 2b 2 3 ; c 2 a + 2b + (a + 2b)c 2 9 2c 2 3 : Suy ra: F = a 2 b + 2c + b 2 c + 2a + c 2 a + 2b 2 3 a 2 +b 2 +c 2 1 9 a 2 (b + 2c) +b 2 (c + 2a) +c 2 (a + 2b) : (1) L¤i ¡p döng AM GM, ta câ a 2 c +b 2 a +c 2 b a 3 +a 3 +c 3 3 + b 3 +b 3 +a 3 3 + c 3 +c 3 +b 3 3 =a 3 +b 3 +c 3 : (2) Tø (1) v (2) suy ra: F 2 3 a 2 +b 2 +c 2 1 9 (a +b +c) (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 3 a 2 +b 2 +c 2 1 9 a 2 +b 2 +c 2 p 3 (a 2 +b 2 +c 2 ): 1041. BT NG THÙC AM-GM °t t = p 3 (a 2 +b 2 +c 2 ) , tø gi£ thi¸t ta câ: 25 a 2 +b 2 +c 2 48 = 9 a 4 +b 4 +c 4 3 a 2 +b 2 +c 2 2 ) 3 a 2 +b 2 +c 2 2 25 a 2 +b 2 +c 2 + 48 0 ) 3a 2 +b 2 +c 2 16 3 : Do â F 2 9 t 2 1 27 t 3 =f(t): vîi t2 [3; 4] (3) M min t2[3;4] f(t) =f(3) = 1 (4): Tø (3) v (4) suy ra F 1: Vªy minF = 1 x£y ra khi a =b =c = 1. C¥u 1.47. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi X p 5a 2 + 4bc 2 p bc > p 3(a 2 +b 2 +c 2 ) , X 0 @ a 2 p 3(a 2 +b 2 +c 2 ) p 5a 2 + 4bc + 2 p bc 1 A 1 5 : (1) p döng t AM-GM ta câ p 3(a 2 +b 2 +c 2 )(5a 4 bc) 8a 2 + 3b 2 + 3c 2 + 4bc 2 p 3(a 2 +b 2 +c 2 ):2 p bca 2 +b 2 +c 2 + 3bc: Do â p 3(a 2 +b 2 +c 2 ) p 5a 2 + 4bc + 2 p bc 10a 2 + 5(b +c) 2 2 5(a 2 +b 2 +c 2 ): Suy ra VT (1) X a 2 5(a 2 +b 2 +c 2 ) = 1 5 : C¥u 1.48. Gåi P l v¸t tr¡i. Ta câ 4a 2 b 1 +a +b = a 2 b (1 +a +b +c) 1 +a +b =a 2 b + a 2 bc 1 +a +b : T÷ìng tü 4b 2 c 1 +b +c =b 2 c + ab 2 c 1 +b +c ; 4c 2 a 1 +c +a =c 2 a + abc 2 1 +c +a : Do â 4P = 4 X a 2 b 1 +a +b = X a 2 b +abc X a 1 +a +b : M°t kh¡c 4 X a 1 +a +b = X a (1 +a +b +c) 1 +a +b = 3 + X ac 1 +a +b : L¤i câ ac 1 +a +b = 3ac 2 (2a +b) + (2b +c) 1 3 2ac 2a +b + ac 2b +c : N¶n X ac 1 +a +b 1 3 (a +b +c) = 1: Suy ra 4Pa 2 b +b 2 c +c 2 a +abc 4)P 1: 1051. BT NG THÙC AM-GM C¥u 1.49. Kþ hi»u P l v¸ tr¡i cõa b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh theo y¶u c¦u · b i. Ti¸p theo, câ thº gi£i b i ¢ ra theo mët trong c¡c c¡ch sau: C¡ch 1 V¼ a;b;c> 0 n¶n ta câ: P = a 2 +bc p a(b +c):(a 2 +bc) + b 2 +ca p b(c +a):(b 2 +ca) + c 2 +ab p c(a +b):(c 2 +ab) : p döng b§t ¯ng thùc Cauchy cho hai sè thüc d÷ìng a(b +c) v (a 2 +bc), ta ÷ñc: p a(b +c): (a 2 +bc) ab +ac +a 2 +bc 2 = (a +b)(a +c) 2 : Suy ra a 2 +bc p a(b +c): (a 2 +bc) 2 (a 2 +bc) (a +b)(a +c) . (1:1) Chùng minh t÷ìng tü, ta ÷ñc: b 2 +ac p b(c +a): (b 2 +ca) 2 (b 2 +ca) (b +c)(a +c) : (1.2) c 2 +ab p c(a +b): (c 2 +ab) 2 (c 2 +ab) (c +a)(c +b) : (1.3) Cëng v¸ theo v¸, c¡c b§t ¯ng thùc (1:1); (1:2) v (1:3), ta ÷ñc: P 2 a 2 +bc (a +b)(a +c) + b 2 +ca (b +c)(b +a) + c 2 +ab (c +a)(c +b) : (1.4) Ta s³ chùng minh: a 2 +bc (a +b)(a +c) + b 2 +ca (b +c)(b +a) + c 2 +ab (c +a)(c +b) 3 2 : (1.5) Thªt vªy, v¼ a;b;c> 0 n¶n (1:5), 2 a 2 +bc (b +c) + b 2 +ca (a +c) + c 2 +ab (a +b) 3(a +b)(b +c)(c +a) , 4 a 2 b +ab 2 +b 2 c +bc 2 +c 2 a +ca 2 3 a 2 b +ab 2 +b 2 c +bc 2 +c 2 a +ca 2 + 2abc ,a 2 b +ab 2 +b 2 c +bc 2 +c 2 a +ca 2 6abc ,a b 2 +c 2 2abc +b c 2 +a 2 2ac +c a 2 +b 2 2ab 0 ,a(bc) 2 +b(ca) 2 +c(ab) 2 0: (1.6) Hiºn nhi¶n, (1:6) l b§t ¯ng thùc óng. V¼ th¸, (1:5) ÷ñc chùng minh. Tø (1:4) v (1:5), suy raP 3: Tø c¡c chùng minh tr¶n ta th§y, ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi d§u b¬ng x£y ra çng thíi ð (1:1); (1:2); (1:3) v (1:6). D¹ th§y, i·u cuèi còng câ ÷ñc khi v ch¿ khi a =b =c. C¡ch 2 V¼ a;b;c> 0 n¶n ta câ: P = p (a 2 +bc) (ab +ac) a(b +c) + p (b 2 +ca) (bc +ba) b(c +a) + p (c 2 +ab) (ca +cb) c(a +b) : (2.1) p döng b§t ¯ng thùc Bunhiacopxki cho hai bë 2 sè a; p bc v p ab; p ac , ta ÷ñc: a 2 +bc (ab +ac) a: p ab + p bc: p ac 2 =ab: (a +c) 2 : 1061. BT NG THÙC AM-GM Suy ra q (a 2 +bc) (ab +ac) p ab:(a +c): (2:2) B¬ng c¡ch t÷ìng tü, ta công chùng minh ÷ñc: q (b 2 +ac) (bc +ba) p bc:(b +a) (2.3) q (c 2 +ab) (ca +cb) p ca:(c +b): (2.4) Tø (2:1), (2:2), (2:3) v (2:4), suy ra P p ab(a +c) a(b +c) + p bc(b +a) b(c +a) + p ca(c +b) c(a +b) : (2.5) Kþ hi»u Q l v¸ ph£i cõa (2:5). Theo b§t ¯ng thùc Cauchy cho 3 sè thüc d÷ìng, ta câ: Q 3 s p ab(a +c) a(b +c) + p bc(b +a) b(c +a) + p ca(c +b) c(a +b) = 3: (2.6) Tø (2:5) v (2:6), suy ra P 3. Tø c¡c chùng minh tr¶n ta th§y, ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi d§u b¬ng x£y ra çng thíi ð (2:2),(2:3), (2:4) v (2:6). D¹ th§y, i·u cuèi còng câ ÷ñc khi v ch¿ khi a =b =c. C¡ch 3 Theo b§t ¯ng thùc Cauchy cho 3 sè thüc d÷ìng, ta câ: P 3 6 s a 2 +bc a(b +c) : b 2 +ca b(c +a) : c 2 +ab c(a +b) : (3.1) Ti¸p theo, ta s³ chùng minh: a 2 +bc a(b +c) : b 2 +ca b(c +a) : c 2 +ab c(a +b) 1: (3.2) Thªt vªy, do a;b;c> 0 n¶n (3:2), a 2 +bc b 2 +ca c 2 +ab abc(a +b)(b +c)(c +a): (3.3) p döng b§t ¯ng thùc Bunhiacopxki cho hai bë 2 sè a; p bc v b; p bc , ta ÷ñc: a 2 +bc b 2 +bc (ab +bc) 2 : Hay b a 2 +bc (b +c)b 2 (a +c) 2 : (3.4) Chùng minh t÷ìng tü, ta công câ: c b 2 +ca (c +a)c 2 (b +a) 2 : (3.5) a c 2 +ab (a +b)a 2 (c +b) 2 : (3.6) V¼ c¡c v¸ cõa (3:4), (3:5) v (3:6) ·u d÷ìng n¶n nh¥n c¡c b§t ¯ng thùc â vîi nhau, v¸ theo v¸, rçi chia c£ 2 v¸ cõa b§t ¯ng thùc thu ÷ñc cho abc(a +b)(b +c)(c +a), ta s³ nhªn ÷ñc b§t ¯ng thùc (3:3). V¼ th¸, (3:2) ÷ñc chùng minh. Tø (3:1) v (3:2), hiºn nhi¶n suy ra P 3. Tø c¡c chùng minh tr¶n ta th§y, ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi d§u b¬ng x£y ra çng thíi ð (3:1), (3:4), (3:5) v (3:6). D¹ th§y, i·u cuèi còng câ ÷ñc khi v ch¿ khi a =b =c. 1071. BT NG THÙC AM-GM C¥u 1.50. p döng Cauchy ta câ: (a 1 +a 2 + +a 2018 ) 2 = (a 1 +a 2 + +a 2018 ) 1 a 1 + 1 a 2 + + 1 a 2018 2018 2018 p a 1 a 2 a 2018 2018 2018 p a 1 a 2 a 2018 = 2018 2 : Hay a 1 +a 2 + +a 2018 2018. (1) Ta câ P =a 1 + a 2 2 + 1 2 + a 3 3 + 2 3 + + a 2018 2018 + 2017 2018 1 2 + 2 3 + + 2017 2018 . (2) Ti¸p töc sû döng Cauchy v sû döng (1) ta thu ÷ñc a 1 + a 2 2 + 1 2 + a 3 3 + 2 3 + + a 2018 2018 + 2017 2018 a 1 +a 2 + +a 2018 2018: (3) D§u ¯ng thùc x£y ra khi a 1 =a 2 = =a 2018 = 1: Tø (2) v (3) suy ra P 2018 1 2 + 2 3 + + 2017 2018 = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 2018 : 1082. BT NG THÙC CAUCHY-SCHWARZ x2. B§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz C¥u 2.1. B¼nh ph÷ìng hai v¸ v rót gån, ta câ q (a 2 1 +a 2 2 + +a 2 n ) (b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n ) (a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ): ¥y ch½nh l b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz d¤ng a thùc. ¯ng thùc x£y ra khi a i =kb i . C¥u 2.2. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ a 2 + 1 b 2 + 1 = a 2 + 1 1 +b 2 (a +b) 2 : T÷ìng tü, ta công câ (b 2 + 1) (c 2 + 1) (b +c) 2 ; (c 2 + 1) (a 2 + 1) (a +c) 2 . Nh¥n ba b§t ¯ng thùc tr¶n theo v¸ ta ÷ñc a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 (a +b) (b +c) (c +a): ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 1. C¥u 2.3. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ a 2 +b 2 + 1 1 + 1 +c 2 (a +b +c) 2 = 9 hay l a 2 +b 2 + 1 9 c 2 + 2 : T÷ìng tü b 2 +c 2 + 1 9 a 2 + 2 v c 2 +a 2 + 1 9 b 2 + 2 : Cëng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n theo v¸, ta ÷ñc 2 a 2 +b 2 +c 2 + 3 9 1 a 2 + 2 + 1 b 2 + 2 + 1 c 2 + 2 : ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 1. C¥u 2.4. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ VT = p a p a 3 + 8abc + p b p b 3 + 8abc + p c p c 3 + 8abc p (a +b +c) (a 3 +b 3 +c 3 + 24abc): M°t kh¡c (a +b +c) 3 =a 3 +b 3 +c 3 + 3 (a +b) (b +c) (c +a)a 3 +b 3 +c 3 + 24abc Suy ra VT q (a +b +c) (a +b +c) 3 = (a +b +c) 2 = 1: B i to¡n ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 1 3 . 1092. BT NG THÙC CAUCHY-SCHWARZ C¥u 2.5. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ VT = X a 4 a(b + 2c) (a 2 +b 2 +c 2 ) a(b + 2c) +b(c + 2a) +c(a + 2b) = (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 3(ab +bc +ca) a 2 +b 2 +c 2 3 = 1: C¥u 2.6. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ VT = X a 4 a p b 2 +c 2 + 7 (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 a p b 2 +c 2 + 7 +b p c 2 +a 2 + 7 +c p a 2 +b 2 + 7 (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 p (a 2 +b 2 +c 2 )(2a 2 + 2b 2 + 2c 2 + 21) = t p t p 2t + 21 ; t =a 2 +b 2 +c 2 3: Ta chùng minh t p t p 2t + 21 1,t 3 2t + 21, (t 3)(t 2 + 3t + 9) 0 (óng): C¥u 2.7. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ: 9 4a 2 +b 2 +c 2 = (a +b +c) 2 2a 2 + (a 2 +b 2 ) + (a 2 +c 2 ) a 2 2a 2 + b 2 a 2 +b 2 + c 2 a 2 +c 2 = 1 2 + b 2 a 2 +b 2 + c 2 a 2 +c 2 : T÷ìng tü: 9 a 2 + 4b 2 +c 2 a 2 a 2 +b 2 + c 2 c 2 +b 2 + 1 2 v 9 a 2 +b 2 + 4c 2 a 2 a 2 +c 2 + b 2 b 2 +c 2 + 1 2 : Cëng 3 b§t ¯ng thùc tr¶n theo v¸ ta câ pcm. C¥u 2.8. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 1 3 2a 2 + 3 + 1 3 2b 2 + 3 + 1 3 2c 2 + 3 6 5 , a 2 2a 2 + 3 + b 2 2b 2 + 3 + c 2 2c 2 + 3 3 5 : (1) p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ 25 3(2a 2 + 3) = 25 6a 2 + (a +b +c) 2 = (2 + 2 + 1) 2 2(2a 2 +bc) + 2a(a +b +c) +a 2 +b 2 +c 2 2 2a 2 +bc + 2 a(a +b +c) + 1 a 2 +b 2 +c 2 : 1102. BT NG THÙC CAUCHY-SCHWARZ Suy ra a 2 2a 2 + 3 3 25 2a 2 2a 2 +bc + 2a a +b +c + a 2 a 2 +b 2 +c 2 : Suy ra VT (1) 3 25 2a 2 2a 2 +bc + 2b 2 2b 2 +ca + 2c 2 2c 2 +ab + 3 : Ta chùng minh a 2 2a 2 +bc + b 2 2b 2 +ca + c 2 2c 2 +ab 1 , bc 2a 2 +bc + ca 2b 2 +ca + ab 2c 2 +ab 1: (2) p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ VT (2) (ab +bc +ca) 2 2abc(a +b +c) +a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 = (ab +bc +ca) 2 (ab +bc +ca) 2 = 1: Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. C¥u 2.9. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 1 1 a 2 + 1 + 1 1 b 2 + 1 + 1 1 c 2 + 1 3 2 , a 2 a 2 + 1 + b 2 b 2 + 1 + c 2 c 2 + 1 3 2 , 4a 2 3a 2 +ab +bc +ca + 4b 2 3b 2 +ab +bc +ca + 4c 2 3c 2 +ab +bc +ca 2: (1) Ta câ 4a 2 3a 2 +ab +bc +ca = (a +a) 2 (2a 2 +bc) +a(a +b +c) a 2a 2 +bc + a a +b +c : Suy ra VT (1) a 2 2a 2 +bc + b 2 2b 2 +ca + c 2 2c 2 +ab + 1 1 + 1 = 2: C¥u 2.10. Ta câ 3 3ab = 1 + ab a 2 +b 2 +c 2 ab = 2ab a 2 +b 2 + 2c 2 + (ab) 2 1 + (a +b) 2 2(a 2 +b 2 + 2c 2 ) 1 + 1 2 a 2 a 2 +c 2 + b 2 b 2 +c 2 : T÷ìng tü 3 3bc 1 + 1 2 b 2 b 2 +a 2 + c 2 c 2 +a 2 v 3 3ca 1 + 1 2 c 2 c 2 +b 2 + a 2 a 2 +b 2 : Cæng ba b§t ¯ng thùc tr¶n theo v¸ ta câ pcm. 1112. BT NG THÙC CAUCHY-SCHWARZ C¥u 2.11. Ta câ VT = 4 x 2 +y 2 + 3yz + 4 y 2 +z 2 + 3zx + 4 z 2 +x 2 + 3xy + 5 x x 2 +y 2 + 3yz + 5 y y 2 +z 2 + 3zx + 5 z z 2 +x 2 + 3xy p döng b§t ¯ng thùc Schwarz ta ÷ñc: VT 4:9 2(x 2 +y 2 +z 2 ) + 3(xy +yz +zx) + 5 1 p x + 1 p y + 1 p z 2 2(x 2 +y 2 +z 2 ) + 3(xy +yz +zx) 36 2(x 2 +y 2 +z 2 ) + 3(xy +yz +zx) + 45 2(x 2 +y 2 +z 2 ) + 3(xy +yz +zx) = 84 2(x 2 +y 2 +z 2 ) + 3(xy +yz +zx) 162 x 2 +y 2 +z 2 + 27 : Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. C¥u 2.12. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ a b + 2c + b c + 2a + c a + 2b = a 2 a(b + 2c) + b 2 b(c + 2a) + c 2 c(a + 2b) (a +b +c) 2 a(b + 2c) +b(c + 2a) +c(a + 2b) = (a +b +c) 2 3(ab +bc +ca) 1: Do â VT a b + 2c + b c + 2a + c a + 2b 2 2(a +b +c) 1 2 : C¥u 2.13. °t x = p ab; y = p bc; z = p ca, ta câ b p a 4b p cc p a = ba 4b p caca = x 2 4yzz 2 ; c p b 4c p aa p b = y 2 4xzx 2 ; a p c 4a p bb p c = z 2 4xyy 2 : p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ VT (x +y +z) 2 4(xy +yz +zx) (x 2 +y 2 +z 2 ) 3(xy +yz +zx) 4(xy +yz +zx) (xy +yz +zx) = 1: C¥u 2.14. °t 1 a =x; 1 b =y; 1 c =z ta câ x 2 +y 2 +z 2 1 v ta chùng minh b§t ¯ng thùc x 3 y 2 +z 2 + x 3 y 2 +z 2 + x 3 y 2 +z 2 p 3 2 Ta câ: x 3 y 2 +z 2 + x 3 y 2 +z 2 + x 3 y 2 +z 2 = x 4 x (y 2 +z 2 ) + y 4 y (z 2 +x 2 ) + z 4 z (x 2 +y 2 ) (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 z (y 2 +z 2 ) +y (z 2 +x 2 ) +z (x 2 +y 2 ) 1122. BT NG THÙC CAUCHY-SCHWARZ p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ x y 2 +z 2 = 1 p 2 p 2x 2 (y 2 +z 2 ) (y 2 +z 2 ) 2 p 3 9 x 2 +y 2 +z 2 p x 2 +y 2 +z 2 y z 2 +x 2 = 1 p 2 p 2y 2 (z 2 +x 2 ) (z 2 +x 2 ) 2 p 3 9 x 2 +y 2 +z 2 p x 2 +y 2 +z 2 z x 2 +y 2 = 1 p 2 p 2z 2 (x 2 +y 2 ) (x 2 +y 2 ) 2 p 3 9 x 2 +y 2 +z 2 p x 2 +y 2 +z 2 Suy ra x 3 y 2 +z 2 + y 3 z 2 +x 2 + z 3 x 2 +y 2 p 3 2 p x 2 +y 2 +z 2 p 3 2 Vªy b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v chi ch¿ a =b =c = p 3. C¥u 2.15. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ (3S) 2 = 100 X k=1 a k+1 (a 2 k + 2a k+1 a k+2 ) ! 2 100 X k=1 a 2 k+1 ! 100 X k=1 a 2 k + 2a k+1 a k+2 2 ! = 1: 100 X k=1 a 2 k + 2a k+1 a k+2 2 ! = 100 X k=1 a 4 k + 4a 2 k a k+1 a k+2 + 4a 2 k+1 a 2 k+2 100 X k=1 a 4 k + 2a 2 k (a 2 k+1 +a 2 k+2 ) + 4a 2 k+1 a 2 k+2 ! = 100 X k=1 a 4 k + 6a 2 k a 2 k+1 + 2a 2 k a 2 k+2 : M°t kh¡c 100 X k=1 a 4 k + 2a 2 k a 2 k+1 + 2a 2 k a 2 k+2 100 X k=1 a 2 k ! 2 v 100 X k=1 a 2 k a 2 k+1 50 X i=1 a 2 2i1 ! 50 X j=1 a 2 2j ! ; n¶n ta câ (3S) 2 100 X k=1 a 2 k ! 2 + 4 50 X i=1 a 2 2i1 ! 50 X j=1 a 2 2j ! 1 + 50 X i=1 a 2 2i1 + 50 X j=1 a 2 2j ! 2 = 2: Suy ra S p 2 3 : C¥u 2.16. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi X cyc 1 a(a +b +c) + 2(ab +bc +ca) 1 ab +bc +ca , X cyc 2(ab +bc +ca) a(a +b +c) + 2(ab +bc +ca) 2 1132. BT NG THÙC CAUCHY-SCHWARZ Hay X cyc a(a +b +c) a(a +b +c) + 2(ab +bc +ca) 1: (4) Ta câ VT (4) = (a +b +c) X cyc a 2 a 2 (a +b +c) + 2a(ab +bc +ca) (a +b +c) 3 P cyc [a 2 (a +b +c) + 2a(ab +bc +ca)] = 1 Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. C¥u 2.17. °t S =a r 3 + b 2 c 2 +b r 3 + c 2 a 2 +c r 3 + a 2 b 2 : p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ (3 + 1) 3 + b 2 c 2 3 + b c 2 Suy ra a r 3 + b 2 c 2 1 2 3a + ab c : Do â S 1 2 3(a +b +c) + ab c + bc a + ca b : L¤i câ ab c + bc a + ca b a +b +c: N¶n ta câ S 2(a +b +c): °t x =ab, y =bc, z =ca, khi â b§t ¯ng thùc 2 ab c + bc a + ca b S , 2(x 2 +y 2 +z 2 )x p x 2 + 3z 2 +y p y 2 + 3x 2 +z p z 2 + 3y 2 (4): p döng AM-GM ta câ x p x 2 + 3z 2 = 1 2 (2x) p x 2 + 3z 2 1 4 (4x 2 +x 2 + 3z 2 ) = 1 4 (5x 2 + 3z 2 ): T÷ìng tü cho hai bt cán l¤i v cæng 3 bt â theo v¸ ta câ pcm. C¥u 2.18. °t a = 1 +x 2 ; b = 1 +y 2 ; c = 1 +z 2 . Ta câ x x 2 + 1 2 = a 2 ; y b 2 ; z c 2 : Do â VT 2 a b + 2c + b c + 2a + c a + 2b 2 (a +b +c) 2 a(b + 2c) +b(c + 2a) +c(a + 2b) 1: 1142. BT NG THÙC CAUCHY-SCHWARZ C¥u 2.19. Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Shwarz, ta câ a 3 p 4(b 3 +c 3 ) + b c +a + c a +b = a 2 a 3 p 4(b 3 +c 3 ) + b 2 bc +ab + c 2 bc +ca (a +b +c) 2 a 3 p 4(b 3 +c 3 ) + 2bc +a(b +c) : Tø â, º chùng minh b§t ¯ng thùc cõa b i ra, ta s³ chùng minh (a +b +c) 2 a 3 p 4(b 3 +c 3 ) + 2bc +a(b +c) 3 2 (1) vîi måi a; b; c> 0: V¼ a; b; c> 0 n¶n (1), 2a 2 +a(b +c) + 2(b 2 bc +c 2 ) 3a 3 p 4(b 3 +c 3 ): (2) V¼ b 2 bc +c 2 > 0 n¶n ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy cho 3 sè thüc d÷ìng 2a 2 ; a(b +c) v b 2 bc +c 2 ; ta ÷ñc 2a 2 +a(b +c) + 2(b 2 bc +c 2 ) 3 3 p 2a 2 a(b +c) 2(b 2 bc +c 2 ) = 3a 3 p 4(b 3 +c 3 ): Vªy (2) ÷ñc chùng minh; do â (1) ÷ñc chùng minh v v¼ th¸ b§t ¯ng thùc cõa b i to¡n ÷ñc chùng minh. D¹ th§y, ¯ng thùc x£y khi v ch¿ khi a =b =c: C¥u 2.20. K½ hi»u P l v¸ tr¡i cõa b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh theo y¶u c¦u · b i. N¸u a = 0 th¼ tø c¡c r ng buëc èi vîi a, b, c suy ra c> 0. Do â P = b c + 2> 1: N¸u b = 0 th¼ tø c¡c r ng buëc èi vîi a, b, c suy ra c> 0. Do â P = a c + 2c c + 2a > a a +c + 2c 2c + 2a = 1: N¸u c = 0 th¼ tø c¡c r ng buëc èi vîi a, b, c suy ra a;b> 0. Do â P = a b + b 4a 2 r a b b 4a = 1: D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi b = 2a. X²t a;b;c> 0. Khi â, theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ P = 4a 2 4ab + 4ac + b 2 bc + 4ab + 4c 2 2c 2 + 4ac (2a +b + 2c) 2 8ab + 8ac +bc + 2c 2 : (1:1) Ti¸p theo, ta s³ chùng minh (2a +b + 2c) 2 8ab + 8ac +bc + 2c 2 > 1 (1:2) Thªt vªy, ta câ (1:2), 4a 2 +b 2 + 4c 2 + 4ab + 8ac +abc> 8ab + 8ac +bc + 2c 2 , (2ab) 2 + (3b + 2c)c> 0. B§t ¯ng thùc cuèi còng hiºn nhi¶n óng v v¼ th¸ (1:2) ÷ñc chùng minh. Tø (1:1) v (1:2), hiºn nhi¶n suy ra P > 1. Vªy, tâm l¤i, b§t ¯ng thùc · b i ÷ñc chùng minh. D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi b = 2a v c = 0. C¥u 2.21. Ta câa +b +c p 3(a 2 +b 2 +c 2 ) = 3 B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi a 2a + b 2b + c 2c 3: (1) 1152. BT NG THÙC CAUCHY-SCHWARZ Ta câ VT (1) = a 2 a(2a) + b 2 b(2b) + c 2 c(2c) (a +b +c) 2 2(a +b +c) 3 : Ta chùng minh (a +b +c) 2 2(a +b +c) 3 3, (a +b +c 3) 2 0 (bt luæn óng). ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a =b =c = 1. C¥u 2.22. º þ r¬ng 1 1ab = 2 1 2ab 1ab : Do â b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 1 2ab 1ab + 1 2bc 1bc + 1 2cd 1cd + 1 2da 1da 8 3 : V¼ 1 2ab = (ab) 2 +c 2 +d 2 0 n¶n ta câ thº ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz nh÷ sau 1 2ab 1ab + 1 2bc 1bc + 1 2cd 1cd + 1 2da 1da [(1 2ab) + (1 2bc) + (1 2cd) + (1 2da)] 2 (1 2ab)(1ab) + (1 2bc)(1bc) + (1 2cd)(1cd) + (1 2da)(1da) = 4[2 (a +c)(b +d)] 2 4 3(a +c)(b +d) + 2(a 2 +c 2 )(b 2 +d 2 ) : B i to¡n ÷ñc quy v· chùng minh 3 [2 (a +c)(b +d)] 2 2 4 3(a +c)(b +d) + 2(a 2 +c 2 )(b 2 +d 2 ) : B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi 4 6(a +c)(b +d) + 3(a +c) 2 (b +d) 2 4(a 2 +c 2 )(b 2 +d 2 ) 0; hay 3 [1 (a +c)(b +d)] 2 + 1 4(a 2 +c 2 )(b 2 +d 2 ) 0: Ta câ 1 4(a 2 +c 2 )(b 2 +d 2 ) = (a 2 +b 2 +c 2 +d 2 ) 2 4(a 2 +c 2 )(b 2 +d 2 ) = (a 2 +c 2 b 2 d 2 ) 2 0: N¶n b§t ¯ng thùc cuèi óng. B i to¡n ÷ñc chùng minh. C¥u 2.23. Tø gi£ thi¸t, ta câ thº °t x = 2a 2 bc ;y = 2b 2 ca v z = 2c 2 ab vîi a;b;c> 0. Thay v o b§t ¯ng thùc ¢ cho, ta câ thº vi¸t nâ d÷îi d¤ng sau a 4 a 4 +a 2 bc +b 2 c 2 + b 4 b 4 +b 2 ca +c 2 a 2 + c 4 c 4 +c 2 ab +a 2 b 2 1: Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy- Schwarz, ta d¹ th§y VT (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 (a 4 +b 4 +c 4 ) +abc(a +b +c) + (a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 ) ; suy ra ta ch¿ c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc sau núa l õ a 2 +b 2 +c 2 2 a 4 +b 4 +c 4 +abc (a +b +c) +a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 ,a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 abc(a +b +c) , (abac) 2 + (bcba) 2 + (cacb) 2 0: B i to¡n ÷ñc chùng minh xong. 1162. BT NG THÙC CAUCHY-SCHWARZ C¥u 2.24. Tø gi£ thi¸t, ta câ thº °t x = 2a 2 bc ;y = 2b 2 ca v z = 2c 2 ab vîi a;b;c> 0. Thay v o b§t ¯ng thùc ¢ cho, ta câ thº vi¸t nâ d÷îi d¤ng sau a 4 a 4 +a 2 bc +b 2 c 2 + b 4 b 4 +b 2 ca +c 2 a 2 + c 4 c 4 +c 2 ab +a 2 b 2 1: Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz, ta d¹ th§y VT (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 (a 4 +b 4 +c 4 ) +abc(a +b +c) + (a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 ) ; suy ra ta ch¿ c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc sau núa l õ a 2 +b 2 +c 2 2 a 4 +b 4 +c 4 +abc (a +b +c) +a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 ; hay a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 abc(a +b +c), (abac) 2 + (bcba) 2 + (cacb) 2 0: B i to¡n ÷ñc chùng minh xong. C¥u 2.25. Tø xyz = 1)x = a 2 bc ;y = b 2 ca ;z = c 2 ab . B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi a 4 (a 2 bc) 2 + b 4 (b 2 ca) 2 + c 4 (c 2 ab) 2 1: (1) p döng b§t ¯ng thùc Schwarz ta câ: VT (1) (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 (a 2 bc) 2 + (b 2 ca) 2 + (c 2 ab) 2 : Ta chùng minh: (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 (a 2 bc) 2 + b 2 ca 2 + c 2 ab 2 , (ab +bc +ca) 2 0: Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh. C¥u 2.26. °t a = 1 x ; b = 1 y ; c = 1 z ) x ; y ; z > 0 . B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc sau x p z (3x +y) + y p x (3y +z) + z p y (3z +x) 3 2 : °t v¸ tr¡i l P, sû döng b§t ¯ng thùc C - S ta câ P = x 2 x: p z (3x +y) + y 2 y: p x (3y +z) + z 2 z: p y (3z +x) (x +y +z) 2 x p z (3x +y) +y p x (3y +z) +z p y (3z +x) °tQ =x p z (3x +y)+y p x (3y +z)+z p y (3z +x) Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz ta câ Q = p x: p xz (3x +y) + p y: p yx (3y +z) + p z: p zy (3z +x) p (x +y +z) [xz (3x +y) +xy (3y +z) +zy (3z +x)] = p 3 (x +y +z) (x 2 z +y 2 x +z 2 y +xyz) 1172. BT NG THÙC CAUCHY-SCHWARZ M°t kh¡c, ta chùng minh ÷ñc: x 2 z +y 2 x +z 2 y +xyz 4 27 (x +y +z) 3 Thªt vªy, khæng m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ sû y l sè n¬m giúa x v z. Khi â (yx) (yz) 0,y 2 +xzxy +yz,y 2 x +x 2 zx 2 y +xyz )x 2 z +y 2 x +z 2 y +xyzx 2 y +z 2 y + 2xyz =y (x +z) 2 = 4:y: x +z 2 : x +z 2 4: 0 B @ y + x +z 2 + x +z 2 3 1 C A 3 = 4 27 (x +y +z) 3 Do â Q 2 3 (x +y +z) 2 )P 3 2 (pcm). ¯ng thùc x£y ra khi x =y =z: C¥u 2.27. Khi thay a; b; c bðia; b; c th¼ b§t ¯ng thùc khæng êi, do â ta gi£ sû a 0b; c. Khi â ta thay a bðia ta c¦n chùng minh BT (a 2 ab +b 2 )(b 2 +bc +c 2 )(c 2 ca +a 2 ) 3(bcabac) 3 : (1) vîi a; b; c 0: Ta ch¿ x²t bccaab 0. Do b 2 +bc +c 2 (bcacab) =b 2 +c 2 +a(b +c) 0; n¶n ta chùng minh (a 2 ab +b 2 )(c 2 ca +a 2 ) 3(bcabac) 2 : (2) Ta câ 4(a 2 ab +b 2 ) 4(c 2 ca +a 2 ) = (a +b) 2 + 3(bc) 2 (c +a) 2 + 3(ca) 2 [(a +b)(a +c) + 3(ac)(ab)] 2 : Ta chùng minh (a +b)(a +c) + 3(ab)(ac) 4(bcabac): B§t ¯ng thùc n y óng v¼ nâ t÷ìng ÷ìng vîi ,a(2a +b +c) 0: C¥u 2.28. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ VT = X a 4 a 2 (2b 2 bc + 2c 2 ) (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 P a 2 (2b 2 bc + 2c 2 ) : Ta chùng minh (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 X a 2 (2b 2 bc + 2c 2 ); hay X a 4 +abc X a 2 X a 2 b 2 : (1) p döng b§t ¯ng thùc Schur ta câ X a 4 +abc X a X ab(a 2 +b 2 ) 2 X a 2 b 2 ; n¶n (1) óng. 1182. BT NG THÙC CAUCHY-SCHWARZ C¥u 2.29. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ P 2 = a(2bc) + p 2: p 2(b +c) 2 (a 2 + 2) (2bc) 2 + 2(b +c) 2 = (a 2 + 2)(b 2 + 2)(c 2 + 2): L¤i ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ (a 2 + 2)(b 2 + 2)(c 2 + 2) = 1 6 3(a 2 + 2):2(b 2 + 2):(c 2 + 2) 1 6 3(a 2 + 2) + 2(b 2 + 2) + (c 2 + 2) 3 3 = 36: Tø â suy ra P 2 36 . Suy ra6 P 6. M°t kh¡c vîi a = 0; b = 1; c = 2 th¼ P = 6; a = 0; b = 1; c = 2 th¼ P =6. Vªy P max = 6 v P min =6: C¥u 2.30. °tP = a +b (a +b + 1) 2 + b +c (b +c + 1) 2 + c +a (c +a + 1) 2 . p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz ta câ 2(a +b +c)P a +b a +b + 1 + b +c b +c + 1 + c +a c +a + 1 2 : Ti¸p theo ta chùng minh a +b a +b + 1 + b +c b +c + 1 + c +a c +a + 1 2; hay 1 a +b + 1 + 1 b +c + 1 + 1 c +a + 1 1: B§t ¯ng thùc n y óng do 1 a 3 +b 3 +abc + 1 b 3 +c 3 +abc + 1 c 3 +a 3 +abc 1 abc : C¥u 2.31. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ (x 4 +y)( z 2 y + 1) (x 2 +z) 2 ) (x 4 +y)(z 2 +y)y(x 2 +z) 2 : T÷ìng tü: (y 4 +z)(x 2 +z)z(y 2 +x) 2 (x 4 +y)(z 2 +y)y(x 2 +z) 2 (z 4 +x)(y 2 +x)x(z 2 +y) 2 : Nh¥n c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n theo v¸ ta ÷ñc (x 4 +y)(y 4 +z)(z 4 +x)xyz(x +y 2 )(y +z 2 )(z +x 2 ) (x +y 2 )(y +z 2 )(z +x 2 ): C¥u 2.32. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ VT s a 3a +b + b 3b +c + c 3c +a (a +b +c): 1192. BT NG THÙC CAUCHY-SCHWARZ Ta chùng minh a 3a +b + b 3b +c + c 3c +a 1 2 , X cyc b 3a +b 3 4 : Ta câ X cyc b 3a +b = X cyc b 2 3ab +b 2 (a +b +c) 2 a 2 +b 2 +c 2 + 3(ab +bc +ca) : Do â, ta chùng minh (a +b +c) 2 a 2 +b 2 +c 2 + 3(ab +bc +ca) 3 4 ,a 2 +b 2 +c 2 ab +bc +ca (óng): C¥u 2.33. Tø gi£ thi¸t câ (1b 2 )(1c 2 ) (abc) 2 : B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi (1b 6 )(1c 6 ) (a 3 b 3 c 3 ) 2 ; hay (1b 2 )(1c 2 )(1 +b 2 +b 4 )(1 +c 2 +c 4 ) (abc) 2 (a 2 +abc +b 2 c 2 ) 2 : Nh÷ vªy c¦n chùng minh (1 +b 2 +b 4 )(1 +c 2 +c 4 ) (a 2 +abc +b 2 c 2 ) 2 p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ (1 +b 2 +b 4 )(1 +c 2 +c 4 ) (1 +jbcj +b 2 c 2 ) 2 (a 2 +jabcj +b 2 c 2 ) 2 (a 2 +abc +b 2 c 2 ) 2 : Do1a 1. Suy ra i·u ph£i chùng minh. D§u b¬ng x£y ra khi a =b =c = 1. C¥u 2.34. Ta câ (a 2 +b 2 +c 2 ) 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 1 2 a b + b c + c a 2 + b a + c b + a c 2 ! 1 4 a b + b c + c a + b a + c b + a c 2 6 4 a b + b c + c a + b a + c b + a c = 3 2 b +c a + c +a b + a +b c Suy ra 2 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 b +c a + c +a b + a +b c : 1202. BT NG THÙC CAUCHY-SCHWARZ C¥u 2.35. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi n1 X k=1 (n 2)x 2 1 + 2x 1 (n 1)x 2 1 + 1 + 1 n 1 1 (n 2) n1 P k=1 x k 2 2 n1 P k=1 x k (n 1) n1 P k=1 x k 2 + 1 , n1 X k=1 ((n 1)x k + 1) 2 (n 1)((n 1)x 2 k + 1) n1 P k=1 x k + 1 2 (n 1) n1 P k=1 x k 2 + 1 : p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ n1 X k=1 ((n 1)x k + 1) 2 (n 1)((n 1)x 2 k + 1) n1 P k=1 x k + 1 2 n1 P k=1 x 2 k + 1 : N¶n ta chùng minh n1 P k=1 x k + 1 2 n1 P k=1 x 2 k + 1 n1 P k=1 x k + 1 2 (n 1) n1 P k=1 x k 2 + 1 ; hay (n 1) n1 X k=1 x k ! 2 n1 X k=1 x 2 k : (1) C¥u 2.36. p döng bt Cauchy-Schwarz ta câ 1 2a 2 +bc + 1 2b 2 +ac + 1 2c 2 +ab (a +b +c) 2 ab +bc +ac 4(a +b +c) 2 P (2a 2 +bc)(b 2 +c 2 + 2bc) : Ta chùng minh X (2a 2 +bc)(b 2 +c 2 + 2bc) 4(a 2 +b 2 +c 2 )(ab +bc +ca); hay X ab(a 2 +b 2 ) 2 X a 2 b 2 : B§t ¯ng thùc n y óng theo AM-GM C¥u 2.37. p döng b§t ¯ng thùc AMGM ta câ P 3 3n s a 2 +bc a(b +c) b 2 +ac b(a +c) c 2 +ab c(a +b) : (1) Ta chùng minh a 2 +bc a(b +c) b 2 +ac b(a +c) c 2 +ab c(a +b) 1. (2) Thªt vªy: Do a; b; c d÷ìng n¶n b§t ¯ng thùc (1) ÷a v· (a 2 +bc)(b 2 +ac)(c 2 +ab)abc(a +b)(b +c)(c +a) (3): 1212. BT NG THÙC CAUCHY-SCHWARZ p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz cho 2 bë 2 sè a; p bc v b; p bc ta ÷ñc (a 2 +bc)(b 2 +bc) (ab +bc) 2 hay b(a 2 +bc)(b +c)b 2 (a +c) 2 . (4) Chùng minh t÷ìng tü ta câ c(b 2 +ac)(a +c)c 2 (a +b) 2 (5) a(c 2 +ab)(a +b)a 2 (c +b) 2 (6) V¼ c¡c v¸ cõa (4), (5), (6) ·u d÷ìng. Nh¥n v¸ vîi v¸ c¡c b§t ¯ng thùc â vîi nhau, rçi chia c£ 2 v¸ cõa b§t ¯ng thùc thu ÷ñc cho abc(a +b)(b +c)(c +a) ta ÷ñc (3), do â câ (2), suy ra P 3. D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi d§u b¬ng x£y ra çng thíi ð (1), (4), (5) v (6), khi â a =b =c. Vªy gi¡ trà nhä nh§t cõa P l 3. C¥u 2.38. a 3 + 5 = (a 3 + 1 + 1) + 3 3 3 p a 3 1 1 + 3 = 3a + 3. T÷ìng tü: b 3 + 5 3b + 3; c 3 + 5 3c + 3. a 3 + 5 a 3 (b +c) + b 3 + 5 b 3 (c +a) + c 3 + 5 c 3 (a +b) 3a + 3 a 3 (b +c) + 3b + 3 b 3 (c +a) + 3c + 3 c 3 (a +b) Ta câ: 3a + 3 a 3 (b +c) + 3b + 3 b 3 (c +a) + 3c + 3 c 3 (a +b) = 3a(abc) + 3(abc) 2 a 3 (b +c) + 3b(abc) + 3(abc) 2 b 3 (c +a) + 3c(abc) + 3(abc) 2 c 3 (a +b) = 3(bc +b 2 c 2 ) ab +bc + 3(ca +c 2 a 2 ) bc +ca + 3(ab +a 2 b 2 ) ca +ab °t x =bc, y =ca, z =ab; x;y;z > 0, xyz = 1. 3a + 3 a 3 (b +c) + 3b + 3 b 3 (c +a) + 3c + 3 c 3 (a +b) 3 x +x 2 y +z + y +y 2 z +x + z +z 2 x +y = 3 x y +z + y z +x + z x +y + 3 x 2 y +z + y 2 z +x + z 2 z +y x y +z + y z +x + z x +y 3 2 x 2 y +z + y 2 z +x + z 2 z +y x +y +z 2 3 3 p xyz 2 = 3 2 . Vªy a 3 + 5 a 3 (b +c) + b 3 + 5 b 3 (c +a) + c 3 + 5 c 3 (a +b) 9. D§u = x£y ra khi a =b =c = 1. C¥u 2.39. Bi¸n êi v ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwartz: n X k=1 a k (b k +a k+1 ) = n X k=1 a k b k + n X k=1 a k a k+1 v u u t n X k=1 a 2 k ! n X k=1 b 2 k ! + n X k=1 a k a k+1 = v u u t n X k=1 a 2 k + n X k=1 a k a k+1 = v u u t n X k=1 a k ! 2 2 X 1iy. (2) çng thíi công câ 1 = n X k=1 a k ! 2 = n X k=1 a 2 k + 2x>y)y< 1: Do (1) n¶n ta c¦n chùng minh: p 1 2x +y< 1, 1 2x< 1 2y +y 2 , 2(yx) 2 p 2bc (do abc) ) (bc) 2 bc 2 p 2 (bc) 2 a 2 +b 2 +c 2 : (3) Tø (1),(2),(3) suy ra b§t ¯ng thùc (*) óng. Suy ra i·u ph£i chùng minh. 128Ch÷ìng 2 Mët sè ph÷ìng ph¡p chùng minh b§t ¯ng thùc x1. Ph÷ìng ph¡p quy n¤p 1292. PH×ÌNG PHP PH N TCH BNH PH×ÌNG SOS x2. Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch b¼nh ph÷ìng SOS 1302. PH×ÌNG PHP PH N TCH BNH PH×ÌNG SOS C¥u 5.1. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 2 a 3 +b 3 +c 3 ab (a +b)bc (b +c)ca (c +a) a 3 +b 3 +c 3 3abc 0 , (a +b) (ab) 2 + (b +c) (bc) 2 + (c +a) (ca) 2 1 2 (a +b +c) (ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 0 , (a +bc) (ab) 2 + (b +ca) (bc) 2 + (c +ab) (ca) 2 0 ,S c (ab) 2 +S a (bc) 2 +S b (ca) 2 0: Khæng m§t t½nh têng qu¡t gi£ sû abc)S b 0;S c 0 Ta câ S a +S b = 2c 0 C¥u 5.2. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi abbc +ca b 2 +c 2 1 2 + bcca +ab c 2 +a 2 1 2 + caab +bc a 2 +b 2 1 2 0 , X (b +c)(2abc) b 2 +c 2 0, X (b +c)(ab) b 2 +c 2 + X (b +c)(ac) b 2 +c 2 0 , X (b +c)(ab) b 2 +c 2 + X (c +a)(ba) c 2 +a 2 0 , X (ab) 2 (ab +bc +cac 2 ) (b 2 +c 2 )(c 2 +a 2 ) 0: (1) M°t kh¡c ab +bc +cac 2 = (bc)(ca) + 2bc (bc)(ca); n¶n º chùng minh (1) ta chùng minh X (ab) 2 (bc)(ca) (b 2 +c 2 )(c 2 +a 2 ) 0, X (a 2 +b 2 )(ab) 2 (bc)(ca) 0 , (ab) 2 (bc) 2 (ca) 2 0: B§t ¯ng thùc cuèi hiºn nhi¶n óng. C¥u 5.3. BT c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 2 a 3 +b 3 +c 3 ab (a +b)bc (b +c)ca (c +a) a 3 +b 3 +c 3 3abc ab p 2 (a 2 +b 2 )ab +bc p 2 (b 2 +c 2 )bc +ca p 2 (c 2 +a 2 )ca ,S c (ab) 2 +S a (bc) 2 +S b (ca) 2 0; vîi S c =a +bc 2ab p 2 (a 2 +b 2 ) +a +b ; S a =b +ca 2bc p 2 (b 2 +c 2 ) +b +c ; S b =c +ab 2ca p 2 (c 2 +a 2 ) +c +a : Do a; b; c b¼nh ¯ng, khæng m§t t½nh têng qu¡t gi£ sû abc. Ta câ S c a +bc 2ab 4b = a 2 +bc 0; S b c +ab ca a +c 0 1312. PH×ÌNG PHP PH N TCH BNH PH×ÌNG SOS Ta c¦n chùng minh S b +S a = 2c 1 a p 2 (c 2 +a 2 ) +c +a b p 2 (b 2 +c 2 ) +b +c ! 2b 1 a 2 (a +c) b 2 (b +c) = bc a +c + bc b +c 0: C¥u 5.4. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 4a 2 + 2bc 3 (b 2 +c 2 ) b 2 +c 2 + 4b 2 + 2ca 3 (c 2 +a 2 ) c 2 +a 2 + 4c 2 + 2ab 3 (a 2 +b 2 ) a 2 +b 2 0 , 2 (a 2 b 2 ) + 2 (a 2 c 2 ) (bc) 2 b 2 +c 2 + 2 (b 2 c 2 ) + 2 (b 2 a 2 ) (ca) 2 c 2 +a 2 + 2 (c 2 a 2 ) + 2 (c 2 b 2 ) (ab) 2 a 2 +b 2 0 ,S c (ab) 2 +S a (bc) 2 +S b (ca) 2 0; vîi S c = 2(a +b) 2 (b 2 +c 2 ) (c 2 +a 2 ) 1 a 2 +b 2 ; S b = 2(c +a) 2 (b 2 +c 2 ) (b 2 +a 2 ) 1 c 2 +a 2 ; S a = 2(b +c) 2 (a 2 +b 2 ) (a 2 +c 2 ) 1 b 2 +c 2 : Gi£ sû abc suy ra S b 0;S c 0, S c S b S a Ta c¦n chùng minh S a +S b 0, hay 2 (c +a) 2 c 2 +a 2 + 2 (b +c) 2 b 2 +c 2 b 2 +c 2 b 2 +a 2 + a 2 +b 2 a 2 +c 2 Ta th§y h» sè c 2 ð v¸ tr¡i l 2 (c +a) 2 + 2 (b +c) 2 lîn hìn ho°c b¬ng v¸ ph£i l 2 (a 2 +b 2 ) n¶n ta ch¿ c¦n chùng minh khi c = 0. Hay 2 a 4 +b 4 a 2 +b 2 2 , a 2 b 2 2 0 (óng): C¥u 5.5. Ta câ : BT c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 4 a 3 +b 3 +c 3 3abc + 6 ab 2 +bc 2 +ca 2 a 3 b 3 c 3 3 a 2 b +b 2 c +c 2 aa 3 b 3 c 3 , 2 (a +b +c) (ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 2 (2b +a) (ab) 2 + (2c +b) (bc) 2 + (2a +c) (ca) 2 + (2a +b) (ab) 2 + (2b +c) (bc) 2 + (2c +a) (ca) 2 0 , (2ab + 2c) (ab) 2 + (2bc + 2a) (bc) 2 + (2ca + 2b) (ca) 2 0 ,S c (ab) 2 +S a (bc) 2 +S b (ca) 2 0: N¸u abc)S a 0;S c 0, m°t kh¡c S a + 2S b 0;S c + 2S b 0: Theo ti¶u chu©n 3 suy ra PCM. N¸u abc)S b 0;S c 0. Theo ti¶u chu©n 2 ta c¦n chùng minh S a +S b 0 ( hiºn nhi¶n ) Suy ra i·u ph£i chùng minh. 1322. PH×ÌNG PHP PH N TCH BNH PH×ÌNG SOS C¥u 5.6. Tr÷îc h¸t ta th§y r¬ng : (x +y +z) 1 x + 1 y + 1 z 9 = X (xy) 2 xy ; 6 x y +z + y z +x + z x +y 9 = X (xy) 2 (y +z)(z +x) : Ta c¦n chùng minh : (x +y +z) 1 x + 1 y + 1 z 6 x y +z + y z +x + z x +y , X (xy) 2 xy X 3(xy) 2 (y +z)(z +x) : vîi måi sè thücx,y,z thuëc o¤n [1; 2]. °tS x = 1 yz 3 (x +y)(x +z) ,S y = 1 zx 3 (y +x)(y +z) , S z = 1 xy 3 (z +x)(z +y) . B§t ¯ng thùc ¢ cho vi¸t d÷îi d¤ng t÷ìng ÷ìng l : S x (yz) 2 +S y (zx) 2 +S z (xy) 2 0: Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû 2xyz 1 . Ta s³ chùng minh r¬ng S x ; S y 0 . Thªt vªy: S x 0,x 2 +xy +xz 2yz 0; (óng): S y 0,y 2 +yx +yz 2zxx(yz) +z(z +yx) 0 (do x;y;z2 [1; 2] n¶n y +zx 0). - N¸uS z 0 , ta câ pcm. - N¸u S z < 0, ta chùng minh ÷ñc r¬ng S x + 2S z 0; S y + 2S z 0 . Khi â d¹ d ng th§y r¬ng v¼: (xy) 2 2 (yz) 2 + (zx) 2 v S z < 0 n¶n S x (yz) 2 +S y (zx) 2 +S z (xy) 2 (S x + 2S z )(yz) 2 + (S y + 2S z )(zx) 2 0: Vªy trong måi tr÷íng hñp, ta luæn câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi x =y =z ho°c y =z = 1; x = 2 v c¡c ho¡n và cõa chóng. C¥u 5.8. a) Chùng minh 2 3 (a 2 +b 2 +c 2 )a 3 +b 3 +c 3 , (1). (1), (a +b +c) a 2 +b 2 +c 2 3 a 3 +b 3 +c 3 ,a 2 b +a 2 c +b 2 c +b 2 a +c 2 a +c 2 b 2 a 3 +b 3 +c 3 , (b +c) (bc) 2 + (c +a) (ca) 2 + (a +b) (ab) 2 0 B§t ¯ng thùc tr¶n óng n¶n (1) óng. ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 2 3 : b) Chùng minh a 3 +b 3 +c 3 4 3 (a 2 +b 2 +c 2 ) 3abc, (2) (2), 3 a 3 +b 3 +c 3 2 (a +b +c) a 2 +b 2 +c 2 9abc ,a 3 +b 3 +c 3 + 9abc 2 a 2 b +a 2 c +b 2 c +b 2 a +c 2 a +c 2 b ,S a (bc) 2 +S b (ca) 2 +S c (ab) 2 0; (3): trong â S a = 3abc;S b = 3bac;S c = 3cab: Khæng m§t t½nh têng qu¡t gi£ sû 1abc: 1332. PH×ÌNG PHP PH N TCH BNH PH×ÌNG SOS Ta câ VT (3) =S a (bc) 2 +S b (ca) 2 (ab) 2 + (S b +S c ) (ab) 2 M S a 0;S b = 2(1a) + 2 (bc) 0; (ca) 2 (ab) 2 0;S b +S c = 4 (1a) 0. Suy ra VT (3) 0) (2) óng. ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 2 3 ; a = 1;b =c = 1 2 v c¡c ho¡n và. 1343. PH×ÌNG PHP DÇN BIN x3. Ph÷ìng ph¡p dçn bi¸n C¥u 6.1. a) Ta câ b§t ¯ng thùc sau vîi måi a;b;c> 0 abc (a +bc)(b +ca)(c +ab): Thªt vªy, gi£ sû abc; ta câ abc (a +bc)(b +ca)(c +ab) = (a +bc)(ab) 2 +c(ac)(bc) 0: Do â abc (3 2c)(3 2a)(3 2b) ,abc 27 18(a +b +c) + 12(ab +bc +ca) 8abc , 3abc 4(ab +bc +ca) 9 ,abc 4 3 (ab +bc +ca) 3: Suy ra P =abc + 12 ab +bc +ca 4 3 (ab +bc +ca) + 12 ab +bc +ca 3 8 3 = 5: D§u = x£y ra khi a =b =c = 1. Vªy gi¡ trà nhä nh§t cõa P l 5. b) Do b§t ¯ng thùc ¢ cho óng vîi måia;b;c> 0 thäa m¢na +b +c = 3 n¶n nâ công óng vîi bë sè a =b =x; c = 3 2x vîi måi x2 0; 3 2 . Khi â k 1 x 2 + 2x(3 2x) 1 3 1x 2 (3 2x);8x2 0; 3 2 ,k 3x(2x)(2x + 1);8x2 0; 3 2 : Vîi x = 4 3 ta câ k 88 9 > 9. Do k nguy¶n n¶n k 10. Vîi k = 10, ta c¦n chùng minh f(a;b;c) :=abc + 10 ab +bc +ca 13 3 . Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû abc, khi â 0 a +b 2 2 ab n¶n VP (1) 0, d¨n ¸n m¥u thu¨n vîi (1). Tø â, suy ra b +c 2t) (b +c) 2 4t 2 ) 1 (a +b) 2 1474. PH×ÌNG PHP P; Q; R x4. Ph÷ìng ph¡p p; q; r C¥u 1.1. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 1 + 3 p 6 q ,pq + 3q 6p 0,q 6p p + 3 : (1) Ta câ p 2 3pr = 3p, n¶n q p 3p. Do â, º chùng minh (1) ta chùng minh p 3p 6p p + 3 ,p(p + 3) 2 12p 2 , (p 3) 2 0 (óng): C¥u 1.2. Ta câ q + 6r = 9 v b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh p + 3r 6, 2pq + 3: (2) Theo BT Schur ta câ 9r 4pqp 3 , 9 9q 6 4pqp 3 ,q 27 + 2p 3 8p + 3 : Do â º chùng minh (2) ta chùng minh 2p 27 + 2p 3 8p + 3 + 3,p 3 2p 2 + 9p + 18 0, (p + 1)(p 3)(p 6) 0: (3) Ta câ 9 =q + 6r p 2 3 + 6p 3 27 ,p 3 n¶n (3) óng khip 6. N¸up> 6 th¼a +b +c + 3abc> 6. C¥u 1.3. N¸ua +b +c> 4 th¼ ta câa 3 +b 3 +c 3 3 a +b +c 3 3 > 64 9 p döng BT Schur, ta câ: a 3 +b 3 +c 3 + 3abcab(a +b) +bc(b +c) +ca(c +a) , a 3 +b 3 +c 3 + 6abc (ab +bc +ca)(a +b +c) =pq = 3p v r p(4qp 2 ) 9 = p(12p 2 ) 9 : Ta c¦n chùng minh: 3p + p(12p 2 ) 9 10 , (p 3)[(16p 2 ) + 3(4p) + 2] 9 0: B§t ¯ng thùc cuèi hiºn nhi¶n óng n¶n ta câ pcm. ¯ng thùc x£y ra khi a =b =c = 1. C¥u 1.4. B¥t ¯ng thùc c¦n chùng minh ÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau: 3r + 12 5q: (1) M°t kh¡c,theo BDT Schur,ta câ: 3r 3p(4qp 2 ) 9 = 4q 9: N¶n ta chùng minh 4q 9 + 12 5q,q 3 (óng): 1484. PH×ÌNG PHP P; Q; R C¥u 1.5. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 8p + 3r 12 + 5q: (1) p döng BDT Schur,ta câ: 3r p(4qp 2 ) 3 = p(2q 3) 3 : Tø gi£ thi¸t p 2 2q = 3)q = p 2 3 2 : N¶n ta ch¿ c¦n chùng minh: 8p + p(p 2 6) 3 12 + 5(p 2 3) 2 , (2p 3)(p 3) 2 0: B§t ¯ng thùc cuèi óng n¶n ta câ pcm. C¥u 1.6. Bi¸n êi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh v chuyºn v· d¤ng p;q;r,ta câ: 8(243 18p + 3r) 3(729 81q + 27rr 2 ), 243 99q + 57r 3r 2 0: Theo BDT AM-GM th¼ 3 = 3( a +b +c 3 ) 6 3(abc) 2 =r 2 . Theo BDT Schur,ta câ: r p(4qp 2 ) 3 = 4q 9 3 ) 57r 19(4q 9): N¶n ta c¦n chùng minh: 72 23q 3r 2 0, 3(1r 2 ) + 23(3q) 0: Vªy BDT ÷ñc chùng minh. C¥u 1.7. ÷a b§t ¯ng thùc v· d¤ng p;q;r,tø gi£ thi¸t,ta câ q +r = 4. v lóc â,b§t ¯ng thùc trð th nh p 2 2q + 5r 8,p 2 7q + 12 0: N¸u 4p,sû döng BDT Schur,ta câ: r p(4qp 2 ) 9 ; suy ra 4q + p(4qp 2 ) 9 ,q p 3 + 36 4p + 9 )p 2 7(p 3 + 36) 4p + 9 + 12 0, (p 3)(p 2 16) 0: i·u n y óng v¼ 4p p 3q 3. N¸u p 4, ta câ p 2 16 4q v p 2 2q + 5rp 2 2q p 2 2 8: Vªy BDT ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi x =y =z = 1 ho°c x =y = 2;z = 0 v c¡c ho¡n và 1495. PH×ÌNG PHP TIP TUYN V CT TUYN x5. Ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n v c¡t tuy¸n C¥u 2.1. V¼BT¢chothu¦nnh§tn¶ntach¿c¦nchùngminhBtóngvîimåisèthücd÷ìng a;b;c thäa m¢na 2 +b 2 +c 2 = 1, khi â bt c¦n chùng minh trð th nh:f(a)+f(b)+f(c) 1trong â: f(x) = 1 + p 3 3 p 3 : 1 x x vîi 0 08x2 (0; 1). Theo BT ti¸p tuy¸n ta câ : f(a) +f(b) +f(c)f 0 1 p 3 (a +b +c p 3) + 3f 1 p 3 : Do 8 > < > : f 0 1 p 3 < 0 a +b +c p 3(a 2 +b 2 +c 2 ) = p 3 )f(a) +f(b) +f(c) 3f 1 p 3 = 1. C¥u 2.2. °t a i = tanx i (i = 1;2;:::;n))a i > 0 i = 1;2;:::;n v n P i=1 a i n. Ta c¦n chùng minh : n Y i=1 a i p 1 +a 2 i 1 p 2 n : X²t h m sè f(x) = x p 1 +x 2 ; x> 0 câ f 0 (x) = 1 q (1 +x 2 ) 3 )f 00 (x)< 08x> 0: Do â f(x)f 0 (1)(x 1) +f(1) = 1 p 2 3 (x 1) + 1 p 2 = 1 2 p 2 (x + 1): Suy ra n Y i=1 a i p 1 +a 2 i = n Y i=1 f(a i ) 1 p 8 n n Y i=1 (a i + 1) 1 p 8 n 0 B B @ n P i=1 (a i + 1) n 1 C C A n 2 n p 8 n = 1 p 2 n : ¯ng thùc x£y ra khi a 1 = a 2 = = a n = 1 hay tanx 1 = tanx 2 = = tanx n = 1, x 1 = x 2 = =x n = 4 : C¥u 2.3. Ta câ : bc ( b +c 2 ) 2 = ( 1a 2 ) 2 ; ca ( a +c 2 ) 2 = ( 1b 2 ) 2 ; ab ( b +a 2 ) 2 = ( 1c 2 ) 2 n¶n a 1 +bc + b 1 +ac + c 1 +ab 4a a 2 2a + 5 + 4b b 2 2b + 5 + 4c c 2 2c + 5 =f(a) +f(b) +f(c): Ta th§y ¯ng thùc x£y ra khia =b =c = 1 3 v ti¸p tuy¸n cõa ç thà h m sèf(x) = 4x x 2 2x + 5 t¤i iºm câ ho nh ë x = 1 3 l :y = 99x 3 100 , n¶n ta x²t 4x x 2 2x + 5 99x 3 100 = (3x 1) 2 (15 11x) 100(x 2 2x + 5) 08x2 (0; 1): 1505. PH×ÌNG PHP TIP TUYN V CT TUYN Suy ra 4a a 2 2a + 5 + 4b b 2 2b + 5 + 4c c 2 2c + 5 99(a +b +c) 9 100 = 9 10 : B i to¡n ÷ñc chùng minh. C¥u 2.4. V¼ Bt c¦n chùng minh l thu¦n nh§t n¶n ta ch¿ c¦n chùng minh Bt óng vîi måi sè thüc d÷ìng a;b;c thäa m¢n a +b +c = 1. Khi â Bt ¢ cho trð th nh: (1 2a) 2 (1a) 2 +a 2 + (1 2b) 2 (1b) 2 +b 2 + (1 2c) 2 (1c) 2 +c 2 3 5 , 4a 2 4a + 1 2a 2 2a + 1 + 4b 2 4b + 1 2b 2 2b + 1 + 4c 2 4c + 1 2c 2 2c + 1 3 5 , 1 2a 2 2a + 1 + 1 2b 2 2b + 1 + 1 2c 2 2c + 1 27 5 , f(a) +f(b) +f(c) 27 5 : Trong â f(x) = 1 2x 2 2x + 1 vîi x2 (0; 1). Ti¸p tuy¸n cõa ç thà h m sè y =f(x) t¤i iºm câ ho nh ë x = 1 3 l y = 54x + 27 25 . Ta câ 54x + 27 25 f(x) = 2(54x 3 27x 2 + 1) 25(2x 2 2x + 1) = 2(3x 1) 2 (6x + 1) 25(2x 2 2x + 1) 08x2 (0; 1): Suy ra f(a) +f(b) +f(c) 54(a +b +c) + 81 25 = 27 5 : (pcm): C¥u 2.5. Ph¥n t½ch. Vîi i·u ki»n a +b +c = 1 ta chån iºm rìi t¤i a =b =c = 1 3 =x 0 v °t f(a) =a 3 + 5a 2 . Khi â f 0 (a) = 3a 2 + 10a, f 0 1 3 = 11 3 , f 1 3 = 16 27 : Ta chùng minh a 3 + 5a 2 11 3 a 1 3 + 16 27 , a 3 + 5a 2 11 3 a + 17 27 0 , a 1 3 2 a + 17 3 0 (BT cuèi luæn óng vîi i·u ki»n a>1). Chùng minh t÷ìng tü vîi c¡c biºu thùc cán l¤i: b 3 + 5b 2 11 3 b 1 3 + 16 27 ; c 3 + 5c 2 11 3 c 1 3 + 16 27 : Cëng v¸ vîi v¸, ta ÷ñc S 11 3 (a +b +c 1) + 16 9 = 16 9 : Khi a =b =c = 1 3 th¼ S = 16 9 : Vªy minS = 16 9 t¤i a =b =c = 1 3 : 1515. PH×ÌNG PHP TIP TUYN V CT TUYN C¥u 2.6. Ph¥n t½ch. Chån iºm rìi a = b = c =2 v °t f(a) = a a 2 +a + 1 . T½nh ÷ñc f 0 (2) = 1 3 , f(2) = 2 3 . Gh²p v o cæng thùc (). Ta s³ chùng minh a a 2 +a + 1 1 3 (a + 2) 2 3 , a 3 5a 2 8a 4 0 , (a + 2) 2 (a + 1) 0 (luæn óng vîi a<1): Chùng minh t÷ìng tü vîi c¡c bi¸n b, c, ta câ b b 2 +b + 1 1 3 (b + 2) 2 3 ; c c 2 +c + 1 1 3 (c + 2) 2 3 : Cëng v¸ vîi v¸ ÷ñc S 1 3 (a +b +c) 4 = 2 4 =2: Vîi a =b =c =2 th¼ S =2: Vªy maxS =2 t¤i a =b =c =2. C¥u 2.7. Ph¥n t½ch. L¦n n y 3 bi¸n khæng cán èi xùng (ch¿ l ho¡n và váng quanh) v công khæng nhâm d¤ng ph¥n ly bi¸n ÷ñc. Ta s³ nhâm ri¶ng (a 3 +2a 2 b) º ¡nh gi¡ v coib l tham sè (ho°c câ thº nhâma 3 + 2c 2 a). Tø i·u ki»n ta câ thº nh©m ra d§u b¬ng x£y ra khia =b =c = 1 v °t f(a) =a 3 + 2a 2 b)f 0 (a) = 3a 2 + 4ab, f 0 (1) = 3 + 4b, f(1) = 1 + 2b: Ta câ s³ chùng minh a 3 + 2a 2 b (3 + 4b)(a 1) + (1 + 2b) , (a 3 1) + (2a 2 b 2b) (3 + 4b)(a 1) 0 , (a 1) 2 (a + 2b + 2) 0 (BT cuèi luæn óng vîi i·u ki»n ban ¦u). Chùng minh t÷ìng tü, ta câ b 3 + 2b 2 c (3 + 4c)(b 1) + (1 + 2c); c 3 + 2c 2 a (3 + 4a)(c 1) + (1 + 2a): Cëng v¸ vîi v¸ ÷ñc S 4(ab +bc +ca) +a +b +c 6 15 6 = 9: Vîi a =b =c = 1 th¼ S = 9: Vªy minS = 9 t¤i a =b =c = 1: C¥u 2.8. Ph¥n t½ch. Tø i·u ki»n · b i nh©m ra a =b =c = 1. °t f(a) = 2a 3 3a 2 b suy ra f 0 (1) = 6 6b;f(1) = 2 3b: Ta câ s³ chùng minh 2a 3 3a 2 b (6 6b)(a 1) + 2 3b , (a 1) 2 (2a 3b + 4) 0 (BT cuèi luæn óng bði i·u ki»n x¡c ành). Chùng minh t÷ìng tü, ta câ 2b 3 3b 2 c (6 6c)(b 1) + 2 3c; 2c 3 3c 2 a (6 6a)(c 1) + 2 3a: Cëng v¸ vîi v¸ ta ÷ñc S 9(a +b +c) 6(ab +bc +ac) 12 3 3 12 =3: Vîi a =b =c = 1 th¼ S =3: Vªy minS =3 t¤i a =b =c = 1: 1525. PH×ÌNG PHP TIP TUYN V CT TUYN C¥u 2.9. Ph¥n t½ch. °t f(a) = 5a 3 + 2a 2 b, t½nh ÷ñc f 0 (1) = 15 + 4b, f(1) = 5 + 2b: Ta câ 5a 3 + 2a 2 b (15 + 4b)(a 1) + 5 + 2b , 5(a 1)(a 2 +a + 1) + 2b(a 1)(a + 1) (15 + 4b)(a 1) 0 , (a 1)[5a 2 + 5a 10 + 2b(a 1)] 0 , (a 1) 2 (5a + 2b + 10) 0 (BT cuèi luæn óng v¼ i·u ki»n x¡c ành). Chùng minh t÷ìng tü rçi cëng v¸ vîi v¸ ÷ñc S 13(a +b +c) + 4(ab +bc +ca) 30: L¤i câ a +b +c p 3(ab +bc +ca) = 3: Suy ra S 13 3 + 4 3 30 = 21: Vîi a =b =c = 1 th¼ S = 21. Vªy minS = 21 t¤i a =b =c = 1: C¥u 2.10. Ph¥n t½ch. °t f(a) = 1 a 2 b a , t½nh ÷ñc f 0 (1) =2 +b, f(1) = 1b: Ta câ 1 a 2 b a (2 +b)(a 1) + 1b , (1a) 1 +a a 2 +b a 1 a + (2 +b)(1a) 0 , (1a) 1 +a a 2 2 +b b a 0 , (1a) 2 2a + 1 a 2 b a 0 (BT cuèi luæn óng v¼ i·u ki»n x¡c ành). Chùng minh t÷ìng tü rçi cëng v¸ vîi v¸ ÷ñc T4(a +b +c) +ab +bc +ca + 9 = 0: Vîi a =b =c = 1 th¼ T = 0: Vªy minT = 0 t¤i a =b =c = 1: C¥u 2.11. Ph¥n t½ch. °t f(a) =a 5 + 3a 4 b, t½nh ÷ñc f 0 (1) = 5 + 12b, f(1) = 1 + 3b: Ta câ a 5 + 3a 4 b (5 + 12b)(a 1) + 1 + 3b , (a 1)(a 4 +a 3 +a 2 +a + 1) + 3b(a 1)(a 3 +a 2 +a + 1) (5 + 12b)(a 1) 0 , (a 1)[3b(a 3 +a 2 +a 3) +a 4 +a 3 +a 2 +a 4] 0 , (a 1) 2 [3b(a 2 + 2a + 3) +a 3 + 2a 2 + 3a + 4] 0 (BT cuèi luæn óng v¼ i·u ki»n x¡c ành). Chùngminht÷ìngtürçicëngv¸vîiv¸÷ñcA 12(ab+bc+ca)4(a+b+c)12 2412 = 12: Vîi a =b =c = 1 th¼ A = 12: Vªy minA = 12 t¤i a =b =c = 1: C¥u 2.12. Ph¥n t½ch. °t f(a) = a 2 +b p 3a + 1, t½nh ÷ñc f 0 (1) = 2 + 3 4 b, f(1) = 1 + 2b: Gh²p v o cæng thùc. Ta câ a 2 +b p 3a + 1 2 + 3 4 b (a 1) + 1 + 2b , (a 1) a + 1 + 3b p 3a + 1 + 2 2 3 4 b 0 , (a 1) 2 1 9b 4( p 3a + 1 + 2) 2 0 (BT cuèi luæn óng v¼ i·u ki»n x¡c ành). 1535. PH×ÌNG PHP TIP TUYN V CT TUYN Chùng minh t÷ìng tü rçi cëng v¸ vîi v¸ ÷ñc B 3 4 (ab +bc +ca) + 13 4 (a +b +c) 3 9: Vîi a =b =c = 1 th¼ B = 9: Vªy minB = 9 t¤i a =b =c = 1: C¥u 2.13. X²t h m sè f(x) = tanx; x 2 0; 2 , câ f 0 (x) = 1 + tan 2 x, suy ra f 00 (x) = 2 tanx(1 + tan 2 x)> 0;8x2 0; 2 . p döng BT ti¸p tuy¸n vîi MNP nhån, ta câ : f(A)f 0 (M)(AM) +f(M) = 1 cos 2 M (AM) + tanM; suy ra cos 2 M:f(A) 1 2 sin 2M +AM: T÷ìng tü : cos 2 N:f(B) 1 2 sin 2N +BN; cos 2 P:f(C) 1 2 sin 2P +CP: Suy ra cos 2 M:f(A) + cos 2 N:f(B) + cos 2 P:f(C) sin 2M + sin 2N + sin 2P 2 : Ta chån c¡c gâc M; N; P sao cho cosM =k> 0; cosN = p 2k; cosP = p 3k: V¼ M; N; P l ba gâc cõa tam gi¡c n¶n ta câ ¯ng thùc : cos 2 M + cos 2 N + cos 2 P + 2 cosM: cosN: cosP = 1; n¶n ta câ (1 + p 2 + p 3)k + 2 p 6k 3 = 1, do â k l nghi»m d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh : 2 p 6x 3 + (1 + p 2 + p 3)x 1 = 0: (1) Suy ra sin 2M = 2 p 1 cos 2 M cosM = 2k p 1k 2 ; sin 2N = 2k p 2(1 2k 2 ); sin 2P = 2k p 3(1 3k 2 ). D¨n tîi F sin 2M + sin 2N + sin 2P 2k 2 = p 1k 2 + p 2(1 2k 2 ) + p 3(1 3k 2 ) k : Vªy minF = p 1k 2 + p 2(1 2k 2 ) + p 3(1 3k 2 ) k ¤t ÷ñc khi A = M;B = N;C = P vîi M; N; P l ba gâc cõa tam gi¡c nhån ÷ñc x¡c ành bði cosM =k> 0; cosN = p 2k; cosP = p 3k; trong â k l nghi»m d÷ìng duy nh§t cõa (1). 1545. PH×ÌNG PHP TIP TUYN V CT TUYN C¥u 2.14. Ta câ c¡c h m sè f(t) = t 3 ; g(t) = p 1 +t 2 ; h(t) = 4 p 1 +t 4 , t2 (0; 1) l nhúng h m sè câ ¤o h m c§p hai d÷ìng tr¶n kho£ng (0; 1). N¶n vîi a;b;c > 0 thäa a +b +c = 1 ¡p döng BT ti¸p tuy¸n, ta câ: f(x)f 0 (a)(xa) +f(a); h(y)h 0 (b)(yb) +h(b); g(z)g 0 (c)(zc) +g(c): Ta chån a;b;c sao cho f 0 (a) =g 0 (b) =h 0 (c) =k, 8 > > > > > > < > > > > > > : 3a 2 =k b p 1 +b 2 =k c 3 4 q (1 +c 4 ) 3 =k , 8 > > > > > > > < > > > > > > > : a = r k 3 b = k p 1k 2 c = 3 p k 4 p 1k 3 p k (1) Do a +b +c = 1 n¶n ta câ r k 3 + k p 1k 2 + 3 p k 4 p 1k 3 p k = 1: (2) D¹ th§y ph÷ìng tr¼nh (2) luæn câ nghi»m trong kho£ng (0; 1). Suy ra P =f(x) +g(y) +h(z)f(a) +h(b) +g(c) = k p 3k 9 + 1 p 1k 2 + 1 4 p 1k 3 p k : ¯ng thùc x£y ra,x =a;y =b;z =c. Vªy minP = k p 3k 9 + 1 p 1k 2 + 1 4 p 1k 3 p k vîi k l nghi»m n¬m trong (0; 1) cõa (2). 155Ch÷ìng 3 Mët sè chuy¶n · x1. Ùng döng ·u ki»n câ nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh bªc ba C¥u 1.1. °t n = ab +bc +ca; p =abc Suy ra a; b; c l ba nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh : x 3 mx +n = 0 (4) Ta câ: p 2 4 27 n 3 )n 3 27 4 p 2 : Do â: 13p 2 + 2p 2 + 2n 3 13p 2 + 2p 2 27 2 p 2 = 1 2 p 1 2 0: Suy ra: 13p 2 + 2p 22n 3 , 13a 2 b 2 c 2 2ab 22 (ab +bc +ca) 3 : M : (a +b +c) 2 = 0)ab +bc +ca = 1 2 a 2 +b 2 +c 2 ; d¨n tîi: 13a 2 b 2 c 2 2abc 2 1 4 a 2 +b 2 +c 2 3 )P 1 4 : ¯ng thùc x£y ra, ( n = 2 m = 3 ,a;b;c l ba nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh x 3 3x + 2 = 0, (x 1) 2 (x + 2) = 0,x = 1;x =2: Vªy maxP = 1 4 ¤t ÷ñc khi (a;b;c) = (1;1; 2) v c¡c ho¡n và. C¥u 1.2. °t n =ab +bc +ca; p =abc Ta câ: p 2 4 27 n 3 )n 3 27 4 p 2 ) n 3 27 4 p 2 : V¼ a +b +c = 0)a 2 +b 2 +c 2 =2(ab +bc +ca) =2n)n 0: Do â: P =32n 5 32np 2 8jpj = 32 (n) 5 + (n)p 2 8jpj 64 n 3 jpj 8jpj 8 54jpj 3 jpj : 1561. ÙNG DÖNG U KIN CÂ NGHIM CÕA PH×ÌNG TRNH BC BA X²t h m sè f(t) = 54t 3 t;t 0 ta câ: f 0 (t) = 162t 2 1;f 0 (t) = 0,t = p 2 18 : Lªp b£ng bi¸n thi¶n ta câ min t0 f(t) =f p 2 18 ! = p 2 27 . Suy ra P 8 p 2 27 . ¯ng thùc x£y ra khi 8 > > < > > : p = p 2 18 n = 1 3 p 24 hay a;b;c l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh t 3 1 3 p 24 t + p 2 18 = 0, t 1 p 6 3 p 3 ! 2 t + p 2 3 p 9 ! = 0,t = 1 p 6 3 p 3 ;t = p 2 3 p 9 : Vªy minP = 8 p 2 27 . ¤t ÷ñc khi a =b = 1 p 6 3 p 3 ;c = p 2 3 p 9 v c¡c ho¡n và. C¥u 1.3. °t m =(a +b +c); n =ab +bc +ca; p =abc. Tø gi£ thi¸t ta suy ra: (a +b +c) 2 = 4 (ab +bc +ca),n = m 2 4 : Suy ra 27p m 3 4 jm 3 j 4 , 108pm 3 m 3 ,p(54pm 3 ) 0,pm 3 54p 2 : Do â: P =pm 3 + 1 p 4 54p 2 + 1 p 4 = 27p 2 + 27p 2 + 1 p 4 3 3 r 27p 2 :27p 2 1 p 4 = 27 (pcm): ¯ng thùc x£y ra, 8 > > > > < > > > > : n = m 2 4 27p 2 = 1 p 4 54p =m 3 , ch¯ng h¤n ta chån 8 > > > > > > < > > > > > > : p = 1 p 3 m = 3 q 18 p 3 n = 3 p 972 4 hay a;b;c l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh: t 3 + 3 q 18 p 3t 2 + 3 p 972 4 t + 1 p 3 = 0, t + 3 p 18 p 3 6 ! 2 t + 3 p 4 p 3 ! = 0: Vªy minP = 27 ¤t ÷ñc khi a =b = 3 p 18 p 3 6 ;c = 3 p 4 p 3 v c¡c ho¡n và. C¥u 1.4. °t m =(a +b +c); n =ab +bc +ca; p =abc. Tø gi£ thi¸t ta suy ra: (a +b +c) 2 = 3 (ab +bc +ca) + 4)m 2 = 3n + 4: M°t kh¡c : 27p + 2m 3 9mn 2 q (m 2 3n) 3 : 1571. ÙNG DÖNG U KIN CÂ NGHIM CÕA PH×ÌNG TRNH BC BA Suy ra j27p + 2m (3n + 4) 9mnj 18 ,j27p 3mn + 8mj 16 )mn 9p 8m 16 3 : M°t kh¡c: P = 18 (ab +bc +ca) 2 + 48 (ab +bc +ca) (ab +bc +ca) (a +b +c) + 9abc = 2 [3 (ab +bc +ca) + 4] 2 (ab +bc +ca) (a +b +c) + 9abc 16 = 2 (a +b +c) 2 (ab +bc +ca) (a +b +c) + 9abc 16 = 2m 4 +mn 9p 16 2m 4 + 8m 16 3 16 = 1 3 6m 4 + 8m 64 : X²t h m sè f(m) = 6m 4 + 8m 64, ta câ: f 0 (m) = 24m 3 + 8)f 0 (m) = 0,m = 1 3 p 3 : Suy ra f (m)f 1 3 p 3 = 6 3 p 3 64: N¶n P 1 3 2 3 p 3 + 64 . ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi 8 > > > > > > > < > > > > > > > : m = 1 3 p 3 n = 1 3 1 3 p 9 4 p = 1 9 4 3 p 3 + 47 9 , suy ra a;b;c l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh : t 3 1 3 p 3 t 2 + 1 3 1 3 p 9 4 t + 1 9 4 3 p 3 + 47 9 = 0. Vªy minP = 1 3 2 3 p 3 + 64 . C¥u 1.5. Chu©n ho¡ abc = 2)a +b +c = 4. °t n =ab +bc +ca, suy ra j18n 91j q (16 3n) 3 , 3n 3 12n 2 108n + 465 0 , (n 5)(3n 2 + 3n 93) 0, 5n 1 + 5 p 5 2 : M°t kh¡c: a 4 +b 4 +c 4 = a 2 +b 2 +c 2 2 2 a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 = (16 2n) 2 2 n 2 16 = 2n 2 64n + 288: N¶n P = 1 256 a 4 +b 4 +c 4 = 1 128 n 2 32n + 144 V¼ h m f(n) =n 2 32n + 144 nghàch bi¸n tr¶n " 5; 5 p 5 1 2 # n¶n ta suy ra maxP = 1 128 f(5) = 9 128 v minP = 1 128 f 5 p 5 1 2 ! = 383 165 p 5 2 . 1582. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT x2. B i to¡n t¼m h¬ng sè tèt nh§t C¥u 2.1. V¼ b§t ¯ng thùc óng vîi måi gi¡ tràa;b;cn¶n ph£i óng vîia =b =c = 1)k 2 3 . Ta chùng minh k = 2 3 l gi¡ trà lîn nh§t. X²t k = 2 3 b§t ¯ng thùc trð th nh a 4 +b 4 +c 4 +abc (a +b +c) 2 3 (ab +bc +ca) 2 ; hay 3 a 4 +b 4 +c 4 2 a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 +abc (a +b +c): (1) p döng bt AM GM ta câ a 4 +b 4 + b 4 +c 4 + b 4 +c 4 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 : Suy ra 3 a 4 +b 4 +c 4 3 a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 : (2) M°t kh¡c a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 abc (a +b +c) = 1 2 (abbc) 2 + 1 2 (bcca) 2 + 1 2 (caab) 2 0: (3) Tø (2) v (3) suy ra (1) ÷ñc chùng minh . Vªy sè k lîn nh§t k = 2 3 . C¥u 2.2. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû a = minfa;b;cg. Chån b =c. Tø i·u ki»n, ta câ a + 2b = 1) 1 3 b 1 2 . B§t ¯ng thùc trð th nh: a 1 + 9b 2 + 2b 1 + 9ab +k(ab) 2 1 2 , 1 2b 1 + 9b 2 1 6 + 2b 1 + 9b (1 2b) +k(1 3b) 2 1 3 0 , (3b + 5) (1 3b) 6 (1 + 9b 2 ) + (3b 1) (6b + 1)k(3b 1) 2 3 9b 18b 2 + 1 +k(1 3b) 2 0 , 6b + 1k (3b 1) 9b 18b 2 + 1 +k(1 3b) 2 3b + 5 6 (1 + 9b 2 ) , 54b 3 + 27b 2 + 12b 1 9b 2 + 4b 1 k , 18b 2 + 15b + 1 9b 2 + 4b 1 k , 7b + 3 9b 2 + 4b 1 k 2: Ta x²t h m sè f (b) = 7b + 3 9b 2 + 4b 1 tr¶n 1 3 ; 1 2 . Ta d¹ d ng th§y ÷ñc f nghàch bi¸n tr¶n o¤n 1 3 ; 1 2 n¶n suy ra f (b)f 1 2 = 2. 1592. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT Do â k 2 2,k 4. Ta chùng minh k = 4 l gi¡ trà lîn nh§t c¦n t¼m. Tùc l ta c¦n chùng minh: a 1 + 9bc + 4(bc) 2 + b 1 + 9ca + 4(ca) 2 + c 1 + 9ab + 4(ab) 2 1 2 : (1) p döng B§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz, ta câ: VT (a +b +c) 2 (a +b +c) + 27abc + 4a(bc) 2 + 4b(ca) 2 + 4c(ab) 2 = 1 1 + 3abc + 4ab (a +b) + 4bc (b +c) + 4ca (c +a) : Do â º chùng minh (1) ta c¦n chùng minh: 1 3abc + 4ab (a +b) + 4bc (b +c) + 4ca (c +a) , (a +b +c) 3 3abc + 4ab (a +b) + 4bc (b +c) + 4ca (c +a) ,a 3 +b 3 +c 3 + 3abcab (a +b) +bc (b +c) +ca (c +a) (i·u n y óng, do ¥y l b§t ¯ng thùc Schur). Do â (1) óng vîi måi a, b, c khæng ¥m v thäa a +b +c = 1 v vîi k max = 4. Vªy k = 4 l sè c¦n t¼m. C¥u 2.3. Thû chånb =c rçi x²t h m theo bi¸n a b , ta khæng d¨n ¸n k¸t qu£ c¦n t¼m. Nh÷ vªy ta s³ thû chån mët bi¸n b¬ng 0, ð ¥y l mët bi¸n ti¸n d¦n ¸n 0. Trong b§t ¯ng thùc, ta cho c! 0, khi â a 3 +b 3 Mab 2 . Nh÷ng l¤i theo b§t ¯ng thùc AM GM, ta câ a 3 +b 3 =a 3 + b 3 2 + b 3 2 3 3 p 4 ab 2 : Nh÷ vªy ta th§y M 3 3 p 4 . Do â ta chùng minh M = 3 3 p 4 l gi¡ trà lîn nh§t c¦n t¼m nh÷ sau: Khæng gi£m t½nh têng qu¡t, gi£ sû c = minfa;b;cg. °t a =u +c, b =v +c vîi u, v 0. Ta chùng minh: (u +c) 3 + (v +c) 3 +c 3 3c (u +c) (v +c) M (u +c) (v +c) 2 + (v +c)c 2 +c(u +c) 2 3c (u +c) (v +c) , (3M) u 2 uv +v 2 +u 3 +v 3 Muv 2 0: B§t ¯ng thùc cuèi còng luæn óng v¼, 3M > 0, u 2 uv +v 2 uv 0 v u 3 +v 3 =u 3 + v 3 2 + v 3 2 3 3 p 4 uv 2 =Muv 2 : Tø â ta ho n t§t ph¦n chùng minh. Vªy gi¡ trà lîn nh§t c¦n t¼m l : M = 3 3 p 4 . C¥u 2.4. V¼ t½nh thu¦n nh§t cõa b§t ¯ng thùc n¶n ta chu©n hâa xyz = 1. Tø â ta bi¸n êi: x = a b , y = b c , z = c a . Khi â b§t ¯ng thùc trð th nh: a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab + 3k (k + 1) a b + b c + c a , a 3 +b 3 +c 3 + 3kabc (k + 1) ab 2 +bc 2 +ca 2 , a 3 +b 3 +c 3 3abc (k + 1) ab 2 +bc 2 +ca 2 3abc : 1602. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT ¥y l b§t ¯ng thùc ð b i tr¶n. Vªy k + 1 = 3 3 p 4 ,k =1 + 3 3 p 4 . C¥u 2.5. Ta chån b =c th¼ gi£ thi¸t trð th nh: a + 2b =b 2 + 2ab)a = 2bb 2 2b 1 : V¼ a> 0 n¶n 2bb 2 2b 1 > 0, 1 2 0. Thay v o b§t ¯ng thùc, ta ÷ñc: 2b + b 2 2b 1 2b +k b 2 (b 2 2b) 1 2b k + 3 , 2b (1 2b) + b 2 2b +kb 2 b 2 2b k (1 2b) + 3 (1 2b) , 3 (b 1) 2 k b 2 1 (b 1) 2 , 3 k b 2 1: 1632. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT M b 2 1 2 2 1 = 3 suy ra k 1. Ta chùng minh k = 1 l gi¡ trà lîn nh§t c¦n t¼m. Vîi gi£ thi¸t a +b +c =ab +bc +ca, ta ch¿ c¦n chùng tä ab +bc +ca +abc 4: Ta ph£n chùng ab +bc +ca +abc = 4 v i chùng minh a +b +cab +bc +ca. ¥y l mët k¸t qu£ quen thuëc cõa k¼ thi VMO 1996. C¥u 2.9. Trong b§t ¯ng thùc ban ¦u, ta cho b =c, ta ÷ñc: a 3 + 2b 3 2b (a +b) +k b 2 + 2ab (a + 2b) 2 3 8 + k 3 , 1 2 a 3 + 2b 3 b(a +b) 2 1 4 k 1 3 b 2 + 2ab (a + 2b) 2 , (ab) 2 (4a + 5b) 8b(a +b) 2 k (ab) 2 3(a + 2b) 2 , 8k 3 (a + 2b) 2 (4a + 5b) b(a +b) 2 : Do t½nh thu¦n nh§t n¶n ta câ thº chån b = 1. Khi â, ta câ: 8k 3 (a + 2) 2 (4a + 5) (a + 1) 2 : Ta x²t h m f (a) = (a + 2) 2 (4a + 5) (a + 1) 2 , a> 0. Ta câ: f 0 (a) = 2 (a + 2) (2a 2 + 2a 1) (a + 1) 3 = 0,a = 1 + p 3 2 (do a> 0): Lªp b£ng bi¸n thi¶n ta ÷ñc f (a)f 1 + p 3 2 ! = 9 + 6 p 3. Suy ra: k 3 9 + 6 p 3 8 . Ta chùng minh gi¡ trà k lîn nh§t c¦n t¼m l 3 9 + 6 p 3 8 . Ta sû döng k¾ thuªt Schur SOS trong ph¦n chùng minh. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh vi¸t d÷îi d¤ng: 8 (a 3 +b 3 +c 3 3abc) 3 ((a +b) (b +c) (c +a) 8abc) 8 (a +b) (b +c) (c +a) k a 2 +b 2 +c 2 abbcca 3(a +b +c) 2 : Ta sû döng c¡c khai triºn: a 3 +b 3 +c 3 3abc = (a +b +c) (ab) 2 + (ac) (bc) (a +b) (b +c) (c +a) 8abc = 2c (ab) 2 + (a +b) (ac) (bc) a 2 +b 2 +c 2 abbcca = (ab) 2 + (ac) (bc): Tø â ta nhâm ÷ñc i·u c¦n chùng minh th nh: M (ab) 2 +N (ac) (bc) 0; trong â: M = 8a + 8b + 2c 8 (a +b) (b +c) (c +a) k 3(a +b +c) 2 N = 5a + 5b + 8c 8 (a +b) (b +c) (c +a) k 3(a +b +c) 2 : 1642. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT B¥y gií, khæng gi£m têng qu¡t ta gi£ sû c = minfa;b;cg n¶n a +b 2c. Tø â 8a + 8b + 2c 5a + 5b + 8c. Tø ¥y ta th§y ngay MN. Hìn núa công câ (ac) (bc) 0. Hìn núa công câ (ac) (bc) 0. Nh÷ vªy b§t ¯ng thùc chùng minh ho n t§t n¸u ta ch¿ ra ÷ñc N 0. Tùc l : 3 (5a + 5b + 8c) (a +b +c) 2 8k (a +b) (b +c) (c +a): êi bi¸n (a +b;b +c;c +a)! (X;Y;Z). Khi â c¦n chùng minh: 3 (X + 4Y + 4Z) (X +Y +Z) 2 32kXYZ: Ta chùng minh k¸t qu£ m¤nh hìn l : 3 (X + 4Y + 4Z) (X +Y +Z) 2 8kX (Y +Z) 2 = 27 + 18 p 3 X (Y +Z) 2 : V¼ t½nh thu¦n nh§t n¶n ta câ thº chu©n hâa X +Y +Z = 1. Tø â ta c¦n chùng minh: 3 (4 3X) 27 + 18 p 3 X (1X) 2 ,g (X) = 4 3X X(1X) 2 9 + 6 p 3; trong â 0 0, x6= 1, b§t ¯ng thùc ¢ cho câ thº vi¸t l¤i th nh x 2 + 2 x + k 2x + 1 x 2 + 1 3 + k 4 , x 2 + 2 x 3k 1 4 x 2 2x 3 +x 2 + 1 , (x 1) 2 (x + 2) x k(x 1) 2 (2x + 1) 4 (2x 3 +x 2 + 1) , k 4 (x + 2) (2x 3 +x 2 + 1) x (2x + 1) , k 4 x 2 + 2x + 2 x 3 2x + 1 ;8x> 0; x6= 1: B¥y gií, ta s³ cho x = p 3 + 1 4 v t½nh gi¡ trà cõa biºu thùc f (x) =x 2 + 2x + 2 x 3 2x + 1 ð b¶n v¸ ph£i. º þ r¬ng x l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh, do dâ ta câ x 2 = 4x + 1 8 , 1 x = 8x 4, 3 2x + 1 = 4 4x. Suy ra f (x) = 4x + 1 8 + 2x + 2 (8x 4) (4 4x) = 45 2 x 95 8 = 45 2 p 3 + 1 4 95 8 = 45 p 3 50 8 : Vîi k¸t qu£ n y, ta thu ÷ñc k 45 p 3 50 2 = 45 p 3 2 25 45 0:866 25 13:97: 1662. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT M°t kh¡c, v¼k l sè nguy¶n n¶n tø ¥y câk 13. Ti¸p theo, ta s³ chùng minhk = 13 thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n, tùc l 1 a + 1 b + 1 c + 13 a +b +c + 1 25 4 : °t f (a;b;c) = 1 a + 1 b + 1 c + 13 a +b +c + 1 : Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a = maxfa;b;cg, ta câ f (a;b;c)f a; p bc; p bc = 1 b + 1 c 2 p bc + 13 1 a +b +c + 1 1 a + 2 p bc + 1 = p b p c 2 2 4 1 bc 13 (a +b +c + 1) a + 2 p bc + 1 3 5 : Doa = maxfa;b;cg v gi£ thi¸t abc = 1 n¶n ta câbc 1, suy ra 1 bc 1. M°t kh¡c, sû döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta l¤i câ 13 (a +b +c + 1) a + 2 p bc + 1 13 3 3 p abc + 1 3 3 p abc + 1 = 13 16 < 1: Tø ¥y ta ÷a b i to¡n v· chùng minh f 1 x 2 ;x;x 25 4 vîi x = p bc, 0 0: Do 2 (2x 2 1) 2 0;5x (2x 1) 2 0 v 5x 2 7x + 3> 0 (tam thùc b§t hai câ h» sè cao nh§t d÷ìng v bi»t thùc =11< 0). Nh÷ vªy, b§t ¯ng thùc cuèi còng hiºn nhi¶n óng. Vªy k = 13 l gi¡ trà c¦n t¼m. 1672. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT C¥u 2.12. Cho a =b =t> 0, c = 1 t 2 ta ÷ñc 2t 2 + 1 t 4 + 3k (k + 1) 2 t +t 2 , 2t 6 + 1 t 4 + 3k (k + 1) t 3 + 2 t , k 3 t 3 + 2 t t 3 + 2 t 2t 6 + 1 t 4 ,k 3tt 3 2 t t 6 + 2t 3 1 t 4 , k (t 1) 2 (t + 2) (t 3 1) 2 t 3 , k (t + 2) (t 2 +t + 1) 2 t 3 , k (t 2 +t + 1) 2 t 4 + 2t 3 ,k 1 + 1 t + 1 t 2 2 1 + 2 t : °t z = 1 t . Khi â k (z 2 +z + 1) 2 2z + 1 : Khi t! +1 th¼ z! 0. Nh÷ vªy k max = min [0;+1) f (z); vîi f (z) = (z 2 +z + 1) 2 2z + 1 , vîi z 0. Ta câ f 0 (z) = 2 (z 2 +z + 1) (2z + 1) 2 2 (z 2 +z + 1) (2z + 1) 2 = 2 (z 2 +z + 1) (2z + 1) 2 1 (2z + 1) 2 0;8z 0: Suy ra h m sè f çng bi¸n tr¶n [0; +1), do â vîi z 0 th¼ f (z)f (0) = 1. Do â k 1. Tø â k max = 1 n¸u ch¿ ra ÷ñc a 2 +b 2 +c 2 + 3 2 1 a + 1 b + 1 c , a 2 +b 2 +c 2 + 3 2 (ab +bc +ca) (do abc = 1) , a 2 +b 2 +c 2 + 2abc + 1 2 (ab +bc +ca): ¥y l mët k¸t qu£ quen thuëc ÷ñc chùng minh b¬ng nguy¶n l½ Diricle (ta công câ thº dòng dçn bi¸n º chùng minh). D§u ¯ng thùc x£y ra khi (a;b;c) = (1; 1; 1); a =b! +1, c! 0 v c¡c ho¡n và. C¥u 2.13. Thæng th÷íng trong nhúng d¤ng to¡n n y, ¯ng thùc ¤t ÷ñc ngo i gi¡ trà t¥m (1; 1; 1) th¼ cán ¤t ÷ñc khi hai bi¸n b¬ng nhau. Nh÷ v¤y º ch°nk, ta chåna =b =t,c = 32t. Ta câ: 2 t + 1 3 2t 3k 2t 2 + (3 2t) 2 3 , 6 4t +t 3 (3t 2t 2 ) 3t 2t 2 k 6t 2 12t + 6 , k 6t 2 12t + 6 (3t 2t 2 ) (6t 2 12t + 6) ,k 1 t (3 2t) : 1682. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT Nh÷ vªy gi¡ trà c = 3 2t lîn nh§t c¦n t¼m ch½nh l gi¡ trà lîn nh§t cõa h m sè f (t) = 1 t (3 2t) ; t2 0; 3 2 : Theo b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ t (3 2t) = 1 2 2t (3 2t) 1 2 (2t + 3 2t) 2 4 = 9 8 : Tø â k¸t luªn ÷ñc k max = 8 9 n¸u chùng tä ÷ñc 1 a + 1 b + 1 c 3 9 8 a 2 +b 2 +c 2 3 : (1) °t f (a;b;c) = 1 a + 1 b + 1 c 3 9 8 (a 2 +b 2 +c 2 3). X²t hi»u f (a;b;c)f a +b 2 ; a +b 2 ;c = 1 a + 1 b + 1 c 3 8 9 a 2 +b 2 +c 2 3 4 a +b 1 c + 3 + 8 9 (a +b) 2 2 +c 2 3 ! = 1 a + 1 b 4 a +b 8 9 a 2 +b 2 (a +b) 2 2 ! = (a +b) 2 4ab ab (a +b) 8 9 a 2 +b 2 2ab 2 = (ab) 2 1 ab (a +b) 4 9 : Ta gi£ sû c = maxfa;b;cg. Khi â a +b 2, suy ra ab (a +b) (a +b) 3 4 8 4 < 9 4 : Nh÷ vªy f (a;b;c)f a +b 2 ; a +b 2 ;c : Ta ch¿ c¦n chùng minh f a +b 2 ; a +b 2 ;c 0,f (t;t;3 2t) 0; vîi t = a +b 2 : Tùc l chùng minh 2 t + 1 3 2t 3 8 9 2t 2 + (3 2t) 2 3 , 8 9 1 t (3 2t) , 24t 16t 2 9 t (3 2t) 0 , 16t 2 24t + 9 t (3 2t) 0, (4t 3) 2 t (3 2t) 0 (óng): Vªy () ÷ñc chùng minh. Tø â k¸t luªn k max = 8 9 . 1692. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT C¥u 2.14. K½ hi»u (1) l b§t ¯ng thùc ¢ n¶u trong · b i. Gi£ sû k l sè thüc sao cho b§t ¯ng thùc (1) óng vîi måi bë ba sè thüc a, b, c, m abc 0. Trong (1) thay a = 0, b =c = 2, ta ÷ñc 2 + 8k 4. Suy ra k 1 4 . Ta s³ chùng minh k = 1 4 l gi¡ trà nhä nh§t c¦n t¼m, tùc chùng minh vîi måi bë ba sè thüc khæng ¥m a, b, c, ta luæn câ abc + 1 4 (ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 + 2a +b +c: hay a 2 +b 2 +c 2 + 2abc + 4ab +bc +ca + 2 (a +b +c): (2) X²t 3 sè (b 1) (c 1), (c 1) (a 1), (a 1) (b 1), ta câ a (b 1) (c 1)b (c 1) (a 1)c (a 1) (b 1) =abc (a 1) 2 (b 1) 2 (c 1) 0: Suy ra câ ½t nh§t mët sè trong 3 sè n¶u tr¶n khæng ¥m. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a (b 1) (c 1) 0. Khi â, ta câ abca (b +c 1). Do vªy, b§t ¯ng thùc (2) s³ ÷ñc chùng minh, n¸u ta chùng minh ÷ñc a 2 +b 2 +c 2 + 2a (b +c 1) + 4ab +bc +ca + 2 (a +b +c); hay a 2 (4bc)a +b 2 +c 2 bc 2 (b +c) + 4 0; (3) vîi måi a, b, c, m abc 0. Ta xem v¸ tr¡i cõa (3) l mët tam thùc bªc hai theo ©n a, ta câ: = (b +c 4) 2 4b 2 4c 2 + 4bc + 8 (b +c) 16 =3b 2 3c 2 + 6bc =3 (bc) 2 0; vîi måi b, c n¶n (3) óng vîi måi a, b, c, m abc 0. Vªy k = 1 4 l gi¡ trà c¦n t¼m, theo y¶u c¦u cõa · b i. C¥u 2.15. Rã r ng, c¡c gi¡ trà x = y = z = 1 thäa m¢n r ng buëc n¶u trong · b i. V¼ th¸, trong b§t ¯ng thùc cõa · b i, cho x =y =z = 1 ta ÷ñc k + 1 2. Suy ra k 1. Ti¸p theo, ta chùng minh vîi k = 1, b§t ¯ng thùc cõa · b i l mët b§t ¯ng thùc óng; tùc ta s³ chùng minh 3 p (x 2 + 1) (y 2 + 1) (z 2 + 1) x +y +z 3 2 + 1; (1) vîi måi sè thüc d÷ìng x, y, z m minfxy;yz;zxg 1. Thªt vªy, tr÷îc h¸t, ta chùng minh nhªn x²t sau: Nhªn x²t: Vîia,b l hai sè thüc d÷ìng thäa m¢n ab 1, ta luæn câ: a 2 + 1 b 2 + 1 a +b 2 2 + 1 ! : Chùng minh: V¼ ab 1 n¶n a +b 2 2 1ab 1 0. Do â a 2 + 1 b 2 + 1 = (ab 1) 2 + (a +b) 2 a +b 2 2 1 ! 2 + (a +b) 2 = a +b 2 2 + 1 ! 2 : 1702. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT Nhªn x²t ÷ñc chùng minh. Khæng m§t têng qu¡t, gi£ sû xyz. Khi â, tø r ng buëc cõa · b i, suy ra x 1. °t t = x +y +z 3 . Ta câ xt = x (x +y +z) 3 = x 2 +xy +xz 3 1 + 1 + 1 3 = 1: Do â, ¡p döng nhªn x²t l¦n l÷ñt cho c°p (x;t) v c°p (y;z), ta ÷ñc x 2 + 1 t 2 + 1 x +t 2 2 + 1 ! 2 ; (2) v y 2 + 1 z 2 + 1 y +z 2 2 + 1 ! 2 : (3) Nh¥n (2) v (3), v¸ theo v¸, ta ÷ñc x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 + 1 t 2 + 1 x +t 2 2 + 1 ! 2 y +z 2 2 + 1 ! 2 : (4) Nhªn th§y x +t 2 y +z 2 p xt p yz 1. Do â, theo nhªn x²t, ta câ x +t 2 2 + 1 ! 2 y +z 2 2 + 1 ! 2 x +y +z +t 4 2 + 1 ! 4 : (5) Tø (4) v (5), suy ra x 2 + 1 y 2 + 1 z 2 + 1 t 2 + 1 t 2 + 1 4 : Do â 3 p (x 2 + 1) (y 2 + 1) (z 2 + 1) (t 2 + 1) x +y +z 3 2 + 1: Suy ra (1) ÷ñc chùng minh v v¼ th¸, gi¡ trà k nhä nh§t c¦n t¼m theo y¶u c¦u b i l k = 1. C¥u 2.16. K½ hi»u (1) l b§t ¯ng thùc ¢ n¶u trong · b i. Gi£ sû k l sè thüc sao cho b§t ¯ng thùc (1) óng vîi måi bë ba sè thüc a, b, c l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c. Trong (1) thay b =c> 0 ta ÷ñc a 2b + 2b a +b +k 2ab +b 2 a 2 + 2b 2 3 2 +k: Cè ành b v cho a ti¸n tîi 0 + ta ÷ñc 2 + k 2 3 2 +k. Suy ra k 1. Ta s³ chùng minh k = 1 l gi¡ trà nhä nh§t c¦n t¼m, tùc chùng minh vîi måi bë ba sè thüc a, b, c l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c, ta luæn câ a b +c + b c +a + c a +b + ab +bc +ca a 2 +b 2 +c 2 5 2 : (2) 1712. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT Thªt vªy, ta câ: (2), 1 a b +c + 1 b c +a + 1 c a +b 1 2 + ab +bc +ca a 2 +b 2 +c 2 , b +ca b +c + c +ab c +a + a +bc a +b (a +b +c) 2 2 (a 2 +b 2 +c 2 ) , (b +ca) 2 (b +c) (b +ca) + (c +ab) 2 (c +a) (c +ab) + (a +bc) 2 (a +b) (a +bc) (a +b +c) 2 2 (a 2 +b 2 +c 2 ) : (3) Do a, b, c l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c n¶n b +ca > 0, c +ab > 0, a +bc > 0. Do â t§t c£ c¡c ph¥n thùc n¬m ð v¸ tr¡i cõa (3) ·u câ m¨u thùc d÷ìng. V¼ th¸, k½ hi»u VT l biºu thùc n¬m ð v¸ tr¡i cõa (3), theo b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz d¤ng Engel, ta câ: VT (a +b +c) 2 2 (a 2 +b 2 +c 2 ) : V¼ (b +ca) + (c +ab) + (a +bc) =a +b +c v (b +ca) (b +c) + (c +ab) (c +a) + (a +bc) (a +b) = 2 a 2 +b 2 +c 2 : N¶n (3) ÷ñc chùng minh v v¼ th¸ (2) ÷ñc chùng minh. Vªy k = 1 l gi¡ trà c¦n t¼m, theo y¶u c¦u cõa · b i. C¥u 2.17. Rã r ng, c¡c gi¡ trà x = y = z = 1 3 thäa m¢n r ng buëc n¶u trong · b i. V¼ th¸, trong b§t ¯ng thùc cõa · b i, cho x =y =z = 1 3 ta ÷ñc 9 3k + 2 9k + 3 2 , m k> 0 n¶n suy ra k 1 3 . Ti¸p theo, ta chùng minh vîi k = 1 3 , b§t ¯ng thùc cõa · b i l mët b§t ¯ng thùc óng; tùc ta s³ chùng minh 1 x +y + 1 3 + 1 y +z + 1 3 + 1 z +x + 1 3 3; (1) vîi måi sè thüc d÷ìng x, y, z m p xy + p yz + p zx = 1. Thªt vªy, °t T = p x + p y + p z 2 =x +y +z + 2: p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz cho hai bë 3 sè d÷ìng, ta câ x +y + 1 3 1 3 + 1 3 +z p x 1 p 3 + p y 1 p 3 + 1 p 3 p z 2 = T 3 hay 1 x +y + 1 3 3z + 2 T : T÷ìng tü ta câ: 1 y +z + 1 3 3x + 2 T ; 1 z +x + 1 3 3y + 2 T : 1722. BI TON TM HNG SÈ TÈT NHT Cëng 3 b§t ¯ng thùc vøa n¶u tr¶n, v¸ vîi v¸, vîi l÷u þ T =x +y +z + 2, ta ÷ñc 1 x +y + 1 3 + 1 y +z + 1 3 + 1 z +x + 1 3 3z + 2 + 3x + 2 + 3y + 2 T = 3: (1) ÷ñc chùng minh. Vªy k = 1 3 l gi¡ trà c¦n t¼m, theo y¶u c¦u cõa · b i. C¥u 2.18. K½ hi»u (1) l b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. Trong (1) cho a =b =c = 1; suy ra k 729: Ta chùng minh (1) óng vîi k = 729: Tø gi£ thi¸t ta câ 3jabcjjabj +jbcj +jcaj 3 3 q (abc) 2 )abc 1: Do â a 2 + 4 b 2 +c 2 b 2 + 4 a 2 +c 2 c 2 + 4 a 2 +b 2 a 2 + 8jbcj b 2 + 8jacj c 2 + 8jabj 9 3 (abc) 2 729: Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy cho ch½n sè a 2 v 8 sèjbcj: Vªy maxk = 729: C¥u 2.19. Gåi (1) l b§t ¯ng thùc c¦n t¼m. Trong (1) cho a 1 = 1;a 2 = =a n = 1 n 1 ta ÷ñc c n 2 : Ta chùng minh BT (1) óng vîi c = n 2 : Tùc l c¦n chùng minh X 1i (k 1)b m m 1 n¸u 1km v b k (nk)b m nm n¸u mkn: Do â 1 = n X k=1 b k = m X k=1 b k + n X k=m+1 b k > 1 m 1 m X k=1 (k 1) ! b m + 1 nm n X k=m+1 (nk) ! b m = n 1 2 :b m )b m < 2 n 1 : °tx 0 = 1; x k = 1+ P k i=1 a i b i ;k = 1;n th¼x k x k1 =a k b k : Tø (ii) suy raa 2 k x k )a k p x k : Tø maxa k k=1;n < 2 suy ra x k x k1 < 2b k : Do â vîi måi k = 1;n th¼ p x k p x k1

Xem thêm

Từ khóa: / Tài liệu / Tài liệu

Đề xuất cho bạn

Tài liệu

Đề Minh Họa Toán lần 2 năm 2019

33969 lượt tải

Một số câu hỏi trắc nghiệm Tin học lớp 11 (có đáp án)

16103 lượt tải

NGÂN HÀNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM LỊCH SỬ LỚP 11 - CÓ ĐÁP ÁN

9693 lượt tải

Tổng Hợp Toàn Bộ Công Thức Toán 12

8544 lượt tải

Bài tập tọa độ không gian Oxyz mức độ vận dụng có đáp án và lời giải chi tiết

7120 lượt tải

Một số câu hỏi trắc nghiệm Tin học lớp 11 (có đáp án)

154366 lượt xem

Bài tập tọa độ không gian Oxyz mức độ vận dụng có đáp án và lời giải chi tiết

115285 lượt xem

Đề luyện tập kiểm tra môn Tiếng Anh lớp 10 - Unit 6: Gender equality

103644 lượt xem

Đề luyện tập môn Tiếng Anh lớp 10 - Unit 4: For a better community (có đáp án)

81331 lượt xem

Đề ôn tập kiểm tra môn Tiếng Anh lớp 11 - unit 4: Caring for those in need (có đáp án)

79467 lượt xem